Teorema de Rouché-Frobenius
- 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales Pro. Quintana Mario E.
- 2. Teorema de Rouché Frobenius En un sistema de m ecuaciones con n incógnitas mnmnnmnmm mnnmnnmmm nnnn nnnn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa 112211 11111212111 22112222121 11111212111 .......... .......... ................................................................................. ............................................................................... .......... .......... Definimos como matriz de coeficientes (A), a la matriz conformada por todos los coeficientes de las variables del sistema, ordenados según el mismo orden del sistema mnmm n n aaa aaa aaa A ..... ................ ................ ..... ..... 21 22212 11211 mmnmm n n baaa baaa baaa A ...... ...................... ...................... ...... ...... ´ 21 222212 111211 Si a la matriz de coeficientes (A) le agregamos la columna de los resultados de l sistema como última columna, tenemos la matriz ampliada (A´) 1a 1b 1c 1d 1e 1f 6 7 8a 8b
- 3. mnmm n n aaa aaa aaa A ..... ................ ................ ..... ..... 21 22212 11211 mmnmm n n baaa baaa baaa A ...... ...................... ...................... ...... ...... ´ 21 222212 111211 La matriz A es de clase (m x n) )(mxn A La matriz A´ es de clase m x (n+1) ))1(( ´ nmx A Encontradas las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A´), debemos hallar el rango de cada una de ellas (por cualquier método apropiado, ver TP) ´)()( AA rr El sistema tiene solución si además incógnitasdenrr AA º´)()( El sistema es Compatible determinado admite solución única incógnitasdenrr AA º´)()( El sistema es Compatible indeterminado admite infinitas soluciones ´)()( AA rr El sistema es Incompatible NO tiene solución 1a 1b 1c 1d 1e 1f 6 7 8a 8b
- 4. 1 a) Para resolver 3235 822 1 zyx zyx zyx sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes 235 212 111 y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada 3 8 1 0 0 111 1 3 1 12 1 3 4 1 12 2 4 10 1 12 8 )( 10 2 1 15 3 2 3 1 15 2 8 1 15 3 )( 3 8 00 3 410 01 3 10 3 41 1 )( 3 1 3 4 1 3 1 3 101 1 3 7 3 10 1 3 7 3 42 3 )( 3 1 3 8 3 3 1 3 102 8 3 4 3 20 8 3 4 1 d1 c1 b
- 5. 3 100 3 410 3 101 3 4 3 10 3 7 100 010 001 4 3 1 3 4 4 3 1 3 4 3 4 3 10 2 3 6 3 16 3 10 3 1 3 4 3 1 3 7 1 3 3 3 4 3 7 2 1 El rango de la matriz coeficientes es 3 Y el rango de la matriz ampliada también es 3 ´)A()A( rr el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices incógnitasºnrr ´)A()A( Sistema compatible determinado 1x 2y 4z Te sugerimos que verifiques estos resultados . . . (admite un solo conjunto solución) 1 d1 c1 b
- 6. 1 b) Para resolver 1334 2543 6 zy yx zx sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas escribimos el sistema completo y ordenado 13340 25043 60 zyx zyx zyx Para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada 340 043 101 13 25 6 0 0 101 6 4 1 03 4 4 3 1 13 0 3 7 7 1 63 25 4 1 00 4 4 3 1 10 3 3 13 1 60 13 13 00 4 310 01 4 7 1 1 30 1 )( 1 6 1 70 6 6 0 4 34 3 )( 0 20 4 74 13 20 1 d1 c
- 7. 000 4 310 101 20 4 7 6 El próximo pivote debe elegirse en la 3º fila 3º columna, pero ese elemento es 0 (no puede ser pivote) Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron Y quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (a menos uno de sus elementos es distinto de 0) 2)A(r 3´)A(r pero en la matriz ampliada hay tres filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0) ´)A()A( rr Sistema incompatible Este sistema no tiene solución 1 d1 c
- 8. 1 c) Para resolver 7423 3332 102 tzyx tzyx tzyx sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas Para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada 1423 3312 2111 7 3 10 0 0 2111 10 1 1 12 1 )( 1 1 1 12 3 1 7 1 22 3 7 23 1 102 3 23 1 1 13 2 )(1 1 1 13 4 1 7 1 23 1 7 23 1 103 7 23 1 d
- 9. 7110 7110 2111 23 23 10 00 7110 01 23 2 1 11 1 2 5 1 71 2 )( 5 13 1 231 10 )(13 0 1 11 1 0 0 1 71 7 )(0 0 1 231 23 )(0 El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra ó 4ta columna, pero esos elementos son 0 (no pueden ser pivote) Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0) 2)A(r 2´)A(r y en la matriz ampliada también hay dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0) 1 d
