Modulo matematica 2

COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA
“CONTINENTAL”
Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701
Matemática Segundo Año de Bachillerato Página 1

“CONTINENTAL”

“CONTINENTAL”
ÍNDICE
PRIMER QUIMESTRE
BLOQUE 1: FUNCIONES LINEALES..................................................................... 11
FICHA N°1: ANÁLISIS DE FUNCIONES......................................................................... 11
OBJETIVOS:............................................................................................................................. 11
Destreza de Criterio de desempeño:..................................................................................... 11
Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 11
FUNCIONES LINEALES ............................................................................................................ 13
LECCIÓN N°1........................................................................................................................... 14
INVESTIGO N°1................................................................................................................... 14
GLOSARIO N°1.................................................................................................................... 15
RESUMO N°1...................................................................................................................... 15
CUESTIONARIO N°1................................................................................................................ 16
FICHA N°2: FUNCIONES POLINOMICAS........................................................................ 18
OBJETIVOS:............................................................................................................................. 18
LECCIÓN Nº 2 ......................................................................................................................... 20
INVESTIGO Nº 2.................................................................................................................. 20
RESUMO Nº 2..................................................................................................................... 21
GLOSARIO Nº 2................................................................................................................... 21
CUESTIONARIO Nº 2 .............................................................................................................. 22
FICHA N°3: DOMINIO Y EVALUACIÓN DE FUNCIONES.......................................... 23
OBJETIVOS:............................................................................................................................. 23
Recorrido de una función. ..................................................................................................... 24
Dominio y recorrido............................................................................................................... 24

“CONTINENTAL”
LECCIÓN Nº 3 ......................................................................................................................... 25
INVESTIGO Nº 3.................................................................................................................. 25
RESUMO Nº 3..................................................................................................................... 26
GLOSARIO Nº 3................................................................................................................... 26
CUESTIONARIO Nº 3 .............................................................................................................. 27
FICHA N°4: RANGOS E INTERVALOS DE FUNCIONES.............................................. 28
OBJETIVOS:............................................................................................................................. 28
Función creciente en un intervalo..................................................................................... 29
Función estrictamente decreciente en un intervalo ........................................................ 29
Función decreciente en un intervalo................................................................................. 30
LECCIÓN Nº4 .......................................................................................................................... 31
INVESTIGO Nº 4.................................................................................................................. 31
GLOSARIO Nº 4................................................................................................................... 31
RESUMO Nº 4..................................................................................................................... 32
CUESTIONARIO Nº 4 .............................................................................................................. 32
FICHA N°5: RECTAS Y PENDIENTES................................................................................. 33
OBJETIVOS:............................................................................................................................. 33
RECTAS PARALELAS............................................................................................................ 34
RECTAS PERPENDICULARES........................................................................................... 35
LECCIÓN N°5........................................................................................................................... 36
INVESTIGO N°5................................................................................................................... 36
GLOSARIO N°5.................................................................................................................... 36
RESUMO N°5 ...................................................................................................................... 37
CUESTIONARIO N°5................................................................................................................ 38

“CONTINENTAL”
BLOQUE 2: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA............................................................................... 39
FICHA N°6: Ecuación Bidimensional de la Recta...................................................... 39
OBJETIVOS:............................................................................................................................. 39
ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO PUNTO Y PENDIENTE......................................... 39
MONOTONÍA DE LAS LINEAS RECTAS EN FUNCIÓN DE SUS PENDIENTES ....................... 41
Función creciente........................................................................................................... 41
Función decreciente. ..................................................................................................... 41
LECCIÓN N°6........................................................................................................................... 42
INVESTIGO N°6................................................................................................................... 42
RESUMO N°6 ...................................................................................................................... 43
GLOSARIO N°6.................................................................................................................... 44
CUESTIONARIO N°6................................................................................................................ 45
FICHA N°7: ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA. ..................................................... 47
OBJETIVOS:............................................................................................................................. 47
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA.................................................................................. 47
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:................................................................................... 49
GRAFICA DE LA ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA ....................................................... 49
GRAFICA DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. ......................................................... 50
LECCIÓN N°7........................................................................................................................... 52
INVESTIGO N°7................................................................................................................... 52
RESUMO N°7 ...................................................................................................................... 53
GLOSARIO N°7.................................................................................................................... 53
CUESTIONARIO N°7................................................................................................................ 54
FICHA N°8: Polinomios........................................................................................................ 56
OBJETIVOS:............................................................................................................................. 56
Destreza de Criterio de desempeño...................................................................................... 56

“CONTINENTAL”
POLINOMIOS...................................................................................................................... 56
Grado de un polinomio.................................................................................................. 57
LECCIÓN N°8........................................................................................................................... 59
INVESTIGO N°8................................................................................................................... 59
RESUMO N°8 ...................................................................................................................... 60
GLOSARIO N°8.................................................................................................................... 60
CUESTIONARIO N°8................................................................................................................ 61
FICHA N°9: OPERACIONES CON POLINOMIOS........................................................... 63
OBJETIVOS:............................................................................................................................. 63
La suma o adición de polinomios:.................................................................................... 63
Sustracción o resta de polinomios:................................................................................... 64
La multiplicación de polinomios........................................................................................ 65
Procedimiento Operativo.................................................................................................. 65
Multiplicación de polinomios:........................................................................................... 66
LECCIÓN N°9........................................................................................................................... 67
INVESTIGO N°9................................................................................................................... 67
RESUMO N°9 ...................................................................................................................... 68
GLOSARIO N°9.................................................................................................................... 68
CUESTIONARIO N°9................................................................................................................ 69
FICHA N°10: DIVISION DE POLINOMIOS...................................................................... 71
OBJETIVOS.............................................................................................................................. 71
LA DIVISION DE POLINOMIOS ........................................................................................... 71
División de un monomio por otro monomio.................................................................... 72
División de polinomios: ..................................................................................................... 72
Reglas de la división:.......................................................................................................... 73
LECCION N°10......................................................................................................................... 75
INVESTIGO N°10................................................................................................................. 75
RESUMO N°10 .................................................................................................................... 76

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N°10.................................................................................................................. 76
CUESTIONARIO N°10.............................................................................................................. 77
SEGUNDO QUIMESTRE
BLOQUE 3: MATEMÁTICA DISCRETA.................................................................... 79
FICHA N°11: PROPIEDAD DEL RESIDUO .................................................................. 79
OBJETIVOS:............................................................................................................................. 79
Teorema del residuo.......................................................................................................... 79
La división sintética............................................................................................................ 80
LECCIÓN N°11......................................................................................................................... 81
INVESTIGO N°11................................................................................................................. 81
RESUMO N°11 .................................................................................................................... 81
GLOSARIO N°11.................................................................................................................. 82
CUESTIONARIO N°11.............................................................................................................. 83
FICHA N°12: EL ALGORITMO DE EUCLIDES................................................................. 84
OBJETIVOS:............................................................................................................................. 84
M.C.D. de dos polinomios: El algoritmo de Euclides........................................................ 84
Determinación del M.C.D .................................................................................................. 85
M.C.D de los monomios ................................................................................................ 85
M.C.D. de dos polinomios. ............................................................................................ 85
Mínimo Común Múltiplo de polinomios:.......................................................................... 85
LECCION N°12......................................................................................................................... 87
INVESTIGO N°12................................................................................................................. 87
RESUMO N°12 .................................................................................................................... 87
GLOSARIO N°12.................................................................................................................. 88
CUESTIONARIO N°12.............................................................................................................. 89

“CONTINENTAL”
FICHA N°13: ECUACIONES POLINOMICAS COMPUESTAS.................................... 91
OBJETIVOS:............................................................................................................................. 91
Teorema del residuo.......................................................................................................... 91
TEOREMA DEL FACTOR...................................................................................................... 92
LECCIÓN N°13......................................................................................................................... 94
INVESTIGO N°13................................................................................................................. 94
RESUMO N°13 .................................................................................................................... 95
GLOSARIO N°13.................................................................................................................. 95
CUESTIONARIO N°13.............................................................................................................. 96
FICHA N°14: GRAFICACIÓN DE POLINOMIOS.............................................................. 98
OBJETIVOS:............................................................................................................................. 98
GRAFICACION DE POLINOMIOS......................................................................................... 98
LECCIÓN N°14....................................................................................................................... 102
INVESTIGO N°14............................................................................................................... 102
RESUMO N°14 .................................................................................................................. 102
GLOSARIO N°14................................................................................................................ 103
CUESTIONARIO N°14............................................................................................................ 103
FICHA N°15: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .......................................................... 105
OBJETIVOS:........................................................................................................................... 105
Destreza de Criterio de desempeño.................................................................................... 105
Objetivo Educativo. ............................................................................................................. 105
Concepto de función trigonométrica.............................................................................. 105
Gráfica de la Función Seno del ángulo............................................................................ 106
Gráfica de la Función Coseno del ángulo........................................................................ 107
Gráfica de la Función Tangente del ángulo..................................................................... 108
Gráfica de la Función Cotangente del ángulo................................................................. 109
Propiedades de las funciones trigonométricas............................................................... 110
ECUACIÓN GENERAL DEL SENO....................................................................................... 110

“CONTINENTAL”
FICHA N°15........................................................................................................................... 112
INVESTIGO N°15............................................................................................................... 112
RESUMO N°15 .................................................................................................................. 113
GLOSARIO N°15................................................................................................................ 113
CUESTIONARIO N°15............................................................................................................ 114
BLOQUE 4: PROBABILIDAD Y GEOMETRÍA................................................. 116
FICHA N°16: Transformaciones y Desplazamientos............................................. 116
OBJETIVO:............................................................................................................................. 116
Criterios de aprendizaje: ..................................................................................................... 116
Desplazamientos (Traslaciones)...................................................................................... 116
Traslaciones verticales..................................................................................................... 117
Traslaciones horizontales ................................................................................................ 117
Expansiones y compresiones verticales.......................................................................... 118
LECCION N°16....................................................................................................................... 119
INVESTIGO N°16............................................................................................................... 119
RESUMO N°16 .................................................................................................................. 119
GLOSARIO N°16................................................................................................................ 120
CUESTIONARIO N°16............................................................................................................ 120
FICHA N°17: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. ........................................................... 122
OBJETIVO:............................................................................................................................. 122
Fórmulas trigonométricas ................................................................................................... 124
Ecuaciones trigonométricas ................................................................................................ 125
LECCIÓN N°17....................................................................................................................... 126
INVESTIGO N°17............................................................................................................... 126
RESUMO N°17 .................................................................................................................. 126
GLOSARIO N°17................................................................................................................ 127
CUESTIONARIO N°17............................................................................................................ 128
FICHA N°18: GENERALIDADES Y APLICACIONES. ................................................... 130
OBJETIVO:............................................................................................................................. 130

“CONTINENTAL”
Distancia entre Puntos. ................................................................................................... 130
Distancia de un punto a una recta. ......................................................................... 131
LECCIÓN N°18....................................................................................................................... 134
INVESTIGO N°18............................................................................................................... 134
RESUMO N°18 .................................................................................................................. 135
GLOSARIO N°18................................................................................................................ 135
CUESTIONARIO N°18........................................................................................................ 136
FICHA N°19: LA PARÁBOLA.............................................................................................. 138
Objetivos:............................................................................................................................. 138
Destreza de Criterio de desempeño:................................................................................... 138
LECCIÓN N° 19...................................................................................................................... 141
INVESTIGO N° 19.............................................................................................................. 141
RESUMO N° 19 ................................................................................................................. 141
GLOSARIO N° 19............................................................................................................... 142
CUESTIONARIO N°19............................................................................................................ 143
FICHA N°20: LAS CÓNICAS................................................................................................ 145
Objetivos:............................................................................................................................. 145
Destreza de Criterio de desempeño:................................................................................... 145
Secciones cónicas ............................................................................................................. 146
LA PARÁBOLA................................................................................................................... 146
LA CIRCUNFERENCIA........................................................................................................ 146
La elipse............................................................................................................................ 147
La hipérbola ..................................................................................................................... 147
LECCIÓN N°20....................................................................................................................... 148
INVESTIGO N°20............................................................................................................... 148
RESUMO N°20 .................................................................................................................. 149
GLOSARIO N°20................................................................................................................ 149

“CONTINENTAL”
PRIMER QUIMESTRE
BLOQUE 1:
Funciones Lineales
FICHA N°1:
ANÁLISIS DE
FUNCIONES
OBJETIVOS:
Fomentar el análisis y evaluación de las funciones matemáticas, además interactuar con los
teoremas y sus aplicaciones en este amplio campo de las Funciones.
Destreza de Criterio de desempeño:
 Desarrollo de evaluaciones funcionales.
 Graficación de funciones lineales.
 Aplicación de teoremas de evaluación funcional.
Objetivo Educativo.
En la actualidad el ser humano requiere cada vez con mayor frecuencia el uso de funciones
lineales y otros tipos para resolver problemas económicos, administrativos y de la vida misma.
El conocimiento de sus características y comportamiento nos permite tomar decisiones
importantes.
Una función, en matemáticas es el término usado para indicar la relación o correspondencia
entre dos o más cantidades. El termino función fue usado por primera vez en 1637 por el
matemático francés Rene Descartes. (1596 – 1560).
En una función se asocian dos variables x e y tal forma que al asignar un valor a x entonces, por
alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a y es una función
(univoca) de x.

