Complejos2

Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 1
1. CONJUNTOS DE N ÚMEROS
1.2. N ÚMEROS COMPLEJOS
1.2.1. Definición
Se llama número complejo a cualquier expresión de la forma z = x+yi donde x e y son números reales
cualesquiera e i =
√
−1 se llama unidad imaginaria. El conjunto de todos los números complejos se
representa por:
C = {z = x + yi : x, y ∈ R}
En la expresión z = x+yi, llamada forma binómica del complejo z, los números reales x e y se llaman,
respectivamente, parte real y parte imaginaria de z, y se representan por:
z = x + yi =⇒
Re(z) = x
Im(z) = y
Dos números complejos son iguales s´ı y sólo si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias:
z = w ⇐⇒ Re(z) = Re(w) y Im(z) = Im(w)
1.2.2. Observaciones
• Cuando la parte imaginaria es cero, el número complejo x+0i = x es un número real y, como conse-
cuencia, el conjunto de los números reales está contenido en el conjunto de los números complejos:
R ⊂ C.
• Cuando la parte real es cero, el número complejo 0 + yi = yi se llama imaginario puro.
• En el conjunto de los números complejos existen las ra´ıces cuadradas de los números negativos, por
ejemplo √
−16 = 16(−1) =
√
16
√
−1 = 4i
y, en general,
√
−b =
√
bi para todo b ≥ 0.
• Como consecuencia de lo anterior, en el conjunto de los números complejos todas las ecuaciones de
segundo grado tienen solución.
1.2.3. El plano complejo
Los números complejos también se pueden expresar como un par ordenado de números:
z = x + yi = (x, y)
Esta expresión del número complejo, llamada forma cartesiana, permite identificar el conjunto de los
números complejos con el plano R2. Al plano cartesiano en el que se representan gráficamente los números
complejos, se llama plano complejo.
O
eje real
eje imaginario

Q

Q

Q

Q

Q
x
y (x, y)
z = x + yi
El número complejo z = x + yi se representa en el plano complejo por el vector que va del origen al
punto (x, y), que se llama afijo del número complejo.

1.2.4. Operaciones elementales en forma binómica
Dados dos números complejos, z1 = x1 + y1i y z2 = x2 + y2i, su suma o diferencia es:
z1 ± z2 = (x1 + y1i) ± (x2 + y2i) = (x1 ± x2) + (y1 ± y2)i
y, teniendo en cuenta que i2 = −1, su producto es:
z1z2 = (x1 + y1i)(x2 + y2i) = x1x2 + x1y2i + y1x2i + y1y2i2
= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + y1x2)i
Para obtener el cociente se multiplican numerador y denominador (no nulo) por la expresión conjugada
del denominador:
z1
z2
=
x1 + y1i
x2 + y2i
=
(x1 + y1i)(x2 − y2i)
(x2 + y2i)(x2 − y2i)
=
(x1x2 + y1y2) + (y1x2 − x1y2)i
x2
2 − y2
2i2
=
x1x2 + y1y2
x2
2 + y2
2
+
y1x2 − x1y2
x2
2 + y2
2
i
En particular, el inverso del número complejo z = x + yi = 0 es:
1
z
=
1
x + yi
=
x − yi
(x + yi)(x − yi)
=
x − yi
x2 + y2
=
x
x2 + y2
−
y
x2 + y2
i
Teniendo en cuenta que:
i0
= 1 i1
= i i2
= −1 i3
= i2
i = −i
la potencia n de i coincide con la potencia de exponente igual al resto de la división de n por 4:
in
= i4c+r
= i4 c
ir
= 1c
ir
= ir
con r = 0, 1, 2, 3
Para hallar potencias (de exponente natural) se utiliza el binomio de Newton:
zn
= (x + yi)n
=
n
k=0
n
k
xn−k
(yi)k
=
n
k=0
n
k
xn−k
yk
ik
sustituyendo ahora cada potencia de i por su valor y sumando.
Estas operaciones en el conjunto de los números complejos tienen las mismas propiedades que en el
conjunto de los números reales.
1.2.5. Ejemplos
Calcula:
(a) (2 − 3i)(1 + 2i) − (2 − i)2
(b)
(2 − 3i)i
(1 + 2i)(3 + i)
(c) i3215
(d) (1 − 2i)5
1.2.6. Complejo conjugado
Se llama complejo conjugado de z = x + yi al número complejo z = x − yi. Obviamente, de la propia
definición, se tiene que:
Re(z) = Re(z) y Im(z) = − Im(z)
y entonces:
z = z ⇐⇒ Im(z) = 0 ⇐⇒ z ∈ R
Se verifican las siguientes propiedades:
1. La operación de conjugación es involutiva: z = z.
2. El conjugado permuta con las operaciones elementales:
z1 ± z2 = z1 ± z2 z1z2 = z1 z2 z1/z2 = z1/z2
3. Para cada z ∈ C:
Re(z) =
z + z
2
y Im(z) =
z − z
2i

