Final

Índice general
1. LÓGICA 2
2. POLINOMIOS 3
3. FUNCIONES 4
4. ECUACINOES 6
5. N ÚMEROS COMPLEJOS 7
6. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 8
7. MATRICES 9
8. DETERMINANTES 12
9. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 13
10.SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES 14
11.PROGRAMACIÓN LINEAL 16
12.SUCESIONES Y SERIES 19
1

Cap´ıtulo 1
LÓGICA
№ 1 Se definen las operaciones
p = q ≡∼ p ∧ q
p ∗ q ≡∼ p →∼ q
al simplificar
[(∼ p) ∗ q] = [(∼ q) = p]
se obtiene:
A) ∼ q B) ∼ p C) ∼ p ∧ q
D) p ∧ q E) q ∧ q
2

Cap´ıtulo 2
POLINOMIOS
№ 1 Si x+1 divide al polinomio x6
+ax+
b, halle b − a.
A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 2
№ 2 Las ra´ıces del polinomio
p(x) = x5
− x4
− 8x3
+ 8x2
+ 16x − 16
son
A)
1 simple; 2 de multiplicidad 2 y
2 de multiplicidad 2.
B)
1 de multiplicidad 2; 2 simple;
−2 de multiplicidad 2.
C) 1, 2, −1, −2, 0
D)
1 simple; 2 de multiplicidad 2;
−1 de multiplicidad 2.
E) 3i; −3i; 1 simple; 2 de multiplicidad 2.
№ 3 Sea
p(x, y, z) = x2
yb
+ z2
y2a
+ xa
y2
+ xa
zb
un polinomio con grado relativo a z igual
a 3. Halle p(1, −1, −1).
A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 2
3

Cap´ıtulo 3
FUNCIONES
№ 1 Dada la regla de correspondencia de
una función f como sigue:
f(x) =
x + 3
x − 2
Determine la suma en valor absoluto, de
los valores enteros que no pertenecen al
dominio de la función.
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
№ 2 Sean f[2, 4] → A, f(x) = 1 − 2x
biyectiva y g : A → B, g(x) =
7
x + 1
bi-
yectiva.
Determine B.
A) −
7
2
, −
7
6
B) [−7, −3]
C) −
21
2
, −
25
6
D) −21, −
25
3
E) [2, 4]
№ 3 Sea f la función definida por:
f(x) =
2x − 1
x − 1
, ∀x > 1 :
La inversa f∗
de esta función es:
A) f∗
(x) =
x − 1
2x − 1
, x >
1
2
B) f∗
(x) =
x + 1
2x + 1
, x <
1
2
C) f∗
(x) =
x + 1
x + 2
, x > −2
D) f∗
(x) =
x − 1
x + 2
, x < −2
E) f∗
(x) =
x − 1
x − 2
, x > 2
№ 4 Sea f una función af´ın biyectiva tal
que f(1) = 3 y f∗
(0) = 2. Calcule f∗
(6),
donde f∗
denota la función inversa de f.
A) − 2 B) − 1 C) −
1
2
D) 0 E) 2
№ 5 Señale la alternativa que presenta
la secuencia correcta, después de determi-
nar si cada proposición es verdadera (V)
o falsa (F):
I. La función f : R → R definida por
f(x) = x2
− ax − 3 es inyectiva en
0,
a
2
si a > 0.
II. La función g : [0, 1] → {−1, 0, 1} de-
finida por g(x) = ex
− 2 es sobre-
yectiva.
III. La función h : 0,
1
e
→ N definida
por
h(x) =



−1
ln(x)
, 0 < x < e−1
1 , x = 0
es monótona.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FVF E) FVV
№ 6 Indique la secuencia correcta, des-
pués de determinar si la proposición es
verdadera (V) o falsa (F):
f(x) = xk
, con k impar entero posi-
tivo, es siempre inyectiva.
4

№ 7 Indique la secuencia correcta, des-
pués de determinar si la proposición es
verdadera (V) o falsa (F):
f(x) = xk
, con k impar entero posi-
tivo, es siempre inyectiva.
II. La función f : [0, 1] → [0, 1] definida
por f(x) = x − x es sobreyectiva.
III. Sea g : X → Y , f : Y → Z. Si g
es inyectiva entonces f ◦ g es inyec-
tiva, donde X, Y, Z son subconjuntos
de R.
A) FVF B) VFV C) FVV
D) VVF E) VFF
5

Cap´ıtulo 4
ECUACINOES
№ 1 Determine la suma de las soluciones
positivas de la ecuaci´on
||x2
− 1| − x| = |x| .
A) 2 +
√
2 B)
√
2 − 1 C) 2
√
2 − 1
D)
√
2 + 1 E) 2
√
2 + 1
6

Cap´ıtulo 5
N ÚMEROS COMPLEJOS
№ 1 Señale la alternativa que presenta la
secuencia correcta, después de determinar
si la proposición es verdadera (V) o falsa
(F).
I. Si P y Q son polinomios con coefi-
cientes complejos, entonces el polino-
mio P + Q también es un polinomio
con coeficientes complejos.
II. Si P y Q son polinomios con coefi-
cientes complejos, que poseen al me-
nos una ra´ız real, entonces P + Q es
un polinomio con coeficientes com-
plejos.
III. En un polinomio con coeficientes
complejos se tiene que una de sus
ra´ıces es 2i, entonces −2i también es
un ra´ız de dicho polinomio.
A) VVV B) VVF C) VFV
D) FVV E) FFF
SOLUCIÓN 1
I. (F), por contraejemplo, sean P(x) = x−
i y Q(x) = x+i, sin embargo (P +Q)(x) =
2x no es un polinomio de coeficientes com-
plejos.
II. (F) Sean P(x) = (x+i)(x−1) y Q(x) =
(x − i)(x − 1), sin embargo (P + Q)(x) =
2x(x − 1) no tiene coeficientes complejos.
III. (F) Sea P(x) = x(x − 2i), tiene como
una de sus ra´ıces es 2i, sin embargo −2i
no es ra´ız.
7

Cap´ıtulo 6
FUNCIONES EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS
№ 1 Sea f(x) = log(| sen x|) entonces el
rango de f es el conjunto:
A) [0, +∞ B) −∞, 0] C) R
D) [0, 1] E) −1, 1
№ 2 Sea f : A → R una función definida
por:
f(x) = ln log1/2(5 − x2
)
donde A = Dom(f) ⊂ R. Entonces la can-
tidad de números enteros que posee el con-
junto A es:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
№ 3 Dada la gráfica de
f(x) = ln(ea
− x) + 1
Determine el valor de b.
A) 4 B) 5 C) e2
D) e4
E) e5
№ 4 Sea f una función cuya regla de co-
rrespondencia está dada por:
f(x) = loga(x + x2 + 1)
Encuentre su función inversa
A) ax
+ a−x
B)
ax
+ a−x
2
C) ax
− a−x
D)
ax
− a−x
2
E)
ax
2
№ 5 Resuelva e indique el conjunto solu-
ción de:
log4 x + log4(3x + 20) = 3 − log4 2
A) {−8} B) {−8, 4/3} C) {1}
D) {4/3} E) {1,4/3}
№ 6 Si log3
3x + 1
2x − 1
= 2, halle x.
A)
1
2
B)
1
3
C)
2
3
D)
3
2
E) 2
№ 7 Sean a, b ∈ 0, ∞ tales que:
1
a
+
1
b
= 1 ,
y
1
loga(ab)
+
1
logb(a + b)
=
√
x − 1.
Determine el valor de
x
2
.
A)
1
2
B) 1 C)
√
2 D) 2 E) 4
8