“CONTINENTAL”
La variable x a la que se le asigna libremente valores, se llama variable independiente, mientras
que la variable y cuyos valores depende de la x, se llama variables dependientes. Los valores
permitidos de x constituye el dominio de definición de la función y los valores que toma x
constituye su recorrido
x y
Dominio Recorrido.
Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuanto todos de los
elementos del primer conjunto (Dominio) se halla relacionado con un solo elemento del
segundo conjunto (Recorrido)
Ejemplo x y
Si es una función, pues todos los elementos del conjunto salida tienen una sola imagen
(Correspondencia) en el conjunto de llegada.
X y
Dominio Recorrido
1
2
3
4
55
55
5
a
b
c
d
1
2
3
4
a
b
c
d
1
2
3
4
a
b
c
d

“CONTINENTAL”
No es una función pues no todos los elementos del conjunto salida tienen una imagen
(correspondencia) en el conjunto de llegada
X y
Dominio Recorrido
No es función, pues existe un elemento del conjunto salida que tiene dos imágenes
(correspondencia) del conjunto de llegada.
FUNCIONES LINEALES
Es aquella relación de correspondencia que define como grafica una línea recta cuando es
representado en el plano cartesiano. Su forma característica es
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de
la recta y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la
inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo.
Ejemplo
Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1
La grafica nos confirma lo que dice la ecuación que la pendiente de la recta es 2, mientras que
el punto de corte con el eje de las ordenadas es -1.
𝑥 𝑓( )
-2 -5
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
1
2
3
4
a
b
c
d

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N°1
INVESTIGO N°1
1. Escribir una definición de Función.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
__________________________________________________
2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
__________________________________________________
3. Identifique en la siguiente ecuación la pendiente de las líneas rectas y el punto de corte. Con el
eje de las ordenadas.
𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_________________________________________________________
4. Dibujar la gráfica de la siguiente ecuación e identificar la pendiente y el punto de corte con el
eje y. Encuentre las coordenadas. 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
ESPECIALIDAD: _____________________________

“CONTINENTAL”
FUNCIONES
5. Investiga cuando una función es afín
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________
GLOSARIO N°1
a. Función:………………………………………………………………………………………………………………...
b. Dominio…………………………………………………………………………………………………………………
c. Recorrido……………………………………………………………………………………………………………….
d. Contra dominio:……………………………………………………………………………………………………..
e. Pendiente……………………………………………………………………………………………………………..
6. Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
RESUMO N°1
F. lineales F. Cuadráticas

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°1
Identificar si los siguientes gráficos corresponden a una función, argumentar la respuesta en
cada caso.
x y
Dominio Recorrido
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_________________________________________________________
1
2
3
4
a
b
c
d
1
2
3
4
a
b
c
d

“CONTINENTAL”
Dibujar las gráficas de las siguientes ecuaciones e identificar en cada caso la pendiente y el punto de
corte con el eje y
a. 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3
d. 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5
e. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5
f. 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥
Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante

“CONTINENTAL”
BLOQUE 1
Funciones Lineales
FICHA N°2:
FUNCIONES
POLINÓMICAS
OBJETIVOS:
Fomentar el análisis y evaluación de las funciones matemáticas, además interactuar con los
teoremas y sus aplicaciones en este amplio campo de las Funciones.
 Desarrollo de evaluaciones funcionales.
 Graficación de funciones lineales.
 Aplicación de teoremas de evaluación funcional.
Objetivo Educativo.
Evaluar numéricamente una función es encontrar el valor de la función para un valor
numérico de sus variables. Si la función se escribe como ƒ(x), la función evaluada para una valor
numérico, por ejemplo 6, se escribe ƒ(6). Para realizar la evaluación se sustituye el valor
numérico en cualquier parte de la función en que aparezca la variable y se realizan las
operaciones aritméticas necesarias.
Ejemplo. Evaluar la función
ƒ(x) = x4+ x3- 11x2- 9x + 18 cuando el valor numérico de x es 4.
ƒ(4) = 44
+ 43
- 11(4)2
- 9(4) + 18
ƒ(4) = 256 + 64 - 11(16) - 36 + 18
ƒ(4) = 256 + 64 - 176 - 36 + 18
ƒ(4) = 126

“CONTINENTAL”
Cuando una función se evalúa para un valor determinado del dominio, significa que dicho valor
se puede sustituir por la literal x que forma a esa función. El valor de y (contra dominio o
imagen) se denomina f(x) cuando el dominio está formado por dicha letra x; por tanto, en una
pareja ordenada el dominio es el primer valor y el contra dominio el segundo. Es decir: (x, y).
Ejemplos
Consideremos f(x)=2x2–6x+8, si queremos evaluar f(a) quedaría: f (a)=2a 2– 6a+8
Así mismo, para f(p) tenemos:
f(p)=2p2– 6p+8
Para f(2x–3) el resultado sería:
f(2x–3)= 2(2x–3)2–6(2x–3)+8
= 2(4x2–12x+9)–12x+18+8
= 8x2–24x+18–12x+18+8
f(2x–3)= 8x2– 36x + 44
Como podemos observar, en todos los casos el valor de x fue sustituido por el valor con el que
se quiere evaluar la función.
Encontremos f(2) si f(x)=4x3–8x2+9x– 8
Evaluando tenemos:
f(2)= 4(2)3– 8(2)2+ 9(2) – 8
f(2)= 4(8) – 8(4) + 18 – 8
f(2)= 32 – 32 + 18 - 8
f(2)=10

“CONTINENTAL”
LECCIÓN Nº 2
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: __________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO Nº 2
1. Escribir una definición de evaluación de una Función.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3. Identifique que se debe hacer para realizar una evaluación de una función
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
4. Investiga sobre el valor numérico.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

“CONTINENTAL”
RESUMO Nº 2
Complete el mapa conceptual.
EVALUACION DE UNA FUNCION
Evaluar numéricamente Valor numérico
GLOSARIO Nº 2
Evaluar:………………………………………………………………………………………………………………...................
Dominio…………………………………………………………………………………………………………………..…………..
Recorrido………………………………………………………………………………………………………………………………
Valor:………………………………………………………………………………………………………………………………......
Valor numérico……………………………………………………………………………………………………………………
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………..………………………………………

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO Nº 2
Evalúa las siguientes funciones con respecto a lo que se pide y escribe aquí el resultado.
1. f(x)= 2x2 + 8x – 4, Calcular f(–3).
2. f(x)=4x3–10x2+8x–8, Calcular f(2x–8).
3. f(x)=12x5+4x4–5x3+ 3x 2–3x +1, Calcular f(–1).
4. f(x)=6x7+8x5–7x3–3x+12, Calcular f(–2).
5. f(x)=6x2
–12x+6, Calcular f(1–x7
).

“CONTINENTAL”
BLOQUE 1: Funciones
Lineales
FICHA N°3:
Dominio y Evaluación de
Funciones.
OBJETIVOS:
Reconocer los dominios e intervalos de una función, mediante sus análisis correspondientes
determinar sus pociones crecientes y decrecientes.
 Reconocer los intervalos de una función.
 Aplicación de teoremas de los dominios funcionales.
 Analizar los recorridos de las funciones lineales.
Objetivo Educativo.
Se llama dominio de definición de una función al conjunto de los valores al conjunto de valores
de las variables independientes x para los que existe la función, es decir, para los que hay un
valor de la variable dependiente.
Para calcular el dominio de la función hay que hacer todas las consideraciones para definir el o
los intervalos de los valores que pueden adoptar la variable independiente.
El todo los casos el intervalo que represente el dominio de función siempre será el menor
subconjunto de todos
Ejemplo:
Determine el dominio de la siguiente función:
f(2)= 4(2)3– 8(2)2+ 9(2) – 8
f(2)= 4(8) – 8(4) + 18 – 8
f(2)= 32 – 32 + 18 - 8
f(2)=10

“CONTINENTAL”
El único valor que no puede tomar la variable independiente es 2, porque en tal caso el
denominador de la fracción se haría cero, y como sabemos no existe la división por cero por
esto hay que restringir este valor es todos los números reales (R) que si puede adoptar, por
tanto:
Recorrido de una función.
El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, es
decir, todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable
independiente.
Cuando el dominio de la función ha sufrido alguna restricción en los reales, el recorrido
automáticamente aumentara adopta valores determinados. Un método clásico de calcular el
recorrido de una función es el de despejar de la variable dependiente y en esa expresión
analizar la variable dependiente como si se trataría de encontrar el dominio.
Dominio y recorrido
El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la
función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio
usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical
(el eje y).
Ejemplo:
Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:
La función f(x) = x + 1 es una función creciente en los números reales.

“CONTINENTAL”
LECCIÓN Nº 3
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO Nº 3
1. Establece una semejanza y diferencia entre dominio y recorrido de una función.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2. Que es el despeje de una variable.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
3. Investiga que se refiere función definida a trazos. Elabora un ejemplo:
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

“CONTINENTAL”
RESUMO Nº 3
Completar el cuadro sinóptico.
Dominio de una función
Dominio Recorrido
eses
Ejemplos
GLOSARIO Nº 3
Punto de llegada:…………………………………………………………………………………………
Punto de salida……………………………………………………………………………………………
Intervalo cerrado…………………………………………………………………………………………
Intervalo abierto:…………………………………………………………………………………………
Punto de corte……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………..………………………………………

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO Nº 3
Encuentre el dominio y el recorrido de la función:
1. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 5
2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 1
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 1

“CONTINENTAL”
BLOQUE:
Funciones Lineales
FICHA N°4:
Rangos e Intervalos
De Funciones
OBJETIVOS:
Reconocer los intervalos de los diferentes tipos de funciones con su respectivo análisis,
aplicando métodos numéricos.
 Determinación de las funciones crecientes.
 Determinación de funciones decrecientes.
 Graficar funciones mediante sus intervalos iniciales.
Objetivo Educativo.
Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la
primera le corresponda un único valor de la segunda. Pueden representar de diferentes
maneras:
a. Mediante una expresión matemática, ecuación o formula.
b. Como una tabla de valores que permite representar algunos valores discretos de la
función.
c. Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función.
d. Mediante una representación gráfica.
Algunas actividades corporales tales como el sueño, el ritmo cardíaco y la locomoción son
funciones biológicas que se llevan a cabo en casi todos los seres vivos. Así también en la vida
cotidiana los modelos de función han servido a las ciencias para explicar y predecir muchos
fenómenos, tanto de la vida científica como de la vida social. La función exponencial, por
ejemplo, explica y predice fenómenos de crecimiento de bacterias o del fenómeno de
desintegración radiactiva. Igualmente la función exponencial puede reflejar el crecimiento de la
población.

“CONTINENTAL”
Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores
cualesquiera la función toma su sentido creciente dese el punto de análisis.
Del intervalo, y , se cumple que:
Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha
también nos movemos hacia arriba:
Función creciente en un intervalo
Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del
intervalo,
y , se cumple que:
Función estrictamente decreciente en un intervalo
Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores
cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:
Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha
también nos movemos hacia abajo:

“CONTINENTAL”
Función decreciente en un
intervalo
Una función es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera de
intervalo, y , se cumple que:
Observa, a cada elemento del dominio le corresponde un único
elemento del recorrido, entonces es función.
A cada elemento del dominio le corresponde un único
elemento del recorrido, por lo tanto es función.
No es función, pues a un elemento del dominio le
corresponde dos elementos del recorrido.

