Minimos cuadrados

Fís. Abraham Vilchis Uribe © Mínimos Cuadrados Método objetivo para encontrar La ecuación de un Modelo Lineal

Resumen del Método Gráfico Limitaciones Es subjetivo, depende de la persona que grafica y de su criterio . Proporciona un intervalos grande y pesimista No es reproducible, cada experimentador proporci o na diferentes aproximaciones para datos iguales Ventajas Es buen estimador cuando se tiene pocos resultados (menos de diez). Nos permite decidir si vale la pena efectuar un experimento más preciso. En caso de no contar con una calculadora o computadora, éste método nos permite efectuar una estimación válida.

Método de los Mínimos Cuadrados Subsana limitaciones del método anterior Ventajas adicionales Es objetivo, sólo depende de los resultados experimentales. Es reproducible, proporciona l a mism a ecuación no importa quién realice el análisis . Proporciona una estimación probabilística de la ecuación que representa a unos datos experimentales. Proporciona intervalos pequeños de error. Restricciones Sólo sirve para ajustar modelos lineales Requiere tener, al menos, diez mediciones bajo las mismas circunstancias experimentales. Tales resultados deben estar descritos por una distribución de probabilidad conocida. La más común es la distribución normal o gaussiana. Se requiere de algún equipo de cálculo, de lo contrario, es muy engorroso.

Definiciones Preliminares El método de los mínimos cuadrados nos permite encontrar la ecuación de una recta a partir de los datos experimentales . Es decir, utilizando solamente las mediciones experimentales se obtendrá la pendiente y la ordenada al origen de la recta que mejor se ajuste a tales mediciones

Definiciones Preliminares ASÍ PUES, SOLAMENTE NOS SIRVE PARA AJUSTAR MODELOS LINEALES SI ESTE NO ES EL CASO , SE DEBE BUSCAR OTRO MÉTODO DE AJUSTE

Definiciones Preliminares El método de los mínimos cuadrados se calcula en base al siguiente CRITERIO La distancia del punto experimental a la “mejor recta” es mínima.

GRÁFICAMENTE DIBUJAMOS UNOS EJES DE COORDE-NADAS 0 x y

GRÁFICAMENTE GRAFICAMOS LOS PUNTOS EXPERIMEN-TALES 0 + + + + + + + + + + + x y

GRÁFICAMENTE T RAZA-MOS LA MEJOR RECTA DE TAL MANERA QUE: 0 + + + + + + + + + + + x y L

GRÁFICAMENTE CRITERIO: La distancia, δ y, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima. 0 + + + + + + + + + + + x y δy δ y = y i – y(x i ) L

GRÁFICAMENTE CRITERIO: La distancia, δ y, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima. Para todos los puntos 0 + + + + + + + + + + + x y δy x i y i y(x i ) δ y = y i – y(x i ) δ y = y i – (mx i + b) L

GRÁFICAMENTE CRITERIO: La distancia, δ y, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima. Esta distancia se tomará al cuadrado. 0 + + + + + + + + + + + x y δy x i y i y(x i ) δ y = y i – y(x i ) δ y = y i – (mx i + b) δ y 2 =[ y i – (mx i + b)] 2 ... Ec. 1 L

CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b .

CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b . Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados,

CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b . Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente

CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b . Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error

CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b . Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error , y de la ordenada al origen

CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b . Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error , y de la ordenada al origen con su error ; de la “mejor recta”:

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO .

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO . AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN ,

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO . AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL :

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO . AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL: VD = pendiente VI + ord. al origen y = (m ± S m ) x + (b ± S b ) ; donde la y está en las unidades u , y la x está en las unidades u´ .

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO . AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL: VD = pendiente VI + ord. al origen y = (m ± S m ) x + (b ± S b ) ; donde la y está en las unidades u , y la x está en las unidades u´ . Al reportar de esta manera, conocemos la ecuación del modelo con un 68% de probabilidad asumiendo que los resultados se distriubuyen normalmente

EJEMPLO SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN , Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:

EJEMPLO SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN , Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS: #/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml 1 10 9.9 2 15 15.3 3 20 19.8 4 25 25.2 5 30 29.9 6 35 35.3 7 40 39.8 8 45 45.2 9 50 49.9 10 55 55.1

EJEMPLO SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN , Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS: Se desea encontrar la ecuación que ajusta estos datos utilizando el método de los Mínimos Cuadrados y Determinar el valor de la densidad del agua. #/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml 1 10 9.9 2 15 15.3 3 20 19.8 4 25 25.2 5 30 29.9 6 35 35.3 7 40 39.8 8 45 45.2 9 50 49.9 10 55 55.1

EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos: La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml .

EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos: La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml . La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g .

EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos: La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml . La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g . La ecuación será : M = (1.000 ± 0.005 ) V + (0.0 ± 0.2 ), donde M está en g, y V está en ml.

EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos: La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml . La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g . La ecuación será : M = (1.000 ± 0.005 ) V + (0.0 ± 0.2 ), dondeM está en g, y V está en ml. Comparando los modelos teórico y experimental, observamos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m.

EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos: La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml . La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g . La ecuación será : M = (1.000 ± 0.005 ) V + (0.0 ± 0.2 ), dondeM está en g, y V está en ml. Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:

EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos: La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml . La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g . La ecuación será : M = (1.000 ± 0.005 ) V + (0.0 ± 0.2 ), dondeM está en g, y V está en ml. Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos: Así pues, la densidad será: ρ = 1.000 ± 0.005 g/ml .

Resumiendo Método gráfico MÉTODO SUBJETIVO, PROPORCIONA ERRORES GRANDE S Y ES UNA ESTIMACIÓN PESIMISTA . SON NECESARIAS MENOS DE DIEZ MEDICIONES. NO ES REPRODUCIBLE NO ES NECESARIO TENER UNA CALCULADORA O COMPUTADORA. PERMITE DECIDIR SI SE HACE UN EXPERIMENTO Y UN ANÁLISIS MÁS CUIDADOSO. Mínimos cuadrados MÉTODO OBJETIVO . PROPORCIONA ERRORES PEQUEÑO S Y ES UNA ESTIMACIÓN PROBABILÍSTIC A . SE REQUIER DE, AL MENOS, DIEZ MEDICIONES BAJO LAS MISMAS CIRCUNSTANCIAS EXPERIMENTALES Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONOCIDA . ES REPRODUCIBLE.. SE NECESITA ALGÚN APARATO PARA CALCULARLO.

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