Funcion beta
6 likes18,684 views
contiene ejercicios de la función beta para ingenieros y carreras a fines
Funcion beta
- 1. Función Beta 1 𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑡 𝑥−1 (1 − 𝑡) 𝑦−1 𝑑𝑡 ; 𝑥>0 𝑦>0 0 Si hacemos 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 Si reemplazamos limites 𝑡 = 0 → 𝜃 = 0 𝑡=1 → 𝜃= 2 Reemplazamos 𝜋 2 𝛽 𝑥, 𝑦 = 2 (𝑠𝑒𝑛2 𝜃) 𝑥−1 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑦−1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 0 𝜋 2 𝛽 𝑥, 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥−1 𝜃 ∗ cos2y−1 𝜃 𝑑𝜃 0 𝜋 1 2 𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥−1 𝜃 ∗ cos2y−1 𝜃 𝑑𝜃 2 0 Si hacemos 1 𝑑𝑢 𝑡= 𝑑𝑡 = 2 𝑠𝑖 𝑡 = 0 → 𝑢 = ∞ 𝑦 𝑠𝑖 𝑡=1→0=0 1+ 𝑢 1+ 𝑢 0 𝑥−1 𝑦−1 1 1 𝑑𝑢 𝛽 𝑥, 𝑦 = − 1− 2 ∞ 1+ 𝑢 1+ 𝑢 1+ 𝑢 ∞ 𝑥−1 𝑦−1 1 1+ 𝑢−1 𝑑𝑢 𝛽 𝑥, 𝑦 = 2 0 1+ 𝑢 1+ 𝑢 1+ 𝑢 ∞ 1 𝑢 𝑦 −1 𝑑𝑢 𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑥−1 ∗ ∗ 0 1+ 𝑢 1 + 𝑢 𝑦−1 1 + 𝑢 2 𝑢 𝑦 −1 𝑑𝑢 𝛽 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑢 𝑥−1+𝑦−1+2 𝑢 𝑦−1 𝑑𝑢 𝛽 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑢 𝑥+𝑦
- 2. Teorema ΓxΓy 𝛽 𝑥, 𝑦 = ; 𝑥>0 𝑦>0 Γ x+y Ejemplo 𝜋 2 tan 𝜃 𝑑𝜃 0 𝜋/2 1/2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 0 cos 𝜃 𝜋/2 𝑠𝑒𝑛 1/2 𝜃 𝑐𝑜𝑠 −1/2 𝜃 𝑑𝜃 0 Comparando 𝜋 1 2 𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥−1 𝜃 ∗ cos2y−1 𝜃 𝑑𝜃 2 0 1 1 3 𝟑 2𝑥 − 1 = → 2𝑥 = + 1 → 2𝑥 = → 𝒙= 2 2 2 𝟒 1 1 1 𝟏 2𝑦 − 1 = − → 2𝑦 = − + 1 → 2𝑦 = → 𝒚= 2 2 2 𝟒 Si aplicamos el teorema Γ 3 ∗Γ 1 1 4 4 = ∗ Γ 3+1 2 4 4 Γ 3 ∗Γ 1 1 4 4 4 = ∗ ; 𝑐𝑜𝑚𝑜 Γ =Γ 1 =1 2 Γ 4 4 4
- 3. 1 3 1 = ∗ Γ ∗ Γ 2 4 4 1 1 1 = ∗ Γ ∗ Γ 1− 2 4 4 Aplicamos teorema de gamma 1 π = ∗ π 2 sen 4 1 𝜋 = 2 2 2 𝜋 = 2 ∞ 𝑥 𝑝 −1 Resolver 0 1+𝑥 𝑑𝑥 Por definición 𝑢 𝑦 −1 𝑑𝑢 𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑥 +𝑦 1+𝑢 Comparando y-1=p-1 x+y=1 y=p x=1–p Reemplazamos ∞ 𝑥 𝑝−1 𝑑𝑥 = 𝛽 1 − 𝑝, 𝑝 0 1+ 𝑥 = 𝛽 𝑝, 1 − 𝑝
