Integral definida
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1. Calcular la suma de Riemann asociada a la función f(x)=x^2+3-r en el intervalo [0,8]. 2. Calcular la suma de Riemann asociada a la función f(x)=senx en el intervalo [1,2]. 3. Expresar el límite dado como una integral definida y calcular su valor.
![IÁ INTEGRAT DEFINIDA
1.- Hallar la suma de Reimarur asociada u f(")= x2 +3-r en el intervalo
[0,8], donde
Jo =0, xt=1, x2=3, xt=7,y x+:Srydonde ct=1, cz--2, ct:5, co=8.
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2.- }Jallar l,a suma de Reimann asociada senx en el intervalo f1,2r'1, donde
fo =0,xr=fi14, xz=lf 13, xz=fr, Y xo=277,'y donde 1=fi16, cr=r13,
cz = 21tr 13, y co = 3t 12.
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3.-'En los siguientes ejercicíos exprese eI límíte dado como una integral definida y
calcule su valor:
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4.- En los siguientes ejercicios calcule las integrales definidas:
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7.- En los siguientes ejercicios, decidir si la afirmación es correcta o no. Si no lo es,
explicar por qué o exhibir un ejemplo que muestre su falsedad:
a) si F'!c) = c'(") en el intervalo o,bl,entonces F(b)- F(o = G(b)- clol
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I rr*l/x > e :) f - g.'h ¡"^.-tL x o^ L^,tl
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FC*) = o
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b
i) Si f es cerrtirma y f(x) > 0 para toda r m [a b], entonceu ff(t]at > O.
5-r^ f **.^ h*o-- r...-o^ -t'** T-t* "-.^ [^,bl
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f(4 = 0 para toda r en [a' b]'
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k) si
Jñr!* t Js(')'to, entonc* Jt/(')- s{')h'0
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8.- Demuestre que: i fC xpx = i¡UY-r.- Supóngase que /integrable en [a,á] con
a-b
*< f(*)<Mpatatodox enla,bl, m>yM > 0. Demostrarque:
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10.- Enuncie y demuestre el segundo teorema fundamental del Cálculo.
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Integral definida