Cap´ıtulo 7
MATRICES
№ 1 Determine la traza de A si se cumple
que
(A + I)2
=
1 2
0 1
y (A − I)2
= −
1 0
0 1
A) 1 B)
5
4
C)
√
2 D) 2 E) 4
№ 2 Sea A una matriz de orden 3 × 5 y
B una submatriz cuadrada de A de orden
3 tal que A = (B : N) donde N es de
orden 3×2 y B−1
existe. Correspondiente,
en el sistema AX = b, x se descompone
como X =
XB
XN
. Entonces una solución
del sistema es:
A)
B−1
b
NXB
B)
B−1
b
BXN
C)
Bb
Nb
D)
B−1
b
0
E)
(BI)b
0
№ 3 Halle la matriz A si sabemos que
AX−1
= [(A−1
)2
− A−1
]−1
,
donde X =
1 2
3 5
A)



1
1
3
1
2
1
3


 B)



1 −
1
3
−
1
2
1
3



C)



−
1
3
1
1
3
−
1
2


 D)



−1
1
3
−
1
2
1
3



E)



−
1
2
1
3
1 −
1
3



№ 4 Considere las matrices B =
0 −1
1 1
y
f11 f12
f21 f22
= B25
+B24
+B23
+· · ·+B+2I
Calcule f11 + f12 + f21 + f22
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
№ 5 Dado A matriz de orden 3 × 3, indi-
que la secuencia correcta después de deter-
minar si la proposición es verdadera (V) o
falsa (F):
I. |2A| = 2|A|.
II. | − A| = |A|.
III. Si A es invertible, entonces
|A||A−1
| = 1.
Donde |A| representa el determinante de
9

la matriz A.
A) VVV B) VVF C) FVF
D) FFV E) FFF
№ 6 Sea A una matriz de orden 3 × 3
tal que A3
= −I, donde I es la matriz
identidad. La adjunta de la matriz A10
,
Adj(A10
), es igual a:
A) A B) − A C) |A|A−1
D) − |A|A−1
E) − |A|A
№ 7 Si A es una matriz invertible, despeje
la matriz X a partir de la expresión.
((AX)−1
)t
= 0, 5B−1
A) X = 0, 5A−1
Bt
B) X = 0, 5Bt
A−1
C) X = 2A−1
B D) X = 2B−1
At
E) X = 2A−1
Bt
№ 8 Sea A una matriz de orden 2 tal que
A−1
= AT
. Dadas las siguientes afirmacio-
nes:
I. A = I.
II. |A| = 1.
III. AAT
= AT
A.
Son correctas:
A) Solo II B) Solo III C) I y II
D) II y III E) I,II y III
№ 9 La matriz
a b
c d
tiene como inversa
a
1 −2
1 1
, entonces el valor de 3a + b +
2c + 3d es igual a:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
№ 10 Sea la matriz A =
1 1
0 1
; halle el
determinante de F, si:
F = A + A2
+ A3
+ A4
+ A5
+ · · · + An
A) 1 B) n C) n2
D)
n(n + 1)
2
E)
n(n + 1)(n + 2)
4
№ 11 Sea las matrices
A =
1 2
2 1
y P =
1 −1
2 1
.
Calcule la traza de P−3
AP3
A) − 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
№ 12 ¿Cuál es el conjunto de todos los
valores de α para los cuales la matriz
A =


2 1 α
−1 0 4
1 5 1


tiene inversa ?
A) R B) [0, +∞ C) R {7}
D) R {1} E) R {−7}
№ 13 Considere la matriz
A =


1 0 1
0 1 0
0 0 1


entonces la inversa de la matriz A2n
(n ∈
N) es:
A)



1 0
1
2n
0 1 0
0 0 1


 B)



1 0 −
1
2n
0 1 0
0 0 1



C)


1 0 −n
0 1 0
0 0 1

 D)


1 0 −2n
0 1 0
0 0 1


E)


