Numeros complejos unidad 1

CURSOSO
CURSOSO
DepartamentodeMatemáticaAplicadaI
ETSIIndustriales
MªPazPeinadoCros
NúmerosComplejos
MATEMÁTICAS

Índice general
1. Introducción y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Prueba de autodiagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1. Ficha 1: Ampliación del conjunto de los números
reales: el conjunto de los números complejos . 6
3.2. Ficha 2: Operaciones con números complejos
en forma binómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3. Ficha 3: Representación en el plano de un
número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4. Ficha 4: Distintas formas de expresar un número
complejo: forma polar y forma trigonométrica 32
3.5. Ficha 5: Operaciones de números complejos
en forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4. Prueba de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2

Ma
Paz Peinado Cros Curso 0 Matemáticas
1. Introducción y objetivos
En nuestra vida cotidiana, estamos acostumbrados a operar
con números reales, y no encontramos aparentemente la necesi-
dad ni la utilidad de los números complejos. Sin embrago, son
muy útiles en nuestro mundo actual en el que la ciencia y la
técnica están muy presentes: en el electromagnetismo, la hidrodi-
námica, la electrotecnia y otros campos de la ingenier´ıa los
números complejos son una potente herramienta de cálculo. As´ı
grandes obras de la ingenier´ıa: centrales eléctricas, redes de dis-
tribución, parques eólicos..., necesitan los números complejos
para su funcionamiento
Los números complejos nacieron de la necesidad de encontrar
soluciones a ecuaciones en las que aparecen ra´ıces cuadradas de
números negativos. En el conjunto de los números reales no e-
xiste ningún número que al elevarlo al cuadrado nos de -1, es
decir no hay solución a
√
−1,
√
−2... .Ya en el siglo I, Herón
de Alejandr´ıa se topó con este tipo de ra´ıces que no supo inter-
pretar. En el s. XVI, Cardano al resolver un problema llegó a
dos soluciones complejas y decidió que eran números sin sentido,
imaginarios. Y fue Gauss en el siglo XIX, quien dió sentido a los
números complejos.
Teniendo en cuenta que
√
a =
√
−a ·
√
−1 el problema se
centró en encontrar un número que al elevarlo al cuadrado sea
igual a -1. Este número,
√
−1, fue designado en 1777 por el
matemático suizo Euler con la letra i (imaginario) y llamado
unidad imaginaria.
Los contenidos de este tema son necesarios para el primer
curso de cualquier Ingenier´ıa o carrera de ciencias.
Objetivos
Manejar la forma binómica de los números complejos y sus
operaciones.
3

Ma
Representar geométricamente los números complejos en el
plano.
Conocer y utilizar la relación entre la forma binómica y la
forma polar de los números complejos.
Manejar la forma polar de los números complejos y sus
operaciones.
Utilizar la fórmula de Moivre para calcular sen nα y cos nα.
Calcular ra´ıces n-ésimas de número complejos.
4

Ma
2. Prueba de autodiagnóstico
Haga el test siguiente para evaluar su nivel de conocimientos.
i23
= −i
Verdadero Falso
(2 − i) − (1 − 3i) = 1 + 2i
Verdadero Falso
(1 − i) · (2 + 3i) = 5 + 3i
Verdadero Falso
−10 − 4i
−1 + i
= 3 + 7i
Verdadero Falso
−1 + i = 21350
Verdadero Falso
21800 = −2i
Verdadero Falso
2600 · 31200 = −31800
Verdadero Falso
(2200)3
= 8600
Verdadero Falso
La fórmula de Moivre dice:
[(r cos α + isen α)]n
= rn
(cos nα + isen nα)
Verdadero Falso
Las ra´ıces 4
√
16 son cuatro y tienen módulo 16
Verdadero Falso
Si ha tenido muchas dificultades y el número de respuestas
correctas no le parece aceptable, debe hacer de forma ordenada
todas las fichas que encontrará a continuación.Si sólo ha tenido
dificultades en algunos casos, localice las fichas correspondientes
y repáselas. Si ha respondido todo correctamente puede pasar a
otro bloque.
5

Ma
3. Contenidos
3.1. Ficha 1: Ampliación del conjunto de los números
reales: el conjunto de los números complejos
Si intentamos resolver ecuaciones de segundo grado aparente-
mente sencillas, como puede ser la ecuación x2
+ 1 = 0, nos
encontramos que las soluciones son los números que cumplen
x = ±
√
−1, y no conocemos ningún número real cuyo cuadrado
sea igual a -1 ó a ningún número negativo.
Existen muchos ejemplos de este tipo, en los que surgen ra´ıces
de números negativos, lo cual hace necesario ampliar el conjunto
de los números reales e “inventar’ún número cuyo cuadrado sea
igual a -1. A este numero se le designa con el número de unidad
imaginaria: i =
√
−1
Si al Conjunto de los Números Reales, le añadimos el con-
junto de los números imaginarios, el resultado es el Conjunto de
los Números Complejos.
6

