Matriz inversa

Matriz inversa
Proyecto e-Math 1
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
MATRIZ INVERSA
Autores: Cristina Steegmann Pascual (csteegmann@uoc.edu), Juan Alberto Rodríguez Velázquez
(jrodriguezvel@uoc.edu).
ESQUEMA DE CONTENIDOS ________________________
INTRODUCCIÓN ___________________
Es de todos sabido que nuestra vida diaria contemporánea requiere de una cantidad de
conocimientos matemáticos cada vez más importantes, sin los cuales carece, virtualmente, de
significado.
En los bloques anteriores se ha visto que la teoría de matrices permite el manejo de gran cantidad de
datos y es esencial, no sólo para su uso en diferentes modelos matemáticos sino también para
diversos métodos estadísticos. [W1]
MATRIZ
INVERSA
Definición
Propiedades
Cálculo Aplicaciones
Método de
Gauss
Con Mathcad
Por
determinantes
y adjuntos
Resolución
de
ecuaciones
matriciales Resolución
de sistemas
de
ecuaciones
lineales

Matriz inversa
Proyecto e-Math 2
El objeto de este e-bloque es el desarrollo y estudio de un tema básico de álgebra lineal como es el
cálculo de la matriz inversa y algunas aplicaciones de ésta a modelos matemáticos.
En éste se intenta, sin perder rigurosidad matemática, clarificar algunos conceptos para hacerlos
accesibles a un público no matemático. Sin embargo, y dada la amplia magnitud del tema a abarcar,
con este bloque no se pretende acabar con el tema sino sentar las bases y fundamentos del mismo e
incentivar su estudio, profundización y aplicación posterior.
El cálculo de la matriz inversa no es un proceso sencillo. Primeramente se aborda desde el punto de
vista del método de Gauss y, después por determinantes y adjuntos; posteriormente, se hace uso del
software Mathcad para su cálculo y, por último, se muestran diversas aplicaciones de ésta.
Del mismo modo, las aplicaciones que se presentan son ejemplos dentro de un campo muy amplio.
Incluso los ejemplos mostrados no finalizan en lo escrito en este bloque, sino que es una introducción
al mismo, con el objeto de ilustrar el uso de matrices en problemas no matemáticos, por una parte y
hacer accesible los modelos y sus diversas derivaciones, por otra.
OBJETIVOS ________________________
• Aprender a averiguar cuándo existe la matriz inversa de una matriz dada.
• Aprender a calcular, si existe, la matriz inversa de una matriz.
• Conocer las propiedades de la matriz inversa.
• Conocer algunas aplicaciones de la matriz inversa.
• Introducirse en el uso del Mathcad para trabajar con la matriz inversa.
CONOCIMIENTOS PREVIOS ___________________________________
Es recomendable haber leído, previamente, los math-blocks sobre álgebra de matrices y
determinantes, así como los introductorios a Mathcad.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES ______________________________
Definición de matriz inversa [1]
Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que
A·B = B·A = I
siendo I la matriz identidad.
Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A
-1
.
Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es
singular.
Ejemplo:
Supongamos 





=
31
52
A y 





−
−
=
21
53
B Entonces:

Matriz inversa
Proyecto e-Math 3
I
10
01
6533
101056
21
53
31
52
B.A =





=





+−−
+−−
=





−
−
⋅





=
I
10
01
6522
151556
31
52
21
53
A.B =





=





+−+−
−−
=





⋅





−
−
=
Puesto que AB = BA = I, A y B son inversibles, siendo cada una la inversa de la otra.
Condición de inversibilidad [W3]
El problema de encontrar elementos inversos para el producto de matrices tiene como primer
inconveniente que, para empezar, no siempre dadas dos matrices A y B, que podamos hacer el
producto A·B significa que podamos hacer el producto B·A
Además, que dos matrices sean inversas una de la otra significa, en particular, que el producto ha de
dar como resultado la matriz identidad. Si recordamos la definición, la matriz identidad es aquélla
cuyos elementos son nulos salvo los de la diagonal, que son 1, y, además, esto es importante, dicha
matriz es cuadrada. El hecho de que la matriz identidad sea cuadrada nos va a restringir mucho el
conjunto de matrices para las que podremos hablar de inversión.
Vamos a ver qué primera condición han de cumplir dos matrices A y B para que sean la una inversa
de la otra. Esto, como sabemos, significa que A·B = B·A = I, donde I denota a la matriz identidad. Las
matrices serán, en principio, A de orden mxn y B de orden pxq.
Sin embargo, por definición del producto de matrices, se debe cumplir que n=p para poder hacer la
multiplicación A·B. Sabemos, además, que esta matriz será de orden mxq. Pero también tenemos
que poder hacer el producto B·A, lo que implica que debe ser m=q. Así pues, la matriz A será de
orden mxn, y la matriz B será de orden nxm. El producto A·B será de orden mxm, y el producto B·A
será de orden nxn. Además, ambos productos han de dar como resultado la matriz identidad, y ésta
es cuadrada, lo que obliga a que m=n, es decir, a que para poder hablar de inversión de una matriz,
la matriz ha de ser cuadrada. Sin embargo, es una condición necesaria pero no suficiente; esto es,
no toda matriz que sea cuadrada tiene matriz inversa. No es la única condición que se exige a la
matriz.
Cálculo de determinantes
Método de Gauss [W2]
Veamos un método que a priori no nos garantiza que la matriz en cuestión sea inversible, sin
embargo, en caso de que se pueda aplicar, nos dará la inversa sin hacer operaciones demasiado
complicadas. Si la matriz no se puede invertir, llegaremos a una situación que nos lo indicará.
El cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss supone transformar una matriz en otra,
equivalente por filas. La demostración rigurosa del procedimiento que a continuación se describe se
sale del propósito del presente bloque, aquí se limita a su exposición y comprobación de que
efectivamente se obtiene la matriz inversa.
En esencia, el método consiste, para una matriz cuadrada de orden n, en:
1. Formar una matriz de orden nx2n tal que las primeras columnas sean las de la matriz A y las
otras n las de la matriz identidad de orden n.

Matriz inversa
Proyecto e-Math 4
2. Mediante las transformaciones elementales de las filas de una matriz, convertir la matriz anterior
en otra que tenga en las n primeras columnas la matriz identidad y en las n últimas otra matriz
que prescisamente será A
-1
.
El método consiste, pues, en colocar juntas la matriz a invertir, y la matriz identidad.
( ) ( )1Gauss
AIIA −
 →
Por medio de transformaciones elementales, vamos modificando nuestra matriz hasta obtener la
matriz identidad. Cada paso que apliquemos a la matriz se lo aplicaremos a la matriz identidad.
Cuando hayamos obtenido la matriz identidad, la de la derecha será la inversa. Si no podemos llegar
a la matriz identidad (por ejemplo, sale alguna fila de ceros), significa que la matriz no será inversible.
Vamos a ver dos ejemplos, uno en el que se puede obtener la inversa y otro en el que la matriz no es
inversible. Ojo a lo siguiente, pues es muy importante: hemos de decidir si haremos nuestras
transformaciones elementales por filas o por columnas, pues la forma que elijamos debe mantenerse
a lo largo de todo el proceso de inversión de la matriz.
Las transformaciones elementales son las siguientes: substituir una fila o columna de la matriz por
ella misma multiplicada (o dividida) por un número, substituir una fila o columna de la matriz por una
combinación lineal de filas o columnas de la matriz (si es fila, filas, y si es columna, columnas), e
intercambiar filas o columnas.
Por simplicidad en la notación, c indicará columna (ej., 1ª c es 1ª columna) y f indicará fila (ej., 3ª f es
3ª fila).
Ejemplo 1:
Ver si es inversible o no y calcular (si se puede) la inversa de la siguiente matriz.