1.2.7. Módulo de un número complejo
Se llama módulo del número complejo z = x + yi al número real:
|z| = |x + yi| = x2 + y2
que coincide con la distancia que hay entre el origen y el afijo del número complejo, as´ı como con la
longitud el vector que lo representa. Si se define la distancia entre dos números complejos como la
distancia entre sus afijos, entonces la distancia entre dos números complejos coincide con el módulo de
su diferencia:
d (z1, z2) = |z1 − z2|
O

Q

Q

Q

Q

Q
x
y z = x + yi
|z|
O x
y

z1
¨¨¨¨¨¨B z2

0

0

0

0

0
|z1 − z2|
Se verifican las siguientes propiedades:
1. |z| ≥ 0, para todo z ∈ C.
2. |z| = 0 si y sólo si z = 0.
3. |z| = |z| = |−z|.
4. |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
5. zz = |z|2
, o también: |z| =
√
zz.
6. |z1z2| = |z1| |z2| y |z1/z2| = |z1| / |z2|.
7. ||z1| − |z2|| ≤ |z1 ± z2| ≤ |z1| + |z2|.
1.2.8. Argumento de un número complejo
Se llama argumento del número complejo z = x + yi = 0 a cualquier ángulo θ que verifica:
cos θ =
x
|z|
y sin θ =
y
|z|
y se representa por arg(z). Cada número complejo tiene infinitos argumentos, pero sólo uno en la primera
circunferencia, θ ∈ [0, 2π), que se llama argumento principal y se representa por Arg(z).
O

Q

Q

Q

Q

Q
x
y z = x + yi
|z|
θ x
y
arg(z) = Arg(z) + 2kπ , k ∈ Z
El argumento principal θ de z = x + iy se puede determinar,
a partir del signo de x e y, con la condición:
tan θ = y
x

1.2.9. Formas polar y trigonométrica de un número complejo
Cada número complejo z = x+yi queda definido un´ıvocamente por su módulo |z| y cualquier argumento
θ, pudiéndose expresar en función de ellos en la llamada forma trigonométrica:
cos θ = x
|z|
sin θ = y
|z|
=⇒
x = |z| cos θ
y = |z| sin θ
=⇒ z = |z| (cos θ + i sin θ)
La expresión simbólica z = |z|θ se llama forma polar del número complejo.
En forma polar o trigonométrica, es decir, en función del módulo y del argumento, dos números complejos
son iguales s´ı y sólo si tienen el mismo módulo y sus argumentos difieren en un número entero de
circunferencias:
|z|θ = |w|ϕ ⇐⇒ |z| = |w| y θ − ϕ = 2kπ , k ∈ Z
1.2.10. Ejemplos
1. Obtén la forma polar y trigonométrica de los siguientes números complejos:
(a) z = 1+
√
3i (b) z = 3−3i (c) z = a ∈ R (d) z = ai , a ∈ R
2. A partir del módulo y argumento de z, obtén la forma polar y trigonométrica de −z, z y 1/z.
1.2.11. Operaciones elementales en forma polar o trigonométrica
Operando a partir de la forma trigonométrica, el producto y cociente de números complejos es:
z1 = |z1| (cos θ1 + i sin θ1)
z2 = |z2| (cos θ2 + i sin θ2)
=⇒
z1z2 = |z1| |z2| [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]
z1
z2
= |z1|
|z2| [cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)]
y, en particular, la potencia de números complejos es:
[|z| (cos θ + i sin θ)]n
= |z|n
(cos nθ + i sin nθ) (Fórmula de Moivre)
Las operaciones anteriores, usando la forma polar, son:
|z1|θ1
|z2|θ2
= (|z1| |z2|)θ1+θ2
|z1|θ1
|z2|θ2
=
|z1|
|z2| θ1−θ2
(|z|θ)n
= (|z|n
)nθ
1.2.12. Observaciones
• Del producto en forma trigonométrica se deduce que la suma de dos argumentos es un argumento
del producto. Sin embargo, al sumar los argumentos principales no siempre se obtiene el argumento
principal del producto, como se ilustra con el siguiente ejemplo:
z1 = −i , Arg(z1) = 3π
2
z2 = −1 , Arg(z2) = π
=⇒ z1z2 = i con Arg(z1z2) =
π
2
= Arg(z1) + Arg(z2)
Por tanto, en general:
arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) pero Arg(z1z2) = Arg(z1) + Arg(z2)
Análogamente:
arg
z1
z2
= arg(z1) − arg(z2) pero Arg
z1
z2
= Arg(z1) − Arg(z2)

