Matrices y sus Aplicaciones.pdf

MATRICES
Y
APLICACIONES
Prof. Esperanza Vélez, MS.
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico en Bayamón

2
PREPRUEBA
I. En los ejercicios 1 a 9, seleccione la respuesta correcta.
1) El tamaño de la matriz
3 2
1 0
4 5
−
 
 
−
 
 
 
es
a) 2 3
×
b) 3 2
×
c) 6 1
×
d) 1 6
×
2) En la matriz
3 0 7
4 2 4
1 5 8
A
 
 
= −
 
 
−
 
el elemento 32
a es
a) 4
b) 4
−
c) 8
d) -5
3) Si
2 3
1 4
7 2
A
 
 
= −
 
 
 
y
4 3
2 1
8 3
B
−
 
 
= −
 
 
−
 
entonces 2
A B
+ es igual a
a)
5 2
3 2
9 10
−
 
 
 
 
−
 
b)
6 9
3 2
9 8
−
 
 
 
 
−
 
c)
5 8
8 3
14 13
−
 
 
−
 
 
−
 
d)
8 5
3 8
13 14
−
 
 
−
 
 
−
 

3
4) Si
3 5 0 2
1 8 4 3
A
−
 
=  
−
 
entonces T
A es
a)
1 8 4 3
3 5 0 2
−
 
 
−
 
b)
3 5 0 2
1 8 4 3
− −
 
 
− − −
 
c)
3 1
5 8
0 4
2 3
 
 
 
 
 
− −
 
d)
1 3
8 5
4 0
3 2
 
 
 
 
 
− −
 
5) Si
0 2
5 3
1 2
A
 
 
= −
 
 
−
 
y
4 8 5
1 2 3
B
 
=  
− −
 
entonces T
A B
− es igual a
a)
4 3
13 1
4 1
−
 
 
−
 
 
−
 
b)
4 1
13 1
4 5
−
 
 
−
 
 
− −
 
c)
1 2
7 5
4 7
−
 
 
− −
 
 
−
 
d)
1 6
3 11
2 3
−
 
 
−
 
 
−
 
6) Si A es una matriz de tamaño 2 3
× , B es 3 5
× , C es 5 3
× y D es 3 2
× ,
¿ cuál de los siguientes productos está definido? .
a) T
AD
b) BA
c) DB
d) T
AC

4
7) Si
5 1 0
0 1 2
A
 
=  
−
 
y
4 0
2 3
1 2
B
 
 
= −
 
 
−
 
, entonces AB es
a)
18 3
4 7
 
 
−
 
b)
20 2 0
0 3 4
−
 
 
− −
 
c)
20 4 0
10 5 6
5 3 4
 
 
− −
 
 
 
d) El producto no está definido.
8) La matriz
1 2 0
2 1 3
0 3 1
 
 
 
 
 
es
a) Triangular superior
b) Triangular inferior
c) Simétrica
d) Diagonal
9) La inversa de la matriz
1 2
3 2
 
 
 
es
a)
1
1
2
1 1
3 2
 
 
 
 
 
 
b)
1 2
3 2
− −
 
 
− −
 
c)
1 1
2 2
3 1
4 4
 
−
 
 
 
−
 
 
d)
1
1
2
1 1
3 2
 
− −
 
 
 
− −
 
 

5
II. Resuelva el siguiente ejercicio.
Un supermercado vende 98 latas de habichuelas, 75 de maíz y 200 de salsa
de tomate el día viernes. El día sábado vende 122 latas de habichuelas, 90 de maíz y
215 de salsa de tomate. Los precios por unidad de cada uno de los productos son
respectivamente, $1.22, $0.65 y $0.25.
1) Escribir una matriz de tamaño 2 3
× que represente la cantidad de productos
vendidos en los dos días.
2) Escribir un vector columna que represente el precio por unidad de cada producto.
3) Hallar el vector columna cuyos elementos muestren los ingresos obtenidos por
concepto de ventas los días viernes y sábado respectivamente.

6
OBJETIVOS
Al finalizar el estudio del módulo, el participante podrá:
1. indicar el tamaño de una matriz.
2. efectuar las operaciones de suma, resta, y multiplicación por escalar de matrices,
siempre que la operación esté definida.
3. determinar si el producto de dos matrices está definido.
4. multiplicar dos matrices siempre que su producto esté definido.
5. identificar una matriz cuadrada como simétrica, diagonal, triangular superior,
triangular inferior o ninguna de las anteriores.
6. hallar la transpuesta de una matriz dada.
7. hallar la inversa de una matriz cuadrada no singular.
8. resolver problemas verbales (sencillos) que involucren operaciones básicas con
matrices.
9. resolver sistemas de ecuaciones lineales usando la inversa de la matriz de los
coeficientes (dado que exista).

7
JUSTIFICACIÓN
Las matrices como una generalización del concepto de número constituyen un tópico
muy importante dentro de las matemáticas, debido a sus aplicaciones tanto en la
matemáticas puras como en las aplicadas.
El desarrollo de la teoría de matrices ha recibido muchas contribuciones a través de la
historia. Primero aparece el término matriz, el cual fue introducido por Sylvester. A
Cayley se atribuyen las operaciones de suma, resta, multiplicación por escalar, producto
de matrices y otras contribuciones. Matemáticos como Hermite, Jacobi, Frobenius y otros
hicieron valiosos aportes en este campo.
La importancia de las matrices es que ellas se han convertido en una herramienta
cotidiana en numerosos campos como estadística, economía, física, biología, gráficas por
computadora, análisis numérico y lenguajes de programación, debido a la gran cantidad
de conceptos que se pueden representar por medio de una matriz. Por otra parte, las
matrices constituyen una herramienta adecuada para tratar de un modo sistemático y
relativamente sencillo, complicados cálculos numéricos y algebraicos que involucran un
gran número de datos.
En tiempos recientes el desarrollo de la teoría matricial está orientado hacia las
aplicaciones.
El propósito de este trabajo es presentar la teoría básica de las matrices, la cual se expone
en cuatro partes: la Parte I contiene el concepto de matriz, notación matricial, igualdad de
matrices y operaciones de suma, resta y multiplicación por escalar; la Parte II contiene la
multiplicación de matrices y potencias enteras positivas de una matriz cuadrada; la Parte
III contiene la transpuesta de una matriz y algunos tipos de matrices cuadradas y la Parte
IV contiene la inversa de una matriz y su aplicación en la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales. Además, se presentan en este trabajo ejemplos que ilustran algunas
aplicaciones de las matrices. Cada una de las partes mencionadas tiene ejercicios
propuestos, para los cuales se provee sus respuestas.

8
CONTENIDO
I. Matrices- Generalidades y Operaciones
Definición
Una matriz A de tamaño m n
× es un arreglo rectangular de números (reales o complejos)
dispuestos en m filas y n columnas, de la siguiente forma:
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
m m mj mn
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
 
La anterior matriz se puede expresar como ( )
i j m n
A a
×
= , en donde ij
a representa el
elemento de la matriz que está en la fila i y en la columna j .
Una matriz que tiene n filas y n columnas, se llama matriz cuadrada de orden n .
Los vectores fila de la matriz A están dados por
1 2
i i i j in
a a a a
 
 
  con 1, 2 , ,
i m
= 
Similarmente, los vectores columna de la matriz A están dados por
1
2
j
j
i j
m j
a
a
a
a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


con 1, 2 , ,
j n
= 

9
Ejemplos:
1. Dada
5 3 1
2 0 1
2
8 0
3
A
 
 
−
 
= −
 
 
 
 
A es una matriz cuadrada de orden 3, en donde 11 5
a = , 12 3
a = , 13 1
a = − , 21 2
a = − ,
22 0
a = , 23 1
a = , 31 8
a = , 32
2
3
a = y 33 0
a = .
2. Escribir una matriz ( )2 3
i j
B b
×
= en donde ( ) ( )
1 2
i j
i j
b i j
+
= − + .
Solución:
( ) ( )
( ) ( )( )
1 1
11 1 2 1 1 1 3 3
b
+
= − + = = ; ( ) ( )
( ) ( )( )
1 2
12 1 2 1 2 1 4 4
b
+
= − + = − = −
( ) ( )
( ) ( )( )
1 3
13 1 2 1 3 1 5 5
b
+
= − + = = ; ( ) ( )
( ) ( )( )
2 1
21 1 2 2 1 1 5 5
b
+
= − + = − = −
( ) ( )
( ) ( )( )
2 2
22 1 2 2 2 1 6 6
b
+
= − + = = ; ( ) ( )
( ) ( )( )
2 3
23 1 2 2 3 1 7 7
b
+
= − + = − = −
Por lo tanto,
11 12 13
21 22 23
3 4 5
5 6 7
b b b
B
b b b
−
   
= =
   
− −
 
 
Además, los vectores filas de B son [ ]
3 4 5
− y [ ]
5 6 7
− − .
Los vectores columna de B son
3
5
 
 
−
 
,
4
6
−
 
 
 
y
5
7
 
 
−
 
.
Diagonal Principal
En una matriz cuadrada n n
A × , los elementos { }
11 22
, , , nn
a a a
 forman la diagonal o
diagonal principal de la matriz.
3. Si
2 1 3
3 1 0
0 4 5
A
 
−
 
= −
 
 
 
 
, su diagonal principal es { }
2 , 1, 5
− .

