Ortiz lcm

Transmisión vía fibra óptica de señales
analógicas utilizando subportadora
modulada en frecuencia de pulsos:
aplicación potencial en instrumentación
y control
Por
Ing. Carlos Manuel Ortiz Lima
Tesis sometida como requisito parcial para obtener el
grado de Maestro en Ciencias en la especialidad de
Óptica en el Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica
y Electrónica.
Supervisada por:
Dr. Celso Gutiérrez Martínez
©INAOE 2010
Derechos Reservados
El autor otorga al INAOE el permiso de
reproducir y distribuir copias de esta tesis en
su totalidad o en partes.

A mis padres
Porfirio y Socorro
Quienes a pesar de todo me siguen queriendo

Agradecimientos
A los contribuyentes de México
Gracias por solventar económicamente mis estudios de maestría
A Laura y Ana
Gracias por su cariño, comprensión y estímulo con el que cada día tuve la
fortaleza para llegar al término este proyecto. Gracias por su paciencia, por
caminar a mi lado y sobre todo gracias por soportarme
A mis amigos
Gracias por su apoyo técnico, moral y económico. Ustedes hicieron posible
que este proyecto se realizara. Gracias por estar conmigo cuando los necesito.
Sin su ayuda no hubiese sido posible terminar este trabajo
Al consejo Nacional de Ciencia y Tecnología
Gracias por administrar los recursos de los contribuyentes y destinarlos al
desarrollo del conocimiento en México
Al instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica
Gracias a los profesores y al personal. El trabajo de todos ustedes hace grande
a este Instituto

I
Índice general
Resumen IV
Introducción V
Capítulo 1 Introducción a las comunicaciones ópticas 1
1.1.- Las comunicaciones ópticas en perspectiva. 1
1.2.- Elementos en las comunicaciones ópticas 2
1.2.1.- Fibras ópticas 3
Pérdidas en la transmisión en una fibra óptica 5
Dispersión 6
Dispersión modal 6
Dispersión del material o cromática 9
Modos de propagación 10
Tipos de fibras ópticas 11
Fibra multimodo de índice escalonado 11
Fibra multimodo de índice graduado 12
Fibra monomodo 13
1.2.2. Emisores ópticos 15
La unión p n
 15
Diodo emisor de luz (DEL) 18
Relación corriente-potencia 19
Acoplamiento a una fibra óptica 20
Distribución espectral 21
Respuesta a la modulación 22
Láseres semiconductores 22
Relación potencia-corriente 24
Emisión espectral de un diodo láser 25
Modulación de un láser 26
Comparación entre DEL y diodo Láser 27
1.2.3. Foto detectores 29
Absorción óptica 29
La unión p n
 29
Propiedades fundamentales de los fotodetectores 30
Eficiencia cuántica 30
Responsividad 31
Tiempo de respuesta 32

Índice general
II
Ancho de banda 34
Tipos de fotodetectores 34
Fotodiodo p i n
  35
Responsividad de un fotodiodo p i n
  35
Características eléctricas de un fotodiodo p i n
  36
Fotodiodos de avalancha (APD) 36
Responsividad de un APD 38
Tiempo de respuesta 38
Comparación entre fotodetectores p i n
  y APD 39
1.2.4. Recepción en sistemas de comunicaciones ópticas: esquemas de detección directa
de intensidad
40
Ruido en los fotodetectores 42
1.3 Sistema de comunicaciones ópticas 43
1.3.1 Esquema general de un sistema de comunicaciones 44
1.4 Conclusiones 48
Referencias 50
Capítulo 2. Técnicas de modulación temporal para comunicaciones 51
2.1.- Técnicas de modulación analógica 54
2.1.1.- Modulación en amplitud 54
Modulación en amplitud con doble banda lateral con portadora (DS-FC) 54
Modulación en amplitud con doble banda lateral con portadora suprimida (DS-SC) 56
Modulación en amplitud con banda lateral única con portadora (SS-FC) 56
Modulación en amplitud con banda lateral única con portadora suprimida (SS-SC) 58
Índice de modulación y porcentaje de modulación 58
2.1.2 Modulación angular 60
Índice de modulación 61
Espectro de una señal modulada en frecuencia 62
Modulación por multiplicidad de frecuencias 63
Potencia promedio de una señal modulada en frecuencia 64
Ancho de banda de una señal sinusoidal modulada en frecuencia 64
Generación de señales de FM 65
2.2.- Modulación de pulsos 67
Teorema del muestreo 67
2.2.1.- Modulación por amplitud de pulsos 70
2.3.- Modulación temporal de pulsos 75
2.3.1.- Modulación por ancho de pulsos 77
2.3.2.- Modulación por posición de pulsos 79
2.3.3.-Modulación en frecuencia de una onda cuadrada 81
2.3.3.- Modulación en frecuencia de pulsos 81
2.4.- Conclusiones 82
Referencias 83
Capítulo 3. Modulación en frecuencia de pulsos 85
3.1 Preliminares 85
3.2 Generalidades de la modulación en frecuencia de un tren de pulsos 87
3.3 Distribución espectral de una señal de pulsos modulada en frecuencia 89
3.3.1 Modulación en frecuencia de una onda cuadrada (SWFM) 89
3.3.2 Distribución espectral de una señal modulada en frecuencia de pulsos (PFM) 93
3.4 Generación y detección de una señal modulada en frecuencia de pulsos 96
3.5 Ruido en una señal modulada en frecuencia de pulsos 97
3.6 Conclusiones 100

Índice general
III
Referencias 102
Capítulo 4. Enlace optoelectrónico basado en PFM para la transmisión de señales de
instrumentación y control
103
4.1 Introducción 103
4.2 Objetivo del trabajo experimental 104
4.3 Sistema propuesto 104
4.4 Descripción del sistema 105
4.5 Elementos del sistema 108
4.6 Resultados 115
4.6.1 Funcionamiento de los elementos que integran el sistema experimental 115
4.2.2 Resultados generales del sistema 123
4.6.3 Resumen general de resultados 128
4.7 Aplicaciones potenciales del sistema de transmisión en instrumentación y control 129
4.8 Conclusiones 131
Referencias 133
Conclusiones 135
Apéndice A Fundamentos de óptica 139
Apéndice B Niveles de señal y ganancia en decibeles 144
Apéndice C Espectro, multiplicidad de frecuencia y potencia de una señal de FM 146
Apéndice D Esquemas generales de detección de señales moduladas en frecuencia 153
Apéndice E Criterio para el ajuste de los datos obtenidos en la prueba de linealidad del
sistema: el coeficiente de correlación
158
Apéndice F Medición del ruido 160

IV
Índice de figuras
Figura 1-1 Elementos básicos de un sistema de comunicaciones ópticas
Figura 1-2 Sección transversal de una fibra óptica monomodo para comunicaciones
Figura 1-3 Trayectoria de propagación de un rayo de luz dentro de una fibra óptica
aprovechando el fenómeno de reflexión total interna
Figura 1-4 Pérdidas en la transmisión en una fibra óptica en función de la longitud de
onda
Figura 1-5 Diferentes modos de propagación en una fibra óptica
Figura 1-6 Trayectoria más larga de un modo propagante en una fibra óptica
correspondiente a al ángulo crítico
Figura 1-7 Dependencia del índice de refracción en función de la longitud de onda en el
núcleo de una fibra óptica estándar
Figura 1-8 Dispersión cromática
Figura 1-9 Modos de propagación en una fibra monomodo
Figura 1-10 Fibras multimodo comunes cuyas dimensiones corresponden a estándares del
la International Telecommunications Union (ITU)
Figura 1-11 Perfil del índice de refracción del núcleo de una fibra óptica multimodo de
índice graduado expresado en porcentaje respecto al índice del revestimiento
Figura 1-12 El gradiente en el índice de refracción en una fibra óptica multimodo de
índice graduado
Figura 1-13 Corte transversal de una fibra monomodo
Figura 1-14 Diagramas de bandas de energía en una unión p-n
Figura 1-15 Recombinación en un semiconductor
Figura 1-16 Proceso de emisión espontánea
Figura 1-17 Curva característica de la potencia emitida por un DEL Vs corriente
Figura 1-18 Distribución Lambertiana de un DEL y potencia de acoplamiento a una fibra
óptica
Figura 1-19. Distribución espectral de un DEL con una longitud de onda central de 850nm
Figura 1-20 Proceso de emisión estimulada
Figura 1-21 Emisión estimulada en una cavidad de espejos contrapuestos
Figura 1-22 Relación potencia óptica-corriente (en un diodo láser)
Figura 1-23 Emisión espectral de un diodo láser
Figura 1-24 Longitudes de onda emitidas en un láser de varios modos longitudinales
Figura 1-25.Comparación entre la emisión de potencia óptica de un DEL y un diodo láser

Índice de figuras
V
Figura 1-26 Par electrón hueco generado ópticamente en un material semiconductor
Figura 1-27.Campo eléctrico generado por la difusión de portadores entre las regiones p y
n
Figura 1-28 Esquema para desarrollar una expresión que determine el tiempo de tránsito
de un portador de carga en un material semiconductor
Figura 1-29 Modelo físico y eléctrico de un fotodiodo de unión p-n
Figura 1-30 Fotodiodo p-i-n
Figura 1-31 Responsividad para fotodetectores p-i-n en función de la longitud de onda
incidente
Figura 1-32 Fotodiodo de avalancha y la distribución del campo eléctrico a la largo de sus
capas
Figura 1-33 Estructuras físicas de un fotodiodo p-i-n y uno APD
Figura 1-34 Sistema de detección directa
Figura 1-35 Esquema de un sistema de comunicaciones ópticas utilizando técnicas de
modulación analógica y por pulsos
Figura 1-36 Esquema de un sistema de comunicaciones ópticas utilizando técnicas de
modulación digital
Figura 1-37 Diferentes tendencias tecnológicas en las comunicaciones
Figura 1-38 Diversas topologías de una red de comunicaciones
Figura 2-1 Esquema general del proceso de comunicación
Figura 2-2 Diversas formas de representación temporal de una señal de información
Figura 2-3 Esquema de un modulador en amplitud
Figura 2-4 Esquema de un modulador en amplitud DS-FC
Figura 2-5 Distribución espectral de una señal modulada en amplitud en la modalidad DS-
FC.
Figura 2-6 Esquema de un modulador en amplitud DS-SC
Figura 2-7 Distribución espectral de una señal modulada en amplitud en la modalidad DS-
SC.
Figura 2-8 Esquema de un modulador en amplitud SS-FC
Figura 2-9 Distribución espectral de una señal modulada en amplitud en la modalidad SS-
FC.
Figura 2-10 Distribución espectral de una señal modulada en amplitud en la modalidad
SS-SC.
Figura 2-11 Esquema de un modulador en amplitud SS-SC
Figura 2-12 Las bandas laterales de la distribución espectral de una señal modulada en
amplitud se ven modificadas en magnitud de acuerdo al valor del índice de
modulación
Figura 2-13 El caso de una señal modulada en amplitud con sobre modulación
Figura 2-14 Índice de modulación. Figura 2-15. Funciones Bessel de primera clase ( )
n
J 
graficadas como una función del índice de modulación 
Figura 2-16. Distribuciones espectrales de una señal sinusoidal modulada en frecuencia
para diferentes valores de  .
Figura 2-17 Una señal moduladora ( )
m t es multiplicada por un tren de pulsos ( )
s t con
periodo s
T y ancho dt para producir la señal ( )
m t muestreada

Índice de figuras
VI
Figura 2-18 En la figura (a) se representa la distribución espectral de una señal limitada
en banda y frecuencia máxima M
f
Figura 2-19 La distribución espectral de la ecuación (2-30a)
Figura 2-20 Muestreo natural de una señal ( )
m t mediante un tren de pulsos ( )
s t
Figura 2-21 Muestreo rectangular en un proceso de modulación por amplitud de pulsos
Figura 2-22 Esquema del ensanchamiento de un impulso de duración infinitesimal a un
pulso de duración  mediante una función de transferencia ( )
H 
Figura 2-23 Un tren de impulsos de amplitud unitaria y periodo s
T es matemáticamente
aplicado a un bloque con función de transferencia ( )
H  que realizará la
función de “ensanchar” los impulsos entrantes
Figura 2-24 Secuencia de la obtención de la ecuación (2-36)
Figura 2-25 Diversos formatos para PTM
Figura 2-26 Diferentes formas de muestrear una señal PWM.
Figura 2-27 Señal PWM. (a) Muestreo a un flanco; (b) muestreo a dos flancos
Figura 2-28 Esquema PWM utilizado para el modelo matemático de ( )
f t mediante un
muestreo natural a doble flanco
Figura 2-29 Una señal PPM a partir de una señal PWM de muestreo natural y de una
transición por periodo de muestreo
Figura 2-30 Esquema de un modulador PPM a partir de un modulador PWM
Figura 2-31 Modulación SWFM a partir de una señal FM sinusoidal
Figura 2-32 Esquema a bloques de un modulador PFM
Figura 2-33 Proceso gráfico de la obtención de una señal PFM
Figura 3-1 Conceptualización del método de análisis de escalón
Figura 3-2 Tren infinito de pulsos
Figura 3-3 Transiciones positiva y negativa para un tren de pulsos SWFM
Figura 3-4 Posición de las transiciones positiva y negativa para un tren de pulsos PFM
Figura 3-5 Esquema de la distribución espectral de una señal PFM
Figura 3-6 Esquemas de dos señales PFM que servirán para visualizar la forma de
detección de la señal moduladora promediando en el tiempo
Figura 3-7 Esquema a bloques de una sistema de transmisión PFM
Figura 3-8 Efecto del ruido en las transiciones de los pulsos en una señal PFM
Figura 3-9 Variación de SNR de una señal PFM en función de índice de la variación de
frecuencia del modulador
Figura 4-1 Sistema de transmisión optoelectrónico basado en PFM
Figura 4-2 Evolución de la señal modulada en frecuencia de pulsos en el sistema de
transmisión
Figura 4-3 Distribuciones espectrales en diferentes puntos del sistema de transmisión
Figura 4-4 Amplificador de entrada
Figura 4-5 Circuito modulador en frecuencia
Figura 4-6 Circuito formador de pulsos en la sección del transmisor
Figura 4-7 Circuito comparador
Figura 4-8 Circuito para la conversión eléctrico-óptica
Figura 4-9 Conversión óptico eléctrica (receptor)
Figura 4-10 Circuito amplificador de la señal del fotodetector

Índice de figuras
VII
Figura 4-11 Circuito formador de pulsos (monoestable) en la sección del receptor
Figura 4-12 Circuito comparador en la sección del receptor Figura 4-13 Filtro pasa bajas
par la detección de la señal moduladora
Figura 4-13 filtro pasa bajas para la detección de la señal moduladora
Figura 4-14 Ajuste de nivel de voltaje y circuito amplificador
Figura 4-15 Respuesta en frecuencia del modulador respecto al voltaje de entrada
Figura 4-16 Curva de respuesta en frecuencia contra capacitancia 1
C del circuito
modulador
Figura 4-17 Formas de onda producidas por el modulador en frecuencia
Figura 4-18 Formas de onda producidas por el circuito formador de pulsos en la sección
del transmisor
Figura 4-19 Formas de onda producidas por el circuito comparador
Figura 4-20 Curva potencia óptica emitida contra corriente ánodo-cátodo del emisor DEL
utilizado
Figura 4-21 Formas de onda producidas por el circuito manejador del emisor óptico
Figura 4-22 Respuesta en frecuencia de la señal del fotodetector
Figura 4-23 Formas de onda producidas por el amplificador de la señal del fotodetector
Figura 4-24 Formas de onda producidas por el circuito formador de pulsos
Figura 4-25 Formas de onda producidas por el circuito comparador en la sección del
receptor
Figura 4-26 Respuesta en frecuencia del filtro y el amplificador de salida respecto de la
señal de entrada al sistema
Figura 4-27 Respuesta de linealidad del sistema
Figura 4-28 Pérdidas en un enlace de fibra óptica
Figura 4-29 Relación señal a ruido del sistema en función del parámetro 
Figura 4-30 diversas formas de onda transmitidas y recuperadas
Figura 4-31 Esquema de un sistema de instrumentación y control
Figura 4-32 Esquema a bloques de un sensor y su conexión
Figura 4-33 Esquema de una aplicación potencial del sistema de transmisión propuesto en
Figura A-1 Representaciones de la luz
Figura A-2 Espectro electromagnético
Figura A-3 Fenómeno de la refracción cuando un haz luminoso atraviesa dos materiales
diferentes
Figura A-4 Fenómeno de la reflexión total interna.
Figura D-1. Esquema general de un demodulador de FM
Figura D-2. Esquema de la función de transferencia vi Vs v1 de un limitador ideal
Figura D-3. Esquema de un demodulador de FM con retroalimentación
Figura D-4. Esquema básico a bloques de un PLL
Figura F-1 El ruido en una distribución gaussiana

VIII
Resumen
Esta tesis describe el desarrollo experimental de un sistema de transmisión vía fibra óptica
que utiliza premodulación en frecuencia de pulsos. Se revisa también la teoría de diversas
formas de modulación por pulsos con énfasis en la modulación en frecuencia de pulsos.

IX
Introducción
Un sistema de transmisión por fibra óptica.
Los sistemas de fibra óptica utilizan luz para transmitir información. Estos sistemas
realizan tres funciones básicas: convertir una señal eléctrica en óptica, enviar la
información a través de la fibra y convertir la señal óptica en eléctrica.
Las tres funciones que realiza un enlace de fibra requieren de bloques funcionales
específicos. Un transmisor, es el que lleva a cabo la modulación eléctrica de la información,
la cual se transforma en señal óptica; un medio de transmisión que es representado por la
fibra óptica y un receptor, en donde la señal óptica es convertida en un formato eléctrico,
además que la señal modulada es llevada nuevamente a su formato eléctrico.
Un sistema de transmisión basado en fibra óptica presenta características atractivas, muchas
de ellas superiores a las presentadas por un sistema de transmisión puramente eléctrico. Las
ventajas principales del uso de la fibra óptica en comparación de un sistema basado en
cables metálicos incluyen:
 Inmunidad al ruido electromagnético
 Mayor seguridad en la transmisión de la señal
 Provee aislamiento eléctrico
 No presenta radiación al exterior

Introducción
X
 Disponibilidad de un gran ancho de banda y, además, permite grandes velocidades de
transmisión de la información1
 Menor atenuación de la señal respecto de la distancia y de los sistemas equivalentes
eléctricos1
 Alta resistencia a la corrosión en ambientes hostiles
 Bajo costo por canal de transmisión en relación a un sistema eléctrico (debido al gran
ancho de banda y velocidad de transferencia)
A pesar de las ventajas mencionadas, los sistemas de transmisión basados en fibra óptica
presentan algunas desventajas en lo que se refiere al costo de realización en enlaces de
corta distancia.
La tecnología de los sistemas de transmisión por fibra ha evolucionado principalmente en
aplicaciones de larga distancia; sin embargo, los nuevos mercados emergentes de servicios
a usuarios domésticos y de redes de acceso local, demandan cada vez mayor capacidad y
velocidad de transmisión de la información, lo que probablemente hará que los
concesionarios de servicios inviertan en los sistemas de fibra óptica masivos, sustituyendo
así a redes de cobre que ya no serán capaces de satisfacer las necesidades de nuevos
servicios de banda ancha.
Objetivo del sistema presentado.
Proveer un sistema de transmisión por fibra óptica empleando modulación en frecuencia
de pulsos, cuyo ancho de banda y alta linealidad permitan la transmisión de señales de
instrumentación.
Organización.
Esta tesis está dividida en cinco capítulos, dedicados a diferentes aspectos relacionados con
la teoría de sistemas de fibra óptica con pre-modulación eléctrica y de sistemas de
transmisión.
1
En el capítulo 1 se presentan algunas restricciones en este aspecto

Introducción
XI
El capítulo uno consiste en tres partes. En la primera describen los esquemas de las
comunicaciones ópticas; en la segunda parte se describen los elementos que conforman un
sistema de transmisión óptica y en la última parte presenta un sistema óptico de
comunicaciones.
En el capítulo dos se describen los diferentes formatos de modulación de una señal
portadora. Al final del capítulo se describe la modulación en frecuencia de pulsos y que
servirá de teoría para la parte experimental de esta tesis.
El capítulo tres está dedicado principalmente al desarrollo matemático de la modulación en
frecuencia de pulsos. Se describen los aspectos de la detección de una señal modulada en
frecuencia de pulsos y se presenta un esquema muy general del sistema propuesto en este
estudio. Al final de este capítulo se estudia el parámetro de la relación señal a ruido. Los
temas presentados en este capítulo servirán de fundamento teórico del diseño del sistema
así como su evaluación experimental.
En el capítulo cuatro se describe el esquema experimental y su realización basada en los
conceptos presentados en el capítulo tres. Se presentan las diferentes etapas funcionales del
sistema y sus resultados y caracterizaciones de manera individual. La última parte detalla
las características de desempeño del sistema completo.
En el capítulo cinco se presentan las conclusiones generales y las perspectivas de trabajo
futuro sobre el tema.
Al final del texto se presentan cinco apéndices, de los que se pretende sirvan como
complemento para fundamentar lo escrito en los cinco capítulos principales.

1
Capítulo 1
Introducción a las comunicaciones ópticas
Esencialmente, la comunicación es la transmisión y recepción de ideas, mensajes o
cualquier tipo de información. En el contexto histórico del pensamiento evolutivo de las
formas de comunicación, es imprescindible mencionar a Charles Darwin, quien pensaba
que la comunicación entre las especies surgió básicamente por la necesidad de
supervivencia. Cualquier forma de comunicación primitiva evoluciona, permitiendo el
desarrollo de nuevas formas para transmitir ideas y pensamientos de cualquier forma de
vida.
La forma más sofisticada de comunicación que ha desarrollado en forma natural la especie
humana es el lenguaje verbal, el cual, se piensa, fue desarrollado a partir de sonidos
complementados con gestos y expresiones corporales; los gestos son una primera forma de
comunicación óptica y que se presenta de manera espontánea en los seres vivos.
La forma impresa de comunicación fue quizá la primera manera de transmitir información a
distancia, ya que un medio impreso puede ser transportado y por lo tanto ser portador de
información. La necesidad de comunicación entre los seres humanos condujo al desarrollo
de diversos sistemas de comunicación; así surgieron la telefonía, la radio, la televisión y la
internet.
1.1.- Las comunicaciones ópticas en perspectiva.
La idea de transmitir información utilizando la luz no es nueva. Los romanos ya utilizaban
sistemas consistentes en antorchas colocadas estratégicamente en lugares altos para
comunicar a sus ejércitos [9].

Capítulo 1. Introducción a las comunicaciones ópticas
2
Hacia 1800, Alexander Graham Bell y Charles Sumner Tainter patentaron un aparato que
transmitía señales auditivas a corta distancia por medio de luz. A este instrumento lo
llamaron fotófono. Este dispositivo utilizaba celdas sensibles a la luz construidas de
selenio, cuya resistencia varía en función de la intensidad luminosa incidente. La emisión
de luz era modulada por vibraciones de un espejo, las cuales eran captadas por las celdas de
selenio situadas en el foco de un reflector parabólico. La calidad de la comunicación resultó
pobre debido al medio de transmisión, el cual atenuaba en gran medida la intensidad
luminosa [9].
Recientemente, en 1958, los físicos Charles Townes y Artur Schawlow publicaron un
artículo en el que se describe la construcción de un láser2, 3
. El trabajo fue una adaptación
de la técnica máser en frecuencias de microondas a frecuencias ópticas. La emisión láser se
caracteriza por ser monocromática, es decir, que contiene una única frecuencia y fase,
constituyendo una emisión coherente. Estas características permiten la concentración de
una gran cantidad de energía en una superficie relativamente pequeña.
La transmisión de un haz láser en el espacio libre está limitada por la atenuación debida a
factores como neblina, lluvia o contaminación en el medio. De estas consideraciones se
puede ya percibir la necesidad de un medio en el que se pueda propagar un haz láser con la
menor degradación posible.
En 1870 John Tyndall observó que la luz puede ser propagada dentro de un material
aprovechando el fenómeno de la reflexión total interna4
. En 1952 Narinder Singh Kapany,
con base en los trabajos de Tyndall, desarrolló los experimentos que llevaron a la invención
de la fibra óptica [10], que es un dispositivo que funciona como guía de onda luminosa.
1.2.- Elementos en las comunicaciones ópticas.
Un sistema de comunicaciones se integra de cuatro elementos básicos: un mensaje con
información, un transmisor, un medio o canal y un receptor.
2
El término láser es un acrónimo de “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation”
3
„Infrared and Optical Masers‟. Phys. Rev. 112 Diciembre 1958, pp. 1940-1949.
4
Vea Apéndice A

3
Si el sistema de comunicación utiliza la luz como portadora de información se dice que es
un sistema de comunicaciones ópticas. Sus elementos esenciales son el emisor óptico, el
medio donde se propaga la luz y el receptor, como se muestra en la figura 1-1.
Figura 1-1 Elementos básicos de un sistema de comunicaciones ópticas. Las siglas E/O y O/E se refieren a la
conversión eléctrica-óptica y óptica-eléctrica respectivamente.
La información a transmitir es modulada ya sea en intensidad o pulsos5
, posteriormente es
convertida en señal óptica y transmitida a través de una fibra óptica. En el otro extremo del
medio de transmisión ocurre el proceso contrario para recuperar la información transmitida.
En las secciones siguientes se describen los elementos esenciales de un sistema de
comunicaciones ópticas.
1.2.1.- Fibras ópticas.
Una fibra óptica es un filamento cilíndrico de vidrio o plástico; la luz incidente se propaga
de un extremo al otro con base en el fenómeno de reflexión total interna. En la figura 1-2 se
muestra el corte transversal de una fibra óptica monomodo6
para comunicaciones [4],
donde es posible observar la estructura de las capas que la conforman.
Figura 1-2 Sección transversal de una fibra óptica típica monomodo para
comunicaciones.
5
En el capítulo 2 se abunda sobre diferentes formas de modulación.
6
Consulte la sección “Tipos de fibras ópticas” en este capítulo.

4
Un haz luminoso se confina y propaga en el núcleo de la estructura. El núcleo y el
revestimiento son los elementos básicos de la fibra óptica; el recubrimiento sólo constituye
una envoltura mecánica. Si el índice de refracción7
del núcleo es mayor que el del
revestimiento se asegura la propagación de la luz a lo largo del núcleo de la fibra óptica.
Para asociar el fenómeno de la reflexión total interna a la propagación de un haz luminoso
dentro de ella se considera una fibra óptica con índice de refracción 1
n en el núcleo y 2
n en
su revestimiento, de tal forma que 1 2
n n
 y un medio externo con índice de refracción 0
n
que rodea a la fibra. La luz se propagará en el núcleo por reflexión total interna en la
frontera del núcleo y revestimiento como se muestra en la figura 1-3. Cuando un rayo
exterior incide desde el medio externo con un ángulo crítico cincidente
 , se propagará de un
extremo al otro, reflejándose en la frontera entre el núcleo y el revestimiento con un ángulo
crítico c
 .
Figura 1-3 Trayectoria de propagación de un rayo de luz dentro de una fibra óptica por el fenómeno de
reflexión total interna.
El ángulo crítico c
 al interior de la fibra se expresa con la ecuación
1 2
sin( )
c
n n
  . (1-1)
La ecuación que involucra al ángulo crítico c
 y el medio exterior es
0 1
sin( ) sin(90 )
c c
n n
 
  . (1-2)
Al relacionar las ecuaciones (1-1) y (1-2) es posible obtener una expresión que determina la
apertura numérica en una fibra óptica.
7
Consulte apéndice A.

5
2 2
0 1 2
sin( )
c
NA n n n

   . (1-3)
La apertura numérica especifica el ángulo incidente máximo medido desde un medio
externo para el cual se asegura la propagación en el núcleo por reflexión total interna.
La diferencia entre los índices de refracción del núcleo y el revestimiento de una fibra
óptica es pequeño y se define como  
1 2 2
n n n
   . Si se considera que 1 2
n n
 , la ecuación
(1-3) se puede expresar con
1 2
NA n
  . (1-4)
Pérdidas en la transmisión en una fibra óptica. Una fibra óptica es un medio de
transmisión imperfecto e introduce pérdidas, las cuales reducen la potencia de la señal que
llega receptor óptico y limitan la distancia máxima de transmisión.
La constante de atenuación att
 expresa la relación entre las potencias de entrada ent
P y
salida sal
P en una fibra óptica. Si la longitud es de L kilómetros, la constante de atenuación,
en decibeles por kilómetro, se expresa como [4]
/ 10
2.3
log sal
dB km
ent
P
L
L P

 
   
 
. (1-5)
La figura 1-4 muestra las pérdidas en la transmisión por una fibra óptica estándar en dB/km
[3]. Las pérdidas totales provienen principalmente de tres factores: esparcimiento Rayleigh,
absorción e imperfecciones en el material.
El esparcimiento Rayleigh es el principal factor de pérdidas y es debido a las partículas
presentes en el material de la fibra cuyo tamaño es menor a la longitud de onda que se
propaga en el núcleo. La luz no es absorbida por estas partículas sino desviada en diferentes
direcciones. El esparcimiento Rayleigh es proporcional a 4

y disminuye rápidamente con
la longitud de onda.

6
Figura 1-4 Pérdidas en la transmisión en una fibra óptica en función de la longitud de onda.
Dispersión. La dispersión en las fibras ópticas es otro parámetro que limita la distancia de
transmisión así como la tasa máxima de bits por segundo (bps) que es posible transmitir. En
las transmisiones digitales la dispersión en una fibra óptica ocasiona el ensanchamiento de
los pulsos transmitidos.
Existen dos tipos principales de dispersión [3]:
a) Dispersión modal.
b) Dispersión del material o cromática.
Dispersión modal. La luz se propaga por el del núcleo de la fibra en trayectorias oblicuas,
reflejándose cada vez que el haz alcanza la frontera entre el núcleo y el revestimiento, como
se aprecia en la figura 1-5. Los rayos luminosos inciden en el núcleo de la fibra con ángulos
desde 0
  (modo de propagación de orden cero) hasta c
 
 (ángulo crítico 90
c c
 
  ).