- 1. IÁ INTEGRAT DEFINIDA 1.- Hallar la suma de Reimarur asociada u f(")= x2 +3-r en el intervalo [0,8], donde Jo =0, xt=1, x2=3, xt=7,y x+:Srydonde ct=1, cz--2, ct:5, co=8. Ru'2/l- (x;)61; ¡: Ru= f (c,)nx,-+f (c')lx,+f(¿r)axr+ f (c")Ax, Rs.'rC') (r -) + ¡[.) (l--r; + r(s)(+-=) + r(l) (t-+) Ru= q(t)|t-'(.)"t-(.r)*¡¡(,-) = L{+¿.r +i6<l+!: " f(*)- 2.- }Jallar l,a suma de Reimann asociada senx en el intervalo f1,2r'1, donde fo =0,xr=fi14, xz=lf 13, xz=fr, Y xo=277,'y donde 1=fi16, cr=r13, cz = 21tr 13, y co = 3t 12. Ro' L r(y-) lxi Rs= r k)41,-+¡(cJAlr f(¿r) lX, * ¡(c.') nx* + Ru= r(ol.) (r1",-4 + / (rr fr) (rr h-rr l') *f (zir l')h-rri:) t f ( r,i¡.) [."'-rr) Ro- i f r . r[¡ f ¡1 * -fi, {-zr' u (-') (ri) ;'{) . :-z/ L r' r / f: ofVJ ^r( - -L+- '7 L'l 3.-'En los siguientes ejercicíos exprese eI límíte dado como una integral definida y calcule su valor: 1- lp-,-:-o ?: Ali _--; t:r¡ I L a>(' b-ar a) n*T ' G-,Y Lx,; a=1-,b=3 , 1_el-+o fr, ' il- f (+,) ¡:.. + .r (r,) + .r (x¡) nx + +r (x*) ax ¡ -9üo ^x n- ¡* I r (x') rr(x,.) tr(r¡)+--- -+ f f' (Y- .l )f h-tr@ L 'l e-l tt- y/,ryY n--¡7S nx [L' (y,_) '* $r)'* (xr)'*--' -- + (x-) J I .)-l nx[ ['+nx)]*('*zar)]+ ('n.o*i'+ --- - + ( r * ..4x/ .l n--126
- 2. .* ft y-ñ il- nx (-r+ i¡x +¡¡t' + ¡)r3 + I + Ga). + -r¿n* + la¡'+ r-+l Ax+ ¿+Ayi +z+ali+-- -+ ra l>,AX +3h¿ax+-,'lrt) n--70Ó il- L/r¡, lx[r- + 3a,q(tu.+3+--t'^) + 3nx'(r+r+1t .-')+ A1, (r+¡ +¿++- -- +*'t)l J f-tcB f )¿án oo-l- + 3ar, (rq,¡)+ :n{ (ir-:u":oo-) - o*' (*t*)'l T--?s Ax.., + 3^t' (úr')) + At' ttt$.!._-) * o*' !'r')-¡' n U.. IAh *P€O f], L¡ F 3lq f ''^("r')l + J [(...')(¿",*') x I * ¿q- | (''r.)'-,' "/L L -rL IJ L J ^..-ul Li fl L I a L-rl-) l- q (-' +:,) (z -. *t) + q (-'r'.,t o ¿. +r) ,f --s'ao n L+ , /. r ./r¡ +eIt-*+]lZ+{',/', f.r * d *JL / / f r f) I 1¿^ 6 [:-*J_ ¡l -/n i-'l :s ! Ir I --9CO k- , lll J CO il L+ 6- *., f q :. La ll /t 't -¿ "t: n! A)(= b-a- !- q::) b) ' Iim F 1-¡- &r IPJ+0Í t | w M,)d=-]',b=l = = ' t=t 1- (x-) nx ', z ) It Xr ,X. L^* txf r-{@ -1-'- r*+ )f.r !+lA¿ J-+ Xl T---l l- +-x.n t 1 nx(t*nx)t* (r+¿¡rr)t ¡ (t*.¡*)t.+----*+ (rtna*)¿ I n--lz6 I t- tt-^¡' |* (r+¿¡x) ¡-+('trnx) ¡-+ trrnA;r) ) h"^ Ax / L-+¿ar..+at' * -L+ qoi¡'+qAY-l + !-flaxj:AÉ +- - --- | !+ ¿Y] a)(rr Y¿Ata zfzNx z+ 3A)' Z t - AX n--9€ .-"^ 1 I r +.¿+3+. +-)+trX¿(r-tz'+)'+- - V-/rfl lX I t. *zar(tt _ n-f ca .,-" ¡ ax(r+L+]+-- -+-'^) I r, t znX (t!)- + ax¿ (r"+i(r'+¡-)- I ¿ s n il- ¡1 ¡-géÓ | .r,t Ax *+ J Air¡", + [1'(t+')-, ¡ A-Ai (n+'-)(q*'+t)¡ tl- t--'Pó @ L
- 3. ( tl- r z .T¡ +q Lnr-)- + ^ ¿-n+l) (-+¡-)r", X /- L+ ¿frl! + 1-31-.-- I I .¡' Z ^Y1 6 'ttln+r-) I I m1 l=u=- 1-t' I t+ cb L qn + z/t ('+:-)'-' JL 11- + d'r^ +l I I -_v- L t_ 'l L Gnt*(ot+ (^r^r +?¡.L+-t-¿ t tl ¿ot + Ll"Yt + q o = t-..^ ¿o-.'I r?* +'.1 f] ;tr il- EJff t **L 3tt' }n+l ***L n3+3-r,¿ l -'l + 3rr¿ = J 11 -o ") liffZú,.AYa.r,. a:o ,bx A{= ='fi y'[x' {t- l-s f (r,)Ax+lCx')Ax+f (x.)Nxt--- * + N;q ¡ -.vCO fi- o^L.F(r-1 + f(x") +.c[xo)+--- + ,r(x-)l n+6 t)- Nxl(5'-,a,')'+ (5*-x,)'* (5"-Xo)"a - --* * (s"^''u-)tl ñ--qPcO {}_ YeCñ ¡--lr b o* Lr. 5..