Algebra lineal act 2
- 1. Instituto Tecnológico De Ciudad Victoria ACTIVIDAD 2 Alumno: Marco Antonio Baldivia Quiñones Equipo: Jacxiel Abimael Gaona Hernández, Brandon López Verdin, Yordi Ariel Ruiz Barrios, Gerardo Amador Ramírez Pérez, José Dolores Guerrero Luna. Semestre: 2 Carrera: ingeniería Mecánica No. Control: 18380435 Profesor: Gutiérrez Prado Wilfredo José Asignatura: Algebra Lineal Grupo: 61 Fecha: 9/2/2019 Cd. Victoria
- 2. INTRODUCCIÓN Las potencias de 𝑖 se puede ver mucho en los números complejos ya que representan a un numero imaginario y en su potencia tiene un resultado al realizar una operación, en esta actividad veremos la potencia de 𝑖, modulo en un numero complejo y también su forma polar exponencial explicando los pasos con unos ejemplos detallados, también representaremos las operaciones con una gráfica para identificar el plano complejo de las formulas.
- 3. OBJETIVO DE LAACTIVIDAD El objetivo principal de esta actividad es identificar las potencias de 𝑖 y ver el valor absoluto de un numero complejo, también se busca realizar de forma detallada las transformaciones de forma polar y exponencial de un numero complejo y asi mismo representar sus fórmulas para que sea entendible los procesos de transformación.
- 4. 1.3 Potencias de “ 𝑖”, modulo o valor absoluto de un numero complejo. La unidad imaginaria “i” se puede multiplicar por ella misma como cualquier otro número real, obteniéndose entonces lo que se llama las potencias de la unidad imaginaria. Ejemplo: 𝐢 𝟎 = 𝟏 𝐢 𝟏 = 𝑖 𝐢 𝟐 = −𝟏 𝐢 𝟑 = − 𝐢 𝐢 𝟒 = 𝟏 Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de 𝑖, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada. 𝑖22 = (14)5 ∗ i2 = −1 Las siguientes potencias se pueden calcular a partir de las anteriores calculadas¸ por ejemplo: 𝐢 𝟓 = 𝐢 𝟒 ∗ 𝐢 = 𝟏 ∗ 𝐢 = 𝐢 = 𝐢 𝟏 𝐢 𝟔 = 𝐢 𝟓 ∗ 𝐢 = 𝐢 ∗ 𝐢 = 𝐢 𝟐 𝐢 𝟖 = 𝐢 𝟕 ∗ 𝐢 = 𝐢 𝟑 ∗ 𝐢 = 𝐢 𝟒 Así pues, forman una sucesión periodica, puesto que los valores de las cuatro primeras potencias que son 𝑖, -1, - 𝑖, 1 se repiten Ejemplo: i 𝟏 i 𝟐 i 𝟑 i 𝟒 i 𝟓 i 𝟔 i 𝟕 i 𝟖 𝑖 -1 - 𝑖 1 𝑖 -1 - 𝑖 1 Para concluir con la potencia de i vamos sacar el resultado de las siguientes a) i 𝟑𝟖 = 𝟒 ÷ 𝟑𝟖 = 𝟗 i 𝟑𝟖 = ( i 𝟒 ) 𝟗 ∗ i 𝟐 = −𝟏 b) i 𝟏𝟓 = 𝟒 ÷ 𝟏𝟑 = 𝟑 i 𝟏𝟓 = ( i 𝟒 ) 𝟑 ∗ i = i
- 5. Valor Absoluto o modulo Es un valor numérico sin tener en cuenta su signo se este positivo o negativo asi por ejemplo 4 es el valor absoluto de +4 y de -4, también esta vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos, el modulo puede generalizarse a muchos otrs objetos matematicos como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. A continuación veremos como se saca el modulo de un numero complejo: Si Z = a + b 𝑖 es un número complejo, el Módulo de Z es el número real: Z= √𝑎2 + 𝑏2 Se puede expresar el módulo de Z en función de él mismo y de su conjugado, usando la relación Ejemplo: 1) Z= 15+2 𝑖 √152 + 22 = |15 + 2 i| √225 + 4 =|15+ 2i| √229 =|15+ 2i| 15.13= |15+ 2i| 2) Z= 7-5 𝑖 √72 + (5)2 =|7 − 5 i| √49 + 25 =|7 − 5 i| √74 =|7 − 5 i| 8.60 = |7 − 2 i| 3) Z= -2.-4 𝑖 √22 + 42 =|−2 − 4 i| √4 + 16 = |−2 − 4 i| √20 = |−2 − 4 i| 4.5=|−2 − 4 i|