7
El rayo que incide al ángulo crítico representa el modo de mayor orden que se puede
propagar en el núcleo de la fibra.
Figura 1-5 Diferentes modos de propagación en una fibra óptica. El modo de orden cero corresponde al rayo
meridional y el orden mayor al del rayo que coincide con el ángulo crítico.
La distancia recorrida por cada modo será mínima sobre el eje del núcleo de la fibra para
0
  y máxima para c
 
 La diferencia entre las trayectorias recorridas provoca un
ensanchamiento de los pulsos luminosos transmitidos a través de la fibra. Este
ensanchamiento se conoce como dispersión modal.
Como se puede ver en la figura 1-6, para c
 
 (el modo de mayor orden), la trayectoria
dentro del núcleo de la fibra es equivalente a prolongar la primera trayectoria hasta una
distancia horizontal L , de modo que 1 2 3
c
L L L L
   .
Figura 1-6 Trayectoria más larga de un modo propagante en una fibra óptica al
ángulo c
 , que corresponde al ángulo complementario del ángulo crítico
A partir de la figura 1-6, cos c c
L L
  , entonces cos
c c
L L 
 . Se establece que L
 es la
diferencia en trayectoria entre el rayo correspondiente al ángulo crítico y el rayo en el eje
del núcleo de la fibra, de tal forma que c
L L L
   ; por lo tanto

8
1
1
cos c
L L

 
  
 
 
, (1-6)
El tiempo de propagación t
 está dado por t L v
   , donde v representa la velocidad de
propagación de un haz luminoso en el núcleo de la fibra. La velocidad de fase de la luz en
un medio homogéneo se expresa en función de la velocidad de la luz y el índice de
refracción del medio 1
v c n
 . Al combinar las relaciones que determinan el tiempo y la
velocidad de propagación se tiene
1
n
t L
c
   . (1-7)
Al sustituir la ecuación (1-6) en (1-7) se obtiene una relación que representa el
ensanchamiento máximo de un pulso de luz propagándose en el núcleo de la fibra debido a
las diferentes trayectorias recorridas.
1 1
1
cos c
n
t
c 
 
  
 
 
. (1-8)
Por otro lado, es posible expresar la ecuación (1-3) en términos del ángulo c
 en el núcleo
de la fibra,
1 sin c
NA n 
 . (1-9)
Al combinar las ecuaciones (1-7) y (1-8) y suponer que c
 es pequeño, se obtiene una
expresión para el ensanchamiento temporal de un pulso en función de la apertura numérica
y el índice de refracción del núcleo [3].
 
2
1
1
2
t NA
cn
  (1-10)

9
La tasa máxima de bits B que puede transmitirse por una fibra óptica que presenta
dispersión modal, en función de su apertura numérica y el índice de refracción en el núcleo,
está dada por
 
1
2
1.4
cn
B
NA
 . (1-11)
La dispersión modal limita la velocidad de transmisión de información en una fibra óptica.
La dispersión del material o cromática ocurre debido a que el índice de refracción del
dióxido de silicio depende de la frecuencia óptica. Para cada componente espectral del haz
propagándose en el núcleo de la fibra se presenta un índice de refracción diferente. La
figura 1-7 muestra la dependencia del índice de refracción del núcleo de una fibra óptica en
función de la longitud de onda.
Figura 1-7 Dependencia del índice de refracción en función de la longitud de onda en el
núcleo de una fibra óptica estándar.
El fenómeno de la dispersión del material ocasiona un retardo relativo entre las diferentes
componentes espectrales de un haz propagándose en el núcleo de una fibra óptica, lo que
ocasiona que un pulso transmitido se ensanche conforme se propaga, limitando la velocidad
de transmisión de información. Este tipo de dispersión se mide en /
ps nm km
 .
La dispersión del material es conocida como dispersión cromática. En fibras ópticas
monomodo estándar, la longitud de onda de cero dispersión se presenta para 1310nm
  ,
como se muestra en la figura 1-8

10
Figura 1-8. Dispersión cromática.
Existen fibras ópticas donde se ha logrado desplazar el punto de cero dispersión hacia
longitudes de onda alrededor de 1550nm. Estas fibras se conocen como fibras de dispersión
desplazada y son utilizadas en sistemas de comunicaciones ópticas de larga distancia.
Modos de propagación. El número de modos que se pueden propagar en una fibra
depende de la longitud de onda y del tamaño, de la forma y la naturaleza del material con el
que está construida. En una fibra óptica el factor dominante es el diámetro del núcleo.
En la figura 1-3 se describió la propagación de la luz en de una fibra óptica mediante el
modelo de rayos, donde la luz es completamente reflejada en la frontera núcleo-
revestimiento y con ello confinada en el núcleo. Sin embargo, el modelo ondulatorio de la
propagación de la luz en de la fibra predice que una pequeña fracción de luz se extiende
más allá del núcleo, penetrando en el revestimiento, como se esquematiza en la figura 1-9.
Ahí se muestran los tres modos de propagación de orden más bajo. La luz penetra una corta
distancia dentro del revestimiento, permaneciendo la mayor parte de la energía en el núcleo
y definiéndose el diámetro de campo modal, el cual es un poco mayor al diámetro físico del
núcleo en las fibras monomodo.

11
Figura 1-9 Modos de propagación en una fibra monomodo.
Las fibras monomodo permiten la propagación de un solo modo. Las fibras multimodo
pueden propagar modos de orden mayor.
El núcleo de una fibra óptica puede soportar un gran número de modos simultáneamente,
aumentando su número conforme se incrementa el diámetro del núcleo. El número de
modos m
N que se pueden propagar en una fibra óptica depende de la apertura numérica
NA , así como del diámetro del núcleo D y la longitud de onda de la luz  . En el caso de
una fibra óptica de índice escalonado, el número de modos que se pueden propagar es
2
1
2
m
D NA
N



 
  
 
. (1-12)
Los modos que están por encima del número establecido en la ecuación (1-12) solo pueden
propagarse distancias cortas en el núcleo de la fibra.
Tipos de fibras ópticas.
Fibra multimodo de índice escalonado. El cambio del índice de refracción entre el núcleo y
el revestimiento es abrupto. Su geometría se presenta en la figura 1-108
.
Este tipo de fibras se identifica por un par de números separados por una diagonal. El
primer número representa el diámetro del núcleo y el segundo el del revestimiento y se
expresa en micrómetros. La figura 1-11 también muestra el perfil de los índices de
refracción entre el núcleo y el revestimiento.
8
Se podrá apreciar más adelante que la diferencia física fundamental entre las fibras de índice escalonado multimodo y
monomodo es el diámetro de su núcleo

12
Figura 1-10 Fibras multimodo comunes, cuyas dimensiones corresponden a estándares del la International
Telecommunications Union (ITU). Se muestra el perfil de los índices de refracción del núcleo.
La velocidad máxima de transmisión debida a la cantidad de modos propagándose en la
fibra multimodo ha sido descrita en la sección de dispersión modal y representa un factor
de consideración en el uso de este tipo de fibras en enlaces de comunicaciones ópticas.
Las fibras multimodo, con núcleos de diámetro relativamente grande, son atractivas para
ciertas aplicaciones debido a que pueden colectar eficientemente la potencia luminosa
proveniente de fuentes económicas, tal como un diodo emisor de luz (DEL).
Debido a que una fibra multimodo es capaz de propagar numerosos modos
simultáneamente, la dispersión modal tiene efectos considerables respecto de la distancia de
transmisión. Una parámetro importante de una fibra de este tipo es el ancho de banda
modal, el cual representa la capacidad de la fibra para transmitir cierta cantidad de
información a cierta distancia, se expresa en MHz km
 y representa un compromiso entre el
ancho de banda de la señal y la distancia a la que puede ser transmitida
Fibra multimodo de índice gradual. Este tipo de fibras permite superar la limitante de la
velocidad de transmisión de las fibras multimodo de índice escalonado, acotada por la
dispersión modal. En una fibra multimodo de índice gradual, el índice de refracción del
núcleo cambia de una forma suave desde su centro hasta el recubrimiento. Un control
cuidadoso del gradiente del índice de refracción reduce la dispersión modal aún en núcleos
relativamente grandes. En la figura 1-11 se muestra un perfil de un índice de refracción
gradual.

13
Figura 1-11 Perfil del índice de refracción del núcleo de una fibra óptica multimodo de
índice graduado expresado en porcentaje respecto al índice del revestimiento.
Desde un punto de vista óptico, las fibras multimodo de índice gradual guían la luz por
efecto de la refracción y no por reflexión total interna. El cambio gradual en el índice
desvía la trayectoria de la luz, dirigiéndola nuevamente hacia el eje del núcleo. La luz se
propaga más rápido en zonas con menor índice de refracción, lo que compensa la
trayectoria mayor. En la figura 1-12 se esquematiza este tipo de fibras.
Figura 1-12 El gradiente en el índice de refracción en una fibra óptica multimodo de
índice gradual. Las zonas oscuras representan un índice mayor que las claras.
En las fibras de índice gradual los diámetros de los núcleos son suficientemente grandes
para colectar la luz de una gran variedad de fuentes.
No todo es ventaja en las fibras de índice gradual. Aunque este tipo de fibra disminuye los
efectos de la dispersión modal, también presenta dispersión cromática.
Las fibras multimodo de índice graduado tienen aplicaciones en transmisión de alta
velocidad y a distancias cortas, sin embargo, las fibras monomodo en la actualidad
representan el estándar de las comunicaciones ópticas de larga distancia y alto desempeño.
Fibra monomodo. Este tipo de fibras ópticas permite la propagación de un solo modo, lo
que evita la dispersión modal. El diámetro de su núcleo es significativamente menor que el

14
de una fibra multimodo y son extensamente utilizadas en enlaces ópticos de larga distancia
y alta velocidad. Transmiten típicamente a longitudes de onda de 1.31 m
 y 1.55 m
 .
El estándar ITU G.652 describe la fibra monomodo estándar. Su perfil de índice de
refracción es escalonado. La diferencia entre los índices de refracción del núcleo y el
revestimiento cae en el rango entre 0.2% y 1.0% [8] y típicamente es de 0.36% [5]. La
figura 1-13 esquematiza este tipo de fibra.
Figura 1-13 Corte transversal de una fibra monomodo. La parte inferior de la figura
representa el perfil de los índices de refracción del núcleo y el revestimiento.
Se ha mencionado que el diámetro del núcleo de las fibras monomodo es pequeño en
comparación con su contraparte multimodo, pero hasta el momento no se ha especificado
su tamaño. Si la ecuación (1-3) se sustituye en la ecuación (1-12), es posible expresar a esta
última en términos del los índices de refracción del núcleo y del revestimiento como
 
2
2 2
1 2
1
2
m
D
N n n


 
 
 
 
. (1-13)
Si 1
m
N  en la ecuación (1-13) y estimando una constante usando funciones Bessel [2], es
posible estimar el diámetro máximo M
D del núcleo que limitará la transmisión de un solo
modo a una longitud de onda específica, como se expresa en la siguiente ecuación
2 2
1 2
2.4
M
D
n n




. (1-14)
Típicamente los materiales con que se fabrican las fibras ópticas tienen índices de
refracción alrededor de 1.44. Si se considera una diferencia entre los índices del núcleo y
del revestimiento de 0.36%, la ecuación (1-14) se simplifica a 6.25
M
D 
 . Para una

15
longitud de onda de 1550nm, el diámetro máximo del núcleo será de 9.7 m
 ; para una de
1310mn, de 8.2 m
 ; y para una de 850nm un diámetro del núcleo máximo de 5.3 m
 .
Las fibras monomodo estándar son la más utilizadas en los sistemas de comunicaciones
ópticas.
1.2.2. Emisores ópticos.
La función de los emisores ópticos es la de convertir una señal eléctrica en una señal óptica.
Los sistemas basados en fibra óptica requieren fuentes de luz que puedan ser moduladas por
la señal a transmitir y que, a su vez, tengan la capacidad de acoplar el haz luminoso de una
manera eficiente al el núcleo de una fibra. Las principales fuentes en sistemas de
comunicación óptica son los diodos láser (DL) y los diodos emisores de luz (DEL).
En un sistema de transmisión óptica, la potencia útil de una fuente es la que se acopla al
núcleo de la fibra, la cual depende del ángulo de aceptación, del tamaño de área emisora y
del alineamiento de la fuente al núcleo de la fibra.
Existen dos formas de modular luz: modulación directa y externa. En la modulación
directa, la emisión de la intensidad luminosa varía con la corriente de inyección del
dispositivo; esta forma de modulación es utilizada extensamente tanto en modulación
analógica como digital. En la modulación externa la intensidad de la fuente es fija y un
dispositivo externo modula la intensidad de la luz.
La unión p n
 . El elemento principal de un emisor semiconductor es la unión que se forma
al juntar un material semiconductor tipo n y un material tipo p . Este tipo de unión es la
base para la construcción de diodos semiconductores.
En un semiconductor intrínseco el nivel de Fermi se encuentra a la mitad de la banda
prohibida. Este nivel cambia en proporción del material dopante n o p . En un material tipo
n , el nivel de Fermi se acerca a la banda de conducción y en un material tipo p , se acerca a

16
la banda de valencia. En condiciones de equilibrio, el nivel de Fermi permanece constante a
lo largo de toda la unión p n
 como se muestra en la figura 1-14a.
En la vecindad de la unión se establece una región de campo eléctrico donde ocurren las
recombinaciones de los portadores de carga. Cuando una unión p n
 es polarizada
directamente mediante la aplicación de un voltaje externo, se reduce la magnitud el campo
eléctrico en la unión (figura 1-14b). Esta condición permite la inyección de portadores a
través de la unión p n
 , estableciéndose una corriente eléctrica que aumenta
exponencialmente con el voltaje aplicado
 
 
1
B
qV K T
S
I I e
  , (1-15)
donde S
I es la corriente de saturación inversa, q es la carga del electrón, V es el voltaje
aplicado en las terminales del dispositivo, B
k es la constante de Boltzmann y T es la
temperatura absoluta.
Figura 1-14 Diagramas de bandas de energía en una unión p n
 . (a) en equilibrio, (b) en polarización
directa.
Durante la interacción electrón-hueco, la energía y el momento deben conservarse. Si el
material de construcción de un dispositivo es de banda directa (coincidencia del mínimo de
la banda de conducción y del máximo en la banda de valencia, figura 1-15a), esencialmente
no hay cambio en el momento ( p mv h 
  ) durante la recombinación electrón-hueco y el
principio de conservación de la energía se cumple mediante la emisión de un fotón. Los
materiales semiconductores de banda directa tales como GaAs, GaAsP o InGaAsP son
utilizados en la fabricación de emisores de luz.

17
Figura 1-15 Recombinación en un semiconductor (a) de banda directa, y (b) de banda
indirecta.
En el caso de los semiconductores de banda indirecta, la recombinación entre electrones y
huecos presenta un cambio en el momento ( p h h v
 
  ), según lo esquematizado en la
figura 1-15b; la emisión de fotones es prácticamente nula [11] y se genera calor.
Una unión p n
 puede utilizarse en los siguientes regímenes
a) Condición de circuito abierto. Debido a que la concentración de huecos en la región p y
la de electrones en la región n es alta, los portadores se difunden a través de la unión a
la región opuesta. Los huecos que se difunden hacia la región n se recombinan con
electrones mayoritarios ahí presentes, lo que provoca la disminución de electrones libres
en la zona de la unión; de la misma forma, los electrones que se difunden hacia la región
p provocan la disminución de huecos en la cercanía de la unión. Debido a esto, se
genera una región de agotamiento de portadores en ambos lados de la unión p n
 . Las
cargas que se encuentran a ambos lados de la región de agotamiento hacen que se
establezca un campo eléctrico y una diferencia de potencial a través de la región. Esta
diferencia de voltaje actúa como una barrera que detiene la difusión de portadores en la
unión, manteniendo el equilibrio entre los electrones de la región n (portadores
mayoritarios) y los electrones de la región p (portadores minoritarios). Debido al
equilibrio en el potencial, no existe flujo de corriente en el dispositivo.
b) Condición de polarización inversa. Si una diferencia de potencial externa es aplicada a
la unión p n
 de tal forma que un voltaje positivo es conectado a la región n , el campo
eléctrico establecido por la fuente de voltaje externa hace que los electrones abandonen
el material n y lo huecos el material p , produciéndose una corriente transitoria y el
ensanchamiento de la región de agotamiento hasta que el voltaje de barrera se equilibre

18
con el externo. El flujo transitorio de portadores en la unión presenta un comportamiento
análogo al proceso de carga de un capacitor. La capacitancia que se genera en la unión
p n
 polarizada inversamente se conoce como capacitancia en la unión. A temperatura
ambiente se generan pares electrón-hueco por ionización térmica, los cuales son
influenciados por el campo eléctrico externo, produciéndose la llamada corriente inversa
de saturación s
I , la cual es del orden de A
 .
c) Condición de polarización directa. Si un voltaje externo es aplicado a una unión p n

en forma directa (un voltaje positivo conectado a la región p ), el campo eléctrico que se
establece hará que los electrones en la banda de conducción de la región n y los huecos
de la banda de valencia de la región p se difundan provocando que la barrera de
potencial en la unión se reduzca respecto de su condición en circuito abierto. Bajo estas
circunstancias, la recombinación del exceso de portadores minoritarios genera una
emisión óptica.
Diodo emisor de luz (DEL). Una unión p n
 polarizada en forma directa emite radiación
luminosa por emisión espontánea, fenómeno conocido como electroluminiscencia.
En la figura 1-16 se ilustra el proceso de emisión espontánea en una unión p n
 en
condiciones de polarización directa. El nivel de energía c
E corresponde al nivel energético
de los electrones en la banda de conducción del material tipo n y el nivel v
E al nivel
energético de los huecos en la banda de valencia del material tipo p . Un electrón en la
banda de conducción puede recombinarse con un hueco en la banda de valencia y emitir luz
en el proceso por emisión espontánea, la cual ocurre sin ninguna clase de estímulo externo.
Este tipo de emisión es el resultado de las recombinaciones individuales de los pares
electrón-hueco en el la unión; los fotones son emitidos en cualquier dirección y tienen fase
aleatoria, por lo que no existe una relación temporal periódica entre ellos.
Una parte de ésta emisión escapa del dispositivo y puede ser acoplada a una fibra óptica. La
luz emitida por un DEL no es coherente y tiene un ancho espectral relativamente grande,
entre 30 y 60nm [4].

19
Figura 1-16 Proceso de emisión espontánea en la unión p n
 .
Relación corriente-potencia. Si la corriente a través de un DEL es I , entonces la razón de
inyección de portadores es I q , la cual representa la suma de recombinaciones con y sin
radiación dentro del material semiconductor.
La eficiencia cuántica interna int
 de un DEL es la fracción de la corriente en polarización
directa que produce electroluminiscencia; la generación de fotones en el material del
dispositivo puede expresarse como int I q
 , entonces la potencia óptica interna int
P generada
por el total de de recombinaciones radiativas es [4]
int int
P I hv q

 , (1-16)
donde hv representa la energía del fotón.
La eficiencia cuántica externa ext
 es un parámetro muy importante en un DEL y representa
a la fracción de fotones generados que emerge del material semiconductor. Típicamente
toma un valor entre 1% y 3%. [11] Existen tres factores por los cuales un fotón generado
dentro del dispositivo no alcanza al medio exterior: la absorción del fotón dentro del
material, la reflexión de Fresnel y el ángulo crítico de emergencia [11].
La potencia óptica emitida por el DEL e
P puede expresarse en términos de ext
 y int
P , de tal
forma que [4]
int int
e ext ext
P P I hv q
  
  . (1-17)
La figura 1-17 muestra un esquema de la potencia óptica irradiada por un DEL en función
de la corriente entre sus terminales.

20
Figura 1-17 Curva característica de la potencia emitida por un
DEL vs la corriente.
Acoplamiento a una fibra óptica. La distribución angular de emisión óptica en un DEL es
Lambertiana. La potencia emitida a un ángulo  medido respecto de la normal a la
superficie emisora del dispositivo varía respecto de cos , como se muestra en la figura 1-
18a. La figura 1-18b es un esquema de la potencia óptica que es posible acoplar a una fibra
óptica dependiendo del ángulo de aceptación c
 .
Figura 1-18 Distribución Lambertiana en un DEL y potencia de acoplamiento a una fibra óptica.
La proporción de potencia óptica acoplada a la fibra c
P y la potencia emitida e
P depende
del diámetro del núcleo de la fibra y de las dimensiones de la superficie emisora, así como
de la apertura numérica de la fibra y del perfil del índice de refracción entre el núcleo y el
revestimiento.
Para una fibra óptica de índice escalonado, la potencia óptica de un DEL acoplada se
expresa como [8]
 
2
c e
P NA P
 . s
r a
 (1-18a)
   
2 2
c s e
P a r NA P
 s
r a
 , (1-18b)

21
donde a es el radio del núcleo de la fibra y s
r el radio de la superficie emisora. Al término
 
2
NA se le conoce como eficiencia de acoplamiento.
Una fibra multimodo de índice escalonado tiene una apertura numérica típica de 0.22 [17],
lo que produce un acoplamiento aproximado del 20% del total del la potencia óptica
emitida por un DEL.
Distribución espectral. El espectro de emisión de un DEL depende de la magnitud de la
banda prohibida del material de fabricación. Una relación aproximada de su distribución
espectral es sugerida en [4].
 
0
( ) exp
espon g g B
R A E E k T
  
 
   
 
  , (1-19)
donde 0
A es un constante de proporcionalidad. La figura 1-19 es una gráfica de la ecuación
(1-19) para una dispositivo cuya longitud de onda central se ha elegido alrededor de los
850nm. La energía de la banda prohibida es de 1.44eV, correspondiente un emisor
fabricado con InGaAsP.
Figura 1-19. Distribución espectral de un DEL con una longitud de
onda central de 850nm dibujada a partir de la ecuación (1-19).
Debido al ancho espectral de la emisión óptica de un DEL, la velocidad de transferencia de
bits por una fibra óptica a largas distancias resulta limitada por efectos de dispersión. Es
necesario establecer un compromiso entre velocidad y distancia de transmisión. Por lo

22
regular los sistemas de comunicación que utilizan un diodo emisor de luz son sistemas de
área local, con velocidades de transferencia de entre 10 y 100Mbps limitados a distancias
de hasta 2 kilómetros [4].
Respuesta a la modulación. La frecuencia máxima de modulación de un DEL depende del
tiempo de recombinación de los portadores c
 . Dado que cualquier forma de onda periódica
puede expresarse como una suma de componentes sinusoidales, es posible considerar una
modulación sinusoidal para determinar la frecuencia máxima mm
f a la cual la potencia
óptica transmitida en un DEL es reducida 3dB, la cual se expresa con [4]
3
2
mm
c
f

 . (1-20)
Típicamente el tiempo de recombinación en un DEL InGaAsP es entre 2 y 5ns [4]. El
ancho de banda correspondiente cae en el rango entre 55 y 138MHz.
Láseres semiconductores. Este tipo de dispositivos funciona por el proceso de emisión
estimulada. Presenta ventajas respecto a los DEL en lo que respecta a coherencia y al
patrón angular de emisión óptica, aspectos que permiten un mejor acoplamiento a una fibra
monomodo [4]. La emisión presenta un espectro angosto, lo que reduce la dispersión en una
fibra, permitiendo velocidades de transferencia de decenas de Gbps. La mayoría de los
sistemas de comunicaciones ópticas utilizan este tipo de emisores por presentar una mejor
respuesta a la modulación que los DEL [4].
El proceso de emisión estimulada se presenta cuando un fotón inicial con energía
c v
h E E
   es absorbido por el material semiconductor, lo cual provoca que un electrón en
la banda de conducción transite a la banda de valencia produciendo un fotón de iguales
características (longitud de onda, fase y dirección de propagación) que el inicial,
presentándose una ganancia óptica o amplificación [11]. Este proceso es llamado emisión
estimulada debido a que fue un fotón la causa inicial de la transición. La figura 1-20
esquematiza el proceso de emisión estimulada.

23
Figura 1-20 .Proceso de emisión estimulada.
En estado de equilibrio térmico, sólo una pequeña porción de electrones tiene la suficiente
energía para alcanzar la banda de conducción. El número de electrones en la banda de
conducción c
N y de valencia v
N depende de la magnitud de la banda prohibida g c v
E E E
 
y de la temperatura. De acuerdo a la aproximación de Boltzmann [11]
 
g
E kT
c
v
N
e
N

 , (1-21)
donde k es la constante de Boltzmann y T la temperatura absoluta.
A temperatura ambiente v c
N N
 , lo cual hace más probable que un fotón incidente sea
absorbido por el material, provocando la transición de un electrón de la banda de valencia a
la banda de conducción en lugar de generar un nuevo fotón por emisión estimulada. Para
llevar a cabo el proceso de amplificación óptica, se debe cumplir v c
N N
 , condición
conocida como inversión de población.
La emisión estimulada puede dominar sólo si se cumple la condición de inversión de
población [4]. En un láser semiconductor esta condición ocurre al contaminar fuertemente
las regiones p y n de tal forma que su nivel de Fermi exceda el de la banda prohibida
cuando la unión p n
 se encuentra en polarización directa. Si la inyección de portadores
supera cierto valor conocido como umbral (vea figura 1-22), se produce la inversión de
población. La transición de electrones de la banda de conducción a la de valencia produce
fotones. En este proceso cada fotón estimula la emisión de otros, los cuales, a su vez,
pueden estimular la emisión de más fotones.
La inversión de población y la presencia de ganancia óptica no son todavía condiciones
suficientes para la operación de un diodo láser: es necesaria una retroalimentación óptica.

24
En la mayoría de los láseres esta retroalimentación es provista al construir una cavidad
Fabry-Perot formada por dos superficies reflectoras paralelas, como se muestra en la figura
1-21, reforzándose la emisión de más fotones a cada ciclo de reflexión dentro de la cavidad.
Figura 1-21 Emisión estimulada en una cavidad de espejos contrapuestos. Un fotón generado por emisión
espontánea en (a) estimula la emisión de más fotones, los cuales estimulan aún más al reflejarse en el extremo
derecho de la cavidad en (b).
En la figura 1-21 sólo la luz propagándose en la dirección perpendicular a los espejos es
amplificada y logra estimular más fotones. Una fracción de la luz producida dentro de la
cavidad emerge fuera de ella a través del espejo parcialmente reflejante. Esta emisión
estimulada genera un haz altamente coherente y con alta densidad de potencia.
Relación potencia-corriente. La relación entre la potencia óptica emitida y la corriente
eléctrica inyectada al dispositivo es mostrada en la figura 1-22. Para valores menores que la
corriente umbral th
I , solamente es emitida radiación espontánea y el diodo láser funciona
como un DEL. Si la corriente en el dispositivo es mayor que th
I , el proceso de emisión
estimulada domina al de emisión espontánea, la potencia emitida se incrementa
rápidamente y el ancho espectral emitido se vuelve más angosto conforme se incrementa el
valor de la corriente. Si la corriente del diodo se vuelve significativamente alta, un solo
modo dominante y de un rango espectral angosto es emitido [11]. Para potencias altas, la
pendiente de la curva disminuye por el calentamiento de la unión [8].
La corriente de umbral es un parámetro importante de los diodos láser. Por debajo ella, la
mayor parte de la energía transferida al dispositivo se disipa en forma de calor; por encima,
la energía emerge en forma de luz.

25
Figura 1-22 Relación potencia óptica-corriente.
Emisión espectral de un diodo láser. Para valores por debajo de la corriente de umbral, un
diodo láser se comporta como un DEL, el cual opera en condiciones de emisión espontánea
y presenta un ancho espectral FWHM típico de 30nm [12]. Conforme el valor de la
corriente se aproxima a th
I , el ancho espectral se vuelve más angosto. Cuando la corriente
que circula a través del dispositivo supera el valor de th
I , la emisión se aproxima a una
emisión monocromática, con un ancho espectral alrededor de 1nm [5] [12]. La figura 1-23
esquematiza la distribución espectral típica de un diodo láser para diferentes valores de
corriente de inyección.
Figura 1-23 emisión espectral de un diodo láser.
Si la distancia L que separa las superficies reflectoras en la cavidad Fabry-Perot de un
diodo láser es múltiplo entero N de 2
 , la emisión se reforzará si se cumple la condición
[12]
2 ( )
N
L
n


 ,

26
o bien
donde ( )
n  representa al índice de refracción del material semiconductor correspondiente a
la longitud de onda  .
Cada pico en la figura 1-24 corresponde a un diferente valor de N en la ecuación (1-22) y
representa un modo longitudinal del láser, es decir una longitud de onda resonante a lo
largo de la cavidad.
Figura 1-24 Longitudes de onda emitidas en un láser de varios modos
longitudinales
Un diodo láser con una emisión como la de la figura 1-24 se considera un láser multimodo.
El espaciamiento m

 en términos de la longitud de onda entre modos longitudinales
consecutivos está dado por [8] [12]
El mejor desempeño en un sistema de comunicación lo presentan los láseres monomodo.
Esta condición se logra al utilizar cavidades resonantes más elaboradas que la cavidad
Fabry-Perot, basadas en rejillas de Bragg o de difracción [12].
Modulación de un láser. La modulación de un haz láser puede ser llevada a cabo en forma
directa al variar la intensidad de la corriente en el dispositivo para producir un cambio
proporcional a la intensidad óptica emitida, o bien en forma indirecta al hacer que el diodo
2 ( )
N n L
 
 , (1-22)
2
2 ( )
m
Ln



  . (1-23)

27
láser transmita a una potencia constante, siendo un dispositivo externo el varía la intensidad
del haz transmitido en función de una señal moduladora.
En la modulación directa la frecuencia máxima de modulación está limitada por el tiempo
de recombinación de los portadores que se generan por emisión espontánea  
1
sp
t ns
 [8] y
por emisión estimulada  
10
st
t ps
 [8]. En la modulación por pulsos, el láser es encendido y
apagado en cada pulsación; debido a que sp st
t t
 , el valor de sp
t será el que limite
principalmente la tasa de modulación. Si el diodo láser es operado de tal forma que la
corriente mínima que circule entre sus terminales corresponda a la corriente de umbral, la
frecuencia máxima de modulación estará determinada solamente por st
t , lo que
incrementará el ancho de banda disponible para la modulación directa.
La modulación directa de un diodo láser produce un efecto indeseable llamado chirp, el
cual se manifiesta como un desplazamiento de la longitud de onda emitida. La densidad de
electrones en un semiconductor cambia el índice de refracción del mismo. Esto significa
que la corriente moduladora cambia la longitud de camino óptico en el material
semiconductor. A partir de la ecuación (1-22) es posible estimar los cambios en la longitud
de onda 
 emitida respecto del cambio en el índice de refracción [5]:
 
2 n L
N

 
  . (1-24)
El chirp ocasiona que el ancho espectral emitido se incremente, acarreando problemas de
dispersión en la transmisión de pulsos ópticos.
La modulación externa se utiliza en sistemas de transmisión óptica de alta velocidad [8]; el
efecto del chirp es disminuido y es posible alcanzar velocidades de transferencia de hasta
40Gbps [4].
Comparación entre DEL y diodo Láser. Los diodos láser y los DEL comparten dos
características de funcionamiento comunes: ambos requieren de un voltaje mayor al de la
banda prohibida aplicado a sus extremos y es necesario que sean polarizados directamente
para generar luz.