-' (*t' * x.' + Xr'. - - + X"')l ¿l a* (o+ ]ax'+ - + ( o+r^' ax) )I 5"*'L (o+ lx)'+ (o 'r.nr*)'+ fi- - - n4 eO [- A*L-i^'(Af + ¿'a)('+r'a-f +---- + ]-r¿ ^-')] t] n -_g(tt f)_ ¡-F m lxl- 5*' L ar(' ( L'+ ¿'+ 3' i, - + *') j l (.+r)(!'".+,.¡)1= ax|., J"-'I lx' Oylr.:l'):l]. ()- y-{ñ Q-."- j@ L L 6 J I ,_rrco .lÍ [ n 5^' l r' r-l f_ f y4r) [2y'+-L ) _ A I t- Y-r{ñ (-*-r-)(,-+,,-) l lt- {l_ y-iY ---_-1- *eo -tllllll¡ll¡¡€ -n - ¿"-t / ,-] 6r 1 F /., o// {" T -/ r7-1' [ | L/á' I { 4.- En los siguientes ejercicios calcule las integrales definidas: u-2 A --T- du ")JI Nu , .3lz ¡ q - | 1?lr | .tll L_tr) + qtr)rrl¿ q f. _a(,1,) - 1L,1) : rIlr ¿ f r,.lll-L l,,-'lt - u ^''t : -/}'| .. rt¿ I Ir'" 7 J i: 3 a ! t *r6 6- ¿ +Lt= ? /l 3 3t'
- 4. T '"-t j xz ¡/¿ b) Il2)c-31d, zx- tl J (."-$ X¿ ó/¿ - 0 | , {t l( -( zx-r)Jx+ (¿x-l) Jx u . 3x- .i1 l,,,.l(l i).(/-l I +)l = t,{ | . J) 1"".. o 3l¿ -^ oiu,#* -l- -' I X ,( ¿x- x'Jx: t (t x'l'- r I a xt/'/ - | | ¡(-.)- I (r) + b (-r.-) +¡( z.r"!=l.e] I I ¿x !tA ) L)('13 zsi zt/ / , zls s s : -l s" -s -t xl2 d) IQ, * costPt - -t¡ /2 - lz [+ $j r,ltf. t/ ". nl¿ i ) ¿f, JI t t . J. c^,r ¿ir r'l:. . ¿5*.1/."= L I -Tl¿ lo E I(2il'll-31¡F" ?,r i 11 .f _)-*o'.tjf *dxJ: ,l q {c -!oL-1 .l t- rrrt( . I | _t I z[*ax-3 lxdx =.1 r)))) rJx+ aJx+ t-d* + zJ* + rax I JJ l-¿Jx+ 1 J J - -L o .L '1-!olL r*l ro l¿ ( ,o ,, u I -l-. -xl l-L +tl*L*1, *:xl. lo J-Xl + 'l lr J L ¿r-¿ +1. = /rlf- z(r)-3(.,--)' -t"'- z[* z (-' *.) + (. *') * (,-') * a(r-.) o¡ 1r-r)l- 3l- wJL it")*+("ll ¡ [*) " 15.". z*l ü ll'u"z*la* -L 1f ¿L ¿qr s-!. 3r( +r L {{T tr l¿ n r( _-.**," Jo _q,r+$,.1r = qt.) t/i I I* SqnzÁ dx. I l- l- .8// o Llo I l / u) iblr,r'x+lxl' o;.b. -7 ffq t .- -' ¿- - 'ir l¡r ll r '-'-|,'----- tl ) :lxlfi"*i''¡.1 | -.---J ¡/Y _--- '/ Jx + it"fi"..-x)Jx )"*J tl ,trk )l ( _nlq !ú .fl ) ^? P**f*Pq Po^ * rq It v u -T*pq I *g.^¡
- 5. 5.- En krs siguientes ejercicíos usar eI primer teorema fundamerrtal del Cálculo Para determinar F'(x): .f a) r(x)= I'{,* b) F(r) = fsect.tant.dt . rl3 8 I ¿ ',1-'¿r )' J p("). I.? ,".T l*T )T F(*)= df. ¿'t, r dx d* 'o rl l¡ ¡, n t/ t'(*) . 5 o. -A T*^ a' ll F (x) - 'lX lt x+2 c) r(x)= [t.costdt d)F("r)= l$t +t@r 0 ¿ t*t'* / F(1.1= ¿ ¿ F(")= )'1.,- dx dx; i-t.rrr)<)T. dx [:(*)" q (*+c) + | - frx+-Ll . r{.( f 8 -¿tx rI _l t'c*). xC"x / F'(*)= 8 ll *- t' vt e) r(r) = ['llat 0 lt-ú, 0 r(") = 1t -rr , !