1 MATRICES.pdf. La noción de matriz es útil como método simplificado para representar información.

MATEMATICA
MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES
-Conceptos Básicos
-Representación de una matriz
-Igualdad de matrices
-Matrices Especiales

MATRICES
¿CÓMO SURGIÓ?
• El estudio de la teoría de matrices se desarrolló en su mayoría, en el siglo XIX. Sin embargo,
las primeras nociones aparecieron alrededor del año 150 d.c.; durante la dinastía Han, los
chinos emplearon las matrices en la solución de sistemas de ecuaciones. Igual sucedió con
los babilonios en el año 400 d.c.
• Al contrario de muchos temas que ya hemos estudiado, las matrices no representan ideas
matemáticas profundas ni novedosas, sino que básicamente son innovaciones muy útiles en
el lenguaje matemático. Es decir, la teoría correspondiente fue estudiada al analizar los
sistemas de ecuaciones lineales, y las matrices permitieron expresar esta teoría de manera
más compacta.

¿EN QUÉ SE APLICA?
La noción de matriz es útil como método simplificado para
representar información. Por ejemplo, cuando deseamos informar
sobre los mismos aspectos de varios entes, podemos hacerlo en
forma simplificada a través de una matriz, es decir podemos
organizar los datos en filas y columnas.
En una tabla de posiciones de los equipos que participan en el
campeonato de futbol, cada fila (datos en forma horizontal) presenta
los resultados logrados por cada equipo (partidos jugados, ganados,
empatados, perdidos, etc.); cada columna (datos en forma vertical)
muestra una misma información referente a todos los equipos
(puntos totales).

¿EN QUÉ SE APLICA?
Las operaciones que uno pueda realizar con la información depende del campo de
aplicación en donde se empleen matrices; esos campos pueden ser: economía, teoría de
juegos, genética, sociología, estudios sobre flujo de tránsito, modelos de crecimiento de una
población, manejo de información secreta, etc.

Ejemplo: Al realizar el inventario en los tres almacenes de una tienda se obtuvo:
 Almacén 1: 18 computadoras, 18 impresoras y 5 escáneres.
¿Cuántos artículos de cada tipo hay en la tienda?
Solución
Organizamos los datos, en filas y columnas formando un arreglo rectangular.
La fila indica el almacén y la columna el artículo.
En total hay 40 computadoras, 39 impresoras y 29 escáneres.
C I E
Almacén 1 18 18 5
Almacén 2 20 18 9
Almacén 3 2 3 15
Total 40 39 29

MATRIZ
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y
columnas. Estos elementos están encerrados entre paréntesis o
corchetes y pueden ser números, funciones, inclusive matrices mismas.
Ejemplo:












0
1
5
3
/
1
2
A
Fila 1
Fila 2
Columna 1
Columna 2
Columna 3

Las matrices se denotan con letras mayúsculas, tal como A, B, C, etc. El conjunto de elementos o
componentes de una matriz se encierra entre paréntesis o corchetes y en los casos en que no se use
números reales específicos, se denotan con letras minúsculas subindicadas: 11
11
11 ,
, c
b
a
Notación:















mn
2
m
1
m
n
2
22
21
n
1
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A







j
i
a
FILA COLUMNA
NOTA. Se debe destacar que una
matriz es un arreglo y como tal no tiene
un valor numérico

Ejemplos:
 
4
8
9
2
/
1
0
0
1
1
5
3
1























 C
B
A
𝐷 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 cos 𝛽 tan 𝛼 𝐸 =
2𝑎
−𝑏
3𝑐

Orden o Dimensión de una Matriz
El orden de una matriz está dado por el producto indicado mxn , donde m indica
el número de filas y n el número de columnas.
Ejemplos: 1 8 4
6 8 8
9 0 3
A
 
 
  
 
 
Es una matriz de orden 3x3
1
0
0
B
 
 
  
 
 
Es una matriz de orden 3x1
Las formas más frecuentes de asignar una matriz son:
 
ó
ij ij
m n m n
A a A a
 
 
 
 

