practica laboratorio fisica

Los presentes guiones sirven para el desarrollo del trabajo de laboratorio co-
rrespondiente a la asignatura ”Técnicas Experimentales Básicas”, del 1er
curso de
la Licenciatura de Ciencias F´ısicas.
Se han elaborado en el Departamento de F´ısica Aplicada de la Universidad de
Granada, están basados en versiones anteriores existentes en el Departamento y,
asimismo, contienen nuevas prácticas de laboratorio.
Los profesores que han participado en la elaboración de estos guiones prácticas
han sido:
Cabrerizo V´ılchez, Miguel
Callejas Fernández, José
Castor D´ıez, Yolanda
Esteban Parra, Mar´ıa José
Foyo Moreno, Inmaculada
Hernández Andrés, Javier (Dpto. Óptica)
Kowalski, Andrew (Coordinador del Laboratorio)
Mart´ın Pérez, José Antonio
Mart´ınez Garc´ıa, Rafael
Mart´ınez López, Francisco (Coordinador de la edición)
Morente Chiquero, Juan Antonio
Olmo Reyes, Francisco José
Port´ı Durán, Jorge Andrés
Schmitt, Artur
Vida Manzano, Jerónimo

Índice general
TÉCNICAS AUXILIARES DE LABORATORIO 1
0. ESTUDIO DEL PÉNDULO: MEDIDA DE g 11
1. LEYES DE NEWTON 15
2. CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS 19
3. MOMENTO DE INERCIA DE UN VOLANTE 23
4. CONSTANTE ELÁSTICA DE UN MUELLE 27
5. PÉNDULO DE KATER 31
6. ELASTICIDAD: FLEXIÓN DE UNA BARRA 33
7. PÉNDULO DE TORSIÓN 37
8. DETERMINACIÓN DE DENSIDADES DE LIQUIDOS Y SÓLIDOS 41
9. MEDIDA DE LA VISCOSIDAD POR EL MÉTODO DE STOKES 47
10.TERMÓMETRO DE GAS A PRESIÓN CONSTANTE 51
11.EQUIVALENTE EN AGUA DE UN CALORÍMETRO 55
12.CALOR DE FUSIÓN DEL HIELO Y CALOR ESPECÍFICO DE SÓLIDOS 57
13.LEY DE BOYLE 61
14.VELOCIDAD DEL SONIDO EN EL AIRE 65
15.ONDAS AC ÚSTICAS: INTERFERENCIA, REFLEXIÓN Y DIFRACCIÓN 69
16.ONDAS MECÁNICAS MONODIMENSIONALES 77
17.LEY DE OHM 79
18.LEYES DE KIRCHHOFF. PUENTE DE WHEATSTONE. 87
19.CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR 95
20.MEDIDA DE RESISTIVIDADES DE MATERIALES 99
21.MANEJO DEL OSCILOSCOPIO 103
i

ii
22.CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA 113
23.CAMPOS MAGNÉTICOS EN LAS PROXIMIDADES DE CONDUCTO-
RES 119
24.MARCHA DE RAYOS 123
25.LENTES Y SISTEMAS DE LENTES 127
26.DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER 133
Prácticas Técnicas Experimentales Básicas 1er
curso de Licenciado en F´ısica

TÉCNICAS AUXILIARES DE
LABORATORIO
ERRORES
Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una imprecisión inherente al proceso de
medida. Puesto que en éste se trata, básicamente, de comparar con un patrón y esta comparación
se hace con un aparato (por simple que sea -una regla, por ejemplo- podemos incluirlo en la
denominación generalizada de “aparato”), la medida dependerá de la m´ınima cantidad que aquel
sea capaz de diferenciar. Y esta cantidad va decreciendo con el progreso de la f´ısica en un proceso
continuado, pero sin fin aparente. Es decir, que, aunque cada vez podamos dar la medida con
más “decimales”, el siguiente “decimal” no podrá saberse ... por el momento.
Por lo tanto, podemos decir que las medidas de la f´ısica son siempre “incorrectas”. Dicho de
una manera más “correcta”: si llamamos error a la diferencia que existe entre la medida y el
valor “verdadero” de la magnitud, siempre existirá este error. Es, lo que podr´ıamos llamar un
“error intr´ınseco”, por inevitable.
Pero, el valor de las magnitud f´ısicas se obtiene, como hemos indicado, experimentalmente. Es
decir, por medición, bien directa de la magnitud cuyo valor deseamos conocer o bien indirecta por
medio de los valores de otras magnitudes, ligadas con la magnitud problema mediante alguna ley
o fórmula f´ısica. Por lo tanto, debe de admitirse como postulado que, aparte del “error intr´ınseco”
que hemos señalado anteriormente, el proceso experimental lleva en s´ı otras imperfecciones que
hacen que resulte imposible (incluso si prescindiéramos del “error intr´ınseco”) llegar a conocer el
valor exacto de ninguna magnitud f´ısica, puesto que los medios experimentales de comparación
con el patrón correspondiente en las medidas directas (las medidas “propiamente dichas”) viene
siempre afectado por imprecisiones inevitables. De este modo, aunque es imposible, en la práctica,
encontrar el valor “verdadero” o “exacto” de una magnitud determinada, a los cient´ıficos no les
cabe duda de que existe; y nuestro problema consiste en establecer los l´ımites dentro de los cuales
estamos seguros de que se encuentra dicho valor (“cota de error”).
CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES
El error se define, tal como hab´ıamos dicho, como la diferencia entre el valor verdadero y
el obtenido experimentalmente. Los errores no siguen una ley determinada y su origen está en
múltiples causas.
Atendiendo a las causas que lo producen, los errores se pueden clasificar en dos grandes
grupos: errores sistemáticos y errores accidentales.
Se denomina error sistemático a aquel que es constante a lo largo de todo el proceso de
medida y, por tanto, afecta a todas las medidas de un modo definido y es el mismo para todas
ellas. Estos errores tienen siempre un signo determinado y las causas probables pueden ser:
- Errores instrumentales (de aparatos); por ejemplo, el error de calibrado de los instrumentos.
1

2
- Error personal: Este es, en general, dif´ıcil de determinar y es debido a las limitaciones
de carácter personal. Como, por ejemplo, los errores de paralaje, o los problemas de tipo
visual.
- Errores de método de medida, que corresponden a una elección inadecuada del método de
medida; lo que incluye tres posibilidades distintas: la inadecuación del aparato de medida,
del observador o del método de medida propiamente dicho.
Se denominan errores accidentales a aquellos que se deben a las pequeñas variaciones que
aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por el mismo observador y bajo las mismas con-
diciones. Las variaciones no son reproducibles de una medición a otra y se supone que sus valores
están sometidos tan sólo a las leyes del azar y que sus causas son completamente incontrolables
para un observador.
Los errores accidentales poseen, en su mayor´ıa, un valor absoluto muy pequeño y si se rea-
liza un número suficiente de medidas se obtienen tantas desviaciones positivas como negativas.
Y, aunque con los errores accidentales no se pueden hacer correcciones para obtener valores
más concordantes con los reales, si pueden emplearse métodos estad´ısticos, mediante los cua-
les se pueden llegar a algunas conclusiones relativas al valor más probable en un conjunto de
mediciones.
CONCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISIÓN Y SENSI-
BILIDAD
En lo que se refiere a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes que vamos
a definir: exactitud, precisión y sensibilidad.
La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor “verdadero” y el expe-
rimental. De manera que un aparato es exacto si las medidas realizadas con él son todas muy
próximas al valor “verdadero” de la magnitud medida.
La precisión hace referencia a la concordancia entre las medidas de una misma magnitud
realizadas en condiciones sensiblemente iguales. De modo que, una aparato será preciso cuando
la diferencia entre diferentes mediciones de una misma magnitud sean muy pequeñas.
La exactitud implica, normalmente, precisión, pero la afirmación inversa no es cierta, ya que
pueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud, debido a errores sistemáticos,
como el “error de cero”, etc. En general, se puede decir que es más fácil conocer la precisión de
un aparato que su exactitud (básicamente, debido a la introducción del término “verdadero”).
La sensibilidad de un aparato está relacionada con el valor m´ınimo de la magnitud que es
capaz de diferenciar. Por ejemplo, decir que la sensibilidad de una balanza es de 5 mg significa
que, para masas inferiores a la citada, la balanza no acusa ninguna desviación. Normalmente, se
admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la división más pequeña
de la escala de medida. En muchas ocasiones, de un modo erróneo, se toman como idénticos los
conceptos de precisión y sensibilidad, aunque ya hemos visto que se trata de conceptos diferentes.
Lo que estamos hablando (y hablaremos todav´ıa un tiempo) de valores “verdaderos”,
habrá que entenderlos como los que más tarde definiremos (básicamente, valores medios).
ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO
Si medimos una cierta magnitud f´ısica cuyo valor “verdadero” es x0, obteniendo un valor de
la medida x, llamaremos error absoluto de dicha medida a la diferencia
∆x = x − x0 (1)
en donde, en general, se supone que ∆x << |x0|.

3
El error absoluto nos da una medida de la desviación, en términos absolutos, respecto al
valor “verdadero”. No obstante, en ocasiones nos interesa resaltar la importancia relativa de esa
desviación. Para tal fin, se usa el error relativo.
El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor “verdadero”:
ε =
∆x
x0
(2)
lo que, en forma porcentual se expresará como ε × 100 %.
Cuando indiquemos el resultado de una medida (o de un conjunto de medidas) de una mag-
nitud, tendremos que indicar, siempre, el grado de incertidumbre de la misma, para lo cual
acompañamos el resultado de la medida de sus error absoluto; expresando el resultado as´ı
x ± ∆x. (3)
De ordinario, y dado el significado de la cota de imprecisión que tiene el error absoluto, este,
durante el transcurso de estas prácticas de laboratorio, no deberá escribirse con más de una cifra
significativa (admitiéndose dos cifras si estas no sobrepasan 24, pero esto se quedará para cursos
posteriores). Si el error se ha obtenido con más de una cifra, se deberá a proceder a suprimir las
posteriores, aumentando en una unidad la primera, si la segunda fuera 5 o mayor que 5.
El valor de la magnitud debe de tener sólo las cifras necesarias para que su última cifra
significativa sea del mismo orden decimal que la última del error absoluto, llamada cifra de
acotamiento.
Como ejemplo, damos las siguientes tablas de valores de distintas magnitudes (en la columna
de la izquierda mal escritos y en la de la derecha correctos) para poner de manifiesto lo que
acabamos de decir.
Valores incorrectos Valores correctos
3, 418 ± 0, 123 3, 4 ± 0, 1
6, 3 ± 0, 09 6, 30 ± 0, 09
46288 ± 1551 (4, 6 ± 2) × 103
428, 351 ± 0, 27 428, 4 ± 0, 3
0, 01683 ± 0, 0058 0, 017 ± 0, 006
Nota: Si un valor es le´ıdo de una tabla o algún otro lugar (que no tengan
una mención expresa del error cometido), se tomará como si todas sus
cifras fueran significativas.
DETERMINACIÓN DE ERRORES EN MEDIDAS DI-
RECTAS
Cuando realicemos la medida de cualquier magnitud, deberemos indicar siempre una estima-
ción del error asociado a la misma. Dado que no conocemos el valor “verdadero” de la magnitud
que deseamos medir, habrá que seguir ciertos procedimientos para hacer una estimación, tan-
to del valor “verdadero”, como de una cota de error, que nos indiquen la incertidumbre de la
medición realizada.
Distinguiremos dos casos bien diferenciados:
(a) Si sólo se puede realizar una sola medida, x, de la magnitud.
En este caso consideraremos que el error absoluto coincide con el valor absoluto de la sensibi-
lidad (S) del aparato utilizado para realizar la medida. De este modo, el resultado de la medida
lo expresaremos as´ı:
x ± S (4)
1er
curso de Licenciado en F´ısica Prácticas Técnicas Experimentales Básicas

4
(b) Caso en el que se realizan varias medidas de una misma magnitud.
Con el fin de alcanzar cierta validez estad´ıstica en los resultados de las medidas, es muy
conveniente repetir varias veces la determinación del valor de la magnitud problema. Los resul-
tados de las medidas individuales pueden presentarse poco o muy dispersas y, en función de esta
dispersión será conveniente aumentar o no el número de mediciones de la magnitud. Para decidir
el número de determinaciones que hay que efectuar del valor de la magnitud f´ısica que deseamos
medir, seguiremos el siguiente procedimiento:
Se realizan tres medidas de la magnitud (x1, x2 y x3), se calcula el valor medio, ¯x3 =
x1+x2+x3
3 , de las tres medidas y se halla su dispersión total,D; es decir, la diferencia entre los
valores extremos de las medidas (valor máximo menos el valor m´ınimo). Finalmente, se obtiene
el tanto por ciento de dispersión, T , que viene dado por:
T =
D
¯x3
× 100 (5)
(i) Ahora bien, puede suceder que el valor de la dispersión D no sea mayor que el valor de la
sensibilidad del aparato de medida
D ± S. (6)
En este caso, tomaremos como estimación del valor “verdadero” de la magnitud el valor medio
de las tres medidas, ¯x3, y como error absoluto la sensibilidad, es decir,
¯x3 ± S (7)
(ii) Ahora bien, si el valor de la dispersión D es mayor que la sensibilidad del aparato,
D > S (8)
procederemos a aumentar el número de medidas de la magnitud. El criterio a seguir en esta
aumento viene condicionado por el valor del porcentaje dispersión T del modo indicado en la
siguiente tabla:
T en las tres primeras medidas No
total de medidas necesarias
o
T ≤ 2 % Bastan las 3 medidas realizadas
2 % < T ≤ 8 % Hay que hacer 3 medidas más, hasta un total de 6
8 % < T ≤ 15 % Hay que hacer un total de 15 medidas
15 % < T Hay que hacer un m´ınimo de 50 medidas
Una vez realizadas las medidas necesarias, se toma como valor de la magnitud el valor medio de
la misma, calculado sobre el número total de medidas realizadas, y en cuanto al correspondiente
error, se determina según los casos que sigue:
(1) Si se han realizado tres medidas, se toma como error absoluto el valor de la sensibilidad
del aparato, es decir, lo que ya hemos indicado,
∆x = S (9)
(2) Si se han realizado seis medidas, entonces se calcula el error de dispersión definido como
D6/4 (la cuarta parte de la dispersión total de las seis medidas, es decir, la diferencia entre
la mayor y la menor de todas), y se asigna como error absoluto de las medidas, el mayor
de entre este valor y la sensibilidad del aparato. Es decir,
∆x = máx{D6/4, S} (10)
(3) Si se han realizado más de 15 medidas; entonces el error absoluto puede calcularse por la
expresión:
∆x =
(xi − ¯xN )2
N
1/2
(11)

5
que proporciona el llamado error cuadrático medio (puesto que es algo as´ı como una media
del cuadrado de los errores), en donde xi son cada una de las medidas realizadas, ¯xN es
la media aritmética de todas las medidas individuales y N es el número total de medidas
realizadas.
El procedimiento seguido en este último caso se debe a que, en una serie repetida de medidas
de una misma magnitud, la distribución estad´ıstica de éstas alrededor del valor medio representa
una forma t´ıpica, que recibe el nombre de distribución gaussiana o distribución normal.
DETERMINACIÓN DEL ERROR DE UNA MAGNITUD
MEDIDA INDIRECTAMENTE
Como ya hemos indicado, la medida indirecta de una magnitud se alcanza mediante la apli-
cación de una fórmula a un conjunto de medidas directas (variables independientes o datos),
que las relacionan con la magnitud problema. Por eso también esta fórmula ha de servirnos para
obtener el error de dicha magnitud. Ahora explicaremos la manera de realizar esto.
Antes que nada, debemos indicar que, si en la fórmula citada aparecen números irracionales,
tales como π, e, etc., debemos elegir el número de cifras significativas con las que vamos a
realizar los cálculos, de modo que los errores cometidos al aproximar estos números irracionales
no afecten a la magnitud que queremos determinar (bastará con poner una cifra significativa
más baja que la más baja de los datos).
Supongamos que la magnitud problema F es función de otras magnitudes f´ısicas (datos),
estando relacionadas con ellas por
F = F(x, y, z, . . .). (12)
Supongamos, además, que se han realizado medidas de las citadas variables x, y, z, . . . ; y se han
determinado su valor medio (al que llamaremos con el mismo nombre x, y, z, . . . ) y sus errores
absolutos (∆x, ∆y, ∆z, . . . ).
Para realizar el cálculo del error absoluto de F, en función de los antedichos valores, se
procede as´ı:
En primer lugar, se obtiene la diferencial total de F en función de las variables x, y, z, ...
dF =
∂F
∂x
dx +
∂F
∂y
dy +
∂F
∂z
dz + . . . (13)
Si, a continuación asimilamos las diferentes diferenciales a los errores absolutos y, además,
consideramos que en el cálculo del error de F debemos ponernos en el caso más desfavorable
(siempre deseamos tener una cota de error, o sea un valor de la magnitud del que podamos estar
seguros de que el valor “verdadero” está dentro de nuestro intervalo de “seguridad”), o sea, el
mayor error posible. Lo que significa que consideraremos todos los errores como positivos, es decir,
tomaremos, además, los valores absolutos de las derivadas parciales, con lo que obtendremos el
valor del error de F, es decir,
∆F =
∂F
∂x
∆x +
∂F
∂y
∆y +
∂F
∂z
∆z + . . . (14)
Esta es la fórmula que se aplica cuando los errores son de tipo sistemático. Sin embargo,
cuando los errores son de tipo aleatorio, cosa que se ha de procurar, la fórmula correcta es
∆F =
∂F
∂x
2
(∆x)2 +
∂F
∂y
2
(∆y)2 +
∂F
∂z
2
(∆z)2 + . . . (15)
que es la que tiene una base estad´ıstica.
1er

6
CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS
La representación gráfica de los fenómenos f´ısicos que estudiaremos deberá ajustarse a las
siguientes normas:
(1) Gráficas en papel milimetrado (en el caso de que no estén realizadas con ordenador) con
los ejes bien trazados, indicando en sus extremos la magnitud representada en ese eje,
as´ı como la unidad en que ha sido medida. El t´ıtulo de la gráfica se pondrá, bien claro, en
la parte superior.
(2) La variable independiente del fenómeno estudiado se representará en abcisas y la depen-
diente en ordenadas.
(3) Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rápida y sencilla. Para ello se
elegirán las escalas con intervalos sencillos de 1, 2, 5, 10, 20, ... unidades.
(4) Sobre los ejes sólo se indicarán los valores correspondientes a las divisiones enteras de
la escala (que quedarán as´ı uniformemente espaciadas). Nunca se señalarán los valores
correspondientes a las medidas realizadas.
(5) Los valores medidos se representarán sobre el papel milimetrado por el punto corres-
pondiente a sus dos coordenadas (“punto experimental”) y rodeado por el denominado
rectángulo de error, cuya base abarca desde x − ∆x hasta x + ∆x, y cuya altura se extien-
de desde y − ∆y hasta y + ∆y, siendo x e y las coordenadas del punto experimental.
(6) En el caso de que ∆x o ∆y sean despreciables en comparación con la escala utilizada, el
rectángulo de error quedará reducido a un simple segmento vertical u horizontal (barra de
error), según el caso. En el caso excepcional de que ambos errores sean simultáneamente
despreciables, el punto experimental quedar´ıa reducido a un “punto”.
Las gráficas han de ser l´ıneas finas y “continuas”, nunca quebradas, que han de pasar por
todos los rectángulos de error, aunque para ello dejen muchas veces de pasar por los puntos
experimentales, que pueden quedar a derecha o a izquierda de la gráfica. Si al hacer esta opera-
ción, alguno de los rectángulos de error, queda excesivamente alejado de la forma continua de la
gráfica, es prueba de que esa medida es falsa, por alguna causa accidental, y deber´ıa repetirse.
AJUSTE DE LA RECTA DE REGRESIÓN POR EL
MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
Con frecuencia, se plantea el problema de encontrar una expresión matemática y = f(x) de
la ley f´ısica que rige el comportamiento de un determinado fenómeno, a partir de una serie de
N medidas, (xi, yi), de las magnitudes x e y que lo caracterizan.
Cuando la representación gráfica del fenómeno estudiado proporciona una distribución de los
puntos experimentales que parecen tener la forma de una curva plana determinada es conveniente
obtener la ecuación de esta curva que probablemente será la expresión de la ley f´ısica que rige
el fenómeno estudiado. El método más potente (y, sobre todo, el más simple) conocido es el de
regresión por los m´ınimos cuadrados. Estos métodos son aplicables a diversas curvas de distintos
grados, pero nosotros, en este primer curso de introducción, nos vamos a limitar a estudiar el
caso más simple posible de una ley f´ısica lineal, es decir de una recta de regresión.
Dicha recta debe de cumplir la condición de que los puntos experimentales queden distribuidos
simétricamente a ambos lados y lo más próximos posible de la misma. Esta condición se cumple
si se obliga a la recta, de ecuación y = ax + b, cumpla con que la expresión
C(x, y) =
i
(yi − (axi + b))
2
(16)

7
tenga un valor m´ınimo. Derivando respecto a a y a b, y haciendo ambas derivadas iguales a cero,
tras una serie de operaciones, se obtiene:
a =
N xiyi − xi yi
N x2
i − ( xi)2
(17)
b =
x2
i yi − xi xiyi
N x2
i − ( xi)2
(18)
Si la recta hubiera de pasar por el origen de coordenadas, el problema se simplifica notablemente,
puesto que, al ser b = 0, resulta
a =
xiyi
x2
i
(19)
que proporciona directamente el valor de la pendiente de la recta.
Además de los valores de la pendiente y de la ordenada en el origen, es interesante obtener el
denominado coeficiente de correlación lineal, r, que nos da una medida del grado de correlación
(de aproximación) entre los valores de las variables x e y, es decir, hasta que punto x e y están
relacionados mediante una función lineal. La expresión de r es
r =
N xiyi − xi yi
(N x2
i − ( xi)2) (N y2
i − ( yi)2)
(20)
y que var´ıa entre cero (correlación inexistente) y ±1 (correlación completa).
Las expresiones correspondientes al cálculo de error de la pendiente y de la ordenada en el
origen son
∆a =
(yi − axi − b)2
(N − 2) (xi − ¯x)2
1/2
(21)
∆b =
1
N
+
¯x2
(xi − ¯x)2
(yi − axi − b)2
N − 2
1/2
(22)
INTERPOLACIÓN
EN TABLAS DE SIMPLE ENTRADA
La tablas de simple entrada nos proporcionan el valor de una variable dada x en función de
otra z, y viceversa.
Cuando se quiere determinar el valor de z que corresponde a uno de x no tabulado, o vice-
versa, se supone que, para intervalos muy pequeños de las variables (como es usual en las tablas
de valores), la función z = z(x) es lineal y por tanto los incrementos de las mismas son propor-
cionales. Esto nos permite diseñar un procedimiento para encontrar estos valores no tabulados
llamado interpolación lineal.
Para resolver el problema se determinan previamente los valores tabulados de x e y entre los
que se encuentran los de nuestro problema (x1 < x < x2 ; z1 < z < z2),
x1 z1
x2 z2
Entonces, la relación que liga x con z puede escribirse, dentro de las aproximaciones antedi-
chas, según la fórmula lineal
z = z1 +
z2 − z1
x2 − x1
(x − x1) (23)
que permite determinar z en función de x, o viceversa. El error absoluto de z resulta ser
∆z =
z2 − z1
x2 − x1
∆x (24)
1er

8
EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA
En las tablas de doble entrada, para cada pareja de valores x e y se suministra el valor
correspondiente de una tercera variable relacionada con las dos anteriores mediante una función
z = z(x, y).
En este caso el trazo de tablas (cuyos intervalos se consideran ahora “triplemente” lineales),
entre cuyos valores se encuentran el z buscado, presentan el aspecto (x1 < x < x2 ; y1 < y < y2
),
y1 y2
x1 z11 z12
x2 z21 z22
La relación aproximada linealmente que permite el cálculo es
z = z11 +
z21 − z11
x2 − x1
(x − x1) +
z12 − z11
y2 − y1
(y − y1) (25)
y puede utilizarse también en la interpolación inversa, es decir, en la determinación de x o y,
conocidos los valores de (y, z) o de (x, z). El error de z resulta análogamente de la expresión:
∆z =
z21 − z11
x2 − x1
∆x +
z12 − z11
y2 − y1
∆y (26)
NOTAS
Cifras significativas
El número de d´ıgitos con significado de una magnitud se llama número de cifras significativas.
En general, ningún número puede tener más cifras significativas que las de los números a partir
de los cuales se ha calculado. La regla para considerar un d´ıgito como significativo es la de que el
error absoluto de la medida debe de ser del orden de magnitud de este mismo d´ıgito. Nosotros,
para fijar ideas, adoptaremos el convenio de considerar que si una cifra es significativa, el error
absoluto de la magnitud es al menos de una unidad de ese orden. Por ejemplo, si los números
300, 06 y 0, 00078 están escritos con todas sus cifras significativas, significará que sus errores son
±0, 01 y ±0, 00001, respectivamente.
En los cálculos con números muy grandes o muy pequeños estas consideraciones se simplifican
en gran medida utilizando las potencias de diez (denominada a veces notación cient´ıfica). Por
ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol es aproximadamente de 149 000 000 000 m, pero al
escribir el número de esta manera no se está indicando, evidentemente (¡no se puede medir esta
distancia con una precisión de 1 m!), el número de cifras significativas. Si el error que hemos
cometido es del orden de 1000 Km, podemos escribir este número as´ı: 149000 × 106
m. De esta
forma es evidente que el número de cifras significativas es seis.
Orden de magnitud
Cuando hablamos de orden de magnitud de un número nos estamos refiriendo al valor de un
número que coincide aproximadamente con el orden de la primera cifra de aquel. Por ejemplo,
en 1387,24 la primera cifra es el 1, que es del orden de “los miles”; en 3, 5 × 107
el tres es del
orden de “los diez millones”; en 0,00056, el cinco es del orden de “la diezmilésima; etc.
Esto lo podemos expresar de una manera algo más sistemática de la manera siguiente: lla-
maremos orden de magnitud de una medida a la potencia de diez más baja de las dos entre las
que está contenido el número. Por ejemplo, veamos los tres números citados más arriba:
1387,24 puede escribirse as´ı: 103
< 1387, 24 < 104
. Lo que quiere decir que de este número
diremos que tiene un “orden de magnitud” de 103
o de “los miles”.
Análogamente, 107
< 3, 5 × 107
< 108
. Es decir que de este número diremos que tiene un
“orden de magnitud” de 107
o de “los diez millones”.

9
También, 10−4
< 0, 00056 < 10−3
. O sea, que de este número diremos que tiene un “orden
de magnitud” de 10−4
o de “las diez milésimas”.
Naturalmente, estos valores habrá que tratarlos con sentido común (no se trata de un concepto
preciso, sino “una manera de hablar cient´ıfica”). Por ejemplo, si consideramos dos números tales
como 99 y 101, la aplicación de la regla anterior nos dir´ıa que el primero tiene un orden de
magnitud 1 y el segundo, 2. ¡Cuando la diferencia entre los dos es de tan sólo 2 unidades!
Está claro que, en este caso, lo sensato es decir que ambos tienen el mismo orden de magnitud
(y el lógico ser´ıa el 2).
1er

10

Práctica 0
ESTUDIO DEL PÉNDULO:
MEDIDA DE g
OBJETIVO
Determinación de la aceleración de la gravedad mediante el uso de un péndulo simple.
MATERIAL
Péndulo simple. Cronómetro. Regla.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Todo cuerpo capaz de girar alrededor de un eje horizontal, que no pase por su centro de
gravedad, constituye un péndulo.
Supongamos un cuerpo de masa m, suspendido de un
punto fijo O mediante un hilo de longitud L de masa des-
preciable. En reposo, el hilo se encontrará en posición ver-
tical y el cuerpo ocupará la posición A de la figura, punto
en el cual la fuerza peso, P = mg, se anula con la reacción
del hilo. Si desviamos el cuerpo un ángulo α respecto a
su posición de equilibrio A y lo llevamos a la posición B,
el peso se descompone en una componente, Pn, normal a
la trayectoria que describirá la masa en su movimiento,
y en una componente, Pt, tangencial a dicha trayectoria.
La componente normal se anula con la reacción del hilo
mientras que la componente Pt tiende a devolver el cuer-
po a su posición de equilibrio A. Esta fuerza siempre es
opuesta a la desviación respecto del equilibrio, por ello
viene afectada de un signo negativo, y es la que da origen
al movimiento periódico del péndulo.
De la figura anterior se deduce
Pt = −mg senα = −
mg
L
x = −kx (1)
donde L es la distancia entre el centro de gravedad y el centro de suspensión O. Esta ecuación es
válida para ángulos pequeños, caso en el que la trayectoria real que sigue el cuerpo, circular de
radio L, puede aproximarse por x, con lo cual la fuerza Pt se convierte en una fuerza recuperadora
11

12
y la ecuación (1) en la ecuación de un movimiento armónico simple de constante recuperadora
k = mg/L.
De acuerdo con la fórmula del periodo de un movimiento armónico simple,
T = 2π
m
k
(2)
el periodo del movimiento pendular vendrá dado por
T = 2π
L
g
(3)
que definiendo una nueva constante K mediante
K =
2π
√
g
(4)
se convierte en
T = K
√
L (5)
fórmula que relaciona el periodo de un péndulo con su longitud.
MÉTODO
Comprobación del isocronismo
(1) Es interesante hacer notar que el periodo de un péndulo no depende de la amplitud de las
oscilaciones, es decir, las oscilaciones son isócronas. Naturalmente esto es válido en tanto
en cuanto la amplitud de las oscilaciones sea lo suficientemente pequeña como para poder
aproximar la trayectoria real por la magnitud x de la figura.
(2) Se deberá comprobar el isocronismo de las oscilaciones. Para ello, fijar la longitud del hilo
a un valor cercano al metro, separar el cilindro una ángulo aproximado de 5o
y medir el
tiempo t necesario para que transcurran n oscilaciones. El periodoT vendrá dado por la
relación
T =
t
n
(6)
(3) Repetir la operación para amplitudes crecientes aumentando de 5 en 5 grados hasta 30o
,
ordenar en forma de tabla los resultados y construir una gráfica representando el periodo
en función del ángulo. Comentar los resultados.
Cálculo anal´ıtico de la aceleración de la gravedad
(4) La ecuación (3) nos permite obtener la aceleración de la gravedad una vez conocido el
periodo de las oscilaciones para una determinada longitud del péndulo, relación que viene
dada por
g = 4π2 L
T 2
(7)
(5) F´ıjese de nuevo la longitud alrededor de 1 m y m´ıdase el periodo del mismo modo que se
hizo en el apartado anterior. Una vez hecho esto, hallar el valor anal´ıtico para la aceleración
de la gravedad.