- 4. Γ p Γ 1−p = Γ p+1−p = Γ p Γ 1−p Aplicamos teorema de gamma 𝜋 = 𝑠𝑒𝑛 𝑝𝜋 Resolver ∞ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 −∞ 𝑒 3𝑥 + 1 2 𝑢 = 𝑒 3𝑥 → ln 𝑢 = ln 𝑒 3𝑥 → ln 𝑢 = 3𝑥 1 1 𝑑𝑢 𝑥= ln 𝑢 → 𝑑𝑥 = 3 3 𝑑𝑥 Evaluamos los límites Cuando 𝑥 = ∞ → 𝑢=∞ 𝑦 𝑥 = −∞ → 𝑢=0 1 ∞ 2∗ ln 𝑢 𝑒 3 1 𝑑𝑢 2 ∗ 0 𝑢+1 3 𝑢 2 1 ∞ 𝑒 3 ln 𝑢 = 2 𝑑𝑢 3 0 𝑢 𝑢+1 Por propiedades de euler y logaritmos 2 ∞ 1 𝑢3∗ 𝑢−1 = 𝑑𝑢 3 0 𝑢+1 2 −1 ∞ 1 𝑢3 = 2 𝑑𝑢 3 0 𝑢+1
- 5. 𝑢 𝑦 −1 𝑑𝑢 Si comparamos con 𝛽 𝑥, 𝑦 = 1+𝑢 𝑥 +𝑦 1 1 𝟐 𝑦−1= − → 𝑦= − +1→ 𝒚= 3 3 𝟑 2 𝟒 𝑥+ 𝑦 =2 → 𝑥 =2− → 𝒙= 3 𝟑 Reemplazamos 1 4 2 𝛽 , 3 3 3 4 2 1 Γ 3 Γ 3 = ∗ 3 4 2 Γ 3+3 1 1 2 1 Γ 3 Γ 3 = ∗ 3 3 6 Γ 3 1 2 1 Γ 3 Γ 3 = ∗ 9 Γ(2) Γ 2 = 1! 1 1 2 = ∗Γ Γ 9 3 3 1 1 1 = ∗Γ Γ 1− 9 3 3 Aplicamos teorema de gamma 1 π = ∗ 9 sen π 3 1 π = ∗ 9 3 2 2 π = ∗ 9 3
- 6. Resolver 3 𝑑𝑥 1 𝑥−1 3− 𝑥 3 1 1 − − 𝑥−1 2 3− 𝑥 2 𝑑𝑥 1 Sea x – 1 = 2y x = 2y+1 dx = 2dy Cuando x = 1 y = 0 cuando x=3 y=1 1 1 1 − − = 2𝑦 2 3 − 2𝑦 + 1 2 2𝑑𝑦 0 1 1 1 1 − − =2 2 2 (𝑦)−2 3 − 2𝑦 + 1 2 𝑑𝑦 0 1 2 − 1 − 1 = 𝑦 2 3 − 2𝑦 − 1 2 𝑑𝑦 2 0 1 2 1 1 = 𝑦 −2 2 − 2𝑦 − 2 𝑑𝑦 2 0 1 1 2 − 1 − 2 = 𝑦 2 2 1− 𝑦 𝑑𝑦 2 0 1 2 1 1 1 = 𝑦 −2 2−2 1− 𝑦 − 2 𝑑𝑦 2 0 1 2 = 𝑦 − 1/2 (1 − 𝑦)− 1/2 𝑑𝑦 2 2 0 Sea x - 1 = - ½ x=½ y – 1 = - ½ y= ½ Luego 1 1 1 1 1 1 Γ 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 1 1 𝛽 , = 1 1 Γ Γ 2 2 Γ 2 +2 Γ(1) 2 2 = 𝜋∗ 𝜋 = 𝜋 Rta
- 7. Ejercicio especial Resolver 1 𝑚 −1 𝑥 1 − 𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 0 𝑥 + 𝑟 𝑚 +𝑛 𝑟+1 𝑥 Sugerencia 𝑦= 𝑟+𝑥 𝑦 𝑟+ 𝑥 = 𝑟+1 𝑥 Derivada de un cociente 𝑦𝑟 + 𝑦𝑥 = 𝑟 + 1 𝑥 𝑟(𝑟 + 1 − 𝑦) − 𝑦𝑟(−1) 𝑦𝑟 = 𝑟 + 1 𝑥 − 𝑦𝑥 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 + 𝑦𝑟 𝑦𝑟 = 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑥 𝑟 2 + 𝑟 − 𝑦𝑟 + 𝑦𝑟 𝑦𝑟 𝑟2 + 𝑟 𝑥= 𝑟+1− 𝑦 𝑟(𝑟 + 1) 𝑟 𝑟 + 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑟+1− 𝑦 2 𝑠𝑖 𝑥 = 0 → 𝑦 = 0 Reemplazamos 𝑠𝑖 𝑥 = 1 𝑚 −1 𝑛−1 𝑦𝑟 𝑦𝑟 𝑦𝑟 1= 1 1− 𝑟 𝑟+1 𝑟+1− 𝑦 𝑟+1− 𝑦 𝑟+1− 𝑦 𝑚 +𝑛 2 𝑑𝑦 0 𝑦𝑟 𝑟+1− 𝑦 𝑟+1− 𝑦+ 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 = 𝑦𝑟 𝑦𝑟 𝑚 −1 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑟 + 1 = 𝑦𝑟 + 𝑦 1 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 −1 𝑟+1− 𝑦 𝑟 𝑟+1 𝑚 +𝑛 2 𝑑𝑦 𝑟+1= 𝑦 𝑟+1 0 𝑦𝑟 + 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑟+1− 𝑦 𝑟+1− 𝑦 𝑟+1 = 𝑦 𝑟+1 𝑦𝑟 𝑚 −1 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 