Ma
Ejemplo 1. Al resolver la ecuación x2
+ 9 = 0 no encon-
tramos solución dentro del conjunto de los números reales.
Los números que son solución de esta ecuación son números
imaginarios.
x2
+ 9 = 0 ⇒ x2
= −9 ⇒ x = ±
√
−9
No conocemos ningún número real cuyo cuadrado sea -9.
Pero las soluciones las podemos escribir de la siguiente forma:
x = ±
√
−9 = ±
√
9
√
−1 = ±3i
Es decir la ecuación x2
+9 = 0 tiene por solución los números
complejos z1 = 3i y z2 = −3i.
Lo mismo ocurre al resolver la ecuación
x2
+ 3x + 4 = 0
x =
−3 ±
√
9 − 16
2
=
−3 ±
√
−7
2
=
−3 ±
√
7
√
−1
2
=
−3
2
±
√
7
2
i
Las soluciones son números imaginarios.
Forma binómica La forma binómica de un número complejo z es la expresión
de la forma z = a + bi:
• Al número a se le llama parte real del número comple-
jo.
• Al número b se le llama parte imaginaria del número
complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce al número real z = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a z = bi, y se dice
que es un número imaginario puro.
7

Ma
Complejos iguales Dos n´umeros complejos, z = a+bi y z = a +b i, son iguales
si lo son sus partes reales e imaginarias respectivamente.
z = z ⇔ a + bi = a + b i ⇐⇒
a = a
b = b
Conjugado El conjugado de z, es otro n´umero complejo, que se repre-
senta por z y tiene:
• La parte real igual que la de z.
• La parte imaginaria opuesta que la de z.
Si z = a + bi, su conjugado es z = a − bi.
8

Ma
Opuesto El opuesto de un n´umero complejo no se debe de confundir
con el conjugado. El opuesto de z, es otro n´umero complejo
que se representa por: −z y tiene:
• La parte real opuesta que la de z.
• La parte imaginaria opuesta que la de z.
Si z = a + bi, su opuesto es −z = −a − bi
9

Ma
Ejemplo 2. Si tenemos los siguientes números complejos:
z1 = 2 − 3i
z2 = 5i
z3 = −8
La parte real de z1 es a = 2 y la parte imaginaria b = −3.
La parte real de z2 es a = 0 y la parte imaginaria b = 5,
es decir, es un número imaginario puro ya que su parte real
es nula. Los números complejos −4i,
√
5i,
5
3
i, 6i también son
números imaginarios puros.
La parte real de z3 es a = −8 y la parte imaginaria b = 0,
es decir, es un número real y al mismo tiempo un número
complejo.
El conjunto de los números reales es un subconjunto de los
números complejos. Los números −7,
√
5,
7
3
, 2 también son
números reales y complejos con parte imaginaria nula.
10

Ma
Ejemplo 3. Los siguientes pares de números complejos:
3 − 2i y 3 + 2i
−5i y 5i
1 +
√
3 y 1 −
√
3
están formados por números complejos conjugados.
Es fácil de ver que tienen la parte real igual y la parte imagi-
naria opuesta.
Mientras que los siguientes pares de números complejos son
opuestos:
3 − 2i y −3 + 2i
−5i y 5i
1 +
√
3 y −1 −
√
3
ya que sus partes real e imaginaria son opuestas.
11

Ma
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1. Resuelve las siguientes ecuaciones e indica sus solu-
ciones en el Conjunto de los Complejos:
a. x3
− 2x2
+ 5x = 0,
b. x2
− 2x + 3 = 0
Pulse aqu´ı para ver la solución.
Ejercicio 2. Calcular los números opuestos y conjugados de los
siguientes números:
a. z1 = 3 − 5i,
b. z2 = −
√
2i,
Ejercicio 3. Dado el número complejo z = 2 −
√
5i, calcula:
a. Su opuesto.
b. Su conjugado.
c. El conjugado de su conjugado.
d. El opuesto de su conjugado.
e. El conjugado de su opuesto.
f. ¿Qué relación existe entre estos dos últimos?.
Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correc-
tamente, vuelva repasar esta ficha.
12

Ma
Solución a los ejercicios propuestos
Solución del ejercicio 1.
a. x1 = 0, x2 = 1 + 2i, x3 = 1 − 2i
Estas soluciones se pueden obtener operando de la siguiente
manera:
x3
− 2x2
+ 5x = x(x2
− 2x + 5) = 0 =⇒
=⇒
x = 0
x2
− 2x + 5 = 0
=⇒



x1 = 0
x2 = 1 + 2i
x3 = 1 − 2i
A las soluciones x1 y x2, se llegan solucionado la ecuación
x2
− 2x + 5 = 0. b. x1 = 1 +
√
3i
2
, x2 = 1 −
√
3i
2
Estas soluciones se pueden obtener operando de la siguiente
manera:
x =
2 ±
√
4 − 12
2
=
2 ±
√
−9
2
=



x1 = 1 +
√
3i
2
x2 = 1 −
√
3i
2
a. −z1 = −(3 − 5i) = −3 + 5i y z1 = 3 − (−5i) = 3 + 5i
b. −z2 = −(−
√
2i) =
√
2i y z2 = −(−
√
2i) =
√
2i
13

Ma
a. −z = −(2 −
√
5i) = −2 +
√
5i
b. z = 2 − (−
√
5i) = 2 +
√
5i
c. z = (2 +
√
5i) = 2 −
√
5i = z
d. − (z) = −(2 +
√
5i) = −2 −
√
5i
e. (−z) = (−2 +
√
5i) = −2 −
√
5i
f. Son iguales.
14