1 0 2n
0 1 0
0 0 1


№ 14 Sean
A =


1 a 3
a 1 a
3 a 4

 , B =


b a −1
a 5 −4
−1 −4 3


10

matrices tales que AB = BA = I. Enton-
ces el valor de a2
− b2
− 4 es
A) − 4 B) − 2 C) 0 D) 1 E) 5
№ 15 A y B son matrices que satisfacen
las siguientes ecuaciones:
−5 7
2 −3
A − B =
9 1
7 5
2 1
3 1
B =
6 3
−2 7
Halle la suma de los elementos de A + B.
A) − 395 B) − 378 C) − 365
D) − 278 E) − 265
№ 16 Consideremos la siguiente matriz




1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7




Entonces el det(A12
) es:
A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 2
11

Cap´ıtulo 8
DETERMINANTES
№ 1 En la siguiente ecuaci´on a, b y c son
constantes no nulas. Determine la suma de
las ra´ıces.
a 0 x
b x b
c c c
= 0
A) a + c B) b + c C) a − c
D) a + c E) a + b
№ 2 Sean A y B dos matrices cuadradas
de orden 2. Si det(A) = 5 y det(B) = 3,
calcule
det(A + B) + det(A − B) .
A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16
№ 3 Sean las matrices: A−1
=
2 −1
−3 2
;
B−1
=
3 2
5 3
y C =
−2 4
3 4
. Halle el
determinante: |W|, si se cumple AWB =
C
A) 20 B) 25 C) 98 D) 100 E) 200
№ 4 Sea el determinante
x 1 1
1 x 1
1 1 x
donde x ∈ R. Entonces la suma de los
valores x, donde el determinante se anula
es
A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 2
12

Cap´ıtulo 9
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
№ 1 Dado los planos ℘1, ℘2 y ℘3 como se
muestra en la figura
Si P1, P2 y P3 son vectores perpendicula-
res respectivamente a los planos dados, in-
dique la secuencia correcta luego de deter-
minar la veracidad (V) o falsedad (F) de
las siguientes proposiciones:
I. Con P1, P2, P3 se puede formar un
sistema lineal cuya solución es única.
II. Los vectores P1, P2 y P3 pueden ser
contenidos en un mismo plano.
III. Los vectores P1, P2 y P3 son mutua-
mente perpendiculares.
A) FFF B) FVF C) VFF
D) VVF E) VVV
№ 2 Dado el gráfico
mx − y = −b
x + Ny = B , con m = 1
Indique la alternativa correcta con respec-
to al sistema dado
A) No tiene solución.
B) Tiene una única solución
C) Tiene dos soluciones
D) Tiene solamente tres soluciones
E) Tiene infinitas soluciones
№ 3 Dado el sistema lineal
4x + y = 9k ,
−x + 6y = 4k ,
determine la recta que contiene a todos los
puntos solución de los sistemas generados
para k ∈ Z+
.
A) − x + y = 1 B) 2x + y = 0
C) − 2x + 3y = −1 D) x − 2y = 0
E) x + 4y = 0
№ 4 Determine el valor de “ a ” para que
el sistema
x + 3y = 5
ax + 4y = 6
2x + y = 4
tenga solución
A)
1
5
B)
2
7
C)
3
7
D)
5
7
E)
6
7
13

