Números complejos
- 1. Números complejos Análisis Matemático Profesor: Miguel Díaz
- 2. Historia Los números complejos se crearon en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el lado misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad, los matemáticos se encontraron con el problema de resolver la raíz cuadrada de un numero negativo.
- 3. Explicación: Como no todos los problemas pueden resolverse con números reales, se aprendió que era posible calcular la raíz cúbica de -1 o de -8. Sabemos por ejemplo, que la raíz cúbica de -1 es igual a -1. Simplemente porque (ahora al revés) (-1)^3 = -1.
- 4. Pero cuando se quiere obtener la raíz de -4 por ejemplo si probamos con 2 no puede ser porque 2^2 = 4, y si probamos con -2, tampoco es porque(-2)^2=4, también da 4. Por este inconveniente se inventaron los números complejos
- 5. El símbolo que se utiliza para simbolizarlos es la letra (i), de imaginarios, porque son números que no se pueden representar en la coordenadas reales como hacemos habitualmente. i^2=-1 Entonces para el ejemplo anterior, en donde se desea obtener, la raíz cuadrada de -4, la respuesta es: i2 de tal manera que si hacemos al revés, es decir, 2i . 2i = 4. i^2 = 4. (-1)= -4
- 6. Por otro lado, si vamos a tener un producto asociativo, conmutativo y distributivo respecto de la suma, se deberá tener (a + bi)(c + di) = ac + bdi^2 + adi + bci = ac - bd + (ad + bc)i. Con esto ya sabríamos sumar y multiplicar complejos.
- 7. Operación de números complejos Suma y diferencia: Se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí (5+2 i) + (-8+3 i)-(4-2 i)= =(5-8-4) + (2+3+2) i = -7+7i Multiplicación: el producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i ^2 = −1 (5+2 i) . (2-3 i)= =10-15 i +4 i-6 i ^2=10-11 i +6= 16-11 i
- 8. Ejemplo geométrico Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.
- 9. Aplicación de los números complejos en la electricidad Una aplicación de los números complejos es el cálculo de impedancias equivalentes en redes eléctricas a corriente alterna. La “impedancia” eléctrica es la oposición al flujo de la corriente eléctrica de cualquier circuito. Por lo general, en los textos, la magnitud de la impedancia Z se denota como /Z/
- 10. La principal utilización para los números complejos es en los cálculos eléctricos de circuitos. También tienen muchas aplicación en las ramas de la ingeniería.
- 11. Otros usos de los números complejos Los números complejos son usados en: • Operaciones vectoriales • Representación de magnitud • Facilitan el manejo de funciones de ondas • Para simplificar cuentas • Resolución de ecuaciones diferenciales • Para el procesamiento digital de señales
- 12. Alumnos: Martín Perez, Nahuel Muñoz y Mauricio Novasad