Pdf practicas minas

UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Departamento de Energía
Área de Mecánica de Fluidos
PRÁCTICAS DE
MECÁNICA DE FLUIDOS
EN LA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS
Katia Argüelles Díaz
Jorge Luis Parrondo Gayo
Jesús Fernández Oro

© 2005 Los autores
Departamento de Energía, Universidad de Oviedo
I.S.B.N.: 84-689-5490-X

iii
CONTENIDO
PRÓLOGO......................................................................................................................... v
PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS ......................................................................... 1
1. ECUACIÓN DE BERNOULLI .......................................................................................... 3
1.1. INTRODUCCIÓN.................................................................................................... 3
1.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN................................................................ 8
1.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL ....................................................... 10
1.3.1. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto horizontal................ 11
1.3.2. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto inclinado. ................ 12
2. MEDIDA DEL CAUDAL CON VENTURI Y ORIFICIO.................................................... 15
2.1. INTRODUCCIÓN.................................................................................................. 15
2.1.1. Tubo Venturi........................................................................................................ 15
2.1.2. Placa orificio........................................................................................................ 18
2.1.3. Pérdidas de carga en ensanchamientos y codos................................................... 19
2.2. DESCRIPCIÓN DEL BANCO DE ENSAYO....................................................... 22
2.3.1. Determinación del caudal .................................................................................... 24
2.3.2. Calibración del rotámetro .................................................................................... 24
2.3.4. Pérdidas de carga en ensanchamiento y codo...................................................... 25
2.3.5. Obtención de las curvas piezométrica y de energía............................................. 26
3. PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS...................................................................... 27
3.1. INTRODUCCIÓN.................................................................................................. 27
3.1.1. Balance de energía en un conducto ..................................................................... 27
3.1.2. Pérdidas lineales .................................................................................................. 30
3.1.3. Pérdidas singulares. ............................................................................................. 34

iv PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS
3.2. MEDIDAS DE PRESIÓN.......................................................................................36
3.2.1. Manómetro en U simple.......................................................................................37
3.2.2. Manómetro diferencial de mercurio.....................................................................38
3.2.3. Manómetro en U invertida....................................................................................39
3.3. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN ..............................................................40
3.4. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL........................................................44
3.4.1. Variación de la pérdida de carga con el caudal....................................................44
3.4.2. Pérdidas lineales y rugosidad ...............................................................................45
3.4.3. Pérdidas singulares...............................................................................................45
3.4.4. Calibración del Venturi y la placa orificio. ..........................................................46
4. VISUALIZACIÓN DE FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO...........................................47
4.1. INTRODUCCIÓN...................................................................................................47
4.1.1. Experimento de Osborne Reynolds......................................................................47
4.1.2. Características generales de los flujos laminares y turbulentos ...........................52
4.2 DESCRIPCIÓN DEL BANCO DE ENSAYO.........................................................55
4.3.1. Visualización de los diferentes regímenes de flujo..............................................57
4.3.2. Determinación del número de Reynolds ..............................................................57
4.3.3. Cálculo del factor de fricción ...............................................................................58
5. VERTEDEROS..............................................................................................................73
5.1. INTRODUCCIÓN...................................................................................................59
5.1.1. Objeto ...................................................................................................................59
5.1.2. Flujo por un orificio en la pared de un tanque......................................................60
5.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN ..............................................................65
5.3.1. Determinación de los coeficientes de velocidad, contracción y descarga............70
5.3.2. Calibración del Venturi ........................................................................................71
5.3.3. Efecto del número de Reynolds............................................................................72
6. DESCARGA POR UN ORIFICIO ....................................................................................59
6.1 INTRODUCCIÓN....................................................................................................73
6.1.1. Objeto y tipos de vertederos.................................................................................73
6.1.2. Vertedero rectangular sin contracción lateral.......................................................76
6.1.3. Vertedero triangular..............................................................................................78

CONTENIDO v
6.1.4. Vertedero rectangular con contracción lateral..................................................... 79
6.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN.............................................................. 80
6.3.1. Calibración del Venturi........................................................................................ 84
6.3.2. Calibración de los vertederos............................................................................... 84
7. CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS ......................................... 87
7.1. INTRODUCCIÓN.................................................................................................. 87
7.1.1. Tipos de máquinas de fluidos .............................................................................. 87
7.1.2. Bombas centrífugas o de flujo radial................................................................... 89
7.1.3. Curvas características de bombas y reglas de semejanza .................................... 95
7.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN.............................................................. 97
7.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL ..................................................... 100
7.3.1. Obtención de las curvas características de la bomba......................................... 100
7.3.2. Curvas características adimensionales............................................................... 102
ANEXO: PROBLEMAS DE RESOLUCIÓN INDIVIDUAL .................................................. 103
Problema nº 1: Viscosímetro Rotativo......................................................................... 104
Problema nº 2: Fuerzas de Presión sobre Válvula....................................................... 105
Problema nº 3: Conducto con Venturi y Pitot.............................................................. 106
Problema nº 4: Límite de Cavitación en Venturi......................................................... 107
Problema nº 5: Vertedero y Canal ............................................................................... 108
Problema nº 6: Semejanza en Bomba Centrífuga........................................................ 109
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................. 111

PRÓLOGO vii
PRÓLOGO
En este libro se reúne la documentación de trabajo sobre las prácticas de
laboratorio correspondientes a la asignatura de Mecánica de Fluidos, de segundo curso
de la titulación de Ingeniería de Minas. Estas prácticas experimentales se realizan con
los equipos disponibles en el Laboratorio de Hidráulica de la Escuela Técnica Superior
de Minas de Oviedo. En general no se trata de un equipamiento sofisticado, o ni
siquiera moderno; de hecho son ya muchas las generaciones de alumnos que han hecho
uso de los aparatos, desde los inicios del centro. Sin embargo, su diseño desde el punto
de vista didáctico es sin duda adecuado, y, en conjunto, permiten al alumno de
ingeniería un primer encuentro satisfactorio con flujos de características reales de
distintos tipos, así como con instalaciones de transporte de fluidos, con instrumentos de
medida, con válvulas y bombas, etc…
Como corresponde a unas prácticas de laboratorio, a lo largo de las mismas se
van poniendo de manifiesto algunos de los fenómenos básicos de mayor interés en el
movimiento de los fluidos, como el balance ideal de energía mecánica de Bernoulli en
la primera práctica, la existencia de pérdidas de carga en conductos en la tercera
práctica o las diferencias entre régimen laminar y régimen turbulento, en la cuarta
práctica.
En todos los casos se busca además una cuantificación de las variables
involucradas, mediante el empleo de la adecuada instrumentación de medida. De
hecho, varias de las prácticas de laboratorio están específicamente orientadas hacia el
entrenamiento en la medida de las distintas magnitudes fluidodinámicas relevantes de
un flujo, y que de hecho son de verdadero interés y de práctica habitual en la industria y
la ingeniería. Así, a lo largo de las prácticas se realizan medidas de presión, con
distintos tipos de manómetros, de velocidad y de caudal, tanto en conductos cerrados
con venturas y orificios (segunda práctica) como en canales con vertederos (sexta
práctica).
La última práctica constituye una introducción a la operación de sistemas
hidráulicos con bombas rotodinámicas. En concreto, se han de obtener las curvas
características para una bomba centrífuga convencional a distintas velocidades de
accionamiento, con el objeto de analizar sus prestaciones y de comprobar la validez de
las leyes de semejanza de las turbomáquinas.

viii PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS
A cada una de las prácticas de laboratorio impartidas le corresponde un capítulo
en este libro. Cada uno de ellos está estructurado en tres partes principales:
1º) Una introducción al fenómeno o tema principal de la práctica, en el que se
resumen los aspectos teóricos relacionados, incluyendo la formulación matemática
(siempre en un nivel muy elemental) que resulte necesaria para el posterior
procesamiento de los datos obtenidos por los alumnos en el laboratorio. Así mismo, por
su capacidad de estímulo, se ha juzgado de interés aportar algo de información sobre
aquellos personajes de relieve que contribuyeron de forma sustancial al estudio de cada
problema.
2º) Una descripción de los bancos de pruebas y de los instrumentos de medida
disponibles para cada práctica, incluyendo datos, fotografías o esquemas.
3º) Un guión con los distintos objetivos y procedimientos a seguir en el
laboratorio para cada práctica.
Antes de cada práctica los alumnos ya deben haberse familiarizado con ella,
leyendo el capítulo correspondiente, pues, una vez en el laboratorio, deberán ser ellos
mismos, en equipo, los que se encarguen de operar los aparatos e instrumentos
necesarios (bajo la supervisión del profesor). Una vez finalizada la práctica, cada grupo
de alumnos redactará un informe en el que se recojan de manera clara y concisa los
resultados obtenidos, en unos casos en forma de tabla y en otros casos mediante
representación gráfica. En el informe se expondrán también las conclusiones que se
extraigan del trabajo realizado, en particular las obtenidas al contrastar los valores
medidos con el comportamiento teórico.
Por último, para favorecer la asimilación de conceptos y a la vez fomentar no
sólo el trabajo en equipo sino también la participación individual, con cada práctica se
propone a los alumnos un problema relacionado, de enunciado general común para
todos ellos, pero con datos de cálculo individualizados. Este conjunto de problemas se
incluye aquí en un anexo.
Los Autores

1
PRÁCTICAS DE
MECÁNICA DE FLUIDOS
EN LA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS
DE LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO

1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 3
Práctica nº 1 :
ECUACIÓN DE BERNOULLI
1.1. INTRODUCCIÓN
La denominada ecuación o teorema de Bernoulli representa el principio de
conservación de la energía mecánica aplicado al caso de una corriente fluida ideal, es
decir, con un fluido sin viscosidad (y sin conductividad térmica). El nombre del
teorema es en honor a Daniel Bernoulli, matemático suizo del siglo XVIII (1700-1782),
quien, a partir de medidas de presión y velocidad en conductos, consiguió relacionar los
cambios habidos entre ambas variables. Sus estudios se plasmaron en el libro
“Hidrodynamica”, uno de los primeros tratados publicados sobre el flujo de fluidos,
que data de 1738.
Para la deducción de la ecuación de
Bernoulli en su versión más popular se
admitirán las siguientes hipótesis (en
realidad se puede obtener una ecuación de
Bernoulli más general si se relajan las dos
primeras hipótesis, es decir, si reconsidera
flujo incompresible y no estacionario):
• Flujo estacionario (es decir,
invariable en el tiempo).
• Flujo incompresible (densidad ρ
constante). Figura 1. Retrato de Daniel Bernoulli

4 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS
Figura 2. Portada del libro “Hidrodynamica”, y esquema de un ensayo.
• Fluido no viscoso.
• Fuerzas presentes en el movimiento: fuerzas superficiales de presión y fuerzas
másicas gravitatorias (= peso del fluido).
• No hay intercambio de trabajo o calor con el exterior del flujo.
Considérese un tubo de corriente como el representado en la Figura 2, con una
porción de fluido delimitada por las secciones rectas S1 y S2 en un cierto instante, con
áreas A1 y A2, y situadas a cotas z1 y z2 respecto a una referencia de altitud. Como la
superficie del tubo de corriente está formada por líneas de corriente, es decir, el vector
velocidad es tangente a ellas y el fluido no las puede atravesar, y además la densidad es
constante, el caudal Q vA
= , circulante por el interior del tubo de corriente habrá de ser
el mismo para cualquier sección. Se admitirá que el tubo de corriente es lo bastante
estrecho como para que en ambas secciones transversales S1 y S2 la velocidad y la
presión del flujo se puedan considerar uniformes, con valores v1 y p1, y v2 y p2
respectivamente (en caso necesario, el tubo de corriente podría quedar reducido a una
sola línea de corriente).
Al cabo de un pequeño intervalo de tiempo, dt, la porción de fluido se habrá
desplazado ligeramente hasta quedar delimitada por las nuevas secciones transversales
'
1
S y '
2
S . Estas nuevas secciones están separadas respectivamente de S1 y S2 por las
distancias 1 1
dx v dt
= , y 2 2
dx v dt
= . Este desplazamiento conlleva un cambio en la
energía de la porción de fluido considerada, cambio que, según el Primer Principio de
la Termodinámica, deberá ser igual al trabajo de las fuerzas actuantes sobre ese

elemento, es decir, al trabajo de las fuerzas de presión y de las fuerzas gravitatorias.
Para estas últimas, que están generadas por un campo conservativo (el campo
gravitatorio), su trabajo se puede interpretar como una variación de energía potencial.
Figura 2. Elemento de fluido considerado.
Así pues, la variación de energía en la porción de fluido considerada, durante el
tiempo dt, se puede expresar como:
C PG P
dE dE dE dW
= + = (1)
donde dEC y dEPG son las variaciones de energía cinética y de energía potencial
gravitatoria, y dWP es el trabajo de las fuerzas de presión actuantes sobre el elemento
de fluido.
La variación de energía cinética es igual a la ganancia de energía cinética
habida en la zona de las secciones '
2 2
S S
− , menos la correspondiente reducción habida
en la zona de las secciones '
1 1
S S
− :
2 2 2 2
2 1 2 1
2 1 2 1 2 2 1 1
2 2 2 2
2 1 2 1
2 2 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
C C C
v v v v
dE dE dE dm dm A dx A dx
v v v v
A v dt Av dt Qdt
ρ ρ
ρ ρ ρ
= − = − = − =
⎛ ⎞
= − = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(2)
De modo análogo, la variación de energía potencial gravitatoria es:
v2
'
1
S
'
2
S
v1
p1
p2
z1
z2
dx1
dx2
S1
S2

( )
2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1
2 2 2 1 1 1 2 1
PG PG PG
dE dE dE dm gz dm gz A dx gz A dx gz
A v dt gz Av dt gz Qdt gz gz
ρ ρ
ρ ρ ρ
= − = − = − =
= − = −
(3)
Por su lado, el trabajo de las fuerzas de presión actuantes sobre el contorno se
puede determinar evaluando por separado los trabajos sobre las secciones S1 y S2, como
producto de las correspondientes fuerzas de presión por los desplazamientos habidos
durante el intervalo de tiempo dt:
( )
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
dW p A dx p Av dt p Qdt
dW dW dW p p Qdt
dW p A dx p A v dt p Qdt
= = = ⎫
⇒ = + = −
⎬
= − = = − ⎭
(4)
Sustituyendo las ecuaciones (2), (3) y (4) en (1), y dividiendo por Qdt resulta el
teorema o ecuación de Bernoulli:
2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
v v
p gz p gz
ρ ρ
ρ ρ
+ + = + + (5)
que puede expresarse en la forma, más habitual en hidráulica:
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
v p v p
z z
g g g g
ρ ρ
+ + = + + (6)
donde ϖ
ρ =
g
· es el peso específico del elemento de fluido. En las ecuaciones (5) y (6)
cada uno de los términos representa una energía específica. En el caso de la ecuación
(5) se trata de energía por unidad de volumen de fluido en circulación, o lo que es lo
mismo, potencia por unidad de caudal o, simplemente, presión (las unidades son:
J/m3
=W/(m3
/s)=Pa). En el caso de la ecuación (6) las unidades son de energía por
unidad de peso de fluido, que es equivalente a una longitud (J/N=m). La interpretación
de cada término es la siguiente:
ƒ Un cuerpo de masa m situado a una altura z, posee una energía potencial o de
posición, referida al plano de referencia situado en cota cero: p
E mgz
= . El
término z representa por tanto la energía potencial del fluido por unidad de
peso, y se le designa como altura de posición.
ƒ El término /
p g
ρ representa la energía necesaria para elevar la unidad de peso
del elemento de fluido hasta la altura /
p g
ρ . Se le denomina altura de
presión. A la suma de las alturas de potencial y de presión se le conoce como
altura piezométrica, porque se corresponde con la altura de columna
observada con un tubo piezométrico conectado a una conducción con un
líquido.

ƒ Finalmente, el término 2
/ 2
v g representa la energía cinética por unidad de peso
del elemento de fluido y se le llama altura de velocidad.
Se denomina carga o altura de energía, H, a la suma de la altura de velocidad
más la altura piezométrica, es decir, a la suma de los tres términos de cada miembro en
la ecuación de Bernoulli:
2
2
p v
H z
g g
ρ
= + + (7)
La carga representa la energía mecánica del fluido que fluye en la sección por
unidad de peso del mismo. Así pues el teorema de Bernoulli establece que la carga es
constante a lo largo de una línea de corriente bajo las hipótesis iniciales consideradas.
En la práctica todos los fluidos reales son viscosos, y la aplicación de la
ecuación de Bernoulli podrá perder validez en función de la importancia relativa de las
fuerzas viscosas en cada caso. En efecto, la presencia de los esfuerzos viscosos en el
seno del fluido y, en particular, en las zonas inmediatamente adyacentes a los contornos
(zonas de capa límite), hace que el fluido deba emplear parte de su energía mecánica en
compensar el trabajo de oposición de las fuerzas viscosas; éste es un trabajo no
reversible, por lo que paulatinamente se produce una transformación de energía
mecánica en energía interna (es decir, calor).
Figura 4. Representación gráfica de las líneas de energía,
piezométrica y de posición.
1
z
2
z
1
p
g
ρ
2
p
g
ρ
1
2
v
g
2
2
v
g
f
h
Altura total
Línea de energía
Línea piezométrica
Línea de posición

Desde el punto de vista de la ecuación de Bernoulli, esta transformación se
contabiliza como una disminución progresiva de la altura de energía o pérdida de
carga hf. Si H1 es la carga del fluido en la sección S1 y H2 la carga del fluido en la
sección S2, se tendrá:
2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
2 2
f
v p v p
h H H z z
g g g g
ρ ρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − = + + − + +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(8)
La pérdida de carga hf será tanto mayor cuanto más separadas estén entre sí las
posiciones S1 y S2. Ello significa que, a lo largo de una conducción, la línea de energía,
que es la representación gráfica de la altura de energía para cada posición, será una
línea con pendiente negativa (Figura 4).
En el caso de una tubería de sección constante la altura de velocidad ha de
permanecer invariable, y en ese caso las líneas de energía y piezométrica son paralelas;
si además se trata de una tubería horizontal, la pérdida de carga se manifiesta
exclusivamente como una pérdida de presión.
1.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN
La práctica se lleva a cabo en un dispositivo experimental ubicado en el
laboratorio de Hidráulica de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo. En la Figura
5 se muestran dos fotografías de dicho dispositivo experimental. Como puede
observarse en esa figura, el dispositivo consta de nueve tubos verticales, llamados tubos
piezométricos o piezómetros, soldados a un tubo horizontal. Las secciones de cada tubo
piezométrico se indican en la Tabla I.
Tabla I. Secciones de los tubos piezométricos.
Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S(cm2
) 6.45 5.48 3.81 2.69 2.69 3.48 4.64 5.81 6.45
El conducto horizontal, al que van soldados los tubos piezométricos, presenta
un estrechamiento de su sección, similar a un Venturi, como el que se representa en la
Figura 6.
La disminución de la sección de paso del fluido en el Venturi, provocará un
aumento de la velocidad del flujo en dichas secciones, que debe ser compensado con
una disminución de la altura piezométrica, puesto que el teorema de Bernoulli establece
la conservación de la carga o energía mecánica del fluido en cada línea de corriente.