_ rr*1. ¿ 5rmx r rli Jt i r(*)= d il r' d:' J ¿. dx d-r. ) dx ! -¡'+L- r'c*1,;ll ['(")* i ll ll x.+r F T--= g) F(x)= JV1 +t'dt 0 q rt¡=jia, .¡* ,) F(*)= -!- L--r' Jf () -r ¿_ | I lLdl. I . , rT dn- dt L I d+ df 'o dx ¡- Z F'c*l ' , + ?-+11 t¡) F'(*)=i(..u/ 6.- Calcular: :l a^ I cosx'dx ¿l G.x'Jx a) lim o l u- Krrn ¿*¿ _ t*. C.o."{t. (,o, -)'= L/ ' x-+0 X )l{o dx x*o dx [(wr'tan*l a* ¿ dx tn^l**)-a* L^- (fuJ**)' - [r* {*'* (n^l*t") .;¡--es X b)liml----- . r+@ ¿ 1- d+ó -- LX r1x, +t ri x'+.L ¿rff*t dr I f* &á*.x /,. *V"^ ¡,- ' _ r_il la/ .z tl ¡{*1= / lA') - .l I ,l _1_,1-l- t_ ( AJ*x)' f il- xux' = IR y.srt .l.+6 = }*¡n )A-+6 I ll/ tr J{. t' Ie:' v , { 1
- 6. E t'x 2 , *,*. L ¡, ,-A f I I l"-'d*l lJ tt . I ox.Jx | ó iC C*l ' ^x l. I c) hm!------L I -d-f I ¿* -- e-^ crlt I '¿- d*t" I J-+€ ^¡ L,-" t L ^ , Y---t¡ó XL zX 1""'fu _¿_ ( -L* dx C U dx J5- -t '/ /t^Y- .z , e*J* .,I d l(J oxl -Jx "" t] e)t ) ll lr- -)3 t}- t y"'-- (-)'' 1 :A---7s *+a> :A *+{f} ¿ - L 'Lf dx z |]- )Ufr ^Y- LY- : [, .f-g-i1 t_ = r-46 14 sYt. "/ et' (¿*) 7.- En los siguientes ejercicios, decidir si la afirmación es correcta o no. Si no lo es, explicar por qué o exhibir un ejemplo que muestre su falsedad: a) si F'!c) = c'(") en el intervalo o,bl,entonces F(b)- F(o = G(b)- clol f'(*)'G(¡ t [") = q(*) (r 5h lrcn)¿x' /r) J' q(*)J* *O F(.-): cLu)- t'(*) ; lJ."i-* b) Si /es continua enfa,bl,entonces /esintegrable en lo,bl. (- n ltxl )ú dx *$.*.*^ l:f,c- .9-a "nj-¿!..j!c!r(r€r 1+l ^.{.r^ l, tr LL Po* "fA ar< ;-c.'o} I rf r J *r/*+zd* oax 'J) IL t¿ ll o + x It + tx | I la o / + (r-1.¡ + o ,ll oo" Fc L5o I + c) La función f(*)=i;^" .iit* es cons'tarite para -r > 0 ' (¿ *:l¿*l¡ : Y = f'C")" o o ,,1{x t{ r F'(*)=¿(i -i'tr rr+f r-'+t Jt) J ' d* / tl )l.¡l t,l- ,f _ -2. )( tr , L, J- +l x"+ -l- *- t x t-'- , l+ | x" x' t' - F¡e5c,
- 7. * | ij,-, { r I uc.il L ;,ql ¡ l*t*rl ['i c.^rl f I oc.tll;c.ü * ; I ,^(*)t^'*ü= f Lut")l Iu c.-il -r[^t*'¡l ["ic"r .. -J'-t""- lbló e) Si /es continua en la,bl,entonces I J f {.)atl =I I f(t)¿t la I a J é!,.ún{t/3- -/ - rc*) < PL* : l'ec")l b * t¡C*) ¿x : )' rt")Jx: )f rc")¿v. J *, t lrc*) l¿x : b J f Ipc,^d*= )J fc'¡1¿* c k bl I -r I FL*lo^ | ¿ I I Ft.) ldx ) '- )l d ti 9^16¿"¡.6 q i rftls{' >" =li r ur]fi -tw] L ,r= tl* órJ^*.5*^$" ( ) [- * [-!cx ',4 / 6 ur-- -- d* )A' a I t A L ) ^^J*= -L t,,. 7 ,L t- t- I r! LJ' [ i'o.l I iu-*r.]JL,,)( I ! f ¿l I"o-.*-* [. t [-" /,- r n l't ( l-") l' , l" J I tl",..)'- (t/')' = [ ('t-.. -')- (t-,--')J I i-''-- Q.^rl L* /' r ([-.I= [.t-^¿ -L *,-l Ll*'l
