![Transformada de Laplace
La trasformada puede o no existir, por ejemplo para la función f(t) = 1/t la integral
que define su transformada de Laplace no converge y por lo tanto su
trasformada no existe.
Las condiciones suficientes para garantizar que la transformada de Laplace de
una función f exista, son que f sea continua por partes para t ≥ 0 y sea de orden
exponencial.
Se dice que una función es continua por partes para t ≥ 0, cuando para cualquier
intervalo [a, b] con a > 0, hay un número finito de puntos tk, en donde f tiene
discontinuidades y es continua en cada subintervalo [tk-1,tk].](https://image.slidesharecdn.com/transformadadelaplace-190817184931/85/Transformada-de-laplace-6-320.jpg)
Transformada de laplace
- 1. Transformada de Laplace Definición,Transformada Inversa, Propiedades, Ecuaciones Diferenciales ordinarias por Transformada de Laplace,Condiciones de existencia Bachiller: Ricardo Boada C.i. 26.823.943 Sección SAIA S1 Republica Bolivariana deVenezuela Ministerio del poder popular para la educación Instituto Politécnico Universitario Santiago Mariño - Sede Barcelona Profesor : Pedro Beltrán Asignatura: Matemática
- 2. Introducción El estudio de la transformada de Laplace es muy importante, pues su uso convierte funciones habituales trascendentes, como funciones, sinúsoidales amortiguadas y exponenciales, en funciones algebraicas. El método de la transformada de Laplace es una vía para la solución de ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que constituyen los modelos matemáticos más frecuentes en la representación matemática de problemas de circuitos
- 3. Transformada de Laplace Originalmente la transformada de Laplace fue presentada por Pierre-Simón Laplace en su estudio sobre la teoría de la probabilidad y en principio fue tratada como un objeto matemático de interés meramente teórico. Origen Las aplicaciones actuales surgen cuando diversos matemáticos trataron de dar una justificación formal a las “reglas operacionales” usadas por Heaviside en el estudio de ecuaciones de la teoría electromagnética.
- 4. Transformada de Laplace Sea f una función definida para t ≥ 0. La transformada de Laplace se define como sigue: Definición Se dice que laTransformada de Laplace existe si la integral anterior converge, en caso contrario se dice que la transformada de Laplace no existe. Por lo general, para denotar la función que se desea trasformar se usan letras minúsculas y la letra mayúscula corresponde a su trasformada. De esta manera tendremos:
- 5. Transformada de Laplace Ejemplo Considere la función constante f(t) = 1.Tenemos que su trasformada es: Siempre que la integral converja, es decir siempre que s > 0. En caso contrario, s < 0, la integral diverge. Sea g(t)=t. Su trasformada de Laplace viene dada por : Al integrar por partes y sabiendo que te-st tiende a 0 cuando t tiende a infinito y s > 0, junto con el ejemplo anterior tenemos que:
- 6. Transformada de Laplace La trasformada puede o no existir, por ejemplo para la función f(t) = 1/t la integral que define su transformada de Laplace no converge y por lo tanto su trasformada no existe. Las condiciones suficientes para garantizar que la transformada de Laplace de una función f exista, son que f sea continua por partes para t ≥ 0 y sea de orden exponencial. Se dice que una función es continua por partes para t ≥ 0, cuando para cualquier intervalo [a, b] con a > 0, hay un número finito de puntos tk, en donde f tiene discontinuidades y es continua en cada subintervalo [tk-1,tk].
- 7. Transformada de Laplace Por otro lado, se dice que una función es de orden exponencial c si existen constantes reales M > 0, c yT > 0 tal que: Como ejemplos tenemos que f(t) = t2 es de orden exponencial ,ya que |t2| < e3t para todo t > 0. De manera formal tenemos el siguiente teorema
- 8. Transformada de Laplace Teorema (Condiciones suficientes para la existencia) Si f es una función continua por parte para t > 0 y de orden exponencial c, entonces existe la transformada de Laplace para s > c. Es importante resaltar que esta es una condición de suficiencia, es decir que podría darse el caso en que exista una función que no cumpla dichas condiciones y aun así su transformada de Laplace exista. Un ejemplo de esto es la función f(t) = t-1/2 que no es continua por partes para t ≥ 0 pero su transformada de Laplace existe.