1 𝑟+1− 𝑦 𝑚 −1 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑛−1 𝑟(𝑟 + 1) 1= 𝑦 2 + 𝑟 − 𝑦𝑟 𝑚 +𝑛 𝑑𝑦 0 𝑦𝑟 + 𝑟 (𝑟 + 1 − 𝑦)2 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛 𝑚 −1 𝑦𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑟 2 + 𝑟 1 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 −1+𝑛−1+2 𝑑𝑦 0 𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛
- 8. 𝑚 −1 𝑦𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑟2 + 𝑟 1 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛 𝑑𝑦 0 𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛 1 𝑚 −1 𝑦𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑟 2 + 𝑟 𝑟+1− 𝑦 𝑚 +𝑛 𝑑𝑦 0 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛 𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛 1 𝑚 −1 𝑛−1 𝑦𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑟2 + 𝑟 𝑑𝑦 0 𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛 1 𝑚 −1 𝑛−1 𝑦𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛−1 𝑑𝑦 0 𝑟 1 𝑚 −1 𝑚−1 𝑛−1 𝑦 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑑𝑦 0 𝑟 𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1 1 𝑚 −1 𝑚−1 𝑛−1 𝑦 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑚 +𝑛−1 𝑑𝑦 0 𝑟 𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1 𝑚 +𝑛−1 −𝑚 +1 𝑚 +𝑛−1−𝑚 +1 𝑛 𝑟 ∗ 𝑟 = 𝑟 = 𝑟 1 𝑚 −1 𝑛−1 𝑦 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛 𝑑𝑦 0 𝑟 𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1 Como m, n, r son constantes son sacadas de la integral 1 1 𝑚 −1 𝑛−1 𝑛 𝑚 +𝑛−1 𝑦 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑑𝑦 𝑟 𝑟+1 0 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 = 𝑟 + 1 − 𝑦(1 + 𝑟) = 𝑟 + 1 (1 − 𝑦) Nos queda entonces 1 1 𝑚 −1 𝑛−1 𝑛 𝑚 +𝑛−1 𝑦 𝑟+1 (1 − 𝑦) 𝑛−1 𝑑𝑦 𝑟 𝑟+1 0 𝑟 + 1 𝑛−1 1 𝑚 −1 𝑛−1 𝑛 𝑦 1− 𝑦 𝑑𝑦 𝑟 𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1 0 1 1 𝑚 −1 𝑛 𝑚 𝑦 (1 − 𝑦) 𝑛−1 𝑑𝑦 𝑟 𝑟+1 0
- 9. Si comparamos con 1 𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑡 𝑥−1 1 − 𝑡 𝑦 −1 𝑑𝑡 ; 𝑥>0 𝑦>0 0 𝑥−1= 𝑚−1 → 𝑥 = 𝑚 𝑦−1= 𝑛−1 → 𝑦 = 𝑛 Reemplazamos los nuevos valores 1 = 𝑛 𝛽(𝑚, 𝑛) … Rta 𝑟 𝑟+1 𝑚