010
234
432
Planteamos, como hemos dicho, las dos matrices:










100010
010234
001432
En primer lugar, por simplicidad en las operaciones, vamos a intercambiar las filas 2 y 3:










010234
100010
001432
Hacemos 3ª f = 3ª f - 2·1ª f (y dejamos el resto igual):










−−− 012630
100010
001432
Ahora 3ª f = 3ª f + 4·2ª f (estos dos pasos se podrían haber resumido en una sola operación, 3ª f = 3ª
f-2·1ª f + 3.2ª f, no se ha hecho por claridad al ser el primer paso):

Matriz inversa
Proyecto e-Math 5










−− 312600
100010
001432
Ahora hacemos 1ª f = (1ª f)/2 y 3ª f = (3ª f)/(-6):










−− 2
1
6
1
3
1
2
1
3
1
100
100010
0021
Y, por último, hacemos la operación 1ª f = 1ª f - (3/2)· 2ª f - 2.3ª f:










−−
−−
2
1
6
1
3
1
2
1
3
1
6
1
100
100010
001
Con lo que la inversa es:










−−
−−
2
1
6
1
3
1
2
1
3
1
6
1
100
Comprobémoslo:










=










−−
−−
⋅










100
010
001
100
010
234
432
2
1
6
1
3
1
2
1
3
1
6
1










=










⋅










−−
−−
100
010
001
010
234
432
100
2
1
6
1
3
1
2
1
3
1
6
1
Ejemplo 2:
Ver si es inversible y calcular (si es posible) la inversa de la matriz:










−
−
123
312
231
De nuevo, planteamos las dos matrices:










−
−
100123
010312
001231
Hacemos 2ª f = 2ª f + 2.1ª f, 3ª f = 3ª f -3·1ª f:

Matriz inversa
Proyecto e-Math 6










−−− 103770
012770
001231
Y ahora hacemos 3ª f = 3ª f + 2ª f:










− 111000
012770
001231
Por mucho que queramos, al habernos aparecido una fila de ceros, ya no podremos obtener la matriz
identidad. En cuanto nos sale una fila, o más (o columna/s, si es que trabajamos por columnas) de
ceros, lo que nos está diciendo es que la matriz no es inversible.
Por adjuntos y determinantes [W5]
En este apartado se va a mostrar una forma, alternativa a la anterior, de determinar cuándo una
matriz cuadrada tiene inversa así como a calcularla.
La matriz:














=
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
es inversible si y sólo si su determinante es diferente de cero ( 0A ≠ ) y la forma de calcularla es la
siguiente:
A
)A(
A
Td
1
=−
donde A
d
es la matriz de adjuntos de A y (A
d
)
T
, su traspuesta.
La restricción de que el determinante de la matriz debe ser diferente de cero para la existencia de la
matriz inversa es debido a la imposibilidad de dividir por cero. Dicha condición, a diferencia de la de
inversibilidad, sí que es necesaria y suficiente; esto es, podemos afirmar que toda matriz cuyo
determinante sea diferente de cero tiene inversa.
Ejemplo 1:
Sea la matriz:










−−
−
=
210
052
231
A
1. Cálculo del valor de su determinante:

Matriz inversa
Proyecto e-Math 7
02612410
210
052
231
A ≠−=−−−=
−−
−
=
Al ser el determinante diferente de cero sabemos, pues, que la matriz tendrá inversa.
2. Cálculo de la matriz de adjuntos (A
d
)
Los cofactores de los nueve elementos de A son:
11
52
31
A4
02
21
A10
05
23
A
1
10
31
A2
20
21
A8
21
23
A
2
10
52
A4
20
02
A10
21
05
A
333231
232221
131211
=
−
+==−=−=
−
+=
=
−
−
−=−=
−
+=−=
−−
−
−=
−=
−
+==
−
−=−=
−−
+=
Por tanto, la matriz de adjuntos es:










−
−−
−−
=
11410
128
2410
Ad
3. Cálculo de la matriz traspuesta de la matriz de adjuntos.