• Al multiplicar un número complejo por otro de módulo unidad se obtiene el número complejo
resultante de girar el primero, con centro en el origen, un ángulo igual al argumento principal del
segundo:
|z|θ 1ϕ = |z|θ+ϕ
• De la fórmula de Moivre, en el caso particular |z| = 1, se obtienen fórmulas para obtener el seno y
coseno de nθ en función del seno y coseno de θ:
(cos θ + i sin θ)n
= cos nθ + i sin nθ =⇒
cos nθ = Re (cos θ + i sin θ)n
sin nθ = Im (cos θ + i sin θ)n
1.2.13. Ejemplos
1. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son A(−2, 1) y B(3, 3). Sabiendo que el cuadrado está en
semiplano y ≥ 0, halla sus otros dos vértices.
2. Expresa sin 4x y cos 4x en función de sin x y cos x.
1.2.14. Forma exponencial de un número complejo
Las propiedades de las operaciones de los números complejos con respecto al módulo y argumento hacen
que tenga sentido expresar los números complejos como:
z = |z| (cos θ + i sin θ) = |z| eiθ
que se llama forma exponencial o forma de Euler.
Propiedades de la forma exponencial:
1. Las operaciones producto, cociente y potencia se realizan en forma exponencial de forma natural:
r1eiθ1
r2eiθ2
= r1r2ei(θ1+θ2) r1eiθ1
r2eiθ2
=
r1
r2
ei(θ1−θ2)
reiθ
n
= rn
einθ
2. Si z = reiθ entonces:
−z = rei(θ+π)
z = re−iθ 1
z
=
1
r
e−iθ
3. Los números complejos de módulo unidad son z = eiθ, donde θ ∈ R es uno de sus argumentos.
4. Para cualquier k ∈ Z:
ei2kπ
= 1 y en consecuencia ei(θ+2kπ)
= eiθ
5. Dos números complejos en forma exponencial son iguales si tienen el mismo módulo y sus argu-
mentos difieren en un número entero de circunferencias, es decir:
r1eiθ1
= r2eiθ2
⇐⇒
r1 = r2
θ1 − θ2 = 2kπ , k ∈ Z
6. Usando la forma exponencial, el seno y el coseno de un ángulo se pueden expresar en función de
números complejos como sigue:
eiθ = cos θ + i sin θ
e−iθ = cos θ − i sin θ
=⇒ cos θ =
eiθ + e−iθ
2
y sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
1.2.15. Ejemplos
Si z = −
√
3 + i y w = 1 +
√
3i, usa la forma exponencial para calcular: (a) zw; (b) z
w ; y (c) z10.

