2 matrices

Unidad 8. Matrices
157
TEMA 8. MATRICES.
1. Definición de Matrices y tipos de Matrices
2. Operaciones con Matrices
2.1. Igualdad de Matrices
2.2. Suma de Matrices
2.3. Producto de una Matriz por un número (escalar)
3. Producto de Matrices
4. Transposición de Matrices. Matrices simétricas y antisimétricas
5. Matriz inversa
5.1. Definición.
5.2. Cálculo
6. Resolución de ecuaciones matriciales

Unidad 8. Matrices
Contexto CCCooonnnttteeexxxtttooo ccccoooonnnn llllaaaa PPPP....AAAA....UUUU....
En este tema comienza el Bloque II de Álgebra Lineal. Por lo general en los exámenes
de la P.A.U. suele haber un problema relacionado con la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales, que veremos en el tema 10, y una o dos cuestiones relativas a:
• resolución de ecuaciones matriciales, este tema
• dada una matriz A cálculo del valor de An , este tema
• cálculo de determinantes, tema 9
• comprobar si una matriz es inversible o no, tema 9
Por lo general tanto el problema como las cuestiones relativas a este bloque que ahora
empezamos suelen ser metódicas, y por tanto sencillas.
158 Apuntes de Matemáticas II (2ºBachillerato) para preparar el examen de la PAU (LOE)

Unidad 8. Matrices
1. Definiciones de Matrices y tipos de Matrices
El concepto de Matriz es sencillo, es una tabla con m filas y n columnas de números
reales ordenados (m,nÎN). Veamos una definición más matemática de las matrices
Definición: se llama matriz de dimensión mxn al conjunto de números reales dispuestos
en m filas y n columnas de la siguiente forma:
Diagonal secundaria i+j=4+1=5
159

=
11 12 1
n
n
...
a a a
...
a a a
21 22 2
... ... ... ...
a a a
m m mn
A
...
1 2
con aij=elemento de la matriz A situado en la fila i y columna j
Muchas veces la matriz A se denota también como A=(aij)
Definición: El conjunto de todas las matrices con m filas y n columnas se denota como
Mnxm(R).

4 5 6
Así A=

1 2 3
AÎM2x3(R)
Definición: dimensión de una matriz es el número de filas y columnas de la misma, en
el ejemplo anterior, A es de dimensión 2x3
Tipos de matrices:
1. Matrices cuadradas: son las matrices que tienen igual número de filas que de
columnas (m=n), y que como veremos son las únicas que pueden multiplicarse entre
si. El conjunto de todas las matrices cuadradas con n filas y columnas se denotan
como Mnxn(R) o Mn(R).

1 − 2
Ejemplo: B=

2 1
, BÎM2x2(R) ó BÎM2(R)
Elementos de las matrices cuadradas:
a. Diagonal principal: elementos de la forma aii, es decir en la diagonal que
va desde a11 hasta ann
b. Diagonal secundaria: elementos de la forma aij donde i+j=n+1, es decir
los elementos en la diagonal que va desde a1n hasta an1

1 2 3 4
5 6 7 1
8 9 0 −
1
2 3 5 6
− − − −
Diagonal principal i=j
2. Matrices triangulares superiores e inferiores: son las matrices cuadradas tal que:

Unidad 8. Matrices
a. Superior: elementos debajo diagonal de la principal son nulos aij=0 si ij
b. Inferior: elementos encima de la diagonal principal son nulos aij=0 si ij
2 0 0
4 1 2

−

= −

A triangular erior B 1 2 0
triangular inf erior
3 4 5
sup
0 3 1
0 0 8

−
=

3. Matrices diagonales: matrices cuadradas donde todos los elementos fuera de la
diagonal son cero.

2 0 0 0
0 3 0 0
0 0 10 0
0 0 0 −
5
−
=
D
4. Matriz escalar: matriz diagonal en el que todos los términos de la diagonal son
iguales:

=

2 0 0
0 2 0
0 0 2
E
5. Matriz unidad o matriz identidad: matriz escalar cuyos elementos son 1. Se denota
como I o Id:

I Id2 (matriz identidad de orden 2)

= =
1 0
0 1


= =
1 0 0
0 1 0
0 0 1


= =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
6. Matriz columna: toda matriz con una sola columna Mmx1(R)

C CÎM3x1(R)

1
2
−
=
3
7. Matriz fila: toda matriz con una única fila M1xn(R)

Unidad 8. Matrices
161
F = (1 −1 3) FÎM1x3(R)
Anotaciones:
• Toda matriz diagonal es triangular, tanto superior como inferior, pues los
elementos por encima y por debajo de la diagonal son nulos.
• Toda matriz escalar es diagonal.
• La matriz identidad es una matriz escalar.
Ejercicio 1. Escribir matrices de los siguientes tipos:
a) De dimensión 3x2
b) Cuadrada de dimensión 4
c) Triangular inferior de dimensión 3
d) Diagonal de dimensión 4
e) ¿Qué tipo de matriz es de dimensión 1x1? Pon un ejemplo. ¿Cuál será la matriz
identidad de dimensión 1?
Solución:
a.