En los extremos del conducto de paso de la corriente de agua se encuentran
ubicados dos depósitos: uno a la izquierda, por el que el fluido penetra en la instalación
y otro a la derecha, por el que el fluido abandona la instalación.
En la parte posterior de los piezómetros, sobre un panel, se encuentra una escala
graduada en mm, sobre la que se determina la altura piezométrica alcanzada por el
fluido en cada tubo.
Figura 5. Dispositivo experimental. Arriba: inclinado. Abajo: horizontal.
Nótese en el caso inferior la curva piezométrica definida por la altura del
agua en cada piezómetro

Detrás del dispositivo experimental, se encuentra situada una llave de paso que
permite, mediante una menor o mayor apertura, la regulación del caudal que fluye por
la instalación. Dicho caudal se determina mediante un método volumétrico, es decir, se
dispone de un recipiente tipo probeta para calibrar el volumen de fluido, y se mide
mediante un cronómetro el tiempo necesario para alcanzar un volumen determinado de
fluido en la probeta. De esta forma se establece el caudal de fluido circulante, y
conocida la sección de cada tubo, puede calcularse la altura de velocidad
correspondiente a cada uno de ellos.
Figura 6. Posiciones de toma de presión en el conducto.
Finalmente, el dispositivo puede situarse en una posición horizontal o con un
cierto ángulo de inclinación α. En el caso de situar el dispositivo en posición
completamente horizontal, la altura de posición para todos los tubos piezométricos es la
misma, y se toma cono nivel de referencia con cota cero. Sin embargo, si el dispositivo
se inclina un cierto ángulo α, la altura de posición de los tubos piezométricos difiere de
unos a otros y debe tenerse en cuenta en la ecuación de Bernoulli.
1.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL
El objetivo fundamental de la práctica es comprobar el teorema de Bernoulli
experimentalmente. Para ello, será necesario determinar la altura piezométrica, la altura
de velocidad y la altura de posición, cuando corresponda, en cada uno de los tubos
piezométricos.
2 6 8
1 3 4 5 7 9

1.3.1. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto horizontal.
Con el dispositivo experimental situado en posición completamente horizontal,
de modo que la línea de posición para todos los tubos piezométricos sea la misma (que
tomaremos como nivel de referencia cero), se procede a la apertura de la llave de
regulación y se espera hasta que el caudal de fluido circulante se haya estabilizado para
asegurar que se dispone de un flujo en régimen permanente o estacionario.
Una vez estabilizado el flujo, es necesario en primer lugar establecer el caudal
que fluye por la instalación. Como se ha comentado anteriormente, se dispone para ello
de una probeta calibrada en volumen y de un cronómetro. De este modo, determinado
el tiempo que el fluido circulante tarda en alcanzar un determinado volumen de la
probeta, podemos establecer el flujo volumétrico mediante la simple relación:
Volumen
Q
Tiempo
= (9)
Es obvio que debe satisfacerse la ecuación de continuidad de la masa, por lo que
el caudal se mantiene constante a lo largo de todo el tubo horizontal. De este modo, se
puede determinar la velocidad del fluido, y por tanto la altura de velocidad, en cada
tubo piezométrico mediante la relación:
1,2,...,9
i
i
Q
v i
A
= = (10)
donde Ai es el área de cada tubo piezométrico indicada en la Tabla I.
Falta tan solo determinar la altura piezométrica, que se obtiene mediante lectura
directa de la altura alcanzada por la columna de fluido en cada tubo sobre la escala
milimétrica situada detrás de ellos.
Una vez realizadas todas las medidas, deben exponerse en una tabla, que se
incluirá en el informe posterior, y en la que debe indicarse cuál es la pérdida de carga
que tiene lugar en cada piezómetro, respecto del primer tubo piezométrico. Se
procederá a continuación a realizar una representación gráfica de estos resultados,
similar a la que aparece en la Figura 7, comentando las peculiaridades que se observen
en la misma. Téngase en cuenta que si no se produjesen pérdidas por rozamiento, la
línea de altura total que se obtendría sería una línea horizontal.
El procedimiento descrito debe repetirse, como mínimo, para otro valor del
caudal de fluido circulante por la instalación.

1.3.2. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto inclinado
Se trata ahora de realizar una comprobación más general del teorema de
Bernoulli: cuando la altura de posición de los tubos piezométricos es diferente entre
unos y otros. Para ello, se inclina el dispositivo experimental un cierto ángulo α que el
alumno debe determinar. Teniendo en cuenta el ángulo de inclinación, se puede
determinar la altura de posición de cada tubo piezométrico mediante la aplicación de
reglas trigonométricas sencillas.
Repitiendo el procedimiento del apartado anterior, se calibra el caudal que
circula por la instalación y se determina la altura de velocidad de cada piezómetro. Los
tubos piezométricos están ahora inclinados, por lo que la lectura directa de la altura de
columna de fluido alcanzada en cada uno de ellos no es vertical. La altura piezométrica
se obtiene entonces mediante relaciones trigonométricas sencillas.
Comprobación del teorema de Bernoulli
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número de piezómetro
Altura
(cm)
Altura de velocidad
Altura piezométrica
Altura total
Figura 7. Ejemplo de evolución de las alturas piezométrica, de velocidad y de
energía (o total), a partir de los datos medidos.
Se dispone ya de todos los datos experimentales que deben incluirse en forma
de tabla en el informe, indicando de nuevo, como en el apartado previo, cuál es la

pérdida de carga o energía que corresponde a cada posición de medida respecto a la del
primer tubo piezométrico.
A continuación debe realizarse una nueva representación gráfica de los datos tal
como la que se encuentra en la Figura 7, pero añadiendo la línea de posición. El
procedimiento descrito debe repetirse como mínimo para dos valores distintos del
caudal de agua que circula por la conducción.

2. MEDIDA DEL CAUDAL CON VENTURI Y ORIFICIO 15
Práctica nº 2 :
MEDIDA DEL CAUDAL CON VENTURI Y
ORIFICIO
2.1. INTRODUCCIÓN
El caudal que circula por una instalación se puede determinar de forma simple
imponiendo un estrechamiento en la sección de paso, de modo que se genere una
reducción de presión, tanto más acusada cuanto mayor es el caudal circulante. Dentro
de esta categoría de caudalímetros se encuentran el tubo Venturi y la placa orificio.
En esta práctica se utilizarán ambos tipos de medidores para comprobar el caudal de
agua que circula por un circuito simple (también se empleará un rotámetro). La práctica
se completará con la medida de las pérdidas de carga singulares habidas en dos
elementos de ese circuito (un codo y una expansión brusca), que también aumentan con
el caudal circulante. En todos los casos se considerará flujo incompresible y
estacionario.
2.1.1. Tubo Venturi
El principio del tubo Venturi se debe al físico italiano Giovanni Battista Venturi
(1746-1822), si bien su aplicación práctica como instrumento de medida del caudal no
llegó hasta mucho tiempo después, con el norteamericano Clemens Herschel (1842-
1930). Un tubo Venturi, como el mostrado en la Figura 1, consiste en un tubo corto con
un estrechamiento de su sección transversal, el cual produce un aumento de la

velocidad del fluido y por consiguiente, puesto que la conservación de la carga
expresada por el teorema de Bernoulli debe satisfacerse, una disminución de la altura
piezométrica. El estrechamiento va seguido por una región gradualmente divergente
donde la energía cinética es transformada de nuevo en presión con una inevitable
pequeña pérdida por fricción viscosa. La caída de presión puede relacionarse con el
caudal de fluido que circula por el conducto, a partir de la ecuación de continuidad
(caudal constante en cualquier sección de la conducción) y de la ecuación de Bernoulli
(conservación de la energía mecánica).
Figura 1. Un tubo Venturi inclinado.
Aplicando el teorema de Bernoulli entre los puntos 1, en la entrada, y 2, en la
garganta del tubo Venturi de la Figura 1, se obtiene:
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
p v p v
z z
g g g g
ρ ρ
+ + = + + (1)
Si el Venturi se encuentra situado en posición totalmente horizontal, las alturas
de posición de los puntos 1 y 2 son iguales, es decir 1 2
z z
= , y estos términos se
cancelan en la ecuación (1), pero si el tubo Venturi está inclinado, como se muestra en
la Figura 1, las alturas de posición son diferentes, 1 2
z z
≠ .
Por otra parte, v1 y v2 pueden considerarse como las velocidades medias en la
sección correspondiente del tubo Venturi, y como el flujo se desarrolla en régimen
permanente y el fluido es incompresible, la ecuación de continuidad establece que:
p2, v2, A2, z2
p1, v1, A1, z1
1
2
h

2
1 1 2 2 1 2
1
A
Q Av A v v v
A
= = ⇒ = (2)
Sustituyendo la expresión (2) en la ecuación (1), se obtiene:
( ) ( )
( )
1 2
2
1
1 2
2 2
2
1
p p
g g
A
A
g z z
v
ρ ρ
⎡ ⎤
+ − +
⎣ ⎦
=
⎡ ⎤
−
⎣ ⎦
(3)
y, por tanto, el caudal se calcula como:
( ) ( )
( )
1 2
2
1
1 2
2 2 2 2
2
1
p p
g g
A
A
g z z
Q A v A
ρ ρ
⎡ ⎤
+ − +
⎣ ⎦
= =
⎡ ⎤
−
⎣ ⎦
(4)
En consecuencia con un tubo Venturi el problema de medir un caudal se reduce
a la medida de las presiones p1 y p2, pues el resto de variables presentes en la ecuación
(4) son dimensiones geométricas fijas para cada caso. En concreto es suficiente la
medida de la presión diferencial 1 2
p p
− , por ejemplo mediante un manómetro
piezométrico en U, como el mostrado en la Figura 1, con un líquido no miscible con el
fluido que circule por la conducción. Si éste es un gas, en el manómetro se puede usar
agua; si circula agua, en el manómetro se puede usar mercurio.
Estrictamente, el resultado de la ecuación (4) es válido, como la ecuación de
Bernoulli, para flujos ideales en los que los efectos de la fricción son despreciables. En
los tubos Venturi reales, la fricción, aunque pequeña, está presente, de modo que la
caída de presión 1 2
p p
− medida en el manómetro diferencial es debida al aumento de
energía cinética en la garganta, pero también a una pequeña pérdida de carga. Por tanto
los caudales obtenidos con la ecuación (4) tienden a ser ligeramente mayores que los
caudales reales, y por ello se introduce un factor de corrección, denominado coeficiente
de descarga o de derrame, Cd (ecuación 5). En cada caso habrá de calibrarse el
Venturi para obtener el valor adecuado de este coeficiente. Para un tubo Venturi
convencional Cd suele adoptar valores en el rango 0.90-0.96.
( ) ( )
( )
1 2
2
1
1 2
2 2
2
1
p p
g g
d
A
A
g z z
Q C A
ρ ρ
⎡ ⎤
+ − +
⎣ ⎦
=
⎡ ⎤
−
⎣ ⎦
(5)
Los tubos Venturi resultan ser medios simples y precisos para medir caudales
en conductos. Frente a los otros medidores de la categoría de estrechamiento en

conductos (orificios y toberas), los Venturi presentan la ventaja adicional de inducir
una pérdida de carga comparativamente más pequeña, gracias a que las transiciones en
el área de la sección de paso se hacen gradualmente. Ello es especialmente destacable
en lo que se refiere al tramo difusor o divergente, situado en la zona posterior a la
garganta del Venturi. Se trata de un tramo troncocónico con un ángulo de apertura muy
suave (~7º), con lo que se busca la expansión progresiva de la corriente de fluido con
las consiguientes disminución de energía cinética y aumento de presión hasta
prácticamente recuperar los valores anteriores al Venturi (los del punto 1 en la Figura
1). Si en cambio esa transición fuera más brusca (con un ángulo de apertura elevado),
en la zona posterior de la garganta quedaría en realidad un chorro libre, con lo que el
exceso de energía cinética se disiparía por turbulencia y apenas si aumentaría la presión
por encima del valor del punto 2 (Figura 1). Esto último es lo que de hecho sucede con
los medidores de tobera y de orificio (ver siguiente apartado).
Una relación de áreas 2 1
/
A A pequeña, contribuye a aumentar la precisión en el
manómetro, pero también va acompañada de una mayor pérdida por fricción (menor
Cd) y además puede dar lugar a una presión demasiado baja en la garganta. Si circula
un líquido es posible que llegue a producirse liberación del aire disuelto en el líquido e
incluso vaporización del líquido en este punto. Este fenómeno se conoce como
cavitación y se produce si la presión alcanza el valor de la presión de vapor del fluido a
la temperatura de trabajo. Si se generan burbujas, bien de aire liberado o bien de vapor,
el flujo a través del Venturi se modifica y las medidas de caudal pierden validez.
2.1.2. Placa orificio
Una placa orificio es un disco con un agujero circular concéntrico con la tubería
y de sección más estrecha, como la que se muestra en la Figura 2.
Figura 2. Placa orificio.
D, v1, p1, z1 d, v2, p2, z2
Flujo
1 2
h

Cuando el fluido circula por el conducto se produce un incremento de energía
cinética entre un punto 1 cualquiera, situado aguas arriba del orificio, y un punto 2
situado en la garganta del orificio, lo que conlleva una reducción de presión entre esos
puntos. Aguas abajo del orificio se forma un chorro, es decir, el flujo principal queda
restringido a una sección equivalente a la de la garganta, con lo que se conservan las
condiciones de velocidad y presión del punto 2 hasta una cierta distancia.
Al igual que en el caso del tubo Venturi se plantea el principio de conservación
de energía mecánica (ecuación de Bernuolli) entre ambas posiciones 1 y 2, junto a la
condición de continuidad (caudal constante). Ello lleva a la obtención de las mismas
ecuaciones (1-5), ya indicadas en el apartado anterior. En concreto la ecuación (5)
permite nuevamente obtener el caudal circulante a partir de los datos geométricos
(diámetros de tubería y garganta, e inclinación respecto a la horizontal) y de la
diferencia de presión observada entre la pareja de puntos 1 y 2, por lo que basta
emplear un manómetro diferencial como el de la Figura 2.
En contraste con el tubo Venturi, los cambios en la sección de paso para la
placa orificio son muy bruscos. Ello implica unas mayores pérdidas de energía
mecánica por esfuerzos viscosos (pérdidas de carga). Éstas son especialmente acusadas
en la zona de aguas abajo del orificio, pues el exceso de energía cinética habido en el
chorro se termina disipando en turbulencia, pero estas pérdidas de carga no afectan a la
medida.
Aunque comparativamente bastante menores, sí que afectan a la medida las
pérdidas habidas en el tramo de la contracción de la sección de paso (entre los puntos 1
y 2). También afecta en cierta medida el llamado efecto de vena contracta, por el cual
la sección efectiva de paso es realmente algo más pequeña que la de la garganta (véase
la práctica número 5). En general, tanto el efecto de las pérdidas de carga como el de la
vena contracta es el de aumentar la disminución de presión de forma proporcional al
cuadrado del caudal, por lo que no se altera el tipo de dependencia entre caudal y caída
de presión indicada por la ecuación (5)(5). Así pues, ésta sigue siendo válida si se
introduce el coeficiente de derrame Cd adecuado. En las placas de orificio habituales
los coeficientes Cd suelen adoptar valores en el rango 0.6-0.65.
A pesar de las pérdidas de carga que inducen las placas orificio en los circuitos,
su uso está muy extendido por resultar fiables, baratas y simples de instalar.
2.1.3. Pérdidas de carga en ensanchamientos y codos
Cualquier modificación en la forma geométrica de un conducto produce una
pérdida de carga de carácter local cuando un fluido pasa a su través. Estas pérdidas de
carga se denominan singulares.

Este tipo de pérdidas singulares se producen, por ejemplo, en los casos del
aumento de sección y del cambio de dirección (un codo) mostrados en la Figura 3. En
el caso del ensanchamiento, estas pérdidas de carga son debidas a que el flujo se adapta
a la nueva sección mediante una sucesión de remolinos, con lo que el exceso de energía
cinética que hay en la sección 1 respecto a la que correspondería a la nueva sección 2,
se disipa por la acción de la turbulencia. Es una situación equivalente a la de la zona
posterior de la placa orificio (apartado anterior). En el caso de un codo brusco, la
distribución transversal de velocidad deja de ser axisimétrica (aumenta la velocidad en
la zona del conducto más próxima al centro de curvatura), y nuevamente se produce
una disipación de energía por remolinos turbulentos.
Figura 3. Ensanchamiento y codo.
La pérdida de carga producida por estos elementos lleva a que el balance de
energía mecánica de la ecuación de Bernoulli, que solo es válida para flujo no viscoso,
deba ser corregido con el término de pérdida de carga hf, de modo que entre los puntos
1 y 2 se verifica:
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
f
p v p v
z h z
g g g g
ρ ρ
+ + − = + + (6)
En general se considera que las pérdidas de carga singulares son proporcionales
a la energía cinética del flujo, tomando como referencia la entrada al elemento, es decir,
se consideran proporcionales al cuadrado del caudal circulante. Este tipo de
dependencia entre caudal y pérdidas de carga en un elemento de una conducción es
equivalente a la de la ecuación (5) para medidores Venturi y de placa orificio. Así pues
también podrían emplearse elementos tales como un codo o un ensanchamiento brusco
para medir el caudal a partir de una diferencia de presión, aunque lógicamente dicha
diferencia sería enteramente pérdida de energía.
d
d
1
2
d1 d2
1 2

Figura 4. Variación de la pérdida de carga con el caudal.
Figura 5. Dispositivo experimental, mostrando la conducción horizontal, el rotámetro
(vertical) y el panel de tubos piezométricos.
Q
hf

2.2. DESCRIPCIÓN DEL BANCO DE ENSAYO
La práctica se lleva a cabo en una instalación del laboratorio de Hidráulica de la
E.T.S. de Ingenieros de Minas. El dispositivo experimental, que se muestra en la
Figura 5, es una conducción con alimentación desde un grifo de la red de agua del
edificio y descarga a un desagüe. Esta conducción posee un primer tramo horizontal en
su zona inferior, en el que, de izquierda a derecha (es decir, en el sentido de la
corriente), se encuentran sucesivamente un tubo Venturi, un ensanchamiento, una placa
orificio y un codo. Las correspondientes dimensiones se muestran en la Figura 6. Tras
el codo se tiene un conducto vertical con un rotámetro para poder medir el caudal de
agua circulante de forma independiente.
Figura 6. Dimensiones de los elementos del conducto.
Figura 7. Tramo con la placa orificio (a la derecha de la imagen).
26 mm 26 mm
16 mm
51 mm
20 mm

Se desconoce el coeficiente de descarga del tubo Venturi, pero en cambio, sí se
conoce el coeficiente de derrame de la placa orificio: 0.601
d
C = . En la Figura 7 se
muestra una vista del tramo con la placa orificio.
En cada uno de los elementos del conducto horizontal se encuentran situadas dos
tomas para tubos piezométricos que permiten una lectura diferencial de la presión entre
dos puntos, uno aguas arriba y otro aguas abajo, de cada uno de los elementos. La
lectura se realiza sobre una escala graduada en milímetros situada tras los piezómetros.
Todos los piezómetros están conectados entre sí por su parte superior. Es importante
que no se produzcan burbujas de aire en los tubos piezométricos, puesto que se
falsearía la lectura de presión en los mismos. Si aparecen burbujas de aire, es necesario
purgar el circuito, mediante una pequeña válvula situada en la parte superior de los
mismos. El caudal que circula por la instalación se regula mediante mayor o menor
apertura de una llave de paso situada detrás del dispositivo.
Figura 8. Detalle del rotámetro.
Finalmente, el dispositivo dispone también de un rotámetro (o caudalímetro de
arrastre) para la medida del caudal. Se trata de un conducto vertical transparente, de
forma tronco-cónica (sección creciente hacia arriba), con un eje por el que puede
deslizar axialmente una pieza de revolución, el flotador. El flujo ascendente ejerce una
fuerza de arrastre sobre esta pieza por diferencia de presión entre la base y la cara
superior; esta fuerza es tanto mayor cuanto más abajo está la pieza, debido a la menor

sección de paso dejada a la corriente, y también es tanto mayor cuanto mayor es el
caudal. Por ello el flotador (más denso que el agua) alcanza una posición de equilibrio,
para la que se compensa su peso con el empuje hidrostático y la fuerza de arrastre. El
tubo dispone de una escala graduada de longitud, que es necesario calibrar para obtener
el caudal de fluido circulante por la instalación. El flotador tiene marcas que lo hacen
rotar y así mantener su posición central en el tubo (de ahí el nombre de rotámetro). A
medida que aumenta el flujo se eleva la posición del flotador. En la Figura 8 se muestra
una vista de este medidor.
El objetivo básico de la práctica es la determinación del caudal que circula por
la instalación mediante diferentes métodos, así como el cálculo de las pérdidas que
producen distintos elementos colocados en el dispositivo experimental.
2.3.1. Determinación del caudal
Para determinar el caudal o flujo volumétrico que circula por la instalación, se
empleará la placa orificio, pues para ella se supone conocido el coeficiente de descarga:
0.601
d
C = .
Haciendo uso de la expresión (5), puede determinarse el caudal, puesto que las
características geométricas de la placa son conocidas y la presión en dos puntos, aguas
arriba y aguas abajo de la misma, puede determinarse mediante lectura directa en los
piezómetros correspondientes.
2.3.2. Calibración del rotámetro
Una vez determinado el caudal que circula por la instalación mediante la placa
orificio, es posible hacer una calibración del rotámetro.
Para ello, es necesario obtener la constante de proporcionalidad entre el caudal
medido con la placa y la medida marcada por la escala del rotámetro:
placa orificio escala rotámetro
Q k h
= (7)
El proceso debe repetirse para varias medidas del caudal con vistas a poder
obtener un valor medio de la constante de proporcionalidad k, que se ajuste lo más
posible a la realidad.

