Metodo trapezoidal para exponer

INTRODUCCION
METODOS de INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Métodos
de
Integración
Numérica
Fórmulas de
Integración
De
Newton-Cotes
Integración
De
Romberg
Regla
Trapezoidal
Regla de
Simpson
Método de
Extrapolación
De Richadson
Regla 1/3 de
Simpson
Regla 3/8 de
Simpson

FORMULAS DE NEWTON-COTES
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas de integración
numérica más comunes.
Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos
tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar:
donde fn(x) es igual a un polinomio de la forma:
donde n es el orden del polinomio.
 
b
a
n
b
a
dxxfdxxfI )()( Ec 2
Ec 3

Por ejemplo, en la Fig. 2 se usa el polinomio de primer orden (una línea recta)
como una aproximación. Mientras que en la Fig. 3 se emplea una parábola para
el mismo propósito.
Fig 2 Fig 3

Por ejemplo, en la Fig. 4 se usan tres segmentos de línea recta para aproximar
la integral. Pueden utilizarse polinomios de orden superior para los mismos
propósitos.
Fig 4

Base legalLA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDAL
La Regla Trapezoidal es la primera de las fórmulas de integración cerrada de
Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la Ec 2 es de primer
orden.
Ec 2


 
  2
)()(
)()(
bfaf
abdxxfIdx
b
a
Pero…
QUÉ SIGNIFICA LA REGLA TRAPEZOIDAL?
Geométricamente, la
regla del trapecio es
equivalente a aproximar
el área del trapecio bajo
la línea recta que
conecta a f(a) y f(b)
como se muestra en
Fig. 7.
Fig. 7

Entonces, el resultado de la integración es lo que se denomina regla
trapezoidal, resumida en la siguiente ecuación;
Ec 5


 
  2
)()(
)()(
bfaf
abdxxfIdx
b
a
Pero…
QUÉ SIGNIFICA LA REGLA TRAPEZOIDAL?
Geométricamente, la
regla del trapecio es
equivalente a aproximar
el área del trapecio bajo
la línea recta que
conecta a f(a) y f(b)
como se muestra en
Fig. 7.
Fig. 7

Recuerde, que la fórmula para calcular el área de un trapezoide es la altura por
el promedio de las bases, tal y como se muestra en la Fig. 8.
En la Fig. 8 se muestra la fórmula para calcular el área de un trapezoide (altura
por el promedio de las bases).
En la Fig. 9 para la regla trapezoidal el concepto es el mismo pero ahora el
trapezoide está sobre su lado
Fig. 8 Fig. 9

EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Use la Regla del Trapecio para aproximar los valores de las siguientes
integrales:
a) b)

Base legal
APLICACIÓN MULTIPLE
DE LA REGLA DEL TRAPECIO
La Regla del Trapecio se puede ampliar si subdividimos el intervalo [a,b] en n
subintervalos, todos de la misma longitud
Sea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión.
Usando las propiedades de la integral, tenemos que:
Aplicando la Regla del Trapecio a cada una de las integrales, obtenemos:

Base legal
Sustituyendo el valor de h y haciendo uso de la notación sigma (sumatoria),
tenemos finalmente:
Esta es la regla del trapecio para n subintervalos.
Obviamente, esperamos que entre más subintervalos usemos, mejor sea la
aproximación a la integral.
Ec. 6
Ahora bien, ya que los subintervalos tienen la misma longitud h, tenemos que:

Base legal
Ilustración de la Regla Trapezoidal de aplicación múltiple: a) dos segmentos, b)
tres segmentos, c) cuatro segmentos y d) cinco segmentos
Fig. 10 Fig. 11

EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Use la Regla del Trapecio para aproximar el valor de la siguiente integral:
Si subdividimos en 5 intervalos

Base legal
APLICACIÓN A LA ESTABILIDAD
TRANSITORIA
El método de la regla trapezoidal es el más utilizado para la solución de la
ecuación de oscilación ya que es muy sencillo y numéricamente estable.
Aplicando dicho método en la solución de oscilación se tiene:
Lo más importante es escoger un ∆t exitoso en el análisis; el cual debe ser
menor que la constante de tiempo más pequeña del sistema. Cuando no se
consideran los reguladores en el estudio de estabilidad, la experiencia ha
mostrado que ∆t debe estar entre 1 y 2 ciclos. No se debe considerar ∆t iguales
en todo el trayecto del análisis; al acercarse al punto de estabilidad se puede
utilizar ∆t mayores. A continuación se muestra en la Figura 5.4 la descripción de
dicho método considerando ∆t constante.
Descripción de la Regla Trapezoidal

Base legal
TRANSITORIA
El área será:
Al sustituir las ecuaciones se tiene lo siguiente:

Base legal
TRANSITORIA
Donde:

Base legal
TRANSITORIA
Por lo tanto:
De esta manera se puede conocer el comportamiento de la velocidad
Y el ángulo a través del tiempo después de una pequeña perturbación.

Metodo trapezoidal para exponer

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Similar a Metodo trapezoidal para exponer (20)

Último (20)

Metodo trapezoidal para exponer