Pareto i

EAA-Tema 6, II
MODELOS DE PROBABILIDAD II
APÉNDICE MATEMÁTICO ( FUNCIÓN GAMMA Y BETA)
DISTRIBUCIÓN GAMMA ( VARIABLES ALEATORIAS GAMMA)
DISTRIBUCIÓN GAMMA DE UN PARÁMETRO
MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN
FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS
ADITIVIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA
DISTRIBUCIÓN GAMMA DE DOS PARÁMETROS
FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS
ADITIVIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA
MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN
LA DISTRIBUCIÓN GA(1/2,1/2) Y LA NORMAL
DISTRIBUCIÓN DE ERLANG.
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL (COMO GAMMA)
DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
DISTRIBUCIÓN DE MAXWELL
DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH
RELACIONES ENTRE DISTRIBUCIONES GAMMA
DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL
DISTRIBUCIÓN DE PARETO
DISTRIBUCIÓN DE BURR
DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY
DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE
DISTRIBUCIÓN LOGÍSTICA
DISTRIBUCIÓN DE GUMBEL
DISTRIBUCIÓN BETA
MEDIA VARIANZA Y MODA DE LA DISTRIBUCIÓN BETA
DISTRIBUCIÓN BETA(1,1)
FUNCIÓN GENERATRIZ DE PROBABILIDAD
FUNCIÓN GENERATRIZ DEL MODELO DE POISSON
FUNCIÓN GENERATRIZ DEL MODELO BINOMIAL
DISTRIBUCIONES COMPUESTAS : BINOMIAL-POISSON
lejarza&lejarza
1

Función Gamma de Euler:
La función Gamma de Euler ( o, simplemente, Gamma) de un valor real positivo, r, se
define como:
Entre sus principales propiedades destacan:
o equivalentemente
esta última es la definición alternativa
Función Beta de Euler:
La función Beta de Euler ( o, simplemente, Beta) de un par de valores reales positivos
m, n, se define como:
Entre sus principales propiedades destacan:
lejarza&lejarza
2

Distribución Gamma ( variables aleatorias gamma)
A partir del integrando que aparece en la definición de la función gamma de Euler
pueden diseñarse de manera absolutamente formal dos tipos distintos de distribuciones
de probabilidad a las que podríamos denominar : distribución gamma de un parámetro
(degenerada) y distribución gamma de dos parámetros ( generalizada). Aún cuando la
segunda tiene mayores aplicaciones prácticas, ambas tienen su relevancia en algunos
campos de aplicación como la modelización de fenómenos de espera, la teoría de la
fiabilidad, en la modelización de la "cuantía de un siniestro" en estadística actuarial.
También es destacable su aplicación como distribución conjugada para la estimación
bayesiana de la varianza en poblaciones normales y tiene una gran importancia teórica
por sus relaciones con otras distribuciones de variables continuas que pueden
considerarse casos particulares ( exponencial, Chi-dos) o trasformadas particulares
( Maxwell ,Rayleigh ,Weibull , Normal)
Distribución Gamma de un parámetro
Dada una variable aleatoria x no negativa diremos que sigue una distribución Gamma
de parámetro m ( distribución gamma degenerada de un sólo parámetro, m) cuando su
función de densidad obedezca a la expresión:
Para
siendo m un parámetro positivo
Lo expresaremos como: ( )X m o bien ( )x Ga m
Variable aleatoria Gamma de parámetro m será, lógicamente, el nombre que recibirá
una variable aleatoria real positiva que obedezca a una distribución con esa función de
densidad de probabilidad. La representación gráfica de diversas distribuciones gama
según el valor del parámetro m , serán las siguientes:
lejarza&lejarza
3

Es fácil comprobar que f(x) es no negativa y que si se integra para toda el campo de
variación el resultado es 1.
Media y varianza de la distribución:
La media será:
Y la varianza vendrá dada por:
Siendo :
de forma que :
Función Generatriz de Momentos
La Función Generatriz de Momentos de una distribución gamma de un parámetro es
fácilmente calculable a partir de su definición como:
lejarza&lejarza
4

como la función gamma también se puede re-escribir como
tendremos que, haciendo a =1-t:
A partir de aquí es fácil obtener los sucesivos momentos ordinarios de orden r,
derivando sucesivamente y evaluando la r-sima derivada en el punto t=0
Aditividad de la distribución Gamma: Teorema de Adición.
La suma de varias variables aleatorias independientes que sigan sendas distribuciones
gamma seguirá también una distribución gamma con parámetro la suma de los
parámetros de aquellas. La prueba es sencilla a partir de la F.G.M .
Dadas dos variables aleatorias independientes Gamma tales que
sus F.G.M. serán respectivamente
como x e y son independientes la F.G.M de su suma será :
que es la F.G.M de una distribución Gamma x ym m
lejarza&lejarza
5