2.3.3. Coeficiente de descarga del Venturi
Conocido el caudal que fluye a través de la instalación, es posible medir la
presión mediante piezómetros, en un punto aguas arriba del Venturi, y un punto situado
en la garganta del mismo. De este modo, la expresión (5) proporciona el coeficiente de
descarga del Venturi.
El proceso debe repetirse, al igual que ocurre con el rotámetro, para varios
valores del caudal, con vistas a minimizar el error de medida y obtener un valor medio
de Cd que se ajuste lo más posible a la realidad.
2.3.4. Pérdidas de carga en ensanchamiento y codo.
Midiendo mediante los tubos piezométricos la presión aguas arriba y aguas
abajo del ensanchamiento, y aguas arriba y aguas abajo del codo, y conocido el caudal
que fluye por el conducto, es posible obtener la variación de la pérdida de carga que
producen dichos elementos frente al caudal, mediante la expresión (6), tras despejar hf.
En este apartado, deben calcularse dichas pérdidas de carga y debe hacerse una
representación gráfica de la variación de las mismas frente al caudal, como la mostrada
en la Figura 4.
Figura 9. Línea piezométrica marcada por las columnas de agua

2.3.5. Obtención de las curvas piezométrica y de energía
Durante la realización de la práctica, la altura alcanzada por el agua en los
distintos tubos piezométricos pone de manifiesto la curva de altura piezométrica (o
altura de presión) del fluido correspondiente a cada uno de los caudales. Un ejemplo de
línea piezométrica se muestra en la Figura 9. A partir de la curva piezométrica se
puede obtener la curva de energía sin más que sumando la altura de energía cinética o
velocidad correspondiente a cada posición (es conocido el caudal circulante y el
diámetro en cada posición, luego es conocida la velocidad media de la corriente).
En este apartado debe realizarse una representación gráfica de dicha curva de
energía para, al menos, cuatro caudales diferentes. Deben comentarse las
particularidades observadas en cada curva, y las diferencias entre unas y otras.

3. PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS 27
Práctica nº 3 :
PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS
3.1. INTRODUCCIÓN
El flujo de un líquido o un gas por una conducción va inevitablemente
acompañado de una paulatina cesión de energía mecánica, debido al trabajo opositor de
las fuerzas viscosas. Dicha reducción de energía mecánica suele expresarse en términos
de energía específica, y más concretamente como energía por unidad de peso del fluido
circulante; tiene pues dimensiones de longitud. Su denominación habitual es la de
pérdida de carga. La determinación de las pérdidas de carga correspondientes a una
determinada instalación constituye un primer objetivo básico de cálculo, pues de ellas
dependerá la energía que se deba proporcionar al fluido con una máquina apropiada
(una bomba o un ventilador por ejemplo), y también el caudal que realmente vaya a
circular por esa instalación.
3.1.1. Balance de energía en un conducto
Para comprender el origen de las pérdidas de carga, considérese la ecuación de
conservación de la energía entre dos secciones de una tubería (es decir, el Primer
Principio de la Termodinámica:Q W E
− = Δ ). Bajo la consideración de flujo
unidimensional se tiene que:

( )
2 2
2 1
cos 2 2 1 1
2 2
eje vis idad presion
v v
Q W W W m gz û m gz û
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + + = + + − + +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(1)
donde:
ƒ Q: calor transferido al fluido
ƒ Weje: trabajo realizado por el fluido sobre una máquina (turbina)
ƒ Wviscpsodad: trabajo realizado por el fluido contra las fuerzas
superficiales viscosas
ƒ Wpresión: trabajo realizado por el fluido contra las fuerzas
superficiales de presión
ƒ v1 , v2 : velocidad media en las secciones 1 y 2
ƒ z1 , z2 : altitud media en las secciones 1 y 2
ƒ û1 , û2 : energía interna media en las secciones 1 y 2
Se efectuarán las siguientes hipótesis simplificadoras (aunque en realidad no
restan validez a las conclusiones generales a que se llega):
• Proceso adiabático, luego el calor transferido es nulo: 0
Q = .
• No se realiza trabajo técnico entre las dos secciones (no hay máquinas
aportando o extrayendo energía del fluido): 0
eje
W = .
• Flujo incompresible: cte
ρ = .
• Régimen estacionario (invariable en el tiempo).
Al considerarse flujo incompresible, en el caso de tener un flujo por una tubería
de sección constante (lo más habitual) entonces la velocidad media en cada sección
permanecerá constante (por el principio de continuidad), y así se tendría que: 1 2
v v
= .
Por otro lado, el trabajo de las fuerzas viscosas sólo cuenta en aquéllas
superficies en que el vector velocidad tenga una componente tangente no nula. Tal es el
caso, por ejemplo, de una superficie de corriente (compuesta por líneas de corriente)
que sea un cilindro concéntrico con la tubería pero de radio menor. En cambio sobre la
propia superficie interior de la tubería debe cumplirse la condición de adherencia o no
deslizamiento (es decir, 0
v = ), y por tanto el trabajo realizado por las fuerzas viscosas
en esa superficie sólida es nulo. Así pues: viscosidad 0
W = . Otro tanto puede afirmarse
respecto al trabajo de las fuerzas superficiales de presión sobre la pared interior del
conducto.
Reuniendo estas consideraciones resulta:
( ) ( )
presion 2 1 2 1
ˆ ˆ
W mg z z m u u
− = − + − +m (v2
2
– v1
2
)/2 (2)

El trabajo de las fuerzas de presión entre las dos secciones, viene determinado
por:
2 1
presion 2 2 1 1 2 1
p p
m m
W p V pV p p m
ρ ρ ρ
−
= − = − = (3)
Así pues, sustituyendo en la ecuación (2) y despejando la variación de energía
interna resulta que esta variación es igual a la diferencia entre las posiciones 1 y 2 de
los términos de altura geodésica, presión estática y energía cinética (ecuación 4), cuya
suma representa la energía mecánica del fluido. Esta energía mecánica se puede
transformar de forma reversible entre las tres categorías que la componen, y es la que
puede dar lugar a un trabajo útil en una máquina (turbina). Sin embargo la ecuación (4)
señala que a lo largo de una conducción parte de esa energía mecánica se transforma en
energía interna, es decir, en calor. El segundo principio de la termodinámica establece
que, si no hay compresibilidad, esa transformación es irreversible, es decir, solo puede
tener lugar en el sentido de aumentar la energía interna a costa de disminuir la energía
mecánica. Por ese motivo, aunque la energía total permanece invariable, a la variación
de la energía interna del fluido entre las dos secciones se le suele considerar pérdida (de
energía mecánica), y a la energía perdida por unidad de peso se le llama pérdida de
carga hp:
( )
( )
2 1 1 2
1 2
ˆ ˆ
p
u u p p
h z z
mg g
ρ
− −
= = − + g
v
v
2
2
2
2
1 −
+ (4)
En el caso particular de una tubería horizontal de sección constante, tanto la
cota como la velocidad han de permanecer constantes, y por tanto la pérdida de carga
se manifiesta como una paulatina disminución de presión en el sentido del flujo.
Internamente en el flujo el aumento de energía interna o la pérdida de carga está
ligada a los esfuerzos cortantes viscosos, que se oponen al movimiento. Por tanto
cuanto mayor sea la viscosidad de un fluido, mayores pérdidas de carga para un caudal
dado por una cierta tubería. Para un fluido dado, la pérdida de carga está relacionada
con el campo de velocidades, de forma muy distinta según el tipo de flujo sea laminar o
turbulento. En el caso extremo de un fluido ideal, es decir, sin viscosidad, la pérdida de
carga sería nula, y la ecuación (4) se transformaría en la ecuación de Bernoulli.
Además de las pérdidas de carga lineales (a lo largo de los conductos),
también se producen pérdidas de carga singulares en puntos concretos como codos,
ramificaciones, válvulas, etc, y, en general, en cualquier posición de una conducción
donde se altere la geometría de paso respecto al caso de una tubería recta de sección
constante.

3.1.2. Pérdidas lineales
Las características de los esfuerzos cortantes son muy distintas en función de
que el flujo sea laminar o turbulento. En el caso de flujo laminar, las diferentes capas
del fluido discurren ordenadamente, siempre en dirección paralela al eje de la tubería y
sin mezclarse, siendo el factor dominante en el intercambio de cantidad de movimiento
(esfuerzos cortantes) la viscosidad. En flujo turbulento, en cambio, existe una
continua fluctuación tridimensional en la velocidad de las partículas (también en otras
magnitudes intensivas, como la presión o la temperatura), que se superpone a las
componentes de la velocidad. Este es el fenómeno de la turbulencia, que origina un
fuerte intercambio de cantidad de movimiento entre las distintas capas del fluido, lo
que da unas características especiales a este tipo de flujo.
El tipo de flujo, laminar o turbulento, depende del valor de la relación entre las
fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas, es decir del llamado número de Reynolds Re:
2
(4 / ) 4
Re
/
V D VD Q D D Q
D
ρ π
μ μ ρ ν π ν
= = = = (5)
donde: ρ es la densidad del fluido, V es la velocidad media, D es el diámetro de la
tubería, μ es la viscosidad dinámica o absoluta del fluido, ν es la viscosidad cinemática
del fluido y Q es el caudal circulante por la tubería. Cuando Re 2000
< el flujo es
laminar. Si Re 4000
> el flujo se considera turbulento. Entre 2000 Re 4000
< < existe
una zona de transición.
En régimen laminar, los esfuerzos cortantes se pueden calcular de forma
analítica a partir de las ecuaciones de Navier–Stokes, y a partir de los esfuerzos
cortantes es posible obtener la distribución de velocidad en cada sección. Las pérdidas
de carga lineales hpl resultan verificar la llamada ecuación de Hagen-Poiseuille
(ecuación 6) en honor a los dos investigadores que, en la misma época pero de forma
independiente, establecieron el tipo de dependencia lineal entre la pérdida de carga y el
caudal dado por:
, laminar 2 4
32 128
pl
Lv L
h Q
g D g D
μ μ
ρ ρ π
= = (6)
Por un lado, Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (foto de la izquierda en la Figura
1) fue un físico e ingeniero hidraúlico alemán, nacido en Königsberg (Prusia) en 1797 y
muerto en 1884. Independientemente de Poiseuille, Hagen realizó en 1939 los primeros
experimentos detallados sobre flujos laminares en tubos a baja velocidad, que
posteriormente darían lugar a la ecuación (6).

El otro investigador, Jean Louis Marie Poiseuille (foto de la derecha en la
Figura 1), fue un físico y biólogo francés nacido en París en 1797 y fallecido en 1869.
Estudió física y matemáticas en la Escuela Politécnica de París, y alcanzó el grado de
doctor en 1828 con un trabajo sobre el flujo sanguíneo. En 1838 derivó
experimentalmente, y posteriormente publicó (1840) la ley que lleva su nombre
(ecuación 6).
Figura 1. Retratos de Hagen (izda.) y Poiseuille (dcha.)
En régimen turbulento, no es posible obtener analíticamente los esfuerzos
cortantes a partir de las ecuaciones de Navier–Stokes. No obstante, experimentalmente
se puede comprobar que la dependencia entre los esfuerzos cortantes y la velocidad es
aproximadamente cuadrática, lo que lleva a la ecuación de Darcy-Weisbach, en honor
a otros dos investigadores:
2
2
, turbulento 2 5
8
...
2
pl
L v f L
h f Q
D g g D
π
= = = (7)
donde f es un parámetro adimensional, denominado factor de fricción o factor de
Darcy, que en general es función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa de
la tubería: (Re, )
r
f f ε
= .
Henry Philibert Gaspard Darcy (foto de la izquierda en la Figura 2), nació en
1803 en Dijon, Francia. Con 18 años ingresó en la Escuela Politécnica de París. Tras su
graduación, ocupó varios puestos como ingeniero, y realizó experimentos sobre flujos y

pérdidas por fricción en tuberías, que constituyeron la base de la ecuación de Darcy–
Weisbach. Realizó también un nuevo diseño del tubo de Pitot, y estudió las propiedades
de los flujos en medios porosos que le condujeron a formular la famosa “Ley de
Darcy”. Falleció en 1858 en París.
Julius Ludwig Weisbach (foto de la derecha en la Figura 2), nació en 1806 en
Mittelschmiedeberg (Alemania). Trabajó con el famoso mineralista alemán Fiedrich
Mosh en Göttingen y posteriormente se trasladó a la Universidad de Viena donde cursó
estudios de física, matemáticas y mecánica. Alrededor de 1839 comenzó a interesarse
por la Hidráulica, campo en el que realizó los trabajos que le condujeron a establecer la
ecuación de Darcy – Weisbach. Murió en Freiberg, Alemania, en 1871.
Figura 2. Retratos de Darcy (izda.) y Weisbach (dcha)
En régimen laminar también es valida la ecuación de Darcy–Weisbach, si en
ella se introduce como factor de fricción al coeficiente, dependiente en exclusiva del
número de Reynolds, dado por:
laminar
64
Re
f = (8)
En régimen turbulento el factor de fricción depende, además de Re, de la
rugosidad relativa: /
r D
ε ε
= ; donde ε es la rugosidad de la tubería, que representa la

altura promedio de las irregularidades de la superficie interior de la tubería. Según
pusieron de relieve Prandtl y Von Karman, esa dependencia está determinada por la
relación entre la rugosidad y el espesor de la subcapa límite laminar, que es la zona de
la capa límite turbulenta directamente en contacto con la superficie interior de la
tubería; en esta subcapa las fuerzas viscosas son tan grandes frente a las de inercia
(debido al alto gradiente de velocidad) que el flujo en ella es localmente laminar.
Cuando el espesor de la subcapa límite laminar es grande respecto a la rugosidad, la
tubería puede considerarse lisa y el factor de fricción sólo depende del número de
Reynolds, según la expresión empírica (Prandlt, 1935):
1 2,51
2log
Re
f f
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(9)
Para números de Reynolds grandes (régimen turbulento completamente
desarrollado) la importancia de la subcapa límite laminar disminuye frente a la
rugosidad, y el coeficiente de fricción pasa a depender sólo de la rugosidad relativa
(Von Karman, 1938):
1
2log
3,7
r
f
ε
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(10)
Colebrook y White (1939) combinaron las ecuaciones de Von Karman y de
Prandtl, y propusieron una única expresión para el factor de fricción que puede
aplicarse en todo el régimen turbulento:
1 2,51
2log
3,7 Re
r
f f
ε
⎛ ⎞
= − +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(11)
Esta ecuación tiene el inconveniente de que el factor de fricción no aparece en
forma explícita, y por tanto es necesario efectuar un cálculo iterativo para su
resolución. Para facilitar su uso, tradicionalmente se ha empleado el llamado diagrama
de Moody (Figura 3), en el que se representa sobre escalas logarítmicas a las
soluciones de la ecuación de Colebrook-White, en forma de curvas de dependencia
entre el coeficiente de fricción y el número de Reynolds para varios valores fijos de la
rugosidad relativa. Como era de esperar, para valores altos del número de Reynolds las
curvas tienden a hacerse horizontales, es decir, el coeficiente de fricción deja de
depender del propio número de Reynolds y pasa a ser función solamente de la
rugosidad relativa. Por otra parte, para valores del número de Reynolds por debajo de
aproximadamente 4000, es decir, en la zona de régimen laminar, el coeficiente de
fricción no depende de la rugosidad y por tanto el diagrama muestra una única línea en
esa zona, que se corresponde con la ecuación (8); en el diagrama de Moody esa línea es
una recta, debido a las escalas logarítmicas empleadas para ambos ejes.

Figura 3. Diagrama de Moody: coeficiente de fricción en función del número de
Reynolds para distintos valores de rugosidad relativa
3.1.3. Pérdidas singulares
Las pérdidas singulares son las producidas por cualquier obstáculo colocado en
la tubería y que suponga una mayor o menor obstrucción al paso del flujo: entradas y
salidas de las tuberías, codos, válvulas, cambios de sección, etc. Normalmente son
pequeñas comparadas con las pérdidas lineales, salvo que se trate de válvulas muy
cerradas. Para su estimación se suele emplear la siguiente expresión:
2
2
2 4
8
...
2
ps
v
h Q
g g D
ξ ξ
π
= = = (12)
donde hps es la pérdida de carga en la singularidad, que se supone proporcional a la
energía cinética en valor promedio del flujo; la constante de proporcionalidad, ξ , es el
denominado coeficiente de pérdidas singulares.
Otra forma de cálculo consiste en considerar el efecto de las perdidas singulares
como una longitud adicional de la tubería. Por comparación de las ecuaciones (7) y
(12), la longitud equivalente se relaciona con el coeficiente de pérdidas singulares
mediante:

e
D
L
f
ξ
= (13)
Figura 4. Nomograma para la estimación de la longitud equivalente de distintos tipos
de elementos singulares

En la práctica se suelen emplear nomogramas, como el de la Figura 4, que
permiten estimar las longitudes equivalentes para los casos de elementos singulares
más comunes, en función del diámetro de la conducción. Para su aplicación se ha de
trazar una recta desde el punto correspondiente al componente de interés hasta la escala
vertical de la derecha, que corresponde al diámetro del conducto. El punto de corte de
esa recta con la escala central proporciona sin más la longitud equivalente buscada. En
realidad, la longitud equivalente también puede depender en alguna medida de la
rugosidad (y no solo del diámetro), pero este efecto suele ser pequeño y no se
contempla en estos nomogramas.
3.2. MEDIDAS DE PRESIÓN
La presión hidrostática proporciona la presión relativa a una profundidad dada,
en una masa continua de fluido en reposo, como función de la densidad del fluido y de
la profundidad a la que se encuentra. Este resultado es lo que se conoce como ecuación
fundamental de la hidrostática, que exponemos a continuación.
Consideremos entonces un elemento de fluido situado a una profundidad h bajo
la superficie libre, como se muestra en la Figura 5, sobre el cual actúa la presión de
referencia.
Planteando la expresión de equilibrio para el elemento de fluido considerado, se
tiene que:
0
dp
pA p h A gA h
dh
δ ρ δ
⎛ ⎞
− + + =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(14)
o lo que es lo mismo:
dp
g
dh
ρ
= (15)
Para un fluido incompresible, la densidad es constante, y la ecuación (15) puede
integrarse respecto a la profundidad h, obteniéndose entonces:
p gh
ρ
= (16)
que es la ecuación fundamental de la hidrostática para un fluido incompresible.
La presión que aparece en la expresión (16) es la presión manométrica o
presión relativa a la presión de referencia de la superficie libre p0, que muy a menudo

coincide con la presión atmosférica. La presión absoluta a una profundidad h viene
dada por:
absoluta 0 relativa 0
p p p p gh
ρ
= + = + (17)
Figura 5. Elemento de fluido a profundidad h.
Los instrumentos de medida de la presión manométrica se denominan
manómetros. Según la naturaleza de la presión de medida, los manómetros pueden
clasificarse:
• Instrumentos que miden la presión atmosférica: barómetros.
• Instrumentos que miden una presión relativa a la atmosférica:
manómetros, si miden presiones relativas positivas (sobrepresiones), o
vacuómetros, si miden presiones relativas negativas (depresiones).
• Instrumentos para medir diferencias de presiones: manómetros
diferenciales.
A continuación veremos como se determina la presión con algunos de los
manómetros más comunes, dos de los cuales, manómetro diferencial de mercurio y
manómetro diferencial en U invertida, se emplean en esta práctica.
3.2.1. Manómetro en U simple
Este tipo de manómetro se emplea para medir presiones relativas a la presión
atmosférica. Consideremos el manómetro en U sencillo de la Figura 6, conectado por
medio de un pequeño orificio a un tubo que contiene un fluido con densidad ρ1 a
presión pA que es la que deseamos medir. Suponemos que el extremo abierto del tubo
en U se encuentra a la presión atmosférica.
h
δh
pA
A
gA h
ρ δ dp
p h A
dh
δ
⎛ ⎞
+
⎜ ⎟
⎝ ⎠

