Número aureo.3.12 (3)
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Este documento presenta una investigación sobre el número áureo y la serie de Fibonacci. Explica que el número áureo es una constante matemática que se encuentra en la naturaleza y en obras de arte y arquitectura. También describe la serie de Fibonacci, en la que cada número es la suma de los dos anteriores. Muestra imágenes de cómo estas matemáticas se reflejan en la naturaleza y explica la relación entre el número áureo y la serie de Fibonacci. Concluye que estas ideas matemáticas están presentes no solo en la escuela
![Relación entre el número o proporción divina o de oro
o aurea.
Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número de
Fibonacci, como F(n+1) descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón
oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos
también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce
siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la
fracción. Por ejemplo:
3/2 = 1.5, 8/5 = 1.6, y 21/13 = 1.61538461..., lo que se acerca considerablemente
al número áureo. Entonces se tiene que:
> φ = 1+1/(1+1/(1+1/1+..... = lim[n→∞] F(n+1) / Fn = Φ
Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo aleman Johannes Kepler, sin
embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el
matemático inglés Robert Simson.
A mediados del siglo XIX el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet
redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler,
y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar
el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números
anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:
>Fn = 1/√5[ ((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n ] = 1/√5[ Φ^n - (-1/Φ)^n ]
Imágenes de la relación de este número con la
naturaleza y otras aplicaciones.
Flor del girasol, 55 espirales en un sentido y El largo de tus falanges también respeta
89 en el otro, o bien 89 y 144 respectivamente.a sucesión de Fibonacci.](https://image.slidesharecdn.com/nmeroaureo-3-123-121024205418-phpapp01/85/Numero-aureo-3-12-3-6-320.jpg)
Número aureo.3.12 (3)
- 1. Escuela: Secundaria Técnica no. 118 Profesor: Luis Miguel Villareal Matías. Nombre: Pedro Mauricio Becerril Torres. Materia: Matemáticas III. Investigación de los temas: “Numero Áureo o Proporción Aurea y Serie de Fibonacci” Grado y Grupo:”3°B”
- 2. “Índice” 1. Portada…………………………..…………………………………………………pág.1 2. Índice…………………………...…………………………………………………..pág.2 3. Introducción………………………………………………………………………..pág.3 4. Contenido…………………………………………………………………………..pág.4 5. Actividad……………………………………………………………………...…….pág.5 6. Conclusión………………………………………………………………………...pág. 6 7. Bibliografía………………………………………………………………………....pág.7
- 3. “Introducción” En este trabajo trataremos 2 temas de gran importancia en la rama de las matemáticas los cuales son “La Serie de Fibonacci” y el número áureo o proporción aurea o número de oro o proporción de oro proporción divina o número divino y su relación entre ellos, además se mostraran imágenes de la relación de este número o proporción con la naturaleza y otras aplicaciones. Por otro lado también se mostrara el rectángulo o triángulo representando dentro la espiral aurea o de oro o divina.
