plano numérico.PPTX
- 1. PLANO NUMÉRICO Integrantes: Victor Brito C.I.: 20.017.130 Aracelys Benitez C.I.: 13.785.888 Joselyn Escobar C.I.: 24.399.078 Eliezer Figueredo C.I.: 21.244.055 Shantal Rdriguez C.I.: Sección DL0302
- 2. Que es un plano numérico A cada punto en el plano se le asigna una pareja de números reales (a, b) donde a el punto de corte sobre el eje X y B es el punto de corte sobre el eje . La intersección de estas dos rectas (ejes) forman cuatro cuadrantes, el primer cuadrante tanto X como Y son positivo, en el segundo, X es negativo Y es positivo, en el tercero los dos son negativo y en el cuarto X es positivo y Y negativo.
- 3. Distancia La distancia entre dos putos está vinculada al plano numérico, ya que este permite calcular la distancia que existe entre ambos punto, a partir de la ubicación de las coordenadas de ambos. Por su parte, cuando ambos puntos pasan del plano a la superficie terrestre, su distancia se calcula de otra manera. Distancia entre puntos sean A = (x1, y2) y B = (x2, y2) puntos la distancia entre A y B viene dada por: d = (𝑥2 − 𝑥1)2+ (𝑦2 − 𝑦1)2 Ejercicio de ejemplo:
- 4. ¿Qué es el punto medio? Es un punto que se ubica exactamente en la mitad de un segmento de línea que une a dos puntos. Por ejemplo, si es que tenemos dos puntos y los unimos con un segmento de línea, el punto medio se ubicará en la mitad de ese segmento y será equidistante a ambos puntos. En el siguiente diagrama tenemos los puntos A y B, los cuales están unidos por un segmento. El punto C es el punto medio, ya que está exactamente en la mitad del segmento. Fórmula para el punto medio de un segmento Si es que tenemos los puntos A y B con las coordenadas A = (𝑋1 , 𝑌1 ) y B = (𝑥2 , 𝑦2 ), la fórmula del punto medio es: Fórmula del punto medio M = 𝑥1+𝑥2 2 , 𝑦1+𝑦2 2
- 5. Punto medio Ejemplo: Encuentra el punto medio de un segmento que une a los puntos (2, 5) y (6, 9). Tenemos a las siguientes coordenadas: ◦ ( x1 , x2)= (2 ,5) ◦ ( y1 , y2)= (6, 9) Ahora , usamos la Formula con las coordenadas dadas : Formula: PM = 𝒙𝟏+𝒙𝟐 𝟐 , 𝒚𝟏+𝒚𝟐 𝟐 PM = 𝟐+𝟔 𝟐 , 𝟓+𝟗 𝟐 PM = 𝟖 𝟐 , 𝟏𝟒 𝟐 PM = (4 , 7)
- 6. Circunferencia Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos). Determinación de una circunferencia Una circunferencia queda determinada cuando conocemos: a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro. b) El centro y el radio. c) El centro y un punto en ella. d) El centro y una recta tangente a la circunferencia. Así podemos expresarla Donde: (d) Distancia CP = r Fórmula que elevada al cuadrado nos da (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 También se usa como (x ─ h) 2 + (y ─ k) 2 = r 2
- 7. Circunferencia Ecuación reducida de la circunferencia Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 , debemos consignar que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la ecuación queda reducida a: (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 (x ─ 0) 2 + (y ─ 0) 2 = r 2 x 2 + y 2 = r
- 8. Circunferencia Ejercicio con ejemplo de circunferencia
- 9. Parábolas La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano, , que equidistan de un punto fijo, , llamado foco y de una recta fija, llamada directriz. Elementos de la parábola • Foco (F) Es el punto fijo . • Directriz (d): Es la recta fija . • Parámetro (P): Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra . • Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. • Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje. • Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
- 10. Ecuaciones de una parábola Ecuacion ordinaria de la parabola Ecuacion general de la parabola
- 11. Ejercicio de parábola 6𝑦2 - 12x = 0 6𝑦2 = 12x y² = 2x Despejamos el termino cuadrático 4p = 2 P= 2 4 = 1 2 Identificamos el valor de P Foco F 1 2 , 0 Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz Directriz X = - 1 2 Trazamos siguiendo los puntos ya reflejados