28
La diferencia principal entre ellos radica en el comportamiento de la corriente que circula
en los dos dispositivos. Para pequeñas corrientes ambos dispositivos generan luz por
emisión espontánea; en este punto la operación de un diodo láser resulta ineficiente. Sin
embargo, cuando la corriente alcanza la corriente de umbral, el diodo láser comienza a
generar luz por emisión estimulada, la cual se incrementa rápidamente al aumentar la
corriente, como se puede ver en la figura 1-25. Para corrientes por encina del umbral, un
diodo láser genera luz de manera más eficiente que un DEL.
Figura 1-25 Comparación entre la emisión de potencia óptica de un DEL y un diodo láser.
Por encima de la corriente de umbral la emisión estimulada se incrementa rápidamente con la
corriente en el dispositivo.
Otra diferencia importante entre un DEL y un diodo láser es el ancho espectral de emisión
óptica. Un diodo láser emite un rango de longitudes de onda mucho más angosto que un
DEL. A pesar de que la emisión estimulada presenta un ancho espectral similar al de la
emisión espontánea, es el proceso de amplificación en la cavidad del DL provoca que la
mayor parte de los fotones generados por estimulación tengan una longitud de onda pico,
generando una distribución espectral angosta.
La tabla 1-1 [4] [8] [14] presenta una comparación entre diferentes tipos de DEL y diodos
láser.
Tabla 1-1. Comparación entre diferentes DEL y diodos láser
Característica Símbolo Unidad
DEL DIODO LÁSER
GaAlAs GaInAsP GaAlAs
GaInAsP
@1310nm
GaInAsP
@1550nm
Longitud de onda central 0
 nm 800-850 1300, 1550 800-850 1310 1550
Ancho espectral 
 nm 3-60 50-150 1-2 2-5 2-10
Potencia de salida 0
P mW 0.5-4.0 0.4-0.6 2-8 1.5-8.0 1.5-8.0
Corriente de polarización I mA 50-150 100-150 10-40 25-130 25-130
Tiempo de vida
millones de
horas
1-10 50-1000 1-10 0.5-50.0 0.5-50.0
Espacio entre modos nm 0.3 0.9 0.13

29
En la tabla anterior, las dos características que marcan la diferencia en el desempeño de un
DEL y un DL son el ancho espectral y la potencia óptica emitida. Con notoria ventaja un
diodo láser supera a un DEL en estos aspectos, sin embargo, la diferencia de precio es el
costo que hay que pagar por las ventajas descritas.
1.2.3. Fotodetectores.
Un fotodetector o fotodiodo es un dispositivo que convierte la energía luminosa incidente
en una corriente eléctrica. Los fotodiodos funcionan como transductores óptico-eléctricos.
Absorción óptica. Cuando un haz de luz incide en un material semiconductor, los fotones
pueden ser absorbidos o transmitidos en el material dependiendo de su energía h y el
valor de la banda prohibida g
E , figura 1-26. Si g
h E
  , los fotones no son absorbidos y la
luz es transmitida a través del material; si g
h E
  el fotón puede interactuar con un electrón
en la banda de valencia y llevarlo a la banda de conducción, generándose al mismo tiempo
un hueco en la banda de valencia. Cuando g
h E
  , el fotón transfiere al electrón energía
cinética en exceso, la cual será disipada en forma de calor. La figura 1-26 muestra este
proceso.
Figura 1-26 Par electrón hueco generados ópticamente en un material
semiconductor.
La unión p n
 . Cuando un haz de luz es dirigido hacia una unión p n
 polarizada
inversamente, se crean pares hueco-electrón que se desplazan a través de la unión debido al
campo generado en la región de agotamiento y la corriente de polarización inversa se
incrementa.

30
Un campo eléctrico es requerido para que los portadores de carga puedan generar una
corriente útil. En un fotodiodo de unión p n
 el campo eléctrico necesario para el
transporte de portadores se establece cuando la unión se polariza en régimen inverso, lo que
ocasiona que la zona de agotamiento se amplíe en la región de la unión. Cuando un par
electrón-hueco es generado en la zona de agotamiento, el campo eléctrico hará que los
portadores de carga alcancen la circuitería externa, originando una corriente proporcional.
La figura 1-27 esquematiza que en la zona de agotamiento el campo E es más intenso.
Figura 1-27.Campo eléctrico generado por la difusión de portadores entre las regiones p y n.
Propiedades fundamentales de los fotodetectores. Las propiedades que a continuación se
describen sirven de medida del desempeño de los dispositivos fotodetectores.
Eficiencia cuántica. La eficiencia cuántica  de un fotodetector se define como la
probabilidad de que un fotón incidente genere un par electrón hueco y que contribuya a la
corriente eléctrica del detector. Su valor numérico es 0 1

  .
No todos los fotones incidentes en el fotodetector generan pares electrón-hueco que
contribuyan a la corriente del detector; algunos de ellos son reflejados en la superficie del
material y otros simplemente no son absorbidos debido a que el proceso de absorción
depende de la probabilidad de que un electrón en la banda de valencia se recombine con un
hueco en la banda de conducción. Más aún, algunos de los pares electrón-hueco que se
generan por la absorción de fotones, se recombinan cerca de la superficie del material y no
contribuyen a la corriente del detector.
La eficiencia cuántica de un fotodetector está dada por [6]

31
 
(1 ) 1 d
R e 
  
   . (1-25)
En la ecuación (1-25) R es la potencia óptica reflejada en la superficie del material,  es la
proporción de pares electrón hueco que contribuye a la corriente del detector y que no se
recombinaron en la superficie del material,  es el coeficiente de absorción del material el
cual representa la razón de fotones absorbidos por unidad de longitud d , expresado en 1
cm
y el cual es función de la longitud de onda.
De la definición de eficiencia cuántica es posible deducir una relación en términos del
número de electrones generados e
N y el de fotones incidentes p
N [4], de tal forma que
0
pd
e
p
I e
N númerodeelectrones generados
N númerode fotonesincidentes P h


   , (1-26)
donde pd
I es la corriente generada en el fotodetector y 0
P es la potencia óptica incidente.
La eficiencia cuántica depende de la longitud de onda de la luz incidente ya que el
coeficiente de absorción  depende de ella. Si g
E representa la energía de la banda
prohibida del material de un fotodetector, entonces g g
hc E
  es la longitud de onda
máxima para la cual un fotón incidente porta la suficiente energía para hacer que un
electrón en la banda de valencia se combine con un hueco en la banda de conducción.
Responsividad. Es la relación entre la corriente eléctrica generada en el detector y la
potencia óptica incidente. Se expresa como
0
s
d
I
R
P
 , (1-27)
donde d
R es la responsividad o sensibilidad del detector en [Ampere/Watt] e s
I es la
corriente eléctrica en el fotodetector.

32
La corriente depende del número de electrones foto generados s e
I N e t
 y la potencia
óptica incidente depende del número de fotones 0 p
P N hc t

 , entonces la responsividad se
expresa como
6
1.24 10
d
e
R
hc

   
 

.
(1-28)
La ecuación (1-28) define la responsividad del detector en términos de la eficiencia
cuántica  y de la longitud de onda  ; la responsividad se incrementa con  debido a que
los fotodetectores responden a un flujo de fotones de una determinada longitud de onda mas
que a una potencia incidente [6].
Tiempo de respuesta. El tiempo de respuesta es una importante limitante para la velocidad
de operación de los fotodetectores. Cuando un fotón es absorbido en un material
semiconductor, se genera un par electrón-hueco que contribuye el establecimiento de una
corriente eléctrica. Esta corriente no es entregada a un circuito exterior de manera
inmediata sino que se requiere un periodo de tiempo denominado tiempo de tránsito.
Para determinar el tiempo de tránsito, considérese un par electrón-hueco generado en un
semiconductor de longitud w , a una distancia x del extremo A , figura 1-28. En A se
conecta la terminal positiva de una fuente de voltaje V , que producirá un campo eléctrico
E .
Figura 1-28. Esquema para desarrollar una expresión que determine el tiempo de
tránsito t
t de un portador de carga en un semiconductor.

33
El campo eléctrico en el punto B , a una distancia w del borne positivo de la fuente de
voltaje es E V w
 . Por otra parte, el trabajo interno realizado por la carga en el
semiconductor int
W Fx Eqx
  se puede expresar en términos del voltaje V , la carga q y las
dimensiones del dispositivo como int
W Vqx w
 . La corriente  
i t entregada a un circuito
externo es [6].
( )
q x
i t
w t
 .
(1-29)
El término x t en la ecuación (1-29) denota la velocidad ( )
v t de los electrones de carga
dentro el semiconductor [6], entonces
( ) ( )
q
i t v t
w
 , (1-30)
La velocidad de deriva de los portadores de carga en un semiconductor en presencia de un
campo eléctrico está dada por
( ) m
v t E

 , (1-31)
donde m
 representa a la movilidad de los portadores de carga en un semiconductor en
2
m V s
 
  . La movilidad de los portadores es una medida del movimiento de los portadores
(huecos y electrones) que son influenciados por la acción de un campo eléctrico [12],
depende de la temperatura y las concentraciones de impurezas en el semiconductor [11]:
disminuye al aumentar la temperatura y al elevar la concentración de impurezas en el
material.
Al sustituir la ecuación (1-31) en la ecuación (1-30) se obtiene una expresión para
determinar el tiempo de tránsito t
t de un portador de carga en la región de agotamiento, el
cual depende de factores geométricos ( w ), del material ( m
 ) y del voltaje V aplicado a sus
terminales
2
t m
t w V

 .
(1-32)

34
Otra limitante en el tiempo de respuesta del fotodetector semiconductor es la constante de
tiempo RC
 formada por la resistencia y capacitancia del semiconductor en la unión p n
 .
Cuando una unión p n
 es polarizada inversamente, en la región de agotamiento se forma
una capacitancia j
C y una resistencia j
R debido a la baja concentración de portadores. En
la figura 1-29a se muestra un esquema físico de una unión p n
 polarizada y en la figura 1-
29b [18] el esquema eléctrico equivalente.
Figura 1-29 Modelo físico y eléctrico de un fotodiodo de unión p n
 .
Ancho de banda. El ancho de banda de un fotodetector está determinado por la rapidez con
que responde a las variaciones de la potencia óptica incidente. El tiempo de subida r
t en un
fotodiodo se define como el tiempo necesario para que la respuesta del dispositivo se
incremente entre el 10% y el 90% de su valor final respecto de un cambio abrupto de la
potencia óptica incidente. El tiempo de subida resulta de la suma del tiempo de tránsito t
t y
de la constante de tiempo RC
t del circuito RC equivalente de la figura 1-29b.
El ancho de banda pd
BW de un fotodetector es definido entonces de una manera análoga a
un circuito RC por [4]
 
1
2
pd
RC t
BW
t t



. (1-33)
Tipos de fotodetectores. Existen dos tipos principales de fotodetectores que se utilizan en
los sistemas de comunicaciones ópticas: el fotodiodo p i n
  y el fotodiodo de avalancha.

35
Fotodiodo p i n
  . Esta estructura es básicamente un fotodiodo de unión p n
 con una
capa de material intrínseco entre las regiones n y p , figura 1-30. La capa i permite el
ensanchamiento de la región de agotamiento y por lo tanto la región de influencia del
campo eléctrico, el cual hace mover a los portadores libres del material p y n hacia los
extremos del dispositivo, disminuyendo la probabilidad de que se recombinen. En la figura
1-30a se muestra un esquema general de su construcción. En las partes (b) y (c) se
esquematiza la distribución del campo eléctrico a lo largo del material. En la región
intrínseca, el campo E permanece aproximadamente constante y las zonas de difusión son
angostas.
Figura 1-30. Fotodiodo p-i-n.
Responsividad de un fotodiodo p i n
  . Se define con la ecuación 1.24
d
R 
 ; depende de
la longitud de onda incidente y de la eficiencia cuántica, la que a su vez depende del
material de fabricación de dispositivo por su dependencia del coeficiente de absorción  .
La figura 1-31 [8] muestra valores de la responsividad de diversos fotodiodos p i n
  en
función de la longitud de onda.
Figura 1-31. Responsividad para fotodetectores PIN en función de la longitud de onda incidente

36
Características eléctricas del fotodiodo p i n
  . Un fotodiodo polarizado inversamente
presenta las características de un capacitor: las zonas dopadas tipo p y n representan las
placas y la región intrínseca el dieléctrico. La capacitancia pin
C está dada por [15]
pin
A
C
w

 , (1-34)
donde  es la permisividad dieléctrica del semiconductor, w es la longitud de la región
intrínseca y A es la superficie del detector.
El fotodiodo p i n
  también presenta una resistencia pin
R en serie constituida por la región
intrínseca y los puntos de contacto de los electrodos.
La capacitancia y la resistencia asociadas al modelo eléctrico del dispositivo presentado en
la figura 1-29 limitan el tiempo de respuesta y disminuyen el ancho de banda del
fotodetector. La región intrínseca en un fotodetector p i n
  reduce sustancialmente la
capacitancia asociada al dispositivo y se mejora su respuesta en frecuencia.
Los fotodiodos p i n
  ofrecen diversas ventajas sobre los fotodiodos de unión p n
 :
 El incremento del área disponible para la captación de luz debido la región intrínseca.
 La reducción de la capacitancia en la juntura.
 Alta eficiencia en la conversión fotoeléctrica.
 Tiempo de respuesta pequeño
Fotodiodos de avalancha APD. Este tipo de dispositivo es capaz de producir una corriente
eléctrica considerable a partir de una potencia óptica baja en comparación con las
condiciones de operación de un fotodiodo de unión p n
 o p i n
  . Un APD se conecta a
una red eléctrica en régimen de polarización inversa a una diferencia de potencial
relativamente alta, la cual generará un campo eléctrico intenso. Este campo producirá la
aceleración de los portadores de carga, los que colisionarán en la red cristalina y originarán
portadores libres adicionales.

37
El la figura 1-32 se muestra una estructura típica de un APD. Se compone de una región
tipo p de alta resistividad y una región tipo n
altamente contaminada, las cuales están
depositadas en un sustrato p
[8]. La región  está formada de material intrínseco.
Figura 1-32 Fotodiodo de avalancha y la distribución del campo eléctrico a lo
largo de sus capas.
La generación de una corriente eléctrica en un fotodiodo de avalancha opera de la siguiente
manera. Si un fotón es absorbido por el material, se generará un primer par electrón hueco.
Ese electrón se acelerará por la acción del campo eléctrico. El proceso de aceleración será
constantemente interrumpido por colisiones en la red cristalina, las cuales provocarán que
los electrones en la banda de conducción cedan parte de su energía cinética a electrones en
la banda de valencia para que a su vez alcancen la banda de conducción, existiendo la
posibilidad de generar nuevos pares electrón-hueco por ionización de impacto. Los nuevos
electrones en la banda de conducción, serán acelerados y direccionados por el campo
eléctrico, generando cada uno de ellos nuevos pares electrón-hueco, produciéndose un
efecto de avalancha de electrones en movimiento.
El proceso de avalancha es inestable por naturaleza y debe ser controlado con la geometría
de construcción del dispositivo, la selección de materiales y los niveles de contaminación.
A pesar de que este proceso asigna una gran ganancia en la generación de portadores en
movimiento:
 Consume tiempo, lo que reduce de ancho de banda [6].
 Es aleatorio, lo que incrementa el ruido en el dispositivo [6].

38
Ganancia en un APD. Se define como [8]
M
APD
s
I
G
I
 ,
donde M
I es la corriente promedio generada por el APD y entregada a un circuito de carga
e 0
s
I e P hc

 es la fotocorriente generada por la absorción de fotones en el material
semiconductor; entonces
6
0
1.24 10 M
APD
I
G
P



 (1-35)
es la ecuación para la ganancia promedio en un fotodiodo de avalancha, la cual depende de
la longitud de onda de la potencia de la luz incidente y de la eficiencia cuántica del
dispositivo.
Responsividad de un APD. Se expresa como en la ecuación (1-28) con la adición de la
ganancia del dispositivo. La ecuación para la responsividad de un fotodiodo de avalancha
es [6].
1.24
d APD
R G


 .
(1-36)
Tiempo de respuesta. Los dos factores principales que determinan el tiempo de respuesta de
un fotodiodo APD son la constante de tiempo RC
t y el tiempo de tránsito t
t en la región de
agotamiento [19]. El tiempo de establecimiento de la avalancha [6] o tiempo de
multiplicación [6] [19], es otro factor que limita la respuesta del dispositivo.
Cuando los electrones foto-generados atraviesan la región de avalancha, colisionan
repetidamente con electrones en la banda de valencia de la red cristalina, lo que incrementa
el tiempo para moverlos respecto del tiempo necesario para su desplazamiento en una
región diferente. El proceso de multiplicación requiere de un cierto tiempo extra conocido
como tiempo de establecimiento de avalancha o tiempo de multiplicación, el cual se

39
incrementa al aumentar la ganancia del dispositivo y toma valores del orden de las decenas
de pico segundos [6].
Comparación entre fotodetectores p i n
  y APD. La estructura básica de un fotodiodo de
avalancha y la de un fotodiodo p i n
  son muy similares. Los dos tipos presentan una
región intrínseca, llamada  en los dispositivos APD, una región p y otra n . En la figura
1-33 es posible apreciar las diferencias en la distribución física de las capas
semiconductoras. En la parte (a) se esquematiza un fotodiodo p i n
  [12] y en la (b) un
fotodiodo APD [4].
Figura 1-33 Estructuras físicas de un fotodiodo p i n
  y uno APD .
La tabla 1-2 presenta una comparación entre los fotodetectores p i n
  y APD [4] [8].
Tabla 1-2. Comparación entre diferentes fotodetectores pin y APD
Característica Símbolo Unidad
p-i-n APD
Ge GaInAs Ge GaInAs
Longitud de onda  nm 0.8-1.8 1.0-1.7 0.8-1.8 1.0-1.7
Responsividad d
R A/W 0.5-0.7 0.6-0.9 3-30 5-20
Eficiencia cuántica  % 50-55 60-70
Ganancia de avalancha M 50-200 10-40
Corriente de oscuridad d
I nA 50-500 1-20 50-500 1-5
Tiempo de subida r
t ns 0.1-0.5 0.02-0.5 0.5-0.8 0.1-0-5
Ancho de banda BW GHz 0.5-3.0 1-10 0.4-0.7 1-10
Voltaje de polarización b
V V 6-10 5-6 20-40 20-30
La ventaja de los fotodiodos APD en relación con los p i n
  radica en su responsividad.
Debido al efecto de ganancia de avalancha que presentan los fotodiodos APD, el valor de la
relación entre electrones generados y fotones incidentes crece en un factor que va desde 3
hasta 40 respecto de los valores de responsividad presentados en los fotodetectores p i n
  .

40
1.2.4. Recepción en sistemas de comunicaciones ópticas: esquemas de detección
directa de intensidad. La figura 1-34 muestra un circuito básico que emplea un fotodiodo
PIN en un esquema general de detección directa. La corriente generada por el fotodiodo es
convertida en voltaje proporcional mediante una resistencia de carga L
R . En el esquema
presentado, un amplificador de alta impedancia de entrada amplifica la señal foto detectada
para las siguientes etapas del sistema de recepción y procesamiento.
Figura 1-34. Sistema de detección directa.
La responsividad de un fotodiodo está dada por
d
Corrienteeléctricadesalida
R
Potenciaópticaincidente
 ,
y la corriente foto-generada por
0 0 0
s d
e e
i R P P P
hc h
  

   . (1-37)
Si el dispositivo fotodetector presenta ganancia como el caso de los APD, la responsividad
en la ecuación (1-37) se modifica de acuerdo con la ecuación (1-35).
Para deducir una expresión de la corriente foto-generada en función de una señal
moduladora considérese un campo óptico ( )cos( )
i c
E S t t
 
  , donde la función ( )
S t modula
en amplitud a la señal portadora de frecuencia angular c
 ;  representa la fase de i
E .
La potencia máxima por unidad de área está dada por el vector de Poynting:
S E H
 

  

.
como
0
E H

 ,

41
donde 0
 es la permeabilidad magnética. Si E

y H


son perpendiculares entonces
2
0
i
S E 
 ,
La potencia promedio que cruza un área a del fotodiodo es [3]
2
0
0
i
a
P E

   , (1-38)
donde 2
i
E
  se establece como el promedio temporal del campo durante un periodo mayor
que el de la portadora de luz.
De la ecuación (1-37) y (1-38)
2
0
s d i i
e a
i R P E
h

 
   
2 2
0
( ) cos ( )
s c
e a
i S t t
h
  
 
   
2
0
( )
2
s
e a S t
i
h

 
 .
(1-39)
La expresión (1-39) relaciona la corriente generada en un fotodiodo con su responsividad,
su área activa y la potencia de la señal moduladora ( )
S t . La corriente s
i es proporcional a la
potencia óptica y no depende de la frecuencia c
 o la fase  , por lo tanto el método de
detección directa no permite detectar señales moduladas en frecuencia o fase [3].
De la ecuación (1-39)
2 2
s i
e
i P
h


   (1-40)
es el valor cuadrático medio de la fotocorriente.

42
Ruido en los fotodetectores. El fotodetector es un dispositivo que responde a un flujo de
fotones generando una corriente 0
s d
I R P
 , cuyo valor promedio es s s
I i
 . Las fluctuaciones
aleatorias se interpretan como ruido y son medidas por la desviación estándar
 
 
1/2
2
i s
i i
   [6].
Un receptor óptico puede ser caracterizado por los siguientes parámetros de desempeño:
 Relación señal a ruido, definida como la diferencia entre un nivel de señal útil y el nivel
de ruido
 Señal mínima detectada, que se define como 1
SNR 
 Sensitividad del receptor que corresponde a una señal detectable mínima a un valor 0
SNR
predeterminado
En los sistemas de comunicación por fibra óptica, un fotodiodo detecta señales ópticas muy
débiles. Este proceso requiere que el fotodetector y la etapa de amplificación sean
optimizadas para mantener una relación señal a ruido determinada, la cual se define como
Potencia de la señal proveniente de la corriente generada
Potencia del ruido en el fotodetector
S
N

Para lograr valores altos de relación señal a ruido, es necesario cumplir las siguientes
condiciones:
 El fotodetector debe tener alta eficiencia cuántica para generar una alta potencia en la
señal detectada
 El ruido en el amplificador debe ser mantenido al menor valor posible
Las principales fuentes de ruido en un fotodetector PIN son el ruido de disparo, la corriente
de oscuridad y la corriente de fuga superficial. El ruido de disparo proviene de la
generación aleatoria de foto-electrones cuando la señal óptica incide en el detector; la
corriente de oscuridad es la corriente que continua fluyendo en el circuito aún en ausencia
de luz incidente en el fotodiodo y la corriente de fuga superficial se genera en la unión p n

debido a los pares electrón hueco generados térmicamente.

43
La relación señal a ruido a la salida del fotodetector PIN y a la entrada de la sección de
amplificación, es [8]
 
2
2 4
s
pd
pd s D pd B K L
i
SNR
B e I I B k T R

 
, (1-41)
donde 2
s
i es la potencia de la corriente generada, pd
B es el ancho de banda del dispositivo,
e es la carga del electrón, s
I es la corriente promedio generada por el fotodetector, D
I es la
corriente de oscuridad, B
k es la constante de Boltzmann, K
T es la temperatura y L
R es la
resistencia de carga.
Cuando una señal óptica con una potencia 0
P y modulada con una señal sinusoidal incide
en un fotodetector, el valor cuadrático medio de la corriente generada es
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
s s d o
i m I m R P
  , (1-42)
donde, m es el índice de modulación óptico, el cual se define como
pdMax pdMin
pdMax pdMin
P P
m
P P



, (1-43)
y depende de la potencia incidente máxima pdMax
P y mínima pdMin
P .
1.3 Sistema de comunicaciones ópticas.
Los componentes descritos previamente en este capítulo son los elementos básicos de los
sistemas de comunicaciones ópticas. La transmisión de la información en un sistema de
comunicaciones por fibra óptica ofrece una gran variedad de configuraciones y
posibilidades de servicio. La selección de la tecnología y topología de la red dependen de
factores geográficos, de las necesidades de demanda, del tipo de usuarios de los servicios y,
por supuesto, de factores económicos y estratégicos de la las compañías proveedoras y
operadoras.

44
En esta sección se presenta un esbozo general de cómo se conforma y organiza una red de
comunicaciones desde el punto de vista técnico.
1.3.1 Esquema general de un sistema de comunicaciones.
En la figura 1-1 se presentó un esquema de los elementos básicos que constituyen un
sistema de comunicaciones ópticas. La técnica de modulación de la portadora luminosa, ya
sea analógica o digital, distingue dos variantes principales del esquema ya presentado, las
cuales se muestran en las figuras 1-35 y 1-36.
Figura 1-35 Esquema de un sistema de comunicaciones ópticas utilizando técnicas de modulación analógica y por
pulsos.
La figura 1-35 es un esquema de comunicaciones ópticas que utiliza alguna técnica de
modulación analógica o por subportadora de pulsos. Una subportadora9
es modulada con la
información y convertida en formato óptico para ser transmitida por fibra óptica. El dibujo
muestra la posibilidad de transmitir varias señales de información en una misma fibra,
utilizando multicanalización por longitud de onda (WDM). En puntos intermedios de la
trayectoria pueden instalarse amplificadores para asegurar los niveles de potencia ópticos
adecuados en la detección. La señal que emerge de la fibra es detectada y amplificada. La
información transmitida por técnicas analógicas es demodulada y recuperada. La
subportadora de pulsos es detectada, regenerada y demodulada para recuperar la señal de
información.
En la figura 1-36 se muestra el esquema correspondiente a la transmisión de señales
moduladas en un formato digital. La información (audio, video, etc) es convertida a señal
digital y concentrada en un banco de canales o MUX; los de datos (LAN, internet,
tributarias de 2, 8, 32, 132Mbps-SDH, grupos IMA, giga bit ethernet, etc) son concentrados
9
El siguiente capítulo está dedicado a las diferentes técnicas de modulación.

45
a la siguiente jerarquía en el proceso de concentración, que corresponde a los multiplexores
de subida y bajada de tráfico (ADM). Cada ADM puede ser asociado a la transmisión de
una longitud de onda óptica para canalizar cada una de ellas a través de un sistema WDM,
el cual es sincronizado por una red GPS.
Figura 1-36 Esquema de un sistema de comunicaciones ópticas utilizando técnicas de modulación digital.
Los elementos principales de un sistema de comunicaciones ópticas son invariantes en
cualquiera de los dos esquemas anteriores: emisores ópticos, fibra óptica y fotodetectores.
Las diferencias principales entre ambos esquemas es que para la transmisión digital es
necesaria la codificación de la información y su sincronización.
En general, una red de comunicaciones se basa en diferentes plataformas tecnológicas,
como las que se describirán en lo que resta de esta sección.
 Comunicaciones alámbricas. Utilizan conductores metálicos para la transmisión de
información en forma de cables de cobre, coaxiales o bien pares trenzados. Los sistemas
de comunicación de este tipo se utilizan generalmente para la interconexión final de
servicios de telefonía e internet, servicios de televisión por cable, redes de computadoras
y en general servicios de baja velocidad, ancho de banda limitado y corta distancia.
 Comunicaciones por radio. Las señales se transportan por ondas electromagnéticas a
través de la atmósfera. Las aplicaciones más usuales son los enlaces de microondas
(punto-punto, punto multipunto, de última milla o de larga distancia), telefonía celular,
servicios de televisión, radio emisoras, comunicación entre equipo electrónico, redes de
computadoras, servicios de comunicación de dos vías entre otros muchos. El alcance de
esta forma de comunicación puede ser grande y tiene la capacidad de extenderse con
repetidores; el ancho de banda que es capaz de manejar puede ser mayor que el de los

46
sistemas alámbricos pero depende fuertemente de concesiones de uso del espectro
radioeléctrico.
 Comunicaciones ópticas. En estos esquemas la información se transmite por fibra óptica.
Esta forma de comunicación presenta grandes ventajas respecto al ancho de banda, la
velocidad de transferencia y la fiabilidad de la red. Su limitante principal es el costo
elevado de construcción y el tiempo de puesta en servicio. Las redes de comunicación
por fibra óptica se integran a todo tipo de redes de comunicaciones. La figura 1-37
muestra esquemáticamente algunos de los nichos que ocupan las comunicaciones ópticas
dentro de un esquema general de comunicaciones.
Figura 1-37. Diferentes tendencias tecnológicas en las comunicaciones.
En esencia, una red de comunicaciones consiste en una serie de enlaces que unen nodos.
Cada nodo puede realizar funciones diferentes tales como conmutación de circuitos o
paquetes, multicanalización, regeneración y amplificación de señales o manejo de
señalización entre el equipamiento electrónico en cada estación de comunicaciones. Cada
nodo se interconecta con los nodos vecinos respetando las jerarquía dentro de la
organización de la red, es decir, los sitios de comunicaciones más cercanos a las centrales
de conmutación se les asignará mayor cantidad de funciones y manejo de tráfico; los nodos
terminales son los que enlazan directamente los servicios a los usuarios finales.
Los sistemas de comunicaciones transmiten principalmente voz, video y datos. Cada uno de
los servicios presenta requerimientos diferentes en la red. El servicio de voz necesita muy
poco ancho de banda pero es muy sensible a retrasos y requiere una conexión bidireccional
en tiempo real. El video requiere mucho mayor ancho de banda que los servicios de voz y
también es sensible a retrasos en la transmisión; tiene la ventaja de sólo se requiere un canal

47
para su transmisión. La transmisión de datos se realiza en paquetes, así que su transmisión
en menos susceptible a retardos; un enlace de datos es bidireccional y normalmente
asimétrico; es decir, que el ancho de banda en dirección al usuario es mayor que el del
usuario al servidor.
Los sistemas modernos de comunicaciones emplean protocolos para que los equipos
electrónicos puedan coordinar su funcionamiento. Existe una gran variedad de protocolos
de comunicación, entre los más importantes está el protocolo de internet (IP) para el flujo
de tráfico de paquetes en la red y la jerarquía digital síncrona (SDH). Esta última forma
más común de estructurar la transmisión digital por fibra óptica.
Se ha mencionado el concepto de “topología de la red” para referir a la forma en la que
están interconectados los dispositivos que conforman una red de comunicaciones. Existen
diversas formas de organización en una red. En la figura 1-38 se muestran algunas de ellas.
Figura 1-38 Diversas topologías de una red de comunicaciones.(a) topología de anillo, (b) de estrella y (c) de
malla.
Cada red en la figura 1-30 enlaza a varios nodos. Tanto la topología de anillo, de estrella y
de malla están compuestas por varios enlaces punto-punto y la diferencia radica en la forma
en que se interconectan.
La configuración de anillo provee una red redundante o protegida. En el caso de que el
enlace entre los nodos A y B falle, existe una ruta de interconexión alterna. El protocolo
SDH incluye este tipo de protección, el cual es muy utilizado en sistemas de comunicación
por fibra óptica que portan tráfico de importancia como la comunicación entre ciudades
enteras o la señalización entre equipos.
En la topología en estrella cada nodo exterior forma un enlace punto a punto con el nodo
central. Si la conexión entre los nodos C y D falla, entonces no hay forma de restablecer
automáticamente el servicio y será necesaria la intervención de personal especializado. La

48
topología en estrella es utilizada ampliamente en enlaces punto-punto tanto de microondas
como de fibra óptica.
La distribución en malla es la más común en los sistemas de comunicaciones
metropolitanos. Permite la interconexión de anillos y de nodos remotos. Las mallas son
flexibles y en ocasiones son el resultado de crecimientos en una red saturada. La
administración de estas redes es compleja y requiere de un estricto plan de crecimiento para
garantizar su adecuada operación.
1.4 Conclusiones.
En el presente capítulo se han abordado los aspectos fundamentales en lo referente a las
comunicaciones ópticas: su surgimiento, los elementos utilizados y breve esbozo de la
conectividad entre ellos.
La plataforma tecnológica que soporta las comunicaciones ópticas es el desarrollo de un
medio idóneo a través del cual la luz pueda ser propagada con bajas pérdidas y proporciona
un gran ancho de banda para la transmisión de información: las fibras ópticas.
La infraestructura de las comunicaciones por fibra óptica requiere del soporte de una gran
variedad de dispositivos que se complementarán mutuamente y evolucionarán a la par: las
fibras ópticas, sistemas convertidores de señales eléctricas en ópticas (emisores ópticos) y
convertidores de señales ópticas en eléctricas (fotodetectores).
Lo elementos esenciales de una sistema de comunicaciones ópticas fueron presentados en
este capítulo utilizando modelos físicos que han sido ampliamente probados en la industria
de las telecomunicaciones.
Los elementos que conforman un sistema de comunicaciones ópticas no tendrían aplicación
real si no se interconectasen unos con otros. En la última parte de este capítulo se
presentaron los aspectos de conectividad a nivel industria de diferentes esquemas que
forman las redes de comunicaciones ópticas.
En general, el capítulo 1 de la presente tesis fue dedicado a la introducción de los elementos
que conforman un sistema de comunicaciones ópticas y que serán parte medular en el

49
desarrollo del trabajo. En el capítulo siguiente se presentarán aspectos relacionados a las
formas de modulación utilizadas para las comunicaciones ópticas.

