Modulo iii
- 1. Universidad Pedagógica de El Salvador Facultad de Educación Escuela de Ciencias Naturales y Exactas Asignatura: Bases para el estudio de las Ciencias Naturales Unidad 3 “Matemática: Lenguaje y herramienta de las Ciencias Naturales” Docente: Lic. Juan Carlos Pérez Majano Para Profesorado y Licenciatura en Ciencias Naturales
- 2. 1.1 Fracciones Algebraica Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que el numerador y denominador son polinomios; o son expresiones literales que representan el cociente entre dos expresiones algebraicas y se representa con la siguiente formula general: Se operan del mismo modo que las fracciones ordinarias. Son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis. Suma y resta: la suma y la resta de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones aritméticas. Empezaremos tratando la suma y resta de fracciones algebraicas con denominadores iguales y, luego, extenderemos el análisis a la suma y resta de fracciones algebraicas con denominadores distintos. Veamos: Dos formas de realizar adición puede ser en denominadores iguales y diferentes: Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es una fracción cuyo numerador es la suma de los denominadores, y cuyo denominador es el denominador común. Ejemplo: Ejemplo= Sacar el m.c.d
- 3. Multiplicación de fracciones: el producto de las fracciones ; se define de la siguiente manera ; es así que el producto de dos facciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y cuyo denominador lo es de los denominadores. Ejemplo: Encontrar el producto División de fracciones: de la división de fracciones tenemos que el resultado anterior muestra como transformar la división de fracciones en una multiplicación. Ejemplo: simplificar
- 4. 1.2 Exponentes y radicales Cuando se tiene 2 . 2 . 2 . 2, esto es, cuatro factores de 2, se emplea la notación 24, la cual se lee, “dos a la potencia de cuatro”, o bien “dos a la cuarta potencia”. Del mismo modo, a . a . a . a . a = a5 significa cinco factores de a. El numero a se llama base y el 5, exponente. Cuando no hay este ultimo, como en x, se supone siempre x a la potencia 1. Nótese la diferencia entre: Obsérvese también que mientras que 2a3 = 2(a . a . a) (2a)3 = (2a) (2a)(2a) = (2 . 2 . 2)(a. a . a) = 23a3 = 8a3 Ejemplos: 1. 7a.a.a.a = 7a4 2. –(-3)(-3)(-3)(-3) = -(-3)4 Las reglas de los exponentes basados en teoremas: 1. 2.
- 5. 3. 4. (mayor que) 4.1 4.2 (menor que) 5. Exponente cero y exponente negativo: a m-n = 1, o bien a0=1 Por consiguiente, se define que si Cuando a = 0, se tiene 00, lo cual es indeterminado. De acuerdo a esta definición, puede demostrarse que los teoremas anteriores para exponentes son validos cuando se presenta un exponente cero. Ejemplo: 1. 20=1 2. (-20)0=1 3. (a2b3)0=1 Exponentes fraccionarios positivos: para los exponentes fraccionarios positivos, se debe tener la siguiente definición: Radicales: la raíz n-ésima de un numero real a se denota por el símbolo , el cual se llama radical. La raíz n-ésima de a es un numero cuya potencia n- ésima es a; esto es,
- 6. 1. 2. El numero natural n presente en el radical se llama índice u orden del radical, y a se denomina radicando. Cuando no se escribe ningún índice, como en , se sobrentiende que el índice es 2 y se lee “raíz cuadrada de a”. Si el índice es 3, como en , se lee “raíz cubica de a”. Ejemplo: 1. 2. 3. 4. Cuando se tiene de la forma siempre que Ejemplo: 1. 2. 3. Cuando el valor de un radical es un número racional, se dice que es una raíz perfecta. Puesto que , un radical es raíz perfecta si el radicando se puede expresar como un producto de factores, cada uno de los cuales con un exponente que sea un múltiplo entero del índice del radical. Ejemplo: 1. 2.