“CONTINENTAL”
LECCIÓN Nº4
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
INVESTIGO Nº 4
Establece una diferencia entre función creciente y decreciente.
______________________________________________________________________________
Que condición se debe cumplir para que una función sea creciente.
______________________________________________________________________________
Que condición se debe cumplir para que una función sea decreciente.
______________________________________________________________________________
GLOSARIO Nº 4
Función:………………………………………………………………………………………………………………………
Creciente:………………………………………………………….…………………………………………………………
Decreciente:…………………………………………………………………………………………………………………
Intervalo:……………………………………………………………………………………………………..……………
Punto de corte…………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………..……………………………………………………………………….

“CONTINENTAL”
RESUMO Nº 4
Creciente Decreciente
eses
ejemplos
CUESTIONARIO Nº 4
Demuestra si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes y representa
gráficamente:
FUNCION

“CONTINENTAL”
BLOQUE 1:
Funciones Lineales
FICHA N°5:
Rectas y Pendientes
OBJETIVOS:
Analizar y determinar las variaciones de las pendientes en las rectas ubicadas en el plano
cartesiano, además verificar la dirección de recta en función de la pendiente.
 Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.
 Determinar la monotonía de una función lineal a partir de la pendiente de la recta que
representa dicha función.
Objetivo Educativo.
Se denomina pendiente de la recta la inclinación de un elemento respecto de la horizontal.
La pendiente de una recta en un sistema cartesiano, se representa con la letra m y está
definido como el cambio o variación en el eje “y” dividido por el respecto cambio en el eje “x”
entre dos puntos de la recta.
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección
positiva de eje OX.
Pendiente dado el ángulo
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dados dos puntos

“CONTINENTAL”
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece
al crecer el ángulo.
Calculo de la pendiente de la recta:
Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).
Escribir su ecuación punto pendiente.
Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).
Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.
RECTAS PARALELAS
Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.

“CONTINENTAL”
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo que forman entre ellas es de 90°.
Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.
Para que el producto de las dos pendientes de dos líneas rectas sea igual a -1 una de ellas debe ser
inverso negativo de la otra y viceversa
Ejemplo:
Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2, 3) y (-3,-2) y
compararla con la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2,3) y (0,5).
𝑥1 = 2 𝑥2 = 3 𝑦1 = −3 𝑦2 = −2
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
(−2) − (−3)
(3) − (2)
𝑚 = 1 𝑚2 = −1
5 (0,5)
4
3 (2,3)
2
1
-3 -2 -1 1 1 2
-2
(-3,-2) -

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N°5
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO N°5
Escriba en que caso se dice que dos rectas son perpendiculares:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Escriba que significa la pendiente de una recta.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Sintetizar como se calcula la pendiente de una recta conociendo dos puntos de esta:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
GLOSARIO N°5
Pendiente…………………………………………………………………………………………………………………………….
Rectas Paralelas……………………………………………………………………………………………………………………
Rectas perpendiculares……………………………………………………………...……………………………………………
Ángulos:……………………………………………………………………………………………………………………………….
Variación………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………..………………………………………………………………………………………………………………………….

“CONTINENTAL”
RESUMO N°5
Pendiente de una Recta
Concepto Rectas paralelas
es es
Formulas

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°5

“CONTINENTAL”
BLOQUE 2:
Álgebra y Geometría
FICHA N°6:
Ecuación
Bidimensional de la
Recta.
OBJETIVOS:
Analizar y determinar las variaciones de las pendientes en las rectas ubicadas en el plano
cartesiano, además verificar la dirección de recta en función de la pendiente.
 Determinar la ecuación de la recta, dado dos parámetros (dos puntos, o un punto y la
pendiente)
Objetivo Educativo.
ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO PUNTO Y PENDIENTE
Cualquier que pasa por los puntos de coordenadas A𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝐵(𝑥1, 𝑦1), tiene como pendiente
la siguiente expresión: 𝑚 =
𝑦−𝑦1
𝑥−𝑥1
Esta misma expresión puede escribirse de la siguiente manera:
𝒚 − 𝒚 𝟏 = 𝒎( 𝒙 − 𝒙 𝟏)

“CONTINENTAL”
Esta última expresión se conoce como la ecuación punto – pendiente de la recta.
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenada (−2,3) y cuya pendiente es 2.
Remplazando las coordenadas del punto y la pendiente dada en la ecuación de la recta, tenemos:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 3 = 2[𝑥 − (−2)]
𝑦 − 3 = 2[𝑥 + 2]
𝑦 − 3 = 2[𝑥 + 2]
𝑦 − 3 = 2𝑥 + 4
𝑦 = 3 + 2𝑥 + 4
𝑦 = 2𝑥 + 7
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2,3) 𝑦 𝐵(2, −1)
Para resolver este problemas es necesario calcular la pendiente entre entre dos puntos dados, y
luego calcular la ecuación, la misma que debe cumplirse para los dos puntos
𝑚 =
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1
=
−1 − 3
2 − (−2)
=
−4
4
= −1
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Como A:
𝑦 − 3 = −1[𝑥 − (−2)]
𝑦 − 3 = −1[𝑥 + 2]
𝑦 − 3 = −𝑥 − 2
𝑦 = 3 − 2 − 𝑥
𝑦 = 1 − 𝑥
Con B
𝑦 − (−1) = −1[𝑥 − 2]
𝑦 + 1 = −𝑥 + 2
𝑦 = −1 + 2 − 𝑥
𝑦 = 1 − 𝑥

“CONTINENTAL”
MONOTONÍA DE LAS LINEAS RECTAS EN FUNCIÓN DE SUS PENDIENTES
Habíamos determinado que al estudiar la monotonía de una función estamos analizando el
crecimiento y el decrecimiento de la misma.
Es importante recordar que para realizar este análisis, tomamos como referencia a la variable
independiente (x) la misma crece de izquierda a derecha.
Ejemplo:
Dibujar la recta y hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y (1, 2)
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
3 − 2
−2 − 1
=
−5
−3
=
5
3
De esta manera comprobamos que toda la recta de pendiente positiva, significa que “sube” ,
por lo tanto una recta con pendiente positiva es una función creciente en todo su dominio
𝑓(𝑥) → 𝑚 > 0
Función creciente
b. Dibujar la recta y hallar la pendiente de la recta pasa por los puntos A (-2, 3)
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
−2 − 3
1 − (−2)
=
−5
1 + 2
= −
5
3
Análogamente una recta con pendiente negativa significativa, que la recta “baja” por lo tanto
una recta con pendiente negativa es una función decreciente en todo su dominio
𝑓(𝑥) → 𝑚 < 0
Función decreciente.
Un tramo de función en el que según avanzamos a lo largo del eje “x” la gráfica sube es un
tramo donde la función es creciente y un tramo de función en el según avanzamos a lo largo
del eje x la gráfica baja es un tramo donde la función es decreciente

“CONTINENTAL”
Matemática Primer Año de Bachillerato Página 42
LECCIÓN N°6
INVESTIGO N°6
Explicar el proceso para hallar la ecuación de una recta conociendo un punto y la pendiente.
7.
Explique el proceso para hallar la ecuación de una recta conociendo dos puntos de ella.
8.
Explicar cómo se relaciona la pendiente de una recta con su monotonía:
______________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
Proceso
RESUMO N°6
Ecuación de la recta conociendo Monotonía de líneas
Punto y pendiente en función de su pendiente
Proceso
es es

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N°6
Recta
1.
Coordenada
1.
Punto medio
1.
Proceso
1.
Punto de corte
1.
9.

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°6
1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−4, −3) y cuya pendiente es -3.
1.
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−3, −1) y es perpendicular a otra
recta cuya pendiente es -
1
4
.
1.

“CONTINENTAL”
3. Resolver el siguiente problema: El número de calorías que se queman en una hora de ejercitarse en
una caminadora, está en una función de la velocidad que se emplea. Una persona que camina a una
velocidad d un 3
𝑘𝑚
ℎ
, quema 233 calorías. A 10
𝑘𝑚
ℎ
quemara 548 calorías.
a. Graficar la función y hallar la pendiente.
b. Escribir la ecuación que se ajusta a los datos
2.

“CONTINENTAL”
BLOQUE 2:
FICHA N°7:
Ecuación Reducida
de la Recta.
OBJETIVOS:
Analizar y determinar las variaciones de las
pendientes en las rectas ubicadas en el plano cartesiano, además verificar la dirección de recta
en función de la pendiente.
 Determinar la pendiente de una recta a partir de su ecuación escritas en sus diferentes
formas
 Graficar una recta, dada su ecuación en sus diferentes formas.
 Determinar la ecuación de la recta, dado dos parámetros (dos puntos, o un punto y la
pendiente)
Objetivo Educativo.
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA
Sea la recta de la pendiente m que pasa por el punto de coordenadas (𝑥1, 𝑦1), que tiene como
ecuación la siguiente expresión
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1 + 𝑦1
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚(𝑦1 − 𝑥1)
Siendo la pendiente y las coordenadas (𝑥1, 𝑦1) valores reales, entonces la expresión (𝑥1, −𝑚𝑦1)
tambien es un valor real que lo nombraremos con “b” , entonces la ecuación queda expresada
de la siguiente manera:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃

“CONTINENTAL”
En esta forma como ya vimos “m” es la pendiente y “b” es la ordenada de intersección de la
recta con el eje vertical. Ejemplo:
Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) 𝑦 (−1, −3) y
comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical.
4
3
2 (2,3)
1
-3 -2 -1 1 1 2
-2
(-1,-3) -
𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
3−(−3)
2−(−1)
=
3+3
2+1
=
6
3
= 2
Escribimos la ecuación punto pendiente, transformemos la forma reducida y comprobemos los
parámetros:
𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 2)
𝑦 − 3 = 2𝑥 − 4
𝑦 − 3 = 2𝑥 − 1
Y-3+2=2x
y=2x+1
𝑚 = 2 → 𝑏 = 1

“CONTINENTAL”
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:
Tomemos como referencia la misma recta anterior:
𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 2)
𝑦 − 3 = 2𝑥 − 4
0 = 2𝑥 − 𝑦 − 4 + 3
𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
Realicemos esta expresión con la fórmula de la ecuación general de la recta:
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
En donde:
𝐴 = 2 𝐵 = −1 𝐶 = −1
𝑚 = −
𝐴
𝐵
𝐵 = −
𝐶
𝐵
Comprobemos las relaciones en la ecuación estudiada:
𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
𝑚 = −
2
(−1)
= 2
𝑏 = −
(−1)
(−1)
= −1
GRAFICA DE LA ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA
Conociendo el significado de cada elemento de la ecuación de reducida de la recta , la elaboración de la
gráfica se facilita de manera significativa. Ejemplo:
𝑦 = −2𝑥 − 6
En esta ecuación observamos lo siguiente:
1. La pendiente es negativa, por lo tanto la recta es decreciente en todo su dominio.
2. La ordenada que determina el punto de corte con el eje vertical es -6.
3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es -3 este valor se obtiene
cuando y = 0
𝑦 = −2𝑥 − 6

“CONTINENTAL”
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
0 = −2𝑥 − 6
2𝑥 = −6
𝑥 = −
6
2
= −3
Estos parámetros son suficientes para graficar la recta con absoluta precisión:
Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) 𝑦 (−1, −3) y
comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical.
𝑦 = −2𝑥 − 6
4
3
2
1
-6 -4 -2 -2 2 4 6
-4
Corte en el eje horizontal -6
Corte eje vertical
GRAFICA DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
De manera análoga a la anterior, se conoce el significado de cada elemento de la ecuación de general de
la recta , la gráfica es igual de sencilla:
Ejemplo:
Graficar la recta 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0
Igualmente de esta ecuación podemos deducir lo siguiente:
1. La pendiente es positiva, por lo por lo tanto la ecuación es creciente en tanto que su dominio:
𝐴 = 2 𝐵 = −3 𝐶 = −6
𝑚 = −
𝐴
𝐵
𝐵 = −
2
−3
=
2
3

“CONTINENTAL”
La pendiente que determina el punto de corte con el eje vertical es 3
𝑏 = −
𝐶
𝐵
= −
−6
−3
= −2
3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es 3 y se calcula asi:
𝑎 = −
𝐶
𝐴
= −
−6
2
= 3
𝑦 = −2𝑥 − 6 -
4
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟎 3
2
1
-3 -2 -1 -1 1 2 3
-2
Corte en el eje horizontal (3) -3
Corte eje vertical (-2)

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N°7
INVESTIGO N°7
Escribir el significado geométrico de m y b de la ecuación reducida de la recta.
2.
Explica el proceso para graficar una recta a partir de su ecuación reducido.
3.
Explicar el proceso para graficar una recta a partir de su ecuación general:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
Formula
RESUMO N°7
Ecuación reducida de la recta Ecuación general de la recta
Proceso
es Pasos
GLOSARIO N°7
Ecuación reducida:
Decreciente
2.
Punto de intersección horizontal.
1.
Punto de intersección vertical
1.

