Apuntes mcu
- 1. factoriadecientificos.blogspot.com El movimiento circular uniforme se caracteriza por: s > La trayectoria es una circunferencia. R ϕ > La velocidad es constante Si se considera un punto girando en una circunferencia es fácil concluir que es mucho más sencillo medir el ángulo girado en un intervalo de tiempo que el arco recorrido (espacio). Por esto se define la velocidad angular ω como la rapidez con que se describe el ángulo (ϕ): Entre la velocidad lineal y la angular existe la siguiente relación: v =ω.R El ángulo (ϕ), debe medirse en radianes: Para convertir vueltas o grados a radianes: longitud arco (m) s ϕ (rad) = = π rad π radio circunferencia (m) R 30 0 = rad 180 0 6 Según esta definición: 2 π rad 1 vuelta = 360 = 2 π radianes 0 0,9 vueltas = 1,8 π rad 1 vuelta ½ vuelta = 180 = π radianes 0 ¼ de vuelta = 90 = π /2 radianes 0 De la definición de velocidad angular se deduce la relación entre la velocidad angular ω y el ángulo girado ϕ: En el Sistema Internacional (S.I.) la velocidad angular se rad 1 ϕ=ω.t mide en o en = s−1 (el radian no tiene dimensiones) s s Si cuando empieza a contarse Otras unidades ( no S.I.) son: el tiempo (t = 0) el punto ya ha vueltas revoluciones descrito un ángulo ϕ0, entonces ; = r.p.m s min el ángulo girado en un tiempo t será: ϕ = ϕ0 + ω . t. factoriadecientificos.blogspot.com Conceptos básicos de MCU 1
- 2. El movimiento circular uniforme es un movimiento periódico, ya que se repite a intervalos regulares de tiempo. Se denomina periodo ( T ) al tiempo que el punto tarda en dar una vuelta (el movimiento vuelve a repetirse). Teniendo en cuenta las definiciones de periodo, Se denomina frecuencia ( f ) al número de vueltas que el punto frecuencia y velocidad da en un segundo. angular, se puede poner: Periodo y frecuencia son magnitudes inversamente 2π 1 proporcionales: ω= = 2π =2π f T T 1 1 T= ; f = ; T.f=1 f T El periodo se mide en segundos (s) La frecuencia se mide en s − 1 o Hz (hertzios) Ejemplo 1 Un punto describe una trayectoria circular tardando 3,52 s en dar cinco vueltas. Calcular: a) La velocidad angular en r.p.m y en rad/s b) El periodo y la frecuencia del movimiento c) El ángulo girado al cabo de 0,65 s de iniciado el movimiento. Solución: 5 vueltas 60 s vueltas a) ω= = 85,23 = 85,23 r.p.m. 3,52 s 1min min 5 vueltas 2π rad rad ω= = 2,84 π = 2,84 π s −1 3,52 s 1 vuelta s 3,52 s 1 1 b) T= = 0,704 s f= = = 1,420 s −1 = 1,420 Hz 5 T 0,704 s c) ϕ = ω . t = 2,84 π s . 0,65 s = 1,85 π rad ≈ 5,81 rad –1 Ejemplo 2 En el laboratorio se estudia el movimiento de un disco, de radio 10 cm, que gira con velocidad constante, midiéndose el tiempo que tarda en dar cinco vueltas. Los valores obtenidos se dan en la tabla adjunta. a) Calcular la velocidad angular del disco. t (s) . Cinco Medida b) Determinar la velocidad lineal de un punto de su periferia y de otro vueltas situado a 3 cm del centro. 1 4,252 0 2 4,305 c) ¿Cuánto tardará en girar 120 ? 3 4,221 4 4,214 Solución: 5 4,296 a) Calculamos el periodo del movimiento (tiempo que tarda en dar una vuelta), hallando la media de los valores obtenidos y dividiendo por cinco: tmed = 4,258 s ; T = 0,852 s. Cálculo de la velocidad angular: 2π 2π rad ω= = = 2,35 π s −1 ≈ 7,38 s −1 = 7,38 T 0,852 s s factoriadecientificos.blogspot.com Conceptos básicos de MCU 2
- 3. b) Un punto situado en la periferia del disco describirá una circunferencia de radio 10 cm = 0,10 m v = ω . R = 2,35 π s . 0,10 m = 0,235 π s ≈ 0,74 m .s = 0,74 m/s -1 -1 -1 Par el punto situado a 3 cm del centro : R = 3 cm = 0,03 m: v = ω . R = 2,35 π s . 0,03m = 0,0705 π s ≈ 0,22 m .s = 0,22 m/s -1 -1 -1 Como se deduce del cálculo ambos puntos giran con idéntica velocidad angular (ω), ya que recorren el mismo ángulo, pero la velocidad lineal aumenta a medida que nos desplazamos hacia la periferia. π rad c) Pasamos los grados a radianes: 120 0 = 0,67 π rad 180 0 ϕ ϕ 0,67 π ω= ; t= = = 0,283 s t ω 2,35 π s −1 Ejemplo 3 -1 Un punto recorre una trayectoria circular de radio 36 cm con una frecuencia de 0,25 s . a) Calcular el periodo del movimiento. b) Calcular la velocidad angular y la lineal. c) Determinar el ángulo girado en 1,54 s. Solución: 1 1 a) T= = =4s f 0,25 s −1 ω = 2 π f = 2 π 0,25 s = 0,5 π s ≈ 1,57 s -1 -1 -1 b) v = ω R = 0,5 π s 0,36 m = 0,18 π m s = 0,18 π m/s ≈ 0,57 m/s -1 -1 c) ϕ = ω t = 0,5 π s 1,54 s = 0,77 π rad -1 1800 0,77 π rad = 138,60 π rad Ejemplo 4 0 Un punto gira describiendo círculos con velocidad constante de forma tal que describe un ángulo de 180 en 1,543 s. ϕ=0 a) Calcular su velocidad angular t=0 b) Determinar el periodo y la frecuencia del movimiento 30 0 c) Suponiendo que los ángulos empiezan a contarse a partir del punto más alto de la trayectoria y el cronómetro se pone en marcha cuando el 0 punto está formando un ángulo de 30 con la vertical (ver esquema) ¿en qué posición se encuentra el punto cuando transcurran 2,500 s? Solución: π rad rad a) ω= = 0,65 π = 0,65 π s −1 1,543 s s factoriadecientificos.blogspot.com Conceptos básicos de MCU 3
- 4. 0 b) Tarda 1,543 s en dar media vuelta (180 ), luego tardará: 2 x1,543 = 3,086 s en dar una vuelta completa. Por tanto: T = 3,086 s. 1 1 f= = = 0,32 s −1 T 3,086 s π rad π c) 30 0 = rad 180 0 6 π π 1 ϕ = ϕ0 + ωt = + 0,65 π s 2,500 s = + 1,625 π = π ( + 1,625 ) = 1,79 π rad –1 6 6 6 1800 1,79 π rad = 322,20 π rad factoriadecientificos.blogspot.com Conceptos básicos de MCU 4