Método simplex
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Este documento presenta los pasos para aplicar el método simplex a un problema de programación lineal. En 3 oraciones o menos, resume lo siguiente: El método simplex es un procedimiento iterativo que involucra la construcción de tablas sucesivas para maximizar una función objetivo sujeto a restricciones. Se define la función objetivo y restricciones iniciales, y luego se construyen tablas que identifican variables de base y no base, calculando nuevos valores en cada iteración hasta optimizar la solución.
Método simplex
- 1. Universidad Veracruzana Investigación de operaciones Catedrático: Raúl Izaguirre De La Fuente Método Simplex Barrientos Tirado Carlos Balam García Barradas Francisco Hiram Munguía Chacón Emmanuel Jordán 30 de abril de 2012
- 2. Método Simplex El método simplex es un procedimiento iterativo, partiendo del valor de la función objetivo y las variables sujetas a. A continuación se definirá los pasos a seguir para elaborar dicho método: 1.-se define la función objetivo y sus funciones sujetas. Max Z=30 x1 + 15 x2 S.a 3x1 + x2 ≤ 50 3x1 + 2x2 ≤ 40 x1+ x2 ≤ 30 2.-Teniendo definida la función objetivo se procederá a construir la función objetivo y las variables sujetas a, y que se ocuparan para elaborar la tabla del método simplex A la función objetivo se le agregara el numero de variables sujetas a , es decir tenemos 3 soluciones por lo tanto se agregaran 3 variables x3, x4 , x5 quedando la función objetivo de la siguiente manera Z=30 x1+ 15 x2 + 0x3 ´+ 0x4 + 0x5 ¿Por qué se ponen 0 y no se deja x3 o x4 etc.? Porque al dejar una sola variable ejemplo x3, se valor es equivalente a 1 el cual es un valor que no le corresponde por lo tanto se le asigna un valor de 0. Así mismo se agrega el numero de variables en la función sujeta a. 3x1 + x2 + x3 +0x4 + 0x5 = 50 3x1 + 2x2+0x3 +x4 + 0x5 = 40 x1 + x2 + 0x3 +0x4 + x5 = 30 En este caso a cada función sujeta, las variables X agregadas cambiaran dependiendo el numero de la función, y tomaran el valor de 1 es decir serán X y las demás seguirán siendo 0 Ejemplo: 3x1 + x2 + x3 +0x4 + 0x5 = 50, la primera variable agregada x3 se queda con la variable x=1 y la demás con 0 (0x4 + 0x5), haciendo los cambios así sucesivamente en cada función y tomando la siguiente variable disponible que en este caso sería x4. 3.-una vez definidas nuestra función objetivo y sus funciones sujetas a. Se procede a crear una tabla como se muestra a continuación:
- 3. Base Ck P0 X1 X2 X3 X4 x5 Zj-cj La primera tabla tiene un llenado simple a diferencia de las siguientes tablas. Antes de comenzar se debe de identificar cada columna y fila correspondiente. En la base se pondrán todas las variables que se agregaron en la función objetivo (en este ejemplo se ocuparon 3 variables que fueron x3, x4, x5), si se tuviesen mas variables el tamaño de las filas de la tabla aumentaría correspondientemente. En Ck se pondrán los valores correspondientes de cada variable en la función objetivo en el ejemplo quedaría de la siguiente forma ( x3=0 , x4=0, x5=0) En P0 se pondrá el valor de la función sujeta a. En este caso se toma el valor de las siguientes funciones: 3x1 + x2 ≤ 50 tomando el valor= 50 3x1 + 2x2 ≤ 40 tomando el valor = 40 x1+ x2 ≤ 30 tomando el valor = 30 Ahora en las variables siguientes (x1, x2, x3, x4, x5 en el ejemplo) se llenaran conforme la función sujeta a. Que se realizo en el 1er punto: x1 + x2 + x3 +0x4 + 0x5 = 50 3x1 + 2x2+0x3 +x4 + 0x5 = 40 x1 + x2 + 0x3 +0x4 + x5 = 30 *(Recordando que la sola variable tiene un valor de 1) Ahora para finalizar se llenara la fila de Zj-cj con la siguiente formula P0=∑ de Ck*P0 en cada una de las variables (ejemplo en x3(0*30)+ x4(0*40)+ x5(0*30)=Zj-cj en P0) Para las variables de la columna (x1, x2, x3, x4, x5) la formula será Xn=∑ de Ck*Xn – el valor de cada variable en la función objetivo (ejemplo en x3(0*3)+ x4(0*3)+ x5(0*3) – valor de la función objetivo de la variable (30) =Zj-cj en X1) *Nota: debe de restarse a la sumatoria el valor de la Función O. no al revés
