Metodo del poligono
- 1. METODOLOGÍA DEL ANÁLISIS DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES POR EL MÉTODO DEL POLÍGONO. I.- INTRODUCCIÓN El estudio de la dinámica se separa en dos ramas: cinemática y cinética. En general, la cinemática se encarga de analizar las características geométricas del movimiento tales como desplazamiento, velocidad y aceleración tanto en términos lineales como angulares, debido a lo anterior es necesario contar con los fundamentos básicos de la física. En la cinemática no se considera el origen del movimiento. Por otra parte, la cinética es el estudio de las fuerzas que actúan en el movimiento de un cuerpo acelerado. Para realizar un análisis cinemático, se cuentan con distintos métodos para ser aplicados y obtener la solución de la problemática planteada, dichos métodos son: analítico y gráfico. El presente documento se enfoca al análisis de velocidades y aceleraciones utilizando la metodología gráfica. El adecuado análisis en la aplicación del método gráfico (método del polígono), para la solución de velocidades y aceleraciones, se basa en el pleno conocimiento de los tipos de movimientos y del entendimiento que se debe de tener en las características del mismo. El objetivo es el facilitar al alumno el conocimiento básico para aplicar el método en mención, así mismo, proporcionar las herramientas y recomendaciones para una mejor comprensión del tema. II.- MARCO TEÓRICO II.1.- ESCALARES Y VECTORES Si nos dicen que un coche circula durante una hora a 60 km/h, no podemos saber en qué lugar se encontrará al cabo de ese tiempo porque no sabemos la dirección en la que ha viajado. Hay muchas magnitudes físicas, como por ejemplo la velocidad, en las que hay que especificar una dirección para describirlas completamente. Por ejemplo, si sabemos que el coche anterior se movía hacia el Norte, ya no tenemos el problema de antes. Por supuesto hay también muchas magnitudes, como la masa, que no dependen de la dirección. Así, diciendo que la masa de un cuerpo es 24 kg describimos completamente esta magnitud. Son escalares las magnitudes que se describen con un valor y una unidad.
- 2. Son vectoriales las magnitudes que se describen usando un valor, una unidad y una dirección. Las magnitudes vectoriales se representan a través de vectores, que tienen las siguientes características: II.2.- TIPOS DE MOVIMIENTO Rotación pura: El cuerpo posee un punto (centro de rotación) que no tiene movimiento con respecto al marco de referencia estacionario. Todos los demás puntos del cuerpo describen arcos respecto a ese centro. Una línea de referencia marcada en el cuerpo a través de su centro cambia únicamente en orientación angular. Ver figura 1 Traslación pura: Todos los puntos en el cuerpo describen trayectorias paralelas (curvas o rectas). Una línea de referencia trazada en el cuerpo cambia su posición lineal pero no su orientación o posición angular. Movimiento complejo: Es una combinación simultánea de rotación y traslación. En figura 2 se muestra una simulación de trayectorias utilizando el paquete Working Model 2D Figura 1 Pivote Magnitud Dirección Sentido
- 3. 1.- Trayectoria de un punto de un elemento en rotación 2.- Trayectoria de un punto de un elemento con movimiento combinado o complejo 3.- Trayectoria de un punto de un elemento en traslación rectilíneo. Movimiento absoluto Tipo de movimiento el cual hace referencia respecto a un marco fijo. Movimiento relativo Cambio de posición respecto de un sistema de referencia que a su vez se mueve respecto a otro sistema de referencia. No se puede hablar de un sistema de referencia absoluto ya que no se conoce un punto fijo en el espacio que pueda ser elegido como origen de dicho sistema. Por tanto, el movimiento tiene carácter relativo. En el análisis de los mecanismos los movimientos de rotación y traslación son movimientos absolutos y el movimiento combinado o complejo se analiza utilizando una relatividad entre dos puntos con movimiento diferente. III.- PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS DEL MÉTODO DEL POLÍGONO. Ejemplo de mecanismo manivela – biela – corredera VELOCIDADES III.1.- Contando como dato con la 2, y sabiendo que el movimiento del elemento 2 es rotacional, se calcula la velocidad del punto A. El vector de la velocidad de A es perpendicular a la distancia RO2-A y el sentido depende del sentido de la velocidad angular 2. 1 2 3 Figura 2.- Ejemplo de un diagrama cinemático de un mecanismo manivela-biela-corredera
- 4. III.2.- El elemento 3 tiene un tipo de movimiento combinado, por lo cual el análisis a aplicar es el de movimiento relativo, teniendo que plantear la ecuación correspondiente a este movimiento. Si usted desea plantear la ecuación de la velocidad de G con respecto de A tiene que considerar lo siguiente: AGAG VVV / Ec(1) Del vector de velocidad en G (VG) no se conoce la magnitud ni la dirección debido a que no conocemos la trayectoria que describe (a excepción que se haga un análisis de su movimiento). Del vector de velocidad en A (VA) se conoce la magnitud y dirección (ya visto en paso III.1). Del vector de velocidad relativa (VG/A) se conoce solo su dirección dado que su ecuación de magnitud depende de la velocidad angular de la barra 3 (3). Usted se dará cuenta de que cuenta con 3 incógnitas: magnitud y dirección de la velocidad de G, y la magnitud de la velocidad relativa G/A. POR LO TANTO NO PODRÁ GRAFICAR TAL ECUACIÓN VECTORIAL POR EL MÉTODO GRAFICO, COMO MÁXIMO DEBE DE HABER SOLO 2 INCÓGNITAS. VG/A = 3∙RAG su dirección es perpendicular a la distancia RAG Magnitud de VA VA=2 x R02-A VA – Velocidad tangencial de A. 2 – Velocidad angular 2 R02-A – Distancia entre los puntos O2 y A. VG/A