Distribución Gamma de dos parámetros
Llamaremos distribución gamma generalizada, distribución gamma de dos parámetros o
simplemente, distribución gamma de parámetros p y m a la distribución que tiene una
variable aleatoria continua real no negativa cuya función de densidad obedezca a la
expresión:
Obviamente f(x) así definida es no negativa, para todo valor de x, y su integral para el
todo el campo de variación, es fácil comprobar, que resulta la unidad basándonos en las
propiedades de la función Gamma (en su definición alternativa)
Representación gráfica
lejarza&lejarza
6

Función generatriz de momentos F.G.M.
Podemos obtener la Función Generatriz de Momentos de una distribución gamma de
dos parámetros (p,m) fácilmente :
basándonos en la definición alternativa de la función gamma:
Aditividad de la Ga(p,m)
La distribución Gamma de dos parámetros es reproductiva por adición respecto de su
segundo parámetro pero no respecto del primero. Además para que se pueda verificar el
teorema de adición para su segundo parámetro, m, es necesario que las variables
implicadas posean el mismo parámetro p. Esto es
Dadas dos o más variables aleatorias independientes con sendas distribuciones Gamma
de dos parámetros pero con idéntico parámetro p ,la suma de ellas será una variable
aleatoria con una distribución Gamma de ese mismo parámetro p y cuyo segundo
parámetro (m) será la suma de los segundos parámetros de las originales.
sus funciones generatrices de momentos FGM serán:
como x e y son independientes la FGM de su suma será:
que es la FGM de una distribución Gamma de parámetros : p ý (mx+ my)
lejarza&lejarza
7

Media y varianza de la distribución Ga(p,m)
Media y varianza, y también otros momentos de orden superior se pueden obtener
fácilmente a partir de la F.G.M.
Para obtener la media que es el momento ordinario de primer orden, bastará obtener la
primera derivada en el punto t=0:
siendo fácil ver que la media toma el valor del cociente de ambos parámetros m/p:
La varianza la obtendremos como
de modo que resulta al final que :
La distribución Ga(1/2,1/2) y su relación con la Normal
La función de densidad para una Gamma con p=1/2 y m=1/2 será:
lejarza&lejarza
8

Por otro lado si consideramos una variable Z tal que Z siga una N(0,1) tendremos que :
si plantemos en cambio de variable de Z a X con X=Z2
tendremos que el jacobiano de la
tranformación será:
pero como el campo de variación de z es el doble que el de x ya que el primero es toda
la recta real y el segundo la semirrecta positiva tenderemos que :
que es la función de densidad de una Ga(1/2,1/2) por lo que podemos concluir que el
cuadrado de una variable normal tipificada sigue una distribución Ga(1/2,1/2).
Esta relación es de gran importancia en si misma y considerada en conjunción con la
aditividad de la distribución Gamma para el parámetro m posibilita establecer también
una relación entra la distribución Gamma y la distribución Chi-2:
Una distribución Chi-2 es un caso particular de distribución Gamma: una Chi-2 de n
grados de libertad es una Gamma(1/2,n/2)
Distribución de Erlang.
Dada una Gamma de dos parámetros Ga(p, m) donde m es un número entero y ·p m 
siendo   de una distribución de Poisson . Si esto ocurre a dicha distribución
Gamma se la conoce como distribución de Erlang. Su utilidad radica en el calculo de
probabilidades del tiempo transcurrido hasta que aparecen m sucesos que siguen una
distribución de Poisson de parámetro  . Las funciones de densidad y distribución para
diversos valores de los parámetros serán gráficamente
lejarza&lejarza
9

Ejemplo:
Si el número de llamadas telefónicas que se registran en una central es de 3 por minuto,
asociándose esto a una Poisson de 3  . Calcular la probabilidad de que trascurra
menos de un minuto hasta que se produzca la segunda llamada La variable aleatoria X=
tiempo entre una llamada y la m-ésima siguiente sigue una distribución de Erlang
lejarza&lejarza
10

Ga( m, m) donde m=2 ( segunda llamada) y =3 ( =3)
Luego una Erlang Ga( 6, 2)
1 2 2 1 6
0
6 · ·
( 1) ( (6,2) 1)
(2)
x
x e
P x P Ga
 
   

tendremos
1 2 2 1 6
0
6 · ·
( 1) ( (6,2) 1)
(2)
(2) ( 1)! 1! 1
x
x e
P x P Ga w
r
 
   

    

luego :
1
6
0
36 x
w xe dx
  haciendo un cambio de variable tendremos
6
6
0
0
6 1/ 6
1
36 · · ·
6 6
t t
x t luego dx dt
t
e dt t e dt 
  
 
resolviendo por partes:
6 6 6
6
0
0 0 0
6 6
0 0
6
0
·
( 1) 0,9827
t t
t t t
t t
t
u t du dt
dv e dt v e
t e dt udv te e dt
te e
e t
 