“CONTINENTAL”
Abscisa
4.
CUESTIONARIO N°7
Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por el punto (3, −5) y es paralela a la recta
𝑦 = −2𝑥 + 3
Encuentre la pendiente y el punto de corte con el eje vertical de la recta2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0.

“CONTINENTAL”
Escriba la ecuación reducida y general de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2,5) 𝑦 𝐵(4, −3)
5.

“CONTINENTAL”
BLOQUE 2:
FICHA N°8:
Polinomios
OBJETIVOS:
Comprender las funciones polinomicas, análisis de graficas e intervalos, además comparación
de rangos y aplicaciones.
Destreza de Criterio de desempeño.
 Analizar las operaciones que se pueden realizar con polinomios algebraicos.
 Resolución de ecuaciones polinomicas y los criterios que se emplean para analizar sus
gráficos.
Objetivo Educativo.
POLINOMIOS
Sea “n” un 𝑎0, 𝑎1, 𝑎3 … … … … … . 𝑎 𝑛−1número real (𝐶𝑜𝑛 𝑎 𝑛 ≠ 0) la función de la forma
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ … … … … … … … … … . 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
Se denomina función polinomicas de x, de grado n
A las funciones polinomiales, también se denomina simplemente polinomios y a cada uno de
los sumandos se les llama términos del polinomio.
En particular, cuando el polinomio de un solo término se llama monomio, si consta de dos
términos binomio y si consta de tres términos se llama trinomio. A los polinomios se les
simboliza con letras mayúsculas y entre paréntesis se encuentran las variables de las que
depende el polinomio.

“CONTINENTAL”
Monomios
3
5
𝑥¸ 6𝑧3
Binomios
1
3
− √8; 2𝑥2
+ 5𝑎
Trinomio
1
3
𝑎𝑥 − 4𝑥2
+ 1
Polinomio √7𝑦5 − 4𝑦3
+ 5𝑦 −
49
√2
costa de cuatro términos.
Grado de un polinomio
El exponente de una expresión es la cantidad que indica cuántas veces debe tomarse dicha
expresión como factor. En la expresión 4𝑥2
𝑦 el exponente de x es 2 y el exponente de y es 1.
El grado de un monomio con respecto a una letra es el exponte de dicha letra. El monomio de
4𝑥2
𝑦𝑧4
es: de segundo grado en x, de primer grado en y y de cuarto grado en z.
El grado de un polinomio con respecto a una letra es el exponte de dicha letra, es el monomio
de mayor grado con relación a dicha letra.
Ejemplo:
𝑃(𝑡) = 𝑡2
− 3𝑡 + 2 Indica que se trata de un polinomio P que depende de la variable t. Este polinomio
es de segundo grado en t, pues el termino con mayor exponente es 𝑡2
𝑄(𝑥) = −𝑥5
+ 1es de quinto grado y el termino principal es: −𝑥5
.
El grado de un término en un polinomio, es igual al exponente que tiene la variable de este
término
El coeficiente de un término, es la parte numérica de este término.
Ejemplo:
Para el polinomio 𝑄(𝑥) = 4𝑥5
− 8𝑥4
+ 2𝑥3
− 7𝑥+9, identificar los coeficientes y los grados de cada
término
Término 4𝑥5 −8𝑥4
+2𝑥3 −7𝑥 +9
Grado 5 4 3 1 0
Coeficiente 4 -8 2 -7 9

“CONTINENTAL”
A los polinomios se les suele escribir en orden ascendente o en orden descendente:
 Si un polinomio se escribe en orden descendente, en primer lugar se escribe el término mayor
grado a continuación se escribe el término con el siguiente menor grado, y así sucesivamente.
 Si un polinomio se escribe en orden ascendente, en primer lugar se escribe el término de menor
grado (que comúnmente es el término constante), a continuación se escribe el término con el
siguiente mayor y así sucesivamente.
Ejemplo: 𝑷(𝑥)= 11𝑥6
− 7𝑥8
+ 9𝑥3
− 3 + 16𝑥2
Forma descendente 𝑃(𝑥)= 117𝑥8
+ 11𝑥6
+ 9𝑥3
− 3
Forma ascendente 𝑃(𝑥)= −3 + 16𝑥2
+ 9𝑥3
+11𝑥6
− 7𝑥8
Funciones polinomicas combinadas.

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N°8
INVESTIGO N°8
Que es un expresión algebraica: de una reseña histórica:
6.
Que es un Polinomio:
______________________________________________________________________________
_____________________
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
RESUMO N°8
Elabore un mapa conceptual del contenido del tema tratado:
LOS POLINOMIOS
GLOSARIO N°8
Polinomio es:
Grado en algebra:
3.
Coeficiente es:
2.
Variable es
2.
Termino

“CONTINENTAL”
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
CUESTIONARIO N°8
Marque con una X cuál de las siguientes funciones son polinomios:
( )𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 6
( )𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥−2
( )ℎ(𝑥) =
3𝑥2
+ 𝑥 − 1
𝑥 − 3
( )𝐻(𝑥) = 0
( )𝐺(𝑡) = 𝑡9
( )𝐾(𝑢) = √ 𝑢2
4. COMPLETE:
Expresión dada 1. Coeficiente 2. Parte literal 3. Grado
42x2
y
−6x3
y2
z
2x2
y − 3x3
+ x − 4
−x8

“CONTINENTAL”
Determine el grado del polinomio. Ponga el numeral que corresponde:
( )𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 6
( )𝑄(𝑥) =
𝑥
5
−
2𝑥3
8
+ 2
( )𝑇(𝑥) = −3
( )𝑑(𝑡) =
1
2
𝑔𝑡2
( )𝑅(𝑥) =
11𝑥2
− 𝑥 + 7
4
( )𝑁(𝑟) = 𝑟110
− 1

“CONTINENTAL”
BLOQUE 2:
FICHA N°9:
OPERACIONES CON
POLINOMIOS
OBJETIVOS:
Resolver problemas que contengas ecuaciones polinomicas, además plantear soluciones a
ecuaciones de rango y dominio polinómico en el plano cartesiano.
 Analizar las operaciones que se pueden realizar con polinomios algebraicos.
 Resolución de operaciones polinomicas y los criterios que se emplean para su aplicación.
Objetivo Educativo.
Las cuatro operaciones fundamentales que se pueden realizar con polinomios son la adición, la
sustracción, el producto y la división
Cuando se suma, se resta o multiplica polinomios, el resultado es siempre un polinomio.
Cuando se divide polinomios, el resultado no siempre es un polinomio.
La suma o adición de polinomios:
Definición: Dos términos se llaman términos semejantes si tiene exactamente la misma
variable con los mismos exponentes.
Por ejemplo, los términos −2𝑥3
𝑦 8𝑥3
son términos semejantes entre si, pero −2𝑥3
𝑦 8𝑥4
no
son términos semejantes los exponentes de cada término so n diferente.
La suma y la diferencia de dos polinomios se realizan de manera similar a la suma y a la resta de
números reales.
La suma de varios polinomios es otro polinomio, cuyo valor numérico es igual a la suma de los
valores numéricos de cada uno de los sumandos

“CONTINENTAL”
Para sumar dos polinomios se procede de la siguiente manera:
1. Se forma un solo polinomio que contenga los términos de los sumandos con sus
correspondientes signos.
2. Se reduce los términos semejantes, si los hubiera.
Ejemplo:
(𝟕𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 − 𝟖) 𝒚 (𝟒𝒙 𝟐
− 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕)
Solución:
(𝟕𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 − 𝟖) + (𝟒𝒙 𝟐
− 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕) = 𝟕𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 − 𝟖 + 𝟒𝒙 𝟐
− 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕
(𝟕𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 − 𝟖) + (𝟒𝒙 𝟐
− 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕) = 𝟕𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙 𝟐
− 𝟏𝟒𝒙 − 𝟐𝟓
Sustracción o resta de polinomios:
La definición. (𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠)El opuesto de un polinomio es otro polinomios que suma
al original, el resultado es igual a cero.
Dado un polinomio cualquiera, para hallar el polinomio opuesto se deben hacer negativos a los términos
positivos, y hacer positivos a los términos positivos.
Al polinomio opuesto de 𝑃(𝑥) se le denota −𝑃(𝑥)
Ejemplo:
Hallar el polinomio opuesto de a) 𝑃(𝑥) = 6𝑥 − 5; 𝑏) 𝑄(𝑥) = 5𝑥3
+ 3𝑥2
− 12
Solución:
a) 𝑃(𝑥) = 6𝑥 − 5
−𝑃(𝑥) = −6𝑥 + 5
𝑏) 𝑄(𝑥) = 5𝑥3
+ 3𝑥2
− 12
−𝑄(𝑥) = −5𝑥3
− 3𝑥2
+ 12
Para restar el polinomio 𝑄(𝑥) de otro polinomio 𝑃(𝑥) se produce de la siguiente manera:
1. Se escribe el polinomio 𝑃(𝑥)
2. A continuación se escribe el opuesto de 𝑄(𝑥) 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, −𝑄(𝑥)
3. Se reduce a los términos semejantes, si los hubiera.

“CONTINENTAL”
Ejemplo:
Del polinomio 𝑃(𝑎) = 5𝑎2
− 8𝑎 + 6 restar el polinomio 𝑄(𝑎) = 3𝑎2
− 6𝑎 + 5.
(5𝑎2
− 8𝑎 + 6) − (3𝑎2
− 6𝑎 + 5) = 5𝑎2
− 8𝑎 + 6 − 3𝑎2
+ 6𝑎 − 5
(5𝑎2
− 8𝑎 + 6) − (3𝑎2
− 6𝑎 + 5) = 5𝑎2
− 3𝑎2
− 8𝑎 + 6𝑎 + 6 − 5
(5𝑎2
− 8𝑎 + 6) − (3𝑎2
− 6𝑎 + 5) = 2𝑎2
− 2𝑎 + 1
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 2𝑎2
− 2𝑎 + 1
La multiplicación de polinomios
El producto de dos polinomios es un polinomio cuyo valor numérico es igual al ´producto de
los valores numéricos de aquellos.
Al primer polinomio de un producto se le denomina multiplicando y al segundo polinomio,
multiplicador. Para la realización del producto de dos polinomios debemos tener en cuenta las
siguientes reglas
Reglas de los signos: El producto de dos cantidades igual signo tienen signo positivo y el
producto de dos cantidades de signos contrarios tiene signo negativo : Es decir:
+ × += +
− × −= +
− × += −
+ × −= −
Procedimiento Operativo.
Para multiplicar dos monomios se procede de la siguiente manera
1. Se determina el signo del producto, mediante la regla de los signos.
2. Se multiplica los coeficientes.
3. A continuación se escribe las letras diferentes de todos los factores, poniéndole a cada
una un exponente igual a la suma de los exponentes que tiene los diferentes factores.