10
Traza de una Matriz Cuadrada
En una matriz cuadrada n n
A × , la traza de A es la suma de los elementos que forman la
diagonal de la matriz. La traza de la matriz A se denota por ( )
tr A . Es decir,
11 22 33
1
( )
n
nn ii
i
tr A a a a a a
=
= + + + + =

Ejemplo:
La traza de la matriz
1 2 4 5
4 4 3 6
5 6 7 8
0 3 1 2
A
 
 
− −
 
=
 
 
− −
 
, entonces
( ) ( )
( ) 1 4 7 2 2
tr A = + − + + − =
Igualdad de matrices
Dos matrices ( )
i j m n
A a
×
= y ( )
i j m n
B b
×
= son iguales si
i j ij
a b
= con 1, ,
i m
=  ; 1, ,
j n
= 
Es decir, dos matrices del mismo tamaño son iguales si sus elementos correspondientes
(elementos de la misma posición) son iguales.
Ejemplo:
Hallar el valor de cada una de las variables x , y , p y q , para que se satisfaga la
siguiente igualdad
2
6 4
3
3
5 5
x p
x y p q
 
−
 
  =  
  −
 
− +
 
Solución:
Aplicando el concepto de igualdad de matrices, se tiene
3 6
x = − ; 5
x y
− = − ;
2
4
3
p = y 5
p q
+ =
De las anteriores ecuaciones se obtiene que
2
x = − ; 3
y = ; 6
p = y 1
q = − .

11
Operaciones con matrices
1. Suma de matrices
Sean las matrices ( )
i j m n
A a
×
= y ( )
i j m n
B b
×
= , entonces la suma de A y B es la matriz
( ) ( )
i j i j m n
A B a b
×
+ = + ; 1, ,
i m
=  ; 1, ,
j n
= 
Es decir, para sumar dos matrices, éstas deben tener el mismo tamaño y se procede a
sumar los elementos correspondientes.
Ejemplos
1.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 2 6 2 0 4
4 6 0 2 2 4 2 8 4
2 1 2 4 7 5
2 2 7 1 4 5 1 2 2
+ − − + − +
 
− − − −
     
+ = =
 
     
− + + − − +
− − − − − −
     
 
2. Hallar la matriz B tal que A B C
+ = , en donde
4 3
1 4
A
−
 
=  
−
 
y
3 2
2 4
C
−
 
=  
−
 
.
Solución:
Sea 11 12
21 22
b b
B
b b
 
=  
 
, entonces la ecuación matricial A B C
+ = es
11 12 11 12
21 22 21 22
4 3
4 3 3 2
1 4
1 4 2 4
b b b b
b b b b
− + +
− −
   
   
+ = =
   
   
+ − +
− −
   
   
Aplicando el concepto de igualdad de matrices, se tiene
11
4 3
b
− + = − , entonces 11 1
b = ; 12
3 2
b
+ = , entonces 12 1
b = −
21
1 2
b
+ = − , entonces 21 3
b = − ; 22
4 4
b
− + = , entonces 22 8
b =
Por lo tanto,
1 1
3 8
B
−
 
=  
−
 
.
Propiedades de la suma de matrices
a. Clausura
Si se suman dos matrices de tamaño m n
× , el resultado es nuevamente una matriz
m n
× .

12
b. Asociativa
( ) ( )
A B C A B C
+ + = + +
A , B y C son matrices del mismo tamaño.
c. Existencia de la Identidad
Existe una matriz m n
× llamada la Matriz Cero, cuyas entradas son todas iguales a
cero,
0 0
0 0
O m filas
n columnas
  

 
= 
 

 
  

 


con la propiedad A O A
+ = , para cualquier matriz m n
A × . La Matriz Cero es la Identidad
de la suma de matrices.
d. Existencia de la Matriz Opuesta
Para cada matriz ( )
i j m n
A a
×
= existe la matriz ( )
i j m n
A a
×
− = − , con la propiedad
( )
A A O
+ − =
La matriz A
− se llama la matriz opuesta de A .
Ejemplo:
Si
4 2
4
3
5
7 0
A
−
 
 
 
= −
 
 
 
entonces
4 2
4
3
5
7 0
A
−
 
 
 
− = −
 
 
−
 
e. Conmutativa
Si A y B son matrices del mismo tamaño, entonces
A B B A
+ = +
Es decir, el orden en que se suman las matrices no altera el resultado.

13
f. La Traza de una Suma de Matrices
La traza de una suma de matrices es la suma de las trazas de las matrices. Es decir,
( ) ( ) ( )
tr A B tr A tr B
+ = +
Ejemplo:
Dadas las matrices
2 1 5
8 2 3
10 4 2
A
−
 
 
= − −
 
 
−
 
y
6 7 4
8 4 5
7 3 9
B
 
 
= − − −
 
 
−
 
, hallar:
a) A B
+
b) Verificar que ( ) ( ) ( )
tr A B tr A tr B
+ = +
Solución
a)
8 8 1
16 6 2
17 1 7
A B
−
 
 
+ = − − −
 
 
− −
 
b) ( )
( ) 2 2 2 2
tr A = + − + =
( ) ( )
( ) 6 4 9 7
tr B = + − + − = −
( ) ( )
( ) 8 6 7 5 ( ) ( )
tr A B tr A tr B
+ = + − + − = − = +
2. Resta de matrices
Sean A y B dos matrices del mismo tamaño. Entonces
( )
A B A B
− = + −
Ejemplo:
3 2 0 5 3 8 3 2 0 5 3 8 8 1 8
8 5 2 2 4 7 8 5 2 2 4 7 10 9 9
4 7 1 0 3 8 4 7 1 0 3 8 4 4 9
− − − − −
         
         
− − − − = − − + − − = − −
         
         
− −
         
3. Producto por un Escalar
Dada una matriz ( )
i j m n
A a
×
= y k un escalar, entonces el producto kA es la matriz
( ) ; 1, , ; 1, ,
i j m n
kA ka i m j n
×
= = =
 
Es decir, el escalar multiplica a cada elemento de la matriz.

14
Ejemplos:
1. Dada
1
4 10
2
0 6 2
A
 
−
 
=
 
−
 
, hallar:
a) 6A
b)
1
2
A
−
Solución
a)
24 3 60
6
0 36 12
A
−
 
=  
−
 
b)
1
2 5
1
4
2
0 3 1
A
 
− −
 
− =
 
−
 
2. Una compañía vende dos tipos de juguetes: de acción y educativos.
La matriz A representa las ventas (en miles de dólares) de la compañía de juguetes en el
año 2003, en tres ciudades, y la matriz B representa las ventas en las mismas ciudades en
el año 2005.
400 350 150
450 280 850
Acción
A
Educativos
 
=  
 
y
380 330 220
460 320 750
Acción
B
Educativos
 
=  
 
La compañía compra a un competidor y en el año 2006 dobla las ventas que tuvo en el
año 2005. ¿ Cuál es el cambio en ventas entre el año 2003 y el 2006?
Solución
Las ventas en el año 2006, están dadas por
380 330 220 760 660 440
2 2
460 320 750 920 640 1500
B
   
= =
   
   
El cambio en ventas entre el año 2003 y el 2006, está dado por
760 660 440 400 350 150 360 310 290
2
920 640 1500 450 280 850 470 360 650
B A
     
− = − =
     
     

15
Las ventas en el 2006 superaron a las del 2003 por $ 960,000 en juguetes de acción y
$1,480,000 en juguetes educativos.
Propiedades del Producto por un Escalar
Si A y B son matrices del mismo tamaño y k y l son escalares, entonces
a. ( )
k A B kA kB
+ = +
b. ( )
k l A kA lA
+ = +
c. ( ) ( )
kl A k lA
=
d. 1A A
=
e. Si A es una matriz cuadrada entonces
( ) ( )
( )
tr kA k tr A
=
Es decir, la traza de un escalar por una matriz cuadrada es igual al escalar por la traza de
la matriz.
EJERCICIOS – PARTE I
1) Dar el tamaño de cada una de las siguientes matrices.
a)
0 7 2
5 1 4
 
 
−
 
b) [ ]
5 8 3 2
− c)
4
1
8
9
 
 
−
 
 
 
 
2) Dada la siguiente matriz
5 4
2 1
0 8
−
 
 
−
 
 
 
a) Escribir los vectores fila de la matriz.
b) Escribir los vectores columna de la matriz.
3) Escribir una matriz ( )3 2
i j
A a
×
= en donde ( ) ( )
1
i j
i j
a i j
+
= − − .
4) Dadas las matrices
4 3 1
2 0 5
A
 
=  
− −
 
y
8 4 5
3 2 0
B
−
 
=  
−
 
, hallar:
a) A B
+ b) A B
− c) 4A d) 3B
− e) 3 2
A B
− f) 2 4
A B
+

16
5) Hallar los valores de a , b y c , para que se dé la siguiente igualdad
2 2 16 3
5 5
a a b
c a b c
+
   