- 10. Si ´)A()A( rr Sistema compatible Este sistema admite infinitas soluciones 2)A(r 2´)A(r pero incógnitasdeºnrr ´)A()A( Sistema compatible indeterminado 0000 7110 5201 0 23 13 237 1352 tzy tzx despejamos y tzy 723 despejamos x tzx 5213 confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes soluciones, asignándole valores a z y t, encontramos x e yx y z t S1 0 0-13 -23 S2 1 1-10 -17 S3 0 1-8 -16 Para resolver el sistema “recomponemos” un sistema de ecuaciones con las matrices coeficiente y ampliadas halladas 1 d
- 11. 1 d) Para resolver 4410622 3253 tuzyx tuzyx sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas Para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes 410622 25311 4 3 0 25311 3 0 1 12 2 )( 0 0 1 32 6 0 0 1 52 10 )( 0 0 1 22 4 0 2 1 32 4 2 El próximo pivote debe elegirse en la 2da fila 2da, 3ra, 4ta ó 5ta columna, pero esos elementos son 0 (no pueden ser pivote)Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron Y queda evidenciada en la matriz de coeficientes una fila linealmente independiente (al menos uno de sus elementos es distinto de 0) 1)A(r 2´)A(r pero en la matriz ampliada hay dos filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0) ´)A()A( rr Sistema incompatible Este sistema no tiene solución y la matriz ampliada
- 12. 1 e) Para resolver un sistema homogéneo, trabajamos como si fuera un sistema normal 02 023 02 zyx zyx zyx Sabiendo que el sistema homogéneo será siempre compatible Solo nos queda analizar si admite soluciones diferentes de la trivial (todas las variables igual a cero) sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas Analizaremos en este caso la matriz coeficiente y la ampliada solamente para visualizar mejor el rango de ellas 211 123 112 0 0 0 211 0 0 0 1 1 12 1 )( 1 1 1 12 1 1 0 1 02 0 0 5 1 13 2 )( 5 1 1 23 1 1 0 1 03 0 0 4 b
- 13. 0 0 0 211 150 110 01 00 110 4 1 15 1 )( 4 0 0 1 05 0 1 1 11 2 )()( 0 1 0 1 01 0 )( 0 001 100 010 0 0 4 01 0 )( 0 0 4 01 0 0 El rango de la matriz de coeficientes es 3 3)( Ar Por ser el sistema homogéneo no nos interesa analizar la matriz ampliada (r(A) = r(A´) siempre) incógnitasdeºnr )A( Este sistema homogéneo admite solamente solución trivial 0 zyx 1 f
- 14. 1 f) Para resolver un sistema homogéneo, trabajamos como si fuera un sistema normal zyx zyx yzx 987 0654 23 ordenamos el sistema 0987 0654 032 zyx zyx zyx 987 654 321 0 0 0 3 1 24 5 0 0 321 0 3 6 1 34 6 6 0 1 04 0 0 6 1 27 8 6 12 1 37 9 12 0 1 07 0 0 00 210 01 0 1 3 62 3 )( 1 0 0 3 66 12 )()( 3 36 12 12 0 0 El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra columna, pero esos elementos son 0 (no pueden ser pivote) las operaciones elementales posibles concluyeron 0 3 02 0 0 3 06 0
- 15. 0000 0210 0101 Recomponemos el sistema de ecuaciones, proponiendo un sistema de ecuaciones equivalente 02 0 zy zx del “nuevo” sistema podemos despejar x en función de z e y en función de z zx zy 2 El rango de la matriz de coeficientes es 2 2)A(r por ser el sistema homogéneo no nos interesa analizar la matriz ampliada (r(A) = r(A´) siempre) incógnitasdeºnr )A( Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la trivial Este sistema admite infinitas soluciones Y confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes soluciones; asignándole valores a z , encontramos x e y x y z S1 11 -2 S2 -1-1 2 S3 00 0
- 16. 6) Para determinar, si existen los valores de m R, tales que el sistema sea : a) compatible determinado, b)Incompatible y c) Compatible indeterminado 0 1 1 zymx mzyx zyx Efectuamos transformaciones elementales por Gauss-Jordan 11 11 111 m m 0 1 1 0 0 111 1 0 1 11 1 0 1 1 11 mm 1m 2 1 11 1 2 m m 1 1 1 1 m1 m m 1 1 1 1 m1 m m 1 1 0 m 110 00 01 m m 1 0 1 1)1( 1 m m 0 mm mm m m 1 1 1 1 1 1 1 m1 1 m m mm 1 )1( )1()1( 0 m1 m m mm m mm 2 )1( )1( 2 )1( )1( 2 m 2
- 17. Transcribimos el resultado de la última transformación 110 010 001 m m m m m 1 2 1 1 Podemos apreciar claramente que: Si m = 1, el elemento de la 2º fila, 2º columna de la matriz de coeficientes es 0, con ese elemento se hace 0 toda la 2º fila de la matriz de coeficientes Pero m = 1 no hace cero el elemento de la 4º columna (matriz ampliada) y 2º fila Por lo que si m = 1 ´)()( AA rr Sistema incompatible Para cualquier otro valor de m incógnitasdenrr AA º´)()( Sistema compatible determinado