“CONTINENTAL”
Ejemplo:.
Multiplique 3𝑥2
𝑦 𝑝𝑜𝑟 − 4𝑥𝑦3
𝑧
Tenemos
(3𝑥2
𝑦)(−4𝑥𝑦3
𝑧) = −(3.4)(𝑥2+3)(𝑦1+3)𝑧
(3𝑥2
𝑦)(−4𝑥𝑦3
𝑧) = −12(𝑥5)(𝑦4)𝑧
Multiplicación de polinomios:
1. Se multiplica cada uno de los términos del multiplicando por cada uno de los términos
del multiplicador considerando estos como monomios.
2. Se reduce los términos semejantes si los hubiera.
3. La suma de los productos parciales será el producto deseado
Ejemplo:
Multiplicar:
𝑷(𝑥) = 𝑥2
+ 5𝑥+9 por 𝑄(𝑥) = 𝒙 𝟑
− 𝟐𝒙 − 𝟕
𝑷(𝑥)𝑸(𝑥) = (𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟗 )(𝒙 𝟑
− 𝟐𝒙 − 𝟕)
𝑷(𝑥)𝑸(𝑥) = 𝒙 𝟓
− 𝟐𝒙 𝟑
− 𝟕𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 𝟒
− 𝟏𝟎𝒙 𝟐
− 𝟑𝟓𝒙 + 𝟗𝒙 𝟑
− 𝟏𝟖𝒙 − 𝟔𝟑
𝑷(𝑥)𝑸(𝑥) = 𝒙 𝟓
+ 𝟓𝒙 𝟒
+ 𝟕𝒙 𝟑
− 𝟏𝟕𝒙 𝟐
+ −𝟓𝟑𝒙 − 𝟔𝟑

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N°9
INVESTIGO N°9
Elabore una bibliografía so sobre un creador de las expresiones algebraicas:
7.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
RESUMO N°9
Elabore un mapa conceptual del contenido del tema tratado: POLINOMIOS
GLOSARIO N°9
Expresión:
Algebra:
4.
Combinaciones:
3.
Binomio
3.
Adición

“CONTINENTAL”
8.
CUESTIONARIO N°9
Marque con una X según corresponda la respuesta de la sustracción :
Del polinomio
𝑃(𝑎) = 15𝑎2
− 8𝑎 + 6 restar el polinomio 𝑄(𝑎) = 5𝑎2
− 16𝑎 + 20.
( )𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 10𝑎2
− 8𝑎 − 14
( ) 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 𝑎2
− 8𝑎 + 14
( ) 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 20𝑎2
− 8𝑎
Marque con una X según corresponda la respuesta de la adición:
Del polinomio 𝑃(𝑎) = 15𝑎2
+ 8𝑎 adiciona con el polinomio 𝑄(𝑎) = 15𝑎2
− 6𝑎 + 30:
( )𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) = 10𝑎2
− 8𝑎 − 14
( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) = 30𝑎2
+ 2𝑎 + 30
( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) = 20𝑎2
− 8𝑎 − 30

“CONTINENTAL”
Marque con una X según corresponda la respuesta de la adición :
Del polinomio
𝑃(𝑎) = 10𝑎4
+ 𝑎3
+ 15𝑎2
+ 8𝑎 − 20
𝑄(𝑎) = −10𝑎4
+ 2𝑎3
+ 𝑎2
+ 8𝑎 − 20
𝑅(𝑎) = −𝑎4
+ 𝑎3
+ 15𝑎2
+ 8𝑎 + 20
( )𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) + 𝑅( 𝑎) = −2𝑎4
+ 15𝑎3
+ 31𝑎2
+ 24𝑎 − 10
( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) + 𝑅( 𝑎) = 10𝑎4
+ 𝑎3
+ 15𝑎2
+ 8𝑎 − 20
( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) + 𝑅( 𝑎) == −𝑎4
+ 5𝑎3
+ 31𝑎2
+ 24𝑎 − 20
Marque con una X según corresponda la respuesta de la multiplicación de polinomios:
Del polinomio
𝑃(𝑥) = 6𝑥 + 5𝑥3
− 8 − 3𝑥2
𝑄(𝑥) = −𝟗 + 4𝑥2
− 7𝑥
( )𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) = 20 𝑥5
− 47𝑥4
− 47𝑥2
+ 2𝑥+72
( )𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) = 30 𝑥5
− 7𝑥4
− 57𝑥2
+ 𝑥+72
( ) 𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) = +5𝑎3
+ 31𝑎2
+ 24𝑎 − 20

“CONTINENTAL”
BLOQUE 2:
FICHA N°10:
DIVISIÓN DE
POLINOMIOS
OBJETIVOS.
Aprender los diferentes métodos para realizar la división de polinomios de grados menores
hasta grados superiores, aprender el método de la división sintética y lo métodos de reducción
de Ruffinni.
 Realizar la división de polinomios en función a los procesos preestablecidos.
 Resolver las divisiones con métodos sintéticos de análisis.
 Resumir funciones con el método de Ruffinni
Objetivo Educativo.
LA DIVISION DE POLINOMIOS
Definición: Dividir dos polinomios es hallar el tercer polinomio tal que su valor numérico sea
igual al cociente de los valores numéricos de los dos polinomios dados.
Los dos polinomios dados de denominan dividendo y divisor, y el polinomio hallado, cociente.
La división es la operación inversa de la multiplicación.
En general tenemos
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟
= 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 +
𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟
Donde el residuo es un polinomio entero de grado inferior al de divisor. Si el residuo es igual a
cero se dice, que la división es exacta.

“CONTINENTAL”
División de un monomio por otro monomio.
Para dividir un monomio por otro monomio, se produce de la siguiente manera
 Se determina el signo del resultado, mediante la regla de los signos.
 Se divide en los coeficientes entre sí . El coeficiente es el coeficiente pedido
 Se escribe las letras que se hallan en el dividendo y el divisor, con un exponente igual a la
diferencia de los exponentes que llevan en cada termino, cundo dichos exponentes son
distintos.
 No se escribe las letras que tienen exponente igual en el dividendo y divisor.
 Si ubica letras en el dividendo que no se halla en el divisor, se escribirán tal como están,
pero si el divisor tiene letras que no figuran en el dividendo, pasarán al cociente con
exponente negativo.
Ejemplo:
𝟐𝟎𝒂 𝟓
𝒃 𝟑
𝒄 𝟐
−𝟓𝒂 𝟐 𝒃 𝟐
= −𝟒𝒂 𝟑
𝒃 𝒄 𝟐
𝟏𝟐𝒂 𝟑
𝒃 𝟐
÷ 𝟒𝒂 𝟐
𝒃 = 𝟑𝒂𝒃
(−𝟑𝟓𝒙 𝟑
𝒚 𝟒
)
(−𝟓𝒙 𝟐 𝒚 𝟑 𝒛)
= 𝟕𝒙𝒚𝒛−𝟏
Tengamos en cuenta:
En general no existe monomios enteros que, multiplicando por el divisor, reproduzca el
dividendo, en tales casos se deja la división indicando en forma de fracción.
Ejemplo:
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓𝟏𝟓𝒂𝒃 𝟐
𝒑𝒐𝒓 𝟖𝒂 𝟑
𝟏𝟓𝒂𝒃 𝟐
𝟖𝒂 𝟑
=
𝟏𝟓𝒃 𝟐
𝟖𝒂 𝟐
=
𝟏𝟓
𝟖
𝟖𝒂−𝟐
𝒃 𝟐
División de polinomios:
Consideremos dos polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) y las siguientes definiciones:
La definición.
(𝑫𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂)Dividir exactamente el polinomo𝑃(𝑥) 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑄(𝑥)
distinto de cero, significa hallar un polinomio 𝐶(𝑥) tal que se verifique:
𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑄(𝑥)
Entonces, se dice que 𝑃(𝑥) es divisible por 𝑄(𝑥)

“CONTINENTAL”
Es decir, en la división exacta, el residuo es igual cero 𝑅(𝑥) = 0
Definición (𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂) Dividir inexactamente (𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜) el polinomio
𝑃(𝑥)por el polinomio 𝑄(𝑥), distinto a cero, significa hallar dos polinomios 𝐶(𝑥)𝑦 𝑅(𝑥) tal que se
verifique
𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)
El polinomio𝑃(𝑥) es el dividendo, 𝑄(𝑥) el divisor, 𝐶(𝑥) el cociente, y 𝑅(𝑥) es el residuo o resto,
entonces se dice que el polinomio 𝑃(𝑥) se divide por el polinomio 𝑄(𝑥)cociente 𝐶(𝑥) y con residuo
𝑅(𝑥)
El grado 𝑅(𝑥) del polinomio 𝑅(𝑥) es estrictamente menor al grado de 𝑄(𝑥)
Reglas de la división:
Para dividir dos polinomios, previamente hay que ordenarlos de manera decreciente, luego se procede
de la siguiente manera:
1. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, con
la cual se obtiene el primer término del cociente. Se multiplica este término por
el divisor y se resta el residuo-
2. El primer término del residuo, dividendo por el primer término del divisor, da el
segundo término del cociente. Multiplicando este segundo término hallando por
el divisor y restado el producto obtenido del primer residuo, hallamos un
segundo residuo, con el cual se procederá del mismo modo que con el primer
para obtener el tercer término del cociente.
3. Se continua de la misma manera hasta dar con un residuo igual a cero o con un
polinomio de grado inferior al del divisor, que es el residuo de la operación.

“CONTINENTAL”
LA DIVISION DE POLINOMIOS
Ejemplo:
Dividir 3𝑥2
+ 5𝑥 + 6 𝑝𝑜𝑟 𝑥 + 2
3𝑥 + 11

“CONTINENTAL”
LECCION N°10
INVESTIGO N°10
Que es una expresión algebraica: indique la clasificación de los polinomios explique cada uno
de ellos y ponga un ejemplo:
1.
Como se realiza la división sintética en los polinomios.
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Como se realiza la multiplicación o producto de polinomios.
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
RESUMO N°10
Elabore un mapa conceptual del contenido del tema tratado: POLINOMIOS
GLOSARIO N°10
Trinomio:
Coeficiente:
5.
Teorema:
4.
División
4.
Reglas

“CONTINENTAL”
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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CUESTIONARIO N°10
Marque con una X según corresponda la respuesta de la división:
Divida el siguiente polinomio: (𝑎3
− 2𝑎6) ÷ 𝑎2
( ) 𝑎 − 𝑎4
( )0,5𝑎2
−
2
2
𝑎
( ) 𝑎1
− 2𝑎
Divida el siguiente polinomio:
21𝑥2
𝑦 ÷ −7
( )2 𝑥2
𝑦
( ) − 3 𝑥2
𝑦
( ) − 3 𝑥3
𝑦
Marque con una X según corresponda la respuesta de la división :
Divida el siguiente polinomio: (8𝑥3
− 3𝑥 − 2) ÷ 3𝑥 − 3
( )𝑥2
+
8
3
𝑥 +
5
3
( )
8
3
𝑥2
+
8
5
𝑥 −
5
3
( )
8
3
𝑥2
+
8
3
𝑥 +
5
3

“CONTINENTAL”
Marque con una X según corresponda la respuesta de la división de polinomios:
Divida el siguiente polinomio:
(2𝑥5
+ 3𝑥4
+ 5𝑥3
+6𝑥2
− 𝑥 + 6) ÷ 𝑥2
− 3𝑥 + 2
( )2𝑥3
+9𝑥2
+ 28𝑥 + 72
( )2𝑥4
+9𝑥2
+ 28𝑥 − 36
( )2𝑥3
+9𝑥2
− 72
Grafique el siguiente polinomio.
𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 1
1.

“CONTINENTAL”
SEGUNDO QUIMESTRE
BLOQUE 3:
Matemática Discreta.
FICHA N°11:
Propiedad del Residuo
OBJETIVOS:
Analizar problemas que ameriten una solución múltiple por los métodos analizados
anteriormente, aplicación de las herramientas de solución para los sistemas de ecuaciones
polinomicas.
Destreza de Criterio de desempeño
 Resolver un sistema de dos ecuaciones polinomicas con las reglas establecidas.
 Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica
 Determinar la división sintética de los polinomios.
Objetivo Educativo.
Teorema del residuo
Teorema (del residuo) si el polinomio P(𝑥) se evalúa en 𝑥 = 𝑎 entonces el resultado 𝑃(𝑎) es
igual al residuo que se obtiene cuando se divide P(𝑥) por 𝑥 − 𝑎. Es decir si P(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)
Q(𝑥) + 𝑅, entonces 𝑅 = P(𝑎).
Ejemplo:
Hallar el resto de la división del polinomio P(𝑥) = 𝑥4
− 5𝑥2
+ 12 por el binomio 𝑥 − 2
Solución De acuerdo al teorema del residuo:
𝑅 = 𝑃(2) = 24
− 5(2)2 + 12
𝑅 = 𝑃(2) = 16 − 20 + 12
𝑅 = 8

“CONTINENTAL”
Hallar el valor de m para que el polinomio 𝑥3
− 3𝑥2
+ 5𝑥 + 𝑚 sea divisible por 𝑥 − 1
Solución. El resto de la división del polinomio por 𝑥 − 1 se obtiene calculando P(1).
𝑟 = 𝑃(1) = 1 − 3 + 5 + 𝑚
𝑟 = 3 + 𝑚
Para que 𝑃(1) = 0 es necesario que 𝑟 = 3 + 𝑚 = 0; por lo tanto 𝑚 = −3
La división sintética
Si el divisor del polinomio es un binomio de la forma 𝑥 − 𝑎, donde a es una constante, el
algoritmo de la división se puede simplificar a un proceso denominado división sintética.
También llamada regla de Ruffini, es un procedimiento práctico para encontrar el cociente y el
residuo de la división de un polinomio entre un binomio se realiza de la siguiente manera.
 El cociente del primer número del cociente es igual al primer término del dividendo.
 El cociente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el cociente del
término anterior por a y sumando el coeficiente del término y de igual orden del término.
 El residuo de la división se obtiene multiplicando por a el ultimo coeficiente del cociente y
sumando al resultado el último coeficiente del dividendo.
Ejemplo:
1. Realice la operación: (2𝑥3
− 3𝑥 + 5) ÷ (𝑥 − 1)
2 0 − 3 + 5 4
8 − 32 + 116
2 8 − 29 + 121
𝐶(𝑥) = 2𝑥2
+ 8𝑥 + 29 𝑟 = 121
2. Realice la operación: (𝒙 𝟓
− 𝟏𝟔𝒙 𝟑
− 𝟐𝟎𝟐𝒙 + 𝟖𝟏) ÷ (𝒙 − 𝟒)
1 0 − 16 +0 − 202 + 81 4
4 16 0 − 808
1 4 0 0 − 202 − 727
𝐶(𝑥) = 𝑥4
+ 4𝑥3
− 202 𝑦 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 − 727

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N°11
INVESTIGO N°11
Elabore un marco teórico sobre la regla de Ruffini:
1.
RESUMO N°11
Elabore un mapa conceptual del teorema del residuo y división sintética.
1.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N°11
Principio:
Residuo:
2.
Operación:
5.
Elementos de la división:
5.
Simplificar
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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------------------------

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°11
Hallar el cociente y el residuo de la división dada (𝑥4
− 5𝑥2
+ 12): (𝑥 + 2)
( )𝑥3
− 2𝑥2
− 𝑥 + 2 𝑟 = 8
( ) 𝑥3
+ 𝑥2
− 1𝑥 + 2 𝑟 = 7
( ) 2𝑥3
− 2𝑥2
− 𝑥 𝑟 = 18
Hallar el cociente y el residuo de la división dada (𝑥4
+ 2𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥 − 6): (𝑥 + 3)
( )𝑥3
− 2𝑥2
− 𝑥 + 2 𝑟 = 8
( ) 𝑥3
− 𝑥2
+ 𝑥 − 2 𝑟 = 0
( ) 2𝑥3
− 2𝑥2
− 𝑥 𝑟 = 0
Hallar por simple inspección la división𝑥3
− 4𝑥2
+ 7𝑥 − 6 entre 𝑥 − 2
( )𝑥 + 2 𝑟 = 8
( ) 𝑥 − 4 𝑟 = 0
( ) 𝑥 − 2 𝑟 = 0
Marque con una X según corresponda la respuesta de la división de polinomios :
Hallar por simple inspección la división𝑥3
− 2𝑥2
+ 3 entre 𝑥 + 1
( )𝑥 − 2 𝑟 = 8
( ) 𝑥 − 4 𝑟 = 0
( ) 𝑥 − 12 𝑟 = 0

“CONTINENTAL”
BLOQUE 3:
Matemática Discreta
FICHA N°12:
El Algoritmo de Euclides.
OBJETIVOS:
polinomicas.
 Resolver un sistema de dos ecuaciones polinomicas con las reglas establecidas.
Objetivo Educativo.
M.C.D. de dos polinomios: El algoritmo de Euclides.
Consideremos un polinomio de cualquiera que tiene varios divisores; es decir el polinomio se
puede descomponer como el producto de ciertos factores.
Ahora consideremos dos polinomios que han sido descompuestos en factores. Dichos
polinomios pueden divisores comunes o pueden no tenerlos. Si los polinomios tienen divisores
comunes, se puede hallar el máximo común divisor entre ellos.
Definiciónde máximo común divisor: Entre todos los divisores que son comunes a varios
polinomios existen uno de mayor grado que los demás, al cual se se llama máximo común
divisor de los polinomios dados y se le representa como M.C.D.

“CONTINENTAL”
Determinación del M.C.D
Para encontrar el M.C.D se debe distinguir dos pasos según se trata de monomios o polinomios-
M.C.D de los monomios
Para la determinación del M.C.D. de monomios bastara hallar el máximo común divisor de los
coeficientes y poner a continuación todas las variables afectadas de sus menores exponentes.
Ejemplo:
Hallar el M.C.D. de los monomios 4𝑎2
𝑏4
, 16𝑎3
𝑏𝑐2
𝑑, 36𝑎2
𝑏5
𝑐4
4𝑎2
𝑏4
= 22
𝑎2
𝑏4
16𝑎3
𝑏𝑐2
𝑑 = 24
𝑎3
𝑏𝑐2
𝑑
36𝑎2
𝑏5
𝑐4
= 62
𝑎2
𝑏5
𝑐4
𝑀. 𝐶. 𝐷 = 4𝑎2
𝑏𝑐
M.C.D. de dos polinomios.
Para determinar el M.C.D. de dos polinomios, se debe tener presente los siguientes:
Ejemplo:
Hallar el M.C.D. de los polinomios: 𝑥4
− 5𝑥2
+ 4 𝑦 𝑥3
+ 3𝑥2
− 4𝑥 − 12
𝑥4
− 5𝑥2
+ 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥3
+ 3𝑥2
− 4𝑥 − 12 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
M.C.D.= 𝑥2
− 4
Mínimo Común Múltiplo de polinomios:
Definición de mínimo común múltiplo: Entre todos los múltiplos comunes de varios polinomios existen
uno de menor grado que los demás, que se llama mínimo común múltiplo y se le denota m.c.m.
Se obtiene descomponiendo entre sus factores primos y luego formando el producto de todos
los factores primos diferentes afectados por su mayor exponente.
Ejemplo:
Hallar el M.C.D. de los monomios 4𝑎2
𝑏4
, 16𝑎3
𝑏𝑐2
𝑑, 36𝑎2
𝑏5
𝑐4

“CONTINENTAL”
4𝑎2
𝑏4
= 22
𝑎2
𝑏4
16𝑎3
𝑏𝑐2
𝑑 = 24
𝑎3
𝑏𝑐2
𝑑
36𝑎2
𝑏5
𝑐4
= 62
𝑎2
𝑏5
𝑐4
𝑚. 𝑐. 𝑚. = 24
. 32
. 𝑎3
𝑏5
𝑐4
𝑑
𝑚. 𝑐. 𝑚 = 144𝑎3
𝑏5
𝑐4
𝑑
También se puede determinar el mcm de polinomios:
Hallar el mcm. de los polinomios: 𝑥4
− 5𝑥2
+ 4 𝑦 𝑥3
+ 3𝑥2
− 4𝑥 − 12
𝑥4
− 5𝑥2
+ 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥3
+ 3𝑥2
− 4𝑥 − 12 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
mcm.= (𝑥2
− 4)(𝑥2
− 1)(𝑥 + 3)

“CONTINENTAL”
LECCION N°12
INVESTIGO N°12
Determine el concepto de M.C.D y de mcm. Indique el proceso de realización con un
ejemplo: (10 puntos)
RESUMO N°12
Elabore un mapa conceptual del mcd y mcm de polinomios.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N°12
Máximo:
Mínimo:
Divisor:
Múltiplo:
Divisor.
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--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------
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“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°12
Poner falso o verdadero según corresponda:
1. Máximo común divisor: Entre todos los divisores que son comunes a varios polinomios
existen uno de mayor grado que los demás, al cual se llama máximo común divisor de los
polinomios dados y se le representa como M.C.D.
2. mínimo común múltiplo: Entre todos los múltiplos comunes de varios polinomios existen uno de
menor grado que los demás, que se llama mínimo común múltiplo y se le denota mcm.
3. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división:
Hallar el M.C.D. de los polinomios:
4𝑥3
+ 37𝑥2
+ 34𝑥 − 48 𝑦 4𝑥2
+ 5𝑥 − 6
( )4𝑥2
+ 5𝑥 − 6
( )𝑥2
− 1𝑥 + 2
( ) − 2𝑥2
− 5𝑥 + 4
Hallar el mcm. De
𝑥4
− 5𝑥2
+ 4 𝑦 𝑥3
+ 3𝑥2
− 4𝑥 − 12
( )𝑥3
− 2𝑥2
− 𝑥 + 2
( )𝑥5
+ 3𝑥4
− 5𝑥3
− 15𝑥2
+ 4𝑥 + 12
( )𝑥5
+ 3𝑥4
− 5𝑥3
− 𝑥2
+ 4𝑥 − 1

“CONTINENTAL”
Hallar el mcm. De
4𝑎𝑥2
− 8𝑎𝑥𝑦 + 4𝑎𝑦2
𝑦 6𝑏2
𝑥 − 6𝑏2
𝑦
( ) 12𝑎𝑏2(𝑥 + 𝑦)2
( ) 8𝑎𝑏2(𝑥 − 𝑦)3
( ) 12𝑎𝑏2(𝑥 − 𝑦)2
36𝑎2
𝑏4
, 48𝑎3
𝑏3
𝑐, 60𝑎4
𝑏3
𝑚
( )12𝑎2
𝑏3
( ) − 4𝑎2
𝑏3
( ) − 2𝑎𝑏𝑥2

“CONTINENTAL”
BLOQUE 3:
FICHA N°13:
Ecuaciones Polinómicas
Compuestas.
OBJETIVOS:
polinómicas.
 Realizar las ecuaciones de polinomios en función a los procesos preestablecidos.
 Resolver un sistema de dos ecuaciones polinómicas con las reglas establecidas.
Objetivo Educativo.
Teorema del residuo
Definición: Se denomina ecuación a toda igualdad que solo se satisface para determinados
valores numéricos de ciertas letras que aparecen en ella.
Las letras que representan los números desconocidos se denominan incógnitas y a los números
y letras que acompañan a la incógnita se los llama coeficiente.
Definición: (𝒅𝒆 𝒓𝒂𝒊𝒛 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 )Los valores numéricos que cumplen una
ecuación reciben el nombre de soluciones, ceros o raíces de una ecuación.
Definición: (𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒄𝒂𝒔 )Dado un polinomio 𝑃(𝑥)llamadas ecuaciones
polinómicas a una igualdad de tipo
𝑃(𝑥)=𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
… … … … … … … … . . 𝑎1 𝑥 + 𝑎 𝑜 = 0

“CONTINENTAL”
Definición: (𝒅𝒆 𝒓𝒂𝒊𝒛 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 )Un número se denomina raíz del polinomio
𝑃(𝑥) si se verifica que 𝑃(𝑎 )
Gráficamente, las raíces de un polinomio son las coordenadas 𝑥 de los puntos donde el gráfico de la
función se cruza con el eje 𝑥 𝑃( 𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 5 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎 = −1 𝑦 𝑎 = 2,5 son raíces
de la ecuación polinomial 2𝑥2
− 3𝑥 − 5 = 0 puesto que al sustituirlos en 𝑃(𝑥) se cumple que
𝑃(𝑎) = 0
Para 𝑎 = −1: 𝑃(−1) = 2(−1)2
− 3(−1) − 5 = 0
Para 𝑎 = −1: 𝑃(2,5) = 2(2,5)2
− 3(2,5) − 5 = 0
Como se observa, el gráfico de 𝑃(𝑥) corta el eje x en los
puntos (−1; 0) 𝑦 (2,5; 0)
TEOREMA DEL FACTOR
Definición (𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓)El binomio (𝑥 −
𝑎) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃(𝑥) si exista un polinomio
𝑄(𝑥) tal que 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) 𝑄(𝑥)
El siguiente teorema establece que se puede determinar si
un polinomio tiene
a(𝑥 − 𝑎) 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 mediamente la evaluación del polinomio en 𝑥 = 𝑎
Teorema(𝒅𝒆𝒍 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓)El polinomio 𝑃(𝑥) tiene como factor a (𝑥 − 𝑎) si al evaluarlo es 𝑥 = 𝑎
resulta que 𝑃(𝑎) = 0
Ejemplo: divisibles: 1,-1,2,-1,4,-4,8,-8 debe quedar el residuo cero
Es 𝑥 − 1 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥3
+ 5𝑥2
+ 2𝑥 − 8
Solución: 𝑃(𝑥) = 𝑥3
+ 5𝑥2
+ 2𝑥 − 8, entonces
𝑃(1) = (1)3
+ 5(1)2
+ 2(1) − 8
𝑃(1) = 1 + 5 + 2 − 8 = 0

“CONTINENTAL”
Para determinar 𝑄(𝑥) empleamos la división sintética
1 5 2 − 8 1
1 6 8
1 6 8 0
Por lo tanto 𝑄(𝑥) = 𝑥2
+ 6𝑥 + 8

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N°13
INVESTIGO N°13
Determine el concepto de M.C.D Indique el proceso de realización con un ejemplo
Determine el concepto de M.C.M Indique el proceso de realización con un ejemplo.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
RESUMO N°13
GLOSARIO N°13
Máximo:
Mínimo:
Divisor:
Múltiplo:
Divisor.

