Ecu simul l1
- 1. 7.2.2. Gauss Jordan e inversión de matrices y Gauss Seidel 9 Método de Gauss-Jordan 9 Inversión de Matrices 9 Iteración de Gauss-Seidel 7.3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los Sistemas de Ecuaciones Lineales SEL son muy comunes en los problemas de ingeniería y ciencias básicas ya que por medio de ellos se expresan muchos fenómenos físicos y químicos. Un sistema lineal n*n en general se escribe como: A1: a11x1 + a12x2 + .... + a1nxn = b1 A2: a21x1 + a22x2 + .... + a2nxn = b2 .... (7.1) An: an1x1 + an2x2 + .... + annxn = bn Un SEL puede también expresarse en forma matricial A, tal que: 75
- 2. U NAD Universidad abierta y Nacional a distancia ªa 11 a 12 .... a 1m º «a .... a 2m » A « 21 a 22 » (7.2) « .... ..... .... .... » « » ¬a n 1 a n 2 .... a nm ¼ para x1,....xn dadas las aij para cada i,j=1,2,....,n y las bij para cada i=1,2,....n y n=m-1. Existen métodos directos y otros que emplean técnicas de álgebra lineal. Entre los métodos directos se destacan los métodos gaussianos y entre los métodos de álgebra lineal, el más común es el que emplea la inversa. 7.3.1. Eliminación Gaussina Para resolver un problema SEL de forma directa el método de eliminación Gaussiana permite encontrar la solución al problema en un numero fijo de pasos, aplicando lo que se conoce como operaciones de renglón o de ecuación. En un SEL son permitidas tres operaciones de renglón o de ecuación: x La ecuación Ai puede multiplicarse por cualquier constante O diferente de cero y se puede usar la ecuación resultante en lugar de Ai. Esta operación se denota como (OAi)o(Ai). x La ecuación Aj puede multiplicarse por cualquier constante O,sumarla a la ecuación Ai y usar la ecuación resultante en lugar de Ai. Esta operación se denota como (Ai + OAj)o(Ai). x Las ecuaciones Ai y Aj se pueden intercambiar., es decir, (Aj)o(Ai) Por medio de una secuencia de las operaciones anteriores un SEL se puede transformar a un sistema lineal mucho más fácil de resolver. Este sistema lineal más sencillo puede representarse matricialmente como A’, tal que: ªa '11 a '12 .... a '1n a '1m º « 0 a' .... a ' 2n a ' 2m » A' « 22 » (7.3) « .... ..... .... .... .... » « » ¬ 0 0 .... a 'nn a 'nm ¼ cada a’ij de la matriz A’ es el resultado de las sucesivas operaciones de renglón realizadas sobre los coeficientes originales aij y el método se llama sustitución hacia atrás por que precisamente puede resolverse de forma encadenada de la última ecuación (renglón) hacia arriba. 76