- 4. Numero áureo. Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como "unidad" sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc. Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología. El número áureo, también conocido como "número de oro" o "divina proporción", es una constante que percibimos a diario, aunque apenas nos demos cuenta. Aparece en las proporciones de edificios, cuadros, esculturas, e incluso en el cuerpo humano. Un objeto que respeta la proporción marcada por el número áureo transmite a quien lo observa una sensación de belleza y armonía. Veamos un poco más en qué consiste. El número áureo es el punto en que las matemáticas y el arte se encuentran. Existen en matemáticas tres constantes que son definidas con una letra griega: p=(3,14159…). Pi, es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. e=(2,71828…) e, es el límite de la sucesión de término general (1+1/n)^n. e es el único número real cuyo logaritmo natural es 1. F= (1,61803…). Phi, el número de oro. Matemáticamente hablando, podemos definirlo como aquel número al que, tanto si le sumamos uno como si lo elevamos al cuadrado, sale el mismo resultado. Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). Todos ellos son, por tanto, números irracionales. Se llama "Phi" en honor al escultor griego Fidias, que ya lo aplicaba en sus creaciones. El número áureo era conocido en la antigua Grecia y se utilizó para establecer las proporciones de las partes de los templos. Por ejemplo, la planta del
- 5. Partenón es un rectángulo en el que la relación entre el lado menor y el lado mayor es el número áureo. Esta misma proporción está presente en las tarjetas de crédito actuales, entre otras. Serie de Fibonacci. La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números que, empezando por la unidad, cada uno de sus términos es la suma de los dos anteriores (1,1,2,3,5,8,13,...). Resulta sorprendente que una construcción matemática como esa aparezca recurrentemente en la naturaleza. La distribución de las hojas alrededor del tallo, la reproducción de los conejos o la disposición de las semillas en numerosas flores y frutos se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números. ¿Se trata de una simple casualidad, o existe alguna especie de “plan oculto” que vincula las matemáticas con la naturaleza? Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Esto, en castellano, quiere decir que es una serie de números que se genera aplicando determinadas reglas. De hecho, es muy sencillo imaginar una sucesión de números, y existen infinitas de ellas. Sin embargo, algunas son más “famosas” que otras. Por lo general, se intenta que las leyes que dan lugar a la sucesión sean lo más simple y claras posibles. Leonardo de Pisa (1170 - 1250), también conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano que se hizo famoso al difundir en Europa el sistema de numeración que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo (el cero) que usamos en la actualidad. Leonardo también ideó una sucesión de números que lleva su nombre, la llamada “sucesión de Fibonacci”. Se trata de una sucesión muy simple, en la que cada término es la suma de los dos anteriores. La sucesión comienza por el número 1, y continua con 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584..., ya que 1 = 0+1; 2=1+1; 3= 1+2; 5=2+3; 8=3+5; 13=5+8=; 21=8+13... etc. Los números de Fibonacci, otro de los nombres que recibe este grupo de valores, poseen varias propiedades interesantes. Quizás una de las más curiosas, es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima a la denominada “razón dorada”, “sección áurea” o “divina proporción”. Este número, descubierto por los renacentistas, tiene un valor de (1+ raíz de 5)/2 = 1.61803..., y se lo nombra con la letra griega Phi. La sucesión formada por los cocientes (resultados de la división) de números de Fibonacci consecutivos converge, rápidamente, hacia el número áureo. Los griegos y renacentistas estaban fascinados con este número, ya que lo consideraban el ideal de la belleza. Un objeto que tuviese una proporción (por ejemplo, entre el alto y el ancho) que se ajustase a la sección áurea era estéticamente más agradable que uno que no lo hiciese.
- 6. Relación entre el número o proporción divina o de oro o aurea. Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número de Fibonacci, como F(n+1) descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: 3/2 = 1.5, 8/5 = 1.6, y 21/13 = 1.61538461..., lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que: > φ = 1+1/(1+1/(1+1/1+..... = lim[n→∞] F(n+1) / Fn = Φ Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo aleman Johannes Kepler, sin embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson. A mediados del siglo XIX el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo: >Fn = 1/√5[ ((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n ] = 1/√5[ Φ^n - (-1/Φ)^n ] Imágenes de la relación de este número con la naturaleza y otras aplicaciones. Flor del girasol, 55 espirales en un sentido y El largo de tus falanges también respeta 89 en el otro, o bien 89 y 144 respectivamente.a sucesión de Fibonacci.
- 7. El número de conejos coincide con cada Las piñas poseen un número de espirales que coincide con uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.dos términos de la sucesión de los números de Fibonacci. Las margaritas acomodan sus semillas en forma de 21 y 34 espirales.Las hojas nacen siguiendo una espiral alrededor del tallo.
- 8. “Conclusión” Con esto pude aprender que el número áureo y la serie de Fibonacci no solo se encuentran en los estudios o en la escuela sino también en la vida cotidiana en las plantas, flores, frutas, edificios (antiguos y actuales), tarjetas de crédito, en la reproducción, animales y en la galaxia aunque ya no sea de la vida diaria. Esto comprueba que sin las matemáticas ni siquiera podríamos existir, ellas son nuestros cimientos, nuestros pilares y nuestro futuro.
- 9. “Actividad”