- 7. 1.3 Ecuaciones y Desigualdades Para resolver ecuaciones de primer grado o lineales con una variable, es decir, para resolver cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma: Donde a y b son constantes reales y x es una variable. El conjunto de soluciónpara una ecuación se define como el conjunto de elementos pertenecientes al conjunto de las sustituciones que hacen de la ecuación una proposición verdadera. Cualquier elemento del conjunto de soluciones se denomina solución o raíz de la ecuación. Resolver una ecuación es encontrar el conjunto de solución para esta. Ejemplo cual es el conjunto de solución para la ecuación: la solución es {2,-2}. Ejemplo 1: Resuélvase El conjunto solución para esta última ecuación es obvio. Conjunto solución {4}. Comprobación:
- 8. Se llama conjunto solución de una desigualdad al conjunto formado por aquellos números reales que hacen verdadera la desigualdad. Existen casos de desigualdades como lineales y cuadráticas a continuación veremos algunos ejemplos. Ejemplo de desigualdad lineal: Encontrar el conjunto solución de Ejemplo de desigualdad cuadrática: Encontrar el conjunto solución de Este es un binomio al cuadrado de la forma: Se multiplica por ½ por que todos los términos son divisibles entre dos. Cuando X va ser igual a cero; x=2 y X=-1 y verificamos que se cumple la propiedad.
- 9. 1.4 Funciones Logarítmicas En general se define la función logarítmica de base b como la inversa de la función exponencial con base El logaritmo de base b de x es la potencia a la cual debe elevarse b para obtener x. 1. De las formas algorítmicas a las exponenciales y viceversa Ejemplos: Por definición de logaritmo para despejar x tenemos que bajarla del exponente esto se logra aplicando logaritmo a ambos lados de la ecuación entonces tenemos: ; despejando , utilizando la calculadora aplicamos log 8 entre log 2 dará como resultado 3. Entonces Propiedades de las funciones logarítmicas: Si b, M, y N son números reales positivos, b ≠ 1 y p es un número real, entonces: 1. 2. 3. 4. 5.
- 10. Ejemplos de las propiedades: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
- 11. 1.5 Binomio de newton El binomio de Newton es la fórmula que nos permite elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. O sea la forma de obtener , entonces la respuesta es la siguiente: Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de . El cuadrado de una suma o el cuadrado de una resta son sólo los casos más sencillos cuando elevamos un binomio a una potencia. Para estos casos, son conocidas las fórmulas "el cuadrado del primero más (o menos) el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo", es decir: Si generalizamos esto para cualquier exponente n, tenemos lo que se conoce como "Binomio de Newton". Precisamente los coeficientes son los números de la fila enésima del Triángulo de Tartaglia:
- 12. Ejemplo:
- 13. 1.6 Par ordenado y producto cartesiano Par ordenado: En un sistema de coordenadas cartesianas, dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas de ejes, se intercambia se intersectan en un punto llamado origen. El eje horizontal se llama eje de x y el eje vertical, eje de y. Estos dos ejes permiten nombrar cada punto por medio de un par ordenado de números llamados coordenadas del punto. Las coordenadas del origen son . Las coordenadas del punto son y las coordenadas del punto son . La del punto es 3 y la del punto es -4. Ejemplo: Dar las coordenadas de los puntos A, B y C.
- 14. Ejercicio 1 En el papel milimetrado representar de acuerdo a la grafica las coordenadas de los puntos D, E, F, G, K, J y I. Ejercicio 2 En el papel milimetrado representar los puntos . Ejercicio 3
- 15. Producto cartesiano: una pareja ordenada con primer elemento y segundo elemento la denotamos por . El producto cartesiano de dos conjuntos es el conjunto de todas las parejas ordenadas que tiene su primer elemento en y su segundo elemento ; es decir: Donde la igualdad entre parejas se define como: Observaciones: 1. En general, Por ejemplo, ya que 2. La igualdad se cumple solo si 3. 4. En general, Ejemplo: 1. Encontrar 2. Describir el conjunto
- 16. Ejercicios: 1. Si , localizar en el plano cartesiano los elementos del producto 2. Si , encuentra: a. b. 3. Localiza en el plano los elementos de los conjuntos que se indican, tomando en cuenta que: 1.7 Relaciones y funciones Se llama relación del conjunto en el conjunto , a todo subconjunto del producto cartesiano . Ejemplo: Para los conjuntos Relaciones de A en B son: 1. 2. 3. Dominio: es el conjunto de las primeras componentes de una relación R se llama DOMINIO de R.