- 6. 1.4 forma polar y exponencial de un numero complejo La forma polar de un numero complejo es otra forma de representar un numero complejo, la forma z=a+b 𝑖 es llamada la forma coordenada rectangular de un numero complejo. El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario, encontramos los componentes reales y complejos en términos de r y 𝜃 donde r es la longitud del vector y 𝜃 es el angulo echo con el ese real. Del teorema de Pitágoras: Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + 𝑖 y. Como x = r cos θ e y = r sen θ z puede ser expresado en forma polar como z = r(cosθ + i senθ). En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos. La forma rectangular de un numero complejo esta constituida por: Z=a + b 𝑖 Se sustituyen los valores de a y b Z= a + b 𝑖 =r cos θ + (r sin θ) 𝑖 =r (cos θ + 𝑖 sin θ) En el caso de un numero complejo, r representa el valor absoluto o el modulo y el angulo θ es llamado el argumento del numero complejo ejemplo: La forma polar de un numero complejo z= a + b 𝑖 es z=r (cos θ+ 𝑖sinθ), donde r = z=√𝑎2 + 𝑏2 , a=r cosθ y b= r sin θ, y θ= tan−1 𝑏 𝑎 para a>0 o θ=tan−1 𝑏 𝑎 + 𝜋 o θ=tan−1 𝑏 𝑎 + 180° para a<0. Ejemplo; 5 + 2 𝑖 Primero se encuentra el valor absoluto r= z=√𝑎2 + 𝑏2 =√52 + 22 = √25 + 4 =√29 = 5.39 Después se encuentra el argumento Θ =tan−1 𝑏 𝑎 = θ =tan−1 2 5 =0.38 Nos podemos dar cuenta que θ es medido en radianes, por lo tantola forma polar de 5 +2 𝑖 es alrededor de 5.39(cos0.38 + 𝑖 sin 0.38)
- 7. Forma exponencial El numero e es amplia mente usada en la rama del calculo y tiene un papel muy importante en el crecimiento exponencial y por lo tanto en procesos naturales y de la vida cotidiana. Fue John Napier quien descubrió esta constante cuando invento el logaritmo neperiano en 1614 pero Euler quien trabajo y desarrollo mas posterior mente esta constante. La ecuación, eiθ = cos θ + i sen θ que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar z = r(cos θ + i sen θ), Ejemplo: Z=r ∙ e° i r – θ 5270° r= 5 ∝=270° Argumento o Angulo z= 5 ∙ 𝑒3 𝜋 2 i modulo Conversiones a radianes 1° 𝜋 180 = (270) ( 𝜋 180 ) = 3 𝜋 2 ÷ 90 ÷90
- 8. Ejemplos de grafica de números complejos 1) 3 +8 𝑖 se encuentra en (3,8) 2) -11 + 0 𝑖 seria el punto (-11,0) 3) -6 - 4 𝑖 esta localizado en (-6,-4) 4) 7-7 𝑖 se encuentra en (7,-7) 8 7 6 5 4 3 (3,8) 2 r b (-11,0) 1 θ a -11 -7 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 (-6,-4) -5 -6 -7 (7,-7) Forma polar Z= a + bi r = z=√𝑎2 + 𝑏2
- 9. BIBLIOGRAFIAS CONSULTADAS Internet: https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/polar-form-of-a- complex-number Internet: https://www.sangakoo.com/es/temas/números-complejosen-forma-exponencial Libro: Algebra lineal Anton autor Limusa Wiley