Cap´ıtulo 10
SISTEMA DE ECUACIONES NO
LINEALES
№ 1 Hallar el valor de “ x ” si
log x = log 1024 − 3 log 2 − log y
2x−y
= 256
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 24
№ 2 Sean a, b, c ∈ R tales que 0 < a <
b < c y x1 < x2. Siendo (x1, y1) y x2, y2
soluciones del sistema de ecuaciones
y = ax2
+ bx + c
y = cx2
+ bx + a
entonces podemos afirmar que:
A) x1, x2, y1y2 > 0
B) x1, x2 < 0; y1, y2 > 0
C) x1, x2 > 0; y1, y2 > 0
D) x1 < 0; x2, y1, y2 > 0
E) x1 > 0; y1, y2 < 0
№ 3 Determine el conjunto solución del
sistema de ecuaciones no lineales:
x2
+ y2
− 2x − 2y + 1 = 0
x2
− 2x − y + 1 = 0
A) {(3, 1), (1, 1), (−1, −1)}
B) {(2, −2), (2, 1), (1, 1)}
C) {(−1, 0), (1, 1), (1, 2)}
D) {(1, 0), (0, 1), (2, 1)}
E) {(1, −1), (1, 0), (2, −1)}
№ 4 Sea el sistema de ecuaciones:
x2
z2
= 36
(x2
+ y2
+ 42)x
= 1000000
(x2
+ y2
+ 42)z
= 10000
con x, y, z ∈ N. Si la solución del sistema
es (x0, y0, z0). Determine x0 + y0 + z0.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
№ 5 El conjunto solución del siguiente
sistema
x2
− 2x + y2
= 0
x2
− 4x + y2
= −2
x2
− 4x − y = −4
es
A) {(1, 1); (1, −1)} B) {(1, 1); (2, 0)}
C) {(1, 1)} D) {(−1, 2)}
E) {(2, −1)}
№ 6 Dado el sistema:
x + y + z = 2
2xy − z2
= 4 .
Halle x2
+y2
+z2
, donde x, y, z son reales.
A) 10 B) 12 C) 8 D) 6 E) 16
№ 7 Dado el sistema
x3
− 3x2
+ 3x − y = 1
x2
− 2x + y2
− 2y = −1 .
14

Si (a, b) y (c, d) son soluciones del sistema.
Determine a + b + c + d; a, b, c, d ∈ Z.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
№ 8 Sea el sistema de ecuaciones no li-
neales.
x2
+ y2
− z2
= 14
x + y + z = 4
x − y + z = 6 .
Entonces la suma de todas las soluciones
es:
15

Cap´ıtulo 11
PROGRAMACIÓN LINEAL
№ 1 Un fabricante de zapatillas obtiene
una ganancia de S/. 25 en el modelo de
lujo y producir un m´ınimo de 80 modelos
de lujo y al menos 100 de tipo estándar
por d´ıa.
Para mantener su calidad, la producción
total no debe exceder de 200 zapatillas.
¿Cuántos debe producir diariamente de
cada tipo para maximizar la ganancia?
A) 80 de lujo y 100 del estándar.
B) 100 de lujo, 100 del estándar.
C) 120 de lujo y 80 del estándar.
D) 80 de lujo y 120 del estándar.
E) 60 de lujo y 120 del estándar.
№ 2 Dados a, b ∈ R y los problemas de
programación lineal
m´ın ax + by · · · (1)
s.a.(x, y) ∈ D
máx ax + by · · · (2)
s.a.(x, y) ∈ D
Sea (x0, y0) solución del problema (1).
Señale la alternativa correcta después de
determinar la verdad o falsedad delas si-
guientes proposiciones:
I. (−x0, −y0) es solución del problema
(2).
II. Si D = ∅, entonces la solución de los
problemas (1) y (2) son distintas.
III. Si las soluciones de los problemas
(1) y (2) coinciden, entonces D =
{(x0, y0)}.
A) VVV B) VFV C) VVF
D) FFV E) FFF
№ 3 Calcule el valor m´ınimo de la función
objetivo
f(x, y) = 3x + 6y
sujeto a las siguientes restricciones:
2x + 3y ≥ 12
2x + 5y ≥ 16
x ≥ 0
y ≥ 0 .
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
№ 4 Considérese la región factible dada
por el siguiente conjunto de restricciones:
x + y ≤ 5
x + 3y ≥ 9
x ≥ 0, y ≥ 0
¿Cuál es la diferencia entre si el mayor va-
lor de f(x, y) = 2x + 3y y el menor valor
de g(x, y) = y − x en esta región?
A) 7 B) 9 C) 10 D) 11 E) 16
№ 5 Dadas las siguientes proposiciones:
I. En un problema de programación li-
neal, el valor óptimo de la función ob-
jetivo es alcanzado en un vértice de
la región admisible.
II. Si a la región admisible de un proble-
ma de programación lineal se le adi-
16