“CONTINENTAL”
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------
--------------------
CUESTIONARIO N°13
4𝑥3
+ 37𝑥2
+ 34𝑥 − 48 𝑦 4𝑥2
+ 5𝑥 − 6
( )4𝑥2
+ 5𝑥 − 6
( )𝑥2
− 1𝑥 + 2
( ) − 2𝑥2
− 5𝑥 + 4

“CONTINENTAL”
Hallar el mcm. De 𝑥4
− 5𝑥2
+ 4 𝑦 𝑥3
+ 3𝑥2
− 4𝑥 − 12
( )𝑥3
− 2𝑥2
− 𝑥 + 2
( )𝑥5
+ 3𝑥4
− 5𝑥3
− 15𝑥2
+ 4𝑥 + 12
( )𝑥5
+ 3𝑥4
− 5𝑥3
− 𝑥2
+ 4𝑥 − 1
Hallar el mcm. De 4𝑎𝑥2
− 8𝑎𝑥𝑦 + 4𝑎𝑦2
𝑦 6𝑏2
𝑥 − 6𝑏2
𝑦
( ) 12𝑎𝑏2(𝑥 + 𝑦)2
( ) 8𝑎𝑏2(𝑥 − 𝑦)3
( ) 12𝑎𝑏2(𝑥 − 𝑦)2
Hallar el M.C.D. de los polinomios: 36𝑎2
𝑏4
, 48𝑎3
𝑏3
𝑐, 60𝑎4
𝑏3
𝑚
( )12𝑎2
𝑏3
( ) − 4𝑎2
𝑏3
( ) − 2𝑎𝑏𝑥2

“CONTINENTAL”
BLOQUE 3:
FICHA N°14:
Graficación de Polinomios
OBJETIVOS:
polinómicas.
 Resolver un sistema de dos ecuaciones polinómicas con las reglas establecidas.
Objetivo Educativo.
GRAFICACION DE POLINOMIOS
No hay reglas que permitan la construcción de los gráficos de polinomiales, ya que dependen
del grado que tengan los polinomios; sin embargo es posible tener una idea de como es el
gráfico de in polinomio si nos valemos de las raíces y el criterio de coeficiente principal.
Criterio de Coeficiente principal: Nos permite describir el comportamiento del grafico de u
polinomio cuando la variable toma valores grades en direcciones positivas o negativas,
utilizando únicamente el signo de coeficiente principal y el grado de polinomio.
La notación flecha: Para describir el comportamiento de los polinomios cuando la variable toma
valores altos en direcciones positivas o negativas usamos la siguiente notación:

“CONTINENTAL”
𝑥 → ∞ Se lee: toma valores grandes en direcciones positivas.
𝑥 → −∞ Se lee: toma valores grandes en direcciones negativas.
𝑓(𝑥) = 𝑥2
−∞ → 0 → ∞ 𝑥 → −∞𝑦 → ∞
𝒚 = 𝒙 𝟑
−∞ → 𝑦 → ∞ 𝑥 → −∞𝑦 → ∞

“CONTINENTAL”
Si n es impar:
 𝑆𝑖𝑎 𝒏 > 0el grafico es decreciente a la izquierda y a la derecha creciente es decir, cuanto
𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → −∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → ∞
 𝑆𝑖𝑎 𝒏 < 0, el grafico es creciente a la izquierda y decreciente a la derecha, es decir
cuando 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → −∞ y cuando 𝑥 → ∞, 𝑃(𝑥) → −∞
Si n es par y
 Si 𝑎 𝑛 > 0, el grafica es creciente a la izquierda y creciente a la derecha, es decir, cuando
𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → ∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → −∞

“CONTINENTAL”
Ejemplo:
1. 𝑷(𝒙) = 𝒙 𝟑
+ 𝟑𝒙
Solución Aquí, 𝑛 = 3 𝑦 𝑎 𝑛 = −1
Como el grado del polinomio es impar y 𝑎 𝑛es negativo, el gráfico a la izquierda decreciente a la
derecha-
 Cuando 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → ∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → −∞
2. 𝑷(𝒙) =
𝟑
𝟒
𝒙 𝟒
+ 𝟓𝒙 𝟑
+ 𝟐𝒙 − 𝟏𝟕
Solución: 𝑛 = 4 𝑦 𝑎 𝑛 =
3
4
El grado del polinomio es par y 𝑎 𝑛es positivo, el gráfico es creciente a la izquierda creciente a
la derecha-
 Cuando 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → ∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → −∞
3.
𝟏
𝟕
𝒙 𝟓
+ 𝒙 𝟒
− 𝟐𝟒
Solución: 𝑛 = 5 𝑦 𝑎 𝑛 =
1
7
El grado del polinomio es impar y 𝑎 𝑛es positivo, el gráfico es decreciente a la izquierda
creciente a la derecha.
 Cuando 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → −∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → ∞

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N°14
INVESTIGO N°14
Determine el concepto de M.C.D y de mcm. Indique el proceso de realización con un
ejemplo:
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
RESUMO N°14
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N°14
Máximo:______________________________________________________________________________________________
Mínimo: ______________________________________________________________________________________________
Divisor: _______________________________________________________________________________________________
Múltiplo:______________________________________________________________________________________________
Divisor._______________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
CUESTIONARIO N°14

“CONTINENTAL”
Hallar el M.C.D. de los polinomios: 4𝑥3
+ 37𝑥2
+ 34𝑥 − 48 𝑦 4𝑥2
+ 5𝑥 − 6
( )4𝑥2
+ 5𝑥 − 6
( )𝑥2
− 1𝑥 + 2
( ) − 2𝑥2
− 5𝑥 + 4
Hallar el mcm. De 𝑥4
− 5𝑥2
+ 4 𝑦 𝑥3
+ 3𝑥2
− 4𝑥 − 12
( )𝑥3
− 2𝑥2
− 𝑥 + 2
( )𝑥5
+ 3𝑥4
− 5𝑥3
− 15𝑥2
+ 4𝑥 + 12
( )𝑥5
+ 3𝑥4
− 5𝑥3
− 𝑥2
+ 4𝑥 − 1
Hallar el mcm. De 4𝑎𝑥2
− 8𝑎𝑥𝑦 + 4𝑎𝑦2
𝑦 6𝑏2
𝑥 − 6𝑏2
𝑦
( ) 12𝑎𝑏2(𝑥 + 𝑦)2
( ) 8𝑎𝑏2(𝑥 − 𝑦)3
( ) 12𝑎𝑏2(𝑥 − 𝑦)2
Hallar el M.C.D. de los polinomios: 36𝑎2
𝑏4
, 48𝑎3
𝑏3
𝑐, 60𝑎4
𝑏3
𝑚
( )12𝑎2
𝑏3
( ) − 4𝑎2
𝑏3
( ) − 2𝑎𝑏𝑥2

“CONTINENTAL”
BLOQUE 3:
FICHA N°15:
Funciones
Trigonométricas
OBJETIVOS:
Aprender y analizar problemas que ameriten una solución múltiple por los métodos
trigonométricos analizados, aplicación de las herramientas de triángulos rectángulos y
aplicación general de teoremas.
 Resolver triángulos rectángulos aplicando el teorema de Pitágoras
 Aprender de las funciones trigonométricas.
 Resolver ejercicios por el método de las funciones trigonométricas.
 Aplicar la ley se senos a triángulos no rectángulos.
 Aplicar la ley del coseno para resolver triángulos no rectángulos.
Objetivo Educativo.
Concepto de función trigonométrica
Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la
aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que
ha de estar expresada en radianes.
Las gráficas de las funciones trigonométricas poseen propiedades matemáticas muy
interesantes como máximo, mínimo, asíntotas verticales, alcance y periodo entre otras.
Al establecer relaciones entre dos conjuntos mediante las funciones trigonométricas se
establecen relaciones como y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x). La
expresión en el paréntesis se denomina argumento de la función (dominio) mientras que y
representa el alcance.

“CONTINENTAL”
Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre el eje de x,
tienen la característica de repetirse por intervalos. Esto significa que cada cierta cantidad de
radianes, una parte de la gráfica de la función es la misma (periodo). La extensión sobre el eje
de y se conoce como alcance. “El modelo de las gráficas de las funciones trigonométricas se
obtiene evaluando la función para ángulos que forman una revolución completa”.
Gráfica de la Función Seno del ángulo
El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos
del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función seno del
ángulo utiliza la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función seno del
ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la
circunferencia unitaria y la gráfica de la función seno del ángulo x. Esta figura muestra el
desarrollo de la gráfica de la función seno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.
Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica.
Veamos las características de la gráfica de la función y=sen(x).
 Su dominio es el conjunto de números reales
 Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta
los números menores o iguales que uno.
 Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).
 El eje de x será el eje de referencia.
 El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (
π
2
,1).
 El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (
3π
2
,-1).
 Su periodo es 2π.

“CONTINENTAL”
Gráfica de la Función Coseno del ángulo
El modelo de la gráfica de la función coseno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos
del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función coseno del
ángulo utiliza la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función coseno del
ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la
circunferencia unitaria y la gráfica de la función coseno del ángulo x. Esta figura muestra el
desarrollo de la gráfica de la función coseno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.
Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica.
Veamos las características de la gráfica de la función y=cos(x).
 Su dominio es el conjunto de números reales
 Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta
los números menores o iguales que uno.
 El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0,1) y (2π,1).
 El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π,-1).
 Su periodo es 2π.

“CONTINENTAL”
Gráfica de la Función Tangente del ángulo.
El modelo de la gráfica de la función tangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos
del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función tangente
del ángulo es el cociente de la y y la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de
la función tangente del ángulo comienza en -π/2 y termina en π/2. En la figura de la derecha se
observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función tangente del ángulo
x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función tangente del ángulo x a partir de
la circunferencia unitaria.
Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de
la gráfica de esta función.
 Su dominio es toda x≠π/2±nπ.
 Su alcance es el conjunto de todos los números reales.
 Las asíntotas del ciclo fundamental son x=±π/2.
 Su periodo es π.

“CONTINENTAL”
Gráfica de la Función Cotangente del ángulo
El modelo de la gráfica de la función cotangente del ángulo se puede obtener transfiriendo
puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función
cotangente del ángulo es el cociente de la x y la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo
fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π. En la figura de
la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función
cotangente del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cotangente
del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.
Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de
la gráfica de esta función.
 Su dominio es toda x≠±nπ.
 Su alcance es el conjunto de todos los números reales.
 No tiene intercepto en el eje de y.
 Las asíntotas del ciclo fundamental son x=±nπ.
 Su periodo es π.

“CONTINENTAL”
Propiedades de las funciones trigonométricas
Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden
resaltarse las siguientes:
 Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el
periodo de las funciones seno y coseno es 2π y el de la función tangente es π.
 Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números
reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
 Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el
intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
 Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x;
tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.
ECUACIÓN GENERAL DEL SENO
f(x)= y = A sin[ω(x-α)] + C
 La línea base (el punto medio de oscilación)
 A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base)
 C = desplazamiento vertical = coordenada y de la línea base
 P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente)
 ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2
 α = desplazamiento de faso Esta es la distancia horizontal del eje y al primero punto
donde la gráfica cruza la línea base.
ECUACIÓN GENERAL DEL COSENO
f(x)= y = A cos[ω(x - α)] + C
 A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).
 C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
 P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).
 ω es la frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω.
 α es el desplazamiento de faso.

“CONTINENTAL”
EJEMPLOS

“CONTINENTAL”
FICHA N°15
INVESTIGO N°15
Investigue comportamiento de las funciones trigonométricas cosecante, secante, cotangente.
Graficar las funciones.
1.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
RESUMO N°15
Resuma las propiedades de las funciones trigonométricas.
1.
GLOSARIO N°15
Función seno: _______________________________________________________________
Función coseno:________________________________________________________________
Función tangente:______________________________________________________________
Radianes:______________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°15
Grafique la función y= 2sen(x) + 3.
Determine las transformaciones efectuadas.
2.
Determine las transformaciones efectuadas a la función original.
y=3cos(x)+3
1.

