Plano Numerico
- 1. Plano Numerico Estudiante: Josbert Guedez CI: 28.150.010 Sección: IN0405
- 2. Distancia : Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Punto Medio El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. Sean y los extremos de un segmento, el punto medio del segmento viene dado por:
- 3. Los vectores y se denominan directores, ya que son los encargados de establecer las direcciones para generar a los puntos del plano dichos vectores se consideran en el plano. Ahora, como y también pertenecen a y no tienen la misma dirección, es posible encontrar a escalares y respectivamente, tales que sea posible crear a los vectores y cuya suma sea es decir: Ecuaciones La construcción de la ecuación vectorial es la siguiente: -Consideremos a como un punto de referencia del plano -Consideramos a un vector en el plano que comienza en y termina en , dicho vector se puede construir de la siguiente manera . , Desarrollamos y nos quedaría esta ecuación:
- 4. Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad: Ecuaciones paramétricas del plano: Esta igualdad se verifica si: Ecuación general o implícita del plano: obteniendo así las ecuaciones paramétricas del plano. Un punto está en el plano si tiene solución el sistema: Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas y .Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero. Desarrollamos y obtenemos la ecuación general de plano:
- 5. Vamos a construir la ecuación de un plano usando otros elementos Vector Normal: Primero consideremos a un vector perpendicular al plano llamado vector normal , y además a un punto fijo del plano De este modo también se puede determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.
- 6. Ecuación canónica o segmentaria del plano: Sean , y tres vectores en el espacio por donde pasa el plano que se encuentran sobre los ejes de referencia. Construyamos a la ecuación de en su forma canónica partiendo de su forma general. Supongamos que tenemos a la ecuación en su forma general del plano : Donde son todos números reales distintos de cero.
- 7. Donde los denominadores coinciden exactamente con los valores de los vectores en el espacio que se mencionaron inicialmente, de esta manera si: Y si ahora estructuramos a las fracciones queda: De la ecuación general restemos de ambos lados a D y posteriormente dividamos a ambos lados entre D quedando así el proceso: Entonces ya tenemos a la ecuación de en su forma canónica:
- 8. Es el conjunto de todos los puntos sobre un plano, que son equidistantes de un punto fijo sobre el plano. Al punto fijo se le llama centro y a la distancia de cualquier punto de ella al centro se llama radio La Circunferencia Si desarrollamos, obtenemos ecuación general de la circunferencia Ahora bien, si en esta ecuación completamos cuadrados y analizando la cantidad subradical D2 + E2 -4F, se tiene:
- 9. Trazado de una circunferencia: Para trazar una circunferencia, lo primero que debemos hacer es tener en cuenta el centro y el radio del mismo. El centro es el punto desde donde se partirá para la construcción de la circunferencia, siendo el radio, la distancia que existe entre este centro y cualquier punto de la circunferencia. En el siguiente ejemplo, se tiene como centro los puntos (4.68;1.38) Parábola parábola es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.Una parábola queda definida por el conjunto de los puntos del plano que equidistan de una recta fija y un punto fijo.
- 10. Elipse Una elipse es una curva plana, simple y cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. Hipérbola Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
- 11. Graficas de las ecuaciones cónicas: Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta que llamamos generatriz, alrededor de otra recta , eje, con el cual se corta en un punto , vértice. = la generatriz = el eje = el vertice Elementos cónicas: -Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo. -Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas. -Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices. -Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución. -Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad - y la inclinación del plano respecto del eje del cono , pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.
- 12. Elipse La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz. La elipse es una curva cerrada. Circunferencia La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. La circunferencia es un caso particular de elipse
- 13. Parábola La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz. La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito. Hipérbola La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica. La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.