13
Calculo gráfico de la aceleración de la gravedad
(6) De la ecuación (5) se deduce que, si representamos en papel milimetrado el periodo de un
péndulo en fución de a, se obtendrá una recta cuya pendiente p será
p = K =
2π
√
g
(8)
ecuación de la que resulta inmediato obtener g.
(7) Determinar el periodo T para diferentes longitudes del péndulo y hacer una representación
gráfica de los mismos en papel milimetrado, colocando en abscisas
√
L y en ordenadas
el periodo. Calcular la pendiente p ± ∆p de la recta que mejor se ajusta al conjunto de
datos experimentales obtenidos. A partir de dicha pendiente, hallar un valor gráfico para
la aceleración de la gravedad.
RESULTADOS
1) Siguiendo las pautas descritas en el apartado anterior, llévense a cabo las medidas ne-
cesarias para la comprobación del isocronismo del péndulo. Construya una gráfica que
represente el fenómeno de forma adecuada. Coméntense los resultados obtenidos.
2) En segundo lugar, determ´ınese el valor de la aceleración de la gravedad y su error mediante
el procedimiento anal´ıtico descrito anteriormente.
3) Por último, determ´ınese gráficamente el valor de la aceleración de la gravedad y compare
el resultado con el apartado anterior.
En todos los apartados, y con el objeto de obtener una clara visión de los datos,
ordénense los mismos en forma de tabla. Asimismo, deberá justificarse siempre el
número de medidas realizadas. Se incluirá también cualquier cálculo o comentario
que se considere oportuno.
1er

14

Práctica 1
LEYES DE NEWTON
OBJETIVO
Estudio del movimiento rectil´ıneo uniformemente acelerado. En particular, lo siguiente:
1. Desplazamiento en función del tiempo.
2. Velocidad en función del tiempo.
3. Aceleración en función de la masa acelerada.
4. Aceleración en función de la fuerza impulsora.
MATERIAL
Carril neumático con su compresor. Carrito deslizante con contactos. Hilo con portapesas.
Pesas de distintas masas (1, 2, 5, 10, 20 y 50 g). Cinta métrica (adosada al carril). Dispositivo
de cronometraje fotoeléctrico.
FUNDAMENTO
El dispositivo permite la medida de la velocidad instantánea del móvil, como se explicará más
adelante.
Según la segunda ley de Newton, cuando se aplica una fuerza constante a un cuerpo, éste
adquiere una aceleración constante (movimiento uniformemente acelerado), que es proporcional
a la fuerza aplicada, siendo la masa del cuerpo la constante de proporcionalidad entre la fuerza
y la aceleración; es decir,
F = ma (1)
En donde, a = d2
r
dt2 , siendo r = r(t) el vector de posición de la masa.
En esta práctica vamos a estudiar el movimiento uniformemente acelerado de un cuerpo
que desliza con rozamiento despreciable por un carril recto y horizontal, sometido a una fuerza
constante (gravitatoria).
Recordemos que, en un movimiento monodimensional de este tipo, la velocidad instantánea
en función del tiempo viene dada por
v(t) = v0 + a(t − t0) (2)
y el desplazamiento en función del tiempo por
r(t) = ro + v0(t − t0) +
1
2
a(t − t0)2
, (3)
15

16
en donde, t0 es el instante en que comienza el movimiento, y r0 y v0 son el desplazamiento y la
velocidad iniciales del cuerpo.
Como al utilizar nuestro dispositivo experimental, vamos a empezar a contar el tiempo en el
momento en que el movimiento se inicie (t0 = 0) se tendrá que v0 = 0, y las ecuaciones anteriores
se reducirán a las siguientes:
v(t) = at (4)
r(t) = r0 +
1
2
at2
(5)
con
a =
F
m
. (6)
En el dispositivo experimental, disponemos de un hilo que conecta un carrito deslizante (al
que pueden añard´ırsele pesas y cuya masa total llamaremos m2), con un portapesas del que
podemos colgar distintas masas (de 1 a 50 g). Esto permite, a través del hilo, aplicar al carrito
diferentes fuerzas impulsoras debido a la acción del peso
F = m1g (7)
del conjunto pesas-portapesas con masa m1 (aqu´ı g es la aceleración de la gravedad). La masa m1
está unida, por tanto, a la masa m2 que se mueve con el carrito y, por consiguiente, la ecuación
del movimiento será:
(m1 + m2)a = m1g.
Despejando la aceleración, tendremos.
a =
m1
m1 + m2
g (8)
Sustituyendo en (4), tendremos la expresión para la velocidad instantánea en función del tiempo:
v(t) =
m1g
m1 + m2
t (9)
Y si sustituimos (8) en (5), tendremos también el desplazamiento (distancia recorrida) en función
del tiempo:
r(t) = r0 +
1
2
m1g
m1 + m2
t2
(10)
DESCRIPCIÓN DEL APARATO
El carril neumático disponible para realizar esta práctica (Fig. 1), está constituido, básica-
mente, por una barra metálica hueca de sección triangular, de unos 200 cm de largo y montada
sobre un soporte del mismo material.
Dicha barra posee numerosos orificios pequeñitos en sus caras laterales por los que sale el
aire inyectado a presión por uno de los extremos de la barra mediante un compresor. También
dispone de una polea en el extremo contrario para poder hacer pasar por ella el hilo con el
portapesas.
Sobre la barra puede deslizar, prácticamente sin rozamiento debido al “colchón de aire”, un
carrito deslizador metálico (al que más bien deber´ıamos llamar “trineo”) que se ajusta a la forma
de la barra.
El sistema de medida de tiempos está constituido por un dispositivo fotoeléctrico que consta
de un disparador electromagnético, un reloj electrónico y una “barrera” en forma de herradura.
El disparador sirve para retener el trineo hasta el momento de iniciar la medida (“disparo”)
y la “barrera” contiene el mecanismo encargado de detener el reloj en el momento en que es
atravesada por el trineo.

17
Figura 1
Lo que detecta la barrera (mediante la ruptura de un rayo laser que cierra la ”herradura”) es
el paso de una pantalla rectangular negra que lleva el carrito adosada en su parte superior. En
las posiciones marcadas por la fila de botones superiores del reloj (”Normal”) la barrera detecta
el paso del borde delantero de la pantalla, marcando el tiempo t1; mientras que en las posiciones
marcadas por la fila inferior de botones (posición ”Invert”), detecta el paso del borde trasero
de la misma, marcando el tiempo t2. Por esta razón, cada una de las medidas que se citarán en
el apartado ”Método”, ha de efectuarse en realidad con dos medidas con idénticas condiciones
iniciales, pero una ”normal” (botones de arriba) y otra ”invert” (los de abajo). De esta forma
podremos calcular para cada distancia (al menos en aquellas en que queramos medir la velocidad
instantánea) la velocidad instantánea del carrito, sin más que dividir la longitud de la pantalla
(∆s) por el tiempo ∆t = t1 − t2 en que la pantalla permanece bajo el haz de luz laser de la
herradura:
v t1 +
∆t
2
= v
t1 + t2
2
=
∆s
∆t
(11)
Si la pantalla es pequeña (∼ 10 cm), el efecto de la aceleración en la velocidad durante el tiempo
∆t puede considerarse como despreciable.
ADVERTENCIAS
1. Con el fin de no dañar el dispositivo, no se debe de mover el carrito sobre el carril mientras
no está el compresor en marcha (el “coj´ın de aire”).
2. Para evitar que el portapesas se rompa o pueda dañar procure pararlo antes de que golpee
el suelo o bien coloque un libro o carpeta en el suelo donde este caiga.
MÉTODO
(1) Poner en marcha el compresor y el sistema de cronometraje (¡recordar que no se debe
mover el carrito sin poner en marcha el compresor!).
(2) Elegir la distancia que va a recorrer el carrito (utilizar al menos cinco distancias distintas
a intervalos regulares) mediante la “herradura”, sabiendo que ésta dispone de una lucecita
1er

18
roja que se apaga en el momento que la pantalla pasa por delante (y que coincide, por
tanto, con la posición a la que se va a detener el reloj).
(3) Colocar una masa en el portapesas [m1 = masa del portapesas + masa de la(s) pesa(s)],
anotando su valor y el de la masa m2 del carrito. Anotar también la distancia que reco-
rrerá dicho carrito desde el disparador hasta la barrera.
(4) Poner el reloj a cero (tecla “null”) y disparar el móvil, realizando as´ı la primera medida.
Recordar que hay que repetir la misma medida con la posición “Invert” del reloj, anotando
los dos tiempos t1 y t2. Hágase el número de medidas necesario.
(5) Repetir el proceso anterior (acordándose de volver a poner el reloj de nuevo a cero) para
la misma masa m1, pero para diferentes distancias de recorrido del carrito (cambiando la
posición de la barrera). Hacerlo para, al menos, cinco posiciones diferentes, separadas una
de otra por 10 cm por lo menos.
*(6) Tomando estas medidas como base, dibujar la curva que nos da el desplazamiento en
función del cuadrado del tiempo, r = r(t2
).
*(7) Dibujar la gráfica de la velocidad instantánea en función del tiempo, v = v(t). Recordar
que, para esta gráfica, tenemos que calcular v como ∆s/∆t y adjudicársela al instante .
*(8) A partir de la gráfica v = v(t), deducir el valor de la aceleración a [y comparar con el
valor que se deduce de la fórmula (8)], que coincide con la pendiente de la curva. Para los
cálculos aplicar el método de los m´ınimos cuadrados.
(9) Manteniendo constante la masa m1, as´ı como la distancia recorrida, variar m2 colocando
sucesivamente pesas en los ganchitos que existen a ambos lados del carrito (de forma
simétrica). Medir los tiempos de recorrido, repitiendo esta medida para, al menos, cinco
masas diferentes entre 1 y 20 g. Calcular la aceleración para cada m2 .
*(10) Dibujar ahora la gráfica de la aceleración en función de la masa acelerada, a = a(m2).
(11) Vamos ahora a ver la relación entre la aceleración y la fuerza impulsora F, para lo que es
necesario que la masa total (carrito + pesas + portapesas) permanezca constante. Para
ello, una vez elegida la masa total a utilizar, habrá que repartirlas entre el carrito (simétri-
camente, no se olvide) y el portapesas. La primera medida se realiza con la masa más
pequeña posible sobre el portapesas. Manteniendo fija la distancia recorrida, se van trans-
firiendo tandas de 2 g (1 g de cada lado) del carrito al portapesas y se miden los respectivos
tiempos de recorrido. m1 no deberá exceder de 20 g.
*(12) Calcular las correspondientes aceleraciones y dibujar la gráfica de estas en función de la
fuerza impulsora, a = a(F). Verificar si la pendiente coincide con los valores que se deducen
de la fórmula (8).
DATOS
Masa del portapesas: 1,42 ± 0,01 g
Masa del carrito: 210,21 ± 0,01 g
Anchura de la pantalla: ∆s = 100,75 ± 0., 01 mm.

Práctica 2
CAIDA LIBRE DE LOS
CUERPOS
OBJETIVO
Determinar el valor de la aceleración local de la gravedad g, mediante la medida del tiempo
de ca´ıda de objetos, as´ı como su dependencia de la masa.
MATERIAL
Aparato de ca´ıda libre de 1 m, con electroimán (ver figura). Contador digital de tiempos de
0,1 ms. Cables de conexión. Dos bolas de acero de masas diferentes.
FUNDAMENTO
Cuando dejamos un objeto moverse únicamente bajo la acción de la gravedad (ca´ıda libre),
se mueve con aceleración constante, si no tenemos en cuenta las fuerzas de rozamiento que, para
el caso de esferas duras en el aire, tienen un efecto despreciable.
La fuerzas gravitatorias obedecen a la Ley de Newton
Fg = G
MT m
r2
(1)
en donde MT es la masa de la Tierra, m la masa del objeto que cae, r la distancia desde
el centro de gravedad del objeto al de la Tierra y G la constante de la gravitación universal
(6,67 × 10−11
Nm2
/Kg2
). A su vez, r = RT + h, siendo RT el radio de la Tierra y h la altura del
objeto respecto al nivel del mar. Como RT = 6380 Km y h ≈ 560 m, podemos escribir con una
gran aproximación r ≈ RT y, por tanto,
Fg = G
MT m
r2
T
(2)
es decir,
g = G
MT
r2
T
(3)
que es la llamada aceleración de la gravedad y
Fg = mg (4)
19

20
que es el peso del cuerpo. Como puede verse aqu´ı, g debe de ser, en principio, independiente de
la masa del cuerpo.
De lo anterior se deduce que podemos despreciar la dependencia de g con la altura mientras
sea h << RT , como es nuestro caso. Por lo tanto, en nuestro experimento, g es una constante
del movimiento, es decir, se va a tratar de un movimiento uniformemente acelerado.
Ahora bien, si g = dv/dt(= const.), para un movimiento rectil´ıneo, siendo v la velocidad del
cuerpo en cualquier instante, podremos integrar esta expresión y obtener
v = v0 + g(t − t0) (5)
siendo v0 la velocidad (inicial) en el instante t0. Y, teniendo en cuenta que v = ds/dt , siendo s
el desplazamiento del cuerpo, podemos volver a integrar para obtener
s = s0 + v0(t − t0) +
1
2
g(t − t0)2
(6)
siendo s0 el desplazamiento inicial. En nuestro caso, como suele hacerse, vamos a empezar a
contar el tiempo (t0 = 0) en el momento en el que la masa m empieza a moverse, por lo que
v0 = 0, y podremos escribir
v = gt (7)
y
s − s0 =
1
2
gt2
.
Pero (s−s0) no es más que la distancia vertical recorrida (altura), por lo que haremos s−s0 = h,
y nos quedará
h =
1
2
gt2
(8)
y, eliminando el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores, tendremos
v2
= 2gh. (9)
Al final de este experimento, vamos a calcular g a partir de la ecuación (8), poniéndola en la
forma
g =
2h
t2
. (10)
Para calcular las velocidades finales, a partir de las medidas directas, usaremos la relación
v =
2h
t
. (11)
obtenida a partir de las ecuaciones (9) y (10).
MÉTODO
(1) Conectar todos los elementos y encender el contador de tiempos. Presionar el botón
”STOP” y después el de ”RESET”, para poner a cero el contador.
(2) Escoger una de las dos bolas de acero de la cajita detrás de la columna de medida y medir
su masa con la balanza del laboratorio.
(3) Colocar la plataforma superior del la columna de medida en el punto más alto de la escala
(100 cm).
(4) Presionar el botón ”START” del contador. La bola se soltará y caerá sobre la placa inferior.
El contador empezará a contar el tiempo en el momento en que la bola se libera y se
detendrá cuando la bola choque abajo; es decir, el tiempo marcado será el tiempo de
ca´ıda.