Ma
3.2. Ficha 2: Operaciones con números complejos en
forma binómica
Suma y resta La suma (o resta) de números complejos es otro número
complejo cuya parte real se obtiene de la suma (o resta)
de las partes reales y cuya parte imaginaria se obtiene de
la suma (o resta) de las partes imaginarias de los números
que se están sumando (o restando)
Suma: z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i
Resta: z1 − z2 = (a + bi) − (c + di) = a − c + (b − d)i
Producto El producto de dos números complejos es otro número com-
plejo que se obtiene de aplicar la propiedad distributiva del
producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que
i2
= −1.
z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i
Cociente La división de dos números complejos es otro número com-
plejo.
Para calcularlo mutiplicamos numerador y denominador
por el conjugado del denominador. As´ı se consigue tener en
el denominador un número real, ya que el producto de un
número complejo por su conjugado es siempre un número
real.
(a + bi)(a − bi) = aa − abi + abi − bbi2
= aa + bb + (−ab + ab)i = a2
+ b2
15

Ma
Teniendo en cuenta este resultado el cociente es:
z1
z2
=
a + bi
c + di
=
(a + bi)(c − di)
(c + di)(c − di)
=
ac + bd + (bc − ad)i
c2 + d2
=
ac + bd
c2 + d2
+
bc − ad
c2 + d2
i
No hay que olvidar que no se puede dividir un n´umero
complejo por 0.
Ejemplo 4. Dados dos n´umeros complejos:
z1 = 2 − 3i z2 = 1 + 5i
podemos realizar las siguientes operaciones:
z1 + z2 = (2 − 3i) + (1 + 5i) = 2 + 1 + (−3 + 5)i = 3 + 2i
z1 − z2 = (2 − 3i) − (1 + 5i) = 2 − 1 + (−3 − 5)i = 1 − 8i
z1 · z2 = (2 − 3i) · (1 + 5i) = 2 + 10i − 3i − 15i2
=
2 + 15 + (10 − 3)i = 17 + 7i
z1
z2
=
2 − 3i
1 + 5i
=
(2 − 3i)(1 − 5i)
(1 + 5i)(1 − 5i)
=
2 − 10i − 3i + 15i2
1 − 5i + 5i − 25i2
=
−13 − 13i
1 + 25
=
−13 − 13i
26
=
−1
2
−
1
2
i
16

Ma
Potencias de i Antes de desarrollar la potencia en general de un número
complejo, vamos a realizar la potencia de la unidad imagi-
naria i.
Teniendo en cuenta que i =
√
−1 y, que tal y como ocurre
en los números reales i0
= 1 y i1
= i, desarrollamos las
potencias de i:
i2
=
√
−1
√
−1 = −1
i3
= i2
· i = (−1) · i = −i
i4
= i2
· i2
= (−1) · (−1) = 1
i5
= i4
· i = 1 · i = i
i6
= i4
· i2
= −1
i7
= i4
· i3
= −i
i8
= i4
· i4
= 1
Se puede observar que a partir de n = 4, las potencias de i
se repiten cada cuatro valores.
Por esto, en general, para calcular una potencia de i, se
divide su exponente por 4 y se mira el resto de la división.
As´ı todas las potencias cuyo exponente da resto 0 al dividir-
lo por 4 serán igual a i0
= 1. Las potencias cuyo exponente
da resto 1 al dividirlo por 4 uno, serán igual a i1
= i, las
que da de resto 2 serán igual a i2
= −1 y las de resto 3
serán igual a i3
= −i.
Por ejemplo, i22
= i2
= −1 porque 22 entre 4 da de resto 2.
17

Ma
Ejemplo 5. Para calcular una potencia de i tendremos en
cuenta que se repiten de cuatro en cuatro, y por ello dividi-
remos el exponente por 4 y nos fijaremos en el resto de la
división. As´ı:
i540
= i135·4
= i0
= 1
i61
= i15·4+1
= i1
= i
i26
= i6·4+2
= i2
= −1
i2003
= i500·4+3
= i3
= −i
Potencia de z La potencia de un número complejo zn
se calcula multipli-
cando z por s´ı mismo n veces.
La potencia de un número complejo se puede hacer de-
sarrollando la potencia del binomio (a + bi) y teniendo en
cuenta los valores de las potencias del número i.
También para desarrollar una potencia de un número com-
plejo, se puede considerar un número complejo como un
binomio en i, y desarrollar cualquier potencia teniendo en
cuenta el desarrollo del binomio de Newton. Ahora bien,
esta forma de calcular las potencias de números complejos
no es práctica para exponentes mayores que 3.
Es mucho más sencillo calcular la potencia de un número
complejo, teniendo dicho número expresado en forma polar
como se ve en la ficha 5.
18