- 9. Transformada de Laplace Transformada de Laplace de algunas funciones básicas En la siguiente tabla se muestran las transformadas de Laplace de las funciones más comunes:
- 10. Transformada de Laplace Propiedades Entre las propiedades de la transformada de Laplace destacan las siguientes: Linealidad Sean c1 y c2 constantes y f(t) y g(t) funciones cuyas trasformadas de Laplace son F(s) y G(s) respectivamente, entonces se tiene que: Debido a esta propiedad se dice que la transformada de Laplace es un operador lineal. Ejemplo
- 11. Transformada de Laplace Primer teorema de traslación Si ocurre que: Y ‘a’ es cualquier número real, entonces: Ejemplo Como la transformada de Laplace de cos(2t) = s/(s^2 + 4) entonces: Segundo teorema de traslación Si Entonces Ejemplo Si f(t) = t^3 , entonces F(s) = 6/s^4.Y por lo tanto, la transformada de es G(s)= 6e-2s/s^4
- 12. Transformada de Laplace Cambio de escala Si Y ‘a’ es un real distinto de cero, tenemos que Ejemplo Como la transformada de f(t)= sen(t) es F(s)= 1/(s^2 + 1) se tiene que
- 13. Transformada de Laplace Transformada de Laplace de las derivadas Si f, f’, f’’,…,f(n) son continuas para t ≥ 0 y son de orden exponencial y f(n)(t) es continua por partes para t ≥ 0, entonces Transformada de Laplace de integrales Si Entonces Multiplicación por tn Si tenemos que División por t Si tenemos que
- 14. Transformada de Laplace Funciones periódicas Sea f una función periódica con periodoT > 0, es decir f(t +T) = f(t), entonces Comportamiento de F(s) cuando s tiende a infinito Si f es continua por partes y de orden exponencial y entonces
- 15. Transformadas inversas Cuando aplicamos la transformada de Laplace a una función f(t) obtenemos a F(s), la cual representa dicha transformada. De igual manera podemos decir que f(t) es la transformada de Laplace inversa de F(s) y se escribe como Sabemos que las transformadas de Laplace de f(t) = 1 y g(t) = t son F(s) = 1/s y G(s) = 1/s2 respectivamente, por lo tanto tenemos que
- 16. Transformadas inversas Algunas transformadas de Laplace inversas comunes son las siguientes Además, la transformada de Laplace inversa es lineal, es decir se cumple que
- 17. Transformadas inversas Ejercicio Para resolver este ejercicio debemos hacer coincidir la función F(s) con alguna de la tabla anterior. En este caso si tomamos a n + 1 = 5 y usando la propiedad de linealidad de la transformada inversa, multiplicamos y dividimos por 4! Obteniendo Para la segunda transformada inversa aplicamos fracciones parciales para reescribir la función F(s) y luego la propiedad de la linealidad, obteniendo: Como podemos observar de estos ejemplos es común que la función F(s) que se evalúa no concuerde precisamente con alguna de las funciones dadas en la tabla. Para estos casos, como se observa, basta con reescribir la función hasta llegar a la forma adecuada.
- 18. Transformadas inversas Propiedad de linealidad Primera propiedad deTranslación Segunda propiedad deTranslación
- 19. Transformadas inversas Propiedad del cambio de escala Transformada Inversa de laplace en las derivadas Transformada Inversa de laplace en las integrales
- 20. Transformadas inversas Multiplicación por s^n División por s Propiedad de Convolución
- 21. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por Transformada de Laplace La principal aplicación que poseen las transformadas de Laplace es para resolver ecuaciones diferenciales. Usando la propiedad de la transformada de una derivada es claro que Y de las n-1 derivadas evaluadas en t = 0. Esta propiedad hace que la transformada sea de gran utilidad para la resolución de problemas de valores iniciales donde estén involucradas ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.
- 22. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por Transformada de Laplace Dado el siguiente problema de valor inicial Use la transformada de Laplace para encontrar la solución. Aplicamos la transformada de Laplace a cada miembro de la ecuación diferencial Por la propiedad de la transformada de una derivada tenemos Al desarrollar toda la expresión y despejarY(s) nos queda Usando fracciones parciales para reescribir el lado derecho de la ecuación obtenemos
- 23. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por Transformada de Laplace Finalmente, nuestro objetivo es encontrar una función y(t) que satisfaga la ecuación diferencial. Usando la transformada de Laplace inversa nos da como resultado
- 24. Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace Sea f una función que cumple las siguientes condiciones 1. Es seccionalmente continua sobre el intervalo t ≤ A para cualquier A > 0, esto es, posee a lo más un número Finito de discontinuidades de salto en dicho intervalo. 2. Es de orden exponencial para t ≥ M, es decir, Entonces Funciones f .t / que satisfacen a las condiciones del teorema anterior se denominan funciones seccionalmente continuas de orden exponencial. El orden exponencial que se exige a la función sólo se requiere a partir de t ≥ M; puede suceder que en el intervalo t < M no se cumpla la desigualdad para algunas t < M, sin embargo, esto no es importante pues no afecta la existencia de
- 25. Conclusión La transformada de Laplace ha sido en los últimos años de gran importancia en los estudios de ingeniería, matemática, física, entre otras áreas científica, ya que además de ser de gran interés en lo teórico, proporciona una forma sencilla de resolver problemas que vienen de las ciencias e ingenierías.
- 26. Referencias Electrónicas http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/6.Laplace/I mpExistencia.pdf Condiciones de Existencia https://www.lifeder.com/transformada-de-laplace/ Transformadas de Laplace, definición , propiedades https://temasdecalculo.com/2018/06/29/2-2-propiedades-de- la-transformada-inversa-de-laplace-laplace/ Transformadas Inversas de Laplace , definición y propiedades