Metodo de cross

Folio EST 02-03

METODO DE CROSS

Materia: Estructura II

Folio: EST 2-03

Fecha: Noviembre/2000

Autores: Arqto. Isabel M. Zúñiga Lamarque
Arqto. Jing Chang Lou

Folio EST 02-03

METODO DE CROSS

INTRODUCCION

El poder entender y manejar el conocimiento de los
modelos estructurales requiere contar con
herramientas que nos permitan evaluar las tensiones
que se generan en los elementos componentes del
sistema.

Estas herramientas de evaluación se basan en modelos
físicos, que se establecen sobre esos elementos y que
buscan representar los fenómenos tensionales
(comportamiento tensional, deformaciones) mediante
procedimientos y ecuaciones matemáticas. La
importancia de contar con estas herramientas, para
nosotros como arquitectos o estudiantes de
arquitectura, radica en

1. Los métodos y ecuaciones matemáticas con que se
mide un fenómeno, contienen en su formulación.
las variables que intervienen en éste la medida o
proporción en que participan o influyen en el
fenómeno. Por lo tanto, es la herramienta que nos
otorga una comprensión de cómo funciona ese
fenómeno y nos dice cómo intervenir y modificarlo
en función de los requerimientos.

He aquí algunos ejemplos que ilustran este punto.

Un viga simplemente apoyada, con carga
uniformemente repartida “q” y luz “l”

Si observamos los valores dados de Momento Máximo y
de Flecha Máxima, vemos que la luz influye en el
cuadrado de su valor en las tensiones de la viga, y a la
cuarta en la deformación de ésta.

Es fácil concluir que a medida que la luz crece, la
deformación de la viga aumenta en mayor proporción
que sus tensiones.

Por otra parte, también es posible afirmar, que en la
medida que la carga aumenta, el problema de
tensiones y el de deformaciones en la viga, se
incrementa en la misma proporción.

Si esa misma viga se empotra en sus apoyos (por
ejemplo conectándola en cada uno de estos con un par
de pernos adecuadamente dimensionados) la fórmula
que representa el valor de la flecha máxima, nos
muestra que la deformación disminuirá a la quinta
parte, con respecto a la deformación original. (fig. 2)

MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 3

Este tipo de conclusiones, que lo podemos obtener en
todos los niveles de análisis estructural, desde el diseño
de un conector, al análisis y dimensionamiento de un
elemento del sistema o al análisis del modelo
estructural como un todo, nos ira proporcionando los
criterios que como arquitectos necesitamos para
enfrentar nuestros proyectos.

2. Por otra parte, el contar con estas herramientas -
que en muchos casos son simplificaciones del
fenómeno o aproximaciones a la realidad - nos
permite hacer una evaluación con miras a un
predimensionamiento o a establecer la factibilidad
de nuestras proposiciones.

En el estudio de las estructuras hiperestáticas,
debemos recurrir al estudio de las deformaciones de los
elementos para poder llegar a conocer las tensiones
que los solicitan. A partir de dichas deformaciones, se
llegan a establecer sistemas de análisis como es el caso
de los Teoremas de Clapeyron, o de los Tres y Cuatro
Momentos.

Este método nos permite determinar el valor de los
momentos en los nudos o apoyos de elementos
hiperestáticos, como lo son las vigas empotradas, las
vigas continuas, las losas y los marcos rígidos. Para
esto, es necesario establecer en cada nudo, una
ecuación por cada momento desconocido.

El asunto es que al aplicar Clapeyron al modelo, se
establecen relaciones entre dichos momentos, lo que
genera ecuaciones con tres o cuatro incógnitas, según
sea la conformación de los nudos.

Finalmente, los resultado se obtienen resolviendo
sistemas de ecuaciones, lo que resulta muy tedioso
cuando las incógnitas son varias.

En el ejemplo de la figura 3, sólo hay una incógnita y el
aplicar Clapeyron resulta eficiente ya que sólo
deberemos resolver una ecuación.

En la viga empotrada de la figura 4, también las
incógnitas se reducen a una, por la simetría del
modelo.