  
 

  
   
 
        
 
            
    
  
lejarza&lejarza
11

gráficamente:
Distribución exponencial
Si tenemos una Ga(p,m) su función de densidad es ,como ya sabemos :
1
· ·
( )
( )
m px m
p e x
f x
m
 


haciendo m=1 tendremos
1 1 1
· · · ·
( )
( ) 1
m px m px
pxp e x p e x
f x pe
m
   

  

que es la función de densidad de la distribución exponencial de parámetro p
así una Ga(p,1) = exp(p)
Distribución de Weibull
Si tomamos una distribución exponencial de parámetro q ,
exp( )x q por tanto una ( ,1) ( ,1)Ga q ó q
si establecemos un cambio de variable de manera que :
1/r r
Y x x Y para r o   
tendremos que la función de distribución (de probabilidad) de la nueva variable será :
lejarza&lejarza
12

1/
( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r
H y P Y y P x y P x y F y      
por tanto la función de densidad será:
1(1 )
( ) ´( )
r
qy
rqyrd e
h y H y
dy
rqy e


  
dado que ( ) 1r rqy
F y e
  ya que x era una exponencial
Así si x sigue una distribución de Weibull de parámetros r , q
Su función de densidad será : 1
( )
rqxr
f x rqx e

Es habitual que se utilice como segundo parámetro el valor de  con
1
r
q


Siendo así la función de densidad:
1
1 11
( )
r
r
r
r x
x
r r
rf x
r
r x e x e 
 
 
 
 
 

 
 
O bien :
1 1
11
( )
r
r
r
r xrx
r x
f x
r
r x e e 
 
 
 
 
 
 
  
   
 
Donde r = parámetro conocido como de forma , de manera que si su valor es uno el
número de hechos ( normalmente fallos) es constante en el tiempo, si r< 1 éste numero
decrece , mientras que si r>1 , el número de hechos-fallos aumenta con el tiempo.
El parámetro  se denomina de escala o “vida característica”
La distribución de Weibull permite controlar cuál es la distribución de fallos de un
componente que pretendemos controlar y que a través de nuestro registro de hechos-
fallos observamos que éstos varían a lo largo del tiempo y dentro de lo que se considera
tiempo normal de uso. Se utilizará la distribución o análisis de Weibull cuando se
observe que en nuestro proceso hay muchos fallos y los tiempos entre fallos no se
ajustan a una distribución más sencilla. Su utilidad habitual es el control de fallos en
componentes de sistemas.
Normalmente se utiliza la función de distribución que será como ya vimos y para
1
r
q

 :
( ) 1
x
r
F x e

 
 
 
 

 
La media de la distribución vendrá dada por
1
· 1
r
 
 
   
 
lejarza&lejarza
13

Si r = 1 La distribución Wiebull de tendría de función de densidad
11
1
( ) 1
x
r
xr
x
f x r e
r
e 
 
 
 
 
 
 
 
    
 
es decir
una exp(1/) , así la distribución exponencial puede considerarse un caso particular de
una Wiebull cuando el parámetro forma es 1 ( r=1)
Ejemplo: El tiempo que tarda en fallar un transistor de un sistema eléctrico sigue una
distribución de Weibull con vida característica 5000 horas y parámetro de forma ½.
a)Hallar la probabilidad de que dicho transistor dure menos de 6000 horas
Tiempo de duración del transistor ( t) será una Weibull de parámetros:
= escala o vida característica = 5000 r = forma = ½
1/ 2
6000
5000
( 6000) ( 6000) 1 1 0,33 0,661
t
r
P t F t ee

 
   
   
   

        
de manera gráfica :
b) cuanto tiempo cabe esperar que durará un transistor:
   
1
· 1 5000· 1 2 5000E t
r

 
       
 
(3-1)!=10000 horas
lejarza&lejarza
14

Distribución de Maxwell
Se trata de una distribución derivada de la distribución gamma .Sea una distribución
Gamma G(p,m)
en concreto una G(q, 3/2) cuya función e densidad será:
33 1
2 132
2( ) 2 · ·
3
2
qx
qx
f x
q e x q
x e

 
  
 




 
 
 


Distribución de Rayleigh
La distribución de Rayleigh es una derivada de la distribución exponencial por tanto
también de una Gamma. De un único parámetro, sigma.
Si X e Y son distribuciones normales independientes de media 0 y misma desviación
típica ( sigma = A) .
Entonces:
 2 2
Si Z X Y Z Rayleigh sigma A   
Su función de densidad viene dada por :
2
22
2
( ) 0
x
f x para x
xe 