7 1
2 3
4 7
b.

1 2 3 4
5 6 7 8
9 1 0 1
−1 1 −1 − 2
c.

1 0 0
2 10 0
− 3 8 11
d.

1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
e. 1 fila y una columna los números reales M1x1(R)=R, ejemplos 2,-1.3,
y la identidad es 1.
Ejercicio 2.Decir que tipo de matrices y de que dimensión son las siguientes matrices:

Unidad 8. Matrices
a)

3 2 1
0 4 7
0 0 − 2
b)

7
1
1

−
0

2 1 1

−
−
c)

3 4 0
d)

7 0 0
0 7 0
0 0 7
a. Matriz cuadrada, triangular superior, dimensión 3x3(M3x3(R)) o cuadrada de
dimensión 3.
b. Matriz columna de dimensión 4x1 (M4x1(R))
c. Matriz rectangular de dimensión 2x3 (M2x3(R))
d. Matriz cuadrada, escalar de dimensión 3x3 (M3x3(R)) o simplemente matriz
cuadrada de dimensión 3.
2. Operaciones con matrices
2.1 Igualdad de matrices
Definición: dos matrices M y N se dicen que son iguales (M=N) si se cumplen:
- misma dimensión
- elementos que ocupan el mismo lugar son iguales.
2.2 Suma de matrices
Solo se pueden sumar matrices de la misma dimensión, veamos en qué consiste la suma
de matrices:
Definición: la suma de dos matrices de dimensión A y B es otra matriz que se denota
como A+B con misma dimensión que las otras dos y definida como
A+B=(aij)+(bij)=(aij+bij). Es decir A+B se obtiene sumando los elementos que ocupan la
misma posición en las dos matrices que suman.
Veamos un ejemplo de dos matrices A,BÎM2x3(R)

a + b a + b a +
b

+

11 11 12 12 13 13
b b b
11 12 13
a a a
11 12 13
A+B=

a + b a + b a +
b
=

21 21 22 22 23 23
b b b
21 22 23
a a a
21 22 23
Propiedades de la suma de matrices: como la suma de matrices definidas a partir de la
suma de números reales cumple las mismas propiedades que estos, es decir:
- Asociativa: A+(B+C)=(A+B) +C
- Elemento neutro A+0=A, con O la matriz de igual dimensión que A con todos
sus coeficientes iguales a cero
- Elemento opuesto: A+(-A)=0, con (-A)=(-aij) es decir los elementos opuestos a
los de la matriz A.
- Conmutativa: A+B=B+A
Ejemplo de elemento opuesto:

Unidad 8. Matrices
163

3 1 4
− −
− −

= −

3 1 4
−
=

A A

0 1 2
,
0 1 2
2.3 Producto de una matriz por un número (escalar)
Definición: Sea kÎR (escalar) y A=(aij) una matriz de dimensión mxn (AÎMmxn(R)).El
producto de k por A es otra matriz k·A de misma dimensión tal que:
k·A=k(aij)=(k·aij), es decir la matriz k·A se obtiene de multiplicar por k cada elemento
de la matriz A.
Ejemplo: AÎM3x3(R):

=

ka ka ka
11 12 13
ka ka ka
21 22 23
31 32 33
a a a
11 12 13
a a a
21 22 23
31 32 33
·
ka ka ka
a a a
k
Propiedades:
- k(A+B)=kA+kB

+

1 2
1 0
3·

1 4
0 3

+

3 6
3 0
=

3 12
0 9

3 21

=

6 6

1 7
=3·

2 2
- (k+t)·A=k·A+t·A
- k(tA)=(kt)·A
- 1·A=A
Ejercicio 3: sacar factor común un escalar de las siguientes matrices de forma que éstas
se simplifiquen
1 2 1

−

=

4 8 4
−
=

0 1 4
3 0 0
4·
0 4 16
12 0 0
A

2 6 1

−

1
1
3
1
= B

−
=

−
−
2 3 2
8
1
4
3
8
1
4
8
4
4

3 1

−

=

36 12

−

=
4 4
12·
48 48
C
D=

=

1 0 0
0 1 0
0 0 1
11·
11 0 0
0 11 0
0 0 11
=11·Id
Nota: siempre que de forma sencilla se pueda sacar factor común, simplificando la
matriz, se recomienda sacar éste, ya que se simplifican los cálculos, especialmente en la
multiplicación de matrices, como veremos en el apartado siguiente.