50
Referencias.
[1] Hayes, J. „Telecommunications Memories: 75, 50, and 25 Years Ago‟. IEEE Communications Magazine,
Vol. 46, No. 8, October 2008, pp 26-29.
[2] Suárez N. R., Castellanos R. D., Vargas R., „Estimación de Pérdidas de Potencia en un Enlace de Fibras
Ópticas‟ Universidad Popular del Cesar. Cartagena Colombia.
[3] Izuka, K. „Elements of Photonics volume II‟. Wiley Interscience. 2002.
[4] Agrawal, G. P., „Fiber Optic Communications Systems‟. Wiley-Interscience. 2002.
[5] Hecht, J., „Understanding Fiber Optics‟. 5th
edition. Prentice Hall. 2006.
[6] Saleh, B. E: A., Teich, M. C., „Fundamentals of Photonics‟ John Wiley & Sons Inc. 1991.
[7] Gebizlioglu, O. S., Spencer, J., „Optical Communications: from Decades of Fundamental Developments to
Applications Revolutionizing our Lives‟ IEEE Communications Magazine. January 2008.
[8] Keiser, G., „Optical Fiber Communications‟. McGraw Hill International Editions. 2000.
[9] Martínez, L. G., Carvajal, O., „Las Comunicaciones en la Construcción del Estado Contemporáneo‟.
Ministerio de Obras Públicas, Transporte y Medio Ambiente, Publicación de Magro Bahamonde, Madrid,
1993.
[10] http://es.wikipedia.org/wiki/Fibra_%C3%B3ptica
[11] Neamen, D., „An introduction to Semiconductor Devices‟. Mc Graw-Hill. 2006.
[12] Sze, S. M., „Semiconductor Devices‟. John Whiley and Sons. 1985.
[13] Rogers, A., „Understanding Optical Fiber Communications‟. Artech House Inc. 2001.
[14] Hoss R. J., Lacy E. A., „Fiber Optics‟. Prentice Hall PTR. 1993.
[15] Nérou J. P., „Introducción a las Comunicaciones por Fibra Óptica‟. Trillas. 1991.
[16] Sedra, A. S., Smith, K. C., „Circuitos Microelectrónicos‟. Mc Graw Hill. 2006.
[17] http://www.stockeryale.com/o/fiber/products/multimode_fiber.htm#
[18] http://www.optics.arizona.edu
[19] http://sales.hamamatsu.com/assets/applications/SSD/Characteristics_and_use_of_SI_APD.pdf

51
Capítulo 2
Técnicas de modulación temporal para comunicaciones
La modulación se define como el proceso de transformar o adaptar una señal de
información e imprimirla en una señal portadora, la cual se transmite por algún medio
físico; la demodulación es el proceso inverso, permite que la señal de información original
sea recuperada a partir de la portadora.
En un sistema de comunicaciones el proceso de modulación se realiza en el transmisor,
específicamente en un bloque llamado modulador. El proceso de demodulación es llevado a
cabo en el receptor como se muestra en la figura 2-1.
Figura 2-1 Esquema general del proceso de comunicación.
El objetivo del sistema de comunicación presentado en la figura 2-1 es transmitir un
mensaje ( )
m t desde la entrada del transmisor y recuperarlo a la salida del receptor.
Generalmente las señales emitida y recuperada 1( )
m t y 2 ( )
m t no son idénticas debido al
ruido que se agrega a la señal durante el proceso de transmisión-recepción. A la señal ( )
m t
se le conoce como banda base, señal moduladora o señal de información y puede ser
representada matemáticamente en los dominios del tiempo y de la frecuencia. En la figura
2-2 se esquematizan la representación temporal de una señal de información, así como su
representación espectral.

Capítulo 2. Técnicas de modulación temporal para comunicaciones
52
Figura 2-2 Diversas formas de representación temporal de una señal de información. La parte (a) es una representación
en el dominio del tiempo y (b) en el de la frecuencia.
En el dominio de la frecuencia la señal ocupa un ancho de banda B , definido como el
intervalo de frecuencias en el cual la magnitud de ( )
M  es mayor que 1 2 (-3dB) [5]. La
distribución espectral depende de las características de la señal original ( )
m t . En el proceso
de modulación se modifica algún parámetro de la señal portadora (amplitud, frecuencia o
fase). La utilización de una señal portadora, cuya frecuencia es muy superior a la de la
banda base, es la mejor forma de adaptación de la señal de información al medio de
transmisión.
Existen diversas formas de modulación, dependiendo de la manera en que la portadora es
modificada por la señal moduladora. Son tres categorías principales: modulación analógica,
modulación de pulsos y modulación digital.
Modulación analógica. En esta técnica la señal moduladora modifica la amplitud, la
frecuencia o la fase de la portadora, en una base temporal continua.
Modulación de pulsos. Estos métodos se basan en la premodulación de un tren de pulsos
como señal portadora, el cual es modificado en amplitud, frecuencia, duración o posición
de los pulsos.
Modulación digital. En los sistemas de modulación analógicos y por pulsos, una señal
moduladora hace variar, en forma continua, la amplitud, frecuencia o fase de una portadora.
En un sistema de modulación digital, la señal de entrada modulada y salida son pulsos
digitales.
En esencia, hay tres técnicas de modulación digital: modulación por desplazamiento de
frecuencia (FSK), modulación por desplazamiento de fase (PSK), y modulación de
amplitud en cuadratura (QAM).

53
La modulación FSK es una forma de modulación angular de amplitud constante, similar a
la modulación analógica en frecuencia, excepto que la señal modulante es un flujo de
pulsos binarios que varía entre dos niveles de voltaje discretos en lugar de una forma de
onda analógica que cambia de manera continua. El cambio de frecuencia es proporcional a
la amplitud y polaridad de la señal de entrada binaria y la rapidez a la que cambia la
frecuencia de la portadora es igual a la rapidez de cambio de la señal de entrada binaria
En la modulación por desplazamiento en fase (PSK) es similar a la modulación en fase
convencional, mas la entrada es una señal digital binaria con un número limitado de fases
de salida. La transmisión por desplazamiento de fase binaria (BPSK) produce dos fases de
salida para una sola frecuencia de portadora; una fase de salida representa un 1 lógico y la
otra un 0 lógico. Conforme la señal digital de entrada cambia de estado, la fase de la
portadora de salida se desplaza entre dos ángulos que están 180° fuera de fase. En la
transmisión por desplazamiento de fase en cuadratura (QPSK) son posibles cuatro fases de
salida para una sola frecuencia portadora para cuatro condiciones de entrada diferentes
dadas por una señal de entrada de dos bits. En la modulación PSK de ocho fases (8-PSK)
existen ocho posibles fases de salida para grupos de tres bits a la entrada.
En el esquema de modulación de amplitud en cuadratura (QAM) la información digital está
contenida tanto en la amplitud como en la fase de la portadora trasmitida.
La modulación por código de pulsos (PCM) cae dentro de los esquemas de modulación
digital. En PCM, la información de la moduladora, ya sea analógica o binaria, es
muestreada y cuantizada en un número finito de valores discretos antes de su transmisión.
El proceso de cuantización reduce los efectos del ruido y el de muestreo permite la
multicanalización temporal de varias señales de información. Esta forma de modulación es
ampliamente utilizada en sistemas de telefonía y sirve de base para estructurar las tramas de
bits en los sistemas de transmisión por fibra óptica.
La modulación por pulsos es el objeto central del estudio de esta tesis. En las secciones
siguientes se presenta un bosquejo general de las técnicas de modulación analógica y por
pulsos y servirá de plataforma para el desarrollo de los capítulos posteriores.

54
2.1.- Técnicas de Modulación analógica.
2.1.1.- Modulación en amplitud (AM).
En este tipo de modulación se modifica la amplitud de una señal portadora en función de la
amplitud de la señal moduladora. La modulación en amplitud es la técnica más simple en
comparación con las de modulación en frecuencia o fase, mas la simplicidad de la técnica
se traduce en una baja calidad de transmisión.
En general, un modulador de AM es un dispositivo que multiplica una señal portadora de
frecuencia y amplitud constante por una señal moduladora que contiene la información a
transmitir. El dispositivo multiplicador se conoce generalmente como mezclador. La señal
moduladora, al ser mezclada con la portadora, se traslada en forma de bandas laterales
(superior y/o inferior) alrededor de la frecuencia portadora. La figura 2-3 muestra un
esquema general de un modulador de AM.
Figura 2-3 Esquema de un modulador en amplitud.
La modulación de amplitud puede generarse en diferentes formatos, tales como: doble
banda lateral y portadora (DS-FC), doble banda lateral y portadora suprimida (DS-SC),
banda lateral única y portadora (SS-FC) y banda lateral única y portadora suprimida (SS-
SC).
2.1.1.1 Modulación en amplitud con doble banda lateral y portadora (DS-FC). Esta
forma de modulación en amplitud resulta del producto de la señal moduladora y portadora,
descrita matemáticamente como
 
( ) 1 ( ) cos( )
c
f t K m t t

  , (2-1)
donde K es una constante, c
 es la frecuencia angular de la portadora, cos( )
ct
 representa a
la portadora y ( )
m t es una señal moduladora de banda limitada, es decir, sólo existe en un

55
rango limitado de frecuencias. La figura 2-4 muestra un esquema de esta forma de
modulación en amplitud.
Figura 2-4 Esquema de un modulador en amplitud DS-FC
El espectro de esta forma de modulación está determinado como
   
     
( ) ( ) 1 ( ) cos( ) cos( ) ( )cos( )
c c c
F f t K m t t K t K m t t
   
    
F F F F .
De acuerdo con las pares transformada de Fourier    
cos( ) ( ) ( )
c c c
t
       
   
F ,
 
1 1
( )cos( ) ( ) ( )
2 2
c c c
f t t F F
    
   
F y si  
( ) ( )
m t M 

F , entonces
 
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
c c c c
F K M M
           
 
       
 
 
. (2-2)
La ecuación (2-2) representa la distribución espectral de la modulación de amplitud con
doble banda lateral y portadora. Contiene la componente de la portadora y el espectro de la
señal moduladora en las bandas laterales superior e inferior. En la figura 2-5 se muestra el
espectro de una señal DS-FC para una señal moduladora con un ancho de banda finito de
una frecuencia angular máxima m
 y una portadora de frecuencia angular c
 .
Figura 2-5 Distribución espectral de una señal modulada en amplitud en la modalidad DS-FC.
El término independiente en la ecuación (2-1) representa a la componente de la frecuencia
de la portadora en la distribución espectral de la figura 2.5.

56
2.1.1.2 Modulación en amplitud con doble banda lateral y portadora suprimida (DS-
SC). El producto de las señales moduladora-portadora es de la forma
( ) ( )cos( )
c
f t Km t t

 . (2-3)
La figura 2-6 muestra un esquema de esta forma de modulación en AM.
Figura 2-6 Esquema de un modulador en amplitud DS-SC
El espectro de la ecuación 2-3 se representa con
   
1 1
( ) ( ) ( )cos( ) ( ) ( )
2 2
c c c
F f t m t t M M
     
     
F F . (2-4)
La figura 2-7 ilustra la distribución espectral de la ecuación (2-3). En el espectro se observa
la ausencia de la señal portadora y la presencia de dos bandas laterales.
Figura 2-7 Distribución espectral de una señal modulada en amplitud en la
modalidad DS-SC.
2.1.1.3 Modulación en amplitud con banda lateral única y portadora (SS-FC). Esta
técnica de modulación se genera de acuerdo con
 
 
( ) 1 ( ) cos( ) ( )sin( )
c h c
f t K m t t m t t
 
   , (2-5)
donde K es una constante que representa una amplitud, ( )
m t es la señal moduladora y ( )
h
m t
representa a la señal moduladora desplazada en fase un valor / 2
 radianes. Por simplicidad
en el análisis se establece que ( ) cos( )
m
m t t

 , entonces ( ) sin( )
h c
m t t

 .

57
La figura 2-8 muestra un esquema a bloques de un circuito que genera este tipo de
modulación.
Figura 2-8 Esquema de un modulador en amplitud SS-FC
La ecuación (2-5) se puede expresar como
 
 
( ) 1 ( ) cos( ) sin( )sin( )
c m c
f t K m t t t t
  
   . (2-6)
Al desarrollar la ecuación (2-6) se obtiene
 
0
( ) cos( ) cos( )
c m c
f t m t t
  
   .
La distribución espectral de la ecuación (2-6) tiene la forma
   
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
c c m c m c
f t K              
         
F . (2-7)
Esta distribución espectral se ilustra en la figura 2-9.
Figura 2-9 Distribución espectral de una señal modulada en amplitud en la modalidad SS-FC.
En la figura 2-9 se muestra sólo la banda lateral superior. La generación de la banda lateral
única inferior se produce al sumar el término de la derecha en la ecuación (2-5).

58
2.1.1.4 Modulación en amplitud con banda lateral única y portadora suprimida (SS-
SC). Es una forma de modulación en amplitud en la que la distribución espectral presenta
sólo una banda lateral. Esta técnica de modulación se genera con
 
( ) ( )cos( ) ( )sin( )
c h c
f t K m t t m t t
 
  . (2-8)
Si ( ) cos( )
m
m t t

 , ( ) sin( )
h c
m t t

 , la ecuación (2-8) puede se expresada como
El espectro está dado por
   
0
( ) ( ) ( )
m c m c
f t m         
     
F . (2-9)
La distribución espectral se ilustra en la figura 2-10.
Figura 2-10 Distribución espectral de una señal modulada en amplitud en la
modalidad SS-SC. La banda lateral única se presenta según lo expuesto en la ecuación
(2-9) y bajo la restricción de una señal moduladora estrictamente sinusoidal
La figura 2-11 es un esquema de la forma de generar una señal SS-FC.
Figura 2-11 Esquema de un modulador en amplitud SS-SC
2.1.2 Índice de modulación. Si 0
( ) cos( )
m
m t m t

 en la ecuación (2-1), entonces
( ) cos( )
m c
f t K t
 
  .

59
 
0
( ) 1 cos( ) cos( )
m c
f t K m t t
 
  . (2-10)
En la ecuación (2-10), al término 0
m se le conoce como índice de modulación.
La magnitud de las bandas laterales en la distribución espectral de la señal de AM se
relaciona con el índice de modulación. Entre mayor sea el número asociado al índice,
mayor será la magnitud de las bandas laterales, como se puede inferir a partir de los dos
últimos términos de la ecuación (2-2). La relación entre el valor asociado al índice de
modulación y la magnitud de las bandas laterales se esquematiza en la figura 2-12.
Figura 2-12 Las bandas laterales de la distribución espectral de una señal modulada en
amplitud se ven modificadas en magnitud de acuerdo al valor del índice de modulación
Si el índice de modulación 0 1
m  se dice que la señal modulada en amplitud presenta sobre
modulación, como se puede ver en la figura 2-13.
Figura 2-13 El caso de una señal modulada en amplitud con sobre modulación. La señal moduladora,
representada por la línea continua, tiene una amplitud mayor que la unidad en la ecuación (2-10).
El índice de modulación 0
m es la relación entre la diferencia de las amplitudes máxima y
mínima de la portadora modulada con respecto de la amplitud de la portadora sin
modulación, figura 2-14.

60
Figura 2-14 Índice de modulación.
El índice de modulación puede expresarse como
donde A es el valor medio de ( )
m t , máx
A y mín
A son las excursiones máxima y mínima de la
señal moduladora.
2.1.2 Modulación en frecuencia (FM).
El estudio de la modulación en frecuencia es fundamental en el desarrollo del presente
trabajo y por lo tanto se describirá en detalle. En la modulación de frecuencia la amplitud
de la señal modulada es constante y la información de la señal moduladora se imprime en
las variaciones de la frecuencia de la portadora.
En los sistemas de FM, la distribución espectral de la señal modulada depende de la
amplitud y frecuencia de cada componente espectral de la moduladora, lo que hace de este
tipo de modulación un proceso no lineal y no se aplica el principio de superposición.
Una señal modulada en ángulo está dada por
 
( ) cos ( )
c
f t A t t
 
  . (2-12)
En esta ecuación A y c
 son constantes y ( )
t
 depende de la señal moduladora.
Si el argumento de la función trigonométrica en la ecuación (2-12) es
0
1
2
máx mín
A A
m
A

 , (2-11)

61
( ) ( )
t
f
t K m d
  

  , (2-13)
donde f
K es constante, entonces la relación
( ) cos ( )
t
FM c f
f t A t K m d
  

 
 
 
 
 (2-14)
define una señal modulada en frecuencia.
La frecuencia angular instantánea se define como
 
( ) ( )
i c
d
t t t
dt
  
  , (2-15)
entonces la frecuencia instantánea de una señal modulada en frecuencia es
( ) ( )
t
iFM c f c f
d
t K m d K m t
dt
    

 
   
 
 
 . (2-16)
En la ecuación (2-16) es posible observar que la frecuencia instantánea varía directamente
con la señal moduladora.
Índice de modulación. A la máxima desviación instantánea de la frecuencia respecto de la
frecuencia de la portadora es llamada desviación de frecuencia. Si la variación de
frecuencia es senoidal y con frecuencia angular m
 , la ecuación (2-12) se puede expresar
como
 
( ) cos sin( )
c m
f t A t t
  
  , (2-17)
donde  es la amplitud pico de ( )
t
 en la ecuación (2-12) y representa la máxima
desviación de frecuencia y se le conoce como índice de modulación.
A partir de la ecuación (2-17), la frecuencia instantánea f es

62
 
 
sin( )
cos( )
2 2
cos
c m
c m
m
c m m
d
t t
dt
f t
f f f t
   
 

 
 
 
 
  ,
(2-18)
donde 2
c c
f  
 es la frecuencia de la portadora y 2
m m
f  
 es la frecuencia de la señal
moduladora.
La máxima desviación de frecuencia a partir de la ecuación (2-18) es m
f f

  , entonces
m
f
f


 . (2-19)
La frecuencia instantánea según la ecuación (2-18) cae en el rango c
f f
  ; no todas las
componentes espectrales de la señal descrita por la ecuación (2-17) estrán en ese rango.
Espectro de una señal modulada en frecuencia. La distribución espectral de una señal
modulada en frecuencia, ecuación (2-17), puede ser estimada a partir de su expansión en
una serie compleja de Fourier.
     
 
0
1
( ) ( )cos ( ) cos ( 1) cos
n
c n c m c m
n
f t AJ t A J n t n t
      


 
     
 
 , (2-20)
donde ( )
n
J  es una función Bessel de primera clase, de orden n y de argumento  .
En el apéndice C se presenta en detalle la obtención de esta expansión para una señal
moduladora sinusoidal resultando en la ecuación (C-16c). La ecuación (2-20) muestra que
una señal modulada en frecuencia produce una distribución espectral, la cual incluye la
componente de la señal portadora y un número infinito de bandas laterales, como producto
de la modulación.
Las bandas laterales están separadas de la portadora en m
 , 2 m
 , 3 m
 … La amplitud de
cada uno de los términos de la ecuación (2-20) depende del índice de modulación  y de

63
las funciones Bessel correspondientes. Algunas de estas funciones se muestran en la figura
2-15.
Figura 2-15. Funciones Bessel de primera clase ( )
n
J  graficadas
como una función del índice de modulación 
Cuando 0
  la ecuación (2-17) representa únicamente a la portadora sin modulación. En
la figura 2-15 es posible visualizar que 0 (0) 1
J  mientras que los siguientes órdenes de
funciones Bessel tienen valor cero, así, sólo la portadora está presente en la distribución
espectral.
Cuando  es sólo un poco mayor que cero, 1( )
J  presenta una amplitud comparable con
0 ( )
J  ; las funciones 2 ( )
J  y superiores son de amplitud despreciable y la distribución
espectral de la señal de FM incluye solamente la portadora y dos bandas laterales en
c m
 
 . La señal modulada con estas características, se conoce como FM de banda angosta
y generalmente el índice de modulación es 0.2
  [1].
Modulación por multiplicidad de frecuencias. El caso de una señal moduladora
compuesta por dos señales sinusoidales de diferente frecuencia permitirá visualizar el
comportamiento de una señal de FM modulada por una señal compuesta de cualquier
número de componentes frecuenciales. En el apéndice C se presenta la obtención de la
expresión (C-17c) a partir de la ecuación (2-17) y es re-escrita a continuación como
 
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) cos( )
n k c m m
n k
f t A J J n k t
    
 
 
  
  (2-21)

64
La ecuación (2-21) expresa que si ( )
f t se compone de dos señales sinusoidales de diferente
frecuencia, el espectro contiene bandas laterales ubicadas en 1
( )
c m
n
 
 y 2
( )
c m
k
 
 . El
resultado es aplicable a cualquier número de frecuencias que pueda contener la señal
moduladora.
Potencia promedio de una señal modulada en frecuencia. Es igual a la potencia de la
portadora sin modular y es independiente del índice de modulación.
2 2
1
( )
2
f t P A
  (2-22)
La deducción de la ecuación (2-22) se presenta en el apéndice C.
En la ecuación (C-20) y (2-22) se puede apreciar que la potencia promedio de cada banda
lateral es 2 2
(1 2) ( )
n
A J  . El factor 1 2 en la expresión anterior es debido a que cada banda
lateral aparece en par.
Ancho de banda de una señal sinusoidal modulada en frecuencia. En principio, el
número de bandas laterales resultado de la modulación en frecuencia es infinito, por lo que
ancho de banda requerido par la transmisión es también infinito. Si el índice de modulación
crece, la potencia total promedio se distribuye entre las bandas laterales.
En la figura 2-15 se puede ver que, excepto para 0 ( )
J  las funciones Bessel parten de cero
en 0
  . A medida que el índice de modulación se incrementa, todas las funciones
decrecen, por lo tanto la amplitud de las bandas laterales también.
Experimentalmente se ha determinado que la distorsión que resulta de limitar el ancho de
banda de una señal de FM es tolerable si el 98% o más de la potencia es contenida dentro
de la banda [1].
En la tabla 2-1 se listan de los valores de las funciones Bessel para diferentes valores de 
y orden n . Al sustituir los valores correspondientes en la ecuación (C-20), la suma de los
números en cada columna sombreada representa el 98% o más de la potencia total. El orden

65
de la función Bessel para el cual se cumple este porcentaje resulta en un sistemático
1
n 
  , entonces el ancho de banda requerido para transmitir o recibir una señal de FM @
98% de la potencia promedio total es
2( 1) m
B f

  . (2-23)
Es posible expresar la ecuación (2-23) de la siguiente forma:
2( )
m
B f f
   . (2-24)
La ecuación (2-24) determina el ancho de banda necesario para que la señal modulada
contenga el 98% de la potencia total y se le conoce como regla de Carson.
Tabla 2-1. Valores de las funciones Bessel ( )
n
J  para diferentes ordenes n y valores enteros de  .
Índice de modulación  .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Orden
de
la
función
Bessel
0 0.7652 0.2239 -0.2601 -0.3971 -0.1776 0.1506 0.3001 0.1717 -0.0903 -0.2459
1 0.4401 0.5767 0.3391 -0.066 -0.3276 -0.2767 -0.0047 0.2346 0.2453 0.0435
2 0.1149 0.3528 0.4861 0.3641 0.0466 -0.2429 -0.3014 -0.113 0.1448 0.2546
3 0.0196 0.1289 0.3091 0.4302 0.3648 0.1148 -0.1676 -0.2911 -0.1809 0.0584
4 0.0025 0.034 0.132 0.2811 0.3912 0.3576 0.1578 -0.1054 -0.2655 -0.2196
5 0.0002 0.007 0.043 0.1321 0.2611 0.3621 0.3479 0.1858 -0.055 -0.2341
6 0 0.0012 0.0114 0.0491 0.131 0.2458 0.3392 0.3376 0.2043 -0.0145
7 0 0.0002 0.0025 0.0152 0.0534 0.1296 0.2336 0.3206 0.3275 0.2167
8 0 0 0.0005 0.004 0.0184 0.0565 0.128 0.2235 0.3051 0.3179
9 0 0 0.0001 0.0009 0.0055 0.0212 0.0589 0.1263 0.2149 0.2919
10 0 0 0 0.0002 0.0015 0.007 0.0235 0.0608 0.1247 0.2075
11 0 0 0 0 0.0004 0.002 0.0083 0.0256 0.0622 0.1231
12 0 0 0 0 0.0001 0.0005 0.0027 0.0096 0.0274 0.0634
En la figura 2-16 se muestran las distribuciones espectrales para varios índices de
modulación. Las amplitudes han sido normalizadas al valor máximo. En las figuras se
observa el incremento en el ancho de banda de la señal de FM a medida que el índice de
modulación  aumenta.
Generación de señales de FM. Existen dos formas de generar señales de FM, la directa y
la indirecta.
La FM indirecta se obtiene a partir de una señal modulada en fase. La ecuación
( ) cos ( )
PM c p
f t A t K m t

 
 
  representa una señal modulada en fase [1]. Si ( ) ( )
t
m t m d
 

  , se
obtiene la ecuación (2-14), cuya frecuencia instantánea está expresada por la ecuación (2-

66
16). Al integrar ( )
m  y modularla en fase, se obtiene una señal cuya frecuencia instantánea
varía proporcionalmente con la moduladora, que es lo que define a una señal de FM.
(a) 0.2
  (b) 1.0
 
(c) 3.0
  (d) 5.0
 
(e) 10.0
 
Figura 2-16. Distribuciones espectrales de una señal sinusoidal modulada en frecuencia para diferentes valores de  .
La amplitud de cada gráfica está normalizada al valor máximo.
En la generación de FM directa, la señal moduladora hace variar directamente la frecuencia
de la portadora. En general, se usan osciladores electrónicos, en donde se hace variar
alguno de sus elementos reactivos en función de una señal moduladora ( )
m t . Un circuito
tanque LC puede variar su frecuencia de oscilación si el valor de uno de sus elementos es
cambiado en función de una señal moduladora. Un capacitor controlado por voltaje o

67
varactor pueden realizar la función de variar la capacitancia C en relación de un voltaje
modulador. A las formas de variar la frecuencia en un oscilador en función de un voltaje
determinado por una señal ( )
m t se les conoce como método de variación de parámetros.
En un oscilador controlado por voltaje (VCO) la frecuencia de salida es proporcional a la
tensión de entrada. Un VCO puede ser construido a partir de un circuito oscilador en la
forma de variación de parámetros. Los VCO son dispositivos muy usados en la generación
de señales de FM.
2.2.- Modulación de pulsos.
En los sistemas de modulación por pulsos la portadora es una sucesión periódica de pulsos
eléctricos. La señal de información es impresa en la portadora de pulsos al variar alguno de
sus parámetros: amplitud, duración, posición temporal o frecuencia de repetición.
Mediante el muestreo, una señal analógica continua en el tiempo se convierte en una
secuencia de muestras discretas en los instantes correspondientes al tiempo de muestreo. A
continuación se describe el teorema de muestreo.
Teorema del muestreo. Considérese una señal ( )
m t limitada en banda a una frecuencia
máxima M
f .
Teorema: Tómese muestras de una señal ( )
m t a intervalos de muestreo s
T , donde
(1 2)
s M
T f
 . Estas muestras determinarán una nueva señal ( )
s
m nT (con n entero). La señal
original será reconstruida posteriormente sin distorsión.
Al periodo s
T se le conoce como periodo o tiempo de muestreo, el cual deberá ser lo
suficientemente corto para que se puedan tomar por lo menos dos muestras de ( )
m t en un
periodo de su frecuencia máxima M
f .
La figura 2-17 muestra el producto de una señal ( )
m t y un tren de pulsos periódicos ( )
s t de
amplitud unitaria y ancho dt ; el producto ( ) ( )
m t s t representa la señal ( )
m t muestreada por la
señal de pulsos ( )
s t .