Ma
Ejemplo 6. Dado el número complejo z1 = 3 +
√
5i, si que-
remos calcular (z1)2
, sabemos que desarrollando la igualdad
notable del cuadrado de una suma queda:
z2
1 = (3 +
√
5i)2
= 32
+ 2 · 3 ·
√
5i + (
√
5i)2
= 9 + 6
√
5i − 5 = 4 + 6
√
5i
Si lo que queremos es saber cuánto vale (z1)3
se puede calcu-
lar a partir de la potencia de (z1)2
, multiplicándola por z1 o
teniendo en cuenta el desarrollo de un binomio al cubo según
el binomio de Newton:
z3
1 = (3 +
√
5i)3
= 33
+ 3 · 32
·
√
5i + 3 · 3 · (
√
5i)2
+ (
√
5i)3
= 27 − 27
√
5i − 9 · 5 − 5
√
5i = 27 − 45 − 32
√
5i
= −18 − 32
√
5i
Si las potencias del número complejo tienen un exponente más
alto, este método resulta poco práctico. Resultar´ıa más rápido
el pasar el número complejo de forma binómica a polar, y
desarrollar la potencia en forma polar. Ésto se ve más adelante
en la ficha 5.
19

Ma
Ejercicio 4. Dados los n´umeros complejos
z1 = 3 − 2i
z2 = −7 + 2i
Calcula:
a. z1 + z2
b. 3z1 − z2
Ejercicio 5. Calcula los siguientes productos:
a. (4 − 3i)(5 + i)
b. (7 − i)(7 + i)
Ejercicio 6. Calcula los siguientes cocientes:
a.
4 − 3i
5 − i
b.
1
i
Ejercicio 7. Calcula las siguientes potencias:
a. i226
b. (1 −
√
3i)i121
20

Ma
Ejercicio 8. Calcula las siguientes potencias:
a. (
√
2 + i)2
b. (1 + i)3
tamente, vuelva a repasar esta ﬁcha.
21

Ma
a. z1 + z2 = (3 − 2i) + (−7 + 2i) = 3 − 7 + (−2 + 2)i = −4
b. 3z1 − z2 = 3(3 − 2i) − (−7 + 2i) = (9 − 6i) − (−7 + 2i)
= 9 + 7 + (−6 − 2)i = 16 − 8i
a. (4 − 3i)(5 + i) = 20 + 4i − 15i − 3i2
= 20 + 3 + (4 − 15)i = 23 − 11i
b. (7 − i)(7 + i) = 49 + 7i − 7i − i2
= 49 + 1 + (7 − 7)i = 50
a.
4 − 3i
5 − i
=
(4 − 3i)(5 + i)
(5 − i)(5 + i)
=
20 + 3 + (4 − 15)i
25 + 1
=
23
26
−
11
26
i
b.
1
i
=
−i
i(−i)
=
−i
−i2
=
−i
1
= −i
a. i226
= i56·4+2
= i2
= −1
b. (1 −
√
3i)i121
= (1 −
√
3i)i30·4+1
= (1 −
√
3i)i
= i −
√
3i2
= i +
√
3
22

Ma
a) (
√
2 + i)2
= (
√
2)2
+ 2
√
2i + i2
= 2 − 1 + 2
√
2i = 1 + 2
√
2i
b) (1+i)3
= 13
+3·12
i+3·1·i2
+i3
= 1+3i−3−i = −2+2i
23

Ma
3.3. Ficha 3: Representación en el plano de un número
complejo
Los números reales los representamos sobre una recta numéri-
ca a la que llamamos recta real. ¿Y los números complejos dónde
los podemos representar?.
Como un número complejo z = a+bi depende del valor de dos
números: a y b, lo podremos representar fácilmente sobre unos
ejes cartesianos. En el eje de abcisas se representa la parte real
del número complejo y se llama eje real, y en el eje de ordenadas
la componente imaginaria, y se llama eje imaginario. As´ı, se
habla de recta real y plano complejo.
24

Ma
De esta manera a cada número complejo z = a+bi le hacemos
corresponder en el plano un punto A(a, b), que denominamos
afijo. Y además a cada número complejo se le asocia el vector
de posición de su afijo.
z = a + bi → A(a, b) →
−→
0A
Lo que se hace es asociar a cada número complejo un vector.
Dicho vector queda perfectamente definido por su módulo y su
argumento.
Módulo Normalmente el módulo de un número complejo se repre-
senta por |z|.
Si nos fijamos en la representación gráfica de un número
complejo, se ve que se forma un triángulo rectángulo de
catetos la parte real (a) e imaginaria (b), y de hipotenusa
el módulo de z (|z|).
Y si en dicho triángulo rectángulo aplicamos el teorema de
Pitágoras nos queda la expresión del módulo de un número
complejo z = a + bi :
|z| =
−→
0A = + a2 + b2
Argumento El argumento de un número complejo z = a+bi es el ángulo
que forma el semieje positivo de abcisas con la recta que
contiene al vector
−→
0A y se le representa como
arg(z) = α
25

Ma
Teniendo en cuenta la definición de tangente trigonométrica
de un ángulo, se deduce que:



α = arctg b
a si a = 0
α = π
2 si a = 0 y b > 0
α = 3π
2 si a = 0 y b < 0
La igualdad α = arctg
b
a
la cumplen infinitos ángulos. Pero
si añadimos la condición 0 ≤ α < 2π, sólo hay 2 ángulos
que difieren en π radianes y tienen la misma tangente.
Para saber cuál de ellos es el argumento, resulta muy prácti-
co representar z = a+bi y as´ı se averigua en qué cuadrante
está z y que valores puede tomar el argumento de z según el
cuadrante en el que está situado. A este argumento también
se le denomina argumento principal.
26