La viga de dos tramos de la figura 5 se resolverá con un
sistema de dos ecuaciones, si es simétrica, y de tres si
no lo es.

En cambio. el marco de dos pisos y 3 naves. de la figura
6. a pesar de la simetría que reduce las incógnitas a la

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METODO DE CROSS

mitad. tiene una incógnita en los nudos 1 - 2 – 5, tres
incógnitas en los nudos 3 - 6, y cuatro incógnitas en el
nudo 4, con un total de trece incógnitas, que deberán
resolverse con un sistema de trece ecuaciones.

Este caso y muchos otros que enfrentaremos en
nuestros diseños, que cuentan con gran cantidad de
incógnitas, hace indispensable el contar con otra
herramienta que facilite su resolución.

Esta herramienta es el método de Cross, que podrá ser
aplicado tanto en vigas, como en losas o marcos, con
una o muchas incógnitas, pero evidentemente, cómo se
comprobara a medida de que se plantee el método y se
desarrollen ejemplos, Clapeyron seguirá, siendo más
practico, en el caso de pocas incógnitas y Cross
resultará irreemplazable, como herramienta "manual",
en caso contrario.


ANTECEDENTES PREVIOS

1) COEFICIENTE DE TRASPASO

En una barra empotrada-rotulada, se aplica un
momento "M" en el extremo que puede girar. En el
extremo contrario (el empotramiento) se genera un
momento de respuesta “ R ” tal que el ángulo φ1
M en
dicho apoyo es igual a cero

φ1 = 0

La deformación angular (rotación), es originada por
"M"., es anulada al llegar al empotramiento por “M R”,
tal que:

φ1(M) − φ1( M R ) = 0

ML M R L
− =0
6EI 3EI

por lo tanto:

M
MR =
2

Conclusiones

1. Cada vez que en una barra rotulada-empotrada,
apliquemos un momento en el extremo rotulado,
éste afectará al extremo empotrado en el que se
producirá un momento de igual sentido que el
momento original y con la mitad de su magnitud.

2. Por otra parte, en el extremo rotulado, el valor del
ángulo será:

ML M R L M
φ2 = − siendo: MR = tenemos:
3EI 6EI 2
ML ML
φ2 = −
3EI 12EI

ML
por lo tanto: φ 2 =
4EI

Este valor lo usaremos en la siguiente demostración

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2) Rigidez y Coeficientes de Distribución

Al aplicar un momento a un nudo rígido, este gira tal
que:

φ1 = φ 2 = φ3 (1)

Por otra parte, cada una de las barras se hace cargo de
una parte del momento solicitante para equilibrarlo,
siendo

M1 + M 2 + M 3 = M . (2)

De acuerdo al valor de ángulo establecido en la
deducción. anterior

M 1L1 M 2 L2 M 3L 3
φ1 = φ2 = φ3 =
4EI 4EI 4EI

En esta relación, la deformación angular φ, es
directamente proporcional al momento solicitante “M”
y a la capacidad de deformarse de la barra, o
flexibilidad L/4EI

Llamaremos “f” a la flexibilidad de la barra y rigidez a
su valor inverso: k = 1/f

Siendo 4 un valor constante, podemos simplificar esa
expresión, trabajando con un coeficiente de rigidez k =
EI/L o, simplemente K = I/L, ya que lo usual es que
todas las barras del nudo sean de la misma
materialidad y esta se expresa en el coeficiente de
elasticidad E.

De esta forma, el valor de los ángulos o giros de las
barras serán

M1 M2 M3
φ1 = φ2 = φ3 = (3)
k1 k2 k3
y combinando (1) con (3)

M1 M2 M3
= = (4)
k1 k2 k3

Expresaremos todos los momentos en función de M 1:

M1 k 2 M1 k 3
M2 = M3 =
k1 k1

y reemplazaremos en (2)


M1 M1 k 2 M 1 k 3
M= + +
k1 k1 k1

desarrollando esta expresión

M1 + M1 k 2 + M 1 k 3
M=
k1

M 1 (k1 + k 2 + k 3 )
M=
k1
por lo tanto
k1
M1 = *M
(k 1 + k 2 + k 3 )
k2
M2 = *M
(k1 + k 2 + k 3 )

k3
M3 = *M
(k1 + k 2 + k 3 )

Conclusiones

1. Al aplicar un momento en un nudo rígido éste será
equilibrado por todas las barras que concurren al
nudo, en proporción de sus rigideces EI/L o 1/L.