=
   
+ − +
   
6) Una compañía de piezas para auto produce distribuidores, bujías e imanes en dos
plantas I y II. La matriz X representa la producción de las dos plantas para el detallista
A y la matriz Y representa la producción de las dos plantas para el detallista B . Escribir
una matriz que represente la producción total en las dos plantas para ambos detallistas.
Las matrices X y Y son las siguientes
30 50
800 720
25 30
I II
distribuidores
X
bujías
imanes
 
=  
 
 
 
y
15 25
960 800
10 5
I II
distribuidores
Y
bujías
imanes
 
=  
 
 
 
7) Sea [ ]
1 2 3
P p p p
= un vector fila que muestra los precios de tres productos A, B
y C respectivamente. Los precios van a ser incrementados en un 10%. ¿Cuál es el escalar
por el cual se debe multiplicar el vector fila P , para obtener el vector de los nuevos
precios?
1
5 3
2
3
3 4
4
7
2 8
6
A
 
 
 
 
= −
 
 
 
− −
 
 
y
3
5 7
8
2
4 1
5
5
0 1
4
B
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
, hallar
a) ( )
tr A
b) ( )
tr B
c) ( )
2 5
tr A B
−

17
II. Producto de matrices
Producto de un Vector Fila por un Vector Columna
Sea r [ ]
1 2 n
r r r
=  un vector fila y q
1
2
n
q
q
q
 
 
 
=
 
 
 

un vector columna. Entonces
r⋅q [ ]
1
2
1 2 1 1 2 2
1
n
n n n i i
i
n
q
q
r r r rq r q r q rq
q
=
 
 
 
= ⋅ = + + + =
 
 
 

 

Ejemplo
[ ] ( )( ) ( )( ) ( )( )
5
2 1 3 2 2 5 1 2 3 3 10 2 9 17
3
−
 
 
− − ⋅ − = − − + − + − − = + − + =
 
 
−
 
Nota: El producto de un vector fila por un vector columna da como resultado un escalar.
Producto de Matrices
Sean las matrices ( )
i j m n
A a
×
= y ( )
i j n p
B b
×
= , entonces el producto ( )
i j m p
AB C c
×
= = ,
en donde
[ ]
1
2
1 2 1 1 2 2
1
j
n
j
i j i i in i j i j in nj ik k j
k
nj
b
b
c a a a a b a b a b a b
b
=
 
 
 
= ⋅ = + + + =
 
 
 
 

 


18
Es decir,
i j
c = (Fila i de A)⋅(Columna j de B)
( )( )





p
m
C
p
n
n
m
B
A
×
×
×
Nota: En el producto AB , el número de columnas de A debe ser igual al número de filas
de B , para que el producto esté definido.
Ejemplos
1. Dadas las matrices
3 4
1 0
1 2
A
−
 
 
=  
 
−
 
y
0 3 4
5 1 2
B
 
=  
−
 
, hallar:
a) AB
b). BA
Solución:
a) ( )
3 2
A ×
y ( )
2 3
B ×
. Número de columnas de A=Número de filas de B=2, por lo tanto el
producto AB está definido, y AB es una matriz de tamaño 3 3
× .
11 12 13
21 22 23
31 32 33
c c c
AB c c c
c c c
 
 
=  
 
 
[ ] [ ] [ ] ( )( ) ( )( )
11
0
1 1 3 4 3 0 4 5 0 20 20
5
c Fila de A Columna de B
 
= ⋅ = − ⋅ = − + = + =
 
 
[ ] [ ] [ ] ( )( ) ( )( )
12
3
1 2 3 4 3 3 4 1 9 4 5
1
 
= ⋅ = − ⋅ = − + = − + = −
 
 
[ ] [ ] [ ] ( )( ) ( )( )
13
4
1 3 3 4 3 4 4 2 12 8 20
2
 
= ⋅ = − ⋅ = − + − = − + − = −
 
−
 
[ ] [ ] [ ] ( )( ) ( )( )
21
0
2 1 1 0 1 0 0 5 0 0 0
5
 
= ⋅ = ⋅ = + = + =
 
 

19
[ ] [ ] [ ] ( )( ) ( )( )
22
3
2 2 1 0 1 3 0 1 3 0 3
1
 
= ⋅ = ⋅ = + = + =
 
 
[ ] [ ] [ ] ( )( ) ( )( )
23
4
2 3 1 0 1 4 0 2 4 0 4
2
 
= ⋅ = ⋅ = + − = + =
 
−
 
[ ] [ ] [ ] ( )( ) ( )( )
31
0
3 1 1 2 1 0 2 5 0 10 10
5
 
= ⋅ = − ⋅ = − + = + =
 
 
[ ] [ ] [ ] ( )( ) ( )( )
32
3
3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1
1
 
= ⋅ = − ⋅ = − + = − + = −
 
 
[ ] [ ] [ ] ( )( ) ( )( )
33
4
3 3 1 2 1 4 2 2 4 4 8
2
 
= ⋅ = − ⋅ = − + − = − + − = −
 
−
 
Por lo tanto,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
20 5 20
0 3 4
10 1 8
c c c
AB c c c
c c c
− −
   
   
= =
   
   
− −
   
b) ( )
2 3
B ×
y ( )
3 2
A ×
. Número de columnas de B =Número de filas de A =3, por lo tanto el
producto BA está definido y BA es una matriz de tamaño 2 2
× .
( ) ( )
( ) ( )
3 4
0 3 3 1 4 1 0 4 3 0 4 2
0 3 4 1 8
1 0
5 3 1 1 2 1 5 4 1 0 2 2
5 1 2 12 16
1 2
BA
−
 
⋅− + ⋅ + ⋅− ⋅ + ⋅ + ⋅
  −
   
 
= = =
 
   
  ⋅− + ⋅ + − ⋅− ⋅ + ⋅ + − ⋅
− −
   
 
 
−
 
En este ejemplo se puede observar claramente que los productos AB y BA son
distintos.
Nota: El producto de matrices no es conmutativo. Es decir, en general, AB BA
≠ .
2. Una compañía fabrica tres clases de productos A , B y C . Los gastos de producción
se dividen en las siguientes tres categorías de costo: costo de materiales, mano de obra y
otros gastos.
La tabla I presenta un estimado del costo de producir un solo artículo de cada clase.

20
La tabla II presenta un estimado de la cantidad de artículos de cada clase que se podrían
producir en cada estación del año.
La compañía desea presentar en su reunión de accionistas, una tabla sencilla que muestre
los costos totales por estación, para cada una de las tres categorías de costo.
TABLA I – Costos de producción por artículo
A B C
Costo de materiales 0.20 0.40 0.25
Mano de obra 0.40 0.50 0.35
Otros gastos 0.20 0.30 0.25
TABLAII – Cantidad de artículos producidos por estación
Verano Otoño Invierno Primavera
A 5000 5500 5500 5000
B 3000 3600 3400 3200
C 6800 7200 7000 7000
Solución:
Se pueden representar los datos contenidos en cada tabla usando matrices.
Sea A la matriz que representa los costos de producción por artículo (Tabla I), y sea B
la matriz que representa la cantidad de artículos de cada clase producidos por estación
(Tabla II).Así,
0.20 0.40 0.25
0.40 0.50 0.35
0.20 0.30 0.25
A
 
 
=  
 
 
y
5000 5500 5500 5000
3000 3600 3400 3200
6800 7200 7000 7000
B
 
 
=  
 
 
AB es una matriz de tamaño 3 4
× .
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
c c c c
AB c c c c
c c c c
 
 
=  
 
 

21
11
c representa el costo de materiales durante la producción de verano.
( )( ) ( )( ) ( )( )
11 0.20 5000 0.40 3000 0.25 6800 3900
c = + + =
21
c representa el costo de la mano de obra durante la producción de verano.
( )( ) ( )( ) ( )( )
21 0.40 5000 0.50 3000 0.35 6800 5880
c = + + =
31
c representa el costo generado por otros gastos durante la producción de verano.
( )( ) ( )( ) ( )( )
31 0.20 5000 0.30 3000 0.25 6800 3600
c = + + =
Por lo tanto, la primera columna del producto AB , representa los gastos de producción
durante el verano.
Análogamente, la segunda columna de AB representa los gastos de producción durante
el otoño.
( )( ) ( )( ) ( )( )
12 0.20 5500 0.40 3600 0.25 7200 4340
c = + + =
( )( ) ( )( ) ( )( )
22 0.40 5500 0.50 3600 0.35 7200 6520
c = + + =
( )( ) ( )( ) ( )( )
32 0.20 5500 0.30 3600 0.25 7200 3980
c = + + =
La tercera columna de AB representa los gastos de producción durante el invierno, y la
cuarta columna representa los gastos de producción durante la primavera.
3900 4340 4210 4030
5880 6520 6350 6050
3600 3980 3870 3710
AB
 
 
=  
 
 
Por lo tanto, la tabla que la compañía presentará en su reunión de accionistas es la
siguiente:
3,900 4,340 4,210 4,030 16,480
5,880 6,520 6,350 6,050 24,800
3,600 3,980 3,870 3,710 15,160
13,380 14,840 14,430 13,790 56,44
Verano Otoño Invierno Primavera Anual
Costo de materiales
Mano de obra
Otros costos
Costo total de producción 0
Un área de aplicación del álgebra de matrices, son las gráficas por computadora, como se
ilustra en el siguiente ejemplo.