 
 
  
 

 
siendo su función de distribución :
 
2
22
( ) 0;1
x
F x e para x
 
 
 
 

  
La media viene dada por :  
2
E x

 mientras que la varianza será:
   2 24
2
Var x D x



  siendo la moda igual a su parámetro sigma
lejarza&lejarza
15

Si   2 2
21 glSi X R entonces X   
Por otro lado:
Si X sigue una distribución de Wiebull de parámetro de escala : 2b  y de
parámetro de forma : r=2 , es decir : 2 : 2X W b    entonces:
1
( ) 1 2
r
xr
x
f x r y b
r
e



 
 
 
 
 
 
     
 
2
2
2
2
2
2 1
2
( )
22
2
xx
bbx
f x
bbb
x
e e
  
  
   
   
 
 
   
 
que es la función de densidad de una distribución Rayleigh de parámetro b luego:
 2 : 2X W b entonces X R b    .
La representación de su función de densidad será:
Ejemplo: La amplitud de una señal de radio de frecuencia modulada sigue una
distribución Rayleigh(1/2). Calcular un valor de la amplitud mínimo que ocurre el 20%
de las veces.
Valor mínimo (a) será uno que de él hacia arriba( mayor) sólo ocurre el 20% de las
veces , por tanto con probabilidad 0,2 luego:
Si X = amplitud de señal y  1/ 2X R
lejarza&lejarza
16

( ) 0,2 ( ) 0,8P X a P X a    
2
2 2
1
2
2
2
2 2
2 22
0,8 ( ) 1
0,2 5 ln5 ln 1,6 1,2
1 1 x
x x
x
x
F x a e
e e x e a
e e
 
 
 
   
    
         



    
      
  
En el siguiente cuadro se pueden apreciar algunas de la relaciones de la distribución
Gamma con otras distribuciones de variable continua:
lejarza&lejarza
17

Distribución Lognormal
Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se distribuyen normalmente se dice que
X se distribuye log-normalmente.
Tiene la ventaja que X>0 y que la transformación Log tiende a reducir la asimetría
positiva ya que al sacar logaritmos se reducen en mayor proporción los datos mayores
que los menores.
Limitaciones: tiene solamente dos parámetros, y requiere que los logaritmos de la
variables estén centrados en la media
Función de densidad:
2
( )1
21
( ) e 0
2
y
y
y
f x x
x


 

 
donde y = ln x
donde, y : media de los logaritmos de la población (parámetro escalar), estimado y
y : Desviación estándar de los logaritmos de la población, estimado sy.
La distribución lognormal tiene por tanto dos parámetros: y (media aritmética del
logaritmo de los datos o tasa de fallos) y y (desviación estándar del logaritmo de los
datos o tasa de fallos).
Dichos parámetros serán estimados , así :


n
i
ix
n
y
1
)ln(
1
2
1
2
1
))(ln(
1
1








 
n
i
iy yx
n
s
La media de una distribución log-normal vendrá dada por :
Para una variable
ln ln( ; ) ( ; )y y x xx log normal LN     
lejarza&lejarza
19

media y varianza serán :
 
 
2 2
1
2
22 1 ·
x
y y
y y y
x
E x
Var x
e
e e
 
  




 
 
  
 
 
La representación gráfica de las funciones de densidad y distribución para distintos
valores de sus parámetros serán:
La distribución lognormal tiene, principalmente, las siguientes características y/o
aplicaciones:
lejarza&lejarza
20

+ Representa la evolución con el tiempo de la tasa de fallos, en la primera fase de vida
de un componente, entendiéndose como tasa de fallos la probabilidad de que un
componente que ha funcionado hasta el instante t, falle entre t y t + dt.
+ Permite fijar tiempos de reparación de componentes, en este caso el tiempo la
variable de la distribución.
+ Describe la dispersión de las tasas de fallo de componentes, ocasionada por diferente
origen de los datos, distintas condiciones de operación, entorno, bancos de datos
diferentes, etc. En este caso la variable independiente de la distribución es la tasa de
fallos.
+ Es idónea para parámetros que son a su vez producto de numerosas cantidades
aleatorias (múltiples efectos que influyen sobre la fiabilidad de un componente).
Cálculo de probabilidades con la Lognormal.
La distribución o modelos LogNormal ( ; )y yx LN   puede expresarse como una
Normal Tipificada [0,1] , t . mediante el cambio
ln( ) y
y
x
t




Dado que si se plantea la probabilidad de que  1 2;x x x dicha probabilidad sería
2
1 2
2
1
ln1
2
( )
1
2
y
y
xx
yx
P x x x dxe
x


 
 
 
 