Unidad 8. Matrices
Ejercicio 4: Calcular el valor de a, b, c y d:

2a=a+5 a=5
2b=7+a+b b=12
2c=-2+c+d c=d-2 c=-6
2d=3d+4 d=-4
Ejercicio 5: dadas las matrices A, B y C calcular las siguientes operaciones:

−
−

4 0

− −

1 1
−
1 2
A=

=

B C

=

2 3
1 2
0 1

5 1

−
− −
a) A+B=

1 1

2 3
− −
3 0

b) A-B-C=

29 −
15
c) 3A+5B-6C=

7 −
25
Ejercicio 6: resolver los siguientes sistemas
a)

1 2 2

−

−

2 1 0
4 3 2
− − −
X Y
+ =
(1) 2
(2) 3
X Y
− =
1 0 1

1 2 2

− 2 1 0

Llamemos A=

−

4 3 2
− − −
1 0 1
y B=

9 8 6

0 1 − 2

1
(1)-2·(2) Y+6Y=A-2B Y=1/7(A-2B)=

7

−
1 3 4
−
7 3 1
1
X=B+3Y=

7
b)

X Y
+ =
X Y
− =
2 1
3 0
6 2
0 1
(1)
(2)

2 1

3 0
Llamamos A=

6 2

0 1
y B=


Unidad 8. Matrices
165

3 1
1
(1)+(2) 2X=A+B X=1/2(A+B)=

8 3
2

4 1
− −
3 1
1
Y=A-X=

−
2
c)

3 1
1 0

−

X Y
+ =

−
+ =
2 4
(2) 2
0 2
(1) 2
X Y

0 − 2
Llamamos A=

3 1

− 2 4
y B=

1 0

1 1
1
(1)-2(2) -3Y=A-2B Y=-1/3(A-2B)=

−
−
4 10
3

2 − 8
1
X=B-2Y=

5 2
3
3. Producto de Matrices
El producto de matrices es una operación más compleja que las anteriores. Para poder
multiplicar dos matrices es necesario que el nº de columnas de la primera matriz del
producto sea igual al nº de filas de la segunda matriz. Veamos la definición del producto
de matrices:
Definición: El producto de la matriz A=(aij)ÎMmxn y B=(bij)ÎMnxp es otra matriz
C=A·BÎMmxp, con igual nº de filas que A y de columnas que B, tal que el elemento de
la matriz C que ocupa la fila i y columna j, cij se obtiene multiplicando la fila i-esima de
la primera matriz con la columna j-ésima de la segunda.
Resulta más sencillo comprender el producto de matrices a partir de varios ejemplos:

−
−
−
=

1·1 + 2·0 + 3·( −
1)
4·1 + 5·0 + 6·( −
1)
+ + −
=

1
·

0
−

2
2
2
7·1 8·0 9( 1)
1
1 2 3
4 5 6
7 8 9
3x3 3x1 3x1

Unidad 8. Matrices

8 −
8
17 −
14

=

1·1 + 2( − 1) + 3·3 1·0 + 2·2 + 3·( −
4)
4·1 + 5·( − 1) + 6·3 4·0 + 5·2 + 6·( −
4)
=

1 0
·

−

1 2
3 −
4

1 2 3
4 5 6
2x3 3x2 2x2

1 2 3
·

4 5 6
1 2 3
4 5 6
7 8 9
No se puede multiplicar, pues la primera matriz tiene 3 columnas y la segunda 2 filas.
Nota: Veamos la utilidad de sacar factor común en el producto de matrices con un
ejemplo:

0 1500
1500 −
1500

=

50·0 + 30·0 50·30 + 0·( −
90)
100·0 + 30·50 30·100 + 50·( −
90)

=

0 30
·

30 −
90

50 0
100 50

1·0 + 0·1 1·1 + 0·( −
3)

0 1
0 1
1 0
Más simple

1 −
1
=

1500

0·2 + 1·1 1·2 + 1( −
3)
=

·30

1 −
3

50

1500
2 1
Ejercicio7: ver todos los productos posibles con las siguientes matrices y calcularlos:
A=