68
Figura 2-17 Una señal moduladora ( )
m t es multiplicada por un tren de pulsos ( )
s t con periodo s
T y ancho dt
para producir la señal ( )
m t muestreada
Si la señal ( )
s t es periódica, entonces puede ser representada en una serie de Fourier. La
forma de onda consiste en una suma de impulsos
( ) ( )
s
n
s t dt t nT



 
 . (2-25)
La amplitud del símbolo ( )
t
 es unitaria, entonces el área bajo cada impulso es dt [1]. Al
realizar la expansión en serie de Fourier de la ecuación (2-25) se tiene
1
2
( ) cos( )
n
s s
dt dt
s t n t
T T



   ,
 
2
( ) cos( ) cos(2 ) cos(3 )
s s
dt dt
s t t t t
T T
  
     
 ,
2 2 2 2
( ) cos cos 2 cos 3
s s s s s
dt dt t t t
s t
T T T T T
  
 
     
       
 
     
 
     
 
 .
(2-26)
Según lo expresado en el teorema del muestreo, almenos (1 2)
s M
T f
 , entonces el producto
( ) ( )
m t s t puede ser expresado de la siguiente manera:
     
( ) ( ) ( ) 2 ( ) cos 2 (2 ) cos 2 (4 ) cos 2 (6 )
M M M
s s
dt dt
m t s t m t m t f t f t f t
T T
  
 
     
 

 
( ) ( ) ( ) 2 ( ) cos(2 ) cos(4 ) cos(6 )
M M M
s s
dt dt
m t s t m t m t t t t
T T
  
     
 . (2-27)
Es posible observar que el primer término de la ecuación (2-27) corresponde a la señal
moduladora. Los términos siguientes corresponden al producto de ( )
m t y el conjunto de
señales sinusoidales de frecuencias 2 M
f , 4 M
f , 6 M
f , etc. Un producto de la forma

69
( )cos( )
m t At produce una distribución espectral de doble banda lateral sin portadora
alrededor de 2 M
f , 4 M
f , 6 M
f , etc.
Sea  
( ) ( )
m t M 

F y ( )
m t una señal limitada en banda con frecuencia máxima M
f . Las
distribuciones espectrales de ( )
m t y del producto ( ) ( )
m t s t serán como las que se presentan
en la figura 2-18, donde se observa que los espectros de las bandas laterales de los términos
2, 3, 4… en la ecuación (2-27) son simétricos alrededor de 2 M
f , 4 M
f , 6 M
f …
respectivamente.
Figura 2-18 En la figura (a) se representa la distribución espectral de una señal limitada en
banda y frecuencia máxima M
f . La distribución espectral de la señal ( )
m t muestreada con
el tren de impulsos ( )
s t se muestra en la figura (b). La frecuencia de muestreo fue de 2 M
f y
la traslación en frecuencia de las bandas laterales es apenas M
f .
Si la señal muestreada es pasada a través de un filtro ideal pasa bajas con frecuencia de
corte M
f , es posible recuperar la señal moduladora ( )
m t ; si la frecuencia de muestreo es
mayor a 2 M
f ( 1 1
1 2
s s M
f T f
  ) la ecuación (2-27) es reescrita como
 
1
1 @ 1
1
1 1
( ) ( ) ( ) 2 ( ) cos 2 (2 )
s
f s
n
s s
dt dt
m t s t m t m t n f t
T T



   . (2-28a)
Por otro lado, si 2 2
1 2
s s M
f T f
  , la ecuación (2-28a) se expresa como
 
2
2 @ 2
1
2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) cos 2 (2 )
s
f s
n
s s
dt dt
m t s t m t m t n f t
T T



   (2-28b)
Las variantes de la ecuación (2-27) presentadas como las ecuaciones (2-28a) y (2-28b)
pueden ser esquematizadas en el dominio de la frecuencia y son presentadas en la figura 2-
19. En la figura 2-19(a) la condición 1 2
s M
f f
 asegura la separación de las bandas laterales

70
conteniendo ( )
m t . La condición 2 2
s M
f f
 en la figura 2-19(b) produce un traslape de
bandas.
Figura 2-19 La distribución espectral de la ecuación (2-30a) se presenta en la figura (a) y la de la
ecuación (2-30b), en la figura (b).
La traslación en frecuencia de las bandas laterales cuando 1 2
s M
f f
 genera una banda de
guarda y es posible recuperar la señal moduladora mediante filtraje pasa bajas. Cuando
1 2
s M
f f
 , la traslación en frecuencia de las bandas laterales no es suficiente para evitar el
traslape entre bandas. Para este caso no habrá proceso de filtraje que recupere la señal
moduladora sin distorsión.
El teorema de muestreo establece una frecuencia mínima para la toma de muestras de 2 M
f .
De la figura 2-19b es posible deducir que dicha frecuencia es la mínima frecuencia de
muestreo a partir de la cual se puede recuperar completamente la señal moduladora ( )
m t
mediante filtraje pasa bajas. A esta tasa mínima de muestreo se le conoce como frecuencia
de Nyquist.
2.2.1.- Modulación por amplitud de pulsos.
Una forma de muestreo diferente a la presentada en la figura 2-17 se le conoce como
muestreo natural. En la figura 2-20 se muestra un tren de pulsos ( )
s t de duración  y
periodo s
T . La señal ( )
s t muestreará una señal moduladora ( )
m t con frecuencia máxima M
f .
El producto ( ) ( )
m t s t consiste en una secuencia de pulsos cuya amplitud varía de acuerdo al
valor de la señal ( )
m t en cada intervalo de tiempo de muestreo.

71
Figura 2-20 Muestreo natural de una señal ( )
m t mediante un tren de pulsos ( )
s t . En la figura (a) se
presenta la señal moduladora; en (b) un tren de pulsos de periodo, amplitud y duración constantes y en
(c) el producto ( ) ( )
m t s t .
Es posible representar un tren de pulsos de ancho  y amplitud unitaria como el de la figura
2-20b mediante una expansión en serie de Fourier.
1 2 3
2
( ) cos 2 cos 2 2 cos 3 2
s s s s s
t t t
s t c c c
T T T T T
 
  
 
     
       
 
     
 
     
 
 ,
1
2
( ) cos 2
n
n
s s s
t
s t c n
T T T
 



 
  
 
 
 , (2-29)
donde
 
 
 
sin sin
s
n
s
n T n f
c
n T n f
   
   
 
 
  . (2-30)
El producto ( ) ( )
m t s t de una señal muestreada en forma natural puede expresarse como
1
2
( ) ( ) ( ) ( ) cos 2
n
n
s s s
t
m t s t m t m t c n
T T T
 



 
  
 
 
 . (2-31)
La ecuación (2-31) muestra que la distribución espectral de una señal modulada en
amplitud de pulsos mediante muestreo natural contiene a la señal moduladora más un
conjunto de armónicos centrados en múltiplos de 1/
s s
f T
 . Por lo tanto, la señal
moduladora puede ser recuperada con un filtro pasa bajas con frecuencia de corte M
f .

72
Sea ( )
MN
s t la señal recuperada del proceso de modulación en amplitud de pulsos por
muestreo natural mediante un filtro pasa bajas
( ) ( )
MN
s
s t m t
T

 . (2-32)
El factor de amplitud de la señal recuperada depende de la relación entre el ancho de pulso
 y el periodo de la señal moduladora.
Al muestreo de una señal para ser modulada en amplitud de pulso se le pude considerar
como muestreo no natural o muestreo rectangular. Una característica del muestreo natural
es que la parte alta del pulso modulado sigue en todo momento la forma de onda de la señal
moduladora; en el muestreo rectangular, el pulso modulado presenta su parte superior
plana, como se muestra en la figura (2-21).
Figura 2-21 Muestreo rectangular en un proceso de modulación por amplitud de pulsos
En la modalidad de muestreo rectangular los pulsos varían su amplitud en función de la
amplitud de la señal moduladora. La amplitud de cada pulso se estableció, para la figura 2-
21, al principio de cada pulso
Para deducir una expresión matemática para una señal modulada por amplitud de pulsos
rectangulares se partirá de un modelo de muestreo instantáneo, como el tren de impulsos
representado por la ecuación (2-25) o (2-26). Si cada uno de estos impulsos es de alguna
manera expandido en el dominio de la frecuencia, se obtendrá un tren de pulsos
rectangulares cuya amplitud será la de la señal moduladora en el instante en el que se tomó
dicha muestra.
Matemáticamente el proceso de expansión de un impulso requiere de una función de
transferencia específica como se esquematiza en la figura 2-22.

73
Figura 2-22 Esquema del ensanchamiento de un impulso de duración infinitesimal a un pulso de duración 
mediante una función de transferencia ( )
H 
La transformada de Fourier de un pulso de ancho  y amplitud unitaria como el mostrado
en el extremo derecho de la figura 2-22 es:
   
1
sin 2 sin
( )
2
f
Q
f
  
  
  
  , (2-33)
y la transformada de Fourier de un impulso en el origen10
es la unidad:  
1( ) (0) 1
P  
 
F .
Entonces la función de transferencia ( )
H  se expresa como
   
1
1
sin 2 sin
( )
( )
( ) 2
f
Q
H
P f
  

  
   
   (2-34)
La función de transferencia propuesta ( )
H  realizará matemáticamente el ensanchamiento
de un impulso. Ahora bien, sea  
2 2
( ) ( )
p t P 

F en la figura 2-23 una serie de impulsos a
ser expandidos matemáticamente.
Figura 2-23 Un tren de impulsos de amplitud unitaria y periodo s
T es matemáticamente aplicado a un bloque con
función de transferencia ( )
H  que realizará la función de “ensanchar” los impulsos entrantes.
Entonces 2 ( )
P  es
10
Representado por el símbolo ( )
t


74
   
2 2
0 1
1 2
( ) ( ) cos 2
s
n n
s s s
t
P p t t nT n
T T T
  
 
 
 
 
     
   
   
 
F F .
La salida 2 ( )
Q  del bloque ( )
H  en la figura 2-23 es el producto 2 ( ) ( )
P H
 
 
 
 
 
2
1
sin 2 sin 2
2
( ) cos 2
2 2 n
s s s
t
Q n
T T T
   

 
   


     
   
  
 
 
 (2-35)
La ecuación (2-35) representa el modelo matemático para un tren de pulsos a ser modulado
en amplitud por una señal ( )
m t . Sea  
( ) ( )
M m t
  F una señal moduladora limitada en
banda entonces el producto 2 ( ) ( )
Q M
  representa a la señal modulada en amplitud de
pulsos rectangulares.
 
 
 
 
2
1
sin 2 sin 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) cos 2
2 2 n
s s s
t
Q M M M n
T T T
   

    
   


     
   
  
 
 
 (2-36)
Finalmente, sea 2
( ) ( ) ( )
MR
S Q M
  
 la representación en el dominio de la frecuencia de una
señal modulada en amplitud de pulsos rectangulares recuperada por un filtro pasa bajas.
Partiendo de la ecuación (2-36) un filtro pasa bajas hará significativo sólo el primer término
de la derecha.
 
 
sin 2
( ) ( )
2
MR
s
S M
T
 

 
 
 
 
 . (2-37)
La ecuación (2-37) muestra que es posible recuperar la señal moduladora luego de un
proceso de modulación por amplitud de pulsos rectangulares mediante un filtro pasa bajas,
sin embargo el factor    
sin 2 2
   
 
  introduce una distorsión dependiente de la
frecuencia.
La figura 2-24 muestra secuencialmente la forma en la que fue obtenida la ecuación (2-36).
En la parte (a) se representa una señal moduladora limitada en banda, con frecuencia
máxima M
f y distribución espectral idealmente plana. La distribución espectral de ( )
m t en
(a) y modulada por un tren de impulsos a una frecuencia de muestreo 2
S M
f f
 es

75
presentada en (b), donde  
0 ( ) ( )
M m t s t
 F en la ecuación (2-31). La parte (c) es la
distribución espectral del factor de distorsión 2 ( )
Q  introducido cuando los impulsos se
“ensancharon” debido a la acción de la función de transferencia ( )
H  . Finalmente en (d),
se presenta la distribución espectral de la señal ( )
m t modulada en amplitud de pulsos
rectangulares representada por la ecuación (2-36).
Figura 2-24 Secuencia de la obtención de la ecuación (2-36).
En la figura 2-24d es posible visualizar el efecto de distorsión respecto de la frecuencia que
presenta una señal moduladora que fue muestreada por un tren de pulsos rectangulares
debido al factor de distorsión sin( 2) ( 2)
  , como se expresa en las ecuaciones (2-36) y
(2-37). Este factor de distorsión presenta un valor mínimo en 0 1
f 
 para un ciclo de
trabajo del 50% [1]. Si 0 M
f f
 el valor mínimo del factor de distorsión estará más alejado
de la banda de interés ( 0 M
f
 ), por lo tanto la distorsión será menor en esa banda. Por otro
lado, si  disminuye progresivamente hasta cero, se tendrá el caso de muestreo instantáneo,
el cual idealmente no presenta distorsión respecto de la frecuencia en la banda de interés.
2.3.- Modulación temporal de pulsos.
Los esquemas de modulación analógica son relativamente simples y eficientes en ancho de
banda; sin embargo, la circuitería electrónica con la que se realizan llega a presentar un
comportamiento no lineal. Los esquemas de modulación digital como la modulación por
código de pulso (PCM) han evolucionado ofreciendo esquemas suficientemente inmunes a

76
las no linealidades y presentando al mismo tiempo una relación señal a ruido superior en
comparación con los esquemas analógicos. Sin embargo, una desventaja es que los sistemas
digitales son complejos y mucho más costosos que los esquemas analógicos.
La modulación temporal de pulsos (PTM) es una técnica intermedia entre las analógicas y
digitales; no requiere codificación y es altamente inmune a los efectos no lineales de la
circuitería electrónica y de los emisores ópticos en los sistemas de transmisión por fibra
óptica.
En las técnicas PTM, a diferencia de la modulación PAM, la amplitud de la portadora de
pulsos es constante. La modulación temporal de pulsos imprime la información en los
parámetros de duración, posición o frecuencia de la portadora.
Existen diversos formatos de modulación PTM de acuerdo al tratamiento que se les da a los
pulsos de la señal portadora. En la figura 2-25 se presenta un resumen comparativo de las
principales formas de modulación temporal de pulsos.
Figura 2-25 Diversos formatos para PTM. En la parte (a) la señal moduladora; en (b) la modulación por ancho de
pulsos (PWM); en (c) la modulación por posición de pulsos (PPM); en (d) la modulación en frecuencia de pulsos
cuadrados (SWFM), en (e) la modulación en frecuencia de pulsos (PFM).
La figura 2-25a muestra la señal moduladora en función del tiempo.
La figura 2-25b ilustra la forma de modulación por ancho de pulsos (PWM). En esta técnica
la duración de cada pulso o ciclo de trabajo de la portadora es modificado en función de la
amplitud de la señal moduladora.
La figura 2-25c es un esquema de una técnica que se genera a partir de la modulación
PWM; es conocida como modulación por posición de pulsos (PPM). Un tren de pulsos de

77
duración constante y de corta duración se genera como resultado de una de las transiciones
de la señal PWM.
La modulación en frecuencia de una onda cuadrada (SWFM) se presenta en la figura 2-25d.
Esta técnica presenta básicamente las características de una portadora modulada en
frecuencia. Su ciclo de trabajo es del 50%.
Una analogía de la relación entre las formas de modulación PWM-PPM existe entre la
modulación en frecuencia de onda cuadrada (SWFM) y la modulación por frecuencia de
pulsos (PFM). La técnica PFM puede generarse a partir de una onda cuadrada modulada en
frecuencia o bien a partir del cruce por cero de una señal sinusoidal modulada en
frecuencia.
Las formas de modulación temporal de pulsos producen distribuciones espectrales con
características comunes [6]. En cada caso, el proceso de modulación genera bandas
laterales alrededor de la frecuencia de la portadora (frecuencia fundamental del tren de
pulsos) y sus armónicos. La anchura y magnitud de las bandas laterales depende de la
técnica PTM utilizada. Una componente de banda base aparece en las técnicas PWM, PPM
y PFM. La aproximación más utilizada para determinar la distribución espectral de estas
técnicas de modulación es la expansión en serie de Fourier la señal PTM modulada por una
señal sinusoidal de una sola frecuencia [6].
2.3.1.- Modulación por ancho de pulsos.
La generación de una señal PWM requiere que la amplitud de una señal moduladora sea
muestreada periódicamente. La amplitud muestreada es proporcional a un ancho de pulso
específico dentro de un tren de pulsos, en donde que varía el ciclo de trabajo en cada
periodo.
La modulación por ancho de pulso es generalmente clasificada por diferentes criterios,
como la forma de muestreo o si el proceso de modulación ocurre en uno o en ambos flacos
del tren de pulsos.
En lo que se refiere a la forma de muestreo, se derivan dos casos. Un muestreo natural se
da cuando la señal moduladora es comparada o muestreada directamente por una señal en

78
forma de triángulo (pudiendo ser diente de sierra). En un muestreo uniforme la señal
moduladora es procesada primero por una etapa de modulación por amplitud de pulsos
rectangulares antes de ser muestreada, como se ilustra en la figura 2-26.
Figura 2-26 Diferentes formas de muestrear una señal PWM. (a) muestreo natural; (b) muestreo uniforme.
Una señal moduladora puede ser muestreada una (muestreo a un flanco) o dos veces
(muestreo a doble flanco) por cada periodo de una onda triangular para conformar un tren
de pulsos PWM, como se muestra en la figura 2-27. En el muestreo a doble flanco, la señal
moduladora es muestreada el doble número de veces respecto del muestreo a un flanco; en
ambos casos, la señal PWM presenta el mismo número de transiciones.
Figura 2-27 Señal PWM. (a) Muestreo a un flanco; (b) muestreo a dos flancos.
La expresión matemática que describe un tren de pulsos PWM depende de la forma del
muestreo y si éste es a uno o dos flancos. La figura 2-28 ilustra la modulación PWM por
muestreo natural y a doble flanco. Esta forma de onda PWM se representa
matemáticamente por [7] [8]

79
 
2 1
1 0
( )
1
( ) ( ) 4 ( 1) cos( )cos(2 1) )
n k k
c m
n k
J n M
f t m t n t k t
n

 
 
 
 
 
   
 , (2-38)
donde ( ) cos( )
m
m t M t
 
 es una señal moduladora de frecuencia m
 , M es el índice de
modulación [8], c
 es la frecuencia con que se repite cada periodo del tren de pulsos y
( )
k
J x es una función Bessel de primera clase, de orden k y de argumento x .
Se requiere que 2
c m
 
 (frecuencia de Nyquist) para poder recuperar la señal original ya
que el producto cruzado en la ecuación (2-38) puede producir interferencia armónica con la
señal representada por el primer término.
Figura 2-28 Esquema PWM utilizado para el modelo matemático de ( )
f t
mediante un muestreo natural a doble flanco.
La ecuación (2-38) considera una señal moduladora de una sola componente frecuencial y
no puede predecir la distribución espectral derivada de una señal moduladora compleja. La
modulación por ancho de pulso no es un proceso lineal y el principio de superposición no
es aplicable. Así, no es viable considerar la suma de las series individuales de Fourier de
cada componente frecuencial de la señal moduladora [8].
El primer término de la derecha en la ecuación (2-38) representa la componente de banda
base, la cual puede recuperarse mediante un filtro pasa bajas.
2.3.2.- Modulación por posición de pulsos.
La modulación por posición de pulsos (PPM) se genera a partir de una modulación PWM
como se muestra en la figura 2-29. La posición de cada pulso generado depende de la
duración del pulso PWM.

80
Figura 2-29 Una señal PPM a partir de una señal PWM de
muestreo natural y de una transición por periodo de muestreo.
El ancho del pulso transmitido es angosto. Esta característica resulta ventajosa en la
transmisión óptica, ya que permite minimizar la potencia luminosa transmitida, en
comparación con el esquema PWM [6].
El sistema de modulación PPM se realiza con un modulador PWM seguido de un circuito
monoestable. La figura 2-30 es un esquema a bloques de un modulador PPM.
Figura 2-30 Esquema de un modulador PPM a partir de un modulador PWM.
Si ( ) cos( )
m
m t M t

 es una señal moduladora, A es la amplitud del tren de pulsos y 
representa el ancho de cada uno de los pulsos PPM, entonces la distribución espectral de
una señal PPM es [6]
   
 
 
 
1
( ) sin 2 cos
2
sin 2
2
cos
c
m m
c m
k c m
k n
A
f t AM t
n k
A
J n M n k t
k
 
  

  
  

 
 
  

 
 
 
 
 
  .
(2-39)
La ecuación (2-39) expresa que la distribución espectral de una señal PWM se compone de
una serie de armónicos de la frecuencia de muestreo acompañados de bandas laterales así
como de una componente de banda base, la cual es la derivada de la señal moduladora [6] y
cuya amplitud depende del ancho del pulso y de la frecuencia moduladora.
La presencia de una componente de banda base en la distribución espectral sugiere que el
proceso de demodulación de una señal PPM se lleve a cabo mediante un filtro pasa bajas.

81
2.3.3.-Modulación en frecuencia de una onda cuadrada.
La modulación en frecuencia de una onda cuadrada (SWFM) es el equivalente en pulsos de
una señal sinusoidal modulada en frecuencia, como se puede ver en la figura 2-31.
Figura 2-31 Modulación SWFM a partir de una señal FM sinusoidal.
Una señal SWFM puede ser implementada con el uso de un oscilador controlado por
voltaje (VCO), seguido de un circuito comparador. La forma de detección de señales
moduladas en frecuencia de onda cuadrada se lleva a cabo por un circuito demodulador de
FM retroalimentado o bien por uno de amarre de fase como los descritos en el apéndice D.
2.3.3.- Modulación en frecuencia de pulsos.
El muestreo de una señal moduladora es llevado a cabo al variar la frecuencia de una serie
de pulsos de duración constante y ciclo de trabajo corto. Este tipo de modulación también
es llamado modulación por densidad de pulsos, ya que una señal PFM porta la información
de la señal moduladora en base al número de pulsos transmitidos por unidad de tiempo. En
la figura 2-32 es posible visualizar un esquema a bloques de un modulador PFM integrado
por un oscilador controlado por voltaje y un circuito monoestable.
Figura 2-32 Esquema a bloques de un modulador PFM. La estructura es muy similar a la
utilizada en el modulador PPM en cuanto a la utilización de un circuito monoestable.
La figura 2-33 muestra gráficamente el proceso de modulación PFM. La señal ( )
m t en (a)
modula una portadora sinusoidal en frecuencia en la parte (b). Un proceso de comparación
o bien la utilización de un VCO produce una señal sinusoidal o cuadrada modulada en
frecuencia en (c). Un circuito monoestable disparado en el flanco de subida de la señal

82
modulada en frecuencia de pulso cuadrado produce un tren de pulsos de duración constante
en (e), lo que representa una señal PFM.
Figura 2-33 Proceso gráfico de la obtención de una señal PFM
2.4.- Conclusiones.
En las formas de modulación analógica, la frecuencia, fase o amplitud de la portadora es
modificada. Las formas de modulación por pulsos se fundamentan en el hecho de que la
portadora tiene la forma de un tren de pulsos al que es posible modificar su duración,
posición o frecuencia de repetición en forma proporcional a una señal de información.
Las técnicas PTM presentan un mejor desempeño que su contraparte analógica en lo que
respecta a su adaptabilidad en la transmisión por fibra óptica al hacer mejor uso de la
disponibilidad de ancho de banda que este tipo de medio ofrece.
El estudio de las formas de modulación analógica representa la base conceptual y
matemática para el desarrollo de los procesos de modulación por pulsos. La modulación en
frecuencia es parte esencial de esta tesis. Los apéndices C y D contienen información
valiosa que sirve de complemento y punto de comparación en el estudio de la forma de
modulación elegida en el presente trabajo: la modulación en frecuencia de pulsos (PFM).
Esta última técnica es presentada de manera introductoria en este capítulo y es desarrollada
en detalle en el capítulo siguiente.

83
Referencias
[1] Taub, H., Schilling D.L., „Principles of communications systems‟. McGraw Hill Company. 1973.
[2] Couch, L.W., „Digital and analog communications systems‟. Prentice Hall. 2001.
[3] Stanley, W.D., Jeffords, J.M., „Electronic communications: principles and systems‟. Thomson Delmar
Learning. 2007.
[4] Tomasi, W., „Sistemas de comunicaciones electrónicas‟. Prentice Hall. 1996.
[5] Lathi, B.P., „Introducción a la teoría y sistemas comunicación‟. Limusa Noriega Editores. 1999
[6] Wilson, B., Ghassemlooy, Z., „Pulse time modulation techniques for optical communications: a review‟.
IEEE proceedings-J, Vol. 140, No. 6, December 1993, pp. 346-357.
[7] Black, H., „Modulation Theory‟. Van Nostrand, New York 1953. Capítulo 17.
[8] Suh, S.Y., „Pulse width modulation for analog fiber-optic communications‟. IEEE Journal of light wave
technology, Vol. LT-5, No. 1, January 1987, pp. 102-112.
[9] Ross, A.E., „Theoretical Study of Pulse-Frequency Modulation‟. Proceedings of the IRE Volume 37, Issue
11, Nov. 1949 Page(s): 1277 – 1286.
[10] Heartley D.J.T.: „SNR comparison between two designs of PFM demodulator used to demodulate PFM
or FM‟, Electronics Letters, 1985, 21, (5), pp 214-215.
[11] Hsu, H.P., „Análisis de Fourier‟. Prentice Hall. 1998.
[12] Spiegel, M.R., „Fourier analysis with applications to boundary problems‟ . McGraw Hill. 1974.
[13] Wilson, B., Ghassemlooy, Z., „Multiple site tone structure of multi-tone pulse width modulation‟.
Electronics Letters, 1988, 24, pp. 516-518.

85
Capítulo 3
Modulación en frecuencia de pulsos
En el capítulo 2 se describieron las técnicas de modulación más usuales, tanto analógicas
como por pulsos. En este capítulo se continuará con el estudio de las técnicas de
modulación en frecuencia de onda cuadrada (SWFM) y de la modulación en frecuencia de
pulsos (PFM). Los resultados de este análisis servirán para establecer los criterios de diseño
y realización de un esquema basado en la modulación en frecuencia de pulsos y su
transmisión vía fibra óptica.
3.1 Preliminares.
El análisis de la distribución espectral de una señal de pulsos modulados recurre al método
pseudo-estático [1]. Este método se basa en el análisis de un tren de pulsos sin modular y
posteriormente en el análisis del mismo tren de pulsos, ahora modulado en duración, fase o
frecuencia.
Si no existe relación racional entre la frecuencia de la señal moduladora y la frecuencia de
repetición de los pulsos, la forma de onda no es periódica [9], entonces un tren de pulsos
modulado no puede ser expresado en una serie de Fourier. En el método de análisis de
escalón sugerido en [3], la distribución espectral de un tren infinito de pulsos es derivado de
la suma de las componentes espectrales de escalones ascendentes y descendentes. El
espectro del tren de pulsos modulado es obtenido al asignar un instante específico para las
transiciones de los escalones en función de una señal moduladora.

Capítulo 3. Modulación en frecuencia de pulsos
86
Para obtener la relación entre la señal moduladora y el tren de pulsos se asume una
situación como la que se presenta en la figura 3-1.
Figura 3-1 Conceptualización del método de análisis de escalón
Las curvas 1 y 2 en la figura 3-1 corresponden a dos ondas sinusoidales de frecuencia
angular c
 con un desplazamiento relativo  , que equivale al ancho del pulso sin modular.
Las transiciones de subida y bajada (transiciones positiva y negativa respectivamente) de
los escalones se realizan en los máximos de las curvas 1 y 2. Sin modulación, el tren de
pulsos es una forma de onda periódica con periodo de repetición 2n , donde n es un
número entero. Un tren de pulsos no modulado puede ser representado por una serie de
transiciones positivas y negativas de una función escalón; estas transiciones ocurren en
2
2
c t n

 
 
 
 
 
2
2
c t n

 
 
 
 
 
.
(3-1)
Las fases de la onda sinusoidal están separados en 2 .
Una señal sin modular puede expresarse como
( ) cos
2
c
f t A t


 
 
 
 
 
 
 
( ) cos
2
c
f t A t


 
 
 
 
 
 
 
.
(3-2)

87
Para la modulación en frecuencia de una señal de pulsos, las curvas 1 y 2 de la figura 3-1
son consideradas como una señal modulada en frecuencia. Los instantes cuando los picos
positivos de las curvas se repiten son considerados también modulados en frecuencia,
Para un caso con modulación en frecuencia, en concordancia con la ecuación (2-17), las
ecuaciones son
 
( ) cos sen
2
c m
f t A t t

   
 
 
   
 
 
 
 
 
( ) cos sen
2
c m
f t A t t

   
 
 
   
 
 
 
 
,
(3-3)
donde m
 es la frecuencia de una señal moduladora, m
  
  es el índice de modulación
y  es un ángulo de fase.
Con modulación, la ocurrencia de las transiciones positiva y negativa están dadas por los
argumentos de las ecuaciones (3-3) de la siguiente forma
 
sen 2
2
c m
t t n

    
 
   
 
 
 
sen 2
2
c m
t t n

    
 
   
 
 
,
(3-4)
donde n es un número entero.
Los pulsos cuyas transiciones correspondan a los instantes especificados por las ecuaciones
(3-4) son considerados modulados en frecuencia. A partir de estas ecuaciones es posible
observar que la ésima
n  transición de cada pulso esta determinada por la amplitud de la
señal moduladora en el instante cuando la transición ocurre.
3.2 Generalidades de la modulación en frecuencia de un tren de pulsos.
La figura 3-2 esquematiza un tres de pulsos infinito y su expresión matemática en serie
compleja de Fourier se detalla a continuación.