22
3. Un objeto en un sistema de coordenadas puede ser representado por una matriz que
contiene las coordenadas de cada punto esquina. Por ejemplo, a continuación se dá una
figura en el plano y la matriz que la representa.
0 0
2 4
0 4
2 2
3 1
 
 
−
 
 
 
−
 
 
−
 
En gráficas por computadora generalmente se muestran los objetos rotando en el espacio.
La rotación se hace multiplicando la matriz de las coordenadas por la matriz de rotación.
La matriz de rotación es
cos
cos
sen
sen
θ θ
θ θ
−
 
 
 
. Esta matriz rota la figura un ángulo θ , a favor
de las manecillas del reloj. En nuestro ejemplo, sea 52
θ = 
.
0 0 0 0
2 4 1.92 4.04
cos52 52
0 4 3.15 2.46
52 cos52
2 2 0.34 2.81
3 1 1.06 2.98
sen
sen
   
   
−
   
 
−
   
=
 
   
 
− − −
   
   
− −
   
 
 
La última matriz contiene las coordenadas de los puntos esquina de la figura rotada 52
a
favor de las manecillas del reloj. La figura rotada es

23
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A , B y C matrices, y k un escalar. Entonces
a. ( ) ( )
A BC AB C
= (Propiedad asociativa)
b. Propiedad distributiva
( )
A B C AB AC
+ = +
( )
A B C AC BC
+ = +
c. ( ) ( )
k AB kA B
=
siempre y cuando todos los productos estén definidos.
d. Si A y B son matrices cuadradas de orden n , entonces
( ) ( )
tr AB tr BA
=
Definición
La matriz identidad de orden n , denotada por n
I , es la matriz cuadrada n n
× definida
por
( )
1
0
n i j i j
si i j
I donde
si i j
δ δ
=

= = 
≠

Es decir, la matriz identidad, tiene “unos”en la diagonal y ceros fuera de la diagonal
principal.

24
Ejemplos:
1. 2
1 0
0 1
I
 
=  
 
2. 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
 
3. 5
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
I
 
 
 
 
=
 
 
 
 
Potencias Enteras Positivas de una Matriz Cuadrada
Si A es una matriz cuadrada y k es un entero positivo, entonces
0
k
k veces
A AA A y A I
= =





en donde I es la matriz identidad del mismo orden de la matriz A .
Ejemplos:
1. Dada
1 1
0 1
A
 
=  
 
, hallar:
a) 0
A
b). 2
A
c) 3
A
d). 4
A

25
Solución
a) 0 1 0
0 1
A
 
=  
 
b) . 2 1 1 1 1 1 2
0 1 0 1 0 1
A AA
     
= = =
     
     
c) 3 2 1 2 1 1 1 3
0 1 0 1 0 1
A A A
     
= = =
     
     
d) 4 3 1 3 1 1 1 4
0 1 0 1 0 1
A A A
     
= = =
     
     
En general, se tiene que
1
0 1
n n
A
 
=  
 
, en donde n es un entero positivo.
2. En un pequeño pueblo el 30% de los hombres casados se divorcian cada año y el 20%
de los hombres solteros se casan cada año. Hay 8,000 hombres casados y 2,000 hombres
solteros. Suponiendo que la población de hombres permanece constante, cuántos hombres
casados y cuántos solteros habrá dentro de un año?. ¿ Cuántos habrá después de dos
años?
Solución
Se puede organizar la información en una matriz A en donde la primera fila contiene los
por cientos de hombres casados después de un año, y la segunda fila contiene los
por cientos de hombres solteros después de un año.
Si 30% se divorcian, entonces 70% permanecen casados.
0.70 0.20
0.30 0.80
A
 
=  
 

26
Sea x un vector columna cuyo primer elemento es el total de hombres casados y su
segundo elemento es el total de hombres solteros después de un año.
x
8,000
2,000
 
=  
 
Al hacer el producto A x, se obtiene
A x
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
0.70 8,000 0.20 2,000
0.70 0.20 8,000 6,000
0.30 8,000 0.80 2,000
0.30 0.80 2,000 4,000
+
 
     
= = =
 
     
+
     
 
Después de un año habrá 6,000 hombres casados y 4,000 hombres solteros.
Para saber cuántos hombres casados y cuántos solteros habrá dentro de dos años se debe
computar A ( A x).
2
A x A
= ( A x)
0.70 0.20 6,000 5,000
0.30 0.80 4,000 5,000
     
= =
     
     
Después de dos años la mitad de los hombres estarán casados y la otra mitad solteros.
En general, el cómputo n
A x dará el número de hombres casados y el número de
hombres solteros después de n años.
Polinomios de Matrices
Sea A una matriz cuadrada de orden n , y sea ( ) 2
0 1 2
m
m
f x a a x a x a x
= + + + +
 un
polinomio cualquiera, en donde 0 1 2
, , , , m
a a a a
 son escalares.
Se define ( )
f A como la matriz
( ) 2
0 1 2
m
m
f A a I a A a A a A
= + + + +

Es decir, ( )
f A se obtiene sustituyendo la matriz A en el lugar de la variable x y la
matriz 0
a I en el lugar del escalar 0
a .
Ejemplo:
Dada la matriz
1 0
3 2
A
 
=  
−
 
y el polinomio ( ) 3 2
2 2 5
f x x x x
= − + + , hallar ( )
f A .

27
Solución
2 1 0 1 0 1 0
3 2 3 2 3 4
A AA
     
= = =
     
− − −
     
3 2 1 0 1 0 1 0
3 4 3 2 9 8
A A A
     
= = =
     
− − −
     
entonces,
( ) 3 2
2 2 5
f A A A A I
= − + +
( )
1 0 1 0 1 0 1 0 8 0
2 2 5
9 8 3 4 3 2 0 1 27 19
f A
         
= − + + =
         
− − − −
         
Nota
Sea A una matriz cuadrada y ( )
f x un polinomio cualquiera.
Si ( )
f A O
= , entonces la matriz A es una raiz o cero del polinomio ( )
f x .
Ejemplo:
Mostrar que la matriz
1 2
3 4
A
 
=  
 
es una raiz o cero del polinomio ( ) 2
5 2
f x x x
= − − .
Solución
2 7 10
15 22
A A A
 
= =  
 
entonces,
( ) 2
5 2
f A A A I
= − −
( )
7 10 1 2 1 0 7 10 5 10 2 0 0 0
5 2
15 22 3 4 0 1 15 22 15 20 0 2 0 0
f A
− − −
             
= − − = + + =
             
− − −
             
Por lo tanto, A es un cero o raiz de ( )
f x .

28
Teorema
Sean f y g polinomios, y sea A una matriz cuadrada. Entonces
i) ( )( ) ( ) ( )
f g A f A g A
+ = +
ii) ( )( ) ( ) ( )
f g A f A g A
=
iii) ( )( ) ( )
k f A k f A
= , en donde k es un escalar.
iv) ( ) ( ) ( ) ( )
f A g A g A f A
=
EJERCICIOS – PARTE II
1) Si m n
× denota el tamaño de una matriz, hallar el tamaño de aquellas matrices
producto que estén definidas.
a) ( )( )
2 3 3 4
× × b) ( )( )
1 2 3 1
× × c) ( )( )
4 4 3 3
× × d) ( )( )
2 2 2 4
× ×
2) Si
1 1
2 4
3 0
A
−
 
 
= −
 
 
 
y
2 1 0
4 3 5
B
−
 
=  
−
 
, hallar
a) AB
b) BA
3) Calcular cada uno de los siguientes productos
a)
1 2 2
3 1 4
−
   
   
−
   
b) [ ]
1 2
2 4
3 1
 
−  
−
 
c) [ ]
4
1 2 3 5
6
 
 
 
 
 
d) [ ]
4
5 1 2 3
6
 
 
 
 
 
4) Computar
1 2
2 0 2 1 0 2
3 2 3 4
3 1 1 1 1 2
5 6
 
 − − 
     
+
 
     
− −
   
  
 
5) Mostrar que para las matrices
a b
A
b a
 
=  
−
 
y
c d
B
d c
 
=  
−
 
, AB BA
= para todo
valor de a , b , c y d .