1 2 3
1 1 1
0 1 −1

, B=

1
2
1

2 1 0

3 4 5

, C=

AÎM3x3, BÎM3x1, CÎM2x3, solo posibles los siguientes productos:
A·B=

=

8
4
1 4 3
1 2 1
1
·
2
1 2 3
1 1 1
0 1 1
− 1

0 2 1

+ +
+ +
+ −
=

1
3x3 3x1 3x1

=

2 + 1 + 0 4 + 1 + 0 6 + 1 +
0

1 2 3
·

3 5 7
2 1 0
C·A=

3 + 4 + 0 6 + 4 + 5 9 + 4 −
5
=
1 1 1
0 1 1

−

7 15 8
3 4 5
2x3 3x3 2x3

=

2 + 2 + +
0

1
·

1
4
2 1 0
C·B=

4·

=

3 + 8 +
5
=

4
16
2
1
3 4 5
2x3 3x1 2x1

Unidad 8. Matrices
167
Ejercicio 8: multiplicar A·B y B·A, ¿Qué ocurre?
A=

1 2 3
4 5 6
7 8 9
B=

1 0 1
−

2 0 0
1 2 3
1 2 3

A·B= 4 5 6
·
7 8 9

1 0 1
−

2 0 0
1 2 3
=

8 6 8
20 12 14
32 18 20
B·A=

1 0 1
−

2 0 0
1 2 3
1 2 3

· =

4 5 6
7 8 9

6 6 6
− − −

2 4 6
30 36 42
Nota: en las matrices cuadradas, no siempre cumplen que A·B¹B·A, es decir no se
cumple la propiedad conmutativa del producto de matrices. Existen algún tipo de
matrices que si conmutan, A·B=B·A, si esto ocurre se dice que A y B conmutan
Ejercicio 9: Calcular A2-B2, (A+B)2 y (A-B)2 siendo A y B las siguientes matrices:
A=

1 2 0
0 1 1
2 1 −1
, B=

0 1 2

−
0 2 1

1 1 0
a) A2=

=

1 2 0
·

0 1 1
−

1 4 2
2 2 0
1 2 0
0 1 1
− 2 1 1
0 4 2
2 1 1
nótese que no coincide con elevar al
cuadrado cada término de A
B2=

−
1 5 2
1 0 2
− −
−
=

0 1 2
·
−

0 1 2

−

2 4 1
1 1 0
0 2 1
1 1 0
0 2 1
A2-B2=

1 4 2
2 2 0
0 4 2
-

−
1 5 2
1 0 2
− −
−
2 4 1
=

2 1 0
−

3 2 2
2 0 1
b) (A+B)2=(A+B)·(A+B)=

2 15 5
= −

−

1 3 2
·
−

1 3 2

−

1 4 0
1 12 7
1 2 1
2 3 0
1 2 1
2 3 0
c) (A-B)2=(A-B)·(A-B)=

2 3 3
3 0 −
4
−
− −
=

1 1 2
·

−
1 0 1
− −

1 1 −
2
1 0 1
− −
3 4 1
2 1 2
2 1 2

Unidad 8. Matrices
Nota: al no ser conmutativo el producto de las matrices se cumple que las igualdades
notables no son ciertas cuando A y B son matrices
(A+B)2=A2+B2+AB+BA¹A2+B2+2AB
(A-B)2=A2+B2-AB-BA¹A2+B2-2AB
Ejercicio 10: Calcular los valores de x e y que verifican las siguientes igualdades:

=
1

x y

0 0
x
a)

·

0 0
3 4
2
y

=

x y x x y x

3 4
+ +
2 3 2 4
x + y y +
y

=

·

0 0
0 0
3 4
1
2
x
y

4 x
=
0
4 0
y x
+ =
2 x + 3 y
=
0
6 y
=
0
x=y=0

=

−

0 0
2
5
x
x
b)