Figura 6. Manómetro en U simple.
Aplicando la ecuación hidrostática (ecuación 17) entre los puntos A y B,
obtenemos:
( )
1 1 2 2 2 2 1 1
A B A atm
p gh gh p p p g h h
ρ ρ ρ ρ
+ − = ⇒ − = − (18)
De esta forma queda determinada la presión del fluido, con respecto a la
atmosférica, en el punto A deseado.
3.2.2. Manómetro diferencial de mercurio.
Este tipo de manómetro se emplea para medir diferencias de presiones entre dos
puntos de una instalación situados a la misma altura geométrica. Consideremos el
manómetro diferencial de mercurio de la Figura 7.
Aplicando la ecuación de la hidrostática (17) entre los puntos A y B, se obtiene:
A
B
patm
h1
h2

( )
1 2 2 1
2
A Hg B
A B Hg
p gh gh gh gh p
p p gh
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ
− − + + = ⇒
⇒ − = −
(19)
donde en este caso ρ es la densidad del agua, ρHg es la densidad del mercurio y h2 es la
diferencia de altura entre las dos columnas del manómetro. De este modo queda
determinada la diferencia de presión entre dos puntos A y B de una instalación situados
a la misma altura.
Figura 7. Manómetro diferencial de mercurio.
3.2.3. Manómetro en U invertida
Este tipo de manómetro se emplea también para medir diferencias de presiones
entre dos puntos de una instalación situados a la misma altura, al igual que el
manómetro diferencial de mercurio. Considérese el manómetro en U invertida que
aparece en la Figura 8, y con el que se quiere medir la diferencia de presiones entre dos
puntos A y D de una instalación, situados a la misma altura geométrica.
Aplicando la ecuación de la hidrostática (17) entre los puntos A y D, situados a
la misma altura, se obtiene que:
A B
h1
h2

( )
1 1 2 2 1 3
1 1 2 2 1 3
A D
A D
p gh gh gh p
p p g h h h
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
− + + = ⇒
⇒ − = − −
(20)
De este modo se puede determinar la diferencia de presión entre dos puntos de
la instalación. Específicamente, en el manómetro de que se dispone en esta práctica, la
densidad ρ1 es la densidad del agua y la densidad ρ2 es la densidad del aire.
Figura 8. Manómetro en U invertida.
laboratorio de Hidráulica de la E.T.S. de Ingenieros de Minas. En la Figura 9 se
muestra una fotografía del banco de ensayos preparado con fines docentes, que
contiene muchos de los elementos típicos que se suelen encontrar en un sistema de
bombeo o ventilación real.
Como se observa en la Figura 9, la instalación consta de seis tuberías
horizontales, que en lo que sigue denotaremos como tubería 1, tubería 2, etc., contando
a partir de la tubería superior. Las tuberías 5 y 6 tienen incorporados diversos
h1
h2
h3
A D

elementos singulares y están orientadas al estudio de las pérdidas de carga singulares,
mientras que el resto de tuberías no incorporan ningún elemento singular y están
orientadas al estudio de las pérdidas de carga lineales.
Figura 9. Banco de ensayos de pérdidas de carga en tuberías.
Los principales elementos que se encuentran montados en el banco de ensayos
son:
a) Tuberías: son de distintos diámetros y de materiales con diferentes
rugosidades, con vistas a determinar su efecto sobre los factores de fricción.
b) Válvulas: las hay de varios tipos, como por ejemplo, compuerta, esfera y
mariposa. Su misión es, en unos casos, abrir o cerrar el paso del fluido por los
diferentes tramos, y en otros, regular el caudal circulante. En la Figura 10
aparecen dos fotografías de válvulas.
c) Bomba: se trata de una bomba centrífuga que proporciona la energía necesaria
para que el fluido recircule por la instalación. Como se trata de un circuito
cerrado, la energía suministrada por la bomba termina por disiparse
íntegramente a lo largo de los elementos del sistema.
d) Elementos singulares: existen en la instalación ciertos elementos que
provocan pérdidas singulares. En algunos casos son elementos necesarios,
como codos, válvulas, uniones en T, etc., y en otros se han incluido con fines

docentes para determinar la pérdida singular que producen, como por ejemplo
la placa orificio y el tubo Venturi.
Figura 10. Detalle de una válvula de compuerta (izda.) y una de bola (dcha.) en
el banco de ensayos
e) Depósitos para la medida del caudal. En esta práctica, el caudal se determina
mediante un método volumétrico. Se dispone de dos depósitos rectangulares,
uno más pequeño y otro más grande para la medida de caudales elevados,
cuyas secciones se determinan geométricamente. Cada uno de los depósitos
dispone de una escala graduada en altura que permite, junto con las secciones,
determinar el volumen de fluido. Midiendo mediante un cronómetro el tiempo
que el fluido tarda en alcanzar un determinado volumen, se obtiene el flujo
volumétrico que circula por la instalación. Además de los depósitos, la placa
orificio puede calibrarse y utilizarse como medidor del caudal, y lo mismo
ocurre con el tubo Venturi. En la Figura 11 aparecen fotografías de los
depósitos y la placa orificio.
f) Manómetro diferencial de mercurio y manómetro en U invertida: ambos
dispositivos, como puede apreciarse en la Figura 9, se encuentran montados
en el banco de ensayos para medir las diferencias de presiones entre dos
puntos. El funcionamiento de estos manómetros ha sido explicado en la
introducción teórica.
A lo largo de toda la práctica el caudal se determina mediante los depósitos
dispuestos para tales efectos. La pérdida de carga puede medirse mediante el

manómetro diferencial o mediante el manómetro en U invertida, dependiendo del valor
de las pérdidas de carga. Si éstas son pequeñas, se encontrarán dentro del rango de
medidas del manómetro en U invertida, pero cuando son algo mayores, dicho
manómetro no tendrá la suficiente sensibilidad para medir las pérdidas y será necesario
emplear el manómetro diferencial de mercurio.
Figura 11. Detalle de la placa orificio (izda.) y depósitos de medida del caudal (dcha.).
Si se utiliza el manómetro diferencial de mercurio, la pérdida de carga en metros
de columna de agua (que es el líquido que circula por la instalación) entre dos
secciones situadas a la misma cota geométrica, viene dada por:
1000
Hg agua
p
agua
h
h
ρ ρ
ρ
− Δ
= (21)
donde h
Δ es la diferencia de alturas entre las dos columnas del manómetro en mm. En
cambio, si se utiliza el manómetro en U invertida, la pérdida de carga en metros de
columna de agua entre dos secciones de la instalación situadas a la misma cota
geométrica, viene dada por:
1000
p
h
h
Δ
= (22)

siendo de nuevo h
Δ la diferencia de altura entre las dos columnas del manómetro en
mm.
El objetivo fundamental de esta práctica es el estudio de las pérdidas de carga
que se producen en una instalación de bombeo, incluyendo tanto las pérdidas de carga
lineales en conductos rectos como las pérdidas de carga generadas por elementos
singulares.
3.4.1. Variación de la pérdida de carga con el caudal
En este primer apartado de la práctica se pretende medir la pérdida de carga
entre dos secciones de la instalación para diferentes valores del caudal circulante. En
concreto, se pretende estudiar la variación de la pérdida de carga frente al caudal para
las tuberías 1, 2, 3 y 4. Según se ha visto en la introducción teórica, la relación entre la
pérdida de carga y el caudal, será lineal si el flujo es laminar, y aproximadamente
parabólica si el flujo es turbulento. No obstante, la observación de la ecuación (7) pone
de manifiesto que la pérdida de carga depende del caudal y del factor de fricción, y a su
vez, el factor de fricción puede depender del caudal. Por lo tanto, a priori, únicamente
sabemos que la relación entre la pérdida de carga y el caudal es de la forma:
n
p
h k Q
≈ (23)
donde k es una constante. El objetivo de este apartado es determinar a partir de los
datos experimentales, los valores de k y n.
Para cada una de las tuberías antes indicadas, deben realizarse mediciones de la
pérdida de carga entre dos secciones, para distintos valores del caudal, representando
gráficamente los resultados. A continuación, debe realizarse un ajuste de los datos
representados. Para ello, se puede linealizar la ecuación (23) tomando logaritmos
decimales a ambos lados de la igualdad:
log log log
p
h k n Q y a nx
= + ⇒ = + (24)
siendo:
log ; log ; log
p
y h x Q a k
= = = (25)

El problema se reduce entonces a determinar a y n. Llamando log
i i
x Q
= e
log i
i p
y h
= , los coeficientes del ajuste por mínimos cuadrados de la recta y a nx
= + ,
son:
1 1 1
1 1
2
2
1 1
;
N N N
N N
i i i i
i i
i i i
i i
N N
i i
i i
N x y x y
y n x
a n
N
N x x
= = =
= =
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞
−
− ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
= =
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
(26)
donde N es el número de puntos experimentales medidos. De este modo, se obtiene la
regresión lineal de los datos.
Se habrán de señalar las características observadas en cada representación
gráfica: tipo de régimen de flujo, laminar o turbulento, etc.
3.4.2. Pérdidas lineales y rugosidad
En este apartado se pretende calcular la rugosidad de las tuberías de la
instalación. Para ello, es necesario medir la pérdida de carga que se produce entre dos
puntos de una tubería separados cierta distancia sin que exista entre ellos ningún
elemento singular. Con los valores del caudal y de la pérdida de carga, se puede
calcular el valor del coeficiente de fricción f dado por la ecuación de Darcy–Weisbach.
A continuación, haciendo uso de los valores del coeficiente de fricción f y del número
de Reynolds, que se puede obtener a partir del caudal, se calcula la rugosidad relativa
de la tubería. Para el cálculo de la rugosidad relativa pueden emplearse dos opciones:
resolver la ecuación de Colebrook o emplear el diagrama de Moody. Una vez obtenido
el valor de la rugosidad relativa, es inmediato obtener el valor de la rugosidad absoluta.
El valor de la viscosidad cinemática del agua, necesario para calcular el número de
Reynolds, es aproximadamente 10-6
m2
/s.
El procedimiento que acaba de describirse, debe aplicarse para calcular las
rugosidades de las tuberías 1, 2, 3 y 4, indicando en cada caso el valor de la rugosidad
que se obtiene mediante la ecuación de Colebrook y el que se obtiene mediante el
diagrama de Moody. Los resultados deben presentarse en forma de tabla en el informe
posterior.
3.4.3. Pérdidas singulares.
En este apartado se pretende medir las pérdidas de carga que producen ciertos
elementos singulares presentes en la instalación: codos, válvulas, etc. Como en este
caso el caudal es conocido, mediante la ecuación (12) se puede calcular el coeficiente

de pérdidas singulares, teniendo en cuenta que la velocidad promedio que se emplea
para obtener dicha ecuación es la velocidad a la entrada de la singularidad, y por tanto,
el diámetro que debe tomarse es el de la propia entrada a la singularidad. Si la
rugosidad de la tubería es conocida, puede calcularse también la longitud equivalente
mediante la ecuación (13) y comparar el valor así obtenido con el que proporciona el
nomograma del Anexo II.
El procedimiento anterior debe aplicarse para calcular los coeficientes de
pérdidas singulares de, al menos, dos válvulas y dos codos de la instalación, y los
resultados deben presentarse en forma de tabla.
3.4.4. Calibración del Venturi y la placa orificio
En este apartado se propone realizar la calibración de los otros dos medidores
de caudal presentes en la instalación: el tubo Venturi y la placa orificio. La relación
entre la pérdida de carga singular que producen estos elementos y el caudal, es
cuadrática, es decir, 2
p
h Q
∝ . La calibración del Venturi y la placa orificio consiste en
la obtención de la constante de proporcionalidad entre la pérdida de carga que se
produce en el fluido cuando pasa a través de ellos y el cuadrado del caudal de fluido
circulante.
Para ello es necesario medir la pérdida de carga en la placa orificio y el Venturi,
para varios valores del caudal, y representar gráficamente los resultados. El ajuste de la
curva experimental mediante una regresión lineal, proporciona la calibración requerida.
De este modo, se dispone ya de dos medidores de caudal nuevos en la instalación.

4. VISUALIZACIÓN DE FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO 47
Práctica nº 4 :
VISUALIZACIÓN DE FLUJOS LAMINAR Y
TURBULENTO
4.1. INTRODUCCIÓN
El objetivo de esta práctica es observar las características de los regímenes de
flujo laminar y turbulento en un conducto, así como la transición entre ambos,
reproduciendo el experimento original de Osborne Reynolds, y estudiando el efecto de
los parámetros de dependencia.
4.1.1. Experimento de Osborne Reynolds.
Osborne Reynolds, cuyo retrato aparece en la Figura 1, nació en Belfast (Gran
Bretaña) en 1842. En su etapa más temprana, su educación estuvo a cargo de su padre,
quien además de ser un excelente matemático, estaba interesado en la Mecánica.
Osborne Reynolds demostró pronto sus aptitudes para la Mecánica y a la edad de 19
años comenzó a trabajar con Edward Hayes, un conocido inventor e ingeniero
mecánico. Al cabo de un año decidió ingresar en Cambridge, donde se graduó con
honores en 1867 y fue inmediatamente elegido miembro del Queens’ College. En 1868
consiguió ser admitido en lo que posteriormente se convertiría en la Universidad
Victoria de Manchester, donde permaneció como profesor hasta 1905. Falleció en 1912
a la edad de 69 años.

La investigación científica de Osborne Reynolds cubrió un amplio abanico de
fenómenos físicos y de ingeniería, y estableció los fundamentos de muchos trabajos
posteriores sobre flujos turbulentos, modelización hidráulica, transferencia de calor y
fricción. Sus estudios sobre el origen de la turbulencia constituyen un clásico en la
Mecánica de Fluidos, como se deduce a partir del uso general hoy en día de términos
tales como número de Reynolds, tensiones de Reynolds y ecuaciones de Reynolds.
Figura 1. Retrato de Osborne Reynolds en 1904.
Figura 2. Fotografía del Tanque de Reynolds.

Entre sus mayores logros figuran sus ensayos de visualización de los flujos
laminar y turbulento en conductos, y su análisis sobre los parámetros de dependencia
de la transición a régimen turbulento, los cuales fueron publicados por vez primera en
1883, en una revista científica. La fotografía de la Figura 2 y el esquema de la Figura 3
muestran el tanque en que Reynolds llevó a cabo sus ensayos, el cual se conserva en la
actualidad en la Universidad de Manchester, aún en estado operativo.
Figura 3. Esquema del Tanque de Reynolds.
Para visualizar las características de los flujos laminar y turbulento, Reynolds
empleó un colorante inyectado en una corriente de agua. Según muestra la instalación
de la Figura 3, del interior del tanque de Reynolds (que está elevado respecto al suelo),
parte un conducto transparente horizontal que, ya fuera del tanque, va conectado a una
tubería descendente de desagüe. Debido al desnivel entre la superficie libre del tanque
y el desagüe, por esta conducción circula agua. Al final de la tubería hay una válvula de
regulación para controlar el caudal de agua desalojado (es decir, la velocidad de la
corriente).

En ese dispositivo, el agua se introduce en el conducto horizontal a través de
una boquilla o embudo, con el objeto de facilitar una circulación del agua muy regular.
En la zona de la boquilla se encuentra el inyector de colorante, alimentado desde un
pequeño depósito exterior a través de una manguera.
Figura 4. Fotografías de los diferentes regímenes de flujo observados en
el Tanque de Reynolds
Para el tipo de movimiento correspondiente a flujo por un conducto de sección
circular, se puede obtener una solución analítica suponiendo flujo estacionario, simetría
axial e imponiendo equilibrio entre las fuerzas de presión y las fuerzas viscosas. La

solución así obtenida, que refleja una distribución de velocidad de tipo parabólico
respecto a la posición radial, es la conocida ecuación de Hagen-Poiseuille. En este
movimiento, que es estacionario, las líneas de corriente coinciden con las trayectorias
de las partículas de fluido, así como con las líneas de traza de las partículas de
colorante en el ensayo de Reynolds, y no son sino rectas paralelas al eje del conducto.
Sin embargo, Reynolds observó que dicho movimiento, estable y regular, sólo
existe si la velocidad del flujo es suficientemente pequeña o bien si el diámetro del tubo
es suficientemente pequeño para un caudal dado. Bajo estas circunstancias, el colorante
forma una línea de corriente bien definida cuyo contorno muestra que sólo existe una
pequeña difusión en la dirección radial, debida al transporte molecular. Además,
cualquier perturbación que aparezca en el flujo es amortiguada rápidamente. Este
movimiento es el denominado laminar.
Por el contrario, si la velocidad es lo suficientemente grande, el movimiento del
fluido se hace muy sensible a cualquier perturbación, las cuales se amplifican
rápidamente. El flujo se hace entonces irregular y pierde su carácter estacionario. El
grosor del colorante crece rápidamente, el contorno se difumina y toma una forma
irregular hasta que aguas abajo se convierte en una nube. Este movimiento es el
denominado turbulento. En la Figura 4 se muestran los diferentes regímenes de flujos
observados en el Tanque de Reynolds.
Reynolds descubrió que la existencia de uno u otro tipo de flujo depende del
valor que toma una agrupación adimensional de variables relevantes del flujo,
parámetro al que se denomina en su honor como número de Reynolds. Siendo v la
velocidad media del flujo (caudal/área transversal del conducto), D el diámetro y ν la
viscosidad cinemática del fluido, se define el número de Reynolds, designado como Re,
como:
Re
vD
ν
= (1)
En todos los flujos existe un valor de este parámetro para el cual se produce la
transición de flujo laminar a flujo turbulento, habitualmente denominado número de
Reynolds crítico. Generalmente para flujo en tubos se establecen los siguientes valores
críticos del número de Reynolds:
• Si Re < 2000, el flujo es laminar.
• Entre 2000 < Re < 4000 existe una zona de transición de flujo laminar a
turbulento.
• Si Re > 4000 el flujo es turbulento.

4.1.2. Características generales de los flujos laminares y turbulentos
Cuando entre dos partículas en movimiento existe gradiente de velocidad, es
decir, cuando una se mueve más rápido que la otra, se desarrollan fuerzas tangenciales
que se oponen al desplazamiento relativo entre ambas partículas, es decir, se oponen a
la deformación del medio: estas fuerzas son las fuerzas viscosas, que son
proporcionales al gradiente de velocidad y a la viscosidad dinámica del fluido (Ley de
Newton). Un efecto de la existencia de gradientes de velocidad es que, alrededor de
cada partícula, se produce una rotación relativa de las partículas del entorno,
movimiento al que también se oponen las fuerzas viscosas.
Dependiendo del valor relativo de las fuerzas viscosas respecto a la cantidad de
movimiento del fluido (es decir, respecto a las fuerzas de inercia) se pueden producir
diferentes estados de flujo:
ƒ Cuando el gradiente de velocidad es acusado, pero las velocidades bajas en
valor promedio (por ejemplo en las zonas de capa límite adyacentes a un contorno
rígido o en el flujo por una tubería a baja velocidad), las fuerzas viscosas predominan
sobre las de inercia. En este caso el movimiento está controlado por las fuerzas viscosas
de cohesión de unas partículas con otras, que impiden que pueda haber cambios
bruscos de posición relativa. Cualquier perturbación impuesta sobre el flujo principal es
rápidamente atenuada por las fuerzas viscosas, y el resultado final es un movimiento en
el que las partículas siguen trayectorias definidas: todas las partículas que pasan por un
determinado punto en el campo de flujo siguen la misma trayectoria. Este es pues el
tipo de flujo denominado laminar (pues las partículas se desplazan en forma de capas o
láminas).
ƒ Cuando se tiene un gradiente de velocidad pero con zonas de alta velocidad,
las fuerzas viscosas pierden valor relativo respecto a las fuerzas de inercia. En estas
condiciones una perturbación que altere puntualmente el equilibrio entre la rotación
relativa alrededor de cada partícula y la deformación propiamente dicha ya no logra ser
atenuada por las fuerzas viscosas, sino que crece y da origen a un remolino arrastrado
por la corriente. A su vez la presencia de un remolino supone nuevos gradientes de
velocidad, por lo que a partir de ese remolino se pueden originar otros remolinos de
tamaño más pequeño. El proceso de generación de nuevos remolinos de menor escala
finaliza al alcanzar tamaños en los que los gradientes de velocidad asociados (que
crecen al disminuir la escala de los remolinos) se corresponden con fuerzas viscosas
dominantes sobre las de inercia; estas escalas de tamaño mínimo reciben el nombre de
escalas de Kolmogorov, tras los trabajos del científico ruso Andrei Nikolaevich
Kolmogorov (Figura 5) publicados en 1941. Así pues el flujo pasa a estar compuesto
por un movimiento en la dirección principal más una sucesión de remolinos de distintas
escalas superpuestos entre sí, de modo que cada partícula ya no realiza una trayectoria
rectilínea, sino que su rumbo se ve continuamente alterado por la sucesión de
remolinos. Este es el tipo de flujo denominado turbulento.

