Numeros complejos
- 2. INTRODUCCIÓN LOS NÚMEROS COMPLEJOS CONFORMAN UN GRUPO DE CIFRAS RESULTANTES DE LA SUMA ENTRE UN NÚMERO REAL Y UNO DE TIPO IMAGINARIO. UN NÚMERO REAL, DE ACUERDO A LA DEFINICIÓN, ES AQUEL QUE PUEDE SER EXPRESADO POR UN NÚMERO ENTERO (4, 15, 2686) O DECIMAL (1,25; 38,1236; 29854,152). EN CAMBIO, UN NÚMERO IMAGINARIO ES AQUÉL CUYO CUADRADO ES NEGATIVO. EL CONCEPTO DE NÚMERO IMAGINARIO FUE DESARROLLADO POR LEONHARD EULER EN 1777, CUANDO LE OTORGÓ A V-1 EL NOMBRE DE I (DE “IMAGINARIO”).
- 3. NÚMEROS COMPLEJOS SON UNA EXTENSIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Y FORMAN UN CUERPO ALGEBRAICAMENTE CERRADO.1 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS SE DESIGNA CON LA NOTACIÓN “C”, SIENDO “R” EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (“R” ESTÁ ESTRICTAMENTE CONTENIDO EN “C”)
- 4. NÚMEROS COMPLEJOS LOS NÚMEROS COMPLEJOS INCLUYEN TODAS LAS RAÍCES DE LOS POLINOMIOS, A DIFERENCIA DE LOS REALES. TODO NÚMERO COMPLEJO PUEDE REPRESENTARSE COMO LA SUMA DE UN NÚMERO REAL Y UN NÚMERO IMAGINARIO (QUE ES UN MÚLTIPLO REAL DE LA UNIDAD IMAGINARIA, QUE SE INDICA CON LA LETRA I), O EN FORMA POLAR.
- 5. OPERACIONES ELEMENTALES SUMA PARA SUMAR DOS NÚMEROS COMPLEJOS , SE SUMA LA PARTE REAL A LA PARTE REAL Y LA PARTE IMAGINARIA A LA PARTE IMAGINARIA. RESTA PARA RESTAR DOS NÚMEROS COMPLEJOS, SE RESTA LA PARTE REAL DE LA PARTE REAL Y LA PARTE IMAGINARIA DE LA PARTE IMAGINARIA. (2 + 7 i ) + (3 – 4 i ) = (2 + 3) + (7 + (–4)) i = 5 + 3 i (9 + 5 i ) – (4 + 7 i ) = (9 – 4) + (5 – 7) i = 5 – 2 i
- 6. OPERACIONES ELEMENTALES MULTIPLICACIÓN PARA MULTIPLICAR DOS NÚMEROS COMPLEJOS, SE APLICA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Y SE COMBINA LOS TÉRMINOS SEMEJANTES . DIVISIÓN PARA DIVIDIR DOS NÚMEROS COMPLEJOS, SE MULTIPLICA EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR POR LA CONJUGADA COMPLEJO, SE DESARROLLA Y SE SIMPLIFICA. LUEGO, SE ESCRIBE LA RESPUESTA FINAL EN LA FORMA ESTÁNDAR.(3 + 2 i )(5 + 6 i ) = 15 + 18 i + 10 i + 12 i 2 = 15 + 28 i – 12 = 3 + 28 i
- 7. REPRESENTACIÓN DE NUMERO COMPLEJOS AHORA QUE SABEMOS TRABAJAR CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y LAS OPERACIONES BÁSICAS DE SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN, VAMOS A INTRODUCIRNOS EN LA REPRESENTACIÓN DE DICHOS NÚMEROS EN EL PLANO COMPLEJO. PARA LOS NÚMEROS REALES, DIBUJÁBAMOS UNA RECTA Y LOS ÍBAMOS COLOCANDO ORDENADAMENTE, ES DECIR:
- 8. PARA REPRESENTAR GRÁFICAMENTE UN NÚMERO COMPLEJO, DEBEMOS DIBUJARLOS EN EL PLANO COMPLEJO. ÉSTE ESTÁ FORMADO POR UN EJE REAL Y UN EJE IMAGINARIO. SOBRE EL EJE REAL REPRESENTAREMOS LA PARTE REAL DEL NÚMERO COMPLEJO, MIENTRAS QUE EN EL EJE IMAGINARIO REPRESENTAREMOS LA PARTE IMAGINARIA. DICHOS EJES LOS DIBUJAREMOS PERPENDICULARES Y SECANTES EN EL CERO, QUE TIENE PARTE REAL E IMAGINARIA NULA. REPRESENTACIÓN DE NUMERO COMPLEJOS
- 9. FORMA CANÓNICA O BINOMIAL LA FORMA BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO ES LA EXPRESIÓN A+BI, A SE LLAMA LA PARTE REAL Y B LA PARTE IMAGINARIA. SI LA PARTE IMAGINARIA ES NULA, ENTONCES EL NÚMERO ES REAL. POR TANTO, LOS NÚMEROS REALES ESTÁN CONTENIDOS EN LOS NÚMEROS COMPLEJOS. SE LLAMAN NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS A LOS QUE TIENEN PARTE REAL IGUAL A CERO.
- 10. DEFINICIÓN DE INVERSO CADA NÚMERO COMPLEJO TIENE SU INVERSO ADITIVO -Z TAL QUE Z+(-Z) = 0 Y CADA NÚMERO COMPLEJO, DISTINTO DE CERO, TIENE SU INVERSO MULTIPLICATIVO Z-1, TAL QUE Z·Z-1 = 1.