 Si el número de filas y de columnas son iguales (m = n) entonces se dice que
la matriz es de orden n
 El conjunto de matrices de orden m x n, con coeficientes en K (K puede ser R o C).
Se denota Km x n, es decir:
 
n
m
ij
n
m
a
A
A
K 


 ]
[
/








3
1
2
5
2
1
A
Ejemplo:
Es una matriz de orden 2 x 3 3
2
 K
A






 

10
4
8
1
B Es una matriz de orden 2 x 2  2
2
 K
B

Escribir explícitamente la matriz.
j
i
a
K
a
A ij
ij 


 
2
/
]
[ 3
2
1)
)
,
min(
/
]
[ 3
3
j
i
b
K
b
B ij
ij 

 
2)
j
i
c
K
c
C ij
ij 


  2
4
2
/
]
[
3)
Solución

IGUALDAD DE MATRICES
Se dice que dos matrices A y B son iguales si son del mismo orden y sus componentes
correspondientes son iguales, es decir, si las matrices son idénticas
j
i
b
a
b
a ij
ij
n
m
ij
n
m
ij ,
,
]
[
]
[ 


 

Ejemplo
Sean las matrices y
j
i
ij
ij a
K
a
A )
1
(
2
/
]
[ 2
2




 









3
3
1
y
x
y
x
B
Hallar los valores de x e y de modo que A=B
Solución

Ejemplo: Halle el valor de x.y-u.v si las matrices A y B son iguales:
𝐴 =
𝑥 − 𝑦 𝑢 + 𝑣
𝑥 + 𝑦 𝑢 − 𝑣 2𝑥2
𝐵 =
10 6
2 2 2𝑥2
Solución

EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1) Construir la matriz usando la siguiente ley de formación: 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 3𝑥3
; 𝑏𝑖𝑗 = 3𝑗 − 𝑖2
2) Construir la matriz usando la siguiente ley de formación: 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 3𝑥4
; 𝑐𝑖𝑗 = ቐ
𝑖 + 𝑗 ;𝑖 > 𝑗
0 ; 𝑖 = 𝑗
2𝑖 − 𝑗 ; 𝑖 < 𝑗
3) Escribir explicitamente la matriz "A"
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 2𝑥3
/𝑎𝑖𝑗= ൝
𝑎𝑖𝑗 = 𝑖. 𝑗 ; 𝑖 = 𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗 ; 𝑖 ≠ 𝑗

TIPOS DE MATRICES
MATRIZ RECTANGULAR. La matriz de orden m x n, con mn, recibe el nombre de
matriz rectangular.
Ejemplo:







4
0
2
5
1
1
A Es una matriz rectangular de orden 2 x 3
MATRIZ FILA. La matriz de orden 1 x n, se denomina matriz fila o vector fila.
Ejemplo:  
4
3
2 

A Es una matriz o vector fila de orden 1x3
MATRIZ COLUMNA. La matriz de m filas y una columna recibe el nombre de matriz
columna de orden m x 1.
Ejemplo:












7
1
2
A Es una matriz columna de orden 3 x 1

MATRIZ CERO. Una matriz cuyos elementos son todos nulos, es decir aij=0 i,j
recibe el nombre de matriz cero o nula.
Ejemplo: 






0
0
0
0
0
0
A Es una matriz cero de orden 2 x 3
MATRIZ CUADRADA. La matriz que tiene el mismo número de filas y columnas se llama
matriz cuadrada. Es decir: n
m
cuadrada
es
A n
m 


En este caso se dice que A es una matriz de orden n x n y se le representa por An, y al
conjunto de matrices cuadradas se le denota por Kn.
Ejemplo.