Ma
Ejemplo 7. Si queremos representar los siguientes números
complejos
z1 = 3 + 2i z2 = −4i
z3 = 3 z4 = 1 − i
lo que hacemos es calcular las coordenadas de su afijo, lo dibu-
jamos y pintamos el vector que une el origen de coordenadas
con el afijo.
Los cuatro números expuestos tienen por afijos (3,2), (0,-4),
(3,0) y (1,-1) respectivamente, y están situados:
z1 en el primer cuadrante,
z2 sobre el eje imaginario,
z3 sobre el eje real,
z4 en el cuarto cuadrante.
27

Ma
Ejemplo 8. De los números complejos del ejemplo anterior
z1 = 3 + 2i z2 = −4i
z3 = 3 z4 = 1 − i
podemos calcular sus respectivos módulos y argumentos.
Si nos fijamos en su representación en el plano, y utilizando
el teorema de Pitágoras y la definición de la tangente de un
ángulo, tenemos:
|z1| = +
√
32 + 22 = +
√
13
|z2| = + 02 + (−4)2
= +
√
16 = 4
|z3| = +
√
32 + 02 = +
√
9 = 3
|z4| = + 12 + (−1)2
= +
√
2
Y sus argumentos son:
α1 = arctg
2
3
= 33, 690
α2 = arctg
−4
0
= 1800
α3 = arctg
0
3
= 00
α4 = arctg
−1
1
= 3150
28

Ma
Ejercicio 9. Representa en el plano complejo los siguientes
números:
a. z1 = −1 − i
b. z2 = 4 + 4
√
3i
c. z3 = 2i
Ejercicio 10. Calcula el módulo y el argumento de los siguientes
números complejos:
a. z1 = −1 − i
b. z2 = 4 + 4
√
3i
c. z3 = 2i
29

Ma
La representación en el plano es:
Para calcular el argumento de cada número complejo tenemos
en cuenta la representación que hemos hecho en el ejercicio an-
terior, y as´ı sabemos en que cuadrante se encuentra el número
complejo.
a. |z1| = (−1)2 + (−1)2 =
√
2
α1 = arctg
−1
−1
= 2250
ya que z1 está situado en el tercer cuadrante.
b. |z2| = 42 + (4 3)
2
= 8
30

Ma
α2 = arctg
4
√
3
4
= 600
ya que z2 est´a situado en el primer cuadrante.
c. |z3| =
√
02 + 22 = 2
α3 = arctg
2
0
= 900
ya que z3 est´a situado sobre el semieje positivo del eje de
ordenadas.
31

Ma
3.4. Ficha 4: Distintas formas de expresar un número
complejo: forma polar y forma trigonométrica
Hasta ahora hemos expresado los números complejos en su
forma binómica z = a + bi. Pero hay otras dos formas de expre-
sarlos que son muy útiles para el cálculo.
Forma polar Un número complejo z = a+bi se puede expresar en forma
polar como rα, en donde r representa el módulo y α el
argumento del número complejo.
Dos números complejos, expresados en forma polar son
iguales si sus módulos son iguales y sus argumentos difieren
en 2kπ radianes, siendo k un número entero.
rα = rα ⇔
r = r
α = α
a)Paso de forma binómica a polar
Tenemos el número complejo expresado en forma binómica
z = a + bi, para pasarlo a forma polar basta con calcular el
módulo (aplicando el teorema de Pitágoras) y el argumento
(aplicando la definición de la tangente).
b)Paso de forma polar a binómica
Tenemos el número complejo expresado en forma polar z =
rα, para pasarlo a forma binómica aplicamos las definiciones
del seno y del coseno:
32

Ma



cos α =
a
r
⇒ a = r cos α
sen α =
b
r
⇒ b = rsen α
F. trigonom. Teniendo en cuenta las definiciones del seno y el coseno que
acabamos de exponer, y sustituyendo los valores de a y b
en la expresión del complejo en forma binómica, tenemos
la forma trigonométrica:
z = a + bi = r cos α + irsen α = r (cos α + isen α)
33

Ma
Ejemplo 9. Si tenemos el número complejo z = 12700 expre-
sado en forma polar, lo podemos pasar fácilmente a forma
binómica expresándolo primero en forma trigonométrica:
z = 1 = 1(cos 2700
+ sen 2700
) = 1(0 − 1i) = −i
34

Ma
Ejemplo 10. El número complejo z = 2 − 2
√
3i que se en-
cuentra expresado en forma binómica, también lo podemos
expresar en forma polar. Para expresarlo en forma polar tene-
mos que calcular el módulo y el argumento.
r = + 22 + (−2
√
3)2 = +
√
4 + 12 = +
√
16 = 4
tg α =
−2
√
3
2
= −
√
3 ⇒ α = 3000
Para elegir el argumento α resulta muy práctico fijarse en la
representación del número complejo. En la representación se
ve que el número complejo está en el cuarto cuadrante.
z = 2 − 2
√
3i = 43000
Y expresado en forma trigonométrica ser´ıa
z = 4(cos 3000
+ sen 3000
i)
35

