Ángulos y Trigonometría
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El documento aborda la clasificación de ángulos, diferenciando entre ángulos convexos y cóncavos, así como sus características según su amplitud, posición relativa, suma y orientación. También se describe el sistema de medición de ángulos sexagesimal y se introduce la trigonometría, que estudia la relación entre lados y ángulos de un triángulo. Se presentan las razones trigonométricas fundamentales en un triángulo rectángulo, que dependen únicamente del ángulo considerado.
Ángulos y Trigonometría
- 2. Ángulos (Sectores Angulares) Convexos Diremos que un subconjunto del plano П es un ángulo (sector angular) convexo si es: • П (ángulo total) • una semirrecta (ángulo nulo)
- 3. • un semiplano (ángulo llano) • la intersección de dos semiplanos con bordes que se cortan en único punto.
- 4. Ángulos (Sectores Angulares) Cóncavos Denominaremos Ángulo (Sector Angular) Cóncavo a la unión de dos semiplanos que tienen por bordes a rectas que se cortan en un único punto. Ángulos (Sectores Angulares) Llamaremos Ángulo (Sector Angular) a cualquier ángulo (sector angular) convexo o cóncavo. Diremos que las semirrectas contenidas en los bordes de los semiplanos y que pertenezcan a la intersección ( o que pertenezcan a la unión y no a la intersección) son los Lados del ángulo y el punto de intersección de las semirrectas lo llamaremos Vértice del ángulo.
- 5. Clasificación de Ángulos Según su amplitud: • Nulo • Agudo • Recto
- 6. • Obtuso • Llano • Completo
- 7. Según su posición relativa: • Consecutivos: son aquellos que tienen el vértice y un lado en común. • Adyacentes: son aquellos que son consecutivos y forman un ángulo llano.
- 8. • Opuestos por el vértice: son aquellos que tienen el vértice en común y los lados son semirrectas opuestas. Según su suma: • Complementarios: son aquellos cuya suma de sus amplitudes es un recto (90°).
- 9. • Suplementarios: son aquellos cuya suma de sus amplitudes es un llano (180°). Según su orientación: • Positivo: es el ángulo generado por la rotación, en sentido contrario a las agujas del reloj, de la semirrecta or hacia la posición de la os.
- 10. • Negativo: es el ángulo generado por la rotación, en sentido de las agujas del reloj, de la semirrecta os hacia la posición de la or. Sistema de medición de Ángulos: Sistema Sexagesimal La unidad de medida de este sistema es el Grado Sexagesimal (1°), equivalente a la noventa ava parte del ángulo recto. 1°= 1 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 90 → 1 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 90° El grado sexagesimal admite como submúltiplos: el Minuto (1′) y el Segundo (1″) Sexagesimales. El minuto es la sesenta ava parte del grado y el segundo es la sesenta ava parte del minuto.
- 11. Minuto Sexagesimal Segundo Sexagesimal 1′= 1° 60 → 1° = 60′ 1″= 1′ 60 → 1′ = 60″ Trigonometría La trigonometría se ocupa, principalmente de estudiar la relación entre lados y ángulos de un triángulo, surgió por necesidades de la astronomía, la cartografía, la navegación, etc. Etimológicamente significa “medidas de triángulos” y consiste en relacionar y hacer cálculos con las medidas de los lados y ángulos de un triángulo. Razones Trigonométricas Sea ABC un triángulo rectángulo
- 12. en el que consideramos el ángulo β, la hipotenusa b, el cateto c opuesto a β y el cateto a adyacente a β. Llamamos seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante del ángulo β a las siguientes razones o cocientes: 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛽 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑏 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑎 𝑏 𝑠𝑒𝑐𝛽 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑏 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝛽 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑐 𝑎 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛽 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑎 𝑐 Estos cocientes reciben el nombre de ″Razones Trigonométricas″ y dependen sólo del ángulo y no del triángulo rectángulo con el que estemos trabajando.
- 13. En la resolución de triángulos rectángulos se utilizan las razones trigonométricas de los ángulos agudos y se puede presentar que tengamos como datos: La hipotenusa y un ángulo agudo Un cateto y un ángulo agudo Dos catetos Un cateto y la hipotenusa.