Metodo matematico
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El documento aborda el uso de modelos matemáticos para describir fenómenos en diversos campos, como la economía y la meteorología. Se presentan ejemplos de modelos lineales y cuadráticos, así como el modelado de sistemas mecánicos y eléctricos, usando leyes como la de Newton y las de Kirchhoff. Además, se menciona la utilidad de MATLAB para la simulación y análisis de estos modelos.
Metodo matematico
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior I.U.P “Santiago Mariño” Ing. Sistemas Modelos matemáticos Bachilleres Rivero Miguel C.I 25.428.055 Georgy Sánchez 26.256.610 Luis Bastardo C.I 24.232.547 Eduard Díaz C.I 26.109.157 Barcelona 19, Marzo de 2017 Tutora: RoxanaRodríguez
- 2. MétodoMatemático Un modelo matemático describe teóricamente un objeto que existe fuera del campo de las Matemáticas. Las previsiones del tiempo y los pronósticos económicos, por ejemplo, están basados en modelos matemáticos. Su éxito o fracaso depende de la precisión con la que se construya esta representación numérica, la fidelidad con la que se concreticen hechos y situaciones naturales en forma de variables relacionadas entre sí. Ejemplos de modelos matemáticos El tamaño de una población. La demanda por un producto. La rapidez de la caída de un objeto. La concentración de un producto en una reacción química. La expectativa de vida de una persona cuando nace. Modelos lineales Llamamos modelos lineales a aquellas situaciones que después de haber sido analizadas matemáticamente, se representan por medio de una función lineal. En algunos casos nuestro modelo coincide precisamente con una recta; en otros casos, a pesar de que las variables que nos interesan no pertenecen todas a la misma línea, es posible encontrar una función lineal que mejor se aproxime a nuestro problema, ayudándonos a obtener información valiosa. Ejemplo de modelo lineal Supone que observamos como un hombre y una mujer se despiden y empiezan a alejarse uno del otro. A continuación, mostramos una lista de las distancias que han recorrido cada uno de ellos en el mismo tiempo.
- 3. La forma geométrica que mejor aproxima los datos es una recta. Para determinar la ecuación de dicha recta, haremos el siguiente análisis. * Representaremos por medio de y la distancia recorrida por el hombre y por medio de la x la distancia recorrida por la mujer. *Escogeremos dos parejas de datos de la lista, por ejemplo (1,2) y (2,4) * sustituiremos cada una de estas parejas en la ecuación y=mx+b y resolveremos el sistema de ecuaciones, encontrando los valores constantes m y b. * Solución: Nuestro modelo está Representado, analíticamente, por medio de la recta y=2x Su solución gráfica es la que a continuación muestra el dibujo Modelo cuadrático Decimos que el modelo es cuadrático si lo podemos expresar por medio de una función cuadrática. Un modelo cuadrático se puede determinar a través de una ecuación o bien, por medio de una gráfica que mejor aproxime los datos. Ejemplo de Modelo Cuadrático: Un arquitecto debe construir un puente colgante y, para ello requiere que todo el peso del puente esté bien distribuido a lo largo de los cables de los cuales debe colgar el puente. Las observaciones que ha hecho son las siguientes:
- 4. La forma geométrica que mejor aproxima los datos es una parábola. Para determinar la ecuación de dicha curva, haremos el siguiente análisis. Representaremos por medio de Y la altura a la cual se debe colocar el cable en la distancia X del puente. Escogeremos tres datos de la lista, por ejemplo (1,100), (2,82.9) y (4.85, 10) Sustituiremos cada una de estas parejas en la ecuación Solución. • Nuestro modelo está representado, analíticamente, por medio de la parábola y=- 0.00144x²- 0.72x+100 • La solución gráfica es la que a continuación muestra el dibujo. • Modelo de Sistema Mecánico: La ley que rige estos modelados es la Segunda ley de Newton, la cual es aplicable a cualquier sistema mecánico. Un método sistemático para obtener ecuaciones de arreglos como los presentes es el siguiente: 1. Se definen posiciones con sentidos direccionales para cada masa del sistema. 2. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada una de las masas, expresando las fuerzas que actúan sobre ellas en términos de posiciones de masa. Ejemplo: Sistema Mecánico Tradicional: Considérese un sistema de masa-resorte-amortiguador, montado en un carro como se muestra en la figura. Obtendremos su modelo matemático suponiendo que el sistema está