−
−
−−−
=
1112
424
10810
)A( Td
4. Entonces, aplicando la definición anterior obtenemos la matriz inversa de A:










−
−
−−−
−
==−
1112
424
10810
·
26
1
A
)A(
A
Td
1
5. Y, simplificando:










−−
−−=−
26
11
26
1
13
1
13
2
13
1
13
2
13
5
13
4
13
5
1
A
Ejemplo 2:
Sea la matriz:










=
101
264
132
A
Al calcular el determinante se comprueba que éste es igual a cero, por lo que se puede afirmar que
dicha matriz no posee inversa.

Matriz inversa
Proyecto e-Math 8
0126612
101
264
132
A =−−+==
Propiedades de la matriz inversa [6]
1. Si B y C son, ambas, inversas de la matriz A, entonces B=C.
Como consecuencia de este importante resultado, podemos afirmar que la inversa de una matriz,
si existe, es única. Toda matriz inversible tiene exactamente una única matriz inversa.
2. Si A y B son matrices inversibles del mismo tamaño, entonces:
a) A·B es inversible
b) (A·B)
-1
= B
-1
·A
-1
Ejemplo:
Sean las matrices:






=





=
22
23
B
31
21
A Entonces, 





=⋅
89
67
BA
Si se aplica el resultado anterior:






−
−
=





−
−
= −−
2
3
11
1
11
B
11
23
A y 





−
−
=⋅ −
2
7
2
9
1 34
)BA(
También,






−
−
=





−
−
⋅





−
−
=⋅ −−
2
7
2
9
2
3
11 34
11
23
1
11
AB
Por consiguiente, se cumple que (A·B)
-1
= B
-1
·A
-1
, como se afirma en la propiedad enunciada.
3. Si A es una matriz inversible, entonces:
a) A
-1
es inversible y (A
-1
)
-1
= A
b) A
n
es inverible y (A
n
)
-1
= (A
-1
)
n
para n = 0, 1, 2, ....
c) Para cualquier escalar k diferente de cero, la matriz k·A es inversible y (k·A)
-1
=
k
1
·A
-1
Ejemplo:
a) Sean A y A
-1
como las matrices del ejemplo anterior; es decir,






−
−
=





= −
11
23
A
31
21
A 1
Entonces,

Matriz inversa
Proyecto e-Math 9






=−−
31
21
)A( 11
b) Igualmente:






=

















=
4115
3011
31
21
·
31
21
·
31
21
A3
A
-3
= (A
-1
)
3
= 





−
−
=





−
−






−
−






−
−
1115
3041
11
23
·
11
23
·
11
23
Por tanto, A
3
es inversible.
c) Si k=3, entonces k·A= 





=
93
63
A·3
(k·A)
-1
= 1
3
1
3
1
3
2
A·
3
1
11
23
·
3
11 −
=





−
−
=







−
−
Con lo que queda demostrada dicha propiedad.
4. Si A es una matriz inversible, entonces su matriz de adjuntos correspondientes A
T
también es
inversible y (A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
Ejemplo:
Sean las matrices:






−
−
=




 −−
=
13
25
A
12
35
A T
Al aplicar la propiedad anterior, se obtiene:






−
−
=





−−
= −−
53
21
)A(
52
31
A 1T1
Como garantiza la propiedad anterior, estas matrices la satisfacen.

Matriz inversa
Proyecto e-Math 10
CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE___________________________________
Matriz inversa con Mathcad [3]
Veamos a continuación cómo se traduce, en mathcad, la condición que debe cumplir para que una
matriz sea inversible. Y para ello nos ayudaremos de un ejemplo.
Ejemplo:
Sea la matriz:
A
1
3
2
5






:=
Queremos averiguar si existe la matriz
B
x
z
y
t






tal que:
1
3
2
5






.
x
z
y
t






1
0
0
1






y
x
z
y
t






1
3
2
5






1
0
0
1






Entonces, haciendo uso de las funciones de Mathcad, podemos afirmar que:
La matriz A es inversible ⇔ RREF (A) = I
o dicho de otro modo:
Para determinar si la matriz A es inversible y calcular su inversa se debe hallar RREF(AI). Si
el resultado es (I Q), entonces A es inversible y Q=A-1
Comprobemos estas afirmaciones con el ejemplo anterior:
rref
1
3
2
5
1
0
0
1