- 18. 7) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ? Tengo tres informaciones que relacionan los datos conocidos 2) El promedio de sus edades es 18,5. 3) la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años 1) Hay 32 estudiantes cuyas edades son 18, 19 y 20 años Si la cantidad de estudiantes que tiene 18 años es x 19 años es y 20 años es z 32 zyx 518 32 , multiplicamos cada una de las edades por la cantidad de estudiantes que tienen esas edades y sumamos los productoszyx 201918 y dividimos por el total de estudiantes para hallar el promedio de las edades 6 zyx Con las tres ecuaciones planteadas, puedo conformar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas 6 518 32 201918 32 zyx , zyx zyx que ordenado queda : 6 592201918 32 zyx zyx zyx
- 19. 6 592201918 32 zyx zyx zyx 111 201918 111 6 592 32 0 0 111 32 1 1 118 19 1 2 1 118 20 2 16 1 3218 592 16 2 1 11 1 2 2 1 11 1 2 26 1 321 6 26 00 210 01 16 1 1 21 1 1 16 1 161 32 16 2 1 22 2 2 6 1 162 26 6 100 010 001 3 19 2 61 16 19 10 2 62 16 10
- 20. Las matrices coeficientes y ampliada equivalentes luego de las transformaciones elementales resultan: 3 10 19 100 010 001 El rango de la matriz de coeficientes es 3 3)A(r El rango de la matriz ampliada también es 3 3´)A(r ´)A()A( rr el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices incógnitasºnrr ´)A()A( Sistema compatible determinado 19x 10y 3z Te sugerimos que verifiques estos resultados . . . (admite un solo conjunto solución) Resolvemos el sistema de ecuaciones, recomponiendo un sistema equivalente con la matriz de coeficientes y ampliada encontradas luego de las transformaciones elementales 300 1000 1900 zyx zyx zyx
- 21. 8) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?. b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ? c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ? Al analizar los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz amplidas de cualquier sistema, en principio, pueden suceder dos cosas : que sean iguales que no sean iguales´)A()A( rr ´)()( AA rr Si los rangos no son iguales, lo que puede suceder en un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas El sistema es incompatible no tiene solución Si los rangos son iguales, con seguridad, al ser menor el número de ecuaciones que el número de incógnitas incógnitasdenrr AA º´)()( El sistema es compatible indeterminado tiene múltiples soluciones 7 b
- 22. 7 b) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas y además es homogéneo Por ser homogéneo, sabemos que los rangos no pueden ser diferentes, luego los rangos son iguales ´)()( AA rr Por la condición de la consigna, al ser el número de ecuaciones menor que el número de incógnitas, necesariamente el rango es menor que el número de incógnitas incógnitasdenrr AA º´)()( Entonces el sistema es compatible determinado, al ser homogéneo, admite múltiples soluciones diferentes de la trivial
- 23. BIBLIOGRAFÍA •Garcia Venturini, A. E. (1993).ALGEBRA con Aplicaciones Económica. - Bs.As. - Argentina.Editorial Secretaría de Cultura C.E.C.E. UBA •GILBERT STRANG. Algebra Lineal. Madrid – España. Ediciones Pirámides. •Rojo, A. (1973). Álgebra I y II. (11° edición). Bs As – Argentina. Ed. El Ateneo. •Stanley I. Grossman (2008). Álgebra Lineal. (6º Ed.).México. Editorial McGRAW-HILL. •Seymour Lipschutz. Álgebra Lineal. Editorial McGRAW-HILL. COMPLEMENTARIA •Howard, A. (2000).Introducción al álgebra lineal. México. Noriega Editores. •Kleiman, A. y de Kleiman, Elena K. (1.991) Matrices, aplicaciones matemáticas en economía y administración. México. Ed. Noriega- Limusa. •.
- 24. Lograremos cosas importantes Algún día en cualquier parte, en cualquier lugar indefectiblemente te encontrarás a ti mismo, y esa, sólo esa, puede ser la más feliz ó la mas amarga de tus horas. Pablo Neruda Yo creo bastante en la suerte. He constatado que cuanto más trabajo, mas suerte tengo. Thomas Jefferson