- 4. *Nota: Arriba de las variables en la tabla es recomendable poner el valor de cada variable que se tiene en la funcion objetivo, para una mejor Interpretación de resultados y formulación de la misma. Quedando la tabla de la siguiente manera: 30 15 0 0 0 Base Ck P0 X1 X2 X3 X4 x5 x3 0 50 3 1 1 0 0 x4 0 40 3 2 0 1 0 x5 0 30 1 1 0 0 1 Zj-cj 0 -30 -15 0 0 0 Ya llenada nuestra tabla es necesario definir que columna (variable) será la que pase a remplazar una de las bases ya definidas, así mismo se buscara la variable de la base que saldrá de ella para pasar a ser tomada por una nueva base (columna seleccionada) Ejemplo: En la columna de Zj-cj buscamos el valor más grande dando prioridad a los valores negativos en este caso tenemos -30 (el valor más grande) y tomamos esa columna como la variable que entrara a la base Después para localizar la fila es necesario resolver la siguiente formula Xn=Po/X (de la columna seleccionada) lo que es equivalente a: x3=30/3=16.67 x4=40/3=13.33 x5=30/1=30 Definidos los resultados de cada fila se tomara la fila con el menor valor obtenido (13.33), esta será la fila que se eliminara de la base(x4)
- 5. 30 15 0 0 0 Base Ck P0 X1 X2 X3 X4 x5 x3 0 50 3 1 1 0 0 x4 0 40 3 2 0 1 0 x5 0 30 1 1 0 0 1 Zj-cj 0 -30 -15 0 0 0 Ya definidas la columna que entra y la fila que sale con sus respectivas variables se procederá a crear una nueva tabla 30 15 0 0 0 Base Ck P0 X1 X2 X3 X4 x5 x3 0 0 1 0 x1 30 13.33 1 0.66 0 0.33 0 x5 0 0 0 1 Zj-cj Como podemos ver ya no se encuentra la fila de x4 que fue la variable que salió de la base, y ahora tenemos x1 que fue la variable que entro a la base. Pero es necesario hacer un llenado diferente de esta 2da tabla Para el llenado de la nueva tabla iniciamos primero con Ck recordando que es el valor de la variable en la función objetivo x3 y x5 mantienen su valor pero como x1 que fue la que entro a la base toma su valor correspondiente de 30. En P0 se tomaran valores de la 1ra tabla y la nueva. Antes de empezar es necesario identificar el pivote (el pivote es el numero que se intercede entre la fila que salió y la columna que entro en este caso es 3).
- 6. Ya identificado el pivote es necesario igualarlo a 1, la manera de igualarlo a 1 es dividirlo entre si (3/3), viéndose alterada toda la fila, es decir todos los valores desde P0 hasta x5 en nuestro ejemplo, todos serán divididos entre el numero del pivote. Quedando de la siguiente manera: 40/3=13.33 (en p0) 3/3(pivote)=1 (en x1) 2/3=0.66 (en x2) 0/3=0 (en x3) 1/3=0.33 (en x4) 0/3=0 Una vez definida nuestra fila es importante recordar que en la columna del pibote todos los valores restantes serán por regla igual a 0, otra regla a tomar en cuentas es que cuando dentro de la fila los valores no fueron alterados por la división del numero del pivote los valores de la columna seguirán siendo iguales (ejemplo en las columnas x3 y 5 las variables (0) conservaron su valor por lo tanto las columnas de cada una quedan de la misma manera. Ahora vemos que tenemos 6 espacios en blanco, eso significa que tenemos que buscar y calcular esos datos, para ello necesitamos la siguiente formula ( Valor Antiguo – Valor del renglón de * Valor actual del renglón reemplazante) La columna de la intersección 30 15 0 0 0 Base Ck P0 X1 X2 X3 X4 x5 x3 0 10.01 0 -0.98 1 -0.99 0 x1 30 13.33 1 0.66 0 0.33 0 x5 0 16.67 0 0.34 0 -0.33 1 Zj-cj 666.5 0 -7 0 16.5 0 Ahora iniciaremos calculando el primer valor, que es el de P0. Tomamos la formula y sustituimos quedando de la siguiente manera Valor antiguo 50 – (V. Renglón columna de inter. (3) * valor actual del renglón reemplazante (13.33) = 10.01