·
2

−

0 0
5
y
y

=

0 10
10 −
0
−

=

5 5 10
x x xy
− + −
10 2 2
xy y y
− −

=

x
·
2

2
−
−

0 0
0 0
x
5
5
xy
xy
y
y

10-xy=0 x·y=10
Ejercicio 11. Decir si son verdaderas o falsas las siguientes identidades para A y B
cualquier matriz:
a) (A+B)2=A2+B2+2AB Falsa AB¹BA (A+B)2=A2+B2+AB+BA¹A2+B2+2AB
b) (A-B)2=A2+B2-2AB Falsa AB¹BA (A-B)2=A2+B2-AB-BA¹A2+B2+2AB
c) (A+B)(A-B)=A2-B2 Falsa AB¹BA (A+B)(A-B)=A2-B2-AB+BA
Ejercicio 12: Calcular las matrices que conmuten con la matriz A y B, siendo:
A=
, B=

a) Si conmutan se cumple que AX=XA

x x +
y
z z +
t

=

+ +

®

· ·

=

x z y t
z t
x y
z t
x y
z t
1 1
0 1
1 1
0 1

Î

,
1 1
conmuta con x y R
x y
x
0, ,
z x t y cualquiera
x + z =
x
y + t = x +
y
z =
z
t z t

= = ®

= +
0 1
0

Unidad 8. Matrices
a b c 0 0 0
a b c

0 0 0
1 0 0
169
b) Si conmutan se cumple que BX=XB

+ + +
=

b +
c c
e +
f f
+
®

=

0 0 0
·

a d b e c f
h i i
a b c
d e f
g h i
d e f
g h i
0
0
0
·
0 0 0
1 0 0
1 1 0
1 0 0
1 1 0

conmuta con a d g R
a
0 0
d a
g d a
c b f e a i d h
b c
+ =
=
0
e + f =
a
f =
b
=
0
h + i = a +
d
=
i = b +
e
c f
c
c
Î

® = = = = = = ®

= +
, ,
1 1 0
0
0, 0, 0, ,
0
0 0
0
Ejercicio 13. Sea A=

calcular An. Calcular A50, A97

Veamos lo que vale A2, A3, y a partir de sus valores busquemos el valor de An:

A2= = − Id

1 0
−
−

=

0 −
1
·

0 1
−

0 1
1 0
1 0
A3=A·A2=A·(-Id)=-A
A4=A2·A2=(-Id)(-Id)=Id
A5=A4·A=Id·(A)=A
…
An=

1 4 4 1
A n = +
k el resto de dividir n entre es
2 4 4 2
Id n k el resto de dividir n entre es
− = +
3 4 4 3
A n k el resto de dividir n entre es
− = +
=
4 4 0
Id n k el resto de dividir n entre es
Así A50=-Id, ya que el resto de dividir 50 entre 4 es 2.
A97=A, ya que el resto de dividir 97 entre 4 es 1
Ejercicio 14: Sea A=

calcular An.
a) A=

b) A=

c) A=

a)

Unidad 8. Matrices

A A

=

1 + 1 1 +
1
1 + 1 1 +
1

=

1 1
·

=
2
1 1
1 1
1 1
3 2 2
2 2
2 2
· 2 · 2· 2·2· 4·
A A A A A A A A
= = = = = =

4 3
· 4· · 8·
A = A A = A A =
A

2 ·
A n n −
A
1
= =

=

1 1
2 2
n n
− −
1 1
2 2
n n
− −
2·
2 2
2 2
2 2
...
2 2
b)
A
A A A
A A A
...
A
c)

1 2 1
1 2
0 1
+
=

0 1
1 3 1
1 1
·
0 1
+
=

=

0 1
1 1
·
0 1
1 0 1
·

1 1
·

0 1
1 2
0 1
1 3
0 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1
1 0 2
0 1 0
0 0 1

=

1 1
0 1
·
2
3 2
= =
·
4 3
= =

1
n
0 1
·

=

n
A A A
= =
·
2
3 2
A A A
= =

=

1 3
0 1
1 4
0 1

=

=

=

1 0 2
0 1 0
0 0 1

=

0 1 0
0 0 1

1 0 1
·

1 0
n
0 1 0
0 0 1
...
1 0 3
0 1 0
0 0 1
0 1 0
0 0 1
A
n


Unidad 8. Matrices
Ejercicio 15. Sea A una matriz que conmuta con B y C. Demostrar que es cierta la
igualdad (B·C)·A=A·(B·C)
Si A y B conmutan A·B=B·A
Si A y C conmutan A·C=C·A
(B·C)·A=B·(C·A)=B·(A·C)=(B·A)·C=(A·B)·C=A·(B·C)
Ejercicio16 ¿Es posible que para dos matrices A y B no cuadradas puedan existir A·B y
B·A?
Sea AÎMmxn(R) y BÎMpxq(R).
Si existe A·B n=p
Si existe B·A q=m
Sólo existe A·B y B·A si AÎMmxn y BÎMnxm. Un caso particular es cuando m=n, es
decir las dos matrices son matrices cuadradas.
4. Transposición de Matrices.Matrices simétricas y antisimétricas
Definición: sea una matriz AÎMmxn(R) se llama matriz transpuesta y se escribe como
At
171
ÎMnxm(R) que resulta de cambiar las filas por las columnas.
Ejemplos:

=

1 2 3
A =
A
t

1 4
2 5
3 6
4 5 6
(1 2 3)
1

B = 2
B
t 3
=

=

t C C

=

1 4 7
2 5 8
3 6 9
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Propiedades:
1. (At)t=A
2. (A+B)t=At+Bt
3. (k·A)t=kAt
4. (A·B)t=Bt·At

Unidad 8. Matrices
Las transposiciones de matrices nos permiten definir dos tipos de matrices: simétricas y
antisimétricas. Definámoslas:
a) Matriz simétrica: es toda matriz cuadrada AÎMnxn(R) tal que coincide con su
transpuesta At A=At, es decir los elementos simétricos respecto a la
diagonal son iguales, veamos un ejemplo de dimensión 3:

=

A t

=

a x y
x b z
y z c
A
a x y
x b z
y z c
b) Matriz antisimétrica: es toda matriz cuadrada AÎMnxn(R) tal que coincide con
el opuesto de su transpuesta -At A=-At, es decir los elementos simétricos
respecto a la diagonal son opuestos, y los de la diagonal son cero. Veamos un
ejemplo de dimensión 3:
A
x y

− −

0
0
0
0
0
0
A t x z
= −
y z
x y
x z
y z
A
x y
x z
y z

= − −

− −

−
=

= −

− −
0
0
0
Ejercicio 17. Demostrar las propiedades de matrices traspuestas a partir de las
siguientes matrices:

1 2
−
3 4

A=

1 3

4 5

y B=

1 3 t

−
=
−
=
1 2
P1: ( )

3 4
2 4
t t A

1 4

=

+

−
= + =

t t
0 5

=

=

1 3

1 2

+

−

0 7
1 3
0 7
P2:

( ) t t
t A B A B

4 5

+ =
5 9
3 5
2 4
5 9
7 9
3 4

−
=
−

t t

−
=

−
=

−
3
k k
3
k k
2
k k
1 3
1 2
P3: (k·A)t=

= «

k t

2 4
k k
kA k
2 4
k k
3 4
k k
2 4
3 4

=
−

t t
1 2 t t

« =

=

=

1 3
·

−
7 19
1 3
1 4
7 19
7 7
P4:(A·B)t=
7 29

·

19 29

2 4
3 5
·
7 29
4 5
3 4
B A

Unidad 8. Matrices
173
Ejercicio 18: Escribir una matriz simétrica y antismétrica de dimensión 2,3 y 4.

0 2

−

0 2 3
= −

2 0 9
0 1 2 3
−

1 0 4 5
2 4 0 6
− −
− − −
simétrica S antismétrica A
simétrica S antismétrica A
=

=
1 2
1 2 3

= −

=

− −

=

3 5 6 0
2 3 9
1 3 4 5
3 3 6 2
4 6 2 0
5 2 0 7
3 9 0
3 9 5
2 0
2 4
simétrica S antisimétrica A
Ejercicio 19. Encontrar todas las matrices A antisimétricas y S simétricas de orden 2
que verifican A2=Id y S2=Id

−

Si A es antisimétrica de orden 2 entonces es de la siguiente forma =

0

0
x
x
A , xÎR

=

−
−

=

−

−

=
1 0
0 1
0
0
0
0
·
0
0
2
2
2
x
x
x
x
x
x
A -x2=1 imposible, es decir no hay
ninguna matriz antismétrica de orden 2 que al cuadrado sea igual a la Id.

=
y x
Si S es simétrica de orden 2 es de la siguiente forma
S , x,y,zÎR

x z

S

=

2 2
x + y yx +
xz
+ +

=

=

1 0
0 1
y x
· 2 2
2
yx xz x z
x z
y x
x z

2 2
(1) x + y
=
1
2 2
(2) x + z
=
1
(3) yx + xz
=
0
de la ecuación 3 obtenemos x(y+z)=0 x=0 o y=-z
caso 1: x=0 y= ±1 , z= ±1

1 0
−
−

=

S1 S2 S3 S4

1 0
−
−

=

1 0
−

=

=

0 1
,
0 1
,
0 1
,
1 0
0 1
caso 2: y=-z x2+y2=1 x=± 1− y 2

5 1

y − −
y
− − −

=

y −
y
− −
=
y y
S
y y
S
2
2
2
2 6
1
,
1
1 se cumple siempre que -1OyO1
(radicando positivo).