- 17. Recorrido: es el conjunto de las segundas componentes de R se llama RECORRIDO o rango de R. Si la relación R es un subconjunto del producto cartesiano A x A entonces se dice que R es una relación en A. Ejemplo: Dado el conjunto de los números dígitos, . Encontrar el Dominio, Recorrido y graficar la relación. Se le llama función a toda relación que cumple con la condición de que: a cada valor “x” del dominio le hace corresponder un solo valor “y” del recorrido. La notación que se emplea para designar las funciones es la siguiente: En este caso y . A la igualdad se le llama ley de asignación. E indica la manera en que están ligadas la variable independiente y dependiente. Ejemplo: Una función como se expresa mas sencillamente escribiendo únicamente su ley de asignación. Lo cual puede hacerse de las dos maneras siguientes:
- 18. Ejemplo: De la función sacar raíz cuadrada Dad la función , encontrar: Dominio: se llama dominio de una función al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente: Recorrido: se llama recorrido o rango de una función al conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. Nota: cuando no se indique otra cosa deberemos entender que el dominio estará constituido por el conjunto mas amplio para el cual la ley de asignación , tenga sentido. Ejemplo: determinar el dominio y el recorrido de la función . 1.8 Funciones algebraicas Para la función polinómica ; se llama polinómica o polinomial de grado n, si los coeficientes son números reales y los exponentes de la variable x, son enteros no negativos. Ejemplo 1: , es una función polinomial de grado 5. La función polinomial da origen, de acuerdo a su grado, a varias funciones especiales. 1. Si el grado de una función polinomial es cero, entonces a la función se le llama constante y es de la forma
- 19. Ejemplo 2: Graficar la función constante El dominio de esta función constante es R y el recorrido es {4}. 2. Si el grado de una función polinomial es uno, entonces a la función se le llama función lineal y es de la forma Ejemplo 3: Graficar la función lineal 3. Si el grado de la función polinomial es dos, entonces se conoce con el nombre de función cuadrática y es de la forma Ejemplo 4: Graficar la función cuadrática 4. Si el grado de la función polinomial es tres, entonces se conoce con el nombre de función cubica y es de la forma. Ejemplo 5: Graficar la función cubica 1.9 Funciones Inversas La operación inversa de la suma es la resta, de la multiplicación es la división; mientras que la operación inversa de la elevación a potencias es la extracción de raíces. En suma, lo que una operación hace, su operación inversa lo deshace.
- 20. De la misma manera, la función inversa de , la cual se denota como , es aquella función que deshace todo lo que hace. Ejemplo 1: La función . A partir de la x del dominio hace lo siguiente: Paso 1. Multiplica por 3 3x Paso 2. Suma 4 Entonces la funcion inversa se obtiene invirtiendo el orden de lospasos y empleando en cada caso no la operación original, si no que su inversa, así Paso 1. Resta 4 Paso 2: divide entre 3 Por lo tanto Debemos tener en cuenta que si la funcion va de hacia , entonces la funcion inversa viene de hacia . Una manera mas practica de obtener la funcion inversa es la siguiente: 1. Se verifica que sea uno a uno (que dos elementos del dominio no deben tener la misma imagen) 2. Se sustituye por 3. Se despeja Ejemplo 2. Encontrar la iversa de la funcion 1. Se sustituye x por (x) y f(x) por x 2. Se despeja
- 21. 1.10 Funciones Transcendentes Las funciones que se vieron anteriormente han sido algebraicas; por que se definen haciendo uso de variables y de las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces; por ejemplo . Se llaman funciones transcendentes las que no pueden ser definidas solamente en base a operaciones algebraicas. Las principales funciones transcendentes son: exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. 1.10.1 Funciones Exponencial La función exponencial describe crecimiento o decrecimientos acelerados y tiene múltiples aplicaciones en campos tan diversos como biología, química, economía, física, demografía, etc. Supongamos que un biólogo se encuentra analizando un cultivo de 100 bacterias y que el numero de estas se duplica cada 24 horas. De tal manera que el segundo día habrá 2(100) bacterias, el tercero 22(100),…, y así sucesivamente el n-ésimo día habrá 2n-1(100) bacterias; pero como el numero de bacterias no se duplica de manera brusca, cada 24 horas, si no que crece cada hora, minuto o segundo, entonces una mejor manera de escribir el numero de bacterias que habrá después de transcurrir un periodo x de tiempo es 2x (100). La función , se llama función exponencial de base a. Ejemplos de funciones exponenciales: 1. 2.