- 5. III.3.- Debido a que no se pudo graficar la ecuación anterior, haga referencia al punto siguiente: B. Recordando que el movimiento analizado en este momento es el combinado, se aplica la ecuación de movimiento relativo: ABAB VVV / Ec(2) VB/A solo tiene una incógnita que es su magnitud dado no se conoce la velocidad angular de la barra 3, la dirección de esta velocidad es perpendicular a la distancia A-G. La magnitud es dada por la siguiente ecuación: VB/A = 3 ∙ RAB =? Ec(3) VB solo conocemos su dirección, y desconocemos su magnitud (en este caso no se plantea una ecuación para su magnitud dado que estamos hablando de un punto en movimiento de traslación rectilínea) Como solo hay dos incógnitas se realiza la ecuación vectorial siguiendo el orden, hay que considerar el signo de igual como el origen del polígono a trazar. Nota: antes de empezar a graficar seleccione una escala que se acople a los valores que tiene, por ejemplo, 1cm : 10 cm/seg, esto es, cada cm que usted grafique equivale a 10 cm/seg VB/A VB VA VB = VA + VB/A Se grafica en este orden: -Partiendo del origen (=) se grafica primero la velocidad de A, a su respectiva escala. -Al final del vector VA se traslada el vector VB/A. -Volviendo a partir del origen (=) se grafica la velocidad de B para cerrar el polígono. Nota: el polígono cierra al interceptarse los vectores de la velocidad de B y la velocidad de B/A. VB/A VA VB VB/A VA VB Ov Ov
- 6. El sentido de la velocidad de B/A es dirigido hacia abajo debido a que se esta sumando con la velocidad de A en la ecuación vectorial. El sentido de la velocidad de B es hacia la izquierda debido a que es la resultante en la ecuación. De Ec(3) se despeja la velocidad angular de la barra 3 AB AB R V / 3 ; el sentido de giro se determina de la siguiente manera: Como dato arrojado del polígono, la Velocidad VB/A se dirige hacia abajo y su punto de referencia es A (el vector se lee: velocidad de B con respecto de A), por lo tanto hacemos girar la barra 3 alrededor del punto de referencia dándonos como resultado un sentido de giro a favor de las manecillas del reloj Contando con la velocidad angular 3 es ahora factible resolver la Ec(1): AGAG VVV / Ec(1) AGAG RV 3/ Ahora bien, las únicas dos incógnitas existentes son las de la velocidad de G, debido a lo siguiente: VA y VG/A Se conoce magnitud y dirección. El sentido de la velocidad VG/A es hacia abajo, esto porque la velocidad angular 3 gira a favor de las manecillas del reloj y el punto de referencia sigue siendo A. VB/A El punto de referencia se comporta como si fuera un pivote sobre el cual gira la barra 3
- 7. Nota: siempre hay que recordar que se esta trabajando con una escala, por lo tanto los resultado medidos en el polígono deben ser multiplicados por dicha escala. ACELERACIONES. Antes de entrar de lleno al análisis de aceleraciones es necesario considerar lo siguiente: Movimiento rotacional (completo y parcial) La aceleración de cualquier punto ubicado en una barra con este movimiento, se descompone en: aceleración normal y tangencial ( n a y t a ) Característica Componente Magnitud Dirección Sentido Aceleración normal Ran 2 - velocidad angular Paralela a la distancia R Dirigida hacia el pivote (origen del movimiento) Aceleración tangencial Rat - aceleración angular Perpendicular a la distancia R Depende del sentido de giro de la aceleración angular Movimiento traslacional rectilíneo En este tipo de movimiento todas las partículas tienen una aceleración absoluta igual a la aceleración de su centro de gravedad. Vector relativo de la aceleración de un punto con respecto de otro (movimiento combinado). VG/A VA VG/A VA VG Ov La velocidad de G es un vector resultante
- 8. La aceleración del vector relativo siempre tendrá sus componentes normal y tangencial, por ejemplo: Característica Componente Magnitud Dirección Sentido Aceleración normal AB n AB Ra 2 3/ 3 - velocidad angular 3 Paralela a la distancia RAB Dirigida hacia el punto de referencia Aceleración tangencial AB t AB Ra 3/ 3 - aceleración angular 3 Perpendicular a la distancia RAB Depende del sentido de giro de la aceleración angular 3 y del punto de referencia Básicamente la secuencia a seguir es la misma que en la solución de velocidad, las ecuaciones de movimiento relativo fueron las siguientes: ABAB VVV / (1) AGAG VVV / (2) Derivando la ecuación 1 con respecto al tiempo, obtenemos t AB n AB t A n AB ABAB aaaaa aaa // / Magnitudes AO n A Ra 2 2 2 Se puede calcular AO t A Ra 22 Dato igual a cero si 2 es constante (2=0) AB n AB Ra 2 3/ Se puede calcular AB t AB Ra 3/ Es incógnita, debido a que no conocemos 3 Ba Solo conocemos la dirección por ser traslación
- 9. Direcciones y sentidos. Se realiza el polígono para encontrar como resultado las magnitudes de al aceleración tangencial de B/A y la aceleración de B. Se determina la aceleración angular de la barra 3 AB t AB Ra //3 Después se propone la ecuación de movimiento relativo que determinará la aceleración del centro de gravedad t AG n AG t A n AG AGAG aaaaa aaa // / Magnitudes AO n A Ra 2 2 2 Se puede calcular AO t A Ra 22 Dato igual a cero si 2 es constante (2=0) AG n AG Ra 2 3/ Se puede calcular AG t AG Ra 3/ Se puede calcular Ga No se conoce nada (la suma de todos los demás vectores dará la resultante que será el vector de esta aceleración. an A an B/A at B/A aB