29
6) Dada
1 1
2 2
1 1
2 2
A
 
−
 
=  
 
−
 
 
, hallar
a) 2
A
b) 3
A
c) ¿Cuál será el resultado de n
A , para n entero positivo?
7) Una tienda de mascotas tiene 6 gatitos, 10 perritos y 7 cotorras en inventario. Si el
valor de cada gatito vale $55, cada perrito $150 y cada cotorra $35, hallar el valor total
del inventario de la tienda, usando multiplicación de matrices.
8) Un constructor acepta una orden para construir 5 casas tipo A , 7 casas tipo B y 12
casas tipo C .
Las materias primas usadas en cada tipo de casa son aluminio, madera, vidrio, pintura y
mano de obra. La siguiente matriz M da el número de unidades de cada materia prima
usadas en cada tipo de casa.
. . . .
5 20 16 7 17
7 18 12 9 21
6 25 8 5 13
alum mad vidr pint obra
A
M
B
C
 
=  
 
 
 
Use producto de matrices para determinar la cantidad de unidades de cada clase de
materia prima que necesitará el constructor para cumplir con su orden.
9) Dada la matriz
1 2
4 5
A
−
 
=  
 
y los polinomios ( ) 3 2
2 3 7
f x x x x
= + − + y
( ) 2
6 13
g x x x
= − + , hallar
a) ( )
f A
b) Mostrar que la matriz A es un cero o raiz del polinomio ( )
g x .

30
10) Si
2 3 1
1 2 0
0 5 1
A
 
 
=  
 
−
 
y
1 1 3
0 4 2
2 1 1
B
−
 
 
= −
 
 
 
, hallar
a) AB
b) BA
c) ( )
tr AB
d) ( )
tr BA
III. Transpuesta de una Matriz - Tipos de Matrices Cuadradas
Definición
Sea m n
A × una matriz. La matriz transpuesta de A , es la matriz n m
B × definida por
1, , 1, ,
ji i j
b a para j n y i m
= = =
 
La transpuesta de A se denota por T
A .
Es decir, que las filas de A pasan a ser las correspondientes columnas de T
A .
Ejemplo:
Si
3 2 4
1 5 7
A
 
=  
−
 
entonces
3 1
2 5
4 7
T
A
 
 
= −
 
 
 
Propiedades para la transpuesta de una matriz
a. ( )
T
T
A A
=
b. ( )
T T
kA kA
= , k escalar
c. ( )
T T T
A B A B
+ = +
d. ( )
T T T
AB B A
=
Siempre y cuando las operaciones indicadas se puedan realizar.
e. Si A es una matriz cuadrada, entonces
( ) ( )
T
tr A tr A
=
Es decir, la traza de una matriz cuadrada es igual a la traza de su transpuesta.

31
Tipos de Matrices Cuadradas
a. Matriz Simétrica
Sea A una matriz cuadrada de orden n . A es simétrica si T
A A
= .
Ejemplo:
1.
Si
5 1 4
1 3 8
4 8 2
A
−
 
 
= −
 
 
−
 
entonces
5 1 4
1 3 8
4 8 2
T
A
−
 
 
= −
 
 
−
 
Por lo tanto, A es una matriz simétrica.
Observación:
En una matriz simétrica i j ji
a a
= para todo i y todo j .
Esto significa que los elementos de una matriz simétrica son simétricos respecto a la
diagonal de la matriz.
Así, en el ejemplo anterior tenemos
















−
−
−
2
8
4
8
3
1
4
1
5
2. Un ejemplo del uso de las matrices simétricas aparece en la geometría de distancia.
Si n n
R ×
es el espacio de las matrices cuadradas de orden n , con entradas reales y r
R es el
espacio de r dimensiones, entonces, una matriz simétrica ( )
2 n n
i j
D d R ×
= ∈ cuyas
entradas son no negativas y que tiene ceros en la diagonal, se denomina una matriz de
predistancia. Si existen n puntos 1, , n
p p
 en r
R tal que
2
2
i j i j
d p p
= − , entonces D
es una matriz de distancia euclidiana.

32
(
2
i j
p p
− representa el cuadrado de la distancia entre los puntos i
p y j
p ).
La Geometría de Distancia, es un método usado para determinar conformaciones
moleculares en tres dimensiones. Los datos experimentales consisten de distancias
estimadas entre los átomos de una molécula. Estas distancias son provistas por
Resonancia Magnética Nuclear, técnica que se ha usado para obtener información
estructural de variada complejidad y sofisticación.
El problema matemático consiste en determinar si es posible establecer una configuración
de puntos cuya matriz de distancia sea similar , o en otras palabras muy próxima a los
datos de distancia dados por la Resonancia Magnética Nuclear.
En este proceso de hallar las distancias estimadas, puede suceder que:
a) Si las distancias estimadas son suficientemente precisas, entonces se puede escribir la
matriz de distancia de la configuración, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Para una configuración de cuatro puntos, la correspondiente matriz de distancia es
( )
2
i j
D d
= , en donde
2
i j
d = cuadrado de la distancia entre el punto pi y el punto pj.
2 2 2 2
12 21 3 4 25
d d
= = + =
2 2 2
13 31 6 36
d d
= = =
2 2 2 2
14 41 3 2 13
d d
= = + =
2 2 2 2
23 32 3 4 25
d d
= = + =
2 2 2
24 42 6 36
d d
= = =
2 2 2 2
34 43 3 2 13
d d
= = + =

33
Por lo tanto, la correspondiente matriz de distancia es
2 2 2
12 13 14
2 2 2
12 23 24
2 2 2
13 23 34
2 2 2
14 24 34
0 25 36 13
0
25 0 25 36
0
36 25 0 13
0
13 36 13 0
0
d d d
d d d
D
d d d
d d d
   
   
   
= =
   
   
   
 
b) Si algunas distancias estimadas son muy imprecisas, entonces en la matriz de
predistancia de la configuración ellas aparecen representadas por variables.
Por ejemplo, una configuración de cuatro puntos en la cual
13 31
x d d
= = = distancia de p1 a p3 y
24 42
y d d
= = = distancia de p2 a p4
son imprecisas, podría estar representada por la matriz
0 1 2
1 0 3
3 0 1
2 1 0
x
y
x
y
 
 
 
 
 
 
En este caso se debe determinar si la matriz se puede completar, es decir, si se pueden
hallar valores para x y y , que representen la configuración. Si tales valores existen,
entonces la matriz se convierte en una matriz de distancia.
b. Matriz Diagonal
Sea ( )
i j
A a
= una matriz cuadrada. A es una matriz diagonal si
0
i j
a para todo i j
= ≠
Es decir, todos los elementos por fuera de la diagonal principal son iguales a cero.
Ejemplo:
2 0 0
0 3 0
0 0 5
A
 
 
=  
 
 
y
0 0 0
0 0 0
0 0 0
B
 
 
=  
 
 
son matrices diagonales.

34
c. Matriz Triangular Superior
Sea ( )
i j
A a
= una matriz cuadrada. A es una matriz triangular superior si
0
i j
a para i j
= >
Es decir, todos los elementos por debajo de la diagonal principal son iguales a cero.
Ejemplo:
2 1 3 4
0 0 0 1
0 0 2 3
0 0 0 0
A
−
 
 
 
=  
−
 
 
 
es triangular superior.
d. Matriz Triangular Inferior
Sea ( )
i j
A a
= una matriz cuadrada. A es una matriz triangular inferior si
0
i j
a para i j
= <
Es decir, todos los elementos por encima de la diagonal principal son iguales a cero.
Ejemplo:
0 0 0 0
3 0 0 0
2 4 1 0
5 1 5 2
A
 
 
 
=  
−
 
 
−
 
es triangular inferior.
e. Matriz Triangular
Una matriz que es triangular superior o triangular inferior, se llama matriz triangular.
Observación
Una matriz diagonal es tanto triangular superior como triangular inferior.

35
EJERCICIOS – PARTE III
1 1 0
0 1 1
A
−
 
=  
 
,
0 0 1
2 1 0
0 0 2
B
−
 
 
= −
 
 
 
y
1 0
2 1
0 1
C
 
 
= −
 
 
 
, hallar
a) T
A A
b) ( )
2
T
B
c) ( )
T
AC
d) ( )
T
T
BA
e) T
A C
+
f) T
C A
−
2) Clasificar cada una de las siguientes matrices cuadradas como simétrica, triangular
superior, triangular inferior, diagonal o ninguna de las anteriores.
a)
5 0 0
0 2 0
0 0 8
 
 
−
 
 
 
b)
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
 
 
 
c)
2 5 5
7 8 4
0 3 1
 
 
 
 
 
d)
0 2 4
2 5 3
4 3 0
 
 
 
 
 
e)
1 4 3
0 1 4
0 0 2
 
 
 
 
 
f)
0 4 8
4 0 1
8 1 0
 
 
 
 
 
g)
0 0 0
1 3 0
2 1 4
 
 
 
 
−
 

36
3) Construir la matriz de distancia para la siguiente configuración de puntos
IV. La Inversa de una Matriz
Definición
Sea A una matriz cuadrada de orden n . A es una matriz no singular o invertible si
existe una matriz B tal que AB BA I
= = . La matriz B se llama la matriz inversa de A.
Ejemplo:
Las matrices
1 2
4 1
 
 
 
y
1 2
7 7
4 1
7 7
 
−
 
 
 