- 7. Ahora calcularemos los demás espacios ocupando la misma fórmula y tomando valores de la tabla anterior así como de la nueva. 30 – (1 * 13.33) = 16.67 1 – (3 * 0.66) = -0.98 1 – (1 * 0.66) = .34 0 – (3 * 0.33) = - 0.99 0 – (1 * 0.33) = - 0.33 Una vez definidos los nuevos valores se calculara Zj -Cj de la misma manera en la que se calculo en la 1ra tabla quedando con los siguientes valores 0*10.01 + 30 * 13.33 + 0 * 16.67 = 666.5 0*0 + 30 * 1 + 0 * 0 – 30 = 0 0*-0.98 +30*0.66+0*0.34 -15 =-7 0*1 + 30*0.33+0*-0.33 – 0 = 0 0*-0.99 + 30*0.33+ 0 * -0.33 -0=16.50 0*0+30*0+0*1-0=0 Terminada la tabla es necesario revisar los valor en Zj-cj, buscando que todos los valores sean 0 o mayor que 0, si alguno de los datos es negativos es necesario crear una nueva tabla. En este ejemplo tenemos 1 dato negativo ( -7 ) por lo tanto es necesario crear otra tabla, para la creación de esta y futuras tablas se usara el mismo método de llenado y búsqueda de bases que entran y salen como se hizo en la segunda tabla. 1.- Buscamos la Columna con el numero mayor (prioridad en negativos) este numero será -7, y esta será nuestra variable que entrara a la base Después buscamos la fila de la variable que saldrá que en este caso será x1dado que (x3=-10.21, x1 =20.19, x5=49.02 tomamos el menor) 30 15 0 0 0 Base Ck P0 X1 X2 X3 X4 x5 x3 0 10.01 0 -0.98 1 -0.99 0 x1 30 13.33 1 0.66 0 0.33 0 x5 0 16.67 0 0.34 0 -0.33 1 Zj-cj 666.5 0 -7 0 16.5 0
- 8. Y así quedaría la nueva tabla cambiando la base entrante por la saliente y llenando los espacios vacios como se realizo en la tabla anterior (recordando que la columna del pivote excepto el pivote es 0 y las variables en la fila del pivote que se mantuvieron con el mismo valor su columna toma el valor de la tabla anterior) 30 15 0 0 0 Base Ck P0 X1 X2 X3 X4 x5 x3 0 23.07 0.98 0 1 -0.66 0 x2 15 20.19 1.51 1 0 0.5 0 x5 0 12.13 -0.34 0 0 -0.44 1 Zj-cj 302.85 -7.35 0 0 7.5 0 ( Valor Antiguo – Valor del renglón de * Valor actual del renglón reemplazante) La columna de la intersección 10.01 - (-0.98 * 13.33)=23.07 16.67 – (034*13.33)=12.13 0 - (-0.98 * 1 )=.98 0 – (0.34*1)= -0.34 -0.99 - (-0.98 * 0.33)= - 0.66 -0.33 – (0.34 * 0.33)= -0.44 Como podemos ver aun se tiene en Zj-cj números negativos es necesario elaborar otra tabla hasta encontrar 0 o numero mayores que 0. Teniendo en cuenta que su elaboración es exactamente igual a las 2 tablas anteriores *buscamos la variable que saldrá y entrara a la base
- 9. 30 15 0 0 0 Base Ck P0 X1 X2 X3 X4 x5 x3 0 23.07 0.98 0 1 -0.66 0 x2 15 20.19 1.51 1 0 0.5 0 x5 0 12.13 -0.34 0 0 -0.44 1 Zj-cj 302.85 -7.35 0 0 7.5 0 Como vemos saldrá la variable x5 y entrara x1 tomando el mismo criterio en las tablas anteriores para buscar las bases. Teniendo en cuenta que x1 en Zj-cj = -7.35 y x5 = 0. 30 15 0 0 0 Base Ck P0 X1 X2 X3 X4 x5 x3 0 58.02 0 0 1 -1.92 2.88 x2 15 74.05 0 1 0 1.16 4.43 x1 30 -35.67 1 0 0 1.29 -2.94 Zj-cj 302.85 0 0 0 56.1 - 21.75 Utilizando el mismo criterio para el llenado y teniendo en cuenta que: Valor Antiguo – (Valor del renglón de * Valor actual del renglón reemplazante) La columna de la intersección 23.07 - (.98* -35 .67)=58.02 20.19 – (1.51 * -35.67) =74.05 -0.66 - (.98 * 1.29) = - 1.92 0.50 – (1.51 * - 0.44) =1.16 0 - ( .98 * -2.94) =2.88 0 – (1.51 * -2.94)=4.43 Zj-cj aun mantiene un número negativo, por lo cual se necesita elaborar otra tabla.
- 10. *buscamos nuevamente la variable que saldrá y entrara a la base. 30 15 0 0 0 Base Ck P0 X1 X2 X3 X4 x5 x3 0 58.02 0 0 1 -1.92 2.88 x2 15 74.05 0 1 0 1.16 4.43 x1 30 -35.67 1 0 0 1.29 -2.94 Zj-cj 302.85 0 0 0 56.1 - 21.75 Como vemos saldrá la variable x2 y entrara x5 tomando el mismo criterio en las tablas anteriores para buscar las bases. Teniendo en cuenta que x5 en Zj-cj = -21.75 y x2 = 16.71 30 15 0 0 0 Base Ck P0 X1 X2 X3 X4 x5 x3 0 9.89 0 -0.63 1 -2.66 0 x2 0 16.71 0 0.22 0 0.26 1 x1 30 13.45 1 18.28 0 2.05 0 Zj-cj 403.5 0 533.4 0 61.5 0 Utilizando el mismo criterio para el llenado y teniendo en cuenta que: ( Valor Antiguo – Valor del renglón de * Valor actual del renglón reemplazante) La columna de la intersección
- 11. 58.02 – (2.88 * 16.71) =9.89 -35.67 - (-2.94 * 16.71)=13.45 0 – (2.88 * 0.22 ) = -0.63 (-2,94 * 6.22 ) = 18.28 -1.92 – (2.88 * 0.26 ) = -2.66 1.29 - (-2.94 * .26 ) =2.05 Ya que todos los valores en Zj – cj son 0 o mayor que cero el método ha terminado y afirmamos que: Z= 403.50