- 5. en reposo para un tiempo t < 0. En este sistema u (t) es el desplazamiento del carro y se considera como nuestra entrada. En t = 0, el carro se desplaza a velocidad constante y u es constante también. La salida es el desplazamiento de la masa m que está montada en el carro, y este desplazamiento se representa y (t), medido con respecto al suelo. Además de la masa m, consideraremos otras constantes como k, que es la constante del resorte; y B que es el coeficiente de viscosidad. Al suponer que el resorte es lineal, la fuerza del mismo es proporcional a y – u. La segunda ley de Newton establece que: Esta ecuación es el modelo matemático buscado. Modelo de Sistema Eléctrico: Para el modelado de estos sistemas se debe echar mano del análisis de circuitos, que se basa fundamentalmente en la aplicación de las leyes de Kirchhoff. La primera de ellas se conoce como ley de corrientes (ley de nodos), establece que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es nula; la misma ley se puede enunciar de esta manera: La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo. La segunda ley de Kirchhoff se conoce como ley de voltajes (ley de mallas o lazos), y nos indica que la suma de los voltajes en una malla del circuito eléctrico el cero; también es usual representar la segunda ley de este modo: La suma de las caídas de tensión a lo largo de una malla del circuito, es igual a la suma de las elevaciones de tensión en la misma malla. El sistema para encontrar las ecuaciones diferenciales es muy sencillo, pues basta con encontrar las ecuaciones de malla o de nodos, del circuito de que se trate. Ejemplo:Considérese un circuito serie LCR, como el mostrado en la figura, en donde se indica una corriente de malla, y el voltaje de salida es el voltaje del capacitor.
- 6. Las unidades de resistencia, capacitancia e inductancia están dadas en Ohmios, Henrys y Faradios, respectivamente; la corriente y los voltajes, están en amperios y voltios, respectivamente. Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) a la malla donde circula la corriente i, encontraremos las siguientes ecuaciones: Estas ecuaciones arrojadas son el modelo matemático buscado
- 8. Mecanicos Electrico Electro-Mecanico Características Presenta elementos o piezas, solidas con el objeto de realizar movimientos por acción o efecto de una fuerza Todo circuito esta formado por una fuente de energía (Toma de corriente), conductores(cables) y un receptor que transforma Tienen modelos matemáticos sencillos con un tiempo de respuesta rápido donde no necesita de condiciones especiales de iluminación o ventilación Dispositivos Son compuestos completos de piezas físicas o de movimiento analógico Son todos aquellos que se componen por elementos conductores, conectados en una fuente de tensión voltaje. Son aquellas que mantienen una combinación entre el mecánico y eléctrico a estas se le denominan híbridos Ventajas Son capaces de trabajar de manera análoga no dependiendo de una fuente electrica Al poseer funciones eléctricas trabaja mas rápido y preciso Aunmenta el trabajo productivo y disminuye las desventajas de los dos sistemas mecánico y eléctrico. Desventajas Parcialmente necesita de un mantenimiento generando atraso provocando colapsos en los sistemas Al estar sustentado al 100% de la electricidad al generarse un aumento de tensión o declive este puede dañarse. Al ser un sistema hibrido su mantenimiento es mas complejo y costoso. Ejemplo Poleas Engranajes Palancas Rueda Batería Transformadores Amperímetros Motores eléctricos Válvulas a solenoides Calculadora mecánica relés
- 9. Matlab Características Gráficos e interfaces graficas Simulaciones y alternativas Interfaz conotros lenguajesde Programación. Gráficos e interfaces graficas Simulink ToolBoxes Funciones y Símbolos Introducción de datos Variables de entorno Elementos de las matrices Operaciones con matrices Operaciones más comunes Funciones típicas para matrices Funciones típicas para generar matrices Programando en Matlab Operaciones lógicasy relaciones Operaciones lógicasy relaciones Bucles Condicionales For While If ELSE ElseIf