1
0
0
1
5−
3
2
1−






=
Por tanto, la matriz inversa de A es:
A
1− 5−
3
2
1−







Matriz inversa
Proyecto e-Math 11
Otra alternativa para calcular matrices inversas, con la ayuda de Mathcad, es hacer uso del comando
X-1 de la barra de herramientas Matrix.
Veamos el ejemplo.
A
1
3
2
5






:=
A
1− 5−
3
2
1−






=
Matriz identidad
Matriz A

Matriz inversa
Proyecto e-Math 12
Y si lo que se desea es calcular la matriz inversa de una matriz compuesta por símbolos, o símbolos y
números, debemos hacer uso del comando Invert Matrix de la barra de herramientas Symbolic, de
la siguiente manera:
1. Creamos y escribimos la matriz mediante la barra de herramnientas Matrix.
2. Con el cursor lo más a la derecha posible, seleccionamos el comando M-1 de la barra Symbolic.
3. Pulsamos Intro para ver el resultado.
a
c
b
d






1−
d
a d⋅ b c⋅−( )
c−
a d⋅ b c⋅−( )
b−
a d⋅ b c⋅−( )
a
a d⋅ b c⋅−( )










→
a
0
0
0
a
0
0
0
a








1−
1
a
0
0
0
1
a
0
0
0
1
a
















→

Matriz inversa
Proyecto e-Math 13
Aplicación a la resolución de ecuaciones matriciales [W5]
Una ecuación matricial es aquélla en la que sus coeficientes e incógnitas son matrices.
Para resolverlas es necesario despejar la incógnita, tal como si de una ecuación con números
reales se tratara. El "problema" aparece cuando la incógnita está multiplicada por otra matriz y,
como ya es sabido, no es posible "dividir" matrices. En ese caso hay que recurrir a la matriz
inversa.
Veamos un ejemplo aclaratorio de ello:
Sea la ecuación matricial siguiente:
2A = A·X + B
donde:






−
=
11
01
A y 





−
−
=
13
21
B
despejamos y queda:
A·X = 2A -B

Matriz inversa
Proyecto e-Math 14





 −
=





−+−
−+
=





−
−
−





−
=−
11
23
1231
212
13
21
11
01
2BA2
Por tanto:





 −
=
11
23
X·A
Si calculamos la inversa de A y la multiplicamos por la izquierda (cabe recordar que el producto
de matrices no es conmutativo), a ambos lados de la igualdad, obtenemos la matriz X (puesto que
A
-1
·A=I):





 −
= −−
11
23
·AX·A·A 11
Se calcula la matriz inversa de A haciendo uso del programa mathcad (tal como anteriormente se
ha explicado):
1
1−
0
1






1−
1
1
0
1






=
Por tanto, la solución a la ecuación matricial dada es:





 −






=
11
23
·
11
01
X
Esto es:






−
−
=
14
23
X
Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales [W4, W6]
Para resolver muchos problemas matemáticos es necesario plantear un sistema de ecuaciones
lineales. Existen diversos métodos para resolverlos (recodemos los conocidos método de
igualación, substitución e igualación). Pero, si dichos sistemas están formados por gran cantidad
de ecuaciones e incógnitas, el aplicar los métodos anteriores resulta ser una tarea sumamente
dificultosa y que, muy probablemente, conducirá a resultados erróneos.
Para solventar este problema, los sistemas de ecuaciones lineales se pueden plantear
matricialmente y resolverlos haciendo uso de la matriz inversa.
Veamos a continuación un ejemplo de esto:
En un consejo municipal del ayuntamiento de una ciudad se decide comprar 2 impresoras, 5
ordenadores y 3 escáners.
Para determinar el costo de los artículos se sabe que 1 impresora más 4 ordenadores más 3
escáners valen 2.600€, 2 impresoras más 5 ordenadores más 4 escáners valen 3.500€ y 1
impresora más 3 ordendores más 2 escáners valen 2.000€.