Figura 5. Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987)
En la Figura 6 se muestran visualizaciones de chorros turbulentos. Al contrario
que la viscosidad o la densidad, la turbulencia no es una propiedad del fluido, sino del
flujo. Como características más destacables de los movimientos turbulentos se tienen:
• Irregularidad: se manifiesta en la aparición de fluctuaciones en las distintas
variables fluidodinámicas (velocidad, presión, temperatura) de amplitud y tiempos
muy dispares (diferentes escalas de los remolinos). Por tanto un flujo turbulento es
intrínsecamente no estacionario, aunque el valor promedio de las variables en cada
posición (o el caudal por una tubería) no cambien a lo largo del tiempo. A pesar de
ser un fenómeno determinista, las fluctuaciones de la turbulencia parecen caóticas y
arbitrarias, lo que justifica el uso de métodos estadísticos para su estudio.
• Tridimensionalidad: pueden existir flujos turbulentos que al ser promediados en el
tiempo, resulten ser bidimensionales (planos), incluso pueden existir movimientos
turbulentos en los que las escalas más grandes de la turbulencia sean
fundamentalmente bidimensionales. Sin embargo, a medida que se desciende en el
tamaño de las escalas dentro del amplio espectro que caracteriza a la turbulencia, se
encuentra que el movimiento asociado a estas escalas pequeñas es siempre
tridimensional.
• Difusividad: los fenómenos de transporte de masa, cantidad de movimiento y
energía, se ven notablemente amplificados por el efecto de la turbulencia. En realidad
la turbulencia conlleva una mezcla continua de las partículas del flujo, con lo que lo

que los mecanismos de transporte por difusión se ven reforzados por el transporte
convectivo por turbulencia.
Figura 6. Detalles de dos chorros turbulentos.
• Disipación: los flujos turbulentos son siempre disipativos. Una vez que se ha
desarrollado el flujo turbulento, la turbulencia tiende a mantenerse, pero para ello se
necesita un aporte continuo de energía. Esta energía es extraída desde el flujo
principal hacia los remolinos de mayor tamaño y a continuación se va transfiriendo
sucesivamente hacia los remolinos de escalas más pequeñas. Finalmente, en las
escalas de Kolmogorov, la energía asociada a las fluctuaciones turbulentas se
transforma en energía interna (es decir, en calor), debido al trabajo de las fuerzas
viscosas. La distribución de energía entre las distintas escalas de la turbulencia es
conocida como cascada de energía.
• Altos números de Reynolds: la turbulencia se origina como una inestabilidad de
flujos laminares, ante cualquier perturbación inicial. Del análisis de la estabilidad de
soluciones de flujos laminares, se evidencia que la solución se hace inestable a partir
de un cierto valor del número de Reynolds, o valor crítico, el cual depende del tipo de

aplicación. Sin embargo es posible mantener flujos laminares por encima del
Reynolds crítico si en el entorno se aseguran unas condiciones absolutamente libres
de perturbación, por ejemplo con una cimentación independiente que impida la
transmisión de vibraciones a la instalación con el flujo bajo estudio.
En definitiva, la turbulencia es un fenómeno complejo gobernado por las
ecuaciones de la Mecánica de Fluidos para un medio continuo, puesto que incluso las
escalas más pequeñas que aparecen en un flujo turbulento, las de Kolmogorov, están
muy lejos de las escalas de longitud molecular. Sin embargo su solución analítica
resulta inviable, y se recurre a correlaciones empíricas.
4.2 DESCRIPCIÓN DEL BANCO DE ENSAYO
laboratorio de Hidráulica de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo, cuya
fotografía y esquema se muestran en la Figura 7:
Figura 7. Fotografía y esquema del dispositivo experimental.

El dispositivo experimental consta de dos depósitos de cristal, de los cuales el
más pequeño está contenido en el mayor. El depósito grande contiene agua que
inicialmente debe estar en reposo para evitar la introducción de turbulencia en el flujo.
El depósito pequeño contiene un colorante fuerte (permanganato potásico en este caso)
que se inyecta en el depósito lleno de agua mediante un tubo terminado en una
boquilla. Un tubo vertical de vidrio permite la visualización del hilo de colorante.
En la parte inferior del dispositivo existe una válvula que permite regular el
caudal de flujo que circula por la instalación, es decir, permite establece una u otra
velocidad de salida del agua. Dependiendo de la velocidad de circulación del agua, el
hilo de colorante se observará con mayor o menor nitidez. Cuando la velocidad del
agua sea muy baja, el hilo de colorante será perfectamente nítido, hecho indicativo de
que se está en un régimen de flujo laminar, como se observa en la Figura 8 (a). Si la
velocidad del agua aumenta, comienza a perderse la nitidez del hilo de colorante
(régimen de flujo de transición), como se observa en la Figura 8 (b). Finalmente,
cuando se continúan aumentando las velocidades de circulación del agua, llega un
momento en que el hilo de colorante se rompe completamente, alcanzándose entonces
el régimen de flujo turbulento, como se observa en la Figura 8 (c).
Figura 8. Detalle de las distintas formas del hilo de colorante en
el tubo de visualización del flujo.
En el dispositivo experimental, el caudal se determina mediante un método
volumétrico, es decir, se dispone de un recipiente calibrado en volumen, de modo que
la medida mediante un cronómetro del tiempo que se tarda en alcanzar un determinado
volumen de agua, proporciona el caudal (volumen / tiempo). Conocido el caudal, ya se
puede determinar sin más la velocidad del agua que circula por la instalación teniendo
en cuenta que el diámetro del tubo de vidrio para visualización del flujo es de 13 mm.
Se dispone también de un termómetro en el depósito de agua que permite
establecer la temperatura del agua contenida en el mismo. Este dato es necesario puesto

que la viscosidad cinemática del agua, necesaria para calcular el número de Reynolds,
varía con la temperatura. Suponemos que la temperatura del agua se mantiene constante
a lo largo de todo el experimento. En la Tabla I aparecen valores de las viscosidades
cinemáticas del agua para algunas temperaturas. Si la temperatura obtenida para el agua
en el depósito no coincide con ninguna de las de la Tabla I, deberá realizarse una
interpolación entre los valores más próximos.
Tabla I. Viscosidades cinemáticas del agua en función de la temperatura
Temperatura (ºC) 5 10 15 20 25 30
Viscosidad (mm2
/s) 1.52 1.308 1.142 1.007 0.897 0.804
La práctica se desarrollará según los siguientes pasos:
4.3.1. Visualización de los diferentes regímenes de flujo.
La primera parte de la práctica consiste en la visualización de los diferentes
regímenes de flujo que experimenta el agua que circula por el tubo de vidrio del
dispositivo experimental.
Para ello, es necesario establecer una velocidad de circulación del agua en el
experimento, o lo que es lo mismo establecer un caudal de agua circulante. Se dispone
de una válvula cuya mayor o menor apertura permite controlar el caudal de agua
circulante por la instalación. Debe comenzarse con un caudal lo más bajo posible y se
va aumentando el caudal poco a poco. Como mínimo será necesario tomar diez
caudales diferentes. Para cada uno de los caudales, cuando el flujo se estabilice, se
inyecta el colorante del depósito pequeño en el depósito grande a través de la boquilla,
y se observan en el tubo de vidrio las formas que se desarrollan.
En el informe debe hacerse una exposición detallada de las peculiaridades
observadas para cada caudal, el régimen de flujo en que se encuentra el agua, etc.
4.3.2. Determinación del número de Reynolds
Mediante el termómetro introducido en el depósito lleno de agua, se
determinará la temperatura del agua que circula por la instalación, y suponiendo que se
mantiene constante, se establecerá la viscosidad cinemática del agua que se empleará a
lo largo del experimento, a partir de los datos de la Tabla I.

Para cada caudal de agua circulante por la instalación deberá determinarse la
velocidad del agua en el tubo de vidrio, teniendo en cuenta que el diámetro del mismo
es de 13 mm. A continuación se obtendrá el número de Reynolds a partir de la
expresión (1). Del valor obtenido para el número de Reynolds, podrá indicarse el
régimen de flujo que correspondería al caudal circulante. Se habrá de verificar que
coincide con el régimen observado en el ensayo, según las propiedades mostradas por
el hilo de colorante. En caso de observarse paso a régimen turbulento, se tomará
medida de la distancia entre la zona de comienzo de la transición y el borde de entrada
al conducto.
Este proceso debe repetirse como mínimo para diez valores diferentes del
caudal, que se regularán mediante una mayor o menor apertura de la válvula situada en
la parte inferior del dispositivo experimental. Con los resultados experimentales se
determinará el número de Reynolds crítico para el cual el flujo pasa de laminar a
turbulento. Este valor se habrá de comparar con el número de Reynolds crítico
considerado habitualmente. Así mismo se estudiará la dependencia entre la distancia al
punto de transición a flujo turbulento y el número de Reynolds.
4.3.3. Cálculo del factor de fricción
Para cada uno de los caudales de agua circulante que se establezcan en el
experimento, debe calcularse el factor de fricción del tubo de vidrio. Como sabemos,
dicho factor de fricción va a depender del número de Reynolds y de la rugosidad
relativa de la tubería, y se calcula de manera diferente dependiendo de que exista
régimen laminar o turbulento.
En régimen laminar, el factor de fricción sólo depende del número de Reynolds,
y se calcula a partir de la ecuación de Poiseuille:
64
Re
f = (2)
En régimen turbulento, el factor de fricción dependerá además de la rugosidad
relativa de la tubería. No obstante, por tratarse en este caso de una tubería de vidrio,
puede considerarse que la tubería es lisa, y el factor de fricción de la misma puede
calcularse mediante la fórmula de Blasius:
0.25
0.316Re
f −
= (3)
En el informe se habrá de exponer en forma de tabla y gráficamente los factores
de fricción obtenidos para cada caudal y el número de Reynolds correspondiente a los
mismos.

5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 59
Práctica nº 5 :
DESCARGA POR UN ORIFICIO
5.1. INTRODUCCIÓN
5.1.1. Objeto
Los medidores del caudal circulante por tuberías más simples (y no por ello
menos fiables) son los que están basados en la imposición de un estrechamiento en el
conducto, y en la medida de la correspondiente caída de presión. Esta diferencia de
presión se relaciona fácilmente con el caudal circulante mediante las ecuaciones de
continuidad y de Bernoulli, como ya se comprobó en la práctica número 2 de esta serie
para el caso de caudalímetros de tubo Venturi y de placa orificio. Sin embargo el
caudal así obtenido ha de ser corregido mediante un coeficiente de derrame, Cd, que
tenga en cuenta que en el flujo real hay una pérdida de carga (mientras que la ecuación
de Bernoulli presupone fluido no viscoso o ideal) y que la sección de paso efectiva por
la zona estrecha se ve algo reducida por el efecto denominado de vena contracta. Estos
dos efectos se cuantifican respectivamente mediante los llamados coeficientes de
velocidad, Cv, y coeficiente de contracción, Cc.
El objeto de la presente práctica es el de visualizar y cuantificar la incidencia de
esos dos fenómenos sobre el flujo a través de este tipo de medidores. Sin embargo, para
facilitar el estudio, se contemplará el caso particular de un orificio directamente
practicado sobre la pared de un depósito con fluido a presión (agua). Se probarán
distintas geometrías de orificio, y, en cada caso, se compararán los caudales ideales y

reales, además de otras variables, para obtener los correspondientes valores de los
coeficientes de velocidad, contracción y derrame.
5.1.2. Flujo por un orificio en la pared de un tanque
Supóngase un orificio de pequeña sección sobre la pared lateral de un tanque
con fluido a presión en el interior, por ejemplo con agua con la superficie libre a una
cierta altura por encima del orificio, como se muestra en la Figura 1.
Figura 1. Líneas de corriente en la descarga de un chorro desde un depósito por
un orificio. Do= diámetro del orificio. Dvc= diámetro de la vena contracta.
Debido a la presión interior, por el orificio se producirá una descarga de agua,
tanto mayor cuanto mayor sea el tamaño del orificio, en la dirección perpendicular a la
pared. Lógicamente el fluido sale a través de toda la sección del orificio, pero en
realidad la dirección de la velocidad en cada posición es distinta. En efecto, la forma de
las líneas de corriente por el interior del tanque hace que en la sección del orificio el
vector velocidad tenga en cada punto una componente radial hacia el eje. El conjunto
de estas componentes hacen que la sección del chorro se reduzca en cierta medida tras
pasar el orificio, hasta que las componentes radiales se contrarrestan entre sí. La zona
del chorro en la que la sección es mínima se desgina como vena contracta. El efecto de
vena contracta es tanto más acusado cuanto más vivos sean los bordes del orificio por

el interior del tanque, pues más dificultad tienen entonces las líneas de corriente para
adaptarse a la geometría.
Atendiendo a la notación de la Figura 2, la carga H sobre el orificio se mide del
centro del orificio a la superficie libre del líquido. Se supone que la carga permanece
constante y que el depósito está abierto a la atmósfera. La ecuación de Bernoulli,
aplicada desde un punto 1 en la superficie libre hasta el centro de la vena contracta,
punto 2, establece que:
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
v p v p
z z
g g g g
ρ ρ
+ + = + + (1)
En este caso, las presiones p1 y p2, son iguales a la presión atmosférica local que
se toma como referencia. Generalmente, la velocidad en la superficie libre, v1, es
suficientemente pequeña, dada la gran sección del depósito, para poder despreciarla
frente al resto de términos. Si además tomamos el punto 2 como punto de referencia de
elevación, entonces 1 2
z z H
− = . Con todo esto, la ecuación (1), se escribe como:
2
2
2 2
2
v
H v gH
g
= ⇒ = (2)
que es la expresión del teorema de Torricelli.
Figura 2. Chorro descargado a través de un orificio.

Torricelli (retrato en la Figura 3) nació en 1608 en Faenza (Italia). Estudió en el
Colegio Romano en Roma, donde posteriormente pasó a la Universidad de Sapienza.
De 1641 a 1642 fue secretario de Galileo, ingresando posteriormente como matemático
en la corte del gran duque Fernando II de Toscana (Florencia). Ocupó este puesto hasta
su muerte en 1647.
Figura 3. Retrato de Torricelli.
Torricelli fue el primero en crear un indicador de vacío y en descubrir el
principio del barómetro. En 1643 Torricelli propuso el experimento con el que
demostró que la presión atmosférica está determinada por la altura en que un fluido
asciende en un tubo invertido, sobre el mismo líquido. Este concepto contribuyó en el
desarrollo del barómetro. También comprobó que el flujo de un líquido por una
abertura es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido, resultado es
conocido ahora como el teorema de Torricelli. Estudió también la trayectoria de los
proyectiles y su único trabajo publicado, Opera Geométrica (1644), incluye
importantes tópicos sobre esta materia. Fue un experto en la construcción de
telescopios. En realidad ganó mucho dinero con su destreza en este trabajo.
La expresión (2) proporciona únicamente la velocidad teórica, ya que se
desprecian las pérdidas entre los dos puntos. El cociente entre la velocidad real, vR, y la
teórica, v, recibe el nombre de coeficiente de velocidad Cv, es decir:
R
v
v
C
v
= (3)
y por lo tanto:

2 2
R v
v C gH
= (4)
La descarga real, Q, del orificio es el producto de la velocidad real en la vena
contracta por el área del chorro. El cociente entre el área del chorro en la vena
contracta, A2, y el área del orificio, Ao, se llama coeficiente de contracción Cc:
2
c
o
A
C
A
= (5)
de modo que el área en la vena contracta es c o
C A y por tanto, la descarga real es:
2
v c o
Q C C A gH
= (6)
Es habitual combinar los dos coeficientes anteriores en uno solo denominado
coeficiente de descarga CD:
D v c
C C C
= (7)
de modo que la descarga real o caudal viene dada por:
2
D o
Q C A gH
= (8)
Las pérdidas entre los puntos 1 y 2 no admiten un cálculo analítico, por lo que
el coeficiente de velocidad Cv debe ser determinado experimentalmente. El proceso de
obtención experimental de Cv, puede realizarse por medio de dos métodos diferentes:
a) Medición directa de la velocidad real vR. La determinación de vR se realiza
colocando un tubo de pitot en la vena contracta.
b) Método de la trayectoria. Si se mide la posición de un punto corriente abajo
sobre la trayectoria de un chorro libre desde la vena contracta (Figura 2), es
posible calcular la velocidad real vR. Si se desprecia la resistencia del aire, la
componente horizontal de la velocidad no cambia y por tanto una posición de
coordenada x a lo largo del chorro (como el punto 3) verificará: R
v t x
= , donde t
es el tiempo requerido por una partícula de fluido para viajar desde la vena
contracta hasta el punto 3. Durante ese tiempo cada partícula habrá descendido
una cierta distancia y bajo la acción de la gravedad; como la componente
vertical de la velocidad inicial (en la vena contracta) es nula, se verificará que
2
2
y gt
= . Si se elimina el tiempo t en estas dos expresiones, se obtiene:
2 /
R
x
v
y g
= (9)

Finalmente a partir de vR, es posible determinar el coeficiente de velocidad a
partir de la ecuación (3).
Al igual que ocurre con el coeficiente de velocidad, en general no se puede
calcular analíticamente la magnitud de la contracción, Cc, y es necesario recurrir
nuevamente a métodos experimentales. El procedimiento en este caso consiste en la
medición directa del diámetro del chorro empleando para ello calibradores externos.
Finalmente, una vez determinados los coeficientes de velocidad y de
contracción, el coeficiente de descarga se determina aplicando la ecuación (7).
La ecuación (8) es válida para cualquier tipo de orificio o boquilla, variando
únicamente en cada caso los valores de los coeficientes de velocidad, de contracción y
de descarga. En la Figura 4 se presentan los valores experimentales de estos
coeficientes obtenidos para tres tipos de boquilla de sección circular.
a) Boquilla cónica: b) Boquilla de Borda: c) Boquilla de trompeta:
Cv = 0.45 a 0.50 Cv = 0.98 Cv = 0.98
Cc = 1.0 Cc = 0.52 Cc = 1.0
CD = 0.45 a 0.50 CD = 0.51 CD = 0.98
Figura 4. Valores habituales de los coeficientes de velocidad, contracción y
derrame para tres tipos de boquillas de sección circular
En la Figura 4, la llamada boquilla de Borda está formada por un tubo que
penetra en el depósito y tiene aristas vivas. La boquilla de trompeta tiene un coeficiente
de descarga más favorable que la boquilla de tobera cónica, debido a su forma más

bien fuselada, que ha eliminado las pérdidas de forma, quedando únicamente las de
superficie. De cualquier modo, téngase en cuenta que los valores de los coeficientes de
velocidad, contracción y descarga que aparecen en la Figura 4, son solo orientativos y
deben usarse con precaución, puesto que dependen de las dimensiones particulares de
cada boquilla. Los coeficientes para cualquier boquilla deben obtenerse in situ
mediante medidas experimentales.
La pérdida de carga en el flujo en un orificio puede determinarse aplicando la
ecuación de energía con un término de pérdidas, hp, para la distancia entre los puntos 1
y 2 (Figura 2):
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
R R
p
v p v p
z z h
g g g g
ρ ρ
+ + = + + + (10)
Considerando despreciable la velocidad en la superficie libre del fluido,
sustituyendo el valor de la velocidad real en el punto 2 (ecuación 4) y tomando la
presión atmosférica local como presión de referencia y la cota geométrica del punto 2
como referencia de elevación, a partir de la ecuación (10) se obtiene que las pérdidas de
carga son:
( )
2
1
p v
h H C
= − (11)
La práctica se lleva a cabo en el banco de pruebas del laboratorio de Hidráulica
de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo cuya fotografía se muestra en la Figura
5. Consta de un depósito de planta rectangular abierto a la atmósfera por su parte
superior, y en una de sus paredes está situado el orificio donde se insertarán los
distintos tipos de boquillas, así como un tubo piezométrico con escala graduada en mm
que permite determinar la altura de agua en el interior del mismo. Respecto a esta
escala el centro del orificio se encuentra en la cota 94 mm, que habrá que restar de la
altura del agua en el depósito para obtener el desnivel entre ambos. En la Figura 6 se
presentan detalles de estos dos elementos.
Durante el ensayo se tiene un chorro de agua continuo por el orificio. El agua
vertida es recogida en un tanque inferior, y desde ahí es nuevamente enviada al
depósito superior (el del orificio) mediante una pequeña bomba centrífuga. Este
depósito superior dispone internamente de un rebosadero, de modo que el nivel de la
superficie libre permanezca constante y lo mismo ocurra con el caudal vertido. La
altura del rebosadero es modificable, de modo que se puede variar a voluntad el caudal
de agua derramado.