- 11. MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO EL VALOR ABSOLUTO, MÓDULO O MAGNITUD DE UN NÚMERO COMPLEJO Z VIENE DADO POR LA SIGUIENTE EXPRESIÓN: SI EL COMPLEJO ESTÁ ESCRITO EN FORMA EXPONENCIAL Z = R EIΦ, ENTONCES |Z| = R. SE PUEDE EXPRESAR EN FORMA TRIGONOMÉTRICA COMO Z = R (COSΦ + SENΦ), DONDE COSΦ + SENΦ = EIΦ ES LA CONOCIDA FÓRMULA DE EULER.
- 12. CONJUGADA DE UN NÚMERO COMPLEJO DOS NÚMEROS COMPLEJOS SON CONJUGADOS SI TIENEN EL MISMO MÓDULO Y OPUESTOS SUS ARGUMENTOS.
- 13. DESIGUALDAD TRIANGULAR ESTE RESULTADO HA SIDO GENERALIZADO A OTROS CONTEXTOS MÁS SOFISTICADOS COMO ESPACIOS VECTORIALES. DEFINIDO MATEMÁTICAMENTE, CUALQUIER TRIÁNGULO CUMPLE LA SIGUIENTE PROPIEDAD:
- 14. FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO LA FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO ES OTRA FORMA DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO. LA FORMA Z = A + BI ES LLAMADA LA FORMA COORDENADA RECTANGULAR DE UN NÚMERO COMPLEJO. EL EJE HORIZONTAL ES EL EJE REAL Y EL EJE VERTICAL ES EL EJE IMAGINARIO. ENCONTRAMOS LOS COMPONENTES REALES Y COMPLEJOS EN TÉRMINOS DE R Y Θ DONDE R ES LA LONGITUD DEL VECTOR Y Θ ES EL ÁNGULO HECHO CON EL EJE REAL.
- 15. TEOREMA DE MOIVRE LA FÓRMULA DE DE MOIVRE, NOMBRADA ASÍ POR ABRAHAM DE MOIVRE AFIRMA QUE PARA CUALQUIER NÚMERO COMPLEJO (Y EN PARTICULAR, PARA CUALQUIER NÚMERO REAL) X Y PARA CUALQUIER ENTERO N SE VERIFICA QUE: (COS X + i SIN X)N = COS(NX) + i SIN(NX) ESTA FÓRMULA ES IMPORTANTE PORQUE CONECTA A LOS NÚMEROS COMPLEJOS (“i” SIGNIFICA UNIDAD IMAGINARIA) CON LA TRIGONOMETRÍA. LA EXPRESIÓN "COS X + I SEN X" A VECES SE ABREVIA COMO CIS X.
- 16. RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO SEAN N UN NÚMERO NATURAL Y Z UN COMPLEJO, SIENDO |Z| Y Θ EL MÓDULO Y EL ARGUMENTO DE Z, RESPECTIVAMENTE. LAS RAÍCES N-ÉSIMAS DE Z (O RAÍCES DE ORDEN N) SON:
- 17. RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO OBSERVAMOS QUE HAY N RAÍCES Y, SI LAS ELEVAMOS A N, TENEMOS Z:
- 18. RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO PARA PASAR A LA FORMA BINÓMICA, APLICAMOS LA FÓRMULA DE EULER:
- 19. CONCLUSIÓN LOS NÚMEROS COMPLEJOS SON LA HERRAMIENTA DE TRABAJO DEL ÁLGEBRA, ANÁLISIS, ASÍ COMO DE RAMAS DE LAS MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS COMO VARIABLE COMPLEJA, ECUACIONES DIFERENCIALES, FACILITA EL CÁLCULO DE INTEGRALES, EN AERODINÁMICA, HIDRODINÁMICA Y ELECTROMAGNETISMO ENTRE OTRAS DE GRAN IMPORTANCIA. ADEMÁS, LOS NÚMEROS COMPLEJOS SE UTILIZAN POR DOQUIER EN MATEMÁTICAS, EN MUCHOS CAMPOS DE LA FÍSICA (NOTORIAMENTE EN LA MECÁNICA CUÁNTICA) Y EN INGENIERÍA, ESPECIALMENTE EN LA ELECTRÓNICA Y LAS TELECOMUNICACIONES, POR SU UTILIDAD PARA REPRESENTAR LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Y LA CORRIENTE ELÉCTRICA.
- 20. CITAS ELECTRÓNICAS• Números Complejos (2020) Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo#Representaci%C3%B3n_polar • Sangaku S.L. (2020) Representación de números complejos en el plano. sangakoo.com. Recuperado de https://www.sangakoo.com/es/temas/representacion-de-numeros-complejos-en-el-plano • Operaciones con números complejos (2020) Recuperado de https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/operations-with-complex-numbers • Santiago G. (2004) Forma canónica de un número complejo. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/numeros_complejos_sgb/complejos1_ sg.htm • Números complejos iguales, conjugados, opuestos e inversos (2020) Recuperado de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/complejos/numeros-complejos-iguales- conjugados-opuestos-e-inversos.html#tema_numeros-complejos-conjugados • Desigualdad triangular (2019) Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_triangular • Forma polar de un número complejo (2020) Recuperado de https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/polar-form-of-a-complex-number • Fórmula de De Moivre (2020) Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre • Raíces enésimas de números complejos (2020) Recuperado de https://www.matesfacil.com/BAC/complejos/raices/raices-n-esimas-numeros-complejos-imaginarios- poligono-regular-argumento-modulo-ejemplos.html