Pendulos

Practica 06
Movimiento Armńico Simple
o
Pńdulos
e
Elaborado por: Jose Ortega
Email: jgc928@icqmail.com,
jortega@fis-lab.ciens.ucv.ve

1. Parte Te´rica
o
En prćticas anteriores se han utilizado, el sistema masa-resorte, pero en un estado digamos
a
estacionario o de equilibrio, si dicho sistema se estudiara en un estado din´mico, (es decir, no de
a
equilibrio), dicho sistema se comportar´ como un Movimiento Armonico Simple (M.A.S.); (Lo
a
de Armńico es porque se puede describir en la forma de funciones armńicas es decir senos o
o o
cosenos que se repiten periodicamente en el tiempo. Dicho movimiento tiene la caracter´ ıstica que
posee siempre una fuerza restauradora en la direcciń opuesta al movimiento y hacia su punto de
o
equilibrio.
Otro ejemplo de este tipo de movimiento es el Pńdulo, el cual se le aplica una posiciń inicial
e o
(angulo inicial) y se estudian sus oscilaciones. Ahora bien, primero determinemos el periodo de
oscilaciń del mismo, recordando que el periodo es el tiempo necesario para que el pńdulo realice
o e
una oscilaciń completa, es decir ida y vuelta.
o
Recordemos las f´rmulas del movimiento circular simple:
o
2π
ω = 2πf = (1)
T
V2
ac = (2)
r
V
ω= (3)
r
Con:

f −→ Es la frecuencia del Movimiento Circular
T −→ Es el per´
ıodo del Movimiento Circular
ac −→ Es la Aceleraciń centripeta del Movimiento Circular
o
r −→ Es el radio del Movimiento Circular
V −→ Es la Velocidad tangencial del Movimiento Circular
ω −→ Es la frecuencia angular del Moviento Circular

A continuaciń vamos a resolver el problema del pńdulo de la manera m´s simple de hacerla, en
o e a
ˆ ˆ
coordenadas polares, en el siguiente dibujo se ven dos direcciones Ur y Uθ privilegiadas y con flechas
negras, el el primero de ellos se refiere al eje Radial, el cual posee las componentes de la Tensińo

1

de la cuerda (T ) en sentido negativo y la componente radial del peso (P r) en sentido positivo, lo
cual por leyes de newton es igual a la aceleraciń centripeta en sentido negativo ya que apunta en
o
ˆ
sentido opuesto al incremento de Ur . Y la componente tangencial la cual hace que el pńdulo oscile
e
se debe a la componente tangencial del peso (Pθ ) que en todo momento apunta hacia la posiciń o
de equilibrio del pńdulo.
e
¥¡¥¡¥¡¥¡
¡¡¡¡¥¦¥
¦¡¦¡¦¡¦¡¦
¤¡£¤¡¡£¤£¤ ¥¡¥¡
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¤¤¡¡¤¡¤
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θ
¡¤¡¤¡
£ £ £ L
¡£¡£¡¤
£¤¡¡¡£¤£ ¤¡¤¡ T
¢¡ ¢ ¢ ¢ ¤¡¤¡¤¡
¢¡
¡
¢¡
¡
¡ ¡£ £ £
Uθ

Pθ
θ Pr
P Ur

Figura 1: Diagrama de Cuerpo Libre sobre la masa

Esta es la f´
ısica tras el problema ahora todo lo dicho anteriormente ser´ escrito en lenguaje
a
matem´tico, considerando que el radio del Movimiento circular es L:
a
Ecuaciń de Newton Componente Radial
o

m(−ac ) = mg cos θ − T Usando (2)
V2
−m = mg cos θ − T
L
V2
= T − g cos θ
L
Ecuaciń de Newton Componente Tangencial y la “importante”
o
¨
mLθ = −mg sen θ
Las masas se cancelan
¨ g
θ = − sen θ
L
Como los Angulos a Considerar son pequeõs:
n
∼ θ3 θ5
sen θ = θ − + −···
3! 5!