ciona una nueva restricción de la for-
ma ax + by ≤ c, el valor óptimo de la
función objetivo no var´ıa.
III. Si (x∗
, y∗
) es la solución de un pro-
blema de maximización y z∗
es el
valor óptimo, se tiene entonces que
z∗
≥ ax + by para todo (x, y) en la
región admisible, ( ax + by es la fun-
ción objetivo).
Son correctas:
A) Solo I B) I y II C) I y III
D) Solo III E) I, II y III
№ 6 Sea (x∗
, y∗
) el punto óptimo máxi-
mo de un problema de programación lineal
como se muestra en la figura
Indique la secuencia correcta después de
determinar si la proposición es verdadera
(V) o falsa (F):
I. 4x∗
+ 3y∗
< 4x + 3y, ∀(x, y) ∈ A, x =
x∗
, y = y∗
II. Un problema de programación lineal
que puede representar al esquema es:
máx{5x + 6y | (x, y) ∈ A}
III. 5x∗
+ 6y∗
≥ 5x + 6y, ∀(x, y) ∈ A
A) FVF B) VFF C) VVV
D) FFV E) FVV
№ 7 Calcule el máximo valor de la fun-
ción
f(x, y) = 4x + 6y
tal que
y ≤ 2x + 3
y + 2x ≤ 8
y ≥ 5
x, y ≥ 0
A) 30 B) 34 C) 36 D) 38 E) 40
№ 8 Un granjero tiene 480 acres de tierra
en la que puede sembrar ma´ız o trigo. Él
calcula que tiene 800 horas de trabajo dis-
ponible durante la estación de verano. En
el caso del ma´ız, el trabajo demora 2 horas
por acre y se obtiene una utilidad de S/.40
por acre, mientras que en el trigo el traba-
jo es de 1 hora por acre y la utilidad es de
S/.30 por acre. ¿Cuántos acres de ma´ız y
trigo debe plantar respectivamente, para
maximizar su utilidad?
A) (160, 320) B) (140, 340) C) (340, 140)
D) (320, 160) E) (180, 300)
№ 9 Sea el problema de programación li-
neal siguiente:
máx z(x, y) =
3
4
x + y
sujeto a:
x + 3y ≤ 15
5x + y ≤ 20
3x + 4y ≤ 24
x ≥ 0,y ≥ 0 .
Determine el valor óptimo de z.
A) 0 B) 3 C) 5 D) 6 E) 6, 3
№ 10 Sea la región
S = {(x, y) ∈ R2
| x − y ≤ 4;
3x + 4y ≤ 24; x, y ≥ 0}
y el problema de programación lineal
m´ın(ax + by)
s.a. (x, y) ∈ S
17

determine el valor de a+b, sabiendo que el
conjunto solución del problema, es el lado
de S de menor longitud.
A) 0 B) − a C) 4 D) a E) 2a
№ 11 Halle el valor de k > 0 para que
el problema: Maximizar kx + 8y sujeto a
(x, y) ∈ D tenga como solución el valor de
410; donde D es la región sombreada.
A) 10 B)
41
4
C) 30 D) 40 E)
346
3
№ 12 Un herrero dispone de 80 kg de ace-
ro y 120 kg de aluminio. Quiere fabricar el
armazón de bicicletas de paseo y de mon-
taña; y venderlo a S/. 120 y S/. 90 res-
pectivamente, obteniendo el máximo be-
neficio. Para la bicicleta de paseo emplea
1 kg de acero y 3 kg de aluminio y para
la bicicleta de montaña 2 kg de cada me-
tal. Determine el número de bicicletas de
paseo y de montaña que venderá.
A) 10 y 15 B) 15 y 20 C) 20 y 30
D) 30 y 40 E) 40 y 50
№ 13 Determine el z óptimo del progra-
ma lineal:
máx(z) = 3x1 + 4x2
sujeto a:
x1 + 2x2 ≤ 1000
3x1 + 2x2 ≤ 1800
x2 ≤ 400
x1, x2 ≥ 0
A) 1800 B) 2200 C) 2400
D) 3600 E) 4200
№ 14 En una empresa el beneficio que se
obtiene al vender “ x ” art´ıculos de clase
A e “ y ” art´ıculos de clase B está re-
presentado por la función M = 3x + 7y.
Determine cuáles son las cantidades que
se deben vender de cada art´ıculo respecti-
vamente para obtener el máximo beneficio
sabiendo que
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5, 2x + y ≤ 9
A) 2 y 3 B) 3 y 2 C) 0 y 5
D) 4 y 1 E) 1 y 4
18