2. Podemos determinar un "coeficiente de
distribución", para la participación de cada una de
las barras concurrentes al nudo, tal que

k1
cd 1 =
k1 + k 2 + k 3
k1
generalizando cd 1 =
k1 + k 2 + ... + k n

k1 k2 k3
ó cd 1 = cd 2 = cd 3 = etc.
Σk Σk Σk

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METODO DE CROSS

EL METODO
1. Se inicia el método considerando que todos los nudos
del entramado son absolutamente rígidos, quedando
las barras totalmente incomunicadas entre ellas ya que
cada una tendría en su extremo un empotramiento
perfecto.
Esto significa . que las barras que poseen cargas, La viga y sus cargas
generarán en sus extremos pares de empotramiento
perfecto, que deberán ser calculados para aplicar el
método.
2. A continuación, se soltará nudo por nudo, de uno a la
vez. dejando congelados los demás nudos y
permitiendo que las barras de dicho nudo, entre las
que hay continuidad, interactúen. Los Momentos de empotramiento perfecto
Si en el nudo hay momentos, este girará, y dicho giro
deberá ser equilibrado por las barras que concurren al
nudo. Se produce así, una interacción entre las barras
que llegan al nudo y una distribución de los esfuerzos
(momentos) en función de las rigideces de los
elementos. (ver punto 2 de "antecedentes previos").
3. Cada barra que rotó, al asumir un momento, genera en Se suelta el nudo 2 y gira debido a M E
su apoyo contrario un momento de respuesta, de igual
sentido que el anterior y de la mitad del valor de este.
Es decir, la barra asume un momento de valor “M” en
el extremo que rota, y "traspasa" al otro extremo un
momento de valor M/2. (ver punto 1 de "antecedentes
previos").
Las barras que concurren al nudo lo
Es posible anotar inmediatamente los traspasos que se equilibran con momentos contrarios tal
originan cada vez que equilibramos un nudo, como que: M 1-2 + M 2-3 = M E
también, podemos "soltar y equilibrar" todos los nudos, uno
por uno, y después de desarrollar una vuelta completa de
equilibrios, efectuar todos los correspondientes a
los apoyos contrarios.
4. Al ejecutar los traspasos, los nudos ya equilibrados se
vuelven a desequilibrar y será necesario repetir el ciclo de
equilibrios y traspasos.
A los apoyos contrarios se traspasan
A medida de que se completa un mayor número de vueltas, momentos de igual sentido y la mitad del
los desequilibrios van disminuyendo en magnitud, y nos
valor
acercamos más a los valores reales del momento en las
barras. Por eso este método es conocido también como el
“de las aproximaciones sucesivas”.
Se recomienda repetir dicho ciclo las veces. que sea
necesario, hasta que los desequilibrios remanentes no sean
superiores al 10% del desequilibrio original de cada nudo
5. El valor del momento final. en los extremos de cada
barra corresponde a la suma de todos los momentos que. Los momentos resultantes después del
la fueron afectando en los sucesivos ciclos de equilibrios y equilibrio y traspasos del nudo 2
traspasos.


PROCEDIMIENTO

Para aplicar el método, se dibuja una trama ortogonal que
representa todas las barras de entramado.

Las intersecciones de líneas horizontales y verticales
corresponden a los nudos y deberá anotarse en ellos, en el
extremo de cada barra, su correspondiente coeficiente de
distribución" en, dicho nudo.

Estos valores se encerrarán en un rectángulo. sobre el cual se
ubicará el correspondiente valor de momento de
empotramiento perfecto, para esa barra. en ese nudo.

La ubicación de estos valores en el nudo, por convención, será
la siguiente:

Para las barras horizontales:
§ en el apoyo izquierdo: arriba,
§ en el apoyo derecho: abajo.

Para las barras verticales:
§ en el apoyo inferior: a la izquierda
§ en el apoyo superior: ala derecha.