1.2.16. Ra´ıces enésimas de números complejos
Se llama ra´ız enésima de z a cualquier número complejo cuya potencia enésima es z. Cualquier número
complejo no nulo tiene exactamente n ra´ıces enésimas distintas que se hallan recurriendo a la forma
exponencial:
z = reiθ
=⇒ n
√
z =
n
√
reiθ = n
√
rei θ+2kπ
n = n
√
rei(θ
n
+2π
n
k) = wk , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Se puede observar que:
• Todas las ra´ıces enésimas tienen el mismo módulo: |wk| = n
√
r.
• La diferencia entre los argumentos de cada dos ra´ıces consecutivas es constante: wk − wk−1 = 2π
n .
• Los afijos de las n ra´ıces enésimas de un número complejo no nulo son los vértices de un pol´ıgono
regular de n lados centrado en el origen.
1.2.17. Ejemplos
Halla las siguientes ra´ıces de números complejos: (a) 3
√
−i; (b) 4
√
16; y (c)
√
−4i.
1.2.18. Conjuntos geométricos en forma compleja
La identificación del plano complejo C con el cartesiano R2 permite expresar muchos conjuntos del plano
en forma compleja que es, en muchos casos, más sencilla. Algunos ejemplos son los siguientes:
• Circunferencia de centro z0 y radio r 0: |z − z0| = r.
• Interior de la circunferencia de centro z0 y radio r 0: |z − z0| r.
• Exterior de la circunferencia de centro z0 y radio r 0: |z − z0| r.
• Mediatriz del segmento de extremos z1 y z2: |z − z1| = |z − z2|.
• Elipse con focos en z1 y z2: |z − z1| + |z − z2| = k, con k |z1 − z2|.
• Hipérbola con focos en z1 y z2: ||z − z1| − |z − z2|| = k, con 0 k |z1 − z2|.
La ecuación cartesiana del conjunto se puede obtener sustituyendo z = x + iy y operando.
1.2.19. Polinomios. Teorema fundamental del álgebra
Un polinomio de grado n es cualquier expresión de la forma:
Pn(z) = anzn
+ an−1zn−1
+ . . . + a2z2
+ a1z + a0 , con an = 0
donde ai ∈ C, 0 ≤ i ≤ n, se llaman coeficientes.
Se llama ra´ız del polinomio a cualquier valor de z que lo anula, es decir:
z = z0 es ra´ız de Pn(z) ⇐⇒ Pn(z0) = 0 ⇐⇒ Pn(z) = (z − z0)Pn−1(z)
Mientras el polinomio cociente se anule en z0, se puede seguir dividiendo por z − z0, y se dice que:
z = z0 es ra´ız con multiplicidad m de Pn(z) ⇐⇒ Pn(z) = (z − z0)m
Pn−m(z) y Pn−m(z0) = 0
También se llaman ra´ıces simples a las de multiplicidad 1, dobles a las de multiplicidad 2, y as´ı sucesiva-
mente.
El teorema fundamental del álgebra afirma que, si cada ra´ız se cuenta tantas veces como indica
su multiplicidad, todo polinomio de grado n tiene exactamente n ra´ıces reales o complejas, es decir, que:
Pn(z) = an (z − z1)m1
. . . (z − zp)mp
, con
p
i=1
mi = n
En particular:

• Si los coeficientes son todos reales, cuando hay una ra´ız compleja también está su conjugada con la
misma multiplicidad.
• Todo polinomio de coeficientes reales y grado impar tiene, al menos, una ra´ız real.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones complejas:
(a) i−221
(b)
2i(3 + i) + (1 − i)(2 + i)
i3(1 + 2i)
(c)
100
k=0
ik
(d)
√
5 + 12i
2. Resuelve en C la ecuación:
z
2 + i
+
3z − i
2 − i
= 3.
3. Halla x, y ∈ R para que:
3 + xi
1 + 2i
= y + 2i.
4. Halla a ∈ R para que:
a + 2i
1 − i
= 2.
5. Prueba que si |z| = 2 entonces:
1
z4 − 4z2 + 3
≤
1
3
.
6. Prueba que, para cualquier z ∈ C, se cumple: |Re z| + |Im z| ≤ |z|
√
2.
7. Calcula: (a) (1 + i)20; (b) (
√
3 − i)30.
8. Halla la suma y el producto de las ra´ıces enésimas de la unidad.
9. Halla todos los complejos z ∈ C tales que z3 − |z|2
= 0.
10. Halla el lugar geométrico de todos los números complejos de la forma:
z =
a − i
1 + i
, a ∈ R
Encuentra, si existen, los que se encuentran sobre la recta x + 2y − 1 = 0.
11. ¿Qué curva o conjunto geométrico representa cada una de las siguientes igualdades o desigualdades?
(a) |z − 1 + 2i| = 3 (b) |z − i| |z + i| (c) 0 |z − 1| 2 (d) |z − 2| + |z + 2| = 6
Encuentra sus ecuaciones en forma cartesiana.
12. Sabiendo que 1 + i es solución de z4 − 4z3 + 5z2 − 2z − 2 = 0, calcula todas sus ra´ıces.
CUESTIONES
1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:
(a) Los números reales no son complejos.
(b) Los números complejos de módulo 1 son menores que los números complejos de módulo 2.
(c) El inverso de un número real es complejo.

