1er termino 2008

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
I-Término 2008
Resolución de la Primera Evaluación de Algebra Lineal (B)
1. Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes proposiciones. Justifique su
respuesta

a) Sea un espacio vectorial (V ,⊕,•) . Si u ⊕ v = w ⊕ v ⇒ u = w

Sumamos el inverso aditivo de v en ambos lados de la ecuación
( u ⊕ v ) ⊕ v' = ( w ⊕ v ) ⊕ v'
u ⊕ ( v ⊕ v ') = w ⊕ ( v ⊕ v ')
u ⊕ OV = w ⊕ OV
u=w

∴Verdadero

b) Sea (V ,⊕,•) un espacio vectorial. Si S1 = { v1 , v 2 ,..., v k } ⊆ V y S 2 = { w1 , w2 ,..., wr } ⊆ V son
conjuntos linealmente independientes, entonces S1 ∪ S 2 es también linealmente independiente

 1   0  1  1 
Sea V = R 2 . Sean S1  ,   y S 2  ,   dos conjuntos linealmente independientes en R 2
     
 0   1  1  0 
 1   0  1
S1 ∪ S 2 =  ,  ,   , como tiene más elemento que la base de R 2 podemos concluir que este conjunto
   
 0   1  1
es linealmente dependiente

∴ Falso

c) Si A ∈ M mxn , entonces dim( N A ) = dim( R A ) , donde N A es el núcleo de la matriz A

 1 2
Sea la matriz A = 
 3 4

 
 1   3 
R A = gen ,   , pero este conjunto es linealmente independiente en R 2 y por tanto constituye una
  
 2   4 
base del espacio renglón de A , entonces dim( R A ) = 2 = dim( Im( A) ) = ρ ( A)

Del teorema de la dimensión para matrices:
v ( A) + ρ ( A) = n
v ( A) + 2 = 2 ⇒ dim( N A ) ≠ dim( R A ) ∴ Falso
v ( A) = dim( N A ) = 0

Ramiro J. Saltos

d) Sean H y W dos subespacios vectoriales de V con bases B1 = { v1 , v 2 } y B2 = { v 2 , v3 }
respectivamente. Entonces B = { v 2 } es base del subespacio H ∩ W

 1   0   2   0 
Sea V = R 2 . Sean los subespacios H = gen ,   y W = gen ,  
     
 0   1   0   1 
Podemos notar que los conjuntos generadores de H y W son linealmente independientes y por tanto
constituyen una base de R 2 , es decir, H = W = R 2

 1   0 
Entonces H ∩ W = R 2 y una base de la intersección sería B =  ,  
   ∴ Falso
 0   1 

2. Sea V = M 2x 2 . Dados los conjuntos:
 a b    a + b a + c 
H 1 = 
 c d  ∈ M 2 x 2 / 2a + 1 = 3 + b + d − 2
 H 2 = 
  / a, b, c, d ∈ R 

    a + d 1  
 1 0   1 1 
H 3 = gen 0 − 1,  0 0 
  H 4 = { A ∈ M 2 x 2 / det ( A) ≠ 0}
  

a) ¿Cuáles son subespacios vectoriales de V ?
b) Determine una base y la dimensión de dos de los subespacios obtenidos en ( a ) , así como
de su intersección
 2 1 3 1 
c) Sean A =   y B=
 2 1  0 − 2  . Determine si A + B pertenece a la unión de los

   
subespacios hallados en ( a)
 0 0
Sea OV = 
 0 0

 

El elemento neutro del espacio vectorial por definición pertenece a cualquier subespacio de V , entonces:

OV ∉ H 2 porque no posee la forma de todo elemento de H 2 , es decir, en su cuarta componente debe estar
siempre presente la constante 1, lo cual no ocurre con el vector nulo

∴ H 2 no es subespacio de V

OV ∉ H 4 porque su determinante es igual a 0 y con ello no cumple la condición del conjunto H 4