Cap´ıtulo 12
SUCESIONES Y SERIES
№ 1 Indique la secuencia correcta des-
pués de determinar la veracidad (V) o fal-
sedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. Dado a0 ∈ R {0}, la sucesión {an}
es alternante, donde
an =
−an−1 , n impar,
an−2 , n par
∀n ≥ 1.
II. La sucesión {an} es monótona, donde
an =
22n
3n
, ∀n ≥ 1 .
III. La sucesión
{(sen (πen
) + cos (eπn
))2
}
es acotada.
A) VVV B) VVF C) VFV
D) FVV E) FVF
№ 2 (UNI-2018-I) Sean {an}, {bn} y {cn}
sucesiones tales que
bn =
an (−1)n
cn 1
y cn =
an (−1)n
bn 1
.
Determine el valor de
E =
∞
n=1
(an + bn − 2b2n−1 + cn) .
Se sabe que
∞
n=1
a2n = 1.
A) − 1 B) 0 C)
1
2
D) 1 E) 2
№ 3 (UNI-2017-II) Se origina la siguien-
te sucesión de cuadrados: Primer cuadra-
do de lado a. Segundo cuadrado de lado
igual a la diagonal del primer cuadrado.
Tercer cuadrado de lado igual a la diago-
nal del segundo cuadrado, y as´ı sucesiva-
mente. Determine la suma de las áreas de
los k-ésimos primeros cuadrados.
A) a2
(k − 1) B) a2
(2k
− 1) C) a2
2k
D) a2
(2k
− 1) E) a2
k2
№ 4 Sea “ x ” tal que |x| < 1. Calcule en
función de x, el valor de la suma:
S = 2 + 4x + 6x2
+ 8x3
+ 10x4
+ · · ·
A)
1
1 − x
B)
2
x − 1
C)
2
x2 − 2x + 1
D)
2
x2 − x + 1
E)
2
x2 + x + 1
№ 5 De la sucesión (an) donde
an = n
√
3n + 4n
donde n ∈ N. Podemos afirmar que:
A) 5 < an ≤ 7 B) 4 < an < 6
C) 4 < an < 7 D) 3 < an ≤ 6
E) 3 < an ≤ 8
№ 6 (2016-I) Determine el valor de la se-
rie
∞
n=1
1
1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n
19