 


    resolviendo
mediante
ln( ) y
y
x
t



 y ydx x dt pasando los límites de integración a
1
1 1
ln( ) y
y
x
x z



  y para 2
2 2
ln( ) y
y
x
x z



 
lo que nos daría:
2
2
1 2
2
1
2
1
ln1
2
2( )
1
2
1
2
y
y
t t
t
xx
yx
P x x x dx dte
x
e


  
 
 
 
 

 
    
lejarza&lejarza
21

Ejemplo(1) general reducido: La variable X supone los tiempos en segundos de
reparación de un componente. Presuponemos que X seguirá un modelo Log-Normal .
Con sólo diez datos y para abreviar . Tomamos los logaritmos neperianos de la variable
X (lnx). Contrastamos que dichos valores siguen una distribución normal de media 3.02
y desviación típica 1,92 mediante un test no paramétrico.
En este caso podemos decir que (3,02 ; 1,92)X LN
Ejemplo(2):
Conocemos que los rendimientos monetarios, en miles de euros, a largo plazo de los
futuros que maneja nuestra empresa se distribuyen como una Log-Normal de media 3 y
desviación típica 2.
a)Calcular la probabilidad de que dichos rendimientos se sitúen entre 78 y 120 miles de
euros.
b) Hallar el valor esperado de los rendimientos monetarios
Rendimientos monetarios = x  3;2x LN
a)
 
ln ln
ln ln
ln 78 ln120
(78 120)
4,356 3 4,787 3
0,678 0,8937
2 2
(0,8937) (0,678) 0,814 0,751 0,063
x x
x x
P x P t
P t P t
F F
 
 
  
      
 
  
       
 
   
x lnx
1 0
2,52725328 0,92713305
5,2122986 1,65102095
9,29390485 2,22935879
15,6219583 2,74867751
25,82447 3,25132249
43,4078894 3,77064121
77,3994018 4,34897905
159,631327 5,07286695
538,995354 6,28970695
Media muestral 3,0289707
Desv. muestral 1,92529721
lejarza&lejarza
22

b) el valor esperado vendrá dado por
 
 
1
3 2
42
1
2
(3;2)
54,59
x
x
y y
E x
x LN
E x e e
e
 




 

   
Distribución de Pareto
La distribución de Pareto (Vilfredo Pareto (1848–1923)), es una distribución de
probabilidad biparamétrica que tiene como función de densidad:
0 0
1
·
( ) ·
x x
f x
x x x
 



 
 
 
  donde 0 0; 0 ; 0x x x   
siendo 0x conocido como valor inicial y  es conocido como índice de pareto.
Su función de distribución viene dada por :
0
0( ) 1
x
F x si x x
x

 
   
 
Su media vendrá dada por:
 
0
0 0
1
1x
x x x
E x dx
x


 




  
 siempre que 1 
La varianza será :
 
  
2
0
2
var 2
2 1
x
x si


 
 
 
Si 2  no existe ya que :
0
2 2
2 0 0
1
2x
x x x
E x dx
x


 




       y dicha integral no es convergente , siendo el
momento negativo si 2  , siendo imposible al ser par
La moda será el valor inicial
La mediana vendrá dada por
lejarza&lejarza
23

0
0 0
1/0
0 0
0
0,5 ( ) ( ) 1
0,5 1 0,5
1
0,5 2 2
0,5
e e
e
e e
e
e e
e
x
P x M F M
M
x x
M M
x M
x M M x
M x

 
 
  
 
 
     
 
   
      
   
      
gráficamente su función de distribución será :
La distribución de la renta parece adecuarse a una distribución de Pareto en ciertas
situaciones. Es la conocida ley de Pareto o de 80/20.El 20% de la población posee el
80% de la renta y el resto ( 80%) de la población sólo posee el 20% de la renta.
La distribución de Pareto parece adecuada a aquellas circunstancias en las que quiera
establecerse una distribución de alguna magnitud acumulable entre pocos que
acumulan grandes cantidades y muchos que acumulan muy poca cantidad. Casos
serían : Pocos grandes errores , muchos pequeños errores. Grandes errores en un disco
duro, pequeños errores . Pocos grandes incendios, muchos pequeños incendios ( en
Hectáreas, p.ej,)….Pocos grandes accidentes y muchos pequeños accidentes.
Distribución de Pareto trasladada al origen (tipo II).
Como se dijo anteriormente la distribución de Pareto tiene dos parámetros:
0x conocido como valor inicial y  es conocido como índice de Pareto
lejarza&lejarza
24

en muchas ocasiones es conveniente que el valor inicial sea cero, lo que da lugar a la
distribución de Pareto tipo II.
Consiste en modificar la variable Y que se distribuye como una distribución de pareto
con parámetros 0;y 
de manera que 0X Y y 
De manera que :
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) 1
y
F x P X x P Y y x P Y x y
x y

 
          