- 8. g¡ # *..o ¿uá¡int.*uto, tiende a iofinito. , A:l . A}¡ a)^¿ Ny; ffi ¡1"^"".o- ¿. L p*S-;; ll p lt , 4ho ot-,-t'*. .,o^ 'mL!J F 1'*-*o p* T* $*, [*,. J- ."r *J;J" Ll^ T*3^ klnó t* -a-rLré^ A'* i--'-o o ¡-, &o-n l p ll-t. -.-) &-[^ a3 )r-- i "* .1*-. ;J'^'*o "'- V,,JJ o,* ----- h) Si 0, entonces f es no negativa para toda r en [a b]. l/k@, I rr*l/x > e :) f - g.'h ¡"^.-tL x o^ L^,tl ) ' '" - ' b F(*) z * r J F(*) axz o 5.* o:o ,b'. I f{*)'f br¡2 Pr^"- )L= o x-dx = x l¡ = L o-3 1 1. -zJl J t I 1 - ;-; FC*) = o o J. Fsr-5o b i) Si f es cerrtirma y f(x) > 0 para toda r m [a b], entonceu ff(t]at > O. 5-r^ f **.^ h*o-- r...-o^ -t'** T-t* "-.^ [^,bl !" l(t) á* z, a J Pt o- f"* L ",bl ftx):o - F ar-5o -_+r- f(4 = 0 para toda r en [a' b]' il Si i/kW = 0, entonces a ' ot-- -' .il z S= r( l¿ I F[*)= 5"-x 5 "o' ' 'tlL f 0"^a. p* .* x'(lz ,F(*)= J 5"^* d*= o -ñ11 t"' F ''!".o
- 9. - +b b b k) si Jñr!* t Js(')'to, entonc* Jt/(')- s{')h'0 4AA hb ( ( / t r ,) r_,_ á* s(+) z ) qC*) dx J *rb I tt-*)J*- )f .c*)¿* t, J 70 ) a ( .1 [| /tr* '-oC*) dx r '' 7 | a ¿ 'J'J *ry 99 .99 r) J{*' + bx2 + = 2ltx'¿x _99 "xfu U - z(l q-{ 11 q.l c1 I I / r ,tl . t - ( I 6iX ldx + b8.¡2lx + 1¡. ^ ¿i;Jx 'vlJx , ) ':,', J;J | , I I -qq ( -.rn - ". -- I v { I*go"' Pcin J*p* qq q1. ( o + z bxdx +,ó : f , Z1 a (- bx'dx J ) ql q1 ( ' --'JX= ¿ .L, b)A , dx L ) o l t I -t'do+u,¡5. 8.- Demuestre que: i fC xpx = i¡UY-r.- Supóngase que /integrable en [a,á] con a-b *< f(*)<Mpatatodox enla,bl, m>yM > 0. Demostrarque: D *(b-'¡s!f&ñsM(b-a)- q .))) ( "t Ar.."- A^,-.*b+ At ,nl , *llrÁ" ' 1: .^ *; '*l*3-T (:.,+w¡l¡uus A,**&,-A*1,},.N[ - A''-* WsWA: . o:j-f'*:ü"m .{ Nl I,,.a,(/us V//l L ._..^,i G^
- 10. 1- 10.- Enuncie y demuestre el segundo teorema fundamental del Cálculo. I ' I i( -r a)-], = ., l r(r,)* r (*) ¿- t D'*...i*.. rrLb)-i-Lo*r- - -,r, rr r [x-)- r (x-) tt'(v')- r tx¡ r (x --,) -t (v*-.)* + F ix) - p(x') rLx-.)-[(x.')+ [rtxi-r (x-,)l o[,i, b.--') I (*..'.1* -!itrJ-rlv')l -['(-t')-r(vJl r(uJ - F (*) 2, L t tYi) r ( x I '-,) ñ-.+¡tt1 lrrJ Po, u.." LL r p*. T.u,' ..*J, ,,1 .- ,'r,.!,,. ,l , ., A, .. .... o- { ¡. .'r .'..... It' 1 . . (.',') / ,t/ t (<. 1 : ilr'.. r-rl-' fe.¡ /" -'+'''t,-'t- i t. ." (¿) l- b- c*, -l'/i t,, i rr,:. c[di- t i"; - i;i -f-¿. " *-: ' !-J alt b-¿*. --; l-- 1X; {: *;-, ( . , /:_-, Ot) / F [Y; ) . F {-,y,)--l (:-l Y-; ---l;-' a* - -. a)( I +- - --+..: + -{- {' *;-, )(; ,F ¡L; ) - ay = x; - )A ¡--L A)A; F(/,,) Ay r . F (Y;l - F (v' ') (x,) Ay; . (x,,11 ir -1. t r. (¡rr)-[ (yt-,)l L-- c 2 t (x;)Ax; - L rl ¡,1-^' [...-* z t-,*. ll *;'<: t r(u)- f (")l pl-" j'! 11 ¡ F(L)- r ('') L,G..Ll"D