Unidad 8. Matrices
Ejercicio 20. Descomponer toda matriz cuadrada como suma de una matriz simétrica y
otra antisimétrica
Sea BÎMnxn la matriz cuadrada, veamos las siguientes matrices:
S=
B + Bt
2
demostremos que es simétrica St=
t

+
B B t B t
+
B =

2 2

=S
A=
t B − B
2
t

−
B B t
B t −
B B −
Bt
demostremos que es antismétrica At= = −
= −
A
=

2 2 2
Tendremos que comprobar que la suma de A y S suman B:
A+S=
t B − B
2
+
t B + B
2
=B
5. Matriz inversa
5.1 Definición
Definición: la matriz inversa de una matriz cuadrada AÎMnxn(R) es otra matriz
cuadrada de misma dimensión que se denota como A-1
ÎMnxn(R) tal que se cumple:
A·A-1=A-1·A= Id con IdÎMnxn(R)
No todas las matrices cuadradas tienen inversa, así las matrices que tiene inversa se
llaman matrices regulares y las que no tienen inversa se denominan matrices
singulares.
5.2 Cálculo de la inversa
El método más sencillo para el cálculo de la inversa lo veremos en el tema siguiente,
cuando definamos el determinante de las matrices.
Para matrices 2x2 podemos calcular la inversa a partir de la definición:
Ejemplo:
1 0
0 1

=

x y
z t
x y
z t

=

=

A A
A A

2 2
3 7

=

=

1
−
·
2 2
3 7
·
1
2 2 2 2
x + z y +
t
3 7 3 7
x + z y +
t

−

1 0
0 1
Tenemos 4 ecuaciones con 4 incógnitas, que podemos agruparlas en dos sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas:
(1) 2x+2z=1
(2) 2y+2t=0
(3) 3x+7z=0
(4) 3y+7t=1

Unidad 8. Matrices
175
Los sistemas son:
(1) 2x+2z=1
(3) 3x+7z=0
(2) 2y+2t=0
(4) 3y+7t=1

7 2

−
1 1 A
Las soluciones son x=7/8, y=-1/4, z=-3/8 y t=1/4, con lo que

−
= −
3 2
8

=

1 0
8 0
1
Comprobación: A·A-1= Id =

0 1
0 8
8
Ejercicio 21. Calcular la inversa de las siguientes matrices

=
0 1
a)

= −
x y

2 0
A 1
A

2 0

z t

0 1

z t
·

x y

=

1 0
z t
=

0 1
2x 2y
(1) z=1
(2) t=0
(3) 2x=0
(4) 2y=1

= −
0 1
1
1
1 0 A
Solución x=t=0 y=1/2 z=1

=

2 0
2
2
1 0

=

1 0
2 0
1
Comprobación: A·A-1= Id =

0 1
0 2
2

=
1 2
b)

= −
x y

3 4
A 1
A

3 4

z t

1 2

z t
·

x y

=

2 2
x + z y +
t
1 0
=

+ +
0 1
3 4 3 4
x z y t
(1) x+2z=1
(2) y+2t=0
(3) 3x+4z=0
(4) 3y+4t=1
(1) x+2z=1
x=-2, z=3/2
(3) 3x+4z=0
(2) y+2t=0
y=1, t=-1/2
(4) 3y+4t=1

4 2
−
−

=

2 1 A
1

−
−
= −
3 1
1
2
3/ 2 1/ 2

Unidad 8. Matrices

=
1 2
c)

= −
x y

1 2

4 8
A 1
A

4 8

z t

z t
x y
·

=

2 2
x + z y +
t
1 0
=

4 8 4 8
x + z y +
t
0 1
(1) x+2z=1
(2) y+2t=0
(3) 4x+8z=0
(4) 4y+8t=1
(1) x+2z=1
no solución
(3) 4x+8z=0
(2) y+2t=0
no solución
(4) 4y+8t=1
Luego la matriz A no tiene inversa, por lo que es una matriz singular .
6. Resolución de ecuaciones matriciales
6.1 Definición
Definición: son ecuaciones algebraicas donde los coeficientes y las incógnitas son
matrices.
Ejemplos