 
Distribución de Burr
La distribución de Burr se emplea habitualmente para estudiar las pérdidas que se
puedan ocasionar en carteras de seguros.
Se establece de la siguiente manera:
Sea X una variable aleatoria con distribución de Pareto con parámetros 0 1;x 
Donde se lleva a cabo el cambio de variable: Z X
 para 0  tendremos por tanto:
Que 1/
Z X 

1/ 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1F z P Z z P X z P X z
z

 

 
        
 
para que el origen sea 0 ya que partimos de 0 1x  haríamos la transformación Y=Z-1(
Pareto tipo II)
con lo que la la función de distribución quedaría:
1
( ) 1
1
F Y
y


 
  
 
con parámetros
alfa y beta mayores que cero:
habitualmente los parámetros suelen denominarse:
k c   con lo que la expresión de una distribución de Burr (k, c) en su función
de distribución quedaría como
 ( ) 1 1
kc
F x x

  
lejarza&lejarza
25

siendo su función de densidad: ( 1)1
( ) (1 ) kc c
f x Kcx x  
 
los diversos momentos ordinarios vendrán dados por la expresión general :
   
 
· 1
1
r
r rk k
c cE X
k
   
     
Distribución de Cauchy
La denominada distribución o modelo de Cauchy-Lorentz , es una distribución continua
de aplicación especial en la física y en el estudio de rendimientos de activos financieros,
así como por relaciones con algunas distribuciones importantes. Tiene dos parámetros
;  y su campo de variación  ;  .
Su función de densidad viene dada por
   
22 2
1 1
( )
1
f x
xx

  


 
   
     
 
 
 
En el caso particular de que 1 0y  
La 2
1 1
( )
1
f x
x
 
  
 
que corresponde a la ( 1; 0)C    conocida como Cauchy
estándar.
Esta distribución ( Cauchy estándar) es el cociente de dos distribuciones Normales de
media 0 y desviación típica sigma: N[0;] .No siendo cierto el postulado inverso, es
decir que si una C[0,1] es el cociente de dos variables aleatorias está no tienen por qué
distribuirse como normales N[0;]
La Función Generatriz de Momentos viene dada por
·
( )
t t
t e
 


 que no es diferenciable en t=0 por lo que la distribución no tiene
momentos respecto al origen lo que conlleva que no tiene media y varianza.
La función de distribución viene dada por:
lejarza&lejarza
26

1 1
( ) arctan
2
x
F x

 
 
  
 
La distribución de Cauchy cumple el teorema de adición para ambos parámetros:
Así:
1 2 3
1 1
...
( ; )
( ; )
n
i i i
n n
i i
i i
z x x x x
siendo x C
Z C
 
 
 
   

  
Una distribución C( 1; 0) coincide con una t de student con un grado de libertad
Si 1glx t 
si n=1
 1 1
12 22
2
1 1
12
( ) 1 1
1 1 1
1
2
1 1
· (1;0)
1
x x
f x
C
x
 


 
 
             
      
 
 

Los parámetros de la distribución podrían contemplarse como :
 es el parámetro de corrimiento que especifica la ubicación del pico de la distribución,
y  es el parámetro de escala que especifica el ancho medio al máximo. Esto puede
comprobarse gráficamente
lejarza&lejarza
27

Distribución de Laplace
Una variable sigue una distribución de Laplace ,
   ; ,x L para x     si su función de densidad es:
( )
2
x
f x e
   
 siendo  0 ,y     y
1
S
  siendo S el parámetro
de escala y alfa el de ubicación ( más adelante media) .
Tomando parámetro S directamente la función de densidad quedaría como :
1
( )
2
x
sf x e
s



puede considerarse la composición de dos exponenciales iguales de signo cambiado. De
ahí que en ocasiones se le denomine doble exponencial.
A nivel operativo la función de densidad quedaría:
1
1 2
( )
2 1
2
x
sx
s
x
s
e si x
s
f x e
s
e si x
s












 

  



Su función de distribución vendrá dada por:
lejarza&lejarza
28

( )
1
2
1
1
2
x
s
x
s
F x
e si x
e si x




 
 
 
 
 
 






 




 
Media, mediana y moda coinciden siendo: 
La varianza de la distribución    ; ,x L para x    
En la que el parámetro de escala es S siendo
1
S
 
será   2
2
2
Var x 

 
La varianza de la distribución    ; ,x L S para x   
En la que el parámetro de escala es S , lógicamente será   2 2
2Var x S 
Gráficamente la función densidad será:
lejarza&lejarza
29