88
Figura 3-2 Tren infinito de pulsos
La forma general de una serie compleja de Fourier para una función ( )
f t se representa con
la ecuación
( ) c
jk t
n
k
f t C e 


 
/2
/2
1
( ) c
T
jk t
n
T
C f t e dt
T



 
La función ( )
f t mostrada en la figura 3-2 presenta una amplitud constante A en el
intervalo 2 2
t
 
   y por lo tanto, el coeficiente n
C se expresa como
Al sustituir esta expresión en ( )
f t como serie compleja de Fourier, se tiene
Dado que 2 c
T  
 , la expresión anterior se convierte en
donde c
 es la frecuencia del tren de pulsos.
La expresión (3-5) distingue los efectos individuales de las transiciones positiva y negativa
en el primer y segundo término entre corchetes respectivamente, las cuales pueden ser
/2
/2 /2 /2
/2
/2
1 1 1
c c c c
jk t jk t jk jk
n
c c
A
C Ae e e e
T T jk jk T


     

  
 


   
   
   

 .
/2 /2
1
( ) c c c
jk jk jk t
k
c
A
f t e e e
j T k
    



 
 
 
 .
/2 /2
1
( )
2
c c c
jk jk jk t
k
A
f t e e e
j k
    



 
 
 
 , (3-5)

89
moduladas a conveniencia, como se detallará a continuación para el caso de modulación en
frecuencia.
3.3 Distribución espectral de una señal de pulsos modulada en frecuencia.
Según los argumentos presentados para la figura 3-1 y la ecuación (3-1), cada transición del
tren de pulsos ocurre cuando la fase de la frecuencia fundamental de la señal moduladora es
múltiplo de 2 , pudiendo resultar en transiciones moduladas en frecuencia, como es el caso
de la ecuación (3-4).
Existen dos tipos de modulación en frecuencia de un tren de pulsos [4]. En el primer caso,
el desplazamiento de la curva 2 en la figura 3-1 es determinado por el valor de la señal
moduladora en ese instante, esto lleva a una variación tanto en el ancho del pulso como en
el desplazamiento de su posición. Este esquema es conocido como modulación en
frecuencia de onda cuadrada (SWFM). En el segundo caso, el desplazamiento es
determinado por el valor de la señal moduladora en el tiempo ( )
t 
 y es conocido como
modulación en frecuencia de pulsos (PFM).
3.3.1 Modulación en frecuencia de una onda cuadrada (SWFM).
De acuerdo a las ecuaciones (3-4), la posición de las transiciones positiva y negativa del
tren de pulsos a modular estarán ubicadas en
 
sen
2
c
mt
 
  
  (3-6a)
 
sen
2
c
mt
 
  
  (3-6b)
El modelo se esquematiza como una mera evolución de la figura 3-1 en la figura 3-3.

90
Figura 3-3 Transiciones positiva y negativa para un tren de
pulsos SWFM
Ahora existen argumentos para modificar la ocurrencia de las transiciones de los escalones
en la ecuación (3-5) simplemente al sustituir las nuevas ubicaciones de ellas dadas por las
ecuaciones (3-6) y así obtener una expresión para una señal modulada en frecuencia de una
onda cuadrada.
La ecuación (3-7) representa una señal SWFM pero no proporciona información acerca de
las características espectrales. Para esto será necesario representarla en base a funciones
trigonométricas, de tal forma que
   
[ /2 sen ] [ /2 sen ]
1
( )
2
c m c m c
j k k t j k k t jk t
k
A
f t e e e
j k
          


    

 
 
 
 . (3-7)
   
sen sen
/2 /2
1
( )
2
m m
c c c
jk t jk t
jk jk jk t
k
A
f t e e e e e
j k
     
    


 


 
 
 

 
 
sen /2 /2
1
( )
2
m c c c
jk t jk jk jk t
k
A
f t e e e e
j k
       


 

 
 
 

 
/2 /2
sen
1
( )
2
c c
m c
jk jk
jk t jk t
k
A e e
f t e e
k j
   
   





 
 

 
  
 
 
 
 

   
sen
1
( ) sen / 2 m c
jk t jk t
c
k
A
f t k e e
k
   
 




 
  

   
[ sen ]
1
( ) sen / 2 m c
j k t k t
c
k
A
f t k e
k
   
 


 

 
  

   
 
1
( ) sen / 2 cos sen
c m c
k
A
f t k k t k t
k
     



  
 
 


91
Replanteando la ecuación anterior mediante la identidad cos( ) cos cos sen sen
     
   ,
se tiene que
Los términos  
sen sen m
k t
  

 
  y  
sin sen m
k t
  

 
  pueden ser expresados a su vez en
series de Fourier de acuerdo a las ecuaciones (C-12) y (C-14) del apéndice C, que a
continuación se repiten con las modificaciones correspondientes en sus argumentos.
Al sustituir las expresiones (3-9) en la ecuación (3-8) se obtiene la siguiente relación.
Ahora se desarrollarán parcialmente los productos expresados en la ecuación (3-10) para
posteriormente utilizar las identidades del producto de dos funciones trigonométricas
   
cos cos 1 2 cos cos
     
   
 
  y    
sen sen 1 2 cos cos
     
   
 
  .
         
 
1
( ) sen / 2 cos cos sen sen sen sin
c c m c m
k
A
f t k k t k t k t k t
k
         



 
   
   
   
 
 (3-8)
       
0 2
1
cos sen 2 cos 2
m n m
n
k t J k J k n t
      


   
   
   

      
2 1
0
sen sen 2 sen 2 1
m n m
n
k t J k n t
     



   
   
   
 .
(3-9)
         
      
0 2
1
2 1
0
1
( ) sen / 2 cos 2 cos 2
sen 2 sen 2 1
c c n m
k n
c n m
n
f t k k t J k J k n t
k
k t J k n t
      
   
 
 



   

  
 
   
 
 
 



  
  
  

 
 
  

 

(3-10)
         
   
 

   
   
 
   
   
   
   
  
0 2
4
1
3
1
( ) sen / 2 cos cos 2 cos 2
cos 4 cos 4
cos cos
cos 3 cos 3
c c c m c m
k
c m c m
c m c m
c m c m
f t k J k k t J k k t t k t t
k
J k k t t k t t
J k k t t k t t
J k k t t k t t
          
      
      
      


 
      

  
 
      
 
 
     
 

 
      
  




92
La ecuación anterior puede ser expresada y simplificada en términos de una suma. El
miembro de la derecha se multiplica y divide por 2
c
  .
La primera suma de la ecuación anterior puede ser simplificada recordando que las
funciones Bessel de primera clase son simétricas respecto de su argumento y que sinc(0) 1
 ;
entonces, ( )
f t es
La ecuación (3-11) representa la distribución espectral de una señal SWFM. Resulta
interesante compararla con la ecuación (2-20), que describe la distribución espectral de una
señal sinusoidal modulada en frecuencia (FM), la cual se reescribe a continuación.
Según las ecuaciones (3-11) y (3-12), en la distribución espectral de los tipos de las
modulaciones SWFM y FM no existe componente de banda base, por lo que la
recuperación de la señal moduladora mediante un filtro pasa bajas no es posible. Además el
formato SWFM genera una componente de frecuencia cero, en contraste con su contraparte
FM.
Las componentes armónicas de ambas distribuciones espectrales están moduladas en
frecuencia y su amplitud varía en respecto a las funciones Bessel; en la modalidad SWFM
la amplitud de cada armónico se ve afectada por un factor de peso de la forma  
sen /
x x .
 
       

    
0
1
sen 2
( ) cos cos
2 2
1 cos
c
c
c n c m
k n
c
n
c m
k
A
f t J k k t J k k n t n
k
k n t n
 
 
     
  
  
 
 
   
 
 
   
 
 
 
 
       

    
0
1 1
sen 2
( ) cos cos
2 2
1 cos
c
c c
c n c m
k n
c
n
c m
k
A A
f t J k k t J k k n t n
k
k n t n
 
   
     
   
  
 
 

    
 
  


   
 
  
 
(3-11)
         
    
0
1
cos cos 1 cos
n
FM c n c m c m
n
f t AJ t A J n t n n t n
        


       
   
   
 (3-12)

93
3.3.2 Distribución espectral de una señal modulada en frecuencia de pulsos (PFM).
La segunda técnica de modulación en frecuencia de un tren de pulsos es la modulación
PFM. La expresión matemática para este tipo de modulación se establece al especificar las
transiciones del tren de pulsos modulado, de acuerdo al método de análisis de escalón.
La transición positiva coincide con el máximo de la señal moduladora; la negativa ocurre
un tiempo  posterior a la transición positiva. Este tiempo debe ser menor que el periodo
de la portadora modulada. En la figura 3-4 la transición negativa ocurre en ( )
t 
 .
Figura 3-4 Posición de las transiciones positiva y negativa para un
tren de pulsos PFM
La ecuación (3-6a) especifica la transición positiva del tren de pulsos modulado en
frecuencia y se escribe nuevamente en la ecuación (3-13a). La transición negativa es una
variante de la ecuación (3-6b) con las condiciones descritas en la figura 3-4; la expresión es
re-escrita como la ecuación (3-13b). Las condiciones para las transiciones anteriores
conforman un tren de pulsos PFM.
 
sen
2
c
mt
 
  
  (3-13a)
 
sen
2
c
m t
 
   
  
 
  (3-13b)
El proceso de modulación PFM puede ser expresado matemáticamente al sustituir las
ecuaciones (3-13) en la expresión (3-5) para las transiciones positiva y negativa del tren de
pulsos, de tal forma que

94
La ecuación (3-11) puede expresarse de la siguiente forma [6]
Al desarrollar los productos y separar suma con índice n , se obtiene
Al hacer uso de la propiedad de las funciones Bessel ( ) ( 1) ( )
n
n n
J x J x
   [11] se obtiene la
expresión para un tren de pulsos PFM.
   
/2 sen
[ /2 sen ]
1
( )
2
c m
c m c
j k k t
j k k t jk t
k
A
f t e e e
j k
     
     


 
   
 
   
 

 
 
 
 
 (3-14)
   
 
 
 
1
2
( ) 1 sen 2 cos 2
2
sen 2
2 cos 2
2
c
m m m
c
c m
n c m m
k n c
A
f t t
k n
J k k n t n n
k
  
     
  
  
     
 
 
 

   




  
 
    
 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
1
1
1
sen 2
( ) cos 2
2 2 2
sen 2
cos
2
sen 2
cos 2
2
sen 2
cos 2
2
m
c m
m m
m
c
c
c
k c
c m
n c m m
n c
c m
n c m m
n c
A A
f t t
k
A
J k k t
k
k n
J k k n t n n
k
k n
J k k n t n n
k
 
   
   
   
 
 
 
  
  
     
 
  
     
 






    


  




 
 
     
 
 

 
 
     











 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
1
1
sen 2
( ) cos 2
2 2 2
sen 2
cos
2
sen 2
cos 2
2
sen 2
1 cos 2
2
m
c m
m m
m
c
c
c
k c
c m
n c m m
n c
n c m
c m m
c
A A
f t t
k
A
J k k t
k
k n
J k k n t n n
k
k n
k n t n n
k
 
   
   
   
 
 
 
  
  
     
 
  
    
 




     


  



 
 
 
     
 
  




 
 
      
 
 







(3-15)

95
La ecuación (3-15) se esquematiza en la figura 3-5 y establece que la distribución espectral
de una señal PFM contiene una componente de frecuencia cero de amplitud 2
c
A   y una
componente de banda base cuya amplitud es  
sin 2 2 2
m m m
A       , la cual puede ser
recuperada mediante filtraje pasa bajas.
Figura 3-5 Esquema de la distribución espectral de una señal PFM
El tercer término de la ecuación (3-15) indica que el espectro contendrá componentes
armónicos de la frecuencia portadora. Teóricamente, la componente fundamental de la
portadora desaparecerá de la distribución espectral cuando el índice de modulación sea de
2.405, dado que 0 (2.405) 0
J  [6]. Los términos cuarto y quinto representan las bandas
laterales alrededor de los armónicos de la frecuencia del tren de pulsos. Como sucede en la
modulación FM, SWFM y modulación de fase, el ancho de las bandas laterales no sólo
depende de la amplitud de la señal moduladora, sino también de su frecuencia, lo que
provoca asimetría entre las bandas laterales superior e inferior [6].
El proceso de recuperación de la señal moduladora involucra un promedio temporal de la
señal de pulsos PFM. El término independiente 2
c
A   en la ecuación (3-15) representa
ese promedio, el cual se escribe a continuación como [7]
donde A es la amplitud de los pulsos PFM, c
f es la frecuencia de la portadora y  es la
duración temporal de los pulsos.
En la figura 3-6 se esquematiza la forma de demodulación de una señal PFM al promediar
en el tiempo el tren de pulsos. En la figura 3-6a se presenta una señal de pulsos con periodo
1
1
c c
T f
 . Durante un periodo de tiempo 1 1
f c
t n T
 se repiten 1
n pulsos. El promedio temporal
( ) c
f t Af 
 , (3-16)

96
de la señal representada por los 1
n pulsos es 1 1 1 1
c
A n A nT

 , lo que equivale a 1 1
c
A Af 
 . En
la figura 3-6b el promedio temporal es 2 2
c
A Af 
 .
Figura 3-6 Esquemas de dos señales PFM que servirán para visualizar la forma de detección de la señal
moduladora promediando en el tiempo.
Es claro en la figura que 2 1
c c
f f
 , entonces el valor promedio 2
A de la señal en la figura 3-
6b es mayor que 1
A en la figura 3-6a, como se esquematiza en las figuras 3-6d y 3-6c
respectivamente.
Si el tren de pulsos PFM varía su frecuencia de repetición, el valor promedio de la señal
varía también en forma proporcional.
La multicanalización temporal de señales PFM no es viable debido a la falta de espacios
temporales fijos. El esquema de modulación en frecuencia de pulsos resulta atractivo
debido a que no es necesaria la sincronización entre el transmisor y receptor y por que el
demodulador básicamente se compone de un filtro pasa bajas.
3.4 Generación y detección de una señal modulada en frecuencia de
pulsos.
En esta sección se describe de manera general la realización de un sistema de transmisión
utilizando modulación en frecuencia pulsos y sirve de introducción para la descripción
detallada del sistema realizado y descrito en el capítulo 4.
Las figuras 2-25, 2-33, 3-5, 3-6 y la ecuación (3-15) permiten visualizar el proceso de
generación de una señal PFM considerando los elementos siguientes
 Señal moduladora
 Modulador en frecuencia

97
 Formador de pulsos de duración fija
 Transmisor
Así mismo, el proceso de recuperación de la señal moduladora incluye
 Receptor
 Regenerador de pulsos
 Formador de pulsos de duración fija
 Filtraje pasa bajas
Los elementos para la realización del sistema se esquematizan en la figura 3-7.
Figura 3-7 Esquema a bloques de una sistema de transmisión PFM
3.5 Ruido en una señal modulada en frecuencia de pulsos.
El ruido afecta a una señal PFM modificando la posición temporal en que ocurren las
transiciones del tren de pulsos [4]. El instante de la transición de los pulsos define el nivel
de umbral para la regeneración de los pulsos. La adición de ruido ocasiona que la transición
se realice antes o después del tiempo de referencia en el que la señal cruza el nivel de
umbral de regeneración, figura 3-8. Como se describe más adelante, el efecto del ruido
puede minimizarse cuando las transiciones de la señal son más abruptas, con lo que el
tiempo de exposición al ruido es menor. La pendiente de las transiciones de los pulsos está
limitada por el ancho de banda de los circuitos electrónicos, los componentes opto-
electrónicos y el medio de transmisión.

98
Figura 3-8 Efecto del ruido en las transiciones de los pulsos en una
señal PFM
El error en la posición de las transiciones de los pulsos respecto al nivel de umbral de
regeneración es causado por ruido o por impulsos aleatorios que afectan el proceso de
transmisión-recepción.
La relación señal a ruido (SNR) a la salida de un sistema PFM es [7].
donde S es la potencia de la señal de pulsos, e
N es la potencia del ruido asociada con la
transición del pulso y i
N es la potencia del ruido debido a impulsos ocasionales que crucen
el nivel de umbral durante la regeneración de pulsos.
La potencia de un tren de pulsos PFM de amplitud A , ancho  y modulado por una señal
sinusoidal de frecuencia m
f , a la salida un filtro pasa bajas de ganancia unitaria y frecuencia
de corte m
f es [8]
donde f
 es la desviación máxima de frecuencia.
La potencia del ruido e
N asociada con la transición de los pulsos de una señal PFM está
definida por
e i
S
SNR
N N


, (3-17)
 
2
2
A f
S

 
 , (3-18)

99
donde A es la amplitud del tren de pulsos,  es su ancho, c
f es la frecuencia fundamental
de la portadora, m
f es la frecuencia moduladora máxima y la frecuencia de corte del filtro
pasa bajas y D
N es la potencia del ruido en el umbral de regeneración.
Generalmente, e
N determina el desempeño respecto al ruido en un sistema en un sistema
PFM [8]. Como se observa en la figura 3-8, el nivel de umbral de regeneración se ha
situado en 2
A , este nivel representa el óptimo para la detección, donde los efectos del
término i
N son mínimos. Por lo tanto esté termino será despreciado en la ecuación (3-17).
Al sustituir las ecuaciones (3-18) y (3-19) en (3-17) se tiene
Es posible hacer una aproximación trapezoidal de la forma de onda de los pulsos y asumir
que
donde r
t es el tiempo de subida del pulso como se muestra en la figura 3-8. La relación
señal a ruido de una señal transmitida en un esquema de modulación PFM, es
El término 2
D
A N en la ecuación (3-21) es la relación portadora a ruido (CNR) del tren de
pulsos antes de la etapa de filtraje [8].
2 2 2 3
2
8
3 ( )
c m D
e
umbral
A f f N
N
df t
dt
 
 
 
 
 
,
(3-19)
2
2
2
( )
3
16
umbral
m c m D
df t
dt
f
SNR
f f f N

 
 
 
 

  
 
.
(3-20)
( )
r
umbral
df t A
dt t
 

 
 
,
2 2
2 2 3
3
16 D
r c m
f A
SNR
N
t f f


 . (3-21)

100
La ecuación (3-21) puede ser expresada en términos del índice de modulación m
f f
   .
La figura 3-9 muestra una gráfica de la ecuación (3-22) con el índice de modulación 
como variable independiente para diferentes valores de r
t
11
.
Figura 3-9 Variación de SNR de una señal PFM en función de índice de la variación de frecuencia del
modulador
De acuerdo a la ecuación (3-22), la relación señal a ruido del sistema es proporcional a los
valores A y f
 , e inversamente proporcional al tiempo de subida del pulso r
 , como se
puede corroborar en al figura 3-9.
3.6 Conclusiones.
En este capítulo se ha descrito la teoría de modulación de un sistema de transmisión basado
en la modulación en frecuencia de pulsos.
Las ecuaciones (3-12) y (3-19) determinan dos parámetros importantes del sistema: la
distribución espectral y a la relación señal a ruido. De la distribución espectral se deduce la
forma de recuperar la señal moduladora. Estos parámetros de la modulación PFM definen
las especificaciones de diseño de acuerdo a las características de la señal moduladora.
11
Los parámetros para determinar la ecuación (3-18) son tomados de valore reales: 20
c
f MHz
 , 2.5
m
f MHz
 , 4
A V
 ,
18
ppRuido
V mV
 en la portadora de pulsos, y un ciclo de trabajo de la portadora del 35%. En el capítulo 4 se podrá verificar
el origen de estos valores.
2 2
2 2
3
16 D
r c m
A
SNR
N
t f f


 . (3-22)

101
La generación de la modulación PFM se deduce de la ecuación (3-12), en la cual se
establecen los requerimientos para generarla, así como para recuperar la señal moduladora.
El esquema a bloques del sistema se ha introducido en este capítulo y constituye la base de
un sistema experimental que se desarrolla en el capítulo siguiente de esta tesis.

102
Referencias.
[1] Roberts, F. F., Simmonds, J. C., „Multichannel communications systems‟. Wireless Engr. London, vol 22,
pp 538-549, November 1945.
[2] Black, H., „Modulation Theory‟. Van Nostrand, New York.
[3] Fitch, E., „Spectrum of modulated pulses‟. J.IEE London, vol 94, part 3A, pp 556-564, 1947.
[4] Schwartz , M., Bennett, W. R., Stein, S., „Communications systems and techniques‟. McGraw Hill
Company.
[5] Schwartz , M., „Information transmission , modulation and noise‟. McGraw Hill Company.
[6] Wilson, B., Ghassemlooy, Z., „Pulse time modulation techniques for optical communications: a review‟.
IEEE proceedings-J, Vol. 140, No. 6, December 1993, pp. 346-357.
[7] Webb, R. P., „Output noise spectrum of demodulator in an optical PFM system‟, Electronics Letters., Vol.
18, No. 14, 1982.
[8] Durkarev, I. A., „Noise performance and SNR in PFM‟. IEEE Trans. in comm. Com 33, No. 7. 1985.
[9] Hsu, H. P., „Análisis de Fourier‟ Prentice Hall 1998
[10] Spiegel, M. R., „Mathematical Handbook of Formulas and Tables‟. McGraw Hill.

103
Capítulo 4
Enlace optoelectrónico basado en PFM para transmisión de señales de
En este capítulo se describe un esquema experimental para la transmisión vía fibra óptica
de señales analógicas utilizando pre-modulación de frecuencia de pulsos. Los conceptos
desarrollados en los capítulos anteriores sirven de base para este estudio.
4.1. Introducción.
Un sistema experimental de comunicaciones por fibra óptica utilizando una subportadora
de pulsos modulados en frecuencia recurre a la teoría de modulación de señales de pulsos,
cuya frecuencia de repetición dependerá de la amplitud de la señal moduladora.
La técnica de modulación en un sistema de transmisión óptico determina la eficiencia y
desempeño del mismo. La modulación en intensidad, donde la amplitud de una señal de
información modifica la intensidad de una portadora óptica, resulta ineficiente y de calidad
pobre. El ancho de banda limitado en este tipo de modulación desaprovecha el gran ancho
de banda que ofrece la fibra óptica; su índice de modulación está limitado por la linealidad
de las fuentes ópticas, además de que la emisión continua de la señal incrementa el ruido en
el detector óptico. La relación señal a ruido en esquemas de modulación de intensidad es
modesta en comparación de otras técnicas de modulación temporal. La modulación en
frecuencia de pulsos presenta un desempeño superior respecto a la modulación de
intensidad y resulta una técnica de modulación más atractiva para las transmisiones de
señales analógicas en sistemas de transmisión por fibra óptica.

Capítulo 4. Enlace opto-electrónico para la transmisión de señales de instrumentación y control
104
La modulación en frecuencia de una onda cuadrada no está limitada por las no-linealidades
asociadas a los componentes ópticos y eléctricos; en la técnica de modulación SWFM el
ciclo de trabajo es del 50%, lo que resulta en un nivel de potencia elevado en la
transmisión. La potencia elevada incrementa el ruido en el fotodetector y reduce el tiempo
de vida de las fuentes ópticas.
Los inconvenientes de utilizar la técnica SWFM se reducen cuando se utilizan pulsos de
ciclo de trabajo corto. Esto permite que el emisor óptico transmita una potencia elevada en
un periodo muy corto, lo que se traduce en la disminución del ruido de disparo en el
fotodetector y el alargamiento del tiempo de vida de la fuente óptica.
La modulación en frecuencia de pulsos PFM combina las ventajas de la modulación en
frecuencia y la modulación por pulsos de corta duración en un sistema de transmisión por
fibra óptica [2].
Como se ha descrito en los capítulos 2 y 3, la modulación en frecuencia de pulsos (PFM) es
un método en el cual la amplitud de una señal moduladora modifica la frecuencia de un tren
de pulsos de duración constante. La distribución espectral de la señal PFM está compuesta
de bandas laterales moduladas en frecuencia alrededor de las componentes armónicas de la
frecuencia de los pulsos sin modular. El ancho espectral es teóricamente infinito, contiene
una componente de orden cero y la señal moduladora presenta una envolvente del tipo
 
sin x x . La señal moduladora puede ser recuperada mediante un filtro pasa bajas.
4.2. Objetivo del trabajo experimental.
Desarrollar un sistema de transmisión por fibra óptica empleando modulación en frecuencia
de pulsos para la transmisión de señales de instrumentación.
4.3. Sistema propuesto.
El sistema propuesto en este trabajo transmite señales analógicas en una banda de
2.5 @ 3
MHz dB
 vía fibra óptica.

105
El sistema experimental se ilustra en la figura 4-1. En el transmisor, un generador de
señales proporciona la señal moduladora que modificará la frecuencia de un oscilador
controlado por voltaje (VCO), el cual genera una señal de onda cuadrada con ciclo de
trabajo del 50%. La señal proveniente del VCO se conecta a un circuito monoestable, el
cual producirá un pulso corto por cada transición positiva del VCO. Los pulsos de duración
constante son aplicados a un convertidor eléctrico-óptico, el cual los transforma en pulsos
ópticos y los inyecta en el canal de fibra óptica. El canal óptico conducirá la señal PFM
hasta el receptor optoelectrónico. El receptor óptico recupera los pulsos ópticos y los
convierte en pulsos eléctricos. Los pulsos eléctricos son amplificados y posteriormente
entregados a un discriminador, el cual consiste en un circuito regenerador de pulsos y un
comparador. Un filtro pasa bajas permite recuperar la señal moduladora.
4.4. Descripción del sistema.
En referencia a la figura 4-1, una señal moduladora ( )
m
v t (A) de banda limitada (B) es
conectada a un amplificador de voltaje (II) con ganancia 1
K . La señal 1 m
K v (C) modulará al
oscilador controlado por voltaje (III), el cual producirá una onda cuadrada con ciclo de
trabajo de 50% (D) de frecuencia variable en proporción a la señal (C).
La señal (D) generada por el VCO se conecta a un circuito monoestable (IV), el cual
responde a las transiciones positivas12
de la señal (D) y produce pulsos de duración
constante (E) que corresponden a cada ciclo de la señal SWFM (D). Los pulsos angostos
(E) se aplican a un circuito comparador (V), el cual establece los niveles de voltaje (F) para
activar el circuito manejador del emisor óptico (VI), en donde se generan los pulsos
ópticos.
Los pulsos ópticos son inyectados a la fibra óptica (VII), que los transmite hasta el receptor.
En el receptor, los pulsos ópticos son convertidos en pulsos eléctricos mediante el
convertidor óptico-eléctrico (VIII). Los pulsos detectados son amplificados en (IX). Los
pulsos recuperados presentan transiciones suaves por efecto del ancho de banda del
12
Los niveles de voltaje de la señal (D) siempre son negativos respecto de la referencia, se considera una transición
positiva al cambio de un nivel de voltaje más negativo a uno menos negativo.

106
amplificador (IX), como se esquematiza en (G). Los pulsos (G) son conectados a un bloque
discriminador (X).
A la entrada del bloque discriminador (X), el nivel medio de voltaje de la señal (G) se
ajusta en el bloque (XI), y se obtiene (H). El tren de pulsos se reconstituye con el circuito
monoestable (XII) en pulsos de duración contante (J). Los pulsos son reconstruidos por el
comparador (XIII) y la señal es filtrada en (XIV).
El filtro pasa bajas (XIV) entrega una señal m
kv (M). El valor medio de esta señal se ajusta
a cero en (XV) y se produce la señal (N), la cual es amplificada por el bloque (XVI), de
ganancia 3
K . Finalmente se recupera ( )
m
v t .
Figura 4-1 Sistema de transmisión optoelectrónico basado en PFM
La siguiente sección describe el procesamiento de la señal moduladora durante el proceso
de transmisión.
En la figura 4-2, la forma de onda (A) representa a una señal moduladora. El VCO produce
una onda SWFM (D). Esta forma de onda se aplica a un monoestable para producir pulsos
de duración corta (F) y cuya frecuencia variará en función de la amplitud de la señal (A). El
tren de pulsos (F) es convertido a una señal óptica que se transmite por la fibra óptica. Los
pulsos transmitidos por la fibra óptica se atenúan y se dispersan. En el receptor, los pulsos
ópticos son convertidos en pulsos eléctricos. Los pulsos, a la salida del amplificador y

107
representados en (G) se reconstruyen formando una onda (L). Un filtro pasa bajas permite
recuperar la señal transmitida (A).
Figura 4-2 Evolución de la señal modulada en frecuencia de pulsos en el sistema de transmisión
La teoría del sistema, considerando los espectros generados por los diferentes bloques del
sistema, se describe a continuación, figuras 4-1 y 4-3.
El espectro de una señal de banda limitada m
B se ilustra en (B). En (F) se muestra el
espectro de una señal modulada en frecuencia de pulsos (PFM).
En un sistema de transmisión basado en PFM, la mayor parte de la potencia está contenida
en un ancho de banda 1  [4], donde  es la duración del pulso transmitido. La señal (F) es
transmitida por la fibra óptica hasta el receptor, el cual la detecta y limita su ancho de banda
a un valor Rx
B . La distribución espectral (G) representa el efecto de ancho de banda
limitado del receptor óptico.
La señal con distribución espectral (G) es conectada al discriminador (X) de la figura 4-1.
Los pulsos se regeneran a un ancho w
 
 , lo que resulta en una reconstitución del espectro
(L).
Finalmente, un filtro pasa bajas recupera la señal transmitida (A).

108
Figura 4-3 Distribuciones espectrales en diferentes puntos del sistema de transmisión. c
 es la frecuencia
fundamental de los pulsos sin modular.
4.5. Elementos del sistema.
En esta sección se describirá de manera funcional los circuitos electrónicos que conforman
los elementos del sistema de transmisión introducidos en la sección 4-4, figura 4-1.
4.5.1 Generador de la señal moduladora (I).
Representa el origen de la señal a transmitir y no forma parte del sistema. Puede ser un
generador de funciones o una fuente cualquiera de banda limitada. En el sistema propuesto,
los niveles de voltaje de entrada se normalizaron a 1 pp
V .
4.5.2 Amplificador de entrada (II).
Se trata de una configuración no inversora utilizando un amplificador operacional, como se
muestra en la figura 4-4.

109
Figura 4-4 Amplificador de entrada
La ganancia de voltaje de esta etapa está dada por la ecuación (4-1). Presenta un ancho de
banda de 6 @ 1.6
o i
MHz V V  La resistencia 3
R junto con el conector 1
J , permiten la
selección de dos niveles de impedancia de entrada según la naturaleza de la fuente (I).
1
2
1
o i
R
V V
R
 
 
 
 
(4-1)
La resistencia variable 3
R permite el cambio de la ganancia del amplificador y servirá para
ajustar el índice de modulación del transmisor representado en el bloque (III).
4.5.3 Modulador (Oscilador controlado por voltaje) (III).
El modulador en frecuencia consiste en un oscilador controlado por voltaje (VCO), el cual
utiliza un circuito tanque L C
 . La capacitancia varía en función del voltaje (2) en la figura
4-5, el cual proviene del amplificador de entrada (II). La variación de la capacitancia
depende del diodo varactor 1
D para producir una señal modulada en frecuencia (3).
Figura 4-5 Circuito modulador en frecuencia
El oscilador controlado por voltaje produce un tren de pulsos modulados en frecuencia
(SWFM) con ciclo de trabajo del 50%.