−
 
 
son inversas entre sí, ya que
1 8 2 2
1 2
1 2 1 0
7 7 7 7
7 7
4 1 4 1 0 1
4 4 8 1
7 7 7 7 7 7
 
   
  − + + −
−    
 
 
   
   
 
= =
 
   
 
   
   
 
− − + + −
 
   
 
     
 
y también
1 8 2 2
1 2
1 2 1 0
7 7 7 7
7 7
4 1 4 1 0 1
4 4 8 1
7 7 7 7 7 7
 
   
  − + − +
−    
 
     
   
 
= =
     
 
   
   
 
− + − + −
 
   
 
     
 

37
Notación
Si A es una matriz no singular, entonces su inversa se denota por 1
A−
.
Unicidad de la Inversa
Si una matriz A es no singular o invertible, entonces su inversa es única.
Demostración
Supongamos que B y C son ambas matrices inversas de A . Entonces
AB BA I
= = y AC CA I
= = .
Además, ( ) ( )
B BI B AC BA C IC C
= = = = = .
Es decir, B C
= , por lo tanto la inversa de una matriz no singular es única.
Definición
Sea A una matriz cuadrada de orden n . A es singular o no invertible si A no tiene
inversa.
Ejemplo:
Mostrar que la matriz
2 0
3 0
 
 
 
es singular (no invertible).
Solución
Supongamos que su inversa existe y es la matriz 11 12
21 22
b b
B
b b
 
=  
 
. Entonces se debería
satisfacer que 11 12
21 22
2 0 1 0
3 0 0 1
b b
b b
     
=
     
   
 
, pero
( )
( )
11 12
11 12
21 22 21 22
2 3 0
2 0 1 0
3 0 0 1
2 3 0
b b
b b
b b b b
+
 
     
= ≠
 
     
+
   
   
 
El elemento de la posición ( )
2,1 es cero y debería ser uno. Por lo tanto, la inversa de
2 0
3 0
 
 
 
no existe, es decir que la matriz es singular.

38
Teorema
Si A y B son matrices no singulares n n
× , entonces AB es no singular y
( )
1 1 1
AB B A
− − −
= .
Demostración
Hay que probar que
( )( )
1 1
)
a B A AB I
− −
= y ( )( )
1 1
)
b AB B A I
− −
= .
Así, aplicando propiedad asociativa y definición de inversa, se tiene
( )( ) ( )
1 1 1 1 1 1
)
a B A AB B A A B B IB B B I
− − − − − −
= = = =
y
( )( ) ( )
1 1 1 1 1 1
)
b AB B A A BB A AIA AA I
− − − − − −
= = = =
Por lo tanto, ( )
1 1 1
AB B A
− − −
= .
Observación
En general es cierto que si 1 2 1
, , , ,
k k
A A A A
−
 son matrices no singulares n n
× , entonces
el producto 1 2 1
k k
A A A A
−
 es no singular y( )
1 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1
k k k k
A A A A A A A A
− − − − −
− −
=
  .
La Inversa de la Transpuesta de una Matriz
Si A es una matriz cuadrada no singular, entonces ( ) ( )
1 1 T
T
A A
− −
= .
Demostración
Aplicando la propiedad de la transpuesta de un producto, se tiene que
( )( ) ( )
1 1
T T
T T
A A A A I I
− −
= = = y
( ) ( ) ( )
1 1
T T
T T
A A AA I I
− −
= = =
Por lo tanto, ( ) ( )
1 1 T
T
A A
− −
= .
Operaciones Elementales entre las Filas de una Matriz
Hay tres tipos de operaciones que se pueden realizar sobre las filas de una matriz,
llamadas operaciones elementales, las cuales van a ser utilizadas en el procedimiento
para hallar la inversa de una matriz no singular. Estos tipos de operaciones son:

39
Operaciones Elementales de Tipo I
Intercambiar dos filas de una matriz. Se denota por i j
F F
↔ , lo cual significa
intercambiar la fila i y la fila j .
Es decir, la fila i pasa al lugar de la fila j , y viceversa.
Ejemplo:
Dada
2 4 2
1 5 3
4 1 9
A
 
 
=  
 
−
 
, entonces
2 4 2
1 5 3
4 1 9
 
 
 
 
−
 
2 3
F F
↔
2 4 2
4 1 9
1 5 3
 
 
−
 
 
 
Operaciones Elementales de Tipo II
Multiplicar cada elemento de una fila por un escalar 0
k ≠ . Se denota por
( )
0
i i
kF F k
→ ≠
Significa que cada elemento de la fila i se multiplica por 0
k ≠ y esta nueva fila
sustituye a la fila i .
Ejemplo:
Si sobre la matriz
2 4 2
1 5 3
4 1 9
 
 
 
 
−
 
se va a hacer 2 2
2F F
− → , la nueva 2
F será
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 1 2 5 2 3
F → − − −
2 2 10 6
F → − − −
y la matriz que se obtiene es
2 4 2
2 10 6
4 1 9
 
 
− − −
 
 
−
 
.

40
Operaciones Elementales de Tipo III
Sumar k veces la fila i a la fila j . Se denota por ( )
i j j
kF F F
+ → , para 0
k ≠ . Significa
que cada elemento de la fila i se multiplica por k y este producto se suma al
correspondiente elemento de la fila j . La fila que cambia es j
F .
Ejemplo:
Si sobre
2 4 2
1 5 3
4 1 9
 
 
 
 
−
 
se va a hacer ( )
2 1 1
2F F F
− + → , el proceso es
2
1
2 2 10 6
2 4 2
0 6 4
F
F
− → − − −
+ →
− −
La nueva fila será 1 0 6 4
F → − − , y la matriz que se obtiene es
0 6 4
1 5 3
4 1 9
− −
 
 
 
 
−
 
Procedimiento para hallar la inversa de una matriz no singular
Sea A una matriz cuadrada de orden n , no singular.
Primero, se escribe la matriz ampliada de la forma
n
A I
 
 
donde n
I es la matriz identidad de orden n .
Segundo, se hacen operaciones elementales sobre las filas de la matriz ampliada, con el
propósito de obtener la matriz n
I en el lugar en donde está la matriz A .
Tercero, al terminar el procedimiento anterior, se obtiene una matriz de la forma
n
I B
 
 
Entonces, 1
B A−
= .

41
Ejemplos:
Hallar la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices no singulares:
1.
7 4
5 3
 
 
 
Solución
Primero se forma la matriz ampliada
7 4 1 0
5 3 0 1
 
 
 
Se hacen operaciones elementales sobre las filasde la matriz ampliada, consecutivamente,
con el propósito de obtener 2
I en el lado izquierdo de la matriz. Cada operación
elemental se hace sobre la última matriz obtenida.
( )
1 1 1 2 2
4 1
4 1 1 0
7 4 1 0 1 0
1 7 7
5
7 7
5 3 0 1 1 5
7
5 3 0 1 0 1
7 7
F F F F F
 
   
     
→ − + →
     
  −
 
   
 
2 2 2 1 1
4 1
1 0 3 4
1 0 4
7 7 7
0 1 5 7
7
0 1 5 7
F F F F F
 
 − 
 
 
→ − + →  
 
  −
   
−
 
 
Por lo tanto, la inversa de la matriz
7 4
5 3
 
 
 
es la matriz
3 4
5 7
−
 
 
−
 
.
2.
11 2 2
4 0 1
6 1 1
−
 
 
−
 
 
− −
 
.
Solución
La matriz ampliada es
11 2 2 1 0 0
4 0 1 0 1 0
6 1 1 0 0 1
− 
 
−
 
 
− −
 
.
Se hacen operaciones elementales sobre las filas, consecutivamente, empezando en la
anterior matriz ampliada, con el propósito de obtener 3
I en el lado izquierdo de la matriz.
Cada operación elemental se hace sobre la última matriz obtenida.

42
1 1
2 2 1
1 0 0
11 2 2 1 0 0 11 11 11
1
4 0 1 0 1 0 4 0 1 0 1 0
11
6 1 1 0 0 1 6 1 1 0 0 1
F F
 
− − −
 
− 
 
 
− − → −
 
 
 
 
− − − −
   
 
( )
1 2 2
2 2 1
1 0 0
11 11 11
8 3 4
4 0 1 0
11 11 11
6 1 1 0 0 1
F F F
 
− − −
 
 
 
+ → − −
 
 
− −
 
 
 
( )
1 3 3
2 2 1
1 0 0
11 11 11
8 3 4
6 0 1 0
11 11 11
1 1 6
0 0 1
11 11 11
F F F
 
− − −
 
 
 
− + → − −
 
 
 
 
 
2 2
2 2 1
1 0 0
11 11 11
11 3 1 11
0 1 0
8 8 2 8
1 1 6
0 0 1
11 11 11
F F
 
− − −
 
 
 
− → − −
 
 
 
 
 
2 1 1
1 1
1 0 0 0
4 4
2 3 1 11
0 1 0
11 8 2 8
1 1 6
0 0 1
11 11 11
F F F
 
− −
 
 
   
+ → − −
   
 
 
 
 
 

43
2 3 3
1 1
1 0 0 0
4 4
1 3 1 11
0 1 0
11 8 2 8
1 1 1
0 0 1
8 2 8
F F F
 
− −
 
 
   
− + → − −
   
 
 
 
 
 
3 3
1 1
1 0 0 0
4 4
3 1 11
8 0 1 0
8 2 8
0 0 1 4 1 8
F F
 
− −
 
 
 
→ − −
 
 
 
 
 
3 2 2
1 1
1 0 0 0
4 4
3
0 1 0 2 1 3
8
0 0 1 4 1 8
F F F
 
− −
 
 
 
+ → −
 
 
   
 
 
3 1 1
1 0 0 1 0 2
1
0 1 0 2 1 3
4
0 0 1 4 1 8
F F F
 
   
+ → −
   
   
 
Por lo tanto, la matriz inversa de
11 2 2
4 0 1
6 1 1
−
 
 
−
 
 
− −
 
es
1 0 2
2 1 3
4 1 8
 
 
−
 
 
 
.
Teorema:
Una matriz cuadrada de orden n es no singular (invertible) si y sólo si se puede
transformar en la matriz identidad mediante operaciones elementales sobre sus filas.