Distribución logística
La distribución logística es un modelo de probabilidad de carácter continuo se debe a
Pierre Verhulst (1845) . Esta distribución aparece en el contexto de la regresión
logística. Es de utilidad en los estudios de crecimiento de población, propagación de
epidemias, difusión y venta de nuevos productos, mortalidad de la población, en
definitiva procesos de crecimiento en los que se produzca estado de saturación.
La distribución logística viene explicitada por dos parámetros:
( ; )x L  
Su función de densidad es: para x   
2
( )
1
x
x
e
f x
e










 
  
 
siendo su función de distribución: para x   
1
( )
1
x
F x
e






Si se lleva a cabo el cambio de variable
x
y




Obtendremos la distribución Logística estandarizada L(0,1) cuya función de cuantía
será
 
2
( )
1
y
y
e
f y
e




La representación gráfica de la función de distribución de un modelo logística para
varios valores será:
lejarza&lejarza
30

Obsérvese en el gráfico que a los parámetros se les denomina , media y desviación
En el caso de alfa podemos decir que es cierto dado que si :
   ;x L E x     
en el caso de la desviación es casi cierto y podría considerarse pues la varianza si:
   
2
2
;
3
x L Var x

   
en otros aspectos podemos aportar que la distribución logística es simétrica , por lo que
su coeficiente de simetría es 0 , además es leptocúrtica pues su coeficiente de curtosis es
1,2. La función de densidad es parecida a la de la distribución normal:
lejarza&lejarza
31

en el gráfico anterior de la función de densidad puede constatarse que la distribución
tiene de moda y mediana el valor del parámetro alfa , es decir , la media
Distribución de Gumbel, o valor extremo.
La variable aleatoria está definida para todo el eje real. Tiene dos parámetros :
,moda parámetro de localización 
parámetro de escala  .
La importancia de esta distribución radica en que se ocupa de modelizar probalidades de
valores extremos, de ahí su nombre. Por ejemplo modelizar el máximo de
indemnizaciones mensuales en base a las acontecidas como máximas en años anteriores
de años anteriores. Es útil , también, para predecir crecidas de ríos , movimientos
sísmicos..
Su función de densidad viene dada por:
( )
1
x
ex
f x e e




 
 
 
 
 


 para  ;x  
su función de distribución es:
( )
x
e
F x e





la media es   . 0,5772E x siendo cte de Euler Mascheroni      
la moda coincide con el parámetro 
en cuanto a su varianza es:  
2
2
6
Var x


existe la distribución de Gumbel estándar , cuando 0 1y  
siendo su función de densidad y de distribución :
( )
( ) ( )
x e tx e
f t y F xe e e
   
 
su representación gráfica será:
lejarza&lejarza
32

obsérvese como las curvas tienden al extremo superior
Distribución Beta
Diremos que una variable aleatoria x con campo de variación [0,1] sigue una
distribución Beta ( de primera especie) de parámetros , (positivos ambos)
cuando su función de densidad obezca a la expresión:
Debido a que su campo de variación es el compacto [0,1] la distribución beta
se utiliza a menudo como modelo de distribución de probabilidades o
proporciones. También se usa en la estimación bayesiana de proporciones y
probabilidades como distribución conjugada a una verosimilitud binomial. En
relación con esto, aunque el resultado es independiente, es interesante hacer
ver que una distribución Beta(1,1) coincide con una distribución uniforme en
el intervalo [0,1],U([0,1]).
La representación gráfica para diversos valores de alfa y beta es:
lejarza&lejarza
33

La media , varianza y moda de una distribución de Beta son respectivamente:
Ya que:
Media , varianza y moda de una distribución de Beta
Dada una variable x, que sigue una distribución beta de parámetros  y , su
media vendrá dada por:
Por otro lado, la varianza vendrá dada por :
lejarza&lejarza
34

La moda puede obtenerse maximizando la función de densidad: derivando su
denominador e igualando esta derivada a cero:
Para valores de x distintos de cero y de 1 podemos dividir por x elevado a
(alfa-2) y por (1-x) elevado a (beta-2):
de modo que la moda acaba siendo :
Distribución Beta (1,1)
Una distribución beta(1,1) coincide con una uniforme en [0,1] ya que su
función de densidad degenera en la constante unidad:
Entre otras consecuencias interesantes este resultado permitirá utilizar la
distribución uniforme como prior mínimo-informativa en la estimación
bayesiana de proporciones permitiendo obtener una distribución posterior
Beta ( que es la conjugada a una verosimilitud binomial)
lejarza&lejarza
35

Función generatriz de probabilidad (FGP)
Sea una variable aleatoria discreta que toma valores en |N. la Función generatriz de
probabilidades se define como:
0
( ) · ( )ixx
i
x
G z E z z P x


    
Como propiedad fundamental de la FGP , se establece que derivada sucesivamente da
lugar a los diversos momentos de la distribución cuando z tiende a 1 de manera:
 ( )
1( ) ( 1)( 2)....( 1) 1,2,3..k
xG z E x x x x k k      
así:
     ´ ´´ 2
1 1 1( ) 1 ( ) ( ) ( 1)z z zG z G z E x G z E x x E x E x  
       