110
4.5.4 Circuito formador de pulsos en la sección del transmisor (IV).
El circuito formador de pulsos cortos es un circuito monoestable que responde a una de las
transiciones de la onda cuadrada proveniente del VCO, figura 4-6.
Figura 4-6 Circuito formador de pulsos en la sección del
transmisor
La terminal de disparo (3) es excitada por la transición positiva del tren de pulsos modulado
que proviene del VCO. Los valores de la resistencia 4
R y del capacitor 2
C determinan la
duración del pulso a la salida del circuito (4).
4.5.5 Circuito comparador en la sección del transmisor (V).
El circuito comparador realiza dos funciones:
 Llevar los niveles de voltaje de los pulsos producidos por el circuito monoestable (IV) a
valores positivos.
 Servir de excitador para el circuito de manejo del emisor óptico.
El diagrama esquemático de este circuito se presenta en la figura 4-7.
Figura 4-7 Circuito comparador
El voltaje de referencia para la comparación es suministrado por el mismo dispositivo. La
salida (5) es un tren de pulsos con niveles de voltaje positivos.

111
4.5.6 Conversión eléctrico-óptica (VI).
La transmisión vía fibra óptica requiere de la conversión de la señal PFM en señal óptica.
La modulación directa de intensidad óptica descrita en la sección 1.2.4, es la técnica
utilizada en el sistema propuesto en esta sección.
La figura 4-8 muestra el circuito manejador del emisor óptico.
Figura 4-8 Circuito para la conversión eléctrico-óptica
La base del transistor 1
Q es excitada por la señal (5) proveniente del circuito comparador
(V). El arreglo 5 3
R C
 es una red de énfasis que mejora el tiempo de respuesta en el
encendido de 1
Q . Las resistencias 6
R y 7
R limitan la corriente en la rama del colector
cuando 1
Q está en saturación.
El diodo 2
D es el emisor óptico, el cual consiste en un diodo DEL que emite a una longitud
de onda central de 850nm. La emisión óptica (6) es acoplada a una fibra multimodo para su
transmisión.
4.5.7 Fibra óptica (VII).
La naturaleza no coherente y el ancho espectral de la emisión óptica del DEL 2
D utilizado
en (VI) se adapta a una fibra óptica multimodo (62.5/125).
Una fibra de este tipo presenta un ancho de banda modal típico de 220 @850
MHz km nm
 [10]
y una atenuación máxima de 3.4 / @850
dB km nm [10].
4.5.8 Receptor óptico (Conversión óptico eléctrica) (VIII).
El receptor óptico está formado por un fotodiodo PIN en serie con una resistencia variable.
El diagrama esquemático de esta etapa se muestra en la figura 4-9. La corriente de

112
polarización inversa se incrementa cuando el flujo de fotones incidentes (6) es absorbido
por el fotodiodo 3
D , lo que provoca un flujo de corriente en la resistencia 8
R y, por lo tanto,
un voltaje proporcional a la corriente fotogenerada.
Figura 4-9 Conversión óptico
eléctrica (receptor)
4.5.9 Amplificador de la señal del fotodetector y ajuste de nivel de voltaje (IX y XI).
El voltaje en la resistencia 8
R es la entrada a un amplificador diferencial de muy alta
impedancia de entrada. El diagrama esquemático de esta etapa se muestra en la figura 4-10.
El capacitor 4
C forma una red de énfasis en el circuito para mejorar el tiempo de respuesta
a los pulsos de entrada del amplificador.
Figura 4-10 Circuito amplificador de la señal del
fotodetector
La sección punteada en la figura 4-10 corresponde al circuito de ajuste del nivel de voltaje
para la regeneración de pulsos en la salida (9).
4.5.10 Circuito formador de pulsos en la sección del receptor (XII).
El circuito monoestable para la reconstrucción de los pulsos en el receptor se presenta en la
figura 4-11.

113
La constante de tiempo 10 5
R C
 determina la duración de los pulsos reconstruidos.
Figura 4-11 Circuito formador de pulsos
(monoestable) en la sección del receptor
4.5.11 Circuito comparador en la sección del receptor (XIII).
El circuito comparador en la sección del receptor tiene las mismas funciones que el circuito
correspondiente en la sección del transmisor, aún cuando sus configuraciones son
diferentes. El diagrama esquemático del circuito se presenta en la figura 4-12.
Figura 4-12 Circuito comparador en la sección del
receptor
El voltaje de referencia para la comparación es suministrado por un divisor de voltaje en la
resistencia 11
R . La salida (11) es un tren de pulsos con niveles de voltaje positivos.
4.5.12 Filtro pasa bajas (XIV).
En la sección 3.3.2 se estableció que la señal moduladora puede ser recuperada mediante un
filtraje pasa bajas. El filtro (XV) cumple con esta función. El diagrama del circuito se
presenta en la figura 4-13.

114
Figura 4-13 Filtro pasa bajas par la detección de la señal
moduladora
El tren de pulsos (11) proveniente del comparador (XIII), es filtrado en frecuencia por un
filtro Butterworth de segundo orden (XIV). La señal (12) contiene una componente de
frecuencia cero proporcional al promedio de la señal de los pulsos sin modular y es
acompañada de una banda lateral, la cual representa a la señal moduladora, como se
esquematiza en las figuras 3-5 y 4-3.
4.5.13 Ajuste de nivel de voltaje de comparación y amplificador (XV y XVI).
La señal (12) contiene una componente CC, la cual será compensada por un circuito de
ajuste, realizado con el divisor de voltaje 15
R . Este proceso es previo a la amplificación de
la señal para la igualación del nivel de voltaje transmitido. El diagrama de los circuitos se
presenta en la figura 4-14.
Figura 4-14 Ajuste de nivel de voltaje y circuito amplificador
El amplificador presenta una configuración no inversora. La ecuación que define su voltaje
de salida (13) es la misma que la presentada para el amplificador (II) en la ecuación (4-1).
Su ganancia es variable mediante el ajuste de 16
R .

115
4.6 Resultados.
En esta sección se presentan los resultados del desarrollo del esquema de transmisión PFM
por fibra óptica y se reporta el desempeño general de su funcionamiento.
4.6.1 Funcionamiento de los elementos que integran el esquema experimental.
Amplificador de entrada.
Los niveles de impedancia de entrada, la ganancia y ancho de banda del amplificador de
entrada se resumen en la tabla 4-1.
Tabla 4-1 Características del amplificador de entrada
Característica Valor mín. Valor máx. Unidad
Impedancia de entrada 50 >1M Ohm
Ganancia de voltaje 1.05 6 ---
Modulador.
En la figura 4-5, la capacitancia del diodo varactor 1
D y por tanto la frecuencia del
oscilación del VCO, varían en función del voltaje (2). La figura 4-15 muestra la relación
frecuencia-voltaje de este dispositivo. Una frecuencia central de 20MHz corresponde a una
voltaje de cátodo igual a cero. El punto de operación en 0
K
V  permite fijar la frecuencia
central en una región lineal de la respuesta en frecuencia del VCO. El inductor variable 1
L
en la figura 4-5 permite una sintonía fina del oscilador.
Figura 4-15 Frecuencia de oscilación del VCO respecto al voltaje de entrada

116
La selección del inductor 1
L se realizó con base a las curvas experimentales de la
capacitancia del varactor, figura 4-16.
Figura 4-16 Curva de respuesta en frecuencia contra capacitancia del varactor 1
D en el circuito modulador
La figura 4-17 muestra las formas de onda de onda producidas el por el circuito modulador.
En la parte (a) se observa la oscilación en el punto de operación 0
K
V  sin modulación y en
(b) la forma de onda modulada.
(a) (b)
Figura 4-17 Formas de onda producidas por el modulador en frecuencia
La tabla 4-2 resume las características de funcionamiento del oscilador controlado por
voltaje.

117
Tabla 4-2 Características del oscilador controlado por voltaje
Característica Valor mín. Valor máx. Unidad
Ajuste de la frecuencia central @ 0
k
V  16 23 MHz
f
 1 8.7 MHz
Sensitividad --- 2.5 MHz/V
Tiempo de subida del pulso 4.35 --- ns
Tiempo de bajada del pulso 4.5 --- ns
Ciclo de trabajo 50 50 %
Generador de pulsos cortos en el transmisor.
La figura 4-18 muestra las formas de onda a la salida del circuito monoestable. La parte (a)
presenta el tren de pulsos de duración constante sin modular y la parte (b) con modulación
presente.
(a) (b)
Figura 4-18 Formas de onda producidas por el circuito formador de pulsos en la sección del
transmisor
La tabla 4-3 resume las características del pulso generado por este dispositivo.
Tabla 4-3 Características del pulso del circuito formador de pulsos
Característica Valor Unidad
Tiempo de subida del pulso 4.7 ns
Tiempo de caída del pulso 4.3 ns
Duración del pulso 14.5 ns
Ciclo de trabajo 20.2 %
Circuito comparador en el transmisor.
La figura 4-19 muestra las formas de onda a la salida del comparador, en (a) la onda sin
modulación; en (b) con modulación.

118
(a) (b)
Figura 4-19 Formas de onda producidas por el circuito comparador
La tabla 4-4 resume las características del circuito comparador.
Tabla 4-4 Características del pulso del circuito comparador
Conversión eléctrico-óptica.
La figura 4-20 muestra la curva de potencia óptica emitida por el DEL en función de la
corriente de inyección.
Figura 4-20 Curva potencia óptica emitida contra corriente ánodo-cátodo del emisor DEL utilizado y sus
características óptico-eléctricas
La curva de la figura 4-20 no es altamente lineal, sin embargo, esta condición no es crítica
cuando la luz se modula por pulsos. El DEL se integra al circuito de la figura 4-8 para
convertir la modulación PFM en señal óptica equivalente.

119
La figura 4-21 muestra las formas de onda en las terminales del transistor 1
Q . Las curvas
(a) y (b) corresponden a las formas de onda sin modular y con modulación en el colector;
en (c), se presenta la forma de onda en el ánodo del DEL.
(a) (b) (c)
Figura 4-21 Formas de onda producidas por el circuito manejador del transmisor óptico
La tabla 4-5 presenta las características del circuito de conversión eléctrico-óptico.
Tabla 4-5 Características del pulso del circuito manejador del emisor
óptico
Tiempo de subida del pulso (apagado) 5.3 ns
Tiempo de caída del pulso (encendido) 6.2 ns
Receptor óptico.
En el capítulo 1 se trató el tema de ruido en el fotodetector. Se utilizarán la ecuación (1-41)
y la figura 4-9 para determinar la relación señal a ruido del dispositivo utilizado.
Las hojas de especificaciones del fotodetector establecen que la corriente de oscuridad en el
dispositivo es 0.5
D
I nA
 , su ancho de banda es 175
pd
B MHz
 y su responsividad es
0.45 /
d
R A W

El índice de modulación óptico se obtiene a partir de la figura 4-21c, que corresponde al
circuito manejador del emisor óptico. El voltaje máximo de la forma de onda corresponde
al valor de cc
V , lo que indica que fluye una corriente muy próxima a cero en la resistencia
de la rama del colector y el diodo emisor, por lo que no se generará emisión óptica. La parte
baja de la forma de onda muestra que el emisor óptico transmite a su máxima intensidad,
entonces 0 0 1
pdMax pdMax
m P P
    .
La potencia óptica medida incidente en el fotodetector es 0 52
P W

 .

120
La media cuadrática de la corriente generada 2
s
i se obtiene a partir de la ecuación (1-42),
la cual, con base a los datos anteriores es 2 12 2
500 10
s
i A

  .
La corriente promedio generada s
I se calcula a partir de la ecuación (1-27), 31.72
s
I A

 .
La resistencia de carga medida tiene un valor de 500
L
R   .
Los datos anteriores arrojan una relación señal a ruido de
46
pd
SNR dB
 .
Amplificador de la señal del fotodetector.
La figura 4-22 muestra la respuesta en frecuencia normalizada del amplificador de la señal
del fotodetector.
Figura 4-22 Respuesta en frecuencia del amplificador de la señal del fotodetector
El ancho de banda del circuito amplificador es de 31 @ 3
MHz dB
 .
La figura 4-23 muestra las formas de onda del circuito amplificador de la señal del
fotodetector.

121
(a) (b)
Figura 4-23 Formas de onda producidas por el amplificador de la señal del fotodetector
La tabla 4-6 resume las características del circuito amplificador.
Tabla 4-6 Características del amplificador de la señal de fotodetector
Tiempo de subida del pulso 10 ns
Ganancia de voltaje 45 ---
Reconstrucción de pulsos en el receptor.
La figura 4-24 muestra las formas de onda generadas por el circuito monoestable. La parte
(a) presenta el tren de pulsos de duración constante sin modular y la parte (b) con
modulación.
(a) (b)
Figura 4-24 Formas de onda producidas por el circuito formador de pulsos
La tabla 4-7 resume las características del pulso generado por este dispositivo.
Tabla 4-7 Características del pulso del circuito formador de pulsos
en la sección del receptor
Ciclo de trabajo 25.4 %

122
Circuito comparador en el receptor.
La figura 4-25 muestra las formas de onda producida por el comparador en el receptor.
(a) (b)
Figura 4-25 Fotografías de las formas de onda producidas por el circuito comparador en la
sección del receptor
La tabla 4-8 resume el funcionamiento del comparador en el receptor.
Tabla 4-8 Características del pulso del circuito comparador en la
sección del receptor
Filtro pasa bajas, ajuste de nivel de voltaje y amplificador de salida.
La respuesta del filtro (XIV) y el amplificador (XVI) de la figura 4-1 se muestra en la
figura 4-27.
Figura 4-26 Respuesta en frecuencia del filtro y el amplificador de salida respecto de la señal de entrada al sistema
El ancho debanda que presenta el filtro y el amplificador de salida es de 2.5 @ 3
MHz dB
 .

123
4.6.2 Resultados generales del sistema.
Los diferentes elementos descritos en la sección 4.5 conforman el sistema de transmisión.
El desempeño global del sistema estudiado se reporta en esta sección.
Linealidad.
La linealidad de un sistema está determinada por la relación voltaje de salida entre voltaje
de entrada con respecto a una línea recta que los asocia de manera proporcional.
El apéndice E describe los criterios de evaluación de la linealidad, la cual se expresa en
términos del coeficiente de correlación entre los datos obtenidos y una línea recta.
La figura 4-28 presenta la gráfica de los resultados obtenidos en la prueba de linealidad del
sistema.
Figura 4-27 Respuesta de linealidad del sistema
En esta figura se muestran las mediciones experimentales y una recta para que ambas
curvas puedan ser comparadas visualmente.
La ecuación E-5 define el coeficiente de correlación y determina la linealidad Lin del
sistema, y cuyo valor es de
0.9961
Lin  .

124
Ancho de banda del sistema.
El ancho de banda del sistema está limitado por la curva de respuesta en frecuencia del
filtro y el amplificador de salida mostrada en la figura 4-26. El ancho de banda total del
sistema es de 2.5MHz.
Análisis de pérdidas.
En un sistema de transmisión por fibra óptica existen elementos que introducen pérdidas,
las cuales atenúan la señal óptica. El análisis de estas pérdidas determina el margen de
desempeño del sistema.
La figura 4-28 esquematiza las pérdidas en un enlace de fibra óptica. Sólo una fracción de
la intensidad óptica Tx
P emitida por el DEL es acoplada a la fibra, lo que resulta en una
potencia Coupl
P . La potencia acoplada es atenuada a lo largo de la fibra hasta alcanzar un
nivel Rx
P .
Figura 4-28 Pérdidas en un enlace de fibra óptica
Las pérdidas totales en el enlace Tot
L , expresadas en decibeles, están representadas por la
suma de las pérdidas por acoplamiento y la atenuación de la fibra óptica.
La sensibilidad del receptor es la mínima intensidad óptica incidente en el fotodetector que
permite recuperar la información transmitida. Este parámetro depende del fotodetector y de
la circuitería electrónica del receptor.
El margen de desempeño ( MD ) representa el intervalo de variación de potencia óptica entre
el nivel de recepción y la sensitividad del sistema.

125
La potencia medida en el receptor óptico del sistema desarrollado en este trabajo es
15.5
Rx
P dBm
  y la sensitividad del receptor es 20.0
Rx
S dBm
  , entonces, el margen de
desempeño del sistema es
4.5
Rx Rx
MD P S dB
   .
Un margen de desempeño de 2dB es típico en un sistema basado en DEL [7].
Distancia máxima de transmisión.
La distancia máxima en un enlace de fibra óptica multimodo está limitada por la
atenuación, la cual es del orden de 3 /
dB km . En consecuencia, el sistema de transmisión
propuesto es capaz de alcanzar una distancia de 1.5
máx
d km
 .
Relación señal a ruido.
La relación señal a ruido se define como el margen existente entre la potencia de la señal
que se recupera en el sistema y la potencia del ruido que la corrompe.
En el apéndice F se argumenta el método de medición del voltaje de ruido para el cálculo
de la relación señal a ruido.
 
 
2
2
RMS señal
señal
ruido RMS ruido
V R
P
SNR
P V R
  .
La ecuación anterior puede ser expresada en decibeles partiendo del hecho de que tanto la
señal como el ruido son aplicados a la misma carga.
 
 
2
2
10log 20log
RMS señal RMS señal
RMS ruido
RMS ruido
V V
SNR
V
V
  . (4-2)
El voltaje nominal de la señal de entrada es de 1 pp
V , entonces 0.35355
RMS señal
V V
 , el voltaje
pico-pico del ruido medido en el osciloscopio fue de 17
ppruido
V mV
 , y su valor RMS, de

126
acuerdo a la ecuación F-3 es de 2.83
RMSruido
V mV
 , entonces el valor de la relación señal a
ruido medida del sistema es de
42
SNR dB
 .
La relación señal a ruido depende del índice de modulación  como lo indica la ecuación
(3-22). La figura 4-29 muestra los resultados de la medición de SNR para diferentes valores
de  . La línea continua delgada representa el valor teórico para un tiempo de subida del
pulso 8
r
t ns
 en el comparador en la sección del receptor. La línea continua gruesa es un
ajuste a los puntos obtenidos experimentalmente.
Figura 4-29 Relación señal a ruido del sistema en función del índice de modulación 
Para valores de  mayores a 0.8 se empieza a presentar una disminución de la linealidad
del sistema causada por la respuesta no lineal del varactor y en general por la respuesta en
frecuencia del modulador (figura 4-15). El valor de  
42
SNR dB fue medido bajo esas
condiciones.
4.6.3 Resumen general de resultados.
La tabla 4-9 es un resumen de los resultados presentados en la sección 4.6 correspondiente
a los resultados de desempeño del sistema.
La figura 4-30 muestra diversas formas de onda que fueron transmitidas y recuperadas a
través del sistema.

127
(a) (b) (c)
Figura 4-30 Diversas formas de onda transmitidas y recuperadas
En 4-30a una señal sinusoidal, en (b) una triangular y en (c) una cuadrada. La linealidad del
sistema puede ser verificada a partir de la figura del centro
Tabla 4-9 Resumen de resultados
Parámetro Símbolo Valor Unidad
Características
generales
Tipo de fibra FO MM 62.5/125 ---
Conectores ópticos ST --- ---
Conectores eléctricos BNC --- ---
Tiempo de calentamiento tcal <2.5 min
Características
eléctricas
Voltaje nominal de entrada Vin 1 Vpp
Voltaje nominal de salida Vout 1 Vpp
Impedancia de entrada Zin >1 M
Impedancia de salida Zout 50 
Consumo de corriente en el transmisor ITx 190 mA
Consumo de corriente en el receptor IRx 120 mA
Características
ópticas
Longitud de onda transmitida  850 nm
Potencia óptica en el receptor PRx -15.5 dBm
Sensibilidad del receptor SRx -20.0 dBm
Distancia máxima de transmisión dmáx 1.5 km
Características
de desempeño
Linealidad LIN 99.6 %
Ancho de banda Bsist 2.5 MHz
Margen de desempeño MD 4. 5 dB
Relación señal a ruido SNR 42 dB

128
4.7 Aplicaciones potenciales del sistema de transmisión en
instrumentación y control.
El propósito de la instrumentación es obtener información de una variable física o de estado
en un proceso. Esta información puede ser continua o variante en el tiempo y es utilizada
para controlar dicho proceso. La figura 4-31 muestra un esquema a bloques de un sistema
de instrumentación en donde una variable física fue detectada para obtener información
acerca de ella. Esta información se retroalimenta para establecer un lazo cerrado de control.
Figura 4-31 Esquema de un sistema de instrumentación y control
Las variables físicas son adquiridas mediante el uso de dispositivos llamados sensores, de
los cuales se obtiene una señal eléctrica proporcional a la variable física medida. Un sensor
se compone de dos módulos principales, figura 4-32. Un transductor convierte la energía de
la variable física en una señal eléctrica y un módulo adaptador procesa la señal eléctrica
proveniente del transductor (amplificación, filtraje, almacenamiento, etc.
Figura 4-32. Esquema a bloques de un sensor y su conexión
La señal eléctrica de salida en un sensor debe ser compatible con la siguiente etapa a la que
se acopla; esta señal puede ser representada por la magnitud de un voltaje o una corriente.
El bloque que representa al sensor en la figura 4-32 presenta una impedancia de salida y el
bloque del sistema presenta una impedancia de entrada. La magnitud de la impedancia de
entrada al sistema depende de si la señal proveniente del sensor actúa o solamente maneja
al sistema. Cuando la señal del sensor actúa sobre el sistema, se requiere de una máxima
transferencia de potencia y las impedancias de entrada y salida deben ser iguales; si la
información del sensor sólo sirve de referencia o maneja al sistema, su impedancia de
entrada debe ser muy grande.

129
Los sensores pueden ser pasivos o activos. Los pasivos generan su señal de salida sin la
necesidad de un consumo de energía explícito para el proceso de obtención de la
información. Los sensores activos operan bajo una señal de excitación externa; esta señal es
modificada en función de la información censada de la variable física.
Un actuador realiza la función opuesta a la del sensor, convierte una señal eléctrica en la
variable física original.
El posible la conexión de sensores en un esquema como el de la figura 4-33 para la
transmisión remota de la información obtenida por ellos.
Figura 4-33. Esquema de una aplicación potencial del sistema de transmisión propuesto en instrumentación y control
La figura 4-33 muestra un esquema de los elementos de un sistema de instrumentación y
control a distancia que involucra un sistema de transmisión vía fibra óptica. Tres variables
físicas o de estado son monitoreadas. El sensor 1
S se ocupa de la variable 1
V el cual, a su
vez, acciona un actuador 1
A a través del cual se establece un lazo de control local. El sensor
1
S también envía información del estado de 1
V por un sistema de transmisión por fibra
óptica para que en una estación remota sea posible tomar una decisión en base a la
información proporcionada en el canal 1. La acción que se genera en el bloque de decisión
es transmitida por el canal 1‟ para operar el actuador externo E
A , cerrándose el lazo de
control externo. El sensor 2
S mide la variable 2
V , la cual porta información que es
transmitida por el sistema de fibra óptica en el canal 2. El esquema para el sensor 3
S
presenta la misma función que 2
S , sólo que requiere de una excitación local para funcionar,
es decir, el sensor es activo.
El esquema de la figura 4-33 muestra la posibilidad de la utilización de un sistema de
transmisión vía fibra óptica para establecer un canal remoto de instrumentación y control.

130
4.8 Conclusiones.
En este capítulo se ha presentado el sistema de transmisión desarrollado desde diferentes
puntos de vista:
 Su descripción a bloques
 Las formas de onda generadas en las diferentes secciones
 Las distribuciones espectrales generadas en el sistema y
 La funcionalidad de cada sección
En los capítulos anteriores se ha descrito la teoría que da sustento teórico a la realización
experimental del sistema presentado en este capítulo. La teoría de los elementos que
componen un sistema de transmisión por fibra óptica de capítulo 1 y la exposición de las
formas de modulación de los capítulos 2 y 3 soportan el desarrollo de cada una de las
secciones del capítulo 4.

131
Referencias.
[1] Carlson, A.B., „Communication systems: an introduction to signals and noise in electrical
communication‟. MacGraw Hill Inc.
[2] Timmermann, C. C., „Signal to noise ratio of a video signal transmitted by a fiber optic system using pulse
frequency modulation‟ IEEE Transactions on broadcasting, Vol BC-23, No. 1, 1977.
[3] Durkarev, I. A., „Noise performance and SNR in PFM‟. IEEE Trans. in comm. Com 33, No. 7. 1985.
[4] Cowen, S. J., „Fiber optic video transmission system employing pulse frequency modulation‟. Proceedings
IEEE, September 1979, pp 253-259.
[5] Keiser, G., „Optical fiber communications‟. McGraw Hill International Editions. 2000.
[6] Saleh, B. A. E., Teich, M. C., „Fundamentals of photonics‟. John Wiley & Sons, Inc. 1994.
[7] Green, J. H., „The Irwin Hand Book of Telecommunications‟. McGraw Hill. 5th
edition. 2006
[8] Sánchez-García, J. E., „Proyecto de diseño en óptica integrada‟. http://proton.ucting.mx/
materias/ET201/proyectos.
[9] Skoog, D. A., Holler, F. J., Crouch, S. R., „Principles of Instrumental Analysis‟. Cengage Learning
Editors. 2008.
[10] http://catalog2.corning.com/ CorningCableSystems/ media/ NAFTA/ Generic_Specs/ PGS003.pdf
[11] http://www.timbercon.com/ST-Connector.html

133
Conclusiones
Desde su concepción a mediados del siglo 20, los sistemas de comunicación por fibra
óptica han mostrado su eficacia y gran potencialidad al proveer la infraestructura para la
transmisión de grandes cantidades de información a distancia.
El objetivo de esta tesis es el desarrollo experimental de un sistema de transmisión por fibra
óptica que utilice la técnica de modulación PFM y que permita el transporte de señales de
instrumentación. El trabajo realizado combina la eficiencia de la modulación en frecuencia,
la flexibilidad y robustez del uso de la fibra óptica y la conveniencia económica al utilizar
una fuente emisora no coherente.
Una vez presentado el trabajo, el conocimiento de la evolución del proyecto proporcionará
al lector una idea más clara del trabajo desarrollado. Ésta constó de cuatro etapas.
Diseño. Fue el punto de partida. La primera fase de esta etapa consistió en el planteamiento
de las necesidades operativas y de desempeño para generar y detectar una señal PFM,
seguida del periodo de búsqueda y selección de los dispositivos electrónicos que servirían
para el desarrollo del sistema.
Pruebas. Cada bloque funcional del sistema de transmisión (capítulo 4) fue caracterizado y
acoplado para la unificación del circuito modulador/demodulador.
Optimización y obtención de resultados. Una vez conjuntado, el sistema fue sometido a una
etapa de optimización en vías de alcanzar el desempeño planteado, lo que llevó a la etapa
de pruebas, donde se generaron los resultados presentados.

Conclusiones
134
Documentación. En la etapa de diseño, el equipo de trabajo contaba con limitada
información para el sustento teórico del proyecto. La labor de búsqueda de información se
desarrolló en forma paralela a la experimental. El capítulo 2 y, principalmente el capítulo 3,
son el resultado de esta investigación. Ahí se integra la información de diversas fuentes
para el desarrollo de las ecuaciones (3-15) y (3-22), que expresan el comportamiento de una
señal PFM y su relación señal a ruido.
Conclusiones generales.
Como resultado, se obtuvo un sistema de transmisión por fibra óptica que utiliza un diodo
emisor de luz y fibra óptica multimodo, el cual es capaz de transmitir señales de
información de ancho de banda de hasta 2.5HMz.
La gran linealidad que presenta debe generar confianza en el usuario potencial para la
transmisión de señales que requieran gran fidelidad en “el otro extremo del cable”.
La relación señal a ruido superior a 40dB asegura la buena calidad de la transmisión se
señales de baja amplitud.
La distancia de transmisión que el enlace es capaz de alcanzar no está por debajo de la de
cualquier sistema de área local de características similares a las presentadas.
La transmisión remota de información de señales de instrumentación adquiere relevancia,
ya que, a pesar de que la tendencia en la administración del monitoreo de estaciones que
operan sin intervención humana directa apunta a la regionalización de los centros de
monitoreo o de atención de la red, se conserva cierto grado de centralización debido a la
facilidad de coordinación de los recursos humanos especializados en la operación y
atención de contingencias en las estaciones remotas.
Trabajo a futuro.
 Ancho de banda. La tendencia general en el mercado de las telecomunicaciones es la de
proveer cada vez mayores anchos de banda. La primera etapa en la evolución del sistema
presentado es la mejora de la capacidad de información que éste es capaz de portar.

Conclusiones
135
 Aumento del índice de modulación y SNR. El incremento del índice de modulación
aumenta la relación señal a ruido. La prueba y caracterización de osciladores controlados
por voltaje cuya respuesta voltaje-frecuencia presente alta linealidad para índices de
modulación altos es otra de las líneas sugeridas para el mejoramiento del sistema
presentado.
 Mayor ancho de banda transmitido. El incremento en el ancho de banda transmitido y el
índice de modulación requiere de la migración de la portadora a frecuencias más altas
para evitar distorsión armónica. En el mercado internacional se dispone de circuitería
electrónica con frecuencias de trabajo del orden de los 250HMz, lo cual mejoraría
substancialmente el ancho de banda transmitido al reducir el tiempo de subida de los
pulsos y mejorar la relación señal a ruido.