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
№ 7 Señale la alternativa que presenta la
secuencia correcta, después de determinar
si la proposición es verdadera (V) o falsa
(F).
I. Sea f una función polinomial y (xn)
una sucesión convergente. Entonces
la sucesión (yn), donde yn = f(xn),
es convergente.
II. Para todo x ∈ −1, 1 se cumple
+∞
k=0
xk
=
1
x − 1
III. Toda sucesión alternante es conver-
gente.
№ 8 Considere la sucesión {an}, donde
an = arctan(n)
Entonces podemos afirmar que:
A) {an} no es monótona
B) {an} no vonerge
C) {an} converge a
π
2
D) {an} converge a 0
E) {an} converge a 1
№ 9 El valor de la suma
S =
3
4
+
5
36
+
7
144
+
9
400
+
11
900
+
13
1764
+· · ·
es
A) 0, 94 B) 0, 96 C) 0, 98
D) 1, 00 E) 1, 02
№ 10 Considere la sucesión
1,
1
22
,
1
32
, · · · ,
1
n2
, · · ·
Determine el menor valor de n ∈ N, de
modo que se cumpla
1
n2
< 1 × 10−7
A) 2081 B) 2091 C) 2991
D) 3001 E) 3163
№ 11 En el primer cuadrante del plano
se forma el conjunto A con los puntos con
coordenadas enteros positivos, esto es
A = {(m, n) | m ∈ N ∧ n ∈ N}
A cada punto (m, n) de A se le asigna el
valor
1
2m+n
.Calcule la suma de todos los
valores de los puntos (m, n) de A con coor-
denadas m ≥ n.
A)
1
3
B)
2
3
C) 1 D) 2 E) + ∞
№ 12 Halle la suma de la serie de núme-
ros:
1 +
1
√
2
+
1
√
4
+
1
√
8
+
1
√
16
+ · · ·
A) 1 B) 1 +
√
2 C)
√
2
D)
√
2
√
2 − 1
E)
√
2
√
2 + 1
№ 13 Calcule
l´ım
n→∞
n
√
2n + 4n .
A) 4−1
B) 2−1
C) 0 D) 2 E) 4
№ 14 Considere la sucesión {an} definida
por a1 =
5
2
,
ak−1 =
1
2
ak +
5
ak
para todo k. Entonces podemos afirmar
que la sucesión {ak} converge a un número
a0 con
A) 2 < a0 ≤ 2, 5 B) 2 < a0 ≤ 2, 05
C) 2 ≤ a0 ≤ 2, 06 D) 2 ≤ a0 < 2, 1
E) 2, 25 ≤ a0 < 2, 3
20

№ 15 Sea (an) la sucesión cuyo término
general es
an =
1
0, 25n2 + 1 − 0, 5n
.
Entonces podemos afirmar que:
A) an diverge a − ∞ B) an converge a 0
C) an converge a 1 D) an converge a n
E) an diverge a ∞
№ 16 Si S(x) =
n
k=0
xk
. El valor de Sn(x)
se puede expresar por:
A)
1
1 − x
B)
xn
+ 1
1 − x
C)
1 + x − xn+1
− xn+2
1 − x2
D)
1 − x + xn
− xn+1
1 − x2
E)
1 + x + xn+1
1 + x2
№ 17 Dada la ecuación
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
+ · · · +
1
xm
= 0, 15
donde x1 = 30, x2 = 42, x3 = 56. Deter-
mine m.
A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25
№ 18 En el siguiente proceso de construc-
ción, tenemos inicialmente un cuadrado de
área a1, del cual vemos retirando las regio-
nes no sombreadas, como se muestra en la
figura. Determine el área total de las re-
giones sombreadas al final del proceso.
A)
1
6
a1 B)
1
3
a1 C)
1
2
a1 D)
2
3
a1 E) a1
№ 19 Si
∞
k=1
1
k2
=
π2
6
, halle
∞
k=1
1
(2k − 1)2
A)
π2
12
B)
5π2
48
C)
π2
8
D)
7π2
48
E)
π2
6
№ 20 Sea la suma
δ =
3
2
−
5
6
+
7
12
−
9
20
+
11
30
− · · · −
41
420
El valor (aproximado) de δ es igual a:
A) 0.952 B) 0.958 C) 1.024
D) 1.048 E) 1.052
№ 21 Determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones.
I. Si a ∈ R, entonces
(1 + a)n
≤ 1 + na, ∀n ∈ N, n > 2
II. Si 0 < a < b, entonces
a
b
n+1
≤
a
b
n
, n ∈ N .
III. Es posible representar la serie
54
10
+
2
102
+
2
104
+ · · · +
+
7
103
+
7
105
+ · · ·
como un número racional.
21

N representa el conjunto de los n´umeros
naturales.
R representa el conjunto de los n´umeros
reales.
A) FVV B) VFV C) VVF
D) VVV E) FVF
22

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