2 1

−

−
1
(PAU JUN 2004 PRUEBA A, C-4) X·B+B=B-1 siendo B=

1 2
3
(PAU SEP 2004 PRUEBA B, C-1) P-1·B·P=A siendo
1 0 0

0 1 0
0 0 2

−
−
=
1 1 1

,
1 0 1
P A
0 1 1

= −

−
6.2 Resolución de ecuaciones.
Tenemos que obtener la matriz incógnita, que generalmente se denota como X,
despejándola de la igualdad. Para conseguirlo tenemos las siguientes reglas:
1) Si una matriz está sumando a un lado de la igualdad pasa restando al otro lado
de la igualdad y al revés.
X+B=C X=C-B
X-B=C X=C+B

Unidad 8. Matrices
2) Si multiplicamos una matriz por la izquierda a un lado de la igualdad también lo
tenemos que hacer en el otro lado de la igualdad por la izquierda. Igual por la
derecha.
A·X=B A-1·A·X=A-1·B Id· X=A-1·B X=A-1·B
X·A=B X·A·A-1=B·A-1 X·Id=B·A-1 X=B·A-1
− multiplicamos porB aladerecha 1 X·B·B-1=(B-1-B)·B-1
177
Ejemplo: veamos la resolución de los dos anteriores ejemplos:
(PAU JUN 2004 PRUEBA B, C-4)
X·B+B=B-1
¾¾¾¾¾¾¾® pasamos B otro miembro X·B=B-1-B¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®
X·Id=(B-1-B)·B-1 X=B-1· B-1-B· B-1= B-1· B-1-Id

1 2
Calculando B-1 tenemos que B-1=

2 1

1 2
con lo que X=

2 1

1 2
·

2 1

0 1
-

1 0
=

4 5
= −

5 4

0 1

1 0
4 4

= 4
4 4
=

1 1

1 1
(PAU SEP 2004 PRUEBA B, C-1)
P-1·B·P=A ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾® multiplicamos por P por la izquierda P·P-1·B·P=P·A Id·B·P=A·P B·P=P·A
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®
− multiplicamos por P por la derecha 1 B·P·P-1=P·A·P-1 B=P·A·P-1
Calculando

1 1 P tenemos que la matriz B buscada es:

1 2 1
1 1 −
2
−
= −
1 1 1
3
B=

1 2 1
1 1 −
2
−

1
·

1 0 0
0 −
1 0
−
1 1 1

1 0 1

−
−
1 1 1
3
0 0 2
·
0 1 1
=

=

0 1 1
1 0 1
1 1 0
0 3 3
3 0 3
3 3 0
1
3
Ejercicio 22: Las matrices A tal que A2=A se llaman idelpotentes, calcular las matrices
idelpotentes de orden 2

=

A 2 2

a + b ba +
bc
+ +

=

=

=

a b
b c
ab bc c b
a b
b c
a b
b c
A
a b
b c
2 2
2 ·

2 2
a + b =
a
ba + bc =
b
ba + bc =
b
2 2
c + b =
c
(1)
(2)
(3)
(4)
(2) y (3) son iguales b=b(a+c) caso 1: a=1-c ; caso 2 b=0

Unidad 8. Matrices
Caso 1 a=1-c
Sustituyendo en (1) (1-c)2+b2=(1-c) b= ± c − c2

1 c c c
2
− ± −
c c c
A=

± −
2
cÎ[0,1] (que son los valores de c donde el radicando es
positivo)

1 c c c
2
− −
c c c
A1=

−
2

1 c c c
2
− − −
c c c
, A2=

− −
2
Caso 2 b=0
Sustituyendo en (1) a2=a a=1,0
Sustituyendo en (4) c2=c c=1,0
Esto nos genera 4 soluciones:

0 0

0 0

A3=

1 0

0 1

, A4=

0 0

0 1

, A5=

1 0

0 0

, A6=

Ejercicio 23. Sea A la matriz

. Calcular k tal que se cumpla la
siguiente igualdad (A-kId)2=0
(A-kId)=

k
1 2
− − −
1 k
2
− − −
−
k
1 1 3
1 2
k
− − −
1 k
2
− − −
−

1 1 3

=

( A kI
)

1 2
k
− − −
1 k
2
− − −
−
2
− =
1 1 3
2
k
1 2 2 4 4
k k k
− − −
2
2
2 k − 2 k − 1 4 k
−
4
=
2 2 2 2 5 6
k k k k
− + − + − +
=
=

·

1 2
k
− − −
1 k
2
− − −
−

0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 3
2
k
k
Tenemos 9 ecuaciones con una incógnita, todas las ecuaciones tienen una solución
común k=1. Si la solución fuera distinta en alguna otra ecuación no tendría solución

2 matrices

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