Matriz inversa
Proyecto e-Math 15
¿Cuál es el coste total de los artículos?
Para resolver este problema, se determina el coste por unidad de cada uno de los útiles:
impresora, escáner y ordenador.
De acuerdo a los datos proporcionados, se puede construir el siguiente sistema de ecuaciones:
PI = Precio de una impresora
PO = Precio de un ordenador
PE = Precio de un escáner





=++
=++
=++
2000PE·2PO·3PI·1
3500PE·4PO·5PI·2
2600PE·3PO·4PI·1
Se resuelve este sistema de forma matricial:










=




















2000
3500
2600
PE
PO
PI
·
231
452
341
O bien:
A·X = B, donde:










=










=










=
PE
PO
PI
X
2000
3500
2600
B
231
452
341
A
A es la matriz de los coeficientes, B es la matriz de los términos independientes y X es la matriz
de las incógnitas.
Para ello hay que hallar la inversa de la matriz de coeficientes y multiplicarla por la de términos
independientes.
Fijémonos que se parte de que A·X=B
Multiplicamos a la izquierda por A
-1
y se tiene A
-1
·A·X = A
-1
·B
Como A
-1
·A = I, entonces queda que X=A
-1
·B
Se realiza este cálculo mediante el software Mathcad:
1
2
1
4
5
3
3
4
2








1−
2600
3500
2000








⋅
300
500
100








=
Este resultado nos indica que el PI=300, PO=500 y PE=100.
Por tanto, el precio de una impresora, un ordenador y un escáner es 300€, 500€ y 100€,
respectivamente. Y el coste total de los artículos a comprar asciende a:
2·300 + 5·500 + 3·100 = 3.400€

Matriz inversa
Proyecto e-Math 16
BIBLIOGRAFÍA ___________________________________
[1] Carl D. Meyer´s (2000): "Matrix analysis and applied linear algebra", Philadelpia SIAM, 115-121
[2] Montes Lozano, A (1998): "Álgebra", Ediciones UOC, Módulo 3: "Matrices, vectores y sistemas
de ecuaciones lineales", 55-58
[3] G. J. Porter, D. R. Hill (1996): “Interactive Linear Algebra. A laboratory course using Mathcad”,
Springer-Verlag New York, Inc., Section 2.8
[4] H. Benker (1999): "Practical use of Mathcad. Solving mathematical problems with a computer
algebra system", Springer-Verlag New York, Inc., 174
[5] J. A. Moreno, D. Ser (1999): "Mathcad 8. Manual de usuario y guía de referencia de Mathcad 8",
ediciones Anaya Multimedia, S.A., 480
[6] H. Anton (1997): "Introducción al álgebra lineal", Limusa, 66-72
[7] H. Anton, C. Rorres (2000): "Elementary Linear Algebra: Applications Version", John
Wiley&Sons.
ENLACES ___________________________________
[W1] http://www.apuntesuniversitarios.com/matrices1/prologo.htm
Página web de apuntes gratis de las universidades nacionales argentinas. En español.
[W2] http://www.lafacu.com/apuntes/matematica/matr_dete/
El sitio de los estudiantes y docentes universitarios. Recopilación de apuntes, con ejemplos,
sobre matrices y determinantes. En español.
[W3] http://rinconprog.metropoliglobal.com/CursosProg/ProgGraf/MatGraf/index.php?cap=2c
Página web de "El Rincón del Programador". En la sección de "Programación Gráfica"
aparecen los "Fundamentos matemáticos de la Informática Gráfica" donde se explican
diversos conceptos relacionados con la matriz inversa. En español.
[W4] http://palillo.usach.cl/Pamela/inversa.htm
Página web de la Universidad de Santiago de Chile. En español.
[W5] http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tmatrizinversa.htm
Página web con ejercicios de matemáticas aplicadas a las ciencias sociales. En español.
[W6] http://www.terra.es/personal/eurojet/matrices.htm
Página web con aplicaciones realizadas en JavaScript (Jscript para Microsoft) de diferentes
métodos numéricos: calculadora científica, inversión matricial, integral numérica, rumbo y
distancia de navegación, oscilaciones, etc. En español e inglés.

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