A continuación se inician los ciclos de equilibrios y traspasos,
hasta equilibrar definitivamente el nudo o al menos reducir el
desequilibrio según lo recomendado.

Los valores que se van obteniendo se anotan en cada barra en
una columna que se genera a partir del valor de
empotramiento perfecto original, y que se cierra con la
sumatoria de todos los momentos de dicha columna.

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METODO DE CROSS

EJEMPLO 1
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE CROSS EN LA
DETERMINACIÓN DE MOMENTOS DE UNA VIGA
CONTINUA, DE TRES TRAMOS.

Datos

Viga de Hormigón Armado 20/50
Peso propio viga = 250 kg mI
Carga repartida q = 200 kg/ml

I.- ANTECEDENTES PREVIOS

1.- Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto

En este caso, los tres tramos tienen las mismas cargas Y
luces y por lo tanto, los mismos

Momentos de Empotramiento perfecto.

ME =
qL 2
=
(
250 kg + 200 kg * 4 m )( )2
= 600 kgm
12 12

2.- Coeficientes de Distribución por Nudo

Todas las barras tiene la misma rigidez EI/L, por lo que
les asignaremos rigidez 1
Nudos 1 – 4

A los nudos 1 y 4, llega una sola barra, por lo que si:

k 1
cd = cd (1− 2) = cd (3 −4 ) = =1
Σk 1

Nudos 2 - 3

1
cd (2−1) = cd ( 2−3 ) = = 0,5
2
1
cd (3−2 ) = cd (3− 4 ) = = 0,5
2


II.- DESARROLLO

Dibujamos la malla, con los coeficientes de distribución
por nudo y los momentos de empotramiento perfecto.

Obsérvese que si deshacemos el empotramiento en los
nudos, los nudos 1 y 4 rotarán, debido al momento que
los afecta y los desequilibra.

1º Vuelta de Equilibrios: Se suelta nudo por nudo
(deshaciendo el empotramiento) permitiendo que el
nudo gire y las barras interactúen.

En cada nudo., las barras que concurren a él
reestablecen el equilibrio, aportando. un momento de
igual valor Y sentido contrario. Cada barra hace su
aporte en función de su correspondiente coeficiente de
distribución. Así es, como en los nudos 1 y 4, la única
barra del nudo aportó el total del equilibrio (+600 y -
600, respectivamente). En cambio. en los nudos 2 y 3,
no había desequilibrio y las barras aportaron "cero"`.

Se traza una línea horizontal, después de que cada
nudo queda equilibrado y este se vuelve a "empotrar".

1ª Vuelta de Traspasos: Cada uno de los momentos
aportados por las barras, generan en sus apoyos
contrarios, un momento de igual sentido (signo) y la
mitad de su valor.

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METODO DE CROSS

Obviamente, las barras que no aportaron momentos, no
"traspasan" momentos al apoyo contrario.

Se ha completado así, una primera vuelta o ciclo de

Obsérvese que los nudos 2 y 3, después de los traspasos
quedaron nuevamente desequilibrados. (Momentos que
aparecen después de las líneas horizontales de
equilibrio).

Se procederá, por lo tanto, a realizar un 2º ciclo de

2º Vuelta de Equilibrios: los nudos 1 y 4 están
equilibrados. mientras que los nudos 2 y 3 tienen
desequilibrios de +300 y -300. respectivamente. Se
soltará nudo por nudo y los desequilibrios se
equilibrarán, nuevamente, con los aportes de las barras
que concurren al nudo, de acuerdo a sus coeficientes
de distribución.

2ª Vuelta de Traspasos: Cada uno de los momentos
aportados por las barras, generan en sus apoyos
contrarios, un momento de igual sentido (signo) y la
mitad de su valor.


Se completa así, la segunda "vuelta" o ciclo de

Todos los nudos del sistema han quedado
desequilibrados.

Los desequilibrios son mayores al 10% del valor de los
desequilibrios originales, por lo que se procederá a
realizar una tercera vuelta.

3ª Vuelta de Equilibrios y Traspasos : Se equilibran
todos los nudos. uno por uno, y luego se efectúan los
correspondientes traspasos a los apoyos contrarios,
según se indica.