Figura 5. Fotografía general del banco de pruebas
Figura 6. Izquierda: posición del orificio de descarga, con compás de medida.
Derecha: tubo piezométrico para la medida del nivel de agua en el depósito.

Tabla I. Diámetros de las boquillas empleadas.
Esquema Nombre Diámetro
Boquilla de Borda 9.6 mm
Boquilla de tobera
cónica
10 mm
Boquilla de tobera
de trompeta
9.6 mm
Para la práctica se dispone de tres tipos diferentes de boquillas,
correspondientes a las representadas en la Figura 4. El diámetro del orificio de cada
una de estas boquillas se indica en la Tabla I.
Con vistas a determinar el coeficiente de contracción del chorro correspondiente
a cada una de las tres boquillas anteriores, será necesario determinar el diámetro de la
vena contracta o simplemente diámetro contracto. Para ello, a la salida del orificio
practicado en la pared del depósito, se dispone de un compás de puntas y un calibre,
como puede apreciarse en la fotografía de la izquierda de la Figura 6. De este modo,
conocido el diámetro del orificio de cada boquilla y el diámetro de la vena contracta del
correspondiente chorro, queda determinado en cada caso el coeficiente de contracción.
A partir de la medida de la altura de agua en el depósito, se puede determinar la
velocidad teórica del fluido en el orificio mediante la aplicación del teorema de
Torricelli (ecuación 2). La determinación de la velocidad real del fluido en el orificio,
se realiza mediante el método de la trayectoria por aplicación de la ecuación (9). Para
poder obtener la velocidad a partir de esta ecuación, es necesario medir las distancias
horizontal, x, y vertical, y, correspondientes a la trayectoria del chorro (véase la Figura
2). La Figura 7 muestra el sistema disponible para la determinación de estas
coordenadas.

Figura 7. Detalle del sistema de determinación de las coordenadas del
chorro.
Como puede observarse en la Figura 7, para cada posición horizontal se tiene
una varilla que puede deslizarse hacia abajo hasta que intersecte la trayectoria del
chorro que sale del depósito. De este modo, una vez que se establece un punto de corte
sobre la trayectoria, se pueden medir las coordenadas vertical y horizontal con la
simple utilización de un metro. Así es posible calcular la velocidad real del chorro y
mediante la aplicación de la ecuación (3), previa obtención de la velocidad teórica por
el teorema de Torricelli, el correspondiente coeficiente de velocidad.
Así pues, en este punto se dispone ya para cada boquilla de sus
correspondientes coeficientes de velocidad y de contracción, con lo que es posible
calcular el coeficiente de descarga (ecuación 7) y el caudal de la descarga (ecuación 8).
No obstante, para poder verificar la exactitud de los caudales experimentales obtenidos
a partir de los coeficientes de velocidad y contracción, se dispone también de un
método volumétrico de medida del caudal real que circula por la instalación. Para ello
el canal de desagüe que recoge el caudal derramado por el orificio termina vertiendo el
agua sobre un pequeño tanque o cubeta de planta rectangular (de 300 mm × 450 mm),
con salida bloqueable mediante una válvula (Figura 8). Conectado al fondo de la
cubeta, hay un tubo piezométrico exterior, de modo que con una escala milimetrada se
puede obtener la altura de agua en la cubeta (Figura 9).
Conocido el área horizontal de la cubeta, basta observar la evolución de la
altura de agua en la cubeta a lo largo del tiempo, con ayuda de un cronómetro, para
determinar el caudal: /
R
Q volumen tiempo
= .

Figura 8. Detalle de las cubetas para medida del volumen de agua, con orificio
de toma de presión al fondo
Figura 9. Tubo piezométrico y escala para medida del nivel de agua en cubeta
Finalmente, en la práctica se dispone también de un medidor Venturi, que se
habrá que calibrar para la obtención de su coeficiente de derrame. Los detalles de
calibración de un Venturi han sido desarrollados en la práctica número 2 de “Medida
del Caudal”. Este Venturi tiene dos tomas de presión (a la entrada y en la garganta) con
mangueras conectadas a un manómetro diferencial para determinar la diferencia de

presión entre ambos puntos, como puede apreciarse en la Figura 10. El diámetro de
entrada al Venturi es 31.8 mm y el de la garganta es 15.9 mm.
Figura 10. Detalle del Venturi y del manómetro diferencial
El objetivo de esta práctica consiste en estudiar la descarga de agua desde un
depósito, variando la forma y el tamaño de los orificios de salida.
5.3.1. Determinación de los coeficientes de velocidad, contracción y descarga
Se desea determinar experimentalmente el valor de los coeficientes de
velocidad, contracción y descarga para cada una de las boquillas a través de las cuales
se produce la descarga de fluido del depósito. Colocando una de las boquillas en el
orificio practicado en la pared del depósito, se mide la altura de agua, H, en el interior
del mismo, con respecto a la altura del orificio (94 mm sobre la escala empleada). Esta
altura de agua se mantiene constante durante cada ensayo, mediante un rebosadero
interno (de altura ajustable) del tanque de descarga.
Para determinar el coeficiente de contracción de la boquilla, Cc, es necesario
medir el diámetro contracto del chorro de agua que sale a través de ella, mediante el
calibre y el compás colocados a tales efectos a la salida del orificio. Una vez obtenido
este diámetro, el coeficiente de contracción se obtiene a partir de la ecuación (5).

El coeficiente de velocidad, Cv, se determinará mediante el método de la
trayectoria. A partir de la altura de agua en el depósito y mediante la ecuación (2),
puede determinarse la velocidad teórica de la vena contracta. A continuación es
necesario establecer un punto de la trayectoria del chorro de agua que sale por el
orificio, empleando para ello el sistema de varillas de que se dispone en el dispositivo
experimental. Una vez determinado un punto de la trayectoria, se miden las
coordenadas vertical y horizontal que le corresponden. Dichas coordenadas permiten
calcular la velocidad real de la vena contracta mediante la aplicación de la ecuación (9).
Finalmente, el coeficiente de velocidad se obtiene a partir de la expresión (3).
El coeficiente de descarga de la boquilla, CD, se obtiene a partir del producto de
los valores del coeficiente de contracción y del coeficiente de velocidad (ecuación 7).
Sin embargo, este coeficiente de descarga puede obtenerse también como el cociente
entre el valor del caudal real, que se mide directamente mediante el método
volumétrico descrito en el apartado anterior y el valor del caudal teórico de la descarga,
dado por:
2
t o
Q A gH
= (12)
De este modo, el coeficiente de descarga viene dado por:
R
D
t
Q
C
Q
= (13)
Debe realizarse una comparación del valor del coeficiente de descarga obtenido
por ambos métodos, así como del caudal real medido directamente y del obtenido a
partir de la ecuación (8) (en esta ecuación el coeficiente de descarga que se emplea es
el obtenido como el producto del coeficiente de contracción y del coeficiente de
velocidad). El procedimiento se repite para las otras dos boquillas.
El proceso que acaba de describirse, debe repetirse para otro valor de la altura
de agua en el depósito, H, y los resultados se expondrán en forma de tabla en el informe
de la práctica.
5.3.2. Calibración del Venturi
El objeto de este apartado consiste en realizar una calibración del Venturi, es
decir, en la obtención del coeficiente de derrame del mismo. Para ello será necesario
medir el caudal, mediante el método volumétrico, y la diferencia de presiones entre la
entrada y la garganta del Venturi, mediante el manómetro diferencial. Las fórmulas y el
procedimiento necesario para la calibración del Venturi pueden consultarse en el guión

correspondiente a la práctica de “Medida del Caudal”. Una vez calibrado el Venturi,
puede emplearse el mismo como caudalímetro.
5.3.3. Efecto del número de Reynolds
Se pretende ahora estudiar la variación del coeficiente de descarga de una
boquilla frente al número de Reynolds del flujo. Para ello, se colocará la boquilla de
tobera cónica (diámetro del orificio de 10 mm) en el orificio situado en la pared del
depósito. Para diferentes alturas de agua en el depósito, por lo menos cinco distintas, se
determinará el caudal teórico de la descarga y se medirá el caudal real mediante el
Venturi. Comparando ambos caudales se obtendrá el coeficiente de descarga (ecuación
13). El teorema de Torricelli proporciona la velocidad teórica de la vena contracta y
con esta velocidad es posible determinar el número de Reynolds del flujo:
2
Re
v D
ν
= (14)
donde v2 es la velocidad de la vena contracta, D es el diámetro de la boquilla y ν es la
viscosidad cinemática del agua.
En el informe se incluirá una representación gráfica de la dependencia del
coeficiente de descarga frente al número de Reynolds.

6. VERTEDEROS 73
Práctica nº 6 :
VERTEDEROS
6.1 INTRODUCCIÓN
6.1.1. Objeto y tipos de vertederos
Un vertedero es un dique o pared que intercepta una corriente de un líquido con
superficie libre, causando una elevación del nivel del fluido aguas arriba de la misma.
Los vertederos se emplean bien para controlar ese nivel, es decir, mantener un nivel
aguas arriba que no exceda un valor límite, o bien para medir el caudal circulante por
un canal. Como vertedero de medida, el caudal depende de la altura de la superficie
libre del canal aguas arriba, además de depender de la geometría; por ello, un vertedero
resulta un medidor sencillo pero efectivo de caudal en canales abiertos. Hacia esta
segunda aplicación está enfocada la presente práctica.
Los vertederos pueden clasificarse de la siguiente manera:
a) Según la altura de la lamina de fluido aguas abajo, en vertederos de lámina
libre si ´ c
z z
< (Figura 1a), y vertederos sumergidos si ´ c
z z
> (Figura 1b).
b) Según la disposición en planta del vertedero con relación a la corriente, en
vertederos normales (Figura 2a), vertederos inclinados (Figura 2b),
vertederos quebrados (Figura 2c) y vertederos curvilíneos (Figura 2d).

c) según el espesor de la cresta o pared, en vertederos de cresta afilada (Figura
3a) y vertederos de cresta ancha (Figura 3b).
(a) (b)
Figura 1. a) Vertedero de lámina libre; b) Vertedero sumergido.
Figura 2. a) Vertedero normal; b) Vertedero inclinado;
c)Vertedero quebrado; d) Vertedero curvilíneo.
Los vertederos de cresta afilada sirven para medir caudales con gran precisión,
mientras que los vertederos de cresta ancha desaguan un caudal mayor. De aquí la
diferencia de aplicaciones entre ambos: los de cresta afilada se emplean para medir
caudales y los de cresta ancha, como parte de una presa o de otra estructura hidráulica,
para el control del nivel. En esta práctica se tratará con vertederos de cresta afilada.
Dichos vertederos también se clasifican según la forma de la abertura en:
rectangulares (Figura 4a), trapezoidales (Figura 4b), triangulares (Figura 4c) y
parabólicos (Figura 4d).
(a) (b) (c) (d)
H
z
zc
z´
H z
zc z´

6. VERTEDEROS 75
(a) (b)
Figura 3. a) Vertedero de cresta afilada; b) Vertedero de cresta ancha.
Figura 4. Vertedero (a) rectangular; (b) trapezoidal; (c) triangular; (d) parabólico.
A su vez, los vertederos rectangulares se clasifican en vertederos sin
contracción lateral, si el ancho del vertedero es igual al ancho del canal (Figura 5a) y
vertederos con contracción lateral en caso contrario (Figura 5b).
Para la medida de caudal con vertederos, la precisión de la medida solamente se
puede garantizar si el vertedero está bien ventilado en la zona de descarga, por el lado
de aguas abajo. La ventilación o aireación tiene por objeto introducir aire bajo la lámina
de agua vertida, de modo que se encontrará a presión atmosférica tanto por arriba como
por abajo y así su situación será equivalente a la del chorro de una manguera, por
ejemplo: la presión estática de todos los puntos de la lámina de agua a partir de la
vertical del vertedero será igual a la presión atmosférica (es decir, cero en términos de
presión relativa). Si, en cambio, el vertedero no está ventilado, como las líneas de

corriente se van curvando en torno a la cresta del vertedero, se produce una depresión
sobre la zona posterior de la pared del vertedero, con lo que el agua tiende a pegarse a
la pared. El efecto final de esta succión es que en conjunto la lámina de líquido sobre el
vertedero baja de nivel y, en definitiva, la relación entre el caudal y la altura de la
superficie libre aguas arriba, H, se modifica. Para evitar este efecto no deseado basta
con disponer un tubo de suficiente diámetro entre la zona posterior de la pared del
vertedero y la atmósfera exterior, pues la succión interior será suficiente para generar
una entrada de aire continua.
(a) (b)
Figura 5. Vertedero a) sin contracción lateral; b) con contracción lateral.
En esta práctica se van a utilizar tres tipos diferentes de vertederos de cresta
afilada: rectangular, triangular y rectangular contraído. A continuación se exponen
las principales características de cada uno de ellos.
6.1.2. Vertedero rectangular sin contracción lateral
Considérese el flujo a lo largo de un canal en las proximidades de un vertedero,
con la notación que se muestra en la Figura 6, donde L es el ancho del vertedero.
Aguas arriba del vertedero, punto 1, se supone que la velocidad es insignificante
( 1 0
v ≈ ), y en el punto 2, en la vena contracta, se supone que las líneas de corriente son
paralelas, es decir, que no existe variación de la presión a través de la vena, por lo que
la presión es la atmosférica ( 2 0
atm
p p
≈ = ). Planteando entonces la ecuación de
Bernoulli entre los puntos 1 y 2, y despreciando las pérdidas, se obtiene:
2
1 2
1 2
2
p v
z z
g g
ρ
+ = + (1)

6. VERTEDEROS 77
La geometría mostrada en la Figura 6 pone de relieve que:
1
1 0
0 2
p
z z
g
z z h
ρ
+ =
− =
(2)
Figura 6. Variables de interés en el flujo sobre un vertedero rectangular.
Sustituyendo las expresiones (2) en la ecuación (1), se obtiene la velocidad en la
vena contracta:
2 2
v gh
= (3)
La descarga o caudal teórico diferencial, a través de un elemento de área
diferencial de longitud L y espesor dh, como el mostrado en la Figura 6, viene dada
por:
H
h
dh
L Y
z0
z1
z2
1 /
p g
ρ h
2
1

2 2
th
dQ v Ldh L gh dh
= = (4)
De este modo, el caudal teórico que fluye a través de todo el vertedero, se
obtiene integrando la expresión (4):
1/2 3/ 2
0
2
2 2
3
H
th
Q gL h dh L gH
= =
∫ (5)
Cuando en la deducción de la ecuación (5) se tiene en cuenta el efecto de
contracción de la vena y las pérdidas provocadas por la fricción, se obtiene la descarga
o caudal real. Dicho caudal real es menor que el teórico y puede calcularse
introduciendo en la expresión (5) un coeficiente corrector de descarga que se determina
experimentalmente para cada vertedero:
3/ 2
2
2
3
R D
Q C L gH
= (6)
Comparando las ecuaciones (5) y (6), es obvio que el coeficiente de descarga se
calcula como el cociente entre el caudal real y el teórico:
R
D
th
Q
C
Q
= (7)
Normalmente el coeficiente de descarga suele tomar valores comprendidos
entre 0.64 y 0.79, y es tanto menor cuanto menor es H frente a la altura Y del vertedero,
debido a efectos de vena contracta e incluso de tensión superficial. Una relación
empírica de amplia aceptación para el coeficiente CD, atribuida a Rehbok, es:
Y
H
CD 0832
.
0
602
.
0 +
= (8)
6.1.3. Vertedero triangular
Este tipo de vertedero se emplea con frecuencia para medir caudales pequeños
(inferiores aproximadamente a 6 l/s). En la Figura 7 se muestra un esquema de la
geometría de este tipo de vertedero. El ángulo θ puede tomar cualquier valor, aunque
es muy frecuente el vertedero con 90º
θ = .
Procediendo de manera totalmente análoga al caso del vertedero rectangular sin
contracción lateral, se obtiene que el caudal teórico diferencial vendrá dado por:

6. VERTEDEROS 79
Figura 7. Geometría del vertedero triangular.
2
th
dQ gh dA
= (9)
En este caso, como se pone de manifiesto en la Figura 7, el área del elemento
diferencial del vertedero viene dada por la expresión:
2
tan
2
dA x dh
x
H h
θ
=
=
−
(10)
De este modo, el caudal teórico total a través del vertedero triangular, vendrá
dado por:
( ) 1/ 2 5/ 2
0
8
2 2 tan 2 tan
2 15 2
H
th th
Q g H h h dh Q g H
θ θ
= − ⇒ =
∫ (11)
Al igual que en el caso del vertedero rectangular, el caudal real se obtiene
introduciendo un coeficiente de descarga corrector en la expresión (10):
5/ 2
8
2 tan
15 2
R D
Q C g H
θ
= (12)
6.1.4. Vertedero rectangular con contracción lateral
Cuando el vertedero no abarca completamente el ancho del canal, como el
vertedero de la Figura 8, la lámina de agua que fluye por encima del vertedero se ve
θ
H
h
H-h
dh
x

sujeta a una contracción lateral aún más pronunciada que la correspondiente al ancho
del propio vertedero. Ello es debido al efecto de vena contracta (véase la práctica
número 5), es decir, la mínima sección transversal de la lámina descargada, para la que
el vector velocidad ya no tiene componente paralela al plano del vertedero, tiene lugar a
una cierta distancia aguas debajo de la cresta del vertedero. En realidad este efecto de
vena contracta también afecta a la arista horizontal inferior del vertedero, pero
normalmente en menor medida.
El resultado del efecto de vena contracta es que, para unos valores fijos de la
altura H aguas arriba y del ancho L de vertedero, el caudal derramado decrece al
aumentar la diferencia entre el ancho del canal y el ancho L.
Aproximadamente se cumple que, si la distancia desde cada uno de los lados del
vertedero a las paredes laterales del canal es al menos 2H, si la altura Y del vertedero es
al menos 2H y el ancho del vertedero L es al menos 3H, entonces el ancho efectivo de
la vena contracta, L’, que se emplearía en la ecuación (6) para obtener el caudal, es:
L’ = L – 0.2·H (13)
Es decir, bajo las condiciones indicadas, se tiene una contracción lateral de 0.1H
por cada lado, como muestra la Figura 8.
Figura 8. Vertedero rectangular con contracción lateral
La práctica se llevará a cabo en el banco de pruebas del laboratorio de Hidráulica
de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo del que se ya se hizo para la práctica
número 5. Básicamente consiste en un canal de sección rectangular, con recorrido en
H
L
0.1H
0.1H

6. VERTEDEROS 81
forma de U, que es alimentado desde un tanque con agua a nivel constante, y vierte el
agua por un vertedero sobre una cubeta, de planta rectangular. El caudal circulante por
el canal (es decir, por el vertedero) se puede regular mediante una válvula en el
conducto de alimentación desde el tanque. Una pequeña bomba centrífuga se encarga
de elevar el agua vertida nuevamente hacia ese tanque, a fin de asegurar un suministro
continuo. El nivel de agua constante en el tanque de alimentación se consigue mediante
un rebosadero, de elevación graduable. La Figura 9 muestra una vista del canal. En la
Figura 10 se aprecia la zona del vertedero, con un vertedero triangular instalado. Otras
vistas del equipo se encuentran en el texto de la práctica número 5.
En el dispositivo se pueden colocar distintos tipos de vertedero; en particular, se
estudiarán los casos de un vertedero rectangular sin contracción lateral, uno rectangular
con contracción lateral y uno triangular. Las principales características geométricas de
estos vertederos se indican en la Tabla I.
Tabla I. Características de los vertederos empleados
Tipo de vertedero: Características geométricas:
Rectangular Ancho del vertedero L = 223 mm
Triangular Ángulo en el vértice θ = 90º
Rectangular contraído Ancho del vertedero L = 110 mm
Para medir el caudal de agua que realmente circula por el canal, se empleará el
método volumétrico: tras rebosar sobre el vertedero, el agua se puede acumular en una
cubeta de planta rectangular (sección de 450 mm × 300 mm), a su vez conectada desde
la base a un tubo piezométrico externo que permite conocer la altura del agua en la
cubeta en cada instante. Basta pues con observar el aumento del nivel del agua en la
cubeta en un cierto intervalo de tiempo (con cronómetro) para obtener finalmente el
caudal (como volumen / tiempo). En las Figuras 8 y 9 correspondientes a la práctica
anterior (número 5) se ofrecen vistas de la cubeta y el tubo piezométrico.
Alternativamente también puede medirse el caudal vertido mediante un Venturi
situado en el conducto de alimentación del canal desde el depósito elevado. El Venturi
está conectado a dos tubos piezométricos que permiten determinar las presiones a la
entrada y en la garganta del mismo. En la Figura 10 de la práctica número 5 se
encuentran vistas de detalle del Venturi y de los tubos piezométricos. Para poder
obtener el caudal real de agua en el canal mediante el Venturi, es necesario que esté
previamente calibrado, es decir, que se conozca su coeficiente de derrame. Para detalles
del proceso de calibración de un Venturi consúltese el guión de la práctica número 2
sobre “Medida del Caudal”.