137
La óptica es la rama de la física que estudia el comportamiento de una de las
manifestaciones de energía conocida como luz y su interacción con ella misma y la materia.
Los modelos que tratan de predecir el comportamiento de la luz la consideran ya sea como
una onda electromagnética o bien como una partícula llamada fotón, lo cual constituye la
dualidad onda-partícula. La luz también puede ser representada en forma de rayos, que son
hipotéticas trayectorias rectas que sigue la luz en su propagación. Cualquiera de los tres
modelos resulta en buenas aproximaciones. La decisión del uso de cada uno de ellos
depende de la aplicación o bien de la conveniencia de los resultados que se esperan obtener.
Ondas electromagnéticas y fotones.
Vista como una onda electromagnética, la luz está compuesta de campos eléctricos y
magnéticos perpendiculares entre sí que se propagan a una velocidad aproximada de
8
3 10 /
m s
 y que varían en amplitud de manera sinusoidal. La distancia que recorre la luz en
uno de sus ciclos es llamada longitud de onda. Este modelo electromagnético asigna a las
ondas de luz la propiedad llamada fase, que mide el progreso de una oscilación cíclica (en
grados o radianes) respecto de alguna referencia. La figura A-1a es su representación
esquemática.
Un fotón es considerado como un paquete de energía electromagnética formado por unas
cuantas ondas que crecen y decrecen rápidamente en amplitud como se muestra en la figura
A-1b. La cantidad de energía portada por un fotón depende de la frecuencia de oscilación y
Apéndice A
Fundamentos de óptica

Apéndice
138
la energía total es el número de fotones multiplicado por la energía de cada uno de ellos.
Entre mayor sea la frecuencia, más grande será su cantidad de energía. Una onda continua
como la del modelo electromagnético estaría compuesta por una serie de fotones emitidos
continuamente.
Figura A-1 Representaciones de la luz. (a) el modelo electromagnético y (b) el modelo en base a
fotones.
El espectro electromagnético.
El término luz se puede aplicarse a las radiaciones en todo el espectro electromagnético. En
la figura A-2 se muestra su distribución; provee información desde diferentes puntos de
vista: frecuencia, energía asociada y longitud de onda. Cada frecuencia tiene asignada una
longitud de onda y a su vez cada una de ellas tiene asignada una determinada energía de
fotón.
Figura A-2 Espectro electromagnético
La relación entre la longitud de onda  y la frecuencia de una onda  es proporcional a la
velocidad de propagación de la luz c .
c


 (A-1)

Apéndice
139
Índice de refracción.
La rapidez de la luz depende del medio en el que se propaga; la luz se desplaza de manera
más lenta en un medio diferente al vacío que en éste. A la diferencia proporcional de
rapidez de la luz en el vacío respecto a su rapidez de propagación en un material se le
conoce como índice de refracción.
Por definición, el índice de refracción del vacío es la unidad y en la práctica se asigna
también este valor al índice de refracción del aire.
vacío
material
c
n
c
 . (A-2)
Si la luz proveniente de un material B penetra en un material A como se muestra en la
figura A-3, la rapidez de su desplazamiento cambiará, produciéndose un fenómeno llamado
refracción.
Figura A-3 Fenómeno de la refracción cuando un haz luminoso atraviesa dos materiales diferentes.
En la figura A-3a se esquematiza la incidencia de un haz luminoso donde las zonas más
oscuras representan mayor intensidad de campo electromagnético. Al ingresar desde un
medio con índice de refracción A hasta uno con índice B donde A B
n n
 , el haz luminoso
sufre una disminución en la longitud de onda debido al cambio de velocidad de
propagación, pero la frecuencia de oscilación no cambia. El hecho de que la luz se
propague más lentamente en el medio B respecto del medio A hace que la trayectoria de
ésta se desvíe en dirección de la normal a la superficie. En la figura A-3b se representa el

Apéndice
140
fenómeno de refracción en un medio con las superficies de incidencia y emergencia
paralelas entre sí; el haz que emerge de la superficie inferior tiene la misma dirección que
tenía antes de ingresar al medio B debido a que nuevamente se encuentra en un medio con
índice A
n . En la figura A-3c las superficies superior e inferior no son paralelas y el haz
emergente sigue una trayectoria dependiente de la superficie inferior.
La desviación de la luz por el fenómeno de refracción depende del material y del ángulo de
incidencia respecto de la superficie. A cada tipo de material se le asigna un índice de
refracción específico. La ley de Snell cuantifica está desviación.
sin sin
A A B B
n n
 
 . (A-3)
Reflexión total interna.
Cuando A B
n n
 y la trayectoria de la luz es como la mostrada en la figura A-4, ocurre un
fenómeno particular de la refracción conocido como reflexión total interna.
Figura A-4 Fenómeno de la reflexión total interna.
En la figura A-4a el ángulo de incidencia B
 contribuye a que el ángulo del haz emergente
sea A
 . Si el ángulo incidente se incrementa como en la figura A-4b se llegará a la
condición en donde el haz refractado seguirá la trayectoria de la frontera entre los
materiales según el esquema. El ángulo A
 será de 90°, entonces a B crit
 
 se le conoce
como ángulo crítico; esto quiere decir que para ángulos incidentes B crit
 
 el haz ya no
emergerá del material A y será reflejado como lo muestra la figura A-4c. Esta es la

Apéndice
141
condición de reflexión total interna. La ley de Snell queda modificada para cuando 90
A
   ,
expresándose en la forma de la ecuación (A-4).
arcsin A
crit
B
n
n

 
  
 
(A-4)
El fenómeno de reflexión total interna conforma la base para la propagación de la luz en
una fibra óptica.

Apéndice
142
Las mediciones en decibeles son extensamente utilizadas en el área de las comunicaciones.
La idea original de las mediciones en decibeles fue la de comparar dos niveles de potencia
respecto de una señal de referencia. A continuación se presentan algunas de las propiedades
básicas de los logaritmos.
1
log log x
x
  log log
k
x k x
 log log log
xy x y
  . (B-1)
La ganancia absoluta de potencia de un sistema se define con
2
1
P
G
P

, (B-2)
donde 1
P es la potencia de entrada y 2
P la potencia de salida de un sistema. Asimismo, la
ganancia de potencia en decibeles de define como
2
10 10
1
10log 10log
dB
P
G G
P
 
. (B-3)
De acuerdo a la relación (B-3), si la potencia de salida es mayor que la de entrada, la
ganancia en decibeles será positiva, de lo contrario será negativa, condición conocida como
atenuación.
A pesar de que las mediciones en decibeles están referidas a razones de potencia, es posible
expresar razones de voltaje o corriente en decibeles. Si se asume que la entrada y salida del
Apéndice B
Niveles de señal y ganancia en decibeles

Apéndice
143
sistema presentan una impedancia resistiva R entonces la ganancia de potencia expresada
en niveles de voltaje o corriente es
2
2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1
1
10log 10log 10 20log 20log
dB
P V R V V I
G Log
P V V I
V R
 
    
 
  . (B-4)
Los decibeles no son una unidad absoluta, sino una comparación de un nivel respecto de
otro. Una comparación muy utilizada se refiere a la diferencia de 3dB, lo que quiere decir
que la señal de salida del sistema es 1 2 la magnitud de la entrada.
Existen diversos estándares de referencia cuando la relación entre dos señales es expresada
en decibeles. Si la referencia es 1 Watt entonces la relación de potencias es expresada en
dBW; si la referencia en 1 miliwatt entonces es expresada en dBm, de acuerdo a las
siguientes relaciones.
10log
1
potencia en Watts
dBW
Watt
 10log
1
potencia en Watts
dBm
miliwaltt
 (B-5)
La bondad de las expresiones en decibeles radica en que en el análisis de sistemas de
comunicaciones es común que se presenten etapas de ganancia y atenuación en cascada en
la misma forma que fluye la señal en el sistema. La ganancia o atenuación total será
simplemente la suma algebraica de cada una de las ganancias en cada etapa como lo indica
la tercera de las ecuaciones (B-1)
Referencias
[1] Stanley, W. D., Jeffords, J. M., „Electronic Communications: Principles and Systems‟,
Thomson Delmar Learning.

Apéndice
144
Espectro de una señal modulada en frecuencia.
Se acotará el análisis espectral de una señal de FM para el caso en el que la señal de banda
base es estrictamente senoidal, lo cual representa sólo un caso específico de una función
moduladora cualquiera.
La ecuación (2-17) representa una señal senoidal modulada en frecuencia por una señal
moduladora senoidal.
 
( ) cos sin( )
c m
f t A t t
  
  , (2-17)
la cual puede ser reescrita al utilizar la identidad trigonométrica de la suma de ángulos
cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )
a b a b a b
   , entonces
   
( ) cos( )cos sin( sin( )sin sin(
c m c m
f t A t t A t t
     
 
. (C-1)
Los términos
 
 
cos sin( )
sin sin( )
m
m
t
t
 
 
(C-1a)
son funciones periódicas de periodo 2 m
T  
 y posible expandirlas en una serie compleja
de Fourier.
Apéndice C
Espectro, multiplicidad de frecuencia y potencia de una señal de FM

Apéndice
145
Considérese la ecuación (C-2) sólo como una herramienta para estructurar la serie de
Fourier de la ecuación (C-1).
   
sin( )
cos sin( ) sin sin( )
m
j t
m m
e t j t
 
   
 
. (C-2)
Se expandirá la ecuación (C-2) en una serie compleja de Fourier,
sin( )
m m
j t j n t
n
n
e C e
   


 
.
(C-3)
Por otra parte, la función generadora de las funciones Bessel es
2
1
2
( )
x
z
x n
n
n
e J z x
 


 
 
 

 
,
(C-4)
donde ( )
n
J z es una función Bessel de primera clase, de orden n y de argumento z .
Se hace una reasignación de variable para la ecuación (C-4): Sea m
j t
x e 
 . Al reescribir el
término entre corchetes de la exponencial en la ecuación (C-4) se tiene
2
1 1 1 1
2 2 2 2
x x
x
x x x
  
   
 
  .
Al reasignar la variable propuesta se obtiene
   
2
1 1 1
sin( )
2 2 2
m m m m
j t j t j t j t
m
x
e e j e e j t
x i
   

 

    
.
(C-5)
La ecuación (C-4) se expresa de la forma
sin( )
( )
m m
jz t jn t
n
n
e J z e
 


 
.
(C-6)
Al comparar las ecuaciones (C-3) y (C-6) es posible visualizar que z
  y
( ) ( )
n n n
c J z J 
  , entonces, la serie de Fourier para la ecuación (C-3) es expresada como

Apéndice
146
sin( )
( )
m m
j t jn t
n
n
e J e
  



  (C7)
Por otro lado, cos( ) sin( )
n
jn t
n n
e n t j n t

 
  , cos( ) cos( )
a a
  y sin( ) sin( )
a a
  entonces
   
   
   
sin( )
0 1 1
2 2
3 3
( ) ( ) cos( ) sin( ) ( ) cos( ) sin( )
( ) cos(2 ) sin(2 ) ( ) cos(2 ) sin(2 )
( ) cos(3 ) sin(3 ) ( ) cos(3 ) sin(3 )
m
j t
m m m m
m m m m
m m m m
e J J t j J t j
J t j J t j
J t j J t j
 
      
     
     



     
    
    
(C-8)
Al retomar la ecuación (C-2), que es la parte izquierda de la ecuación (C-8), es posible
igualar las partes real e imaginaria en ambos miembros, de tal forma que
       
   
   
0 1 1
2 2
3 3
cos sin( ) sin sin( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) ( ) cos( ) sin( )
( ) cos(2 ) sin(2 ) ( ) cos(2 ) sin(2 )
( ) cos(3 ) sin(3 ) ( ) cos(3 ) sin(3 )
m m m m m m
m m m m
m m m m
t j t J J t j J t j
J t j J t j
J t j J t j
          
     
     



      
    
    
(C-9)
Antes de seguir, recuerde la siguiente propiedad de las funciones Bessel.
( ) ( 1) ( )
n
n n
J J
 
   (C-10)
La parte real de la ecuación (C-9) se expresa como
  0 1 1
2 2 3 3
cos sin( ) ( ) ( )cos( ) ( )cos( )
( )cos(2 ) ( )cos(2 ) ( )cos(3 ) ( )cos(3 )
m m m
m m m m
t J J t J t
J t J t J t J t
      
       

 
   
    
(C-11)
Al sustituir la ecuación (C-10) en (C-11) se obtiene
     
   
   
 
0 1 1
2 2
3 3
4 4
cos sin( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) ( ) cos( ) sin( )
( ) cos(2 ) sin(2 ) ( ) cos(2 ) sin(2 )
( ) cos(3 ) sin(3 ) ( ) cos(3 ) sin(3 )
( ) cos(4 ) sin(4 ) ( ) co
m m m m m
m m m m
m m m m
m m
t J J t j J t j
J t j J t j
J t j J t j
J t j J
        
     
     
   
     
    
    
    
s(4 ) sin(4 )
m m
t j
 
 
,
y al simplificar

Apéndice
147
  0 2 4
0 2
1
cos sin( ) ( ) 2 ( )cos(2 ) 2 ( )cos(4 )
( ) 2 ( )cos(2 )
m m m
n m
n
t J J t J t
J J n t
      
  


   
  

(C-12)
Observe que la ecuación (C-12) es la primera de las ecuaciones (C-1a). Ahora se procede a
encontrar la segunda de las ecuaciones (C-1a) igualando las partes imaginarias de la
ecuación (C-9).
  1 1 2 2
3 3 4 4
sin sin( ) ( )sin( ) ( )sin( ) ( )sin(2 ) ( )sin(2 )
( )sin(3 ) ( )sin(3 ) ( )sin(4 ) ( )sin(4 )
m m m m m
m m m m
t J J J J
J J J J
         
       
 
 
    
    
(C-13)
Al aplicar nuevamente la propiedad (C-10) se obtiene
  1 1 2 2
3 3 4 4
sin sin( ) ( )sin( ) ( )sin( ) ( )sin(2 ) ( )sin(2 )
( )sin(3 ) ( )sin(3 ) ( )sin(4 ) ( )sin(4 )
m m m m m
m m m m
t J J J J
J J J J
         
       
    
    
  1 3 5
sin sin( ) 2 ( )sin( ) 2 ( )sin(3 ) 2 ( )sin(5 )
m m m m
t J t J t J t
       
   
   
2 1
0
sin sin( ) 2 ( ) sin(2 1)
m n m
n
t J n t
   



 
 (C-14)
Ahora las ecuaciones (C-12) y (C-14) representan las expansiones en serie de Fourier de las
ecuaciones (C1-a) y se está en posibilidades de expresar en estos nuevos términos la
ecuación (C-1). Al sustituir las ecuaciones (C-12) y (C14) en (C-1) se obtiene
 
 
 
0 2 4
1 3 5
( ) cos( ) ( ) 2 ( )cos(2 ) ( )cos(4 )
2 sin( ) ( )sin( ) ( )sin(3 ) ( )sin(5 )
c m m
c m m m
f t A t J J t J t
A t J t J t J t
     
      
    
  


(C-15)
Al utilizar las identidades trigonométricas
 
 
1
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
2
1
sin( )sin( ) cos( ) cos( )
2
a b a b a b
a b a b a b
   
   
es posible reescribir la ecuación (C-15) como

Apéndice
148
0 2 4
1 3 5
( ) ( ) cos( ) 2 ( )cos(2 )cos( ) 2 ( )cos(4 )cos( )
2 ( )sin( )sin( ) 2 ( )sin(3 )sin( ) 2 ( )sin(5 )sin( )
c m c m c
m c m c m c
f t J A t AJ t t AJ t t
AJ t t AJ t t AJ t t
       
        
   
   


(C-16a)
Al utilizar la identidad trigonométrica de productos y sumas se obtiene
 
   
   
0 1
2 3
4 5
( ) { ( )cos( ) ( ) cos( ) cos( )
( ) cos( 2 ) cos( 2 ) ( ) cos( 3 ) cos( 3 )
( ) cos( 4 ) cos( 4 ) ( ) cos( 5 ) cos( 5 ) }
c c m c m
c m c m c m c m
c m c m c m c m
f t A J t J t t
J t t J t t
J t t J t t
      
         
         
     
       
       
(C-16b)
     
 
0
1
( ) ( )cos ( ) cos ( 1) cos
n
c n c m c m
n
f t AJ t A J n t n t
      


 
     
 
 (C-16c)
La ecuación (C-16c) es la representación de la expansión en serie compleja de Fourier de la
ecuación (2-17) y a partir de ella se puede visualizar la distribución espectral de una señal
modulada en frecuencia.
Modulación por multiplicidad de frecuencias.
La ecuación (2-17) puede ser reescrita para un par de señales moduladoras sinusoidales
como
1 1 2 2
( ) cos[ sin( ) sin( )]
c m m
f t A t t t
    
  
, (C-17a)
donde 1 1
sin( )
m t
  y 2 2
sin( )
m t
  representan una banda base de dos frecuencias. La ecuación
(C-17a) puede ser expresada en forma compleja.
1 1 2 2
sin( ) sin( )
( ) Re[ ]
c m m
j t j t j t
f t Ae e e
    

. (C-17b)
A partir de la ecuación (C-7) es posible conocer las expresiones de la expansión en serie
compleja de Fourier de los dos términos de la derecha de la ecuación (C-17b).

Apéndice
149
1 1 1
2 2 2
sin( )
1
sin( )
2
( )
( )
m m
m m
j t jn t
n
n
j t jk t
k
n
e J e
e J e
  
  










(C-18)
Al sustituir la ecuación (C-18) en (C-17b) se obtiene
 
 
1 2
1 2
1 2
( )
1 2
1 2 1 2
( ) Re ( ) ( )
( ) Re ( ) ( )
( ) ( ) ( ) cos( )
c m m
c m m
j t jn t jk t
n k
n n
j t n t k t
n k
n n
n k c m m
n n
f t Ae J e J e
f t A J J e
f t A J J n k t
  
  
 
 
    
 
 
 
 
 
 
 
 
   
  
   
   
 
 
  
 
  
 
 
 
.
(C-17c)
La expresión (C17c) indica que si ( )
f t se compone de dos senoidales de frecuencias
diferentes, el espectro contiene bandas laterales ubicadas en 1
( )
c m
n
 
 y 2
( )
c m
k
 
 . El
resultado es aplicable a cualquier número de frecuencias que pueda contener la señal
moduladora.
Potencia promedio de una señal modulada en frecuencia (o fase).
La ecuación (C-15) presenta la característica de ser una suma de componentes sinusoidales,
y cada término multiplicado por un factor de peso ( )
n
AJ  . La potencia promedio de una
señal sinusoidal se obtiene a partir de la siguiente relación: sea ( ) cos( )
g t a t

 una señal
sinusoidal, entonces
2 2
2 2 2
2 2
1 1
( ) ( cos ) cos ( ) (1 cos2 )
2 2 2 2
1
( )
2
a a
g t a t dt t dt t dt
g t a
  
  
  
  
  
   

  
(C-19)
A sabiendas que la potencia promedio de una señal sinusoidal puede ser calculada con la
ecuación (C-19), se aplicará este concepto a la ecuación (C-15).

Apéndice
150
2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 1 1 2 2 3 3
2
2 2 2 2 2
0 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
2
A
f t J J J J J J J
A
f t J J J J
      
   
 
       
 
 
    
 


(C-20)
Al utilizar la propiedad de las funciones Bessel
2 2 2 2
0 1 2 3
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1
n
n
J J J J J
    


     
 
,
el término entre corchetes de la ecuación (C-20) se simplifica a la unidad y
2
2
( )
2
A
f t P
  (C-21)
es la potencia promedio total de una señal modulada en frecuencia.
Referencias
[1] Taub, H., Schilling D.L., „Principles of communications systems‟. McGraw Hill
Company. 1973.

Apéndice
151
Esquema general de un demodulador de FM.
Un esquema típico de un demodulador de FM es presentado en la figura D-1.
Figura D-1. Esquema general de un demodulador de FM
En un sistema de FM, la señal de banda base o señal moduladora hace variar solamente la
frecuencia de la portadora y cualquier variación en la amplitud de la misma deberá ser
debido al ruido.
El bloque limitador en la figura D-1 es usado para suprimir las variaciones en amplitud
causadas por ruido. 1
v Es el voltaje de salida de esta etapa del demodulador. La figura D-2
esquematiza la función del limitador.
En la figura D-2 el voltaje de salida 1
v del limitador sigue al voltaje de entrada i
v en un
rango M i M
v v v
   . En un circuito limitador i máx
v suele ser mucho mayor que el rango de
voltajes límite y la forma de onda del voltaje de salida 1
v es semejante a una onda cuadrada.
Ahora la salida 1
v tiene una forma de onda independiente de cambios en la amplitud de la
portadora (siempre y cuando 1
v no sea menor que M
v ).
Apéndice D
Esquemas generales de detección de señales moduladas en frecuencia

Apéndice
152
Figura D-2. Esquema de la función de transferencia 1 / i
v v de un limitador ideal
El filtro pasa banda (BPF) a la derecha del limitador de amplitud en la misma figura D-1
recupera la frecuencia fundamental de 1
v y se obtendrá una señal sinusoidal 2
v . Esta señal
sinusoidal no varía en amplitud pero si tiene la misma frecuencia instantánea de la
portadora.
La sección del discriminador se compone de dos módulos: un convertidor frecuencia-
amplitud y un detector de envolvente. El convertidor frecuencia-amplitud tiene una función
de transferencia ( )
H f tal que la amplitud del voltaje a la salida 3
v varía en forma lineal
respecto a la entrada 2
v . Cada componente espectral de la entrada es pesada por ( )
H f y en
este punto 3
v está modulado en frecuencia y en amplitud. La amplitud varía en el tiempo en
función de la componente frecuencial instantánea en la entrada. Si la amplitud 3
v varía con
la frecuencia de entrada, un detector de envolvente, que no responde a las variaciones de
frecuencia, es usado para recuperar la señal de banda base 4
v .
La salida 3
v está relacionada con la entrada 2
v en función del cambio instantáneo del
voltaje de entrada por la ecuación
3 2
( ) ( )
d
v t v t
dt


.
(D-1)
Si 2 ( ) cos[ ( )]
M c
v t v t t
 
 
, entonces la ecuación (D-1) se expresa como

Apéndice
153
 
3 ( ) ( ) sin ( )
M c c
d
v t v t t t
dt
    
 
   
 
 
(D-2)
A la salida del filtro pasa banda se obtiene
4 ( ) ( )
M c M
d
v t v v t
dt
   
 
.
(D-3)
Si ( )
t
 es la señal de banda base, la ecuación (D-3) indica que ésta se recuperará a partir de
las variaciones en frecuencia de 2
v .
Demodulador de FM usando retroalimentación.
El esquema de un demodulador de FM usando retroalimentación es mostrado en la figura
(D-3) donde se puede ver esquematizado un bloque mezclador. Esto sugiere la presencia de
un proceso de heterodinación, sólo que es un proceso dinámico; se verá por qué.
Figura D-3. Esquema de un demodulador de FM con retroalimentación
A partir de la figura (D-3) primero supóngase que i
v tiene una frecuencia c
f no variante.
Luego de la multiplicación, 1
v tiene una frecuencia 1
f . La multiplicación genera bandas
laterales. El filtro pasa banda selecciona la banda de interés, en este caso 1
f . La señal con
frecuencia 1
f será pesada por el bloque limitador-discriminador generándose un voltaje 3
v
(como c
f no varía, la amplitud del voltaje 3
v permanece constante). Este voltaje 3
v hará
que el VCO genere un voltaje con frecuencia vco
f que al multiplicarse por i
v generará una
señal con frecuencia 1
f mencionada al principio de este párrafo. Ya se ha completado el
ciclo de retroalimentación para la señal con frecuencia c
f .

Apéndice
154
Si c
f cambia de frecuencia, 3
v será diferente y proporcional a ella; el mezclador producirá
una traslación a una frecuencia 2 1
f f
 , es por eso que a este proceso se le calificó como
dinámico, ya que a cada instante la frecuencia del oscilador local (VCO) cambia en función
de la componente frecuencial instantánea en la entrada. Si la variación en frecuencia de la
portadora es proporcional a la señal de banda base, entonces 3
v será proporcional a esta
última a cada momento.
Demodulación de FM utilizando un circuito de fase cerrada.
Un PLL o circuito en lazo de fase cerrada es un sistema con retroalimentación que puede
ser usado para recuperar la señal moduladora a partir de una portadora modulada en
frecuencia. Un PLL contiene tres componentes básicos: un detector de fase (PD), un filtro
pasa bajas (LPF) y un oscilador controlado por voltaje (VCO). Un esquema a bloques de un
PLL se presenta en la figura D-4.
EL VCO es un oscilador que produce una forma de onda periódica cuya frecuencia varía
alrededor de una frecuencia central 0
f de acuerdo al valor de un voltaje 2 ( )
v t . La frecuencia
central 0
f es la frecuencia a la salida del VCO cuando 2 ( ) 0
v t  . El detector de fase produce
una señal 1( )
v t la cual es función de la diferencia de fase entre la señal de entrada ( )
in
v t y la
salida del VCO 0 ( )
v t . Si dos señales periódicas de igual frecuencia y con una diferencia de
fase son aplicadas a las entradas del comparador de fase, el voltaje de salida 2
v dependerá
de la diferencia en tiempo (o fase) de las señales entrantes. La señal filtrada 2 ( )
v t es la señal
de control, la cual es usada para cambiar la frecuencia de oscilación del VCO. Si el ancho
de banda del filtro pasa bajas es grande, el VCO puede seguir la frecuencia instantánea de
la señal de entrada. Cuando esto ocurre se dice que el PLL está amarrado.
Figura D-4. Esquema básico a bloques de un PLL

Apéndice
155
Si la frecuencia inicial de entrada es 0
f , el PLL se amarrará y el VCO seguirá a la
frecuencia de entrada en un cierto intervalo si es que la frecuencia de entrada tiene un
cambio relativamente lento. El llamado “hold in range” o rango de sostenimiento es el
rango finito de frecuencias en la entrada a las que el PLL permanecerá amarrado. Otra
característica de un PLL es “maxumum locked sweep rate” o tasa máxima de barrido para
el amarre, la cual define la tasa máxima de cambio en la frecuencia de entrada para la cual
el sistema permanecerá amarrado. Si la frecuencia de entrada cambia de manera más rápida
que este límite, el sistema no se amarrará.
Referencias

Apéndice
156
El mejor comportamiento del sistema debe describir una línea recta del tipo y x
 para
poder juzgar los puntos obtenidos respecto de ella.
Procedimiento.
Si se parte de la hipótesis de que la línea y x
 es la que tiene menor diferencia con los
puntos obtenidos (mejor ajuste) para toda x en el intervalo de medición, cada residuo será
entonces la diferencia entre el valor de la función analítica y x
 y el de la medición.
a m
E y y
  , (E-1)
donde a
y es el valor analítico de la función, m
y es el valor medido para cada a
x y m
x , y E
es el error.
La suma del cuadrado de los errores se define como
2
1
1
( )
n
r a m
a
m
S y y


 
 , (E-2)
donde n es el número de muestras.
Apéndice E
Criterio para el ajuste de los datos obtenidos en la prueba de linealidad
del sistema: el coeficiente de correlación

Apéndice
157
El error estándar de la aproximación de los puntos medidos a la recta y x
 se estima con la
relación
/
2
r
y x
S
S
n


. (E-3)
La cantidad de dispersión en la variable dependiente y y los datos obtenidos se define
como
2
1
( )
n
t m
m
S y y

 
 , (E-4)
con y la media entre los valores de la variable dependiente.
La diferencia entre t
S y r
S cuantifica la variabilidad entre la recta y x
 y los datos
medidos. Si se normaliza esta diferencia se obtiene el coeficiente de determinación; su raíz
cuadrada es el coeficiente de correlación.
t r
t
S S
r
S

 (E-5)
Las relaciones (E-3) y (E-5) se pueden aplicar a la serie de datos obtenidos en la prueba de
linealidad del sistema.
Referencias
[1] Spiegel, M. R., „Estadística‟. McGraw Hill.

Apéndice
158
Una manifestación de energía se considera ruido siempre que perturbe una señal. Algo que
perturbe a una señal debe tener una energía indeseada de la misma naturaleza que la señal
perturbada y se debe encontrarse presente en la misma banda que la señal de interés. El
ruido distorsiona linealmente las señales de comunicaciones.
El ruido suele presentarse en forma aleatoria cuya amplitud instantánea sigue una
distribución Gaussiana como la mostrada en la figura F-1. Una señal de ruido no contiene
componentes espectrales discretas, así que no es posible seleccionar una de ellas y medirla
para tener información sobre la potencia de la señal. Si una señal de ruido es muestreada en
un instante de tiempo, ésta puede tomar, teóricamente, cualquier valor. Es necesario
entonces establecer una forma para expresar la potencia del ruido durante un intervalo de
tiempo. La potencia es proporcional al voltaje RMS, entonces el hallar este valor satisface
la necesidad expuesta anteriormente. El valor del voltaje RMS corresponde a una
desviación estándar en una distribución Gaussiana.
Figura F-1. El ruido en una distribución Gaussiana
Apéndice F
Medición del ruido

Apéndice
159
Función de densidad de probabilidad.
La expresión matemática que forma una distribución normal de probabilidades o
distribución Gaussiana es llamada función de densidad de probabilidad y es presentada en
la ecuación (F-1). La gráfica de un histograma de un conjunto de muestras de voltaje de
ruido en un intervalo de tiempo se aproximaría a esta función.
 2
2
2
1
( )
2
x
f x e


 
 
 
 
 
 
 . (F-1)
Donde ( )
f x es la función de densidad de probabilidad para una distribución Gaussiana, x
es la variable aleatoria (el voltaje del ruido),  es el valor medio de los valores de x en el
intervalo de la medición y  es la desviación estándar.
Los extremos de una distribución Gaussiana se extienden teóricamente hasta el infinito, así
que cualquier valor para el voltaje pico del ruido es posible; sin embargo, la probabilidad de
que se presente un pico de voltaje de ruido por encima de 3 es extremadamente bajo. La
tabla F-1 presenta el porcentaje de probabilidad de que un voltaje pico de ruido tome un
determinado valor en términos del valor de la desviación estándar de una distribución
Gaussiana.
Tabla F-1 Probabilidad de que un voltaje pico de ruido tome un valor en
términos de la desviación estándar de una distribución Gaussiana
Número de desviaciones estándar Porcentaje de probabilidad
2 ( )
 
 68.3
3 ( 1.5 )
 
 86.6
4 ( 2 )
 
 95.4
5 ( 2.5 )
 
 98.8
6 ( 3 )
 
 99.7
6.6 ( 3.3 )
 
 99.9
Si se establece que el intervalo 6 presenta una probabilidad suficientemente alta como
para considerar que todo el ruido estará contenido dentro de él, entonces el valor pico a
pico del ruido medido en el osciloscopio representaría al intervalo mencionado. Si el valor

Apéndice
160
del voltaje RMS de una señal cuyos valores de voltaje pico sigue una distribución gaussiana
entonces
6
ppruido
V 
 ,
por lo tanto
6
pp ruido
RMS ruido
V
V  . (F-2)
La ecuación (F-2) expresa que es posible calcular el voltaje RMS del ruido que presente
una distribución Gaussiana como el cociente del valor pico a pico de su voltaje entre seis.
Referencias
[1] Kay, A. Analysis and Measurement of Intrinsic Noise Op Amp Circuits‟. Texas
Instruments.
[2] Hogg, R. V., Tanis, E. A., „Probability and statistical interference‟. Mcmillan
Publishing Co. 3rd
Edition.
[3] Motchenbacher, C. D., Connelly, J. A., „Low-noise electronic systems design‟. Wiley-
Interscience publications.

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