- 12. Elipse La elipse es una curva geométrica fascinante que se encuentra en muchos aspectos de la naturaleza y las ciencias. Desde la antigüedad, matemáticos y astrónomos han estudiado y apreciado la belleza y las propiedades únicas de esta figura. En su forma más básica, una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, para los cuales la suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Elementos de la elipse 1- Focos: Son los puntos fijos F’ y F. 2- Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. 3- Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF. 4- Centro es el punto de intersección de los ejes. 5- Radios vectores: son los segmentos que van desde un punto de los elipse a los focos PF y PF. 6- Distancia focal: es el segmento FF de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal. 7- Vértices: son los puntos de la intersección de la elipse con los ejes A, Aʹ, B y Bʹ. 8- Eje mayor: es el segmento AAʹ de la longitud 2 a , donde a es el valor del semieje mayor. 9- Eje menor: Es el segmento BBʹ de longitud 2b, donde b es el valor del semieje menor. 10- Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o a el eje menor. 11- Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
- 13. Ecuación del elipse 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 Ecuación canónica Ejercicio: Eje mayor La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor 𝑥2 16 + 𝑦2 12 = 1 𝑎2 = 16 a = 4 Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor A (4,0) Aʹ(-4,0) Eje menor 𝑏2 = 12 b = 2 3 Este seria el valor del semieje menor. B (0, 2 3 ; Bʹ (0, -2 3) Por lo tanto, estos son los vértices que se encuentran en el eje menor. Focos C= 16 − 12 ; C = 2 F(2, 0) : Fʹ(-2, 0) calculamos el valor de la distancia semifocal. Y con éste, localizar los focos. Excentricidad e = 𝑐 𝑎 = 1 2 La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor. Grafica:
- 14. Hipérbola Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante. H = {P(x,y)| |d(P;F1) –d (P;F2)| = 2ª = constante} Si la distancia entre los focos es d(F1, F2) = 2c, la condición para que sea una hipérbola es: c > a > 0 c2 > a2 c2 - a2 = b2 → c² = a² + b²
- 15. Elementos de una hiperbola ◦ Focos. (F1 y F2). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma. ◦ Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos. ◦ Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos. ◦ Centro (O): Punto de intersección de los ejes focal y secundario. ◦ Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Su valor es c. ◦ Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Su longitud es 2c. ◦ Los vértices (V1 y V2). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal. ◦ Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cuaqluiera de los vertices A o A'. Su longitud es a. ◦ Semieje imaginario (b). 𝑏 = 𝑐2 + 𝑎2 .
- 16. Ecuación de la hipérbola Hipérbola centrada verticalmente 𝑥² 𝑎² − 𝑦2 𝑏2 = 1 Hipérbola centrada horizontalmente 𝑦² 𝑎² − 𝑥2 𝑏2 = 1 Ecuación de hipérbolas centradas en el origen
- 17. Hipérbola orientada verticalmente con centro fuera del origen (𝑥 − ℎ)2 𝑎² − 𝑦 − 𝑘 2 𝑏2 = 1 Hipérbola orientada horizontalmente con centro fuera del origen (𝑦 − 𝑘)2 𝑎² − 𝑥 − ℎ 2 𝑏2 = 1 Ecuación de la hipérbola Ecuación de hipérbolas centradas fuera del origen
- 18. (0,0) V1 V2 F1 F2 ----------------------- ----------------------- 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 F1 (0, 13) x y F2 (0, - 13) V1 (0, 3) V2 (0, -3) Ejercicio de ejemplo hiperbola: Grafica conociendo la ecuacion canonica (0, 0). Hiperbola centrada horizontalmente. 𝑦² (3)² − 𝑥2 (2)2 = 1 Datos: Centro (0, 0) a = 3 b = 2 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐2 = 32 + 22 𝑐2 = 13 c = 13 Lr = 2.𝑏2 𝑎 Lr = 2.22 3 Lr = 2.4 3 Lr = 8 3
- 19. Graficas de las ecuaciones conicas Una ecuacion cónica es la intersección de un plano y un cono recto circular doble. Por el cambio del ángulo y la ubicación de la intersección, podemos producir diferentes tipos de cónicas. Ninguna de las intersecciones pasara a través de los vértices del cono.
- 20. Bibliografia ◦ https://www.neurochispas.com/matematicas/punto-medio-de-un-segmento-formula-y-ejemplos/ ◦ https://www.definicionabc.com/general/plano-cartesiano.php ◦ https://diccionarioactual.com/distancia-entre-dps-puntos/ ◦ https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/parabola.html ◦ https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/ejercicios-de-la- ecuacion-de-la-parabola.html ◦ https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/ejercicios-de-la- ecuacion-de-la-elipse.html