Otra aplicación importante de la FGP consiste en :
Si X e Y son variables independientes discretas con funciones generatrices de
probabilidad ( ) ( )x yG z y G z respectivamente , entonces la función generatriz de
probabilidades de la suma de ambas variables X+ Y es :
( ) ( )· ( )x y x yG z G z G z 
esta propiedad es generalizable para n variables discretas independientes:
1 2 3, , ..... nx x x x
con FGP 1 2 3
( ), ( ), ( ),......, ( )nx x x xG z G z G z G z respectivamente
la FGP de la suma vendrá dada por:
1 2 3 1 2 3... ( ) ( )· ( )· ( )······· ( )n nx x x x x x x xG z G z G z G z G z    
Función generatriz de probabilidad del Modelo de Poisson.
Sea ( )x  por tanto
·
( )
!
x
e
P x
x



0 0
· ·
( ) · ·
! !
i i i
i
x x x
xx
x xi i
e z
G z E z z e
x x

  

 
       
     
1 2 3
( 1)
1 .. ·
1 2! 3!
z zz z z
e e e e       
 
      
  
ya que
1 2
1 ....
1! 2!
x e e
e    
si la FGP de una Poisson es la anterior
podemos calcular sus momentos:
es evidente que (1 1)
1( ) 1zG z e 
  
lejarza&lejarza
36

 ´ ( 1) ´ (1 1)
1( ) · ( ) ·z
zG z e G z e E x 
   
    
 ´´ 2 ( 1) ´ 2 (1 1) 2 2
1( ) · ( ) ·z
zG z e G z e E x E x 
   

       
de donde
 2 2 2 2
E x E x E x            
siendo la varianza :
  
22 2 2 2
E x E x           
como ya era conocido
Función generatriz de probabilidad del modelo de binomial.
Sea ( , )x B n p luego ( ) x n xn
P x p q
x
 
  
 
 0 0
( ) · ( ) ·i i i i
i
x x x n xx n
i x
x x
G z E z z P x z p q
 

 
      
desarrollando el binomio de newton obtendríamos
( )0 ( )n
G z pz q  como FGP de la distribución binomial
es evidente que 1( ) ( 1 ) 1 1n
zG z p q pues p q     
 ´ 1 ´´ 1
1( ) ( ) ·( ) ( ) ( 1 )n n
zG z n pz q p G z n p q p np E x 
      
´´ 2 ´´ 2
1( ) ·( 1)( ) · ( )n
zG z np n pz q p G n p np p
      
 2 2 2 2 2 2 2 2
n p np E x E x E x n p np np             
luego la varianza sería:
 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) (1 )E x E x n p np np n p np np np p npq             
como ya sabíamos
Distribuciones compuestas : Binomial-Poisson
Si tenemos una variable aleatoria X que se distribuye como una binomial
( , )x B n p donde n , el número de pruebas, es también aleatorio y se distribuye como
un modelo de Poisson
( )n 
estaremos ante un modelo compuesto donde la binomial es la distribución principal
mientras que la distribución de Poisson es la secundaria.
lejarza&lejarza
37

La probabilidad para un determinado valor (k) de x vendrá condicionada por el
valor(m) que tome n que es aleatorio.
Así:
donde :
( ) 0,1,2,3,...
!
m
e
P n m m
m


   y
( ) k n kn
P x k p q
k
 
   
 
dado que no conocemos el valor de n este tomará un valor cualquiera m así
( ) ·
!
m
k m k
m k
m e
P x k p q
k m




 
   
 

! !
· · ·
!( )! ! !( )! !
m m k
k m k k k m k
m k m k
m m
e p q e p q
k m k m k m k m
  

 
   
 
 
 
 
0
( ) ( ) ( )
! ( )! ! !
k m k m k k m
m k m
e p q e p q
k m k k m
 
       
 
 

 
( ) ( )
! !
k p k
qe p e p
e
k k
 
  
 
la Binomial compuesta de Poisson ( la Binomial cuyo parámetro n viene dado por una
Poisson ) .
Tendrá de función de cuantía la de una distribución de Poisson de parámetro p .
Ejemplo: La proporción de clientes que compra al día en una tienda es del 25% de los
que entran. Por término medio entran 10 clientes al día. Calcular la probabilidad de que
compren dos clientes en un día.
X= número de clientes compran de los que entran
( ;0,25)x B n donde n es desconocido y depende de un modelo de Poisson
( 10)n  
4 2
( ) ·4 0,0183·16
( 2) 0,146
! 2! 2
p k
e p e
P x k
k

 
     
lejarza&lejarza
38

Pareto i

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