Figura 9. Vista del canal y del depósito de alimentación de agua
Figura 10. Vista de la descarga del canal sobre un vertedero triangular
El método volumétrico para la medida del caudal real de la descarga resulta
apropiado para los tres tipos de vertederos que se estudian en esta práctica. En cambio,
el Venturi sólo puede emplearse para determinar el caudal real de la descarga en el caso
del vertedero triangular y del vertedero rectangular contracto, puesto que en el caso del
vertedero rectangular sin contracciones los caudales son demasiado elevados para el
rango de medidas de los tubos piezométricos del Venturi.

6. VERTEDEROS 83
Figura 11. Vista del tubo de medida del nivel en el canal. A la derecha,
detalle del calibre de gancho.
Para establecer el caudal teórico o ideal se ha de medir la altura H de la lámina
de agua en el canal, aguas arriba del vertedero. Para ello se utiliza un tubo piezométrico
de gran sección (para minimizar los efectos de tensión superficial) que está conectado a
la solera del canal por la parte inferior de la instalación, de modo que la altura del agua
en dicho tubo es la misma que en el canal. El nivel del agua en el tubo se puede medir
con precisión de décimas de milímetro mediante un micrómetro acoplado a un gancho,
que ha de deslizarse verticalmente hasta que el extremo del gancho roce la superficie
libre del agua. Previamente se ha de establecer la referencia de alturas, buscando la
situación en que, sin circular caudal, esté el nivel del agua en el canal justo a la altura
del vertedero, es decir, en el límite antes de empezar a rebosar. La Figura 11 muestra
una vista del sistema descrito.
El objetivo de la práctica es realizar la calibración de tres tipos diferentes de
vertederos con vistas a emplearlos como medidores de caudal cuando se colocan en un
canal abierto.

6.3.1. Calibración del Venturi
Se apuntó ya en la sección anterior que para poder emplear el Venturi como
medidor del caudal real de agua circulante por el canal abierto, es necesario realizar una
calibración previa del mismo, es decir, es necesario calcular el coeficiente de descarga
del Venturi. Dicho coeficiente de descarga tiene en cuenta el efecto de las pérdidas por
fricción. Los detalles teóricos del proceso de calibración del Venturi pueden
consultarse en el guión correspondiente a la práctica de “Medida del Caudal”.
Para realizar esta calibración deben establecerse al menos cinco caudales
diferentes de agua en la instalación. Para cada uno de ellos se medirá la caída de
presión entre la entrada y la garganta del Venturi, mediante los tubos piezométricos
conectados a tales efectos en dichas posiciones. Al mismo tiempo, es necesario medir
empleando el método volumétrico, descrito en la sección anterior, el caudal de agua
circulante en la instalación. De este modo se obtendrán cinco valores diferentes del
coeficiente de derrame del Venturi. La media de estos valores se tomará como el
coeficiente de derrame del Venturi para la realización del resto de la práctica.
6.3.2. Calibración de los vertederos
En este apartado se pretende realizar una calibración de tres tipos de vertederos,
a saber: rectangular sin contracciones, triangular y rectangular contraído. La calibración
consiste en la obtención de los coeficientes de descarga correspondientes. Dichos
coeficientes se obtienen a partir de la ecuación (7), como el cociente entre el caudal real
de la descarga y el caudal teórico de la misma. Por ello, es necesario determinar estos
caudales.
Se considera que la descarga del chorro de agua a través de un vertedero es
correcta, cuando dicho chorro de agua está suficientemente separado de las paredes del
vertedero. Si el chorro no se separa, debe variarse el caudal hasta que se consigan las
condiciones deseadas. En vertederos reales este proceso se consigue en ocasiones
mediante ventilación.
Para determinar los caudales teóricos es necesario medir la altura de la lámina
de agua, aguas arriba de los vertederos, mediante el calibre de gancho. Tal y como se
explicó en la sección anterior, debe ajustarse el cero en la escala del calibre para un
nivel de agua a ras del vertedero.
En el caso del vertedero rectangular sin contracciones laterales, el caudal
teórico se obtiene entonces a partir de la ecuación (5), para el vertedero triangular a
partir de la ecuación (10) y para el vertedero rectangular con contracciones laterales a
partir de la ecuación (13).

6. VERTEDEROS 85
El caudal real se obtiene mediante medida directa, bien por el método
volumétrico o bien con el Venturi. En el caso del vertedero rectangular sin
contracciones laterales, el caudal real se obtendrá por el método volumétrico, y para los
otros dos vertederos se podrá escoger entre ambos métodos.
Una vez obtenidos el caudal real y el teórico, se calculan los correspondientes
coeficientes de derrame de los vertederos. En el caso del vertedero triangular y del
vertedero rectangular contraído, deben compararse los coeficientes de descarga
obtenidos a partir del caudal real medido con el Venturi y los obtenidos a partir del
caudal real medido por el método volumétrico.
Este procedimiento debe repetirse, para cada vertedero, al menos para tres alturas
diferentes de la lámina de agua aguas arriba de los vertederos.

7. CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS 87
Práctica nº 7 :
CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS
CENTRÍFUGAS
7.1. INTRODUCCIÓN
7.1.1. Tipos de máquinas de fluidos
Una máquina de fluidos es un dispositivo mecánico que transfiere energía de
forma continua a un fluido en circulación, o bien que la extrae de él. Se utiliza el
término general de bomba para las máquinas que añaden energía al fluido; las máquinas
que extraen energía se denominan turbinas o motores. Existen dos tipos básicos de
máquinas de fluidos: de desplazamiento positivo y rotodinámicas.
Las máquinas de desplazamiento positivo tienen unos elementos móviles que,
durante su movimiento (bien alternativo o bien rotativo), van captando el fluido desde
la zona de entrada en volúmenes aproximadamente estancos, que son progresivamente
transferidos hacia la zona de salida. Dentro de esta categoría se encuentran las bombas
de pistones, de engranajes, de paletas, etc…, así como sus equivalentes en motores
hidráulicos o neumáticos, es decir, máquinas que extraen energía del fluido: motores de
pistones, engranajes, paletas, etc… Todas las bombas de desplazamiento positivo
suministran un caudal con una cierta componente periódica, debido a la intermitencia
en el proceso cinemático de cierre de cavidades, traslación y expulsión del fluido. En
general estas máquinas son adecuadas para operar con líquidos o gases con caudales
pequeños, pero con grandes presiones de servicio (de hasta miles de bares).

En las máquinas rotodinámicas, en cambio, la transferencia de energía está
asociada a la inducción de una variación en el momento cinético (o momento de la
cantidad de movimiento) del fluido en su paso a través de la máquina. No hay
volúmenes cerrados: el fluido circula continuamente a través de un rotor, denominado
rodete o impulsor, en el que se encuentran los álabes que delimitan los canales de paso.
Estos álabes obligan a que la corriente se deflecte, variándose así el momento cinético
respecto al eje de accionamiento y realizándose pues un trabajo. En general, a estas
máquinas les corresponde un caudal elevado en comparación con las de desplazamiento
positivo, una presión de servicio más pequeña y un flujo menos fluctuante. Dentro de
este conjunto de máquinas se tienen las bombas propiamente dichas cuando se trata de
impulsar líquidos por conductos; cuando se trata de impulsar gases la máquina se
denomina ventilador si la presión de salida es baja (hasta unos 7 kPa), soplante para
presiones medias (hasta 300 kPa) y compresor para presiones superiores. Las máquinas
rotodinámicas que extraen energía del fluido circulante por una conducción son las
turbinas, bien hidráulicas o bien de gas. Cuando la máquina no está entubada se tienen
las hélices (o bombas de propulsión), los aerogeneradores, etc…
A su vez las máquinas rotodinámicas se acostumbran a dividir entre máquinas
axiales y máquinas centrífugas (o radiales), en función de la dirección principal seguida
por el flujo a través del rodete. En las axiales tanto la entrada como la salida
corresponden en la dirección axial. En una bomba centrífuga, en cambio, la dirección
de entrada es la axial, pero la de salida es la radial. Sobre estas últimas se centra el
objeto de esta práctica.
Figura 1. Esquema de una bomba centrífuga típica.

7.1.2. Bombas centrífugas o de flujo radial
La Figura 1 muestra el esquema de una bomba centrífuga convencional, en sus
dos vistas principales (corte transversal al eje, y corte paralelo). El fluido entra al
rodete de la bomba procedente desde la dirección axial, succionado por los álabes del
rodete, los cuales le fuerzan a tomar un movimiento tangencial y radial hacia el exterior
del mismo. A la salida del rodete, el fluido es recogido por la voluta, que no es sino la
carcasa de la bomba en forma de conducto de sección creciente alrededor del rodete. La
voluta termina en un tramo difusor (es decir, de sección creciente), donde el fluido
aumenta un poco más su presión a la par que pierde energía cinética.
Normalmente los álabes de las bombas centrífugas están curvados hacia atrás
como en la Figura 1, es decir, en la salida están orientados en sentido contrario al
sentido de rotación, pues de esa forma se favorece la circulación del fluido y es
suficiente un número pequeño de álabes. En ventiladores, en cambio, es habitual el uso
de álabes curvados hacia adelante, pues así se necesita un menor tamaño para conseguir
una cierta presión de salida, aunque con peor rendimiento.
Básicamente, las bombas aumentan la energía mecánica o carga del fluido entre
los puntos 1, en el ojo de entrada, y 2, en la salida. El cambio en la carga del fluido se
acostumbra a expresar mediante o altura de elevación H, que es igual a la energía por
unidad de peso de fluido circulante (se mide en J/N, es decir, en metros), y viene dada
por la expresión:
2 2
2 2
2 1
2 2 1 1 2 1
2 1
2 2 2
s f
Q Q
A A
p V p V p p
H z z z h h
g g g g g g
ρ ρ ρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + + − + + = + + Δ = −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(1)
El término hs representa la energía cedida por la bomba al fluido, y hf es la
pérdida de carga interna asociada a las tensiones viscosas.
Cuando los diámetros de las tuberías de entrada y salida de la bomba son
iguales, la altura de elevación queda reducida a:
2 1
p p p
H z z
g g
ρ ρ
− Δ
= + Δ = + Δ (2)
La potencia suministrada por la bomba al fluido es igual al producto del peso
específico por el caudal y por la altura manométrica:
útil u
P P gQH
ρ
= = (3)

Ésta es la potencial útil. La potencia necesaria para mover la bomba, es decir,
la potencia consumida por la bomba, viene dada por:
consumida B
P P T
ω
= = (4)
donde ω es la velocidad angular de giro y T es el par en el eje. Si no hubiese pérdidas,
la potencia útil y la potencia consumida serían iguales, pero la potencia útil siempre es
menor, definiéndose el rendimiento η de la bomba como:
u
B
P gQH
P T
ρ
η
ω
= = (5)
El rendimiento es básicamente el resultado de tres factores: volumétrico,
hidráulico y mecánico. El rendimiento volumétrico se define como:
v
f
Q
Q Q
η =
+
(6)
donde Qf es el caudal perdido debido a las fugas entre las holguras de la carcasa y el
rotor. El rendimiento hidráulico viene dado por:
1 f
h
s
h
h
η = − =H/hs (7)
en cuyo valor intervienen tres tipos de pérdidas: pérdidas por desprendimiento a la
entrada debido a un acoplamiento imperfecto entre el flujo de entrada y el borde de
ataque de los álabes, pérdidas por fricción en los canales entre los álabes, y pérdidas
por recirculación del fluido a causa de un mal acoplamiento entre la corriente y la
dirección de salida de los álabes. Finalmente, el rendimiento mecánico viene dado
por:
1 f
m
B
P
P
η = − (8)
donde Pf es la potencia perdida a causa de la fricción mecánica en los cojinetes y otros
puntos de contacto de la máquina. Por definición, el rendimiento total es simplemente
el producto de estos tres rendimientos:
v h m
η η η η
= (9)
Desde el punto de vista del flujo interior de la bomba, la altura de elevación
proporcionada se puede expresar en función de las condiciones del flujo a través del

rodete, que es el elemento que realmente hace efectiva la transferencia de energía. Sin
duda el flujo en el interior de una bomba es sumamente complejo: es tridimensional, no
estacionario, con gradiente de presión adverso en los canales del rodete (lo que implica
rápido crecimiento de la capa límite), con zonas de estela, con interacción entre partes
móviles y fijas, etc… Con todo, es razonable plantear un estudio simplificado,
suponiendo flujo bidimensional idealizado en la entrada y en la salida del rodete. La
Figura 2 define un volumen de control que abarca la región del impulsor. El flujo pasa
a través de la superficie de control de entrada y sale a través de la superficie de salida.
Dentro del volumen de control se encuentran los álabes del impulsor girando alrededor
del eje con una velocidad ω.
Figura 2. Volumen de control para el flujo a través
del rodete de una máquina centrífuga
En la Figura 3 se muestran también los vectores de velocidad idealizados a la
entrada (punto 1) y a la salida (punto 2): V es la velocidad absoluta del fluido, Vt es la
componente tangencial de la velocidad absoluta, Vr es la componente radial de la
velocidad absoluta, u r
ω
= es la velocidad circunferencial del álabe siendo r el radio de
la superficie de control, y v es la velocidad relativa del fluido con respecto al álabe. El
ángulo entre la velocidad absoluta del fluido y la velocidad circunferencial del álabe, se
designa por α, y el ángulo entre la velocidad relativa del fluido y la velocidad
circunferencial del álabe, se designa por β. Se supone que la velocidad relativa siempre
es tangente al álabe, es decir, que el fluido es guiado perfectamente a través del
volumen de control (equivalente a que hubiera un número infinito de álabes, pero de
espesor infinitesimal).

Figura 3. Triángulos de velocidad a la entrada y salida del
rodete de de una máquina centrífuga
El teorema de momento de la cantidad de movimiento, para flujo continuo, se
escribe como sigue:
( )( )
. .
r
S C
M r V V dA
ρ
= × ⋅
∑ ∫
G
G G G
G
(10)
y esta expresión, aplicada al volumen de control de la Figura 2, proporciona:
( )
2 2 1 1
t t
T Q r V rV
ρ
= − (11)
donde T es el par de torsión que actúa en el fluido dentro del volumen de control, y el
lado derecho de la ecuación ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.
representa el flujo de cantidad de movimiento angular a través del volumen de control.
La potencia consumida por la bomba viene dada por:

( )
2 2 1 1
B t t
P T Q u V u V
ω ρ
= = − (12)
De acuerdo con el triángulo de vectores de velocidad de la Figura 3,
cos cot
t r
V V V
α α
= = , de modo que la ecuación (12) se escribe como:
( ) ( )
2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1
cos cos cot cot
B r r
P Q u V u V Q u V u V
ρ α α ρ α α
= − = − (13)
Utilizando la ecuación de la continuidad, se pueden determinar las componentes
radiales de la velocidad en las secciones de entrada y salida como función del caudal:
1 1 1 2 2 2
2 2
r r
Q rbV r b V
π π
= = (14)
donde b1 y b2 son las anchuras del álabe a la entrada y a la salida (véase la Figura 2).
En la situación idealizada, en la que no se producen pérdidas, la potencia
consumida por la bomba debe ser igual a la potencia suministrada al fluido:
( )
2 2 2 2 2 2
cos cos
u B
u V u V
T
P P gQH T H H
gQ g
α α
ω
ρ ω
ρ
−
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = (15)
que es la expresión de la ecuación de Euler para una bomba.
Leonhard Euler (1707-1783), cuyo retrato aparece en la Figura 4, fue un
matemático suizo nacido en Basilea. Las facultades que, desde temprana edad,
demostró para las matemáticas le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli,
Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la
Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro años más
tarde fue invitado personalmente por Catalina I de Rusia para convertirse en asociado
de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con otro miembro de
la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cátedra de matemáticas.
Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a la
Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo
gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de
demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió en
una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena
parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego
con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales
lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y
logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos
naturales).

