Practica 3 regla falsa
Descargar como DOCX, PDF0 recomendaciones5,242 vistas
Este documento presenta el método numérico de la regla falsa para encontrar las raíces de un polinomio. Describe los pasos del método, incluyendo la selección de valores iniciales xa y xb con signos opuestos de f(x), y el cálculo iterativo de nuevas aproximaciones xr. El documento aplica el método a la función f(x) = -2.5x^3 + 17x^2 - 22x - 11 para encontrar sus raíces en -0.38 y 2.43. Concluye que el método converge más rápido que
![En este caso, tenemos que f(Xa) y f(Xr) tienen signos opuestos, y por lo tanto la
raíz se encuentra en el intervalo [Xa,Xr].
2.- 𝑓( 𝑋𝑎) ∗ 𝑓( 𝑋𝑟) > 0
En este caso, tenemos que f(Xa) y f(Xb) tienen el mismo signo, y de aquí que
f(Xr) y f(Xb) tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el
intervalo [Xr,Xb].
3.-𝑓( 𝑋𝑎) ∗ 𝑓( 𝑋𝑏) = 0
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raíz. Para esto se
tienen diferentes criterios de evaluación de iteraciones o hasta que el error a la
aproximación sea mínimo dicho error queda definido por:
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 % = |
𝑋𝑟 𝑎𝑐𝑡 − 𝑋𝑟 𝑎𝑛𝑡
𝑋𝑟 𝑎𝑐𝑡
| ∗ 100
Es importante considerar la grafica de la función a evaluar ya que de ella
depende los valores iniciales de Xa y Xb cuando no se tiene una idea de donde
está la raíz.
3.- DESARROLLO:
1.- Se realizó la práctica tomando en cuenta la función:
𝑓( 𝑥) = −2.5𝑥3
+ 17𝑥2
− 22𝑥 − 11](https://image.slidesharecdn.com/practica3reglafalsa-150506110222-conversion-gate01/85/Practica-3-regla-falsa-3-320.jpg)
Practica 3 regla falsa
- 1. INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL. Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Unidad Zacatenco. Asignatura: ANALISIS NUMERICO PRACTICA NO.3 REGLA FALSA Integrantes del Equipo: Benítez Acevedo Luis Fernando Santiago Rodríguez Leopoldo Profesor: Lic. María Ivonne Gutiérrez Villalba Grupo: 4CM3
- 2. PRACTICA NO. 3 “REGLA FALSA” 1.- OBJETIVO: Determinará el valor de una raíz a un polinomio dado por el método numérico de Regla Falsa. Usará algún software para comprobar la raíz encontrada por una grafica. Codificara el método de Regla Falsa. 2.- MARCO TEORICO: El método de Regla Falsa es una alternativa del método de bisección y que modifica un poco su algoritmo en la obtención de las nuevas aproximaciones pero conservando los criterios para Xa y Xb por lo cual se toma como base el algoritmo de bisección. La ventaja que tiene este método es la rapidez de convergencia comparándolo con bisección este método converge más rápido; es decir con menos iteraciones En particular, si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces un valor de la regla falsa es precisamentex=0, y por lo tanto, nos asegura que debe existir 𝑥𝑜 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que f(xo)=0, es decir, debe haber por lo menos una raíz de f(x ) en el intervalo (a,b). El método de regla falsa sigue los siguientes pasos: Sea f(x) continua. i) Encontrar o proponer valores iniciales Xa y Xb, tales que f(Xa) y f(Xb) tienen signos opuestos, es decir: 𝑓( 𝑋𝑎) ∗ 𝑓( 𝑋𝑏) < 0 ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre Xa y Xb: 𝑋𝑟 = 𝑋𝑏 − 𝑓( 𝑋𝑏) ∗ (𝑋𝑎 − 𝑋𝑏) 𝑓( 𝑋𝑎) − 𝑓(𝑋𝑏) iii) Evaluar f(Xr). Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos: 1.- 𝑓( 𝑋𝑎) ∗ 𝑓( 𝑋𝑟) < 0
- 3. En este caso, tenemos que f(Xa) y f(Xr) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo [Xa,Xr]. 2.- 𝑓( 𝑋𝑎) ∗ 𝑓( 𝑋𝑟) > 0 En este caso, tenemos que f(Xa) y f(Xb) tienen el mismo signo, y de aquí que f(Xr) y f(Xb) tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo [Xr,Xb]. 3.-𝑓( 𝑋𝑎) ∗ 𝑓( 𝑋𝑏) = 0 En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raíz. Para esto se tienen diferentes criterios de evaluación de iteraciones o hasta que el error a la aproximación sea mínimo dicho error queda definido por: 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 % = | 𝑋𝑟 𝑎𝑐𝑡 − 𝑋𝑟 𝑎𝑛𝑡 𝑋𝑟 𝑎𝑐𝑡 | ∗ 100 Es importante considerar la grafica de la función a evaluar ya que de ella depende los valores iniciales de Xa y Xb cuando no se tiene una idea de donde está la raíz. 3.- DESARROLLO: 1.- Se realizó la práctica tomando en cuenta la función: 𝑓( 𝑥) = −2.5𝑥3 + 17𝑥2 − 22𝑥 − 11
- 4. La raíces esperadas son x=-0.38 y x1=2.43 2.- En las siguientes imágenes se hace referencia a las aproximaciones a las raíces de la función: Se propuso inicialmente como: Raiz positiva Xa=2 Xb=3 1ra iteración: 2da iteración:
- 5. Como se puede observar a partir de la segunda iteración, la aproximación es aceptable. Raíz negativa Xa=1 Xb=0 1ra iteración: 2da iteración:
- 6. 3ra iteración: 4ta iteración: Como se puede ver la aproximación en la 4 iteracion a diferencia de la raíz positiva, quedo mas alejada de la raíz verdadera esta aproximación Xr.
- 7. 3.- En la siguiente imagen se muestra el diagrama de flujo del método Regla Falsa:
- 8. 4.- CONCLUSIONES: Por los resultados obtenidos llegamos a la conclusión que este método es útil se asemeja bastante a bisección pero con la diferencia que mejora en la rapidez de convergencia es decir, hace menos iteraciones que bisección partir de 4 o más aproximaciones ya que el error se reduce significativamente, la desventaja que pudimos notar es que de igual forma que en bisección, las condiciones iniciales propuestas deben de ser cercanas a la raíz, sino Xr se aproximara muy lento a la raíz. Pudimos percibir que la rapidez de convergencia de este método deja mucho que desear.