Numero Complejos

ÁLGEBRA SUPERIOR ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN EL 2007 Martha G. Canales Leyva Roc ío Patricia Rivas Llanas Leticia Lizette Espinosa Fahl Joaquín Gilberto Treviño Dávila José Santos García Claudio Hiram Carmona Jurado Abraham Leonel López León Carlos Alfonso Gameros Morales Kluis Roberto Fernández Guillén Arturo Córdova González Ph. D. Martha G. Canales Leyva

OBJETIVO DEL CURSO Establecer el conocimiento algebraico desarrollado en este programa como base para las demás materias que son los fundamentos sólidos del área de Ingeniería.

NÚMEROS COMPLEJOS Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades Lectura comprensiva Concepto de número complejo Representación de un número complejo en el plano cartesiano Co n juntos de números Cálculo de un ángulo usando arco tangente Funciones seno y coseno Graficar en el plano cartesiano Concepto de par ordenado

NÚMEROS COMPLEJOS 4.1. Números Complejos Definición Es un número que esta formado por dos partes, una parte real y otra parte imaginaria y se expresa en varias notaciones. Generalmemte se usa la letra “z” para nombrarlos. Forma Cartesiana z = a + b i Donde a y b son números reales e i = √ -1 es la unidad imaginaria. “ a ” es la parte real y “ bi ” la parte imaginaria Ejemplo z 1 = 4 + 3 i z 2 = -2 + 2 i

NÚMEROS COMPLEJOS 4.1. Números Complejos Conjugado de un número complejo El conjugado de un número complejo z 1 = a + b i se define como El conjugado es z 1 = a - b i Ejemplo z 1 = 7 – 5 i z 1 = 7 + 5 i

NÚMEROS COMPLEJOS 4.1. Números Complejos Imaginario Puro y Real Puro Cuando a = 0 queda z 1 = 0 + b i Y se denomina Imaginario Puro Ejemplo z 1 = – 5 i Por otra parte si b = 0 se tiene un Real Puro Ejemplo z 2 = 7 + 0 i z 2 = 7

NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana Representación Cartesiana Utilizando los dos ejes cartesianos, el eje vertical corresponde a la parte imaginaria y el eje horizontal corresponde a la parte real. Los números complejos se pueden representar como puntos del par ordenado. z 1 = a + b i = (a,b)

NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana Ejemplos z 1 = 3 + 6 i P 1 (3,6) z 2 = -2 + 4 i P 2 (-2,4) z 3 = -3 – 1 i P 3 (-3,-1) z 4 = 2 – 3 i P 4 (2,-3) R  • • • •

NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana Ejemplos Si i = √ -1 es la unidad imaginaria i i 2 = i i = √ -1 √ -1 =-1 i 3 = i 2 i = -1 i =- i i 4 = i 2 i 2 = (-1) (-1) = 1 i 5 = i 4 i = 1 i = i Y asi sucesivamente... R  i i 2 i 4 i 3 • • • •

NÚMEROS COMPLEJOS 4.1. Números Complejos Representación cartesiana de los números Imaginario Puro y Real Puro El imaginario puro se ubica sobre el eje de la  y el real puro sobre el eje R Ejemplo z 2 = 3 i z 3 = -2 z 4 = 4 z 1 = – 5 i • • • • 

NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana Con los números complejos representados en la forma Cartesiana se pueden realizar las siguientes operaciones: Suma Resta Multiplicación División Potencia

NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana Suma Sean los dos números complejos z 1 = a 1 + b 1 i z 2 = a 2 + b 2 i Se define la suma de dos números complejos como z 3 = z 1 + z 2 =( a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2 ) i Ejemplo Sean z 1 = 7 -2 i z 2 = -3 +8 i z 3 = z 1 + z 2 =( 7-3) +(-2+8) i = 4 +4 i

NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana Resta Sean los dos números complejos z 1 = a 1 + b 1 i z 2 = a 2 + b 2 i Se define la resta de dos núumeros complejos como z 3 = z 1 - z 2 =( a 1 - a 2 ) + ( b 1 - b 2 ) i Ejemplo z 1 =17 -2 i z 2 = -3 +28 i z 3 = z 1 - z 2 =( 17-(-3)) +(-2-28) i = 20 - 30 i

NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana Multiplicación Sean los dos números complejos z 1 = ( a 1 + b 1 i ) z 2 = ( a 2 + b 2 i ) Se define la multiplicación de dos números complejos como z 3 = z 1 z 2 =( a 1 a 2 –b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i Ejemplo Sean z 1 = 5 -2 i z 2 = -3 +4 i z 3 = z 1 z 2 =( 5 (-3) – (-2)4) + (5(4) + (-3)(-2)) = -7 + 26 i

NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana Multiplicación Ejemplo Sean z 1 = 5 -2 i z 1 = 5 + 2 z 3 = z 1 z 2 =( 5 (5) – (-2)2) + (5(2) + (5)(-2)) = 25 +4= 29 La multipliación de un número complejo por su conjugado es igual a la suma de los cuadrados de las partes reales, quedando como resultado un Real Puro.

NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana División Sean los dos números complejos z 1 = a 1 + b 1 i z 2 = a 2 + b 2 i Se define la división aplicando la multiplicación por la unidad, formando dicha unidad con el conjugado de z 2 para obtener un real en el denominador z 3 = = =

NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana Ejemplo Sean los dos números complejos z 1 = 2 + 3 i z 2 = -4 +1 i z 3 = = = =-5/17 – 14/17 i

NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana Potencia Sea el número complejo z 1 = a 1 + b 1 i Se define la potencia con base a la multilicación z 2 n = (a 1 + b 1 i ) n = (a 1 + b 1 i ) (a 1 + b 1 i ) (a 1 + b 1 i ) ..... (a 1 + b 1 i ) Ejemplo z 1 = -5 + 3 i z 2 = z 1 3 = ( -5 + 3 i ) 3 = ( -5 + 3 i )( -5 + 3 i )( -5 + 3 i ) = 10 + 198 i

NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar Números Complejos en forma Polar Se enuncia un número complejo en la forma polar como: Z 1 = r 1 (Cos  1 + i Sen  1 ) En donde: Módulo r 1 = (a 2 + b 2 ) ½ Amplitud o argumento  1 = arc tan (b/a)

NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar Representación Polar Para graficar en la notación Polar, solo es necesario un eje, que es R. Z 1 = r 1 (Cos  1 + i Sen  1 ) En donde: r 1 = (a 2 + b 2 ) ½  1 = arc tan (b/a) a b  R 

NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar Operaciones con los números complejos expresados en forma polar Multiplicación División Potencia Raíces

NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar Multiplicación de números complejos expresados en forma polar Sean los dos números complejos z 1 =r 1 ( Cos  1 + i Sen  1 ) z 2 =r 2 ( Cos  2 + i Sen  2 ) Se define la multiplicación como z 3 = z 1 z 2 = r 1 r 2 (Cos (  1 +  2 ) + i Sen (  1 +  2 ) ) Ejemplo z 1 = 5( Cos 10 º + i Sen10º ) z 2 =3 ( Cos 15 º + i Sen 15º ) Calcular z 3 =z 1 z 2 = 5(3)((Cos (10+ 15))+ ( i Sen(10 + 15))) z 3 =15 ( Cos 25º + i Sen 25º )

NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar División de números complejos expresados en forma polar Sean los dos números complejos z 1 =r 1 ( Cos  1 + i Sen  1 ) z 2 =r 2 ( Cos  2 + i Sen  2 ) Se define la división como z 3 = z 1 /z 2 =( r 1 / r 2 ) (Cos (  1 -  1 ) + i Sen (  1 -  1 ) ) Ejemplo z 1 =24 ( Cos 40º + i Sen 40º ) z 3 =10 ( Cos 3º + i Sen3º ) Calcular z 4 = z 1 / z 3 = (24-10) (( Cos (40-3)+ i Sen (40-3) )) z 4 = 2.4(( Cos37º + i Sen 37º )

NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar Potencia de números complejos expresados en forma polar Sea el número complejo z 1 =r 1 ( Cos  1 + i Sen  1 ) Se define la potencia como ( z 3 ) n =(r 1 ) n (Cos (n  1 ) + i Sen ( n  1 ) ) Ejemplo Sea z 1 = 2 ( Cos 30º + i Sen 30º ) z 1 4 = (2( Cos 30º + i Sen 30º )) 4 = 2 4 ( Cos4(30) + i Sen 4(30) ) z 1 4 =16 ( Cos 120º + i Sen 120º )

NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar Raices de números complejos expresados en forma polar La expresión para calcular la potencia de un número complejo, es la fórmula de Moivre , la cual es válida para todo valor real de n. Para valores fraccionarios corresponde a radicales. Las n raíces enésimas de un número complejo se obtienen dando valores a k =0,1,2,3... n-1 en: ( z 3 ) 1/ n =(r 1 ) 1/ n (Cos ( ) + i Sen ( ) )

NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar Raices de números complejos expresados en forma polar …… Ejemplo Sea z 3 = 81( Cos 16º + i Sen 16º ) z 4 =( z 3 ) 1/ 4 =(r ) 1/ n (Cos (  1 +k 360 o ) / n) + i Sen (  1 +k 360 o ) / n) ) Serán 4 raices para k con valores de 0,1,2,3 Para k=0 z 1 =(81) 1/ 4 (Cos (16 +0( 360 o )) /4) + i Sen (16 +0( 360 o )) /4)) z 1 =3( Cos 4º + i Sen 4º ) Para k=1 z 2 =(81) 1/ 4 (Cos (16 +1( 360 o )) /4) + i Sen (16 +1( 360 o )) /4)) z 2 =3( Cos 94º + i Sen 94º )

NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar Raices de números complejos expresados en forma polar Para k=2 z 3 =(81) 1/ 4 (Cos (16 +2( 360 o )) /4) + i Sen (16 +2( 360 o )) /4)) z 3 =3( Cos184º + i Sen 184º ) Para k=3 z 4 =(81) 1/ 4 (Cos (16 +3( 360 o )) /4) + i Sen (16 +3( 360 o )) /4)) z 4 =3( Cos 274º + i Sen 274º )

NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar Raices de números complejos expresados en forma polar Ejemplo Representadas las cuatro raices en el Eje Polar quedan z 1 z 2 z 3 z 4 R

NÚMEROS COMPLEJOS 4.4. Coversión de forma Cartesiana a forma Polar y viceversa Forma Polar y forma Cartesiana Para convertir considerar la definición de los números complejos en ambas formas. z 1 = r 1 (Cos  1 + i Sen  1 ) y z 1 = a + b i En donde: Para la forma Cartesiana será: a= r 1 Cos  1 b = r 1 Sen  1 Para la forma Polar será: r 1 = (a 2 + b 2 ) ½  1 = arc tan (b/a) a b  R  r

NÚMEROS COMPLEJOS Bibliografía

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