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- 1. Números complejos José Luis Galoppo FECF y N – Universidad Nacional de Córdoba 2020
- 2. Definición. Justificación de su existencia • Los números complejos surgen para dar respuesta a ecuaciones del tipo: • En particular, si n=1, tenemos: • Así surge el número imaginario: 𝑥2 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = −1 𝑖 = −1 𝑥2 + 𝑛 = 0
- 3. Algunas observaciones que surgen de la definición del número imaginario, y de las propiedades de los exponentes:
- 4. Con esta inclusión del número imaginario i, surge el cuerpo de los números complejos, que poseen parte real y parte imaginaria:
- 5. Número complejo • En general un número complejo z puede tener una parte que se denomina Real y otra parte que se denomina Imaginaria: • Esta forma de representar a un número complejo se la denomina forma polinómica (o también binómica) 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
- 6. b z = a + bi 0 a Plano complejo (Diagrama de Argand)
- 7. Como el conjunto de los números complejos forma un cuerpo, se pueden realizar entre ellos operaciones, de las cuales veremos las siguientes: • a) Adición: 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖 • b) Multiplicación: 𝑧1. 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 . 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖
- 8. c) Cociente de dos números complejos • Vamos a definir el conjugado de un número complejo: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ↔ 𝑧∗ = 𝑎 − 𝑏𝑖 • Ahora presentamos la utilización del conjugado para calcular el cociente de dos números complejos: 𝑧1 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 . 𝑐 − 𝑑𝑖 𝑐 − 𝑑𝑖 = = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 𝑖 𝑐2 + 𝑑2 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑐2 + 𝑑2 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 𝑐2 + 𝑑2 𝑖
- 9. Vamos a presentar ejemplos de las operaciones vistas entre números complejos: • Sean dos números complejos: • Calcular su suma, su producto y su cociente: 𝑧1 = 5 + 3𝑖 𝑧2 = 6 − 2𝑖 𝑧1 + 𝑧2 = 5 + 3𝑖 + 6 − 2𝑖 = 11 + 𝑖 𝑧1. 𝑧2 = 5 + 3𝑖 . 6 − 2𝑖 = 36 + 8𝑖 𝑧1 𝑧2 = 5 + 3𝑖 6 − 2𝑖 = 5 + 3𝑖 6 − 2𝑖 . 6 + 2𝑖 6 + 2𝑖 = 3 5 + 7 10 𝑖
- 10. Problemas 1. ¿Por qué número debo multiplicar un complejo para que el resultado tenga sólo parte real? 1. Rta: Por el conjugado z = z1 . z1 *= (3 + 7i).(3 – 7i) = 58 2. Encontrar el valor de k para que el cociente de los siguientes dos números complejos, sea un número real: 𝑧1 = 𝑘 + 2𝑖 𝑧2 = 3 − 𝑖 Solución: para que sea un número real, su parte imaginaria debe ser igual a cero; o sea: 𝑧1 𝑧2 = 𝑘 + 2𝑖 3 − 𝑖 = 𝑘 + 2𝑖 3 − 𝑖 . (3 + 𝑖) (3 + 𝑖) = 3𝑘 + 6𝑖 + 𝑘𝑖 + 2 10 = 3𝑘 + 2 10 + (6 + 𝑘)𝑖 10 De donde se concluye que para que el resultado sea un número real, k = - 6. De esta forma su parte imaginaria será igual cero.
- 11. 3. Encontrar el número complejo z que es solución de la siguiente ecuación: 2 − 𝑖 = 𝑧 3 + 𝑖 Rta: (2 − 𝑖)(3 + 𝑖) = 𝑧 6 − 3𝑖 + 2𝑖 + 1 = 𝑧 7 − 𝑖 = 𝑧
- 12. 4. Encontrar el número complejo que satisface la siguiente ecuación: 2 + 𝑖 3 − 4𝑖 = 𝑧 z= x + yi 2 + 𝑖 3 − 4𝑖 . 3 + 4𝑖 3 + 4𝑖 = 𝑧 2 + 11𝑖 25 = 𝑧 2 25 + 11 25 𝑖 = 𝑧
- 13. • Encontrar el valor de la expresión: 1 + 2𝑖 3 − 4𝑖 − 2 − 𝑖 5𝑖 = 𝑥 − 2 5 = 𝑥
- 14. Utilización de los números complejos • Los números complejos son de aplicación en el Algebra y el Cálculo, para resolver ecuaciones diferenciales, en las trasformadas de Fourier, de Laplace, etc. • Además, los números complejos se utilizan en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la relaciones entre la corriente eléctrica y la tensión en un circuito. Otras aplicaciones de los mismos, es en la determinación de la estabilidad de sistemas de control.
- 15. Observación • En algunas utilizaciones de los números complejos (particularmente en aplicaciones de electrónica) se suele representar la parte imaginaria con la letra j (para que no se confunda con la intensidad de corriente): 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑗
- 16. A modo de ejemplo, presentamos el siguiente cuadro de la utilización en electrónica: