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Este documento presenta la solución a 5 ejercicios de cálculo. En el primer ejercicio se grafican los dominios de dos funciones. En el segundo se demuestra que una función homogénea puede representarse en forma paramétrica. El tercer ejercicio describe las superficies de nivel de una función dada. Los ejercicios 4 y 5 consisten en calcular límites y derivadas respectivamente.
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- 1. P-UNI IP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UN FIP-U Universidad Nacional de Ingenier´ıa Facultad de Ingenier´ıa de Petr´oleo, Gas Natural y Petroqu´ımica Ciclo 2015-II Pr´actica Calificada №2 de C´alculo III (PM-212) Profesor : Alvaro Naupay Gusukuma. Fecha : 30 de Septiembre de 2015 1. Hallar y representar gr´aficamente el dominio de las siguientes funciones a) z “ fpx, yq “ d x2 ´ y x2 ` y2 ´ 16 SOLUCI´ON : La funci´on f est´a bien definica si se cumple x2 ´ y x2 ` y2 ´ 16 ě 0, luego esto se cumple si y s´olo si se tiene que px2 ´ y ě 0 ^ x2 ` y2 ´ 16 ą 0q _ px2 ´ y ď 0 ^ x2 ` y2 ´ 16 ă 0q py ď x2 ^ x2 ` y2 ą 16q _ px2 ď y ^ x2 ` y2 ă 16q con lo que tenemos que Df “ tpx, yq P R2 | py ď x2 ^ x2 ` y2 ą 16q _ px2 ď y ^ x2 ` y2 ă 16qu entonces tenemos que el gr´afico de Df es _ “ b) z “ fpx, yq “ ? y sen x SOLUCI´ON : La funci´on est´a bien definida si se cumple y sen x ě 0 es decir py ě 0 ^ sen x ě 0q _ py ď 0 ^ sen x ď 0q py ě 0 ^ 2πn ď x ď p2n ` 1qπ, n P Zq _ py ď 0 ^ p2n ` 1qπ ď x ď p2n ` 2qπ, n P Zq es decir Df “ $ & % px, yq P R2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ py ě 0 ^ 2πn ď x ď p2n ` 1qπ, n P Zq _ py ď 0 ^ p2n ` 1qπ ď x ď p2n ` 2qπ, n P Zq , . -
- 2. P-UNI IP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UN FIP-Ucon lo que el gr´afico de Df es 2. La funci´on z “ fpx, yq, que satisface id´enticamente la relaci´on fpmx, myq “ mk fpx, yq para cualquier m, es llamada funci´on homog´enea de k-´esimo orden, mostrar que la funci´on de k-´esimo orden z “ fpx, yq siempre puede ser representada en forma z “ xk F ´y x ¯ SOLUCI´ON : Haciendo m “ 1 x luego reemplazando en la funci´on tenemos que fpmx, myq “ mk fpx, yq, entonces fp1, y x q “ 1 xk fpx, yq, esto es xk fp1, y x q “ fpx, yq. Como fp1, y x q solo depende de y x , entonces podemos reescribir fp1, y x q “ Fp y x q. Por lo tanto fpx, yq “ xk fp1, y x q “ xk Fp y x q como se quer´ıa. 3. Decir como son las superficie de nivel de la funci´on fpx, y, zq “ ln ˜ 1 ` a x2 ` y2 ` z2 1 ´ a x2 ` y2 ` z2 ¸ SOLUCI´ON : Haciendo fpx, y, zq “ c, donde c es una constante en R entonces ln ˜ 1 ` a x2 ` y2 ` z2 1 ´ a x2 ` y2 ` z2 ¸ “ c