Tomando la aproximaciń de primer orden de la anterior serie de Taylor, es decir, sen θ ∼ θ;
o =
finalmente se llega a:
¨ g
θ=− θ (4)
L
g 1 L
La cual tiene la forma de un M.A.S. con periodo ω 2 = L =⇒ ω = g. Ahora:

2π
T =
ω

2

L
T = 2π (5)
g

De esta ultima ecuaciń tenemos que el pńdulo es independiente de la masa, por lo tanto, que
´ o e
se tenga una masa grande de hierro o una pequeã de aluminio, mientras se tengan oscilaciones
n
pequeãs su periodo de oscilaciń ser´ el mismo, el mismo dependera s´lo de la longitud del pńdulo.
n o a o e

2. Parte Experimental

3. Pendulo Simple
En principio vamos a estudiar la masa, para ver que efectivamente no tiene efecto en el periodo.
Se mantendr´ el angulo inicial en 5◦ y la longitud de 1m constantes!!.
a ´
Longitud del hilo: Angulo inicial:
50T (aluminio): Taluminio :
50T (hierro): Thierro :
50T (plomo): Tplomo :

Recuerde: El error en el tiempo ser´ su tiempo de reacciń, el cual se mide, con un cron´mero,
a o o
inicie el cronometro en 00 : 00 : 00 e intente pararlo en 5 seg, el tiempo de diferencia entre los
5seg y donde lo detuvo es su tiempo de reacciń, realice la medida por lo menos 5 veces a fin de
o
disminuir los errores al m´ximo; en esta prćtica un error del 100 % es inaceptable.
a a
Ahora de los pńdulos anteriores utilice el m´s pesado y procederemos a variar el Angulo inicial,
e a
y dejaremos la masa y la longitud del hilo constantes: Longitud del hilo:
Thierro : Tplomo :

Angulo Inicial 50T ± 50∆T T ± ∆T
5◦ You got it! You got it!
10◦
15◦
20◦
30◦
40◦
50◦
60◦

Observe y describa su efecto.
Ahora se dejarń constantes el pńdulo m´s pesado y su angulo inicial en 5 ◦ y se variada la
a e a
longitud del mismo:

Longitud (m) 100T ± 100∆T T ± ∆T
1 You got it! You got it!
0.80
0.65
0.50
0.35
0.25

3

Ahora grafique T Vs L en diferentes tipos de papel (milimetrado, semi-log, log-log) se busca
obtener una linea recta!. Haga una conclusiń acerca de los 3 experimentos realizados.
o

4. Pńdulo de Aro
e

5. Modelo Te´rico
o

Figura 2: Pńdulo de Aro
e

De la de la 2da Ley de Newton para cuerpos r´ıgidos y por tratarse de un movimiento en forma
de arco de circunferencia se tiene que a es una aceleraciń angular (M.A.S.) caracterizada por la
o
letra α = −ω 2 θ.

Στ = Ia
Στ = Iα (6)
Pero sabemos que el Torque es (τ = RxF ).
Donde R −→ Es la distancia del eje de giro al punto de aplicaciń de la fuerza (en este caso
o
D= diametro promedio del aro).

Y conocemos el valor de la unica fuerza incidente en el sistema que es el peso (mg) y se encuentra
hacia el sentido negativo del eje de las X. Por lo tanto la
Στ = −Dmg sen(θ) (7)
Usando (6) y (7)

Iα = −Dmg sen θ (como a = −w2q)
2
−Iω θ = −Dmg sen θ (Como el sen θ = θ)
Iω 2 θ = −Dmgθ
Dmg
ω2 =
L

Icm = mr2, pero por el teorema de los ejes paralelos tenemos (Iaro = mr2 + mr2 = 2mr 2 , siendo
m la masa del aro y r el radio del aro). Ahora sustituyendo Iaro en ω 2 :

4

Dmg
ω 2 = 2mr2 y como T = 2π ; Tenemos que w 2 = Dg
ω 2r
1
Y ahora como D = r/2 2r 2 = 2 D2 T = 2π
densidad hierro colado= 7850 kg/m3 = 7,85 g/cm3 m= d*v = 1092,24g Iaro= md2/4

5

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