44
Observación
Sea A una matriz cuadrada de orden n . Si se escribe la matriz ampliada A I
 
  y se
aplica el procedimiento para tratar de hallar 1
A−
, pero no es posible formar la matriz I
en el lado izquierdo de la matriz ampliada, entonces significa que A es singular, es decir
que A no tiene inversa y por lo tanto 1
A−
no existe.
Ejemplo:
Hallar la inversa de
3 6
1 2
 
 
 
, si existe.
Solución
1 2
3 6 1 0 1 2 0 1
1 2 0 1 3 6 1 0
F F
   
↔
   
   
( )
1 2 2
1 2 0 1
3
1 3
0 0
F F F
 
− + →  
−
 
 
Debido al 0 que aparece en la posición ( )
2,2 de la matriz de la izquierda, es imposible
obtener la matriz identidad en el lado izquierdo de la matriz ampliada, por lo tanto, la
matriz
3 1
6 2
 
 
 
no tiene inversa.
Caso Particular
Sea
a b
A
c d
 
=  
 
una matriz cuadrada de orden 2.
Si ( ) 0
ad bc
− ≠ , entonces A es no singular y
( )
1 1 d b
A
c a
ad bc
−
−
 
=  
−
−  
.
Nota: Se puede probar este resultado fácilmente, aplicando el procedimiento para hallar
la inversa a la matriz A .

45
Ejemplo de Aplicación de la Inversade una Matriz en la Resolución de un Sistema de
Ecuaciones Lineales
Un sistema de m ecuaciones lineales con n variables tiene la forma
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =


+ + + =



 + + + =





en donde i j
a y i
b con 1, ,
i m
=  y 1, ,
j n
=  son números reales y 1 2
, , , n
x x x

son las variables.
Los términos 1 2
, , , m
b b b
 se llaman términos constantes.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n variables puede ser representado
matricialmente por medio de la ecuación matricial Ax = b .
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
 


   

1
2
n
x
x
x
 
 
 
 
 
 

=
1
2
m
b
b
b
 
 
 
 
 
 

en donde
A=
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
 


   

es la matriz de los coeficientes,
b=
1
2
m
b
b
b
 
 
 
 
 
 

es el vector columna de los términos constantes, y
x=
1
2
n
x
x
x
 
 
 
 
 
 

es el vector columna de las variables.

46
Si m n
= , y si la matriz A de los coeficientes es no singular, es decir, si 1
A−
existe,
entonces la solución del sistema se obtiene multiplicando a izquierda en ambos lados de
la ecuación matricial Ax=b por 1
A−
.
-1 -1
A A = A b
x
( )
-1 -1
A A = A b
x
-1
I = A b
x
1
A b
−
=
x
Ejemplo:
Mostrar que
2 1
3 4
 
 
 
es no singular y hallar su inversa.
Solución
( )( ) ( )( )
2 4 1 3 5 0
ad bc
− = − = ≠ , por lo tanto, la matriz es no singular.
Su inversa es 1
4 1
4 1
1 5 5
3 2 3 2
5
5 5
A−
 
−
 
−
 
= =  
 
−
   
−
 
 
.
Ejemplo:
Una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B . El modelo A requiere una
hora en labores de pintura y ½ hora en labores de pulido. El modelo B requiere 1 hora
para cada uno de los anteriores procesos. Durante cada hora que la línea de ensamblaje
esté operando,hay disponibles 100 horas para labores de pintura y 80 para labores de
pulido. ¿Cuántas unidades de cada modelo se pueden producir cada hora si todas las
horas disponibles deben ser utilizadas?

47
Solución
La información puede ser organizada de la siguiente forma.
1 1 100
1
1 80
2
A B Total de horas disponibles
Pintura
Pulido
Sea 1
x = número de unidades del modelo A , que se pueden producir.
2
x = número de unidades del modelo B que se pueden producir.
El problema puede ser representado por el siguiente sistema de ecuaciones.
1 2
1 2
100
1
80
2
x x
x x
+ =



+ =


La primera ecuación expresa que el número total de horas utilizado en pintura en el
proceso de producción debe ser igual a 100.
La segunda ecuación expresa que el número total de horas usadas en el proceso de
producción debe ser igual a 80.
El problema puede ser representado matricialmente por medio de la ecuación
1
2
1 1
100
1
80
1
2
x
x
 
   
  =
   
   
 
 
en donde
1 1
1
1
2
 
 
 
 
es llamada matriz de los coeficientes. Su primera columna está formada
por los coeficientes de 1
x en cada una de las ecuaciones del sistema, y su segunda
columna está formada por los coeficientes de 2
x en cada una de las ecuaciones del
sistema.
El vector 1
2
x
x
 
 
 
es llamado el vector columna de las incógnitas.
El vector
100
80
 
 
 
es llamado el vector columna de los términos constantes.

48
Para resolver esta ecuación matricial, debemos multiplicar por la izquierda en ambos
lados de la igualdad por la inversa de la matriz de los coeficientes
1 1
1
1
2
 
 
 
 
.
Usando el resultado dado para la inversa de una matriz no singular de orden 2, se obtiene
que la inversa de
1 1
1
1
2
 
 
 
 
es
2 2
1 2
−
 
 
−
 
.
Se tiene entonces que
1
2
1 1
2 2 2 2 100
1
1 2 1 2 80
1
2
x
x
 
− −
 
     
  =
 
     
 
− −
     
 
 
1
2
1 0 2 2 100
0 1 1 2 80
x
x
−
 
     
=
 
     
−
     
 
1
2
40
60
x
x
   
=
   
 
 
Por igualdad de matrices,
1 40
x =
2 60
x =
Por lo tanto, cada hora se pueden producir 40 unidades del modelo A y 60 del modelo
B .
EJERCICIOS PARTE – IV
1) Mostrar que las matrices
2 4
3 1
 
 
 
y
1 2
10 5
3 1
10 5
 
−
 
 
 
−
 
 
son inversas entre sí.

49
2) Hallar la inversa de cada una de las siguientes matrices no singulares.
a)
2 1
1 1
 
 
 
b)
6 5
2 2
 
 
 
c)
1 1 1
0 2 1
2 3 0
−
 
 
−
 
 
− −
 
d)
1 1 1
3 2 1
3 1 2
 
 
−
 
 
 
e)
2 1
; 0
a
a a
 
≠
 
 
3) Dada
1 2
4 1
A
 
=  
−
 
, mostrar que 1 1
9
A A
−
= .
4) Mostrar que la matriz
15 3
10 2
 
 
 
no tiene inversa.
5).Dado el siguiente sistema de ecuaciones
2 5
3
x y
x y
+ =


− =

a) Escribir el sistema en forma matricial.
b) Resolver la ecuación matricial usando la inversa de la matriz de los coeficientes.
6) Se tienen $11.30 en 78 monedas de 20 centavos y de 10 centavos. ¿ Cuántas monedas
son de 10 centavos y cuántas de 20 centavos?.