33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A Es una matriz de orden 3 (A  Kn)

OBSERVACIÓN. En una matriz cuadrada, la diagonal principal es una linea formada
por los elementos: nn
a
a
a
a ,
...
,
,
, 33
22
11
OBSERVACIÓN. TRAZA DE UNA MATRIZ. La suma de los elementos de la diagonal
principal de una matriz cuadrada A se llama Traza, y se denota por Tr(A). Es decir:





n
i
ij
n
ij a
A
Tr
a
A
1
)
(
]
[
Ejemplo: Hallar la traza de la matriz
1 8 4
6 8 8
9 0 3
A
 
 
  
 
 
Solución
Tr(A)= 1+8+3
Tr(A)= 12
1 8 4
6 8 8
9 0 3
A
 
 
  
 
 
Diagonal principal

SUMA DE MATRICES. Dadas dos matrices A=[aij]m x n y B=[bij]m x n, se llama suma de A y B
a otra matriz C=[cij]m x n tal que:
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗, ∀𝑖, 𝑗 ∈ 1,2,3, . . . , 𝑛
]
[
]
[
]
[ ij
ij
ij
ij b
a
b
a
B
A 




Ejemplo Sean las matrices









2
3
1
2
y
y
x
A 









2
1
2
5
x
x
y
B 








1
4
5
2
C
Hallar A + C, sabiendo que A=B
Solución

NOTA. La adición de matrices es la ley de composición interna que hace corresponder a
dos matrices, del mismo orden, su suma. Se denota:
  B
A
B
A 

,

PROPIEDADES DE LA ADICIÒN DE MATRICES
Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces se cumplen las siguientes
propiedades.
n
m
n
m
K
B
A
K
B
A 



 )
(
,
,
1) Clausura
A
B
B
A 


2) Conmutatividad
C
B
A
C
B
A 



 )
(
)
(
3)
Asociatividad
A
A
A
K
A n
m
n
m





 

0
0
/
0
,
4) Elemento neutro aditivo
0
)
(
)
(
/
)
(
, 








 

A
A
A
A
K
A
K
A n
m
n
m
5) Elemento inverso aditivo
OBSERVACIÓN. Dos matrices del mismo orden se llaman conformables respecto a
la suma algebraica.

Ejemplo: Sean 𝐴 =
1 5 6
2 −8 0 2𝑥3
y 𝐵 =
0 −4 0
−1 0 9 2𝑥3
Calcular A + B.
Solución
Las matrices A y B son del mismo orden entonces existe A + B

DIFERENCIA DE MATRICES. Dadas las matrices A y B del mismo orden m x n, la
diferencia es otra matriz C, del mismo orden, tal que.
n
m
ij
ij
n
m
ij
n
m
ij
ij b
a
b
a
c 

 


 ]
[
]
[
]
[
Ejemplo Sean las matrices





 

1
0
3
5
2
7
A 




 


3
3
1
2
4
1
B Hallar A - B
Solución

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.
Dados una matriz A y un número k, el producto de k por A se define por
𝑘. 𝐴 = 𝑘[𝑎𝑖𝑗] = [𝑘. 𝑎𝑖𝑗]
Cada componente de A se multiplica por el escalar k.
Ejemplo Si k=-2 y 









5
1
2
2
A entonces















)
5
(
2
)
1
(
2
)
2
(
2
)
2
(
2
.A
k





 
10
2
4
4

𝐏𝐑𝐎𝐏𝐈𝐄𝐃𝐀𝐃𝐄𝐒:
1) 𝛼 𝐴 + 𝐵 = 𝛼𝐴 + αB (distributiva respecto de la suma de matrices)
2) (𝛼 + 𝛽)𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴 (distributiva respecto de la suma de escalares)
3) 𝛼 𝛽𝐴 = 𝛼𝛽 𝐴 Asociativa
4) 𝛼𝐴 = 𝐴𝛼 Conmutativa
5) (𝛼𝐴)𝑡= 𝛼 𝐴𝑡

EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1) Sea 𝐴 =
3 2 −4
5 6 8
3 0 0
𝐵 =
0 3 8
−5 −6 2
0 0 −4
Calcular : A +B y A - B
2) Dadas las matrices A=
2 3
−3 4
0 1
B=
−6 8
3 −4
Τ
1
2 −2
Hallar:
a) A + B
b) A - B
3) Dadas las matrices 𝐷 =
4
2
−1
5
E=
7
9
−4
10
𝐹 =
14
18
−8
5
Hallar : a) 3 D + 2E b) 2F -7D

PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA
Sean las matrices:
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
2 4 0 1x3
5
−1
34 3x1
= 2(5)+4(-1)+0(34)= 10+(-4) = 10-4=6

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