Después de esta tercera vuelta, se observa que los
nudos 1 y 4, han disminuido sus desequilibrios a menos
del 5% respecto a los desequilibrios originales (18,75
kgm, anotados después de la última línea de equilibrios,
con respecto a 600 kgm).

Los nudos 2 y 3, en cambio, presentan desequilibrios de
56,2.5 kgm (37,5 + 18,75), cuando originalmente
estaban equilibrados (desequilibrios = 0). En este caso,
como es imposible lograr el 10% del "desequilibrio"
original, nos remitiremos al primer desequilibrio
acontecido en el nudo, de 300 kgm. Siendo así, aún
debemos disminuir el desequilibrio, a un valor inferior
a 3 0 kgm., por lo que efectuaremos una última vuelta.

Finalizamos el desarrollo del método, sumando todas
las cifras anotadas en cada columna, para obtener los
momentos finales, correspondientes a los extremos de
cada barra.

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METODO DE CROSS

Se detiene el procedimiento después de un ciclo de
equilibrios. De esta manera. al sumar los momentos
finales en cada nudo, deberá dar valor cero, ya que el
nudo está en equilibrio. Esto nos permite verificar que
no hayamos cometido errores de signos en el desarrollo
y que hayamos aplicado correctamente los coeficientes
de distribución.

El método de Cross nos ha proporcionado el valor de los
momentos en los nudos; es tarea aparte el encontrar
los valores de momentos de tramo, que se determinan
en cada tramo de la viga, con las mismas herramientas
que utilizamos en una viga isostática cualquiera y,
aunque en este caso plantearemos el modelo, no
incluiremos los cálculos ya que no es el tema de este
apunte. Por razones de simetría, es suficiente analizar
dos tramos de la viga.

Y para finalizar, incluiremos el diagrama de momentos
de la viga.


EJEMPLO 2:
DETERMINACIÓN DE MOMENTOS DE UNA VIGA CONTINUA,
ASIMÉTRICA, DE DOS TRAMOS Y VOLADIZO.

Datos
Viga de Acero (obviar peso propio)
q1 = 200 kg / ml
q2 = 300 kg / ml
P = 500 kg
L = 3,00 m

I. ANTECEDENTES PREVIOS


qL 2
M EMP =
12

200 3 2
M EMP = = 150 kgm
12

PL
M EMP =
8

500 3
M EMP = = 187,5 kgm
8

M EMP (1) = 150 kgm + 187,5 kgm = 337,5 kgm
M EMP (2i) = 150 kgm + 187,5 kgm = 337,5 kgm

qL 2
M EMP =
30

300 3 2
M EMP = = 90 kgm
30

qL 2
M EMP =
20

300 3 2
M EMP = = 135 kgm
20

qL 2
M EMP =
2

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METODO DE CROSS

200 12
M EMP = = 100 kgm
2

M EMP (3d) = 100 kgm

2.- Coeficientes de Distribución por Nudo.

Todas las barras tienen la misma rigidez EI/L, por lo
que le asignaremos rigidez “1”

En el nudo 1 el empotramiento tiene una rigidez
infinita comparada con la barra 1-2 por lo tanto el
coeficiente de distribución de la barra es:
cd(1-2) = 0

En el nudo 2 llegan dos barras de igual rigidez por lo
tanto el coeficiente de distribución es el mismo para
cada una de ellas:
cd(1-2) = 0,5
cd(2-3) = 0,5

En el nudo 3 el equilibrio del voladizo depende de su
continuidad con la barra 2-3 y no puede aportar nada al
equilibrio del nudo, por lo tanto el coeficiente de
distribución para cada una de ellas:
cd(2-3) = 1
cd(voladizo) = 0


II. DESARROLLO

Como ya hemos desarrollado un ejemplo en que cada
ciclo o vuelta se trató por separado, en este ejemplo y
en los siguientes incluiremos la malla con el proceso
total, de equilibrios y traspasos y los valores finales.
También se incluye el cuadro que indica los
desequilibrios existentes en cada vuelta.