“CONTINENTAL”
Bosqueje la gráfica de f(x) = 3 sen(6x)
1.
Graficar la función h(x) = cos(2x + π)
1.

“CONTINENTAL”
BLOQUE 4:
Probabilidad y
Geometría
FICHA N°16:
Transformaciones y
Desplazamientos.
OBJETIVO:
Comprender las diferentes identidades trigonométricas que existen y su aplicación para
resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones y sus formas de
gráficas.
Criterios de aprendizaje:
 Aprender a resolver ejercicios en los cuales sean necesarias las identidades
trigonométricas para su resolución.
 Aprender la correcta aplicación de las identidades trigonométricas.
Objetivo Educativo.
Las gráficas de las siguientes funciones f(x)=x, f(x)=x2 y f(x)=‫׀‬x‫׀‬ las conocemos. Cada una de ellas
tiene una forma particular y sabemos cual es su forma general. En algunas ocasiones se nos
pedirá trazar la gráfica de funciones parecidas a otras que ya conocemos. Estas se dibujan
utilizando técnicas aplicadas a los modelos gráficos de cada función. Estas transformaciones
afectan la forma general de la gráfica de cada función. Las traslaciones, reflejos y las
expansiones - compresiones son las transformaciones a estudiar.
Desplazamientos (Traslaciones)
Las traslaciones son transformaciones que cambian la posición de la gráfica de una función. La
forma general de la gráfica de una función se traslada hacia arriba, abajo, a la derecha o a la
izquierda. Las traslaciones son consideradas transformaciones rígidas. Ahora veremos como se
realizan estas.

“CONTINENTAL”
Traslaciones verticales
Suponga que k > 0
Para graficar y=f(x)+k, desplace la gráfica de k unidades hacia arriba.
Para graficar y=f(x)-k, desplace la gráfica de k unidades hacia abajo.
Traslaciones horizontales
Suponga que h > 0
Para graficar y=f(x-h), desplace la gráfica de h unidades hacia la derecha.
Para graficar y=f(x+h) desplace la gráfica de h unidades hacia la izquierda.

“CONTINENTAL”
Expansiones y compresiones verticales
Para graficar 𝐲 = 𝐚 ∗ 𝐟(𝐱)
Si a>1, la gráfica de y=f(x) se expande verticalmente por un factor a. (Se alarga la función).
Si 0<a<1, la gráfica de y=f(x) se comprime verticalmente por un factor a. (Se encoge la
función)
ECUACION GENERAL DEL SENO
f(x)= y = A sin[ω(x-α)] + C
 A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base)
 C = desplazamiento vertical = coordenada y de la línea base
 P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente)
 ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2
 α = desplazamiento de faso Esta es la distancia horizontal del eje y al primero punto
donde la gráfica cruza la línea base.
ECUACION GENERAL DEL COSENO
f(x)= y = A cos[ω(x - α)] + C
 A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).
 C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
 P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).
 ω es la frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω.
 α es el desplazamiento de faso.

“CONTINENTAL”
LECCION N°16
INVESTIGO N°16
Investigue 3 transformaciones trigonométricas que no se han visto en la ficha.
1.
RESUMO N°16
Haga un resumen de las distintas transformaciones y como se aplican:
1.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N°16
Amplitud: _____________________________________________________________________
Ángulo doble: __________________________________________________________________
Expande: ______________________________________________________________________
Compresión: ___________________________________________________________________
Traslación Horizontal: ___________________________________________________________
Traslación Vertical: _____________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
CUESTIONARIO N°16
y= 2sen(3x-4) + 6
1.

“CONTINENTAL”
Determine las transformaciones efectuadas empezando desde la función original.
y= 3cos(x-4) + 5
1.
Transformar la función
Cos(x) a  -2Cos(3x/2)+1
1.

“CONTINENTAL”
BLOQUE 4:
Probabilidad y
Geometría
FICHA N°17:
Identidades
Trigonométricas.
OBJETIVO:
Comprender las diferentes identidades trigonométricas que existen y su aplicación para
resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones y sus formas de
gráficas.
 Aprender a resolver ejercicios en los cuales sean necesarias las identidades
trigonométricas para su resolución.
Objetivo Educativo.
Las identidades trigonométricas son formas en se relacionan las diferentes funciones
trigonométricas entre si, las funciones trigonométricas tienen estas relaciones debido a que
todas parten de la circunferencia, y por tanto con demostraciones de triángulos se pueden
demostrar la igualdad de ciertas funciones.
La base del estudio de este inciso está en las siguientes 11 fórmulas que a continuación se van a
deducir, llamadas fórmulas trigonométricas.
Se parte de las definiciones elementales (las cuales se estudiaron en la secundaria) de cada una
de las funciones trigonométricas, referidas a la figura 31.

“CONTINENTAL”

“CONTINENTAL”
Fórmulas trigonométricas
sen² α + cos² α = 1
sec² α = 1 + tg² α
cosec² α = 1 + cotg² α
EJEMPLOS

“CONTINENTAL”
Ecuaciones trigonométricas

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N°17
INVESTIGO N°17
Investigue 3 identidades trigonométricas que no se han visto en la ficha.
2.
RESUMO N°17
Haga un resumen de las distintas funciones trigonométricas y como se aplican
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N°17
Ángulo suma
Ángulo doble
3.
Ángulo mitad
1.
Igualdad:
Identidad trigonométrica:
3.

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°17
Resolver los siguientes ejercicios de identidades trigonométricas

“CONTINENTAL”

“CONTINENTAL”
BLOQUE 4:
Probabilidad y
Geometría
FICHA N°18:
Generalidades y
Aplicaciones.
OBJETIVO:
Comprender y aplicar las diferentes fórmulas de la geometría analítica que existen y su
aplicación para resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones
y sus formas de gráficas.
 Aprender a calcular la distancia entre elementos puntuados.
 Relación entre la geometría analítica y la trigonometría.
 Aprender a calcular los distintos parámetros de las ecuaciones y sus graficas
 Distancia en geometría.
Objetivo Educativo.
Distancia entre Puntos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia
entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia
entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

“CONTINENTAL”
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda
determinada por la relación:
Distancia de un punto a una recta.
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde
el punto.

“CONTINENTAL”

“CONTINENTAL”
Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.
m1=m2
Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de
signo.
m1*m2=-1

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N°18
INVESTIGO N°18
Investigue tipos de rectas y la relación de sus pendientes.
4.
Investigue la fórmula para calcular la distancia entre dos rectas paralelas.
1.
Investigue la fórmula para calcular la distancia entre un ponto y una recta.
1.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
RESUMO N°18
Haga un resumen de las tipos de rectas
1.
GLOSARIO N°18
Paralelo: ______________________________________________________________________
Ortogonal:_____________________________________________________________________
Perpendicular:__________________________________________________________________
Pendiente:_____________________________________________________________________
Formulación:___________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°18
Resolver los siguientes ejercicios
Determinar la distancia entre los puntos P1(-1; -3) y P2(4;-3) , su pendiente y ecuación de la
recta.
1.
Dado los vertices del triangulo
P1(-1;2) P2(3;-2) P3(2;1)
Grafique los tres puntos y trace el triangulo, determine las distancias de sus lados y el
perimetro.
2.

“CONTINENTAL”
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1(-2;1) , y es paralela a la ecuación
x-y=-2
1.
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1(-3;2) , y es paralela a la ecuación
x - y= 2
1.

“CONTINENTAL”
BLOQUE 4:
Probabilidad y
Geometría
FICHA N°19:
La Parábola
Objetivos:
Estudiar la ecuación cuadrática, determinar su gráfica y sus comportamientos en el plano
cartesiano.
 La ecuación cuadrática y su método de resolución de la misma, de igual manera que tipo
de grafica representa la ecuación cuadrática en el plano.
 Curvatura y solución de sistemas cuadráticos
 Punto vértice y recorridos.
Objetivo Educativo.
La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella
ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero.
Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene
una ecuación lineal o de primer orden)
El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos
soluciones que son precisamente las que se generan con el signo “+” y “-“ de la x que se obtuvo
Lo que para determinar la solución al sistema de ecuaciones cuadráticas nos da una función
más conocida como la “ fórmula general ” la misma que será de gran ayuda para determinar la
respuesta del sistema de funciones.

“CONTINENTAL”
De esta manera se tiene
Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí
Si las dos raíces son reales e iguales
Si las dos raíces son complejas conjugadas
Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.
x -1 0 1 2 3 4
f(x) 0 -3 -4 -3 0 5
Completando la gráfica obtengo:

“CONTINENTAL”
La intersección de rectas y parábolas
Determine los puntos donde las curvas se intersecan
La intersección se da en (1,1) y (-2,2)

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N° 19
INVESTIGO N° 19
Investigue todo concerniente a la parábola
1.
RESUMO N° 19
Haga un mapa conceptual acerca de cómo se utiliza la ecuación del teorema fundamental del
algebra
2.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N° 19
Vértice:
Ecuación cuadrática:
6.
Eje focal:
2.
Parábola:
6.
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado
3.

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°19
Resuelva las ecuaciones cuadráticas con la ecuación de la forma a𝒙 𝟐
+ bx + c=0
3𝑥2
− 𝑦 = 9
2𝑥2
− 3𝑦 = 12

Grafiqué la ecuación dada:
2𝑥2
− 3𝑦 = 12


“CONTINENTAL”
Grafiqué la ecuación dada:
2𝑥2
− 3𝑦 = 4
Encuentre los puntos en que se cruzan las curvas:
3𝑥2
− 𝑦 = 9
𝑥 − 𝑦 = 3


“CONTINENTAL”
BLOQUE 4:
Probabilidad y
Geometría
FICHA N°20:
Las Cónicas
Objetivos:
Ampliar el estudio de la Geometría Plana, además estudiar la ecuación cuadrática, determinar
su gráfica y sus comportamientos en el plano cartesiano.
 Analizar las gráficas de las secciones cónicas
 Análisis de la circunferencia
 Análisis de la elipse
 Análisis de la hipérbola.
Objetivo Educativo.
La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis
matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico
comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría
diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la
ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de
estrategias y logística en la toma de decisiones.
Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar
geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.

“CONTINENTAL”
Secciones cónicas
LA PARÁBOLA
Es el lugar geométrico de todos los puntos
que equidistan de un punto fijo llamado
foco y de una recta fija llamada directriz.
Una parábola (figura A) cuyo eje de
simetría sea paralelo al eje de abscisas se
expresa mediante la ecuación:
LA CIRCUNFERENCIA
Se distingue del círculo en que éste es el
lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada.
Elementos de la circunferencia:
 Radio, El radio de una circunferencia es el segmento
que une el centro de la circunferencia con un punto
cualquiera de la misma.
 Diámetro, El diámetro de una circunferencia es el
segmento que une dos puntos de la circunferencia y
pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio.
El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia
dividida por π;
 Tangente, es la línea que toca a la circunferencia en un
sólo punto;
𝑨𝒓𝒆𝒂 = 𝟐𝝅𝒓 𝟐
𝒅𝒊𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 = 𝟐𝒓
Ecuacion de la circunferencia con centro en el origen.
Ecuación de la circunferencia con centro en el punto (h; k) y
radio “r”

“CONTINENTAL”
La elipse
Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos
llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los
vértices.
La hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus
distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a
la distancia entre los vértices.

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N°20
INVESTIGO N°20
Investigue que es la recta tangente a la circunferencia y hacer un gráfico.
2.
Investigue que es el foco de una parábola y grafique.
1.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
RESUMO N°20
Realice un resumen sobre las secciones Cónicas. (Use regla y compas)
2.
GLOSARIO N°20
Radio:________________________________________________________________________
Recta Secante:__________________________________________________________________
Directriz: ______________________________________________________________________
Eje focal: ______________________________________________________________________
Recta tangente. :________________________________________________________________
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO Nº20
Determinar los puntos de intersección de las dos ecuaciones.
y = x2
– 5x – 3
y = –2x2
+ 4x – 1

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2;3)
y es perpendicular a la ecuación 2x-6y=4


“CONTINENTAL”
Determine la grafica (𝒙 − 𝟑) 𝟐
+ (𝒚 − 𝟒) 𝟐
= 𝟗
Identifique:
El punto del centro:
El diámetro:
El Área de la gráfica:
 ( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7
Determine el radio de la circunferencia con centro en el punto (-2;-3) y a su vez tiene una
recta tangente -x + y = 2, grafique la recta

“CONTINENTAL”
Matemática Segundo Año de Bachillerato 152

Modulo matematica 2

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