- 22. 3. La base debe de ser positiva; pero diferente de uno. Ejemplo: 1. Graficar la función exponencial . Se trata de una función exponencial d base 2. Ejercicio 1: Graficar la función exponencial Ejercicio 2:Base 10 El sistema de numeración que nosotros utilizamos en la vida cotidiana es el que tiene como base el numero 10. La función exponencial de base diez es Ejercicio 3: Base e Un número que frecuentemente sirve de base en el caso de funciones exponenciales, es el que se reconoce como numero e y cuyo valor es aproximadamente igual a 2.7182818. El numero e es irracional transcendente. Es un número tan importante como el número , aparece en múltiples aplicaciones matemáticas. Es tan importante esta base que incluso tiene asignada una tecla en las calculadoras de bolsillo. La función exponencial en este caso es .
- 23. 1.10.2 Funciones Logarítmicas Actualmente la utilidad de los logaritmos es otra, puesto que ahora los cálculos se simplifican haciendo uso de calculadoras de bolsillo. El creador de los logaritmos fue el religiosos escoces John Napier, que nació en el siglo 16. Recordando de la forma exponencial y logarítmica: Ejemplo: Como la función exponencial . Ejemplo: Graficar la función logarítmica de 1.10.3 Funciones Trigonométricas. Solución de triángulos Consideremos un triangulo rectángulo Los lados que forman el ángulo recto se llaman “catetos”. El otro lado, que es el opuesto al ángulo recto, se llama “hipotensa”.
- 24. El siguiente teorema relaciona a los lados de un triangulo rectángulo. En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa c es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b. Teorema de Pitágoras Así en el triángulo de la figura de la figura tendremos: De donde podemos obtener: Ejemplo 1: Si los catetos de un triangulo rectángulo miden 7 y 6 centímetros, calcular la longitud de la hipotenusa. Ejercicio 1: Si la hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 5m y un cateto mide 3m, ¿Cuál es la longitud del otro cateto?
- 25. Funciones trigonométrica para un ángulo cualquiera Para definir las funciones trigonométricas nos referimos a la siguiente figura. En el cual observamos el triangulo rectángulo p d Donde 0 Definición: Sea el un ángulo colocado en posición normal y sea un punto cualquiera, distinto del origen 0, que este ubicado sobre el lado terminal de . Siendo la distancia (positiva) desde 0 hasta , entonces las funciones trigonométricas “seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante” del ángulo , denotadas por respectivamente se definen así:
- 26. Ejemplo 2: Calcular las funciones trigonométricas del ángulo colocado en posición normal, cuyo lado terminal pasa por el punto . Ejercicio 2: Calcular las funciones trigonométricas del ángulo colocado en posición normal, cuyo lado terminal pasa por el punto Funciones trigonométrica de un ángulo agudo Podemos usar triángulos rectángulos para calcular las funciones trigonométricas de sus ángulos agudos. Lo que hacemos es asociar los lados del triangulo a las cantidades x, y, d de la definición anterior, como se explica a continuación. Para
- 27. Sea un ángulo positivo, agudo, colocado en posición normal. Entonces cae en el primer cuadrante, y al adoptar la simbología de la figura anterior, las funciones trigonométricas pueden obtenerse así: Ejemplo 3: Encontrar los valores de las funciones trigonométricas delánguloαdel triangulo rectángulo mostrado en la figura. a = 10cm 90° b = 5cm c α Ejercicio 3: Encontrar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo β del triangulo rectángulo mostrado en la figura anterior. a = 10cm β 90° b = 5cm c
- 28. Bibliografía: 1. O´ Daffer, Introducción al algebra, primera edición, 1998, por Prentice Hall, impreso en México. 2. A. Barnett Raymond, Algebra y trigonometría, tercera edición, 1988, por Mc Graw Hill, impreso en México. 3. H. Carrillo Lam, Algebra, segunda edición, 2003, por Pearson Educación, impreso en México. 4. G. Alonso, Algebra elemental, primera edición, 1990, por Grupo Editorial Iberoamericana. Impreso en México. 5. L. Raúl, Matemática: Primer año de bachillerato, 2004, por Talleres Gráficos UCA. 6. M. Willian, N. Gloria Galo, Matemática básica Pre-Universitaria, 2001, por talleres Gráficos UCA.