- 3. P-UNI IP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UN FIP-Ulevantando el logaritmo tenemos 1 ` a x2 ` y2 ` z2 1 ´ a x2 ` y2 ` z2 “ ec “ k 1 ` a x2 ` y2 ` z2 “ k ´ k a x2 ` y2 ` z2 p1 ` kq a x2 ` y2 ` z2 “ k ´ 1 a x2 ` y2 ` z2 “ k ´ 1 k ` 1 x2 ` y2 ` z2 “ ˆ k ´ 1 k ` 1 ˙2 “ r2 esto quiere decir que las superficies de nivel son esferas conc´entricas de R3 4. Demostrar los siguientes l´ımites a) l´ım px,yqÑp2,3q 3x ` 2y “ 12 SOLUCI´ON : Debemos demostrar que: @ε ą 0, Dδ ą 0, tal que }px, yq ´ p2, 3q} ă δ entonces |3x ` 2y ´ 12| ă ε . Buscando un delta adecuado. Tenemos que si a px ´ 2q2 ` py ´ 3q2 “ }px, yq ´ p2, 3q} ă δ entonces tenemos que |x ´ 2| ă δ ^ |y ´ 3| ă δ |3x ´ 6| ă 3δ ^ |2y ´ 6| ă 2δ |3x ´ 6| ` |2y ´ 6| ă 5δ por desigualdad triangular tenemos que |3x`2y ´ 12| ă 5δ luego haciendo 5δ “ ε, tenemos que nuestro delta adecuado es δ “ ε 5 . b) l´ım px,yqÑp3,´1q x2 ` 2xy “ 3 SOLUCI´ON : Tenemos que demostrar que @ε ą 0, Dδ ą 0, tal que 0 ă }px, yq ´ p3, ´1q} ă δ entonces |x2 ` 2xy ´ 3| ă ε . Buscando un delta adecuado. Tenemos que si 0 ă a px ´ 3q2 ` py ` 1q2 “ }px, yq ´ p3, ´1q} ă δ entonces tenemos que |x ´ 3| ă δ ^ |y ` 1| ă δ . (a)
- 4. P-UNI IP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UN FIP-UPor otra parte, relacionemos |x2 ` 2xy ´ 3| con |x ´ 3| y |y ` 1|, con lo que tenemos |x2 ` 2xy ´ 3| “ |px2 ´ 9q ` 2ypx ´ 3q ` 6py ` 1q| “ |px ` 3qpx ´ 3q ` 2ypx ´ 3q ` 6py ` 1q| ď |x ` 3||x ´ 3| ` 2|y||x ´ 3| ` 6|y ` 1| . (b) Por otra parte. i) Si δ cumpliera que δ ď δ1, para alg´un δ1 ą 0 adecuado, reemplazando en (a) tenemos que |x ´ 3| ă δ1 ^ |y ` 1| ă δ1 reemplazando estas desigualdades en (b) tenemos que |x2 ` 2xy ´ 3| ă |x ` 3|δ1 ` 2|y|δ1 ` 6δ1 (c) ahora la idea es acotar num´ericamente las expresiones |x ` 3| y |y|. ii) (En busca de una δ1 adecuado). Si adem´as δ tambi´en cumpliera que δ ď 1 reemplazando esto en (a) tenemos que |x ´ 3| ă 1 ñ ´1 ă x ´ 3 ă 1 ñ 5 ă x ` 3 ă 7 ñ |x ` 3| ă 7 ^ |y ` 1| ă 1 ñ ´1 ă y ` 1 ă 1 ñ ´2 ă y ă 2 ñ |y| ă 2 ñ 2|y| ă 4 reemplazando estas desigualdades en (c) tenemos que |x2 ` 2xy ´ 3| ă 7δ1 ` 4δ1 ` 6δ1 “ 17δ1 . (d) Luego haciendo 17δ1 “ ε tenemos que nuestro δ1 adecuado es δ1 “ ε 17 . Reemplazando esto en (d) tenemos que |x2 ` 2xy ´ 3| ă ε . Finalmente, para que (i) y (ii) se cumplan al mismo tiempo debemos elegir δ “ m´ınt1, ε 17 u ya que con esto se cumple que: δ ď δ1 “ ε 17 entonces se cumple (i) ^ δ ď 1 entonces tambi´en se cumple (ii) por lo que podemos concluir que |x2 ` 2xy ´ 3| ă ε . Como se quer´ıa demostrar. 5. Hallar la derivada de la funci´on fpx, yq “ x3 ´ xy ´ 2y2 en el punto Pp1, 2q y en la direcci´on que va desde este punto al punto Np4, 6q.
- 5. P-UNI IP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UN FIP-USOLUCI´ON : Sea a “ PN “ N ´ P “ p4, 6q ´ p1, 2q “ p3, 4q entonces }a} “ 5, luego el vector unitario es µ “ a }a} “ ˆ 3 5 , 4 5 ˙ , entonces por definici´on de derivada se tiene: Dµfp1, 2q “ l´ım hÑ0 fpp1, 2q ` hµq ´ fp1, 2q h “ l´ım hÑ0 f ˆ 1 ` 3h 5 , 2 ` 4h 5 ˙ ´ fp1, 2q h “ l´ım hÑ0 «ˆ 1 ` 3h 5 ˙3 ´ ˆ 1 ` 3h 5 ˙ ˆ 2 ` 4h 5 ˙ ´ 2 ˆ 2 ` 4h 5 ˙2 ff ´ p1 ´ 2 ´ 8q h “ l´ım hÑ0 „ˆ 1 ` 9 5 h ` 27 25 h2 ` 27 125 h3 ˙ ´ ˆ 2 ` 10 5 h ` 12 25 h2 ˙ ´ ˆ 8 ` 32 5 h ` 32 25 h2 ˙ ` 9 h “ l´ım hÑ0 ˆ 27 125 h3 ´ 17 25 h2 ´ 33 5 h ˙ 1 h “ l´ım hÑ0 ˆ 27 125 h2 ´ 17 25 h ´ 33 5 ˙ “ ´ 33 5