(d) Si |z| |w| entonces z w.
(e) Las ra´ıces enésimas de un número complejo tienen todas el mismo módulo.
(f) Las ra´ıces de la ecuación z5 + 2i = 0 son los vértices de un pentágono regular.
(g) Todo polinomio de grado impar tienen al menos una ra´ız real.
2. Demuestra que, para cualesquiera z, w ∈ C, se cumple que:
|z + w|2
+ |z − w|2
= 2 |z|2
+ 2 |w|2
3. Demuestra que |z − 1| |z + 1| si y sólo si Re(z) 0.
4. ¿Es cierto que las ra´ıces cúbicas de la unidad se pueden expresar como 1, w y w2? ¿Quién es w?
5. Justifica que existe w tal que las ra´ıces enésimas de la unidad son: 1, w, w2, ..., wn−1.
6. Justifica que las ra´ıces enésimas de un número complejo forman una progresión geométrica. ¿Cuáles
son el primer término y la razón?
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones complejas:
(a) i2723
(c) (2 − 3i)(1 + i) − (1 + 2i)2
(e)
1 + i
(1 − i)2
(g) (2 − i)5
(b) i−1
(d) (3 − 2i)(1 + 3i)(2 − i) (f)
i + i2 + i3 + i4 + i5
1 + i
(h)
(1 + i)3
(1 − i)3
2. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones:
(a) 1 + i + i2
+ . . . + i57
(b) (1 + 2i)4
(c) (3 − 2i)5
3. Resuelve en C las ecuaciones: (a)
3 − i
z
= 4 + 2i; (b) x2 + 2x + 5 = 0.
4. Halla, en cada caso, el valor de a ∈ R para que el número complejo z = a+3i
1+i
(a) Sea imaginario puro.
(b) Sea un número real.
(c) Esté sobre la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes.
5. Encuentra dos números complejos tales que su suma es un número real, su diferencia y cociente
sean imaginarios puros, y su producto sea igual a 2.
6. Halla z ∈ C si z + w = 2 + 3i y w = 3 + i.
7. Prueba que si |z| 1 entonces: Re(1 − z + z2) 3 y Im(1 − z + z2) 2.
8. Expresa en forma polar y en forma exponencial los siguientes números complejos:
3 + 3i − 1 +
√
3i − 1 − 2i − 2 − 2
√
3i
9. Halla, usando la fórmula de Moivre, sin 3x y cos 5x en función de sin x y cos x.
10. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son O(0, 0) y A(4, 1). Halla sus otros dos vértices. ¿Es
único?

11. Halla los vértices de un hexágono regular.
12. Halla las siguientes ra´ıces:
(a)
3
√
1 (b)
3
√
i (c) 4
√
−1 (d)
√
1 − i (e) 3
√
1 + i (f)
6
1 −
√
3i
13. Encuentra las soluciones de la ecuación z3 + 8 = 0 que caen dentro del recinto del plano complejo
definido por |z + 1| 2.
14. ¿Qué curva o conjunto geométrico representa cada una de las siguientes igualdades o desigualdades?
(a) |z − i| = |z + i| (b) |z − 1| = 2 (c) |z − i| + |z + i| = 4 (d) ||z − 2| − |z + 2|| = 2
Encuentra sus ecuaciones en forma cartesiana.
15. Sabiendo que z = i es solución de z7 + z5 − z2 − 1 = 0, calcula todas sus ra´ıces.
16. Estudia si la ecuación ax5 + bx4 + cx3 − ix2 − i = 0, con a, b, c ∈ R, tiene soluciones reales.

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