50
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
EJERCICIOS – PARTE I
1) a) 2 3
× b) 1 4
× c) 4 1
×
2) a) [ ]
5 4
− , [ ]
2 1
− y [ ]
0 8
b)
5
2
0
 
 
−
 
 
 
y
4
1
8
−
 
 
 
 
 
3)
0 1
1 0
2 1
A
 
 
= −
 
 
−
 
4) a)
4 7 6
1 2 5
−
 
 
− −
 
b)
12 1 4
5 2 5
− −
 
 
− −
 
c)
16 12 4
8 0 20
 
 
− −
 
d)
24 12 15
9 6 0
− −
 
 
−
 
e)
28 1 7
12 4 15
−
 
 
− −
 
f)
24 22 22
8 8 10
−
 
 
− −
 
5) 8
a = , 2
b = − y 3
c = − .
6)
45 75
1760 1520
35 35
I II
distribuidores
bujías
imanes
 
 
 
 
 
7) 1.1
8) a)
11
12
b)
81
40
c)
199
24
−
EJERCICIOS – PARTE II
1) a) 2 4
× b) Producto no definido c) Producto no definido d) 2 4
×
2) a)
6 2 5
20 10 20
6 3 0
AB
− −
 
 
= −
 
 
−
 
b)
4 6
17 8
BA
−
 
=  
−
 

51
3) a)
6
10
 
 
−
 
b) [ ]
10 8
− c) [ ]
32 d)
4 8 12
5 10 15
6 12 18
 
 
 
 
 
.
4)
78 84
21 12
 
 
− −
 
5)
( ) ( )
( ) ( )
ac bd bc ad
AB BA
ad bc ac bd
− +
 
= =
 
− + −
 
6) a) 2
1 1
2 2
1 1
2 2
A
 
−
 
=  
 
−
 
 
b) 3
1 1
2 2
1 1
2 2
A
 
−
 
=  
 
−
 
 
c)
1 1
2 2
1 1
2 2
n
A
 
−
 
=  
 
−
 
 
7) $2,075
8) 146 unidades de aluminio, 526 de madera, 260 de vidrio, 158 de pintura y 388 de
mano de obra.
9) a)
113 98
196 83
− −
 
 
 
b) ( ) 2 7 12 6 12 13 0 0 0
6 13
24 17 24 30 0 13 0 0
f A A A I
− − −
       
= − + = + + =
       
− −
       
10) a)
4 11 1
1 7 1
2 19 11
AB
 
 
= −
 
 
− −
 
b)
1 16 2
4 2 2
5 13 1
BA
−
 
 
= −
 
 
 
c) 0 d) 0
EJERCICIOS – PARTE III
1) a)
1 1 0
1 2 1
0 1 1
−
 
 
−
 
 
 
b)
0 4 0
0 2 0
2 0 4
 
 
−
 
 
−
 
c)
1 2
1 0
−
 
 
 
d)
0 3 0
1 1 2
 
 
− −
 
e)
2 1 0
0 0 2
 
 
 
f)
0 3 0
0 2 0
 
 
−
 

52
2) a) Triangular superior, triangular inferior, simétrica y diagonal.
b) Triangular superior, triangular inferior, simétrica y diagonal.
c) Ninguna de las anteriores.
d) Simétrica.
e) Triangular superior.
f) Simétrica.
g) Triangular inferior.
3)
0 9 25 16
9 0 16 25
25 16 0 9
16 25 9 0
D
 
 
 
=
 
 
 
EJERCICIOS – PARTE IV
1)
1 2 1 2
2 4 2 4 1 0
10 5 10 5
3 1 3 1 3 1 3 1 0 1
10 5 10 5
   
− −
   
     
= =
   
     
     
   
− −
   
   
2) a)
1 1
1 2
−
 
 
−
 
b)
5
1
2
1 3
 
−
 
 
−
 
c)
3 3 1
2 2 1
4 5 2
−
 
 
− −
 
 
− −
 
d)
5 1 3
7 7 7
9 1 4
7 7 7
3 2 1
7 7 7
 
−
 
 
 
−
 
 
 
−
 
 
e)
1
1
2
1
a
a
 
−
 
 
 
−
 
 
3) 1
1 2
1 2
1
9 9
4 1 4 1
9
9 9
A−
 
   
= =
   
−
 
 
−
 
 

53
4)
1
1 1 1 0
15 3 1 0 1 0 1 15
5 15 5
10 2 0 1 2
10 2 0 1 0 0 1
3
 
   
   
→ →  
     
  −
 
   
 
5) a)
1 2 5
1 1 3
x
y
     
=
     
−
     
b)
1 2 11
5
3 3 3
1 1 3 2
3 3 3
x
y
   
   
   
= =
   
   
   
   
−
   
   
. Por lo tanto,
11
3
x = y
2
3
y = .
6) 35 monedas de 20 centavos y 43 monedas de 10 centavos.

54
POSPRUEBA
I. En los ejercicios 1 a 9 , seleccione la respuesta correcta.
1) El tamaño de la matriz [ ]
2 3 1 5
− es
a) 1 4
×
b) 4 1
×
c) 4 4
×
d) 1 1
×
2) En la matriz
5 2 4
4 1 5
3 0 8
A
 
 
= − − −
 
 
 
, 23 12
a a
+ es igual a
a) 2
b) 3
−
c) 4
−
d) 9
−
3) Si
5 4
3 2
A
−
 
=  
−
 
y
8 2
5 3
B
−
 
=  
 
, entonces B A
− es
a)
13 6
8 1
−
 
 
− −
 
b)
3 2
2 5
− −
 
 
 
c)
13 6
8 1
−
 
 
 
d)
3 6
2 6
− −
 
 
−
 

55
4) Si
2 4
5 3
A
 
=  
−
 
y
5 8
2 4
B
−
 
=  
−
 
, entonces ( )
T
A B
+ es
a)
3 3
12 1
−
 
 
 
b)
3 12
3 1
−
 
 
 
c)
7 4
7 7
 
 
−
 
d)
7 7
4 7
 
 
−
 
5) Si
1 3
2 4
A
 
=  
 
y
5 7
6 8
B
 
=  
 
, entonces 2 3
A B
− es igual a
a)
13 15
14 16
 
 
 
b)
5 5
5 5
− −
 
 
− −
 
c)
10 15
13 17
 
 
 
d)
13 15
14 16
− −
 
 
− −
 
6) Si A es una matriz de tamaño 5 2
× y B es de tamaño 3 5
× , entonces el producto
T T
A B es de tamaño
a) 2 3
×
b) 3 2
×
c) 2 5
×
d) 5 5
×

56
7) Si
3 4
1 2
0 5
A
−
 
 
= −
 
 
 
y
1 2 3
4 5 0
B
−
 
=  
−
 
entonces el producto BA es
a)
2 15
7 6
 
 
−
 
b)
3 16
2 10
0 0
−
 
 
−
 
 
 
c)
5 23
17 26
−
 
 
−
 
d)
3 2 0
16 10 0
− −
 
 
 
8) La matriz
0 2 3
0 0 5
0 0 0
 
 
 
 
 
es
a) Triangular superior
b) Triangular inferior
c) Simétrica
d) Diagonal
9) La inversa de la matriz
3 1
4 2
 
 
 
es
a)
3 1
4 2
− −
 
 
− −
 
b)
1
1
3
1
2
4
 
 
 
 
 
 
c)
2 1
4 3
−
 
 
−
 
d)
1
1
2
3
2
2
 
−
 
 
 
−
 
 

57
II. Resuelva el siguiente ejercicio.
Una juguetería vende 52 muñecas, 23 carros y 70 pelotas el día sábado. El día
domingo vende 48 muñecas, 30 carros y 74 pelotas. Los precios por unidad de cada
uno de los artículos son respectivamente, $8.50, $12.30 y $5.80.
1) Escribir una matriz de tamaño 2 3
× que represente la cantidad de artículos
vendidos en los dos días.
2) Escribir un vector columna que represente el precio por unidad de cada artículo.
3) Hallar el vector columna cuyos elementos muestren los ingresos obtenidos por
concepto de ventas los días sábado y domingo respectivamente.

58
RESPUESTAS DE LA PREPRUEBA
I. 1) b
2) d
3) b
4) c
5) a
6) d
7) a
8) c
9) c
II. 1)
.
98 75 200
122 90 215
hab maiz salsa
viernes
sábado
 
 
 
2)
1.22
0.65
0.25
 
 
 
 
 
3)
218.31
261.09
viernes
sábado
→  
 
→ 
RESPUESTAS DE LA POSPRUEBA
I. 1) a
2) b
3) c
4) a
5) d
6) a
7) c
8) a
9) d

59
II. 1)
.
. .
52 23 70
48 30 74
pelot
muñ carr
sábado
domingo
 
 
 
 
2)
8.50
12.30
5.80
 
 
 
 
 
3)
1,130.90
1,206.20
sábado
domingo
→  
 
→ 

60
REFERENCIAS
1. Elementary Matrix Algebra
Franz E. Hohn
Second Edition
The MacMillan Company, New York, 1965
2. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times
Morris Kline
Oxford University Press, 1972
3. Matrices Definidas Positivas
Esperanza Vélez, 1988
4. Matrices and Linear Algebra
Hans Schneider/George Phillip Barker
Second Edition
Dover Publications, Inc., 1989
5. Condiciones Suficientes para Matrices de Distancia
Esperanza Vélez, 1994
6. Linear Algebra
Quick Review
Jerry Bobrow
Wiley Publishing, Inc., 1996
7. Beginning Linear Algebra
Seymour Lipschutz
McGraw Hill, 1997

61
8. Linear Algebra with Applications
Seventh Edition
Steven J. Leon
Pearson/ Prentice Hall, 2006
9. Algebra and Trigonometry
Seventh Edition
Michael Sullivan
Prentice Hall, 2006
10. Mathematical Analysis
for Business, Economics, and the Life and Social Sciences
Twelfth Edition
Ernest F. Haeussler, Jr./Richard S. Paul/Richard J. Wood
Prentice Hall, 2008

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