En 1748 publicó la obra Introductio in analysim infinitorum, en la que expuso el
concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que asimismo
contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones
homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrolló
conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un
triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar
ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada
identidad de Euler; a él se debe la moderna tendencia a representar cuestiones
matemáticas y físicas en términos aritméticos.
Figura 4. Retrato de Leonhard Euler
En el terreno del álgebra obtuvo asimismo resultados destacados, como el de la
reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la
constante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras, tratados y
publicaciones, introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó sustancialmente
a la moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los divisores
de un número y expresión del número imaginario raíz de menos uno. También se ocupó
de la teoría de números, campo en el cual su mayor aportación fue la ley de la
reciprocidad cuadrática, enunciada en 1783. A raíz de ciertas tensiones con su patrón
Federico el Grande, regresó nuevamente a Rusia en 1766.
De sus trabajos sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la Mecánica de
Fluidos, la formulación de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la

presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el desarrollo de
una solución parcial al problema de los tres cuerpos, así como la determinación precisa
del centro de las órbitas elípticas planetarias, que identificó con el centro de la masa
solar.
7.1.3. Curvas características de bombas y reglas de semejanza
La teoría desarrollada en la sección anterior está muy simplificada, puesto que
no se tienen en cuenta los efectos viscosos y se supone una situación de flujo
idealizado. La forma más fiable de obtener las curvas características reales de una
bomba se apoya en los ensayos en un banco de pruebas adecuado.
Bomba a 1.500 rpm
0
3
6
9
12
15
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Caudal (m^3/h)
Altura
(m),
Potencia
(kW)
0
20
40
60
80
100
Rendimiento
(%)
Altura Potencia Rendimiento
Figura 5. Curvas características de una bomba centrífuga convencional.
Las curvas características se trazan casi siempre para una velocidad de giro de la
bomba, ω, constante. El caudal, Q, se toma como la variable independiente básica, y
como variables dependientes suelen tomarse la altura manométrica H, la potencia
consumida por la bomba PB, y el rendimiento η. La Figura 5 muestra las curvas
características típicas de una bomba centrífuga para una cierta velocidad de giro fija.
Como se observa, la altura manométrica es alta y aproximadamente constante para

caudales bajos, y después decrece a medida que aumenta el caudal. La curva de
potencia crece monótonamente con el caudal. El rendimiento crece hasta alcanzar un
máximo a un cierto caudal que se denomina caudal de diseño.
El desarrollo y utilización de bombas en la práctica de ingeniería se ha
beneficiado en gran medida de la aplicación del análisis dimensional. Las variables de
funcionamiento de mayor interés en una bomba son la potencia consumida PB, la
energía por unidad de peso comunicada al fluido H (o la energía por unidad de masa,
H·g) y el rendimiento η. Las variables de las que dependen las tres anteriores pueden
agruparse de la siguiente manera:
• Propiedades del fluido: densidad ρ y viscosidad μ.
• Características del flujo a través de la bomba: caudal Q.
• Características de la propia máquina: velocidad de giro ω, diámetro
característico D y rugosidad absoluta del material ε.
Las variables de funcionamiento se pueden convertir en variables
adimensionales utilizando el teorema de Buckingham, de modo que aparecen tres
parámetros nuevos de funcionamiento, adimensionales, en las bombas:
• Cifra de potencia: 3 5
B
P
D
ρω
.
• Cifra de presión: 2 2
gH
D
ω
.
• Cifra de rendimiento: η.
En bombas, para regímenes de flujo a números de Reynolds altos, como es
habitualmente el caso, el efecto de las fuerzas viscosas pasa a ser independiente del
propio número de Reynolds. Así pues, para unas formas geométricas dadas (incluida la
rugosidad), las tres variables adimensionales de funcionamiento dependerán
únicamente de la cifra de caudal adimensional, 3
Q
D
ω
:
1 2 3
3 5 3 2 2 3 3
, ,
B
P Q gH Q Q
f f f
D D D D D
η
ρω ω ω ω ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(16)
Por lo tanto, dadas dos bombas con las mismas formas geométricas, es decir,
con la misma proporción entre cualesquiera dos longitudes (se les llama bombas
geométricamente semejantes), con un punto de funcionamiento tal que las cifras de
caudal sean las mismas, entonces las cifras de presión, potencia y rendimiento también
serán iguales. Se dice entonces que esos dos puntos de funcionamiento son puntos
semejantes u homólogos, y entre ellos se verificarán las leyes de semejanza, que son:

1 2
3 3
1 1 2 2
Q Q
D D
ω ω
=
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1 2
3 5 3 5
1 1 1 2 2 2
B B
gH gH
D D
P P
D D
ω ω
ρ ω ρ ω
=
=
(17)
donde los subíndices 1 y 2 denotan los estados de operación de cada máquina entre los
que se establece la semejanza.
Al igual que en el caso de los parámetros de funcionamiento con dimensiones
de las bombas, también pueden obtenerse las curvas características de una bomba en
función de parámetros adimensionales. En este caso se representan la cifra de potencia,
la cifra de presión y la cifra de rendimiento frente a la cifra de caudal. Las curvas
características adimensionales permiten representar de un modo sencillo las
características de todas las bombas de una misma familia. Los parámetros
adimensionales anteriores forman la base para predecir los cambios en el
funcionamiento que resultan de los cambios en el tamaño de la bomba, la velocidad de
operación o el diámetro del impulsor.
La situación más simple corresponde a cuando sólo cambia la velocidad de
accionamiento de la bomba. En dicha situación se asegura la similitud geométrica. La
semejanza completa se tiene si se igualan además los coeficientes de flujo, como se
explicó antes. Para este caso de cambio de velocidad con diámetro fijo, se tendría que:
2 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
, , B
B
Q H P
Q H P
ω ω ω
ω ω ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(18)
De este modo, cuando se cumplen las leyes de semejanza, las correspondientes
curvas características adimensionales, deben ser coincidentes para diferentes
velocidades de accionamiento.
La práctica se lleva a cabo en el banco de ensayo de bombas del laboratorio de
Hidráulica de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo, cuya fotografía se muestra
en la Figura 6. En este dispositivo se tienen dos bombas centrífugas que pueden
conectarse bien en serie o bien en paralelo, aunque en esta práctica nos centraremos
únicamente en la caracterización de una de ellas. Las tuberías colocadas en el tramo de
aspiración (antes de la bomba) y en el tramo de impulsión (después de la bomba),

tienen el mismo diámetro, por lo que en este caso, la altura de elevación proporcionada
por la bomba, viene dada por la suma de la diferencia de presiones y la diferencia de
cotas ( 100 mm
z
Δ = ) entre los puntos de entrada y salida:
p
H z
g
ρ
Δ
= + Δ (19)
Para medir la diferencia de presiones entre la entrada y la salida de la bomba, se
dispone de dos manómetros Bourdon, uno colocado en la zona de aspiración y otro
colocado en la zona de impulsión. En realidad, en toda la zona de aspiración, la presión
es negativa, es decir, por debajo de la presión atmosférica, por lo que en realidad el
manómetro situado a la entrada de la bomba es un vacuómetro que está graduado en cm
de mercurio. El manómetro situado en la zona de salida está graduado en m.c.a. Por ser
negativa la presión en la zona de aspiración, las presiones medidas con ambos
manómetros deben sumarse en lugar de restarse. Un detalle de estos manómetros
aparece en la Figura 7.
Figura 6. Vista del banco de ensayo de bombas.

Figura 7. Detalle de los manómetros de aspiración e impulsión (de dos bombas).
En la instalación hay colocadas varias llaves que permiten variar el caudal de
agua circulante. El proceso de regulación del caudal debe realizarse con precaución
para evitar que la bomba se descargue en el tramo de aspiración (descebe). Para la
medida del caudal se emplea un método volumétrico, es decir, se dispone de un
depósito con planta rectangular de área 0.395 m2
, que lleva adosado en uno de sus
laterales una escala graduada en milímetros mediante la cual se determina la altura de
agua en el depósito. De este modo, se determina el volumen de fluido en el depósito, de
forma que midiendo el tiempo necesario para alcanzar un determinado volumen, se
obtiene el caudal de circulación de agua en la instalación.
En el dispositivo experimental se encuentra colocado un armario de control desde
el que se regula la puesta en marcha y la parada de la bomba, así como la velocidad de
giro de la misma. No obstante, en cada bomba se ha acoplado un tacómetro que permite
medir el número de vueltas a las que gira la bomba, de modo que si se cuentan las
vueltas que se realizan en un minuto, puede determinarse la velocidad de giro en rpm.
Es aconsejable asegurarse de que la velocidad de giro que se impone en el armario
coincide con el número de revoluciones por minuto que mide el tacómetro. En la
Figura 8 se muestra un detalle tanto del armario como del tacómetro de una de las
bombas (acoplado a la zona posterior del motor eléctrico).
Para determinar la potencia consumida por la bomba, es necesario medir el par
de giro del motor que la acciona. Dicho motor no está anclado, como sería el caso
habitual en bombas ubicadas en instalaciones reales. De este modo, al no estar anclado
el motor, es necesario ejercer una fuerza de reacción en sentido contrario para

compensar el par de giro, de forma que el motor quede nivelado. Midiendo la fuerza de
reacción y conociendo la longitud del brazo del motor (en este caso el brazo es
0.18 m
d = ), es posible determinar el par mediante la simple operación:
T F d
= ⋅ (20)
A tales efectos, en la instalación existe un dinamómetro conectado al motor, un
detalle del cual aparece en la Figura 9. Mediante el dinamómetro, puede determinarse
la fuerza de reacción que compensa el par de giro, en kilos.
Figura 8. Vistas del armario de control y del tacómetro
El objetivo de la práctica consiste en la obtención de las curvas características,
tanto con dimensiones como adimensionales, de una bomba centrífuga que puede ser
accionada a diferentes velocidades de giro.
7.3.1. Obtención de las curvas características de la bomba
El objetivo de este apartado es la obtención, para tres velocidades de
accionamiento de la bomba diferentes, de las siguientes curvas:
a) Curva de la altura de elevación, H, en función del caudal.
b) Curva de la potencia consumida por la bomba, PB, en función del caudal.

Figura 9. Detalle del dinamómetro para la medida del par en el eje
c) Curva de rendimiento, η, en función del caudal.
Para la obtención de estas curvas, se comenzará accionando la bomba a una
determinada velocidad de giro que se establecerá mediante los controles del armario.
Mediante el tacómetro se comprobará que la velocidad de giro es correcta.
A continuación se establecerá un caudal de circulación de agua en la
instalación. El caudal se regulará mediante las llaves existentes para tales efectos en el
dispositivo, y se medirá mediante el método volumétrico descrito en la sección anterior.
Una vez establecido el caudal de agua circulante, se procede a la determinación
de los parámetros de funcionamiento. Para determinar la altura total de elevación
(ecuación 2) se mide la diferencia de presiones, entre la entrada y la salida de la bomba,
mediante los manómetros Bourdon conectados en dichas posiciones.
Para determinar la potencia consumida por la bomba, se mide mediante el
dinamómetro la fuerza de reacción que compensa el giro del motor. Aplicando la
ecuación (20) se obtiene el par de giro del motor, y la potencia se calcula entonces

mediante la ecuación (4). Finalmente, el rendimiento se calcula como el cociente entre
la potencia útil y la potencia consumida por la bomba, según las ecuaciones (3-5).
Una vez determinados los parámetros de funcionamiento para el primer caudal
de circulación de agua en la instalación, se establece otro caudal de agua circulante y se
repite el procedimiento anterior. Será necesario, al menos, obtener los parámetros de
funcionamiento de la bomba para seis caudales diferentes.
La representación gráfica de las curvas de funcionamiento se realizará tal y
como se indica en la Figura 5. Todo el proceso anterior debe repetirse para otras dos
velocidades de accionamiento de la bomba, de manera que el resultado de este apartado
será la obtención de tres curvas características de la bomba, una para cada velocidad de
giro.
7.3.2. Curvas características adimensionales
A partir de los parámetros de funcionamiento de la bomba obtenidos en el
apartado anterior, para cada una de las velocidades de accionamiento de la bomba, debe
hacerse una representación gráfica de las curvas características adimensionales, es
decir, de la cifra de presión, de la cifra de potencia y del rendimiento, frente a la cifra
de caudal.
A continuación deben representarse, en la misma gráfica, las curvas
adimensionales correspondientes a cada velocidad de giro de la bomba, con el objeto de
comprobar que sean coincidentes por cumplirse las leyes de semejanza.

ANEXO: PROBLEMAS DE RESOLUCIÓN INDIVIDUAL 103
ANEXO:
PROBLEMAS DE RESOLUCIÓN INDIVIDUAL
RELACIONADOS CON LAS PRÁCTICAS

PROBLEMA Nº 1: VISCOSÍMETRO ROTATIVO
La figura muestra un viscosímetro giratorio concéntrico adecuado para
líquidos. Consta de un tanque cilíndrico A rodeado exteriormente por un fluido con
temperatura constante, el cual se hace rotar a una cierta velocidad N. Dentro del tanque
A se encuentra el tanque B, de radio exterior r1 que es ligeramente menor que el radio
interno r2 del tanque A. El cilindro B está separado del fondo del tanque A una
distancia ε. Entre A y B se localiza el fluido cuya viscosidad desea medirse. Debido a
la acción viscosa el tanque A hace que el tanque B gire con el A; sin embargo, un
resorte torsional en la parte superior del B resiste esta rotación, de manera que
dependiendo de N, la viscosidad μ del fluido y las dimensiones geométricas, el cilindro
B gira un ángulo fijo, al cual le corresponde un cierto par de torsión indicado mediante
una aguja. Suponiendo que los perfiles de velocidad son lineales tanto en el intersticio
de la base como en el lateral, obténgase la viscosidad del líquido.

PROBLEMA Nº 2: FUERZAS DE PRESIÓN SOBRE VÁLVULA
La figura muestra un tramo de una tubería llena de agua a 20 ºC con una válvula
hidráulica cuya apertura se puede controlar con un pequeño émbolo. La válvula
propiamente dicha AB, de área S1, se apoya en un reborde saliente que deja libre el área
S2 de cierre. La válvula va unida al pequeño émbolo (de área S3) por medio de una
varilla (sección S4). Todas estas secciones son circulares. Para el presente ejercicio,
sobre la cara izquierda del émbolo actúa la presión atmosférica (a través del conducto
C), mientras que sobre su cara derecha (anular) actúa la misma presión p (constante)
del agua en esa zona de la tubería. Esta presión p se puede medir mediante un
manómetro piezométrico inclinado, que cuenta con un depósito de mercurio de sección
transversal n veces mayor a la de las columnas, y con una columna abierta a la
atmósfera e inclinada un ángulo ϕ respecto a la horizontal; sobre esta columna
inclinada, una escala indica que el mercurio ha recorrido una longitud L respecto a la
posición correspondiente a p=Patm. Un segundo manómetro diferencial con mercurio,
con tomas de presión a ambos lados de la válvula AB, muestra una diferencia de altura
entre columnas H.
Si pS es la presión a la salida de la válvula, determínense los valores de las
presiones p y pS (en kPa) y de la altura H (en mm) para los siguientes dos casos:
a) Si la válvula está cerrada, máxima presión pS para que la válvula abra.
b) Si la válvula está abierta, mínima presión pS para que la válvula cierre.
Supóngase que, cuando la válvula está cerrada, a través de la superficie de
contacto entre asiento y válvula la presión varía linealmente respecto a la posición
radial entre los valores p y pS. Para el resto de las secciones del conducto admítase que
la distribución de presión es uniforme. Supóngase también que las fuerzas de fricción
en los deslizamientos de válvula y émbolo son despreciables.

PROBLEMA Nº 3: CONDUCTO CON VENTURI Y PITOT
Por el conducto de diámetro D de la figura circula en sentido ascendente aire a
20 ºC. En un tramo del conducto se ha intercalado un vénturi conectado a un tubo
piezométrico diferencial con agua; el diámetro en el estrechamiento es d. En otro tramo
de la conducción se ha introducido un tubo de Pitot-estático justo hasta el eje de la
tubería, cuyas tomas de presión van conectadas a un micromanómetro diferencial. Éste
consiste en dos depósitos de sección horizontal SD, que contienen un aceite de densidad
ρA, unidos mediante una manguera de sección SM con agua; se sabe que cuando no hay
diferencia de presión entre las dos tomas del micromanómetro el nivel del aceite en
ambos depósitos es el mismo. Las diferencias de nivel entre columnas de agua de los
manómetros conectados al vénturi y al tubo de Pitot son HV y HP respectivamente. Si el
vénturi tiene un coeficiente de derrame CD y la velocidad en el eje de la tubería es igual
a K veces la velocidad media, determínense el caudal Q (en m3
/s) circulante y la altura
entre columnas del micromanómetro HP (en mm).

PROBLEMA Nº 4: LÍMITE DE CAVITACIÓN EN VENTURI
La figura muestra un tramo de un circuito hidráulico por el que se suministra
agua a la temperatura T desde un depósito presurizado (a la presión relativa PD). Para
medir el caudal se dispone de un tubo Venturi con tomas de presión conectadas a dos
tubos piezométricos independientes con mercurio; cuando no circula agua, el nivel del
mercurio en las columnas abiertas a la atmósfera de ambos manómetros se encuentra a
una altura h0 =500 mm por debajo del eje de la tubería. Suponiendo que el coeficiente
de derrame del Venturi es CD=0.94, determínese el máximo caudal Q (en m3
/h) de agua
que puede circular por la instalación para que no haya cavitación en la garganta del
Venturi, e indíquense las alturas h1 y h2 (en mm) que, respecto al eje de la tubería,
alcanzaría el mercurio en las columnas conectadas a la atmósfera de ambos
manómetros piezométricos, para ese máximo caudal (para Q=0 se cumple que
h1=h2=h0). Otros datos son:
dT : diámetro de la conducción
dG : diámetro de la garganta del Venturi
l1, l2: longitudes de tramos horizontal y vertical hasta el Venturi (ver figura)
ε : rugosidad de la superficie interior de la tubería = 1 mm
zD : altura de la superficie libre en el depósito = 0.6 m
Patm : presión atmosférica = 1 bar
Nota 1: deberá realizarse una búsqueda bibliográfica de las propiedades físicas
del agua y mercurio a la temperatura T.
Nota 2: para evaluar las pérdidas de carga en la tubería, supóngase régimen de
flujo turbulento completamente desarrollado.
h1
l1
dT
pD
Q
l2
zD
h2

PROBLEMA Nº 5: VERTEDERO Y CANAL
Por un canal de sección rectangular y ancho b fluye un cierto caudal Q de
agua. En cierta posición del canal el agua rebosa sobre un vertedero rectangular con
aireación lateral. Este vertedero tiene el mismo ancho b del canal, y una altura Z sobre
el lecho. El nivel de la superficie libre aguas arriba del vertedero es H, referida a la
cresta del vertedero. El número de Froude de la corriente aguas abajo es Fr. La
rugosidad de las superficies del canal es ε.
Determínense:
a) Caudal Q circulante (en m3
/s).
b) Altura y de la superficie libre aguas abajo del vertedero (en m).
c) Empuje horizontal que soporta el vertedero (en ton.).
d) Radio hidráulico RH del canal aguas abajo del vertedero (en m).
e) Pendiente φ del canal aguas abajo del vertedero (en %0).
Z
H
Q
Q
y

PROBLEMA Nº 6: SEMEJANZA EN BOMBA CENTRÍFUGA
En una cierta explotación minera se dispone de una bomba de achique de alta
presión, para la que el fabricante indica una curva característica de altura de elevación-
caudal (cuando se acciona a la velocidad N1) dada por la expresión: H=A-B·Q2
(con H
en m y Q en m3
/s). A esa misma velocidad la potencia consumida por esta bomba en
función del caudal se aproxima por: WC=C+D·Q.
Se decide aprovechar dicha bomba para elevar hasta la superficie del terreno al
agua que brota continuamente desde una capa a una profundidad Z. Para ello se dispone
de una conducción de diámetro D (tanto en aspiración como en impulsión), una
longitud equivalente total L y una rugosidad promedio ε. La bomba, situada muy cerca
del punto de succión (se excluye pues la posibilidad de cavitación), se va a accionar
con un motor que gira a la velocidad N2. Se pide:
a) Curva característica H-Q de la bomba a la velocidad N2.
b) Caudal Q (en m3
/s) de agua enviada a la superficie.
c) Potencia WU (en kW) entregada por la bomba al agua, potencia WC (en kW)
consumida por la bomba y rendimiento total de la bomba ηB.

BIBLIOGRAFÍA
• Ballesteros, R. “Turbulencia”, Área de Mecánica de Fluidos, Universidad de
Oviedo. 2003.
• Blanco, E., Fernández, J., y Velarde, S. “Sistemas de Bombeo”. Servicio de
Publicaciones de la Universidad de Oviedo. 1994.
• Blevins, R.D. “Applied Fluid Dynamics Handbook”. Van Nostrand Reinhold.
New York. 1984.
• Fox, R.W. y McDonald, A.T. “Introducción a la Mecánica de Fluidos” (4ª
edición). McGraw–Hill. México D.F. 1995.
• Gerhart, P., Gross, R., y Hochstein, J. “Fundamentos de Mecánica de Fluidos” (2ª
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• Massey, B.S. “Mechanics of Fluids” (7th
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• Potter, M.C., y Wiggert, D.C. “Mecánica de Fluidos” (3ª edición). Thompson,
México D.F. 2002.
• Rott, N. “A note on the history of the Reynolds number”. Annual Revews of Fluid
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• Shames, I.H. “Mecánica de los Fluidos” (3ª edición). McGraw–Hill. Santa Fé de
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• Streeter, E.B., Wylie, E.B., y Bedford, K.W. “Mecánica de los fluidos” (9ª
edición), McGraw–Hill Interamericana. 2000.
• Velarde, S., González, J., y Fernández, J. “Prácticas de Máquinas Hidráulicas”.
Servicio de Publicaciones de la Universidad de Oviedo. 1999.
• White, F.M. “Mecánica de Fluidos”. McGraw–Hill. México D.F. 1988.

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