III.- Grafico de Momento

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METODO DE CROSS

EJEMPLO 3:
DETERMINACIÓN DE MOMENTOS EN UN MARCO DE DOS
NAVES Y UN PISO.

Datos
Marco de Hormigón Armado
Vigas 20/50 Pilares 20/30
Peso propio vigas q = 250kg/ml
Sobrecarga q= 300 kg/ml
P = 150 kg
L 1= 3,00 m.
L 2 = 6,00 m.
h= 3,00 m.



qL 2
M EMP =
12

250 3 2
M EMP( 4− 5) = = 187,50 kgm
12

250 6 2
M EMP(5− 6 ) = = 750,00 kgm
12

5qL 2
M EMP =
96

5 300 3 2
M EMP( 4−5) = = 140,63 kgm
96

M EMP(4 −5) = 187,50 + 140,63 = 328,13 kgm

2PL
M EMP =
9

2 150 6
M EMP(5− 6) = = 200,00 kgm
9

M EMP(5− 6) = 750 + 200 = 950,00 kgm


2.- Calculo de Rigideces de las Barras. ( EI / L )
Barras 1-4 y 3-6

20 30 3 45000
I= = 45000 → k = = 150
12 300
Barras 2-5

30 20 3 20000
I= = 20000 → k = = 66,67
12 300
Barras 4-5

20 50 3 208333
I= = 208333 → k = = 694,44
12 300
Barras 5-6

20 50 3 208333
I= = 208333 → k = = 347,22
12 600
En los nudos 1, 2 y 3, el empotramiento tiene una
rigidez infinita comparada con las barras que llegan a
cada nudo por lo tanto el coeficiente de distribución de
las barras es:

cd (1− 4) = cd ( 2−5) = cd (3 −6) = 0

En los nudos 4 y 6 llegan dos barras de distinta rigidez
por lo tanto el coeficiente de distribución para cada
una de ellas es:

694,44
cd ( 4 −5) = = 0,91
694,44 + 66,7

cd (1−4) = 1 − 0,91 = 0,09

347,22
cd ( 5−6) = = 0,84
347,22 + 66,7

cd ( 3− 6) = 1 − 0,84 = 0,16

En el nudo 5 llegan tres barras de distintas rigideces
una de ellas es:
694,44
cd ( 4 −5) = = 0,58
694,44 + 347,22 + 66,7

347,22
cd ( 5−6) = = 0,29
694,44 + 347,22 + 66,7

cd ( 2− 5) = 1 − 0,58 − 0,29 = 0,13

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Folio EST 02-03

METODO DE CROSS

II.- DESARROLLO

En el caso de los marcos, como en el de las vigas
hiperestáticas analizadas en los ejemplos anteriores, el
método de Cross nos proporciona el valor de los
momentos en los nudos.

Los momentos de tramo se obtiene en los respectivos
tramos de viga, tal como en los otros casos, con las
mismas herramientas utilizadas hasta ahora en una viga
isostática cualquiera.


III.- Gráfico de Momento

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Folio EST 02-03

METODO DE CROSS

EJEMPLO 4 :
DETERMINACIÓN DE MOMENTOS DE UN MARCO EN DOS
PISOS.

Datos:
Viga 20/50 Pilares 20/30
Peso propio viga q1 = 250 Kg/ml
Sobrecarga q2 = 200 Kg/ml
P = 500 kg
L1 = 6,00 m
h = 3,00 m


1. Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto

qL 2
M EMP =
12

450 * 6 2
M EMP = = 1350 kgm
12

PL
M EMP =
8

500 * 6
M EMP = = 375 kgm
8

qL2
M EMP =
2

450 * 2 2
M EMP = = 900 kgm
2

2.- Calculo de Rigideces de las Barras.