∴ H 4 no es subespacio de V

 1 0   1 1
H 3 es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores 
 0 −1 y  0 0  y por
  
   
teorema este conjunto es un subespacio de V y además es el menor de todos los subespacios que contienen a
los vectores ya mencionados

∴ H 3 es un subespacio de V

Se han analizado los conjuntos más sencillos, con el último hay que determinar si se cumplen los axiomas
de cerradura de la suma y multiplicación por escalar

1. ∀v, w ∈ H 1 v + w ∈ H 1

a b  a b 
Sean v =  1 1  y w =  2 2  ∈ H 1 ⇒ 2a1 = b1 + d1 ∧ 2a 2 = b2 + d 2
c d  c d 
 1 1  2 2

 a b   a b2  ⇒ 2( a1 + a 2 ) = ( b1 + b2 ) + ( d1 + d 2 )
v+w= 1 1+ 2
c d  c d  
 1 1  2 2 2a1 + 2a 2 = ( b1 + d1 ) + ( b2 + d 2 )
 a + a 2 b1 + b2  2a1 + 2a 2 = 2a1 + 2a 2
v+w= 1
c +c d +d  
 1 2 1 2 0=0

Ramiro J. Saltos

→ La suma es cerrada en H 1

2. ∀α ∈ R ∀v ∈ H 1 α • v ∈ H 1

a b
Sea α ∈ R . Sea v = 
 c d  ∈ H 1 ⇒ 2a = b + d

 

a b 2(αa ) = αb + αd
α •v =α • c d 

  α (2a ) = α (b + d )
⇒ → La multiplicación por escalar es cerrada en H 1
 αa αb  2a = b + d
α •v = 
 αc αd 

  2a = 2a

∴ H 1 es un subespacio de V

a b 
Sea 
  ∈ H1

c d 

 a b   a 2a − d   1 2  0 0  0 − 1

c d  = c
   = a
  0 0  + c 1 0  + d  0 1 
    
   d       

 1 2   0 0   0 − 1
∴ B H 1 = 
 , 
 , 
 
 dim( H 1 ) = 3
 0 0   1 0   0 1 

El conjunto generador de H 3 es linealmente independiente y por tanto constituye una base para H 3

 1 0   1 1 
∴ B H 3 = 
 , 
 
 dim( H 3 ) = 2
 0 − 1  0 0 

a b 
Sea 
  ∈ H1 ∩ H 3

c d 

a b  1 0   1 1  α 1 + α 2 α 2 
 c d  = α 1  0 − 1 + α 2  0 0  =  0
       
− α1 
       
a b   1 2  0 0  0 − 1  β 1 2β 1 − β 3 
  = β1 
c d   0 0 + β2
 1 0  + β3
0 1  =  β
  
         2 β3  

 α 1 + α 2 = β1
α = 2β − β
α1 + α 2 α 2   β1 2β 1 − β 3  

 0 =  → 2 1 3

 − α1   β 2
  β3    0 = β2
 − α1 = β 3


1 1 β1  0 1 β1 + β 3  0 0 − β1 + 2β 3 
     
0 1 2β 1 − β 3  0 1 2β 1 − β 3  0 1 2β 1 − β 3  − β1 + 2β 3 = 0
0 0 β2  A41 (1)  0 0 β2  A21 (−1) 0 0 β2  β2 = 0
β1 = 2β 3
     
−1 0 β3  −1 0 β3  −1 0 β3 
     

 a b   β 1 2β 1 − β 3 
c d  = β
   β3 

   2 
 a b   2β 3 2( 2β 3 ) − β 3 
c d  =  0
   β3


   
 a b   2β 3 3β 3   2 3
 =
c d   0  = β3  0 1

   β3   

 2 3
∴ B H 1∩ H 3 = 
  dim( H 1 ∩ H 3 ) = 1

 0 1 

5 2 
A+ B = 
 2 − 1

 

Para que esta matriz pertenezca a la unión de ambos subespacios, debe pertenecer ya sea a H 1 o a H 3 . Si
pertenece a H 1 debe cumplir su condición
2a = b + d
2(5) = 2 − 1 → A + B ∉ H1
10 = 1