21
ADVERTENCIA: Las bolas, después de golpear la placa inferior de la columna,
saldrán rodando y habrá que estar atentos para cogerla antes de que caiga al
suelo y puedan estropearse tanto una como otro.
(5) Repetir la medida tantas veces como sea necesario según el % de dispersión.
(6) Descender la plataforma superior de 10 en 10 cm y repetir para cada altura la anterior
serie de medidas. Real´ıcense, al menos, cinco series (alturas) diferentes.
(7) Cambiar ahora de bola y volver a realizar todas las diferentes medidas que se hicieron con
la bola anterior.
*(8) Hacer dos tablas (una para cada bola) en donde aparezcan h, t y t2
.
*(9) Dibujar ahora la gráfica h = h(t2
) para cada bola y ajustarla mediante el método de los
m´ınimos cuadrados.
*(10) Comparar los valores de g obtenidos a partir de la regresión con los determinados anal´ıti-
camente.
*(11) Utilizando los valores de g obtenidos, real´ıcese una nueva tabla (o reutil´ıcese alguna de
las preexistentes) de la velocidad final (vf ) para cada altura a partir de la ecuación (9) y
dibújese una nueva gráfica v2
= v2
(h), comprobándose mediante cálculos de regresión el
valor de g utilizado. Comentar esta gráfica.
*(12) Calcular de nuevo las velocidades para cada altura, pero ahora con la ecuación (11), con
sus correspondientes errores. Realizar una gráfica v = v(t) y calcular g a partir de los
parámetros de ajuste de la recta de regresión a dicha curva.
1er

22

Práctica 3
MOMENTO DE INERCIA DE
UN VOLANTE
OBJETO
Determinación del momento de inercia de un volante.
MATERIAL
Dispositivo con volante y portapesas. Cronómetro. Cinta métrica (o escala milimetrada en
la pared). Pesas.
FUNDAMENTO
Se va a determinar el momento de inercia de un volante (ver figura). El sistema utilizado
consta de un volante en cuyo eje enrollaremos un hilo del que pende una masa m, la cual, al
comenzar a medir, situaremos a una cierta altura h0 sobre el suelo. Si, en ese momento, la
dejamos en libertad, empezará a descender con un movimiento uniformemente acelerado. La
ca´ıda de la masa provoca la rotación del volante. El aumento de energ´ıa cinética de la masa y del
volante se realiza a expensas de la disminución de la energ´ıa potencial de la masa m, de modo
que cuando está a la altura h, tendremos:
Epi − Epf
=
1
2
Iω2
+
1
2
mv2
(1)
siendo I el momento de inercia del volante, ω la velocidad angular del volante y v la velocidad
lineal de la masa en el instante en que está a la altura h.
La relación entre ambas velocidades (ya que no hay
deslizamiento) será ωR = v siendo R el radio del eje del
volante . Por tanto, (1) se puede escribir como
Epi − Epf
=
1
2
I
v2
R2
+
1
2
mv2
(2)
Si la masa m recorre la distancia ∆h = h0 − h en un
tiempo t, la velocidad final valdrá
v =
2∆h
t
.
23

24
Sustituyendo este valor en (2), tendremos:
Epi − Epf
=
1
2
I
4(∆h)2
t2R2
+
1
2
m
4(∆h)2
t2
(3)
En esta ecuación todos los parámetros pueden determinarse experimentalmente; deduciéndose
por tanto el valor del momento de inercia del volante:
I =
Epi − Epf
− 1
2 m4(∆h)2
t2 2t2
R2
4(∆h)2
(4)
Si tomamos como origen de energ´ıas potenciales el punto más bajo alcanzado por la masa
m, Epf
= 0 y Epi = mg∆h. Obtenemos entonces:
I =
mg − 2m∆h
t2 t2
R2
2∆h
(5)
Quedando finalmente:
I =
t2
mgR2
− 2R2
m∆h
2∆h
(6)
Y, si ahora expresamos t2
en función de 1/m, tendremos:
t2
=
2∆hI
gR2
1
m
+
2∆h
g
(7)
ecuación que nos permite calcular I a partir de la recta representada por esta ecuación, que es
de la forma:
t2
= a
1
m
+ b (8)
MÉTODO
(1) Fijar y medir la altura ∆h. Colocar el portapesas al altura h0 y medir el tiempo que tarda
éste en recorrer la distancia ∆h.
(2) Repetir la operación, añadiendo al portapesas las masas de las pesas disponibles (cada una
encima de la anterior) hasta agotarlas, con el fin de obtener seis parejas de valores de masa
y tiempo.
ADVERTENCIA: Hay que detener el descenso del portapesas una vez sobre-
pasada la distancia h, con el fin de evitar el tirón final y la posible rotura del
hilo de suspensión del portapesas. Por la misma razón, antes de empezar a
medir, colocar debajo del recorrido del portapesas una banqueta (y un libro,
libreta o carpeta), para amortiguar el golpe, en caso de que no lo podamos
detener a tiempo, y evitar también la rotura del suelo.
(3) Medir los valores de las masas empleadas con la ayuda de la balanza común del laboratorio.
Hay que tener cuidado en poner de acuerdo los tiempos medidos con las masas empleadas,
ya que éstas son muy diferentes y por lo tanto no son intercambiables. Recuerde que hay
que incluir en todos los cálculos la masa del portapesas (cuyo valor estará anotado al lado
del volante).
*(4) Tabular adecuadamente los datos experimentales, incluyendo los valores de m, t, t2
y 1/m.
*(5) Dibujar la gráfica de t2
en función de 1/m, utilizando los datos experimentales.

25
*(6) Realizar el ajuste de la recta por el método de los m´ınimos cuadrados y representar la recta
obtenida de esta forma. Utilizar la pendiente de ésta, a, para deducir el valor del momento
de inercia I (no olvidarse de medir el radio R del eje del volante), deducido de la fórmula
(6), obteniendo asimismo una estimación de su error por regresión ( a partir del ∆a).
(7) Medir el diámetro del volante (D) con un metro. Estime la masa del volante (m) sabiendo
que su momento de inercia es I = 1
2 mR2
.
1er

26

Práctica 4
CONSTANTE ELÁSTICA DE
UN MUELLE
OBJETIVO
Determinar la constante elástica de un muelle por el método estático y el dinámico. Deter-
minar la masa efectiva del muelle.
MATERIAL
Soporte con un muelle vertical. Juego de pesas. Escala métrica o catetómetro. Cronómetro.
FUNDAMENTO
Cuando se cuelgan pesas en el extremo inferior de un muelle metálico helicoidal, sujeto por
su extremo superior, el muelle se alarga y los alargamientos son, siempre que no se sobrepase el
l´ımite de elasticidad, proporcionales a las fuerzas aplicadas (ley de Hooke).
Si es l la longitud del muelle y ∆l el alargamiento que le produce una fuerza de tracción F,
se tiene
F = k∆l (1)
Donde k es la llamada constante elástica o recuperadora del muelle.
Para determinar el valor de dicha constante se puede seguir un procedimiento estático (di-
recto) o un procedimiento dinámico (indirecto).
Procedimiento estático
Se van colgando del muelle, sucesivamente, pesas en
orden creciente, y se miden los alargamientos ∆l corres-
pondientes. Representando gráficamente los resultados, F
en ordenadas y ∆l en abcisas, debe resultar una recta,
cuya pendiente es la constante elástica k(= F/∆l).
Procedimiento dinámico
Cuando del muelle colocado verticalmente se suspende una masa M, éste se alarga por
acción del peso (Mg) hasta que se alcanza una posición de equilibrio, de forma que la fuerza
27

28
recuperadora del resorte iguale al peso, esto es
k∆l = Mg (2)
Mediante la aplicación de una fuerza adicional produ-
cimos un nuevo alargamiento x y abandonamos el sistema.
El alargamiento del muelle será ∆l+x, y la fuerza vertical
hacia arriba que ejerce el muelle sobre la masa (fuerza re-
cuperadora) será k(∆l+x), de modo que habrá una fuerza
neta sobre la masa
F = Mg − k(∆l + x) = −kx (3)
y por la segunda ley de Newton
−kx = M
d2
x
dt2 (4)
o bien
M
d2
x
dt2 + kx = 0 (5)
que es la ecuación del movimiento armónico simple, siendo x la distancia medida desde la posición
de equilibrio. La masa oscilará armónicamente con un periodo
T = 2π
M
k
(6)
Salvo para el caso ideal de un muelle de masa nula, habrá que hacer alguna modificación
por el hecho de que también el muelle oscila. Pero no es posible sumar simplemente la masa del
muelle a la del cuerpo suspendido, porque no todas las partes del primero oscilan con la misma
amplitud; la amplitud del extremo inferior es igual a la del cuerpo suspendido, mientras que la
del extremo superior es nula. Si designamos por m la masa del muelle, deberemos añadir a la
masa M del cuerpo suspendido, una fracción f de m, y será
(M + fm)
d2
x
dt2 + kx = 0 (7)
por lo que
T = 2π
M + fm
k
(8)
donde T será el periodo real determinado experimentalmente. De la ecuación anterior se obtiene
T 2
=
4π2
k
M +
4π2
k
fm (9)
As´ı, si repetimos la experiencia para distintos valores
de M, y representamos gráficamente los valores obtenidos
de los cuadrados de los periodos (T 2
) en función de las ma-
sas correspondientes (M), la gráfica resultante deberá ser
una recta. Del valor de la pendiente de dicha recta se pue-
de deducir el de la constante elástica k; la intersección con
el eje de abcisas será la masa efectiva fm del muelle; con
éste valor y el de m se deduce el de f.

29
MÉTODO
Método estático
Para comenzar, se debe determinar, empleando la balanza, la masa de cada una de las pesas
que se vayan a usar.
(1) Colgar el portapesas y determinar en la escala métrica la posición de equilibrio. A partir
de ese punto se realizarán las medidas de los alargamientos.
(2) Ir aumentando paulatinamente el peso suspendido (añadiendo pesas), midiendo los alar-
gamientos correspondientes. Anotar los resultados en una tabla, incluyendo los correspon-
dientes errores.
*(3) Representar gráficamente los resultados anotados en la tabla, con la fuerza en ordenadas
y el alargamiento en abcisas, indicando los correspondientes rectángulos de error.
*(4) A partir de dicha gráfica determinar el valor de la constante elástica junto con la estimación
de su error, para ello se debe obtener la recta de ajuste mediante el método de m´ınimos
cuadrados.
Método dinámico
(5) Cuelgue la primera pesa del extremo inferior del muelle. Una vez alcanzado el equilibrio,
tire de la pesa suavemente hacia abajo, soltándola después.
(6) Deje que la masa realice algunas oscilaciones y cronometre después el tiempo que emplea
en efectuar un cierto número de ellas (por ejemplo 20). Obtenga el valor del periodo.
(7) Repita la operación aumentando paulatinamente las masas suspendidas (añadiendo pesas)
y lleve los resultados a una tabla.
*(8) Construya una tabla con los valores de M y T 2
, lleve estos datos a una gráfica, repre-
sentando T 2
en ordenadas y M en abcisas. No olvide representar los correspondientes
errores.
(9) Determine la masa del muelle m utilizando la balanza.
*(10) A partir de los datos anteriores obtenga los valores de la constante elástica k y de la fracción
de la masa del muelle f. Para ello realice el ajuste por el método de m´ınimos cuadrados.
CUESTIONES
1. Compare los resultados de la constante elástica obtenidos por ambos métodos.
2. Demuestre que, teóricamente, f = 1/3, de forma que la masa efectiva del sistema oscilante
es M + m/3.
3. ¿Se podr´ıa utilizar un muelle vertical como el de esta práctica para determinar el valor de
la aceleración de la gravedad? ¿Cómo?
1er

30

Práctica 5
PÉNDULO DE KATER
OBJETO
Determinar la aceleración de la gravedad con el péndulo reversible de Kater.
MATERIAL
Péndulo de Kater, cinta métrica, cronómetro y calibre.
FUNDAMENTO
El péndulo de Kater está formado (ver figura) por una barra metáli-
ca con dos cuchillas que sirven de centro de suspensión (E1 y E2). Más
allá de las cuchillas, y entre ellas, hay dos cilindros iguales (A y B) que
se pueden mover a lo largo de la barra.
Si hacemos oscilar el péndulo suspendiéndolo de cada una de las
cuchillas, de forma que los periodos T1 y T2 sean iguales, aplicando la
fórmula del péndulo compuesto tenemos:
T1 = 2π
k2 + h2
1
gh1
(1)
T2 = 2π
k2 + h2
2
gh2
(2)
siendo h1 y h2 las distancias de los centros de suspensión al centro de
gravedad, por lo tanto si T1 = T2:
(k2
+ h2
1)h2 = (k2
+ h2
2)h1 (3)
o sea h1h2 = k2
y
T = 2π
h2 + h1
g
= 2π
l
g
(4)
siendo l la longitud del péndulo simple equivalente que en este caso
será igual a la distancia entre cuchillas. As´ı podemos calcular g:
g =
4π2
l
T 2
. (5)
31

32
Bessel demostró que para la determinación exacta de g, no es necesario el lento proceso que nos
llevar´ıa hacer los dos periodos exactamente iguales. Es suficiente con que sea aproximadamente
iguales, es decir, que su diferencia sea muy pequeña. As´ı, de las expresiones de T1 y T2 podemos
obtener:
gh1T 2
1
4π2
= h2
1 + k2
(6)
y
gh2T 2
2
4π2
= h2
2 + k2
(7)
Restando y ordenando tenemos:
4π2
g
=
T 2
1 h1 − T 2
2 h2
h2
1 − h2
2
(8)
4π2
g
=
T 2
1 + T 2
2
2(h1 + h2)
+
T 2
1 − T 2
2
2(h1 − h2)
(9)
Si el centro de gravedad se encuentra mucho más cerca de una cuchilla que de la otra, entonces
la diferencia h1 − h2 no es pequeña, y puesto que T1 es aproximadamente igual a T2, el segundo
término será muy pequeño y por lo tanto es suficiente con una evaluación aproximada de h1 −h2.
MÉTODO:
(1) Con la cinta métrica se mide la distancia l = h1 + h2.
(2) Suspender el péndulo de una de las cuchillas y determinar su periodo, para ello mediremos
el tiempo correspondiente a 20 oscilaciones, procediendo a continuación a evaluar el periodo
y su error.
(3) Suspender el péndulo de la otra cuchilla y ajustar A y B para obtener un periodo lo
más próximo al anterior, midiendo también el tiempo correspondiente a 20 oscilaciones
completas.
(4) Volver el péndulo a la otra cuchilla y recalcular el periodo, operando de esta forma, por
tanteo, hasta obtener dos periodos lo más próximos posibles, actuando siempre sobre las
masas móviles A y B.
*(5) Una vez obtenido esto, calcular exactamente los periodos T1 y T2 midiendo ahora el tiempo
de 100 oscilaciones.
*(6) El centro de gravedad de la barra se determina suspendiendo ésta, a forma de balanza
sobre la arista de cualquier objeto, con lo que obtenemos h1 y h2, la distancia de este
centro de gravedad a cada una de las cuchillas.
*(7) Con los datos T1, T2, h1 y h2 obtener la aceleración de la gravedad a partir de la expresión
(7).