Pilares 1-4, 2-5, 3-6, 4-7 y 5-8

20 30 3 45000
I= = 45000 → k = = 150
12 300


Vigas 4-5, 5-6 y 7-8

20 50 3 208333
I= = 208333 → k = = 347,22
12 600

1c.- Coeficientes de Distribución por Nudo

En los nudos 1, 2 y 3, el empotramiento tiene una
rigidez infinita comparada con las barras que llegan a
cada nudo por lo tanto el coeficiente de distribución de
las barras es:

cd (1− 4) = cd ( 2−5) = cd (3 −6) = 0

En el nudo 4 llegan tres barras de distinta rigidez por
lo tanto el coeficiente de distribución para cada una de
ellas es:

150
cd (1− 4) = cd ( 4 −7) = = 0,23
347 + 150 + 150

347
cd ( 4 −5) = = 0,54
347 + 150 + 150
En el nudo 5 llegan cuatro barras de distinta rigidez
una de ellas es:
150
cd ( 2− 5) = cd ( 5−8) = = 0,15
347 + 347 + 150 + 150

347
cd ( 4 −5) = cd (5− 6) = = 0,35
347 + 347 + 150 + 150
En el nudo 6 llegan tres barras de distinta rigidez, pero
una barra en voladizo no se considera ya que ésta no
aporta rigidez al sistema, por lo tanto el coeficiente de
distribución para cada una de ellas es:
150
cd ( 5−6) = = 0,30
347 + 150 + 0

347
cd ( 3− 6) = = 0,70
347 + 150 + 0
En los nudos 7 y 8 llegan dos barras de distintas
rigideces por lo tanto el coeficiente de distribución
para cada una de ellas es:
150
cd ( 4 −7) = cd ( 5−8) = = 0,30
347 + 150

347
cd ( 7 −8) = = 0,70
347 + 150

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Folio EST 02-03

METODO DE CROSS

II. DESARROLLO


III.- Grafico de Momentos

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Folio EST 02-03

METODO DE CROSS

CASOS DE SIMETRIA

Existen dos tipos de simetría :
A) Simetría respecto a un apoyo
B) Simetría respecto a la mitad de la viga

CASO A
SIMETRÍA RESPECTO A UN APOYO

Se produce cuando el eje de simetría coincide con el
apoyo de una viga o con el pilar central de un marco.

Viga simétrica respecto a un apoyo

En este caso, el eje de simetría divide el modelo en
dos partes, y se trabaja con una de ellas.

Las barras que llegan al eje de simetría se consideran
con dicho extremo empotrado.

Marco simétrico respecto a pilar central y su modelo
de evaluación

En el caso de un marco, el pilar central no tiene
momentos


CASO B:
SIMETRÍA RESPECTO A LA MITAD DE LA VIGA.

Se produce cuando el eje de simetría coincide con el
punto medio del tramo de viga central de una viga
continua o de un marco.

En este caso, como en el anterior, el eje de simetría
divide el modelo en dos partes, trabajándose una de
ellas. A las barras cortadas se le considerará la mitad
de su rigidez real, y su encuentro con el eje de simetría
se considera un apoyo rotulado.

Viga Simétrica respecto al punto medio del tramo
central.

Marco Simétrico respecto al punto medio de la viga

28

Folio EST 02-03

METODO DE CROSS

EJEMPLO 5:
CASO DE SIMETRÍA RESPECTO A UN APOYO.

Datos
Viga 20/50 Pilares 20/30
Peso propio viga q = 250 kg / ml
Sobrecarga q1 = 200 kg / ml
L 1 = 3,00 m
h = 3,00 m



qL 2
M EMP =
12

450 * 3 2
M EMP = = 337,50 kgm
12
2.- Calculo de Rigideces de las Barras.
Pilares 1-4

20 30 3 45000
I= = 45000 → k = = 150
12 300

Vigas 4-5

20 50 3 208333
I= = 208333 → k = = 694,44
12 300


En el nudo 1 el empotramiento tiene una rigidez
infinita comparada con la barra por lo tanto el

cd (1− 4) = 0

En el nudo 4 llegan dos barras de distinta rigidez por lo
tanto el coeficiente de distribución para cada una de
ellas es:

150
cd (1− 4) = = 0,18
150 + 694,44

cd ( 4 −5) = 1 − 0,18 = 0,82


En el nudo 5 la barra 4-5 llega el eje de simetría por lo
tanto al considerar un empotramiento el coeficiente de
distribución para la barra es:

cd ( 4 −5) = 0

II.- DESARROLLO

III.- GRÁFICO DE MOMENTO

30

Folio EST 02-03

METODO DE CROSS

EJEMPLO 6 :
CASO DE SIMETRÍA RES PECTO A LA MITAD DE UNA VIGA

Datos
Marco de Acero (obviar peso propio)
Pilares y vigas de secciones iguales.
Sobrecarga q = 4500 kg / ml
P = 500 kg
L = 3,00 m
h = 3,00 m



qL 2
M EMP =
12

450 * 3 2
M EMP = = 337,50 kgm
12

PL
M EMP =
8

500 * 3
M EMP = = 187,50 kgm
8

Todas las barras tienen la misma rigidez EI/L, por lo
que le asignaremos rigidez “1”

En los nudos 1 y 2 el empotramiento tiene una rigidez
infinita comparada con la barra por lo tanto el

cd (1−5) = cd (2 −6) = 0

En el nudo 5 llegan dos barras de igual rigidez por lo
tanto el coeficiente de distribución para cada una de
ellas es:

cd (1−5) = cd ( 5− 6) = 0,50

En el nudo 6 llegan tres barras de la misma rigidez pero
la barra 6-7 es la barra cortada por el eje de simetría
por lo que sólo se considerará la mitad de su rigidez.
1
cd ( 2− 6) = cd (5− 6) = = 0,40
1 + 1 + 0,50

cd ( 6− 7) = 1 − 0,40 − 0,40 = 0,20


En el nudo ficticio en la mitad de la barra 5-6 se
considera apoyo rotulado por lo tanto el coeficiente de
distribución es:

cd ( 6− 7) = 1

II.- DESARROLLO

III.- GRAFICO DE MOMENTOS

32

Folio EST 02-03

METODO DE CROSS

TABLA DE
MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

PL qL  2 
MA = MA = (L + b ) 5 − b 2



8 96  L 

PL qL  2 
MB = MB = (L + b ) 5 − b 2



8 96  L 

2
P ab qL 2
MA = MA =
L2 30
2
Pa b qL 2
MB = MB =
L2 20

Pa (L − a) qa 2  a a 
MA = MA = 10 − 15 − 6  
L2 30  L L 

Pa (L − a ) qa 3  a
MB = MB = 5 − 4 
L2 20L  L

qL2 17 qL 2
MA = MA =
12 384

qL2 17qL2
MB = MB =
12 384

5qL 2 qL 2
MA = MA =
96 32

5qL 2 qL 2
MB = MB =
96 32


Folio EST 02-03

METODO DE CROSS

BIBLIOGRAFÍA

METODO DE CROSS
Prof. Raúl Véliz Montoya
Apunte del Departamento de Ciencias de la
Construcción

HORMIGÓN ARMADO
P. Jimenez Montoya
Tablas

Apuntes
Personales del Autor


INDICE

INTRODUCCIÓN................................................................................................................................. 3

ANTECEDENTES PREVIOS.................................................................................................................. 6

Coeficiente de traspaso.................................................................................................... 6
Coeficiente de Distribución .............................................................................................. 7

EL METODO....................................................................................................................................... 9

PROCEDIMINETO............................................................................................................................... 10

EJEMPLOS........................................................................................................................................ 10

EJEMPLO 1 : Viga Con tinua de tres tramos ....................................................................... 11
EJEMPLO 2 : Viga Continua Asimétrica de dos tramos y un voladizo................................ 16
EJEMPLO 3 : Marco de dos naves y un piso....................................................................... 19
EJEMPLO 4 : Marco de dos pisos ....................................................................................... 23

CASOS DE SIMETRIA........................................................................................................................... 27

Simetría con respecto a un apoyo..................................................................................... 27
Simetría con respecto a la mitad de una viga.................................................................... 28

EJEMPLOS.......................................................................................................................................... 29

EJEMPLO 1 : Marco simétrico con respecto a un apoyo..................................................... 28
EJEMPLO 2 : Marco simétrico con respecto a la mitad de una viga................................... 31

ANEXOS............................................................................................................................................. 32

Tabla : Valores de momentos de empotramiento perfecto............................................... 33
Bibliografía........................................................................................................................ 35

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