Finalmente hay que determinar si pertenece a H 3 y para ello debe ser una combinación lineal de los
vectores de su base

5 2  1 0   1 1

 2 − 1 = c1  0 − 1 + c 2  0 0 
    
     
 5 2   c1 + c 2 c 2 
 2 − 1 =  0
   
− c1 
   

Si nos damos cuenta nos queda la igualdad 2 = 0 la cual es falsa → A + B ∉ H 3

∴ A + B ∉ H1 ∪ H 3

Ramiro J. Saltos

{ } {
3. Sea V = P2 y B1 = x 2 + 1, x 2 − x, x − 3 y B2 = x 2 − 2 x + 2, x − 3, x 2 − 1 bases de P2 . }
Determine:
a) La matriz de cambio de base de B2 a B1
b) El núcleo y la imagen de la matriz obtenida en ( a )

Sea ax 2 + bx + c ∈ P2
( ) (
ax 2 + bx + c = α 1 x 2 + 1 + α 2 x 2 − x + α 1 ( x − 3) )
ax + bx + c = ( α 1 + α 2 ) x + ( − α 2 + α 3 ) x + ( α 1 − 3α 3 )
2 2

 α1 + α 2 = a 1 1 0 a 1 1 0 a  1 1 0 a 
      
− α 2 + α 3 = b  0 − 1 1 b  A13 (−1) 0 − 1 1 b  A23 (−1) 0 − 1 1 b 
 α − 3α = c 1 0 − 3 c  0 −1 − 3 c − a 0 0 − 4 c − a − b
 1 3      

− 4α 3 = c − a − b − α2 + α3 = b α1 + α 2 = a
a+b−c a − 3b − c 3a + 3b + c
α3 = α2 = α1 =
4 4 4

 3a + 3b + c 
1 
[
⇒ ax + bx + c
2
] B1 =  a − 3b − c 
4 
 a+b−c 

 −1 4   0  12 
     
[x 2
]
− 2 x + 2 B1 =  54  [ x − 3] B1 =  0 [x 2
]
− 1 B1 =  12 
 −3   1 1 
 4    2

 −1 4 0 1
 2
 
∴ C B 2→ B1 =  54 0 1
2
 −3 1 1 
 4 2

Como C es una matriz de cambio de base, su determinante siempre será diferente de cero, esto implica que
sus columnas son linealmente independientes en R 3 y constituyen además de una base del espacio
C C = Im(C ) también una base para R 3
∴ Im(C ) = R 3

Para el núcleo utilizamos el teorema de la dimensión:
v (C ) + ρ (C ) = n
v (C ) + 3 = 3
v (C ) = 0

Como la nulidad es cero, entonces el único elemento presente en el núcleo de C es el OR 3

 0 
 
∴ Nu (C ) =  0 
 0 
 
 x  
  +
4. Sea el espacio vectorial V =  y  / x, y ∈ R, z ∈ R  junto con las operaciones:
 z  
  
 x1   x 2   x1 + x 2 + 2 
     
 y1  ⊕  y 2  =  y1 + y 2 
z  z   z z 
 1  2  1 2 
 x   αx + 2α − 2 
   
α •  y =  αy 
z  z α 
   

Determine:
a) El neutro de V y el opuesto de v ∈ V
 0 1  2 
     
b) Si  0  es combinación lineal de  − 1 y  − 2 
 0 2  4 
     

1. ∀v ∈ V 0 • v = OV
 x   0 x + 2(0) − 2   − 2   − 2
       
OV = 0 •  y  =  0y = 0  ∴ OV =  0 
z  z 0   1   1 
       

2. ∀v ∈ V − 1 • v = v'
 x   (−1) x + 2(−1) − 2   − 4 − x  − 4 − x
       
v' = −1 •  y  =  (−1) y = −y  ∴ v' =  − y 
z    1   1 
   z −1     
z
 z 

 0
 
3.  0  no es una combinación lineal de los vectores mencionados porque este no pertenece al espacio
 0
 
vectorial V

Ramiro J. Saltos

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