Práctica 6
ELASTICIDAD: FLEXIÓN DE
UNA BARRA
OBJETO
Verificar la ley de Hooke en el caso de la flexión y determinar el módulo de Young del material.
MATERIAL
Barra o varilla problema. Soporte. Colección de pesas. Regla graduada. Calibrador y/o pal-
mer. Reloj comparador.
FUNDAMENTO
Se dice que un cuerpo experimenta una deformación elástica cuando recupera su forma inicial
al cesar la fuerza que produjo la deformación. Robert Hooke (1635-1703) realizó numerosos
experimentos para estudiar la elasticidad de los materiales y, a partir de sus observaciones
experimentales, llegó a enunciar la ley que lleva su nombre: Para un material elástico, dentro de
los l´ımites de elasticidad, la deformación es proporcional a la fuerza aplicada.
Las caracter´ısticas elásticas de una material homogéneo e isótropo quedan completamente
definidas por el conocimiento de su módulo de Young, E, y su coeficiente de Poisson, σ. En esta
práctica nos preocuparemos solamente del módulo de Young.
Cuando se flexiona una varilla, ésta experimenta un alargamiento por su parte convexa y una
contracción por la cóncava. El comportamiento de la varilla está determinado por el módulo de
Young del material del que está hecha; de modo que el valor de dicho módulo puede determinarse
mediante experimentos de flexión.
Utilizaremos una varilla de sección transversal rectangular apoyada sobre cuchillas por sus
dos extremos (o sobre placas, haciendo las veces de cuchilla el filo que toca con la varilla). Si
aplicamos una fuerza vertical hacia abajo, F, en el punto medio de la varilla, la deformación
elástica que ésta experimenta se traduce en un descenso de dicho punto, llamado flecha de flexión,
S, que, por la ley de Hooke, es proporcional a la fuerza aplicada, esto es
S = kF (1)
Siendo k una constante de proporcionalidad (constante elástica) que depende de las caracter´ısti-
cas geométricas de la varilla y del módulo de Young, E, del material. El cálculo demuestra
que
S =
1
4E
L3
ab3
F (2)
33

34
para una varilla de sección rectangular, siendo L la longitud de la varilla (distancia entre las dos
cuchillas), a la anchura de la varilla y b la altura o grosor de la misma.
Si F se mide en N (Newtons) y todas las longitudes en metros, el módulo de Young vendrá ex-
presado en N/m
2
o Pascales.
NOTA
Las medidas se harán cargando gradualmen-
te la barra con las pesas y midiendo las flechas
correspondientes. Una vez conseguida una defor-
mación suficiente (es decir, cuando se agotan las
pesas), se volverán a realizar las medidas pero
ahora descargando la barra gradualmente hasta
regresar al estado inicial descargado. Si se ob-
serva una diferencia sistemática (como es, usual-
mente, el caso) entre las medidas “ascendentes”
y “descendentes”, y si no se recobra el estado
inicial (dentro del margen de precisión de las
medidas) es una indicación de que la varilla ha
sufrido una deformación permanente, seguramente debido a que se ha cargado excesivamente y
se ha rebasado el l´ımite elástico.
En este caso, o bien habrá que repetir las medidas hasta que no se presenten anomal´ıas
o bien habrá que cargar menos la barra. En cualquier caso, como se sugiere en el “Método”,
podrá utilizarse un método correctivo de promediado de medidas.
MÉTODO
Manejo del reloj comparador
El reloj comparador posee un tallo central móvil, que sirve para ”recibir” los desplazaminetos
que hay que medir. Al inicio de la práctica, deberá estar apoyado sobre la parte superior de la
varilla que hay que medir, debiéndose verificar que este apoyo no es demasiado intenso (la varilla
L en la figura), es decir, que la varilla sólo está ligeramente doblada.
Si la aguja no indica el cero, corr´ıgase, Para ello aflojar el tornillo lateral (en caso de que no
lo esté). De este tornillo pende una laminita que sirve para fijar el cero, una vez colocado. Si no
es as´ı, g´ırese la tapa de cristal, hasta que coincidan cero y aguja. En este momento, se coloca la
laminita del tornillo lateral y se fija éste.
Obsérvese entonces que a cada vuelta de la manecilla grande, la manecilla del ”reloj” pequeño
avanza una unidad, que es 1 mm. Po lo tanto, en la escala grande cada división vale 0,01 mm.
Mediciones
(1) Determ´ınese la masa de cada una de las pesas con ayuda de la balanza del laboratorio.
Si se trata de pesas “industriales” (es decir, todas aparentemente iguales), determ´ınese
la masa de una cualquiera de ellas y tómense las demás con el mismo valor; el pequeño
error introducido mediante este procedimiento es despreciable frente a los demás errores
introducidos en el resto de la práctica.
(2) Coloque la varilla en posición horizontal con ayuda del nivel, apoyándola de modo que las
marcas grabadas cerca de sus extremos descansen sobre las cuchillas.
(3) Vaya cargando gradualmente la varilla por su centro y midiendo las flechas de flexión
correspondientes (S′
). Anote los resultados en una tabla.

35
(4) Una vez que considere haber obtenido una deformación suficiente, descargue gradualmente
la varilla, midiendo y anotando las flechas de flexión correspondientes (S′′
) en la tabla
anterior.
(5) Con los resultados obtenidos calcule el valor promedio (S) de los pares S′
y S′′
para cada
carga, anotándolos también en la tabla.
(6) Mida las caracter´ısticas geométricas de la varilla que aparecen en la fórmula (2): L, a y b
con un Calibrador y un Palmer.
*(7) Construya una gráfica sobre papel milimetrado, llevando los valores de S en ordenadas y los
de F en abcisas. El resultado debe de ser una l´ınea recta cuya pendiente es k. Determ´ınese
mediante ajuste por m´ınimos cuadrados la constante k.
*(8) Aplicando la ecuación (2), y utilizando el valor de k obtenido anteriormente, determ´ınese
el valor del módulo de Young, E, en Pascales. Compare el valor obtenido con el obtenido
en la Bibliograf´ıa.
(9) Si tiene tiempo, use varillas de diferentes materiales.
1er

36

Práctica 7
PÉNDULO DE TORSIÓN
OBJETIVO
En esta práctica se pretende determinar el momento de inercia de un péndulo de torsión, su
constante de torsión y su módulo de rigidez.
MATERIAL
Péndulo de torsión, cronómetro, regla graduada, calibrador, tornillo micrométrico y balanza.
FUNDAMENTO
Torsión
Consideremos una barra cil´ındrica (o un alambre) suspendi-
da verticalmente con su extremo superior fijo. Mediante un par
de fuerzas F y −F (fig. 1), hacemos girar el extremo inferior,
con lo cual los distintos discos horizontales en que podemos
considerar dividida la barra deslizan unos respecto de otros.
Una generatriz recta (AB) se convierte en una hélice (AB’). Se
dice que el cuerpo ha experimentado una torsión. Ésta queda
definida mediante el ángulo de giro φ del disco más bajo. Evi-
dentemente, se trata de un caso de cizalladura y la constante
D, que liga el ángulo de torsión φ con el momento M del par
aplicado (que vale M = F d, siendo d el diámetro del disco
inferior), puede deducirse a partir de módulo de rigidez o de
cizalladura, G. Si r es el radio de la barra (o del alambre) y su
longitud l, se obtiene:
M =
πr4
G
2l
φ = Dφ (1)
siendo D el momento director, o constante de torsión, que
está relacionada con el módulo de rigidez por
D =
πr4
G
2l
(2)
37

38
Oscilaciones elásticas. Péndulo de torsión
Dentro del dominio de validez de la ley de Hooke, al deformar un cuerpo del modo que sea,
aparece un esfuerzo recuperador proporcional a la deformación que tiende a devolver al cuerpo su
forma primitiva. Si desaparece el esfuerzo deformante, el cuerpo se encuentra en las condiciones
precisas para iniciar un movimiento oscilatorio armónico.
Por el interés que presentan, estudiaremos las oscilaciones
de un cuerpo alargado sometido a una torsión inicial. Supon-
gamos, por ejemplo, que una barra de longitud l y radio r esta
dispuesta verticalmente, con su extremo superior fijo (fig. 2).
El extremo inferior está sujeto a un dispositivo que se puede
girar libremente. Si imprimimos al cuerpo P un giro inicial en
torno al eje AB, el momento exterior aplicado, M = Dφ, es
neutralizado por un momento elástico. Es decir, en el alambre,
a consecuencia de la torsión que ha experimentado, se desa-
rrollan fuerzas elásticas que tienden a devolver el alambre y al
cuerpo P a la posición de partida. Pero, como el sistema móvil
adquiere cierta velocidad angular, en virtud de la inercia, se re-
basa la posición de equilibrio y el sistema ejecuta oscilaciones
en torno a dicha posición, con torsiones alternativas en uno
y otro sentido. Se dice que el sistema constituye un péndulo
de torsión. Como se trata de un movimiento de rotación, si
el ángulo φ es pequeño, para que se cumpla la ley de Hoo-
ke, el momento de las fuerzas elásticas valdrá M = −Dφ, y
será igual al producto del momento de inercia I del sistema
móvil (respecto al eje de giro) por la aceleración angular:
−Dφ = I
d2
φ
dt2 (3)
Por analog´ıa con el movimiento armónico, lo mismo que en el
caso del péndulo compuesto, el per´ıodo de oscilación pendular
valdrá:
T = 2π
I
D
(4)
Determinación del módulo de rigidez
Si I es conocido se puede calcular D. Además, con este valor y las dimensiones del alambre
se obtiene G mediante la ecuación (2)
G = D
2l
πr4
(5)
De la ecuación (4) podemos deducir I/D pero no I y D separadamente, por lo que, para
resolver este problema, se añade al sistema un cuerpo de momento de inercia conocido (I0)
respecto al eje de rotación. Haciendo oscilar el sistema tendr´ıamos un nuevo periodo dado por:
T = 2π
I + I0
D
(6)

39
El momento de inercia I0 se puede determinar con mucha precisión
a partir de las dimensiones geométricas y la masa del cuerpo añadido al
sistema, si su forma geométrica es sencilla.
Eliminando D entre (4) y (6) se obtiene:
I = I0
T 2
T 2
0 − T 2
(7)
y eliminando I entre las mismas ecuaciones:
D = 4π2 I0
T 2
0 − T 2
(8)
Una vez obtenido el valor de D, el de G se calcula a partir de (5).
MÉTODO
El péndulo de torsión que utilizamos está formado por un alambre de unos 100 cm de longitud,
sujeto por su parte superior, y cuyo extremo inferior va unido a un disco metálico, tal como se
indica en la figura.
(1) Impr´ımase a la masa pendular un giro inicial en torno al eje vertical. Al dejarlo en libertad,
comenzará a oscilar en un plano horizontal.
(2) Mida con el cronómetro la duración de 50 oscilaciones completas, repitiendo la operación
tres veces y realizando los cálculos de dispersión pertinentes para decidir el número de
medidas necesarias.
(3) Añada la pieza adicional y mida de nuevo el periodo T0 en la misma forma que antes.
(4) Determine la masa de esta pieza y sus dimensiones geométricas.
*(5) Calcule el momento de inercia I0 de la pieza. Para ello tenga en cuenta los volúmenes de
la misma que han sido vaciados.
*(6) Con le valor obtenido para I0 y los correspondientes de T y T0 calcule I, aplicando (7).
*(7) Calcule el valor de D, sustituyendo los valores correspondientes en (8).
(8) Mida con la regla la longitud l del hilo y con el calibre su diámetro.
*(9) Aplicando la ecuación (5) calcule el módulo de rigidez del alambre.
DATOS
ρ(Fe) = 7,8 × 103
kg/m3
1er

40

Práctica 8
DETERMINACIÓN DE
DENSIDADES DE LIQUIDOS Y
SÓLIDOS
OBJETIVO
Determinar la densidad de l´ıquidos y sólidos, a partir del principio de Arqu´ımedes usando la
balanza de Mohr-Westphal y una balanza electrónica, respectivamente
MATERIAL
Para determinar la densidad de un l´ıquido: Balanza de Mohr-Westphal, probeta, agua desti-
lada y l´ıquidos problemas.
Para determinar la densidad de un sólido: Balanza electrónica, junto con su platillo, un
estribo encajado al platillo, puente. Vaso de 250 cm3
, portaobjetos, agua destilada, termómetro
y sólidos problema.
Densidad
Llamamos densidad absoluta o simplemente densidad, ρ, de un cuerpo homogéneo a su masa
m, por unidad de volumen:
ρ =
m
V
(1)
Principio de Arqu´ımedes
Este principio establece que todo cuerpo sumergido total o par-
cialmente en un fluido experimenta una fuerza vertical hacia arriba,
llamada empuje, cuyo valor es igual al peso del fluido desalojado y
cuya l´ınea de acción pasa por el centro de gravedad del fluido desa-
lojado (ver figura).
As´ı, si un cuerpo de volumen V se encuentra totalmente sumer-
gido en un l´ıquido de densidad ρ, el empuje que experimenta el
41

42
cuerpo es
E = ρgV (2)
Determinación de la densidad de un l´ıquido
Si sumergimos un mismo cuerpo sucesivamente en dos fluidos distintos de densidades ρ1 y
ρ2, los empujes que experimenta se encuentran en la misma relación que las densidades de los
l´ıquidos, esto es
E2
E1
=
ρ2
ρ1
(3)
de modo que, si conocemos ρ1, podemos determinar la densidad ρ2 del otro l´ıquido.
Balanza de Mohr-Westphal
Esta balanza de brazos desiguales se utiliza para la de-
terminación de densidades de l´ıquidos más o menos densos
que el agua (ver figura). El brazo más corto termina en
una masa compacta P de peso fijo, provista de una aguja
que debe ponerse al mismo nivel que otra aguja fija al cha-
sis para obtener el equilibrio. Del extremo del brazo largo
pende, mediante un hilo delgado, un inmersor de vidrio I,
que, normalmente, lleva incorporado un termómetro para
medir la temperatura del l´ıquido cuya densidad de desea
medir (si no se dispone de este termómetro, tómese como temperatura la ambiente). En el brazo
largo hay marcadas diez muescas, numeradas del 1 al 10; aunque, realmente, esta numeración
debe interpretarse como 0,1, 0,2,. . . , de modo que el 10 representa la unidad.
Cuando el inmersor está colgado en el aire, su peso queda equilibrado por el contrapeso
(la balanza está equilibrada). Si se sumerge el inmersor en un l´ıquido, el empuje hidrostático
desequilibra la balanza, de tal forma que, si queremos reestablecer el equilibrio, deberemos colocar
unas pesas en forma de horquilla, llamadas reiters (“jinetes”), a caballo sobre el brazo graduado,
de forma que se compense exactamente el empuje hidrostático.
Como en la expresión sólo aparece el cociente entre dos empujes, no tenemos que preocupare-
mos de cuál sea la unidad para medir éstos. As´ı, el reiter unidad (1/1) se ha elegido de modo que,
colocado en la división 10, equilibre exactamente el empuje que experimenta el inmersor cuando
está sumergido en agua pura (exenta de aire) a 4o
C. Este reiter representa por tanto la unidad
de empuje cuando está colocado en la división 10. Los demás reiters tienen, respectivamente una
masa de 1/10, 1/100 de la del reiter unidad, de tal modo que colocados en la división 10 de la
balanza, representan 1/10 y 1/100 de la unidad de empuje. Cada reiter colocado en otra división,
representa tantas décimas de su valor (por ejemplo 0,1 en el caso del reiter unidad) como indica
el número de la muesca sobre la que se ha situado. As´ı por ejemplo, los reiter 1/1, 1/10 y 1/100
situados, respectivamente, en las muescas 7, 6 y 5, representan un empuje de 0,765 unidades.
Puesto que la unidad de empuje corresponde al agua y la densidad de ésta es bien conocida
(103
kg/cm
3
a 4o
C), la balanza de Mohr-Westphal permitirá conocer la densidad de un l´ıquido
problema, a partir de la simple lectura de la posición de los reiters necesarios para equilibrar la
balanza cuando el inmersor está completamente sumergido en el l´ıquido problema. No obstante,
normalmente hay que proceder a efectuar la corrección instrumental de la balanza.
Determinación de la densidad de un sólido
Si pesamos un cuerpo una vez sumergido en un l´ıquido de densidad ρ, su peso será
p1 = pa − ρgV (4)

43
donde pa es el peso del cuerpo en el aire, es decir,
pa = δgV (5)
siendo δ la densidad del sólido que queremos determinar. Debe tenerse en cuenta que estamos
despreciando el empuje del aire.
Por tanto, si podemos determinar el peso del sólido en el aire, as´ı como el empuje que
experimenta en el seno de un l´ıquido de densidad ρ conocida, de las expresiones anteriores nos
queda
δ =
pa
E
ρ. (6)
Existen factores que pueden afectar al resultado, pero su toma en consideración depende de la
exactitud que le exijamos. Revisemos algunos de ellos.
Temperatura
La variación de la densidad de los sólidos con la temperatura es, en general, muy pequeña,
y, por tanto, normalmente despreciable. Por el contrario, para los l´ıquidos, la variación de la
densidad con la temperatura es del orden de magnitud de 1 por mil por cada grado cent´ıgrado.
Puesto que las determinaciones de la densidad de los sólidos se realizan mediante un l´ıquido
auxiliar en el que se sumergen, para determinar la densidad con una exactitud superior al 1 %
debe de tenerse en cuenta el influjo de la temperatura en la densidad del l´ıquido.
Empuje del aire
La densidad del aire es de un orden de magnitud de 1 Kg/m3
. As´ı pues, cualquier cuerpo
sumergido en el aire, experimenta un empuje del orden de 10−3
del que experimenta en el seno
del agua. Este fenómeno puede despreciarse en la determinación de la densidad de un sólido,
pero, si se requiriera una gran precisión, ser´ıa necesario tenerlo en cuenta; siendo entonces la
densidad verdadera mayor en 1 mg/cm
3
que la calculada, aproximadamente.
Profundidad de inmersión del cuerpo sumergible
El cuerpo sumergible está suspendido de un alambre de aproximadamente 0,2 mm de diáme-
tro. Por consiguiente, el alambre experimenta un empuje que dependerá de la longitud de alam-
bre sumergida. Para minimizar el error introducido por este motivo, el portaobjetos debe estar
suspendido del estribo de igual forma en las dos operaciones de pesada necesarias para la deter-
minación de la densidad de un sólido.
Tensión superficial del l´ıquido
Los fenómenos de tensión superficial también pueden afectar las medidas realizadas durante
la práctica. Para minimizar su influencia, se sumergirá el portaobjetos de igual forma en las dos
operaciones de pesada.
Burbujas de aire
La adherencia de burbujas de aire al sólido sumergido (al portaobjetos) influye sobre el
resultado, produciendo un empuje adicional; por lo que debe evitarse la presencia de las burbujas.
Para ello se sacudirá ligeramente el portaobjetos en la primera inmersión en el l´ıquido, antes de
suspenderlo del estribo, para desprender las posibles burbujas de aire adheridas.
1er

44
MÉTODO
Determinación de densidades de l´ıquidos
(1) Una vez montada la balanza, cuelgue el inmersor, limpio y seco, del gancho que hay en el
extremo del brazo largo. La balanza debe quedar equilibrada. Si no es as´ı, actúe con los
tornillos A y B hasta conseguir que las dos agujas queden a la misma altura.
(2) Llene la probeta con agua destilada y, elevando la parte móvil de la balanza (tornillo
T) si fuera preciso, coloque el inmersor dentro del agua destilada, de modo que quede
completamente sumergido, sin tocar el fondo ni las paredes. Si quedasen burbujas de aire
adheridas al inmersor, éste debe sacudirse ligeramente para que se desprendan.
(3) La balanza se habrá desequilibrado. Para restablecer el equilibrio, vaya colocando los
reiters, sirviéndose de las pinzas, empezando por los mayores y ensayando cada uno de
ellos en las distintas muescas, empezando en la diez y en sentido decreciente. Si al ensayar
con un reiter, su peso resulta excesivo en una división y deficiente en la contigua, déjese
en esta última y comience a ensayar con el reiter siguiente. Proceda de esta forma hasta
conseguir equilibrar la balanza. Anote entonces el valor de ρ′
a as´ı obtenida.
(4) Lea la temperatura que marca el termómetro del inmersor y anótela. Consultando una
tabla de densidades del agua pura a distintas temperaturas, anote la densidad del agua
ρa a esa temperatura. El cociente f = ρa
ρ′
a
es el factor de corrección instrumental de la
balanza. Calcúlelo, junto con su error.
(5) Descargue la balanza y saque el inmersor del agua. L´ımpielo y séquelo con cuidado y vuelva
a colgarlo de nuevo.
(6) Vac´ıe, limpie y seque cuidadosamente la probeta y llénela con uno de los l´ıquidos problema.
(7) Sumerja el inmersor en el l´ıquido problema y proceda, como antes, a determinar su densi-
dad. Sea ρ′
el resultado obtenido. Anótelo.
(8) Aplique el factor de corrección instrumental f, obtenido en el punto 4, de modo que la
verdadera densidad determinada del l´ıquido problema es ρ = fρ′
. Anote el resultado.
(9) Repita los pasos de 5 a 8 para otros l´ıquidos problema.
Determinación de densidades de sólidos
La figura final muestra un esquema del procedimiento a seguir.
(1) Limpie cuidadosamente el material y séquelo.
(2) Llene con agua destilada el vaso hasta que el sólido, una vez colocado en la cestita del
portaobjetos, esté cubierto, como m´ınimo, con 1 cm de agua. Introduzca el termómetro.
Coloque el colgante en el centro del vaso, aproximadamente
(3) Suspenda el portaobjetos. Sacúdalo ligeramente en la primera inmersión, antes de suspen-
derlo del estribo, para desprender las posibles burbujas.
(4) Tare la balanza. Debe indicar exactamente cero.
(5) Ponga el sólido seco sobre la capsulita superior del portaobjetos, y anote su peso, pa.
(6) Tare de nuevo la balanza (con el sólido en la capsulita). De nuevo debe dar una lectura
cero.
(7) Saque el sólido de la capsulita y póngalo en la cestita inferior dentro del agua. En la balanza
aparecerá el empuje E, con signo negativo.

45
(8) Lea la densidad del agua destilada, a la temperatura T medida con el termómetro, en la
tabla de densidad del agua en función de la temperatura (interpole si fuera necesario).
(9) Siga el mismo procedimiento, desde el apartado 1, para otros sólidos problema. Anote los
resultados en una tabla, junto con sus errores.
1er

46

Práctica 9
MEDIDA DE LA VISCOSIDAD
POR EL MÉTODO DE STOKES
OBJETIVO
Determinación del coeficiente de viscosidad de un l´ıquido por el método de Stokes y compro-
bación de la ley de Stokes.
MATERIAL
Probeta de 1000 cm3
o tubo de vidrio de unos 5 cm de diámetro y al menos 60 cm de longitud,
cerrado por un extremo (Fig. 1), esferas de acero, idénticas, de un diámetro no superior a 2 mm,
l´ıquido problema, cronómetro, termómetro, palmer y regla graduada en mil´ımetros.
Arrastre sobre un cuerpo sumergido
Cuando un cuerpo se mueve a través de un fluido, aparece una fuerza
sobre el cuerpo que se opone a dicho movimiento. Dicha fuerza, que recibe el
nombre de fuerza de arrastre, tiene su origen en los esfuerzos tangenciales y
normales que ejerce el flujo sobre la superficie del cuerpo.
La fuerza de arrastre sobre un cuerpo de geometr´ıa dada resulta muy
dif´ıcil de determinar anal´ıticamente, ya que depende de gran número de fac-
tores. Por eso es necesario recurrir básicamente a la adquisición de datos
experimentales y, con esta finalidad, es costumbre expresar dicha fuerza en
la forma
FD = CD
1
2
ρv2
A (1)
donde v es la velocidad relativa del cuerpo en el fluido, ρ es la densidad del
fluido, A es el área de la sección transversal máxima que el cuerpo ofrece al
flujo y CD es un parámetro emp´ırico llamado coeficiente de arrastre, cuyo
valor depende de la forma geométrica del cuerpo y de la orientación de éste
respecto al flujo, as´ı como del valor del número de Reynolds asociado con el
flujo alrededor del cuerpo. Dicho número de Reynolds, que designaremos por
47

48
R, es una magnitud adimensional definida en la forma
R =
ρvD
η
(2)
donde ρ y v tienen el mismo significado que en [1], D es la longitud caracter´ıstica del cuerpo (el
diámetro, en el caso de una esfera) y η es el coeficiente de viscosidad del fluido, que se mide en
poises (P) en el sistema cegesimal (c.g.s.) y en DP en el S.I.
En la figura la margen se ha represen-
tado gráficamente la dependencia del coefi-
ciente de arrastre con el número de Rey-
nolds para el caso de una esfera lisa. Se
trata de una gráfica logar´ıtmica (log CD en
función de log R). Como puede apreciarse,
el coeficiente de arrastre var´ıa de una for-
ma complicada conforme aumenta el valor
de número de Reynolds.
Ley de Stokes
Para valores pequeños del número de Reynolds (R < 1), es posible determinar anal´ıticamente
la expresión de la fuerza de arrastre sobre una esfera lisa, obteniéndose
RD = 3πηDV (3)
expresión que es conocida como ley de Stokes, en honor del f´ısico irlandés Sir George Stokes
(1819-1903), que la dedujo por primera vez en 1845. Esta ley establece que la fuerza de arrastre
viscoso que se opone al movimiento de una esfera a través de un fluido, cuando R < 1, es
proporcional a la viscosidad del fluido, al diámetro de la esfera y a la velocidad de la misma en
el seno del fluido.
Teniendo en cuenta la definición del coeficiente de arrastre [1], puede comprobarse fácilmente
que
CD =
28
R
para R < 1 (4)
para el caso de una esfera, lo que concuerda excelentemente con los resultados experimentales,
como puede observarse en la Fig. 2.
Medida de la viscosidad
Podemos servirnos de la ley de Stokes para realizar una
medida precisa de la viscosidad de un fluido. Consideremos
una esfera lisa, de masa m y diámetro D, que cae en el seno
de un fluido viscoso (ver figura). Las fuerzas que actúan
sobre la esfera son: su peso mg, el empuje hidrostático
E y la fuerza de arrastre viscoso FD. La segunda ley de
Newton nos permite escribir
mg − E − FD = ma (5)
Como consecuencia de la aceleración de la esfera, su velo-
cidad aumenta; pero, puesto que la fuerza de arrastre FD
es proporcional a la velocidad, también aumenta la resis-
tencia al movimiento. As´ı pues, la esfera llegará a alcanzar

49
una velocidad tal que la fuerza peso sea compensada por la suma del empuje hidrostático y la
fuerza de arrastre. Entonces, la aceleración de la esfera será nula y su velocidad no seguirá au-
mentando. En estas condiciones, la esfera se moverá con una velocidad constante que recibe el
nombre de velocidad l´ımite (vlim). Si δ es la densidad de la esfera y ρ la del l´ıquido, el peso de
la esfera y el empuje hidrostático sobre ella vendrán dados por
mg =
4
3
π
D
2
δg =
π
6
D3
δg (6)
E =
4
3
π
D
2
ρg =
π
6
D3
ρg (7)
(8)
de modo que, una vez alcanzada la velocidad l´ımite, tendremos
mg = E + FD (9)
o sea
π
6
D3
δg =
π
6
D3
ρg + 3πηDvlim (10)
de donde
vlim =
D2
(δ − ρ)g
18η
(11)
relación que nos permite determinar el coeficiente de viscosidad de un fluido a partir de la medida
de la velocidad l´ımite de ca´ıda de pequeñas esferas a través del mismo, con tal de que el número
de Reynolds asociado al flujo alrededor de las esferas sea menor que la unidad.
Con todo rigor, la expresión [9] solamente es válida para esferas que caen en el seno de un
l´ıquido de extensión indefinida. En las condiciones experimentales, en las que las esferas caen
axialmente a través de un l´ıquido viscoso contenido en una probeta o en un tubo cil´ındrico de
diámetro φ, hay que efectuar ciertas correcciones:
1. Corrección debida a la longitud finita del tubo, en el sentido de que la esfera tiende asintóti-
camente al valor de la velocidad l´ımite. En las condiciones en que se ha planificado nuestra
experiencia, esta corrección puede despreciarse.
2. Corrección de Ladenburg: El influjo de las paredes del tubo da lugar a una disminución de
la velocidad l´ımite de ca´ıda. Si llamamos vm a la velocidad medida experimentalmente, la
velocidad corregida de este efecto es
vlim = 1 + 2,4
D
φ
vm (12)
donde φ es el diámetro interno del tubo.
Para un l´ıquido dado, el valor del coeficiente de viscosidad depende extraordinariamente de
la temperatura, por lo que es necesario especificar ésta en el instante en que se determina la
viscosidad.
MÉTODO
Medidas preliminares
Para determinar la viscosidad del l´ıquido problema será necesario disponer de los datos
siguientes:
La densidad δ y el diámetro D de las bolas.
1er

50
La densidad ρ del l´ıquido problema.
El diámetro interno φ de la probeta o tubo
La distancia l entre las marcas en la probeta o tubo.
Si algunos de estos datos no figurasen en el Guión que acompaña el montaje experimental,
el alumno deberá realizar las medidas siguientes:
(1) Medir con el palmer los diámetros de las bolas idénticas. Se tomará como valor de D el
valor medio de las medidas. Calcular el volumen medio de las bolas. Realizar los cálculos
de error pertinentes.
(2) Para determinar la densidad de las bolas, se pesarán conjuntamente en la balanza de
precisión del laboratorio.
(3) La densidad del l´ıquido problema puede determinarse con la balanza de Morh-Westphal
del laboratorio
(4) El diámetro interno de la probeta o tubo puede medirse con el palmer.
(5) La distancia entre las dos marcas de la probeta o tubo se medirá con una regla milimetrada,
o con la escala auxiliar milimetrada dispuesta a tal efecto.
Velocidad l´ımite
(6) Medir y anotar la temperatura del l´ıquido problema contenido en la probeta o tubo. Con-
viene repetir esta medida varias veces en el transcurso de la experiencia para asegurarnos
de que ésta no cambia significativamente.
(7) Si fuese necesario, limpiar bien las bolas y secarlas. Resulta conveniente manejarlas con
unas pinzas de madera.
(8) Dejar caer una bola desde corta distancia sobre la superficie libre del l´ıquido problema, en
el centro de dicha superficie. La bola deberá descender a lo largo del eje de la probeta o
tubo, lejos de las paredes. Para tal fin se usará el tubo de vidrio dispuesto en el montaje
según se indica en la Fig. 1. Medir y anotar el tiempo de tránsito de la bola entre las dos
marcas señaladas en la probeta o tubo.
(9) Repetir la operación anterior las veces que sea preciso.
*(10) Determinar el valor medio de los tiempos de tránsito obtenidos anteriormente y, a partir
de éste, calcular la velocidad l´ımite de ca´ıda.
*(11) Aplicar la corrección de Ladenburg (12) para obtener la velocidad l´ımite corregida.
Coeficiente de viscosidad
*(12) Calcular el valor del coeficiente de viscosidad del l´ıquido utilizando la expresión [9].
*(13) Calcular el valor del número de Reynolds [2] y asegurarse de que se ha trabajado en las
condiciones de validez de la ley de Stokes.
*(14) Calcular el valor del coeficiente de arrastre por medio de la expresión
CD =
4
3
D
v2
lim
g
δ
ρ
− 1 (13)

Práctica 10
TERMÓMETRO DE GAS A
PRESIÓN CONSTANTE
OBJETIVO
Determinar el coeficiente de dilatación a presión constante de un gas. Medida de Tempera-
turas.
MATERIAL
Termómetro de gas a presión constante. Recipiente metálico para el agua que rodea el bulbo
de termómetro. Resistencia de calefacción.
El primer enunciado preciso de la ley que relaciona las variaciones de volumen de un gas con
las variaciones de su temperatura fue publicado por Gay-Lussac en 1802. Gay-Lussac midió lo
que ahora llamar´ıamos coeficiente de dilatación de un cierto número de gases distintos, y al
parecer fue el primero en reconocer que, al efectuar tales medidas con los gases, es esencial
mantener la presión constante. Si no se hace esto, las variaciones de volumen originadas por los
cambios de presión no permitir´ıan conocer las variaciones de volumen debidas únicamente a los
cambios de temperatura.
La magnitud medida era, por consiguiente, el coeficiente de dilatación cúbica a presión cons-
tante. Los resultados experimentales quedan expresados por la siguiente relación
V = V0[1 + α(T − T0)] (1)
siendo V0 el volumen a una temperatura de referencia T0, V el volumen a la temperatura T , y
α el coeficiente de dilatación.
Si, como en el caso corriente, se toma como temperatura de referencia la de cero grados
cent´ıgrados, la ecuación (1) se convierte en
V = V0[1 + α(T )] (2)
El primer punto de interés es que el volumen es función lineal de la temperatura. El segundo
es que el coeficiente α tiene, muy aproximadamente, el mismo valor para todos los gases. Cuanto
más baja es la presión, con tanta mayor aproximación coinciden los valores de α para los distintos
gases. Extrapolando las medidas hasta la presión cero, se obtiene el siguiente valor, común a
todos los gases:
α = 0,003666o
C−1
o sea, 1/α = 273,15o
C
51

52
Termómetro de gas a presión constante.
El hecho de la dependencia lineal entre el volumen ocupado por un gas y la temperatura del
mismo, as´ı como la constancia del coeficiente de dilatación, nos permite utilizar la expresión (1)
para la determinación de temperaturas.
Utilizaremos el dispositivo de la figura, consistente en
un recipiente de vidrio A (que contiene gas) comunica-
do, por medio de una llave en T, con un tubo a un re-
cipiente provisto de un émbolo. Este recipiente dispone
de una escala graduada en cm. Durante la realización de
la experiencia, el émbolo se ajusta automáticamente a las
variaciones de volumen del gas, manteniéndose la presión
constante. Este dispositivo nos servirá para determinar el
valor del coeficiente de dilatación del gas contenido en A.
Una vez determinado el valor de α, podremos utilizar el
dispositivo como termómetro (Termómetro de gas a pre-
sión constante).
Bastará conocer el volumen V0 del gas a la temperatura T0 y el volumen VE a la temperatura
TE (de ebullición del agua), y, entonces, de (1) se deduce:
α =
VE − V0
V0(TE − T0
. (3)
Si se coloca el recipiente A en un medio a temperatura conocida T , y medimos el volumen
correspondiente VT ocupado por el gas, manteniendo la presión constante, de (1) se obtiene
T − T0 =
VT − V0
V0
1
α
=
VT − V0
VE − V0
(TE − T0) (4)
Para que los resultados obtenidos de las expresiones (3) y (4) sean correctos, debemos tener
en cuenta la dilatación que experimenta el recipiente as´ı como que el aire contenido en el tubo de
conexión R y en el recipiente B no se encuentra a la misma temperatura que el contenido en el
recipiente A. Dado que este último término es el más importante haremos unas consideraciones
sobre la solución del problema que plantea.
Corrección de temperaturas
La corrección de temperaturas se basa en suponer que el aire se comporta como un gas ideal,
como hasta ahora hemos hecho, y en tener en cuenta que el número de moles total que hay dentro
del recipiente A, cuando la temperatura es T0 se reparte entre el recipiente A y el recipiente B
cuando la temperatura es otra cualquiera. Aplicando la ecuación de los gases ideales y teniendo
en cuenta que se cumplirá
n = nA + nB (5)
despejando los valores de n, nA y nB y aplicando la expresión, sucesivamente, a las temperaturas
TE y T se obtiene
n =
pV0
RT0
=
pV0
RTE
+
pVE
RTa
(6)
n =
pV0
RT0
=
pV0
RT
+
pV
RTa
(7)
donde hemos supuesto que la temperatura del gas contenido en el recipiente B llega a ser la tem-
peratura ambiente después de un cierto tiempo. Simplificando términos semejantes y dividiendo
una ecuación por la otra se llega, después de despejar 1/T , a
1
T
=
1
T0
−
hT
hE
1
T0
−
1
TE
(8)

53
donde hemos tomado V = hS, siendo h el desplazamiento del émbolo y S la sección uniforme
del recipiente B (hE y hT serán los desplazamientos correspondientes a las temperaturas TE y
T respectivamente). La expresión (8) permite calcular la temperatura, incluyendo la corrección
debida al gas que escapa del recipiente A.
MÉTODO
Colocar la llave T de forma que se comunique el recipiente A con el recipiente B y la atmósfera.
(1) En el recipiente metálico que acompaña al aparato colocar una mezcla de hielo y agua
(“hielo fundente”), a fin de conseguir la temperatura 0 o
C. Esperar unos minutos para que
el aire contenido en el recipiente A alcance la temperatura de 0 o
C.
(2) Desplazar el émbolo hasta el final del recipiente B. El gas se encontrará confinado en el
recipiente A y en los tubos de conexión R cuyo volumen despreciamos respecto al de V0.
(3) Colocar la llave en T, de forma que se conecte el recipiente A con el recipiente B, aislándolos
de la atmósfera.
(4) Sustituir el baño de hielo por otro de agua del grifo. El émbolo se desplazará en el recipiente
B. Medir y anotar el desplazamiento hH2O al cabo de unos minutos cuando se estime que
el gas contenido en A haya alcanzado la temperatura del agua del grifo.
(5) Retirar el baño con el agua y dejar que el recipiente A, expuesto al aire, alcance la tem-
peratura ambiente. Rep´ıtase la operación descrita en el apartado 5 para el desplazamiento
ha (que puede ser casi inapreciable, respecto al anterior)
(6) Colocar de nuevo el baño con agua y conectar la resistencia para alcanzar la temperatura TE
de ebullición del agua. Repetir la operación descrita en el apartado 5 para el desplazamiento
hE. Anotar también los valores de los distintos desplazamientos para distintas temperaturas
intermedias entre Ta y TE.
*(7) Aplicando la expresión (3) se calculará α y 1/α.
*(8) Aplicando la expresión (4) se calculará la temperatura ambiente y la temperatura del agua
del grifo.
*(9) Aplicando la expresión (8) se calcularán las temperaturas ambiente y la del agua del grifo.
*(10) Calibrar en grados/cm
3
la escala graduada sobre la rama B del termómetro de gas a presión
constante, es decir, dibujar en una hoja dicha escala T = T (V ).
DATOS
V0 = 568,5 ± 0,3 cm3
S = 8,50 ± 0,03 cm2
1er

54

Práctica 11
EQUIVALENTE EN AGUA DE
UN CALORÍMETRO
OBJETIVO
Determinar el equivalente en agua de un calor´ımetro.
MATERIAL
Para realizar esta práctica se dispone de un vaso de Dewar o vaso calorimétrico provisto de
un termómetro, una resistencia de inmersión y un agitador. Vaso de precipitado. Hielo y papel
de filtro o similar.
Vaso de Dewar
Los vasos de Dewar, popularmente llamados ”termos”, son unos recipientes de dobles paredes
de vidrio entre las cuales se ha realizado el vac´ıo El vaso suele venir embutido en una carcasa de
plástico que sirve para protegerlo de pequeños golpes fortuitos. Como el vac´ıo que existe entre
las paredes no permite la conducción del calor, los vasos de Dewar conservan muy bien la tempe-
ratura de los cuerpos colocados en su interior y, por ello, se utilizan como vasos calorimétricos.
Para reducir las pérdidas de calor por radiación, la pared interior suele estar plateada, lo que le
confiere un aspecto metálico. Pero no debemos olvidar la suma fragilidad del vaso de Dewar por
lo que evitaremos los errores que a veces se cometen como machacar el hielo dentro del vaso,
producir cambios repentinos de temperatura dentro del mismo, verter agua hirviendo en el vaso
o dejar caer objetos pesados bruscamente en su interior (en la mayor´ıa de los que actualmente se
venden como termos, el plástico sustituye al vidrio y el poliuretano al vac´ıo. Son mucho menos
aislantes, pero mucho más baratos y much´ısimo menos frágiles).
Equivalente en agua de un calor´ımetro
Se llama as´ı, y se suele denotar por K, al producto de la masa del calor´ımetro por el calor
espec´ıfico de la sustancia de la que está fabricado, esto es, a su capacidad calor´ıfica. Evidentemen-
te, dado que la capacidad calor´ıfica media del agua a temperaturas habituales es prácticamente
de 1 cal/go
C, el valor de K representa la masa de agua que deber´ıa tener un calor´ımetro, hi-
potéticamente construido con agua, para que cediera o absorbiera la misma cantidad de calor
55

56
que el calor´ımetro en cuestión. Por ello, con frecuencia, el equivalente en agua del calor´ımetro
se expresa en gramos de agua. No obstante, las verdaderas unidades de K son calor´ıas/o
C.
Como en la práctica calorimétrica no sólo el vaso absorbe calor, sino también el agitador,
el termómetro, etc., es preferible proceder a la determinación experimental del equivalente del
agua total del calor´ımetro con todos sus accesorios.
Método de las mezclas
Cuando se mezclan dos sustancias, que se encuentran inicialmente a distintas temperaturas,
el cuerpo a mayor temperatura cede calor al que está a menor temperatura, hasta que se alcanza
una temperatura de equilibrio idéntica para las dos sustancias. El proceso debe ser tal que no
haya flujo calor´ıfico hacia o desde los cuerpos circundantes (medio ambiente), es decir, que el
sistema esté adecuadamente aislado.
Con el fin de minimizar esta ganancia o pérdida de calor, se utilizan los vasos (de) Dewar, ya
que con ellos el intercambio calor´ıfico con el medio ambiente es extremadamente reducido. Un
procedimiento para reducir aún más el efecto de este intercambio calor´ıfico es comenzar con el
calor´ımetro algo más caliente que el medio que lo rodea y acabar cuando su temperatura está por
debajo de la del ambiente. En este caso, el calor que pierde el calor´ımetro y su contenido cuando
su temperatura es superior a la del medio ambiente se ve compensada con el calor que gana
mientras su temperatura es inferior a la de aquél.
Si colocamos en el interior del calor´ımetro una cantidad M1 de agua a una temperatura T1 y
después añadimos una masa M2 de agua a una temperatura T2, una vez efectuada la mezcla, se
alcanzará una temperatura T de equilibrio, de modo que, si llamamos K al equivalente en agua
del calor´ımetro y accesorios y T2 < T < T1, se verificará
(M1c + K)(T1 − T ) = M2c(T − T2) (1)
de donde
k = M2c
T − T2
T1 − T
− M1c (2)
siendo c el calor espec´ıfico del agua (c = 0,998 cal/g
o
C y una variación inferior al 1 % para un
intervalo de temperaturas comprendido entre 0 y 100o
C).
MÉTODO
(1) Limpie cuidadosamente el interior del vaso de Dewar, séquelo exterior e interiormente.
(2) Pese una cierta masa de agua, M1, que le permita llenar el vaso de Dewar hasta poco más
de la mitad. A continuación, conecte la resistencia hasta alcanzar una temperatura de unos
10 ó 15 o
C por encima de la temperatura ambiente. Anótela (temperatura T1).
(3) Coloque agua del grifo en el otro vaso. Para enfriarla ahora hasta una temperatura cercana
a 0o
C, añada unos cubitos de hielo y espérese a que todo el hielo se funda. Pese una cierta
cantidad de este agua, M2, y anote su temperatura, T2.
(4) Vierta cuidadosamente el agua fr´ıa en el interior del vaso de Dewar hasta un par de
cent´ımetros por debajo de su borde. Tápelo y agite suavemente con el agitador con objeto
de favorecer la mezcla. Mientras, observe el descenso de temperatura en el calor´ımetro.
Cuando ésta permanezca estacionaria y uniforme en todo el volumen del l´ıquido, anote su
valor final T .
(5) Repita el proceso tantas veces como considere oportuno.
*(6) A través de la ecuación (2) determine el equivalente en agua del vaso de Dewar y sus acce-
sorios. Inclúyanse todas las medidas realizadas, la justificación de su número, los cálculos
que considere oportunos y exprese el resultado con el error correspondiente.

Práctica 12
CALOR DE FUSIÓN DEL
HIELO Y CALOR ESPECÍFICO
DE SÓLIDOS
OBJETIVO
Determinar el calor latente de fusión del hielo utilizando el método de las mezclas. Determinar
el calor espec´ıfico de sólidos.
MATERIAL
Para realizar esta práctica se dispone de un vaso de Dewar o vaso calorimétrico provisto de
un termómetro y un agitador, as´ı como un cazo y hornillo para calentar agua, hielo y papel de
filtro o similar. Caja con tres sólidos diferentes en forma de pesa de balanza.
FUNDAMENTO
CALOR DE FUSIÓN DEL HIELO
Se llama calor latente de fusión de una sustancia a la cantidad de calor que hay que sumi-
nistrar a la unidad de masa de esa sustancia para que, a la temperatura del punto de fusión,
ésta cambie del estado sólido al l´ıquido. El calor latente de fusión se suele medir en calor´ıas por
gramo (cal/g), aunque su unidad SI es el J/Kg, y se suele representar por L.
El calor puesto en juego en un proceso de cambio de estado puede determinarse por el método
de las mezclas. Éste se basa en el hecho de que cuando se mezclan dos sustancias que inicialmente
se encuentran a distinta temperatura, la que está a mayor temperatura cede calor a la que se
encuentra a menor temperatura, hasta que se igualan las temperaturas en un valor de equilibrio
intermedio de las anteriores.
El proceso anterior debe realizarse de tal forma que no haya intercambio de calor con el
medio circundante; lo que, de forma aproximada, se consigue utilizando los vasos de Dewar (ver
práctica 11 para su descripción) y trabajando de modo que inicialmente el vaso de Dewar o vaso
calorimétrico y su contenido se encuentren a una temperatura algo superior a la del medio y,
finalmente, a una temperatura algo inferior a la del medio. Como consecuencia de esta precaución,
el calor cedido al medio por el vaso de Dewar y su contenido cuando la temperatura de éstos
es superior a la del medio, se ve prácticamente compensado por el calor absorbido cuando la
temperatura del vaso y su contenido es inferior a la del medio.
57

58
Como nuestro propósito es determinar el calor de fusión L del hielo, colocaremos en el interior
del calor´ımetro una masa conocida de agua, M, a una temperatura bien determinada, T0, y
dejaremos fundir en ella una masa, m de hielo a 0o
C. As´ı, si utilizamos la siguiente nomenclatura:
M masa inicial de agua,
m masa de hielo añadido a 0o
C,
K equivalente en agua del vaso de Dewar y accesorios (véase la práctica 11),
T0 temperatura inicial del agua en el vaso de Dewar,
T temperatura final de equilibrio,
c calor espec´ıfico del agua (c = 0,998 cal/g
o
C con una variación inferior al 1 % para un
intervalo de temperaturas comprendido entre 0o
C y 100o
C)
L calor latente de fusión del hielo,
podremos escribir la siguiente ecuación de balance energético:
Mc(T0 − T ) + K(T0 − T ) = mL + mc(T − 0) (1)
de donde
L =
Mc + K
m
(T0 − T ) − cT. (2)
Nótese que la temperatura T está indicada en grados cent´ıgrados.
CALOR ESPECÍFICO DE SÓLIDOS
Supongamos que medimos el cambio de temperatura ∆T de un sistema de masa m cuando se
le cede una cierta cantidad de calor Q, suponiendo, como en nuestro caso, la presión se mantiene
fija y no hay cambios de fase. Para pequeños cambios de temperatura, la experiencia demuestra
que el calor cedido al sistema y el cambio de temperatura son proporcionales. También que,
para un cambio de temperatura dado, Q va a ser proporcional a la masa del sistema. Es decir,
Q ∝ m∆T . La constante de proporcionalidad es una caracter´ıstica de cada sustancia; se trata
de la capacidad calor´ıfica espec´ıfica a presión constante, cp, que se define en el caso l´ımite de
cambios infinitesimales de temperatura como
dQ = mcpdT (3)
Generalmente se elimina la palabra “capacidad” y el nombre de esta magnitud queda sim-
plemente como calor espec´ıfico, cuyas unidades en el SI serán J Kg−1
K−1
. Teniendo en cuenta
que un cambio de temperatura expresado en K es igual al mismo cambio expresado en o
C, sus
unidades se expresan más usualmente como J Kg−1 o
C−1
.
MÉTODO
CALOR DE FUSIÓN DEL HIELO
(1) Limpie cuidadosamente el interior del vaso de Dewar, séquelo interior y exteriormente y
determine la masa M0 del vaso de Dewar y sus accesorios (termómetro y agitador).
¡Atención! Tenga en cuenta la suma fragilidad del interior del vaso de Dewar,
por lo cual no lo someta a golpes, cambios bruscos de temperatura y no caliente
directamente el agua en el mismo.
(2) Llene el calor´ımetro hasta poco menos de la mitad con agua calentada hasta una tempe-
ratura que exceda en unos 15o
C a la del ambiente.

59
¡ATENCIÓN! Para calentar el agua se usan los vasos metálicos. Nunca se
calentará el agua poniendo el calor´ımetro sobre el infernillo o estufa.
(3) Pese el calor´ımetro con el agua y sus accesorios. Si denotamos por M′
a esta masa, ten-
dremos que la masa de agua vendrá dada por M = M′
− M0.
(4) Tome unos cubitos de hielo del frigor´ıfico del laboratorio y depos´ıtelos en una mesa sobre
papel de filtro, con objeto de que comiencen a fundir y alcancen la temperatura de fusión
del hielo (0o
C), ya que, normalmente, salen del frigor´ıfico a una temperatura inferior.
(5) Agite con suavidad el agua del calor´ımetro y observe la temperatura que marca el termóme-
tro sumergido en el agua. Repita la operación varias veces hasta cerciorarse de que la
temperatura es uniforme en todo el volumen de agua. Esta temperatura es T0.
(6) A continuación, tome un trozo(s) de hielo, séquelo lo mejor posible e introdúzcalo en
el calor´ımetro con cuidado de no salpicar agua hacia el exterior del mismo. Remueva
cuidadosamente el agua del calor´ımetro y, tan pronto como haya fundido el trozo de hielo,
lea la temperatura de la mezcla.
(7) Repita la operación anterior tantas veces como sea necesario para conseguir una tempera-
tura del agua unos 10 ó 15o
C por debajo de la temperatura ambiente. En este momento
deberá determinar la temperatura de equilibrio T de la mezcla.
(8) Determine la masa M′′
del vaso de Dewar con el termómetro, el agitador, el agua y el hielo
fundido. De esta manera, la masa m de hielo añadido será: m = M′′
− M′
.
(9) Repita la experiencia tantas veces como considere necesarias.
*(10) A partir de la expresión (2), determine el calor latente de fusión del hielo. Inclúyanse las
medidas realizadas, la justificación de su número, los cálculos que considere oportunos y
exprese todas las magnitudes con el error correspondiente.
CALOR ESPECÍFICO DE SÓLIDOS
(1) Limpie cuidadosamente el interior del vaso de Dewar, séquelo interior y exteriormente y
determine la masa M0 del vaso de Dewar y sus accesorios (termómetro y agitador).
(2) Pese los sólidos cuyo calor espec´ıfico va a determinar.
(3) Llene el calor´ımetro con una cantidad adecuada de agua del grifo (el alumno mismo deter-
minará cuál es esta cantidad realizando algunas pruebas previas) midiendo su temperatura.
Cuando se estabilice, ésta será la temperatura inicial del agua, Ti.
(4) Caliente ahora en un vaso agua, en la que habrá introducido uno de los sólidos cuyo
calor espec´ıfico hay que determinar; llevándola a ebullición y midiendo simultáneamente
la temperatura. Cuando esta se estabilice, sacamos el sólido (cuya temperatura será la
anteriormente medida) y lo introducimos inmediatamente en el agua del calor´ımetro.
(5) Ahora medimos la temperatura del agua hasta que se estabilice, anotándola entonces, Tf .
*(6) Mediante una sencilla ecuación de balance energético, del tipo de la ecuación (1), y teniendo
en cuenta que ∆T = Tf − Ti, calcular el cp del sólido utilizado.
(7) Rep´ıtase el proceso, al menos dos veces más.
(8) Rep´ıtase de nuevo todo lo anterior con los dos sólidos restantes.
*(9) Determine el calor espec´ıfico de los tres sólidos. Inclúyanse las medidas realizadas, la jus-
tificación de su número, los cálculos oportunos y exprese todas las magnitudes su error.
*(10) Consultando tablas de valores de cp sugiera de qué sustancia es cada sólido medido.
1er

60

Práctica 13
LEY DE BOYLE
OBJETIVO
Verificación de la ley de Boyle en el caso del aire. Determinación de los coeficientes térmicos
del aire.
MATERIAL
Aparato para la ley de los gases. Sistema termostático.
En 1662, Robert Boyle descubrió experimentalmente una relación entre la presión y el vo-
lumen de un gas encerrado en un recipiente: una masa dada de gas a temperatura constante,
mantiene constante el producto de su presión por su volumen,
pV = cte. (1)
Esta ley es rigurosamente cierta para gases ideales; para gases reales y a altas presiones, los
errores son apreciables. Sin embargo, la ley de Boyle es suficientemente precisa para cualquier
aplicación práctica a presión atmosférica y temperaturas próximas a la ambiente. Por lo tanto,
si tenemos un gas en condiciones que cumplan la ley de Boyle, la representación gráfica de su
evolución isoterma en un diagrama p-V, conduce a un arco de hipérbola equilátera que tiene
por as´ıntotas los ejes coordenados, mientras que, si se representa gráficamente el producto pV
en función de p se obtendrá una l´ınea recta paralela al eje de abcisas.
Por otra parte, cuando a un sistema termodinámico le alteramos alguna de sus variables
que sirven para especificar su estado, esa variación, en general, afecta a las demás variables de
estado, y, en consecuencia, podemos hablar de la velocidad de cambio de una de sus variables
con respecto a otras.
Para expresar estas velocidades de cambio, se introducen los coeficientes térmicos de un
sistema, que se definen del siguiente modo:
Coeficiente de dilatación térmica, de dilatación isobárica o simplemente de dilatación, pues
con cualquiera de las tres denominaciones se le denomina. F´ısicamente, se define como la veloci-
dad de cambio, por unidad de volumen, de esta magnitud a medida que se cambia la tempera-
tura, permaneciendo constante la presión. Se suele representar por el s´ımbolo α y su definición
se traduce en la expresión
α =
1
V
∂V
∂T p
(2)
61

62
Coeficiente piezométrico. Expresa la rapidez de cambio, por unidad de presión, de esta magni-
tud a medida que var´ıa la temperatura permaneciendo constante el volumen. Se suele representar
por el s´ımbolo β y se define por
β =
1
p
∂p
∂T V
(3)
En la práctica, este coeficiente es poco utilizado, ya que, experimentalmente, se determi-
nan más fácilmente las variaciones del volumen, con la temperatura o con la presión, que las
variaciones de la presión con las demás variables termodinámicas.
Coeficiente de compresibilidad isotermo. Se define como la rapidez de cambio, con signo
negativo, del volumen con respecto a la presión, por unidad de volumen, cuando permanece
constante la temperatura. Se representa por χT
y su definición matemática es
χT
= −
1
V
∂V
∂p T
(4)
Entre estos tres coeficientes, se puede deducir la siguiente relación
α = βχT
p (5)
MÉTODO
Para llevar a cabo la experiencia, disponemos de dos recipientes A y B, unidos mediante un
tubo de teflón, que contienen mercurio (ver Fig. 1). Entre A y B hay una escala graduada G,
que puede utilizarse tanto para el recipiente A como para la diferencia de nivel entre A y B.
Figura 1 Figura 2
(1) Cuando el nivel de mercurio en ambos recipientes está igualado, se puede observar en G la
altura del nivel correspondiente a la presión atmosférica p0 (p0, en mil´ımetros de mercurio,
se mide con ayuda del barómetro instalado en el laboratorio). Se mide el volumen V0 de
aire en el recipiente A (mediante G, como queda dicho), y que corresponde a la presión
atmosférica.
(2) Si se sube el recipiente B, el nivel de mercurio sube simultáneamente en A (ver Fig. 2)
y el desnivel de mercurio en ambos recipientes es h1, medido en la escala G. El volumen
ocupado por la masa de gas es ahora distinto, V1, mientras que la presión es p0 + h1
(expresada en mil´ımetros de mercurio). Para diferentes elevaciones (o descensos) de B,

63
se obtienen distintos desniveles h2, h3, . . . (en el caso de descensos, estos valores serán
negativos) correspondientes a los volúmenes V2, V3, . . .
Se irán midiendo de esta forma las presiones y los volúmenes de la masa gaseosa encerrada
en A, lo cual nos permitirá comparar el comportamiento del gas respecto al de un gas ideal.
(3) Para poder determinar los coeficientes térmicos del gas, se repetirán las mediciones ante-
riores, pero manteniendo el recipiente A a diferentes temperaturas ayudados del sistema
termostático.
(4) Medir unas 15 parejas (aproximadamente equidistantes entre si y abarcando hasta el ex-
tremo superior de G) de p (o h) y de V para temperaturas de 25, 30, 35, 40, 45 y 50
o
C, que fijaremos con ayuda del termostato y que mediremos con el termómetro auxiliar
(dibujado en R en las figuras, pero que, en el aparato real, está situado en la parte alta de
A). Se ha de tener la precaución de obtener, para dos temperaturas próximas, los valores
de presión correspondientes a volúmenes iguales y los valores de volumen correspondientes
a presiones iguales, imprescindibles para el cálculo del coeficiente de dilatación isóbara y
del coeficiente piezotérmico.
*(5) Construir una tabla en la que se reflejen los valores de p, V , pV y 1/V para las distintas
temperaturas.
*(6) Con los datos obtenidos se hará una representación gráfica de la presión en función del
volumen y del producto pV en función de la presión para cada temperatura.
*(7) Para el cálculo del coeficiente de compresibilidad isotermo, hemos de tener en cuenta que
se trata de escoger un punto sobre la gráfica p−V , determinar el valor de la pendiente de la
curva en ese punto y dividirla por el volumen correspondiente. Para determinar el valor de
la pendiente, consideraremos un par de puntos sobre la isoterma suficientemente próximos,
y asimilar la derivada al cociente incremental ∆V/∆p. Por esta razón se ha recomendado
más arriba variar la presión poco a poco de una medida a otra. La expresión a utilizar
será:
χT
≈
V2 − V1
(p2 − p1)V1
(6)
*(8) Calcular el coeficiente de compresiblidad isotermo para las diferentes temperaturas.
*(9) En cuanto al cálculo de α, tendremos en cuenta que, para una presión dada, se puede
escribir:
α ≈
V2 − V1
(T2 − T1)V1
. (7)
Calcular el coeficiente de dilatación isóbaro para tres presiones distintas, sustituyendo en
(7) los datos de volumen correspondientes a dos temperaturas próximas.
*(10) Igualmente, para un volumen dado, se obtiene:
β ≈
p2 − p1
(T2 − T1)p1
. (8)
Calcular el coeficiente piezotérmico para tres volúmenes distintos, sustituyendo en (8) los
datos de presión correspondientes a dos temperaturas próximas.
1er

64

Práctica 14
VELOCIDAD DEL SONIDO EN
EL AIRE
OBJETIVO
Estudiar el fenómeno de la resonancia, determinar la velocidad del sonido en el aire y el
coeficiente adiabático del mismo.
MATERIAL
Tubo de resonancia, dispuesto verticalmente y provisto de un sistema adecuado para variar
el nivel de agua en el mismo. Diapasones. Martillo de caucho. Regla graduada.
FUNDAMENTO
Velocidad del sonido en el aire
Entre la velocidad de propagación v de una onda, su longitud λ y su frecuencia f existe la
relación
v = λf (1)
de modo que, si somos capaces de medir λ y f, tendremos determinada la velocidad de propa-
gación v.
Las ondas sonoras son ondas mecánicas longitudinales, que pueden propagarse en los medios
materiales (sólidos, l´ıquidos y gases). Si el medio en que se propaga la onda sonora es un gas,
tal como el aire, la velocidad de propagación viene dada por
v =
β
ρ
(2)
siendo β el módulo de compresibilidad del medio y ρ su densidad.
Si admitimos que las transformaciones que acompañan a la propagación del sonido en el
aire (es decir, las compresiones y enrarecimientos) tienen carácter adiabático (ya que son muy
rápidas) y que el aire se comporta como un gas ideal, entonces podremos escribir
β = γP (3)
donde γ es el llamado coeficiente adiabático y representa el cociente entre los calores molares a
presión y a volumen constante (γ = cp/cv) y P es la presión del gas (la presión atmosférica)
65

66
Sustituyendo la expresión (3) en la (2) y utilizando la ecuación de estado del gas ideal
(PV = nRT ) obtenemos
v =
γRT
M
(4)
donde R es la constante universal de los gases, M es la masa molecular del gas (la masa molecular
media del aire es 28,9g/mol) y T su temperatura absoluta.
Conocida la velocidad v del sonido en el aire a la temperatura ambiente T (K), podemos
calcular el valor de la velocidad vo a 0o
C, utilizando dos veces la expresión anterior y dividiendo
miembro a miembro. Obtenemos entonces:
v = vo
T0
T
(5)
Resonancia
Si, mediante una fuente sonora (un diapasón, por ejem-
plo) producimos una vibración de frecuencia conocida cer-
ca del extremo abierto de un tubo (cerrado por el otro ex-
tremo), las ondas que se propagan a través de la columna
de aire contenida en el tubo se reflejan en sus extremos. Si
la longitud de la columna de aire se ajusta de modo que
sea igual a un cuarto de la longitud de onda del tono emi-
tido por el diapasón, la onda reflejada llegará al extremo
abierto precisamente en fase con la nueva vibración del
diapasón (en la reflexión en el extremo cerrado se produce
un salto de fase de 180o
) produciéndose una intensifica-
ción en el sonido emitido. Este fenómeno es conocido con
el nombre de resonancia.
En la columna de aire se establece una onda estaciona-
ria, producida por la interferencia entre el tren de ondas
incidente y reflejado, con un nodo en el extremo cerrado
y un vientre o antinodo en el extremo abierto.
En general, la columna de aire entrará en resonancia siempre que su longitud sea exactamente
un múltiplo impar de cuartos de longitud de onda, esto es
L = (2n − 1)
λ
4
