Numerocomplejo

Número complejo. 1 / 13
Número complejo.
Ing. Braulio Lozano Hernández.
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura
Universidad Politécnica de Amozoc
4 de septiembre de 2015
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Número complejo. 1 / 13

1 Definición.
2 Operaciones fundamentales con números complejos.
Suma.
Resta.
Multiplicación.
División.
Potencia.
Ejercicios.
Evaluación.
Respuesta.

Definición.
Definición.
Se puede decir que un número imaginario no es más que la
indicación de la ra´ız de ´ındice par de un número negativo; o
también podemos decir que es el producto de número positivo
o negativo cualquiera por la unidad imaginaria i.
i=
√
−1
Un número imaginario complejo es la suma algebraica de un
número real con un número imaginario.
z = a + bi

Definición.
Definición.
El número imaginario puro es el complejo cuya parte real es
cero.
Se llamará i=
√
−1 la unida imaginaria.
Un número complejo se define como: z = a + b i
a se llama la parte real.
b se llama parte imaginaria.

Operaciones fundamentales con números complejos.
Suma.
Suma.
Para que se pueda realizar una suma de número complejos, se
siguen las normas o reglas básicas de la aritmética, sumando los
números reales con los números reales y los números imaginarios
con los números imaginarios.
(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d )i
Ejemplo de la suma:
(4 + 3 i) + (3 + 2 i) = (4 + 3) + (3 + 2) i = 7 + 5 i
Ejercicio.
(3 + 4 i) + (2 + 3 i) - (5 - 2 i) =

Suma.
Suma.
Para que se pueda realizar una suma de número complejos, se
siguen las normas o reglas básicas de la aritmética, sumando los
números reales con los números reales y los números imaginarios
con los números imaginarios.
(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d )i
Ejemplo de la suma:
(4 + 3 i) + (3 + 2 i) = (4 + 3) + (3 + 2) i = 7 + 5 i
Ejercicio.
(3 + 4 i) + (2 + 3 i) - (5 - 2 i) =
= 0 + 9 i

Resta.
Resta.
Es exactamente igual que la suma, solamente con la diferencia
obvia; que en lugar de sumar se va a restar.
Ejemplo de la resta:
(4 − 2i) − (2 + i) = (2 − 3i)
Se aplica la regla b´asica de la ley de signos.

Multiplicación.
Multiplicación.
Para obtener el producto de dos números complejos, se multipli-
ca cada término del primer paréntesis por todos los términos del
segundo paréntesis, con lo que se obtienen todos los términos a
reducir.
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= (ac − bd) + (ad + bc)i
Observe que el término bdi2
pasa a ser -bd. Eso es porque:
i2
= −1.

División.
División.
La división de números complejos requiere un mayor trabajo que
la multiplicación y partimos de un artificio previo, basado en que
el producto de un número complejo por su conjugado da como
resultado un número real:
(a + bi) ∗ (a − bi) = a2
− abi + abi + b2
= a2
+ b2

División.
División. (Cont.)
Si a la división de dos números complejos, la multiplicamos y
dividimos por el conjugado del denominador:
a + bi
c + di
=
(a + bi)(c − di)
(c + di)(c − di)
=
ac − adi + bci + bd
c2 − cdi + cdi + d2
=
ac + bd + (bc − ad)i
c2 + d2
=
ac + bd
c2 + d2
+
bc − ad
c2 + d2
i

Potencia.
Potencia.
Para poder elevar un n´umero complejo a un exponente entero,se
aplican las reglas de los productos notables.
(6 − 3i)2
= 62
− 2(6)(3i) + (3i)2
= 36 + 36i − 9 = 27 + 36i

Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)

Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)

Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)

Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)
8 (57 − 67i) + (89 + 90i)
9 (12 + 23i) − (76 − 34i)

Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)
8 (57 − 67i) + (89 + 90i)
9 (12 + 23i) − (76 − 34i)
10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i)
11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i)

Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)
8 (57 − 67i) + (89 + 90i)
9 (12 + 23i) − (76 − 34i)
10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i)
11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i)
12 (24 − 45i)/(12 + 14i)

Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)
8 (57 − 67i) + (89 + 90i)
9 (12 + 23i) − (76 − 34i)
10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i)
11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i)
12 (24 − 45i)/(12 + 14i)
13 (34 − 23i)2

Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)
8 (57 − 67i) + (89 + 90i)
9 (12 + 23i) − (76 − 34i)
10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i)
11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i)
12 (24 − 45i)/(12 + 14i)
13 (34 − 23i)2
14 (23 − 12i)3

Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)
8 (57 − 67i) + (89 + 90i)
9 (12 + 23i) − (76 − 34i)
10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i)
11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i)
12 (24 − 45i)/(12 + 14i)
13 (34 − 23i)2
14 (23 − 12i)3
15 (22 + 18i)3

Evaluaci´on.
Evaluaci´on.
1 (5 + 3i) + (8 + 4i)
2 (7 + 9i) + 13 − 7i)
3 (19 − 20i) − (8 − 20i)
4 (−6 − 5i) − (−9 − 2i)
5 (3 + 4i) + (2 + 3i) − (5 − 2i)
6 (27 − 20i) + (36 − 35i) − (17 − 39i)

Respuesta.
Respuesta.
1 13 + 7i
2 20 + 2i
3 11
4 3 − 3i
5 9i
6 46 − 16i

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