Ma
Ejercicio 11. Expresar el número complejo z = 2300 en:
a. Forma binómica.
b. Forma trigonométrica.
Ejercicio 12. Expresa el número complejo z = −
√
5 +
√
5i:
a. Forma polar.
b. Forma trigonométrica.
36

Ma
a. z = 2300 = 2(cos 300
+ isen 300
) = 2
√
3
2
+ 2
1
2
i =
√
3 + i
b. z = 2300 = 2(cos 300
+ isen 300
)
Solución al ejercicio 12.
a. Para expresar z = −
√
5 +
√
5i en forma polar necesitamos
conocer su módulo y su argumento:



r = + (−
√
5)2 + (
√
5)2 = +
√
10
tg α =
√
5
−
√
5
= −1 ⇒ α = 135o
ya que z está en el segundo cuadrante, como podemos obser-
var en su representación gráfica:
37

Ma
Entonces z expresado en forma polar es:
z = −
√
5 +
√
5i =
√
10
1350
b. Para expresar z en forma trigonom´etrica necesitamos el
m´odulo y el argumento calculados en el apartado a) de este
ejercicio:
z = −
√
5 +
√
5i =
√
10(cos 1350
+ isen 1350
)
38

Ma
3.5. Ficha 5: Operaciones de números complejos en
forma polar
Para sumar y restar números complejos debemos tenerlos es-
critos en forma binómica. Pero para el resto de las operaciones,
sobre todo la potencia y la radicación, resulta más práctico
tener los números expresados en forma polar:
Producto El producto de dos números complejos es otro número com-
plejo que tiene por módulo la multiplicación de los módulos,
y por argumento la suma de los argumentos:
rα · sβ = (r · s)α+β
Cociente El cociente de dos números complejos es otro número com-
plejo que tiene por módulo la división de los módulos, y por
argumento la resta de los argumentos
rα
sβ
=
r
s α−β
Potencia La potencia n-ésima de un número complejo es otro número
complejo que tiene por módulo la potencia n-ésima del
módulo, y por argumento n veces el argumento del com-
plejo dado:
(rα)n
= rn
nα
39

Ma
Ejemplo 11. Si tenemos dos números complejos escritos en
forma polar
z1 = 31200 z2 = 2600
se pueden realizar fácilmente su producto, división y potencias
cuartas:
z1 · z2 = 31200 · 2600 = (3 · 2)1200+600 = 61800
z1
z2
=
31200
2600
=
3
2 1200−600
=
3
2 600
(z1)4
= (31200)4
= 34
4·1200 = 814800 = 811200
(z2)4
= (2600)4
= 24
4·600 = 162400
40

Ma
Ejemplo 12. Para calcular la potencia de un número comple-
jo resulta muy práctico tenerlo expresado en forma polar. De
manera que si tenemos que calcular la potencia de un número
complejo expresada en forma binómica (sobre todo de expo-
nente mayor que 3) lo pasamos previamente a forma polar,
se calcula la potencia, y si se necesita el resultado expresa-
do en forma binómica, se deshace el cambio de forma polar a
binómica.
Por ejemplo, para calcular 3 + 3
√
3i
5
escribimos el complejo
z = 3 + 3
√
3i en forma polar:
|z| = + 32 + 3
√
3
2
= 6
α = arctg
3
√
3
3
= 600



⇒ z = 3 + 3
√
3i = 6600
Y ahora calculamos fácilmente z5
z5
= 3 + 3
√
3i
5
= (6600)5
= 77763000
= 7776(cos 3300
+ isen 3300
) = 3888
√
3 + 3888i
Fórm. Moivre La fórmula de Moivre es la potencia de un número complejo
escrito en forma trigonométrica:
[r (cos α + isen α)]n
= rn
(cos nα + isen nα)
Si r = 1, esta fórmula es muy útil para calcular seno y
coseno de ángulos múltiples.
41

Ma
Por ejemplo para n = 2, la f´ormula de Moivre queda:
(cos α + isen α)2
= cos 2α + isen 2α
Desarrollando el primer miembro por el cuadrado de una
suma:
(cos α + isen α)2
= cos2
α + 2isen α cos α − sen 2
α
= cos2
α − sen 2
α + 2isen α cos α
Luego nos queda:
cos 2α + isen 2α = cos2
α − sen 2
α + 2isen α cos α ⇒
⇒
cos 2α = cos2
α − sen 2
α
sen 2α = 2sen α cos α
ya que para que se cumpla la igualdad las partes reales y las
partes imaginarias tienen que ser iguales respectivamente.
42

Ma
Ejemplo 13. Si necesitamos calcular cuánto vale la razón
trigonométrica de sen 3α, lo podemos hacer calculando el cubo
de un número complejo de módulo 1 y argumento α aplicando
la fórmula de Moivre:
(cos α + isen α)3
Desarrollando el primer miembro como el cubo de una suma:
(cos α + isen α)3
= cos3
α + 3 (cos α)2
isen α
+ 3 cos α (isen α)2
+ (isen α)3
= cos3
α + 3i cos2
αsen α − 3 cos αsen α − isen 3
α
Y sustituyendo en la fórmula de Moivre:
α − 3 cos αsen α
+ 3 cos2
αsen α − sen 3
α i
Para que se cumpla la igualdad dben ser iguales las partes
reales y las partes imaginarias de los dos miembros de la igual-
dad:
cos 3α = cos3
α − 3 cos αsen α
sen 3α = 3 cos2
αsen α − sen 3
α
Y as´ı hemos conseguido saber cuánto vale el sen 3α y cos 3α
Ra´ıces La ra´ız cuadrada de un número z,
√
z, es otro número que
al cuadrado, es igual a z; la ra´ız cúbica de un número z,
3
√
z, es otro número que elevado al cubo, es igual a z. Por
lo tanto, la ra´ız n-ésima (de ´ındice n) de z, n
√
z, es otro
número que elevado a n, es igual a z.
43

Ma
Un número complejo z distinto de cero va a tener tantas
ra´ıces n-ésimas, n
√
z, como indica el ´ındice de la ra´ız (n)
Por ejemplo, en los números reales, sabemos que
√
16 tiene
dos soluciones 4 y (-4), ya que es una ra´ız cuadrada y
(n = 2). Lo podemos comprobar teniendo en cuenta que
cualquier número real está incluido dentro de los comple-
jos y lo podemos escribir en forma polar, es decir,
√
16 =
√
1600, y tendr´ıamos:
a. 4 = 400 es una ra´ız cuadrada de 1600, porque (400)2
=
42
2·00 = 1600
b. también el número real −4 = 41800 es una ra´ız, porque
(41800)2
= 42
2·1800 = 163600 = 1600
Las ra´ıces n-ésimas de un número complejo n
√
rα son n
números complejos. Todos ellos tienen el mismo módulo
y sus argumentos son diferentes. Los calcularemos de la
siguiente forma:



Módulo : |z| = n
√
r
αi =
α + 2kπ
n
=
α + 3600
π
n
, k = 0, 1.., n − 1
En general las ra´ıces de un número complejo están en los
vértices de un pol´ıgono regular de tantos lados como indica
el ´ındice n de la ra´ız, y cuyo radio es igual a n
√
r.
44

Ma
Ejemplo 14. Queremos calcular las ra´ıces cúbicas de z =
271350. Sabemos que son tres, todas ellas con el mismo módulo
pero distinto argumento:



Módulo : |z| = 3
√
27 = 3
argumentos : αi =
1350
+ 3600
k
3
, k = 0, 1, 2
Las tres ra´ıces solución son:
k = 0 → α1 = 450
→ z1 = 3450
k = 1 → α2 = 1650
→ z2 = 31650
k = 2 → α3 = 2850
→ z3 = 32850
Si pintamos las tres soluciones que nos han quedado, nos
damos cuenta que al unirlas forman un triángulo equilátero,
ya que se encuentran sobre una circunferencia de radio 3 y los
argumentos de las tres difieren en 1200
=
3600
n
=
3600
3
45

Ma
Ejercicio 13. Dados los números complejos
z1 = 3900 z2 =
√
122100
realiza las siguientes operaciones:
a. z1 · z2
b.
z1
z2
c. (z1)5
Ejercicio 14. Calcula (−1 + i)6
, y expresa el número complejo
solución en forma polar.
Ejercicio 15. Utilizando la fórmula de Moivre, calcula el valor
del cos 4α y sen 4α en función de los valores de cos α y sen α.
Ejercicio 16. Resuelva la ecuación z6
+ 1 = 0.
46

Ma
a. z1 · z2 = 3900 ·
√
122100 = 3
√
12 900+2100 = 3
√
12 3100
b.
z1
z2
=
3900
√
122100
=
3
√
12 −1200
=
3
√
12 2400
c. (z1)5
= (3900)5
= 35
5·900 = (729)4500 = (729)900
Para realizar una potencia lo más práctico es tener escrito el
número complejo en forma polar:
−1 + i =
√
21350
(−1 + i)6
= (
√
21350)6
= (
√
2)6
6·1350 = 88100 = 8900
Si queremos tener el número complejo en forma binómica:
8900 = 8(cos 900
+ isen 900
) = 8i
Si necesitamos calcular cuánto valen las razones trigonométri-
cas sen 4α y cos 4α, lo podemos hacer aplicando la formula de
Moivre que es la potencia de un número complejo de módulo 1
y argumento α escrito en forma trigonométrica:
(cos α + isen α)4
47

Ma
Desarrollando el primer miembro como la potencia cuarta de
una suma:
(cos α + isen α)4
= (cos α + isen α)2
(cos α + isen α)2
= (cos2
α − sen 2
α + 2isen α cos α)·
(cos2
α − sen 2
α + 2isen α cos α)
= cos4
α − cos2
αsen 2
α + 2i cos3
αsen α
− sen 2
α cos2
α + sen 4
α − −2i cos αsen 3
α
+ 2i cos3
αsen α − 2 cos αsen 3
α − 4 cos2
αsen 2
α
Y sustituyendo en la fórmula de Moivre para n = 4:
α − 6 cos2
αsen 2
α + sen 4
α
+ (4 cos3
α)i
Esta igualdad se cumple si la parte real del número complejo
del primer miembro es igual a la parte real del número com-
plejo del segundo miembro. Y respectivamente con las partes
imaginarias:
cos 4α = cos4
α − 6 cos2
αsen 2
α + sen 4
α
sen 4α = 4 cos3
α
Y as´ı hemos conseguido saber cuánto valen sen 4α y cos 4α.
z6
+ 1 = 0 =⇒ z = 6
√
−1 = 6
11800
48

Ma
Es decir que tenemos que calcularla ra´ız sexta del número
complejo z = 6
√
11800, que tiene seis soluciones en el conjunto de
los numeros complejos.
Todas ellas tiene el mismo módulo pero distinto argumento:



Módulo : |z| = 6
(−1)2 = 1
argumentos : αi =
1800
+ 3600
k
6
, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Damos valores a k y nos quedan las 6 soluciones siguientes:
k = 0 → z1 = 1300 =
√
3
2 + 1
2i
k = 1 → z2 = 1900 = i
k = 2 → z3 = 11500 = −
√
3
2 + 1
2i
k = 3 → z4 = 12100 = −
√
3
2 − 1
2i
k = 4 → z5 = 12700 = −i
k = 5 → z6 = 13300 =
√
3
2 − 1
2i
Si las representamos y las unimos queda un hexágono regular
inscrito en una circunferencia de radio 1 (el módulo de z = 11800).
49

Ma
4. Prueba de autoevaluación
La ra´ız cuadrada de un número negativo no
tiene solución
Verdadero Falso
El conjugado de un número real (parte imagi-
naria cero) es el propio número real
Verdadero Falso
El producto de un número complejo por su con-
jugado es un número imaginario puro
Verdadero Falso
3 − i
i
= −1 − 7i
Verdadero Falso
−1 + i = 21350
Verdadero Falso
El número 41800 en forma binómica es −4
Verdadero Falso
2600
31200
=
2
3 3000
Verdadero Falso
El argumento α = arcosen
b
a
Verdadero Falso
La fórmula de Moivre sirve si n = 2 para calcu-
lar sen 2α y cos 2α en función de sen α y cos α
Verdadero Falso
Las soluciones de la ecuación z4
+ 2 = 0 son
cuatro, y todas ellas tienen de módulo 2
Verdadero Falso
50

Bibliograf´ıa
[1] Arias, J.M.; Maza, I.: Matemáticas 1 para 1o
Bachillerato,
Ciencias de la Salud y Tecnolog´ıa. Editorial Casals. Libro
con teor´ıa y ejemplos resueltos. Nivel Bachillerato.
[2] Barceló, R.; Bujosa, J.M.; Cañadilla, J.L.; Fargas, M.;
Font,V.: Matemáticas 1 para 1o
Bachillerato. Ciencias de la
Salud y Tecnolog´ıa. Editorial Alamadraba. Libro con teor´ıa
y ejemplos resueltos. Nivel Bachillerato.
[3] Ballvé, M. E.; Delgado, M.; Porto, A. M.; Ulecia, T.: Pro-
blemas de Matemáticas especiales. 2.a ed. Editorial Sanz
y Torres: Libro de ejercicios correspondiente al libro de
“Matemáticas especiales”. Muchos ejercicios resueltos.
[4] http://personales.unican.es/gonzaleof/. Página web con 4
cursos de Matemáticas (Primero y Segundo de Bachillera-
to, Ciencias y Sociales). Material de exposición clara, con
numerosos ejemplos y ejercicios.
[5] http://w3.cnice.mec.es/Descartes/index.html. El proyecto
Descartes ha sido desarrollado por el Ministerio de Edu-
cación, Cultura y Deportes. Es una herramienta capaz de
generar materiales interactivos (Descartes) y se han cons-
truido con ella más de cien unidades didácticas de los dis-
51

Ma
tintos cursos de la enseñanza secundaria, accesibles a toda
la comunidad educativa a través de esta página.
[6] Mart´ın, M.A.; Morán, M.; Rey, J.M.; Reyes,
M.:Matemáticas 1 para 1o
Bachillerato, Ciencias de
la Salud y Tecnolog´ıa. Editorial Bruño. Libro con teor´ıa y
ejemplos muy bien explicados. Nivel Bachillerato.
[7] Nevot, A.; Negro, A.; Rodriguez, R.; Soler, J.: Matemáticas
1 para 1o
Bachillerato. Ciencias de la Salud y Tecnolog´ıa.
Editorial McGrawHill. Libro con teor´ıa y ejemplos resuel-
tos. Nivel Bachillerato.
[8] Vizmanos, J.R.; Anzola, M.: Matemáticas 1 para 1o
Bachi-
llerato, Ciencias de la Salud y Tecnolog´ıa. Editorial S.M.
Libro con teor´ıa y ejemplos resueltos. Nivel Bachillerato.
52

Índice alfabético
Conjugado, 8
Argumento, 25
Cociente en forma binómica, 15
Cociente en polares, 39
Fórmula de Moivre, 41
Forma binómica, 7
Forma polar, 32
Forma trigonométrica, 33
Módulo, 25
Opuesto, 9
Potencia en forma binómica, 18
Potencia en polares, 39
Producto en forma binómica, 15
Producto en polares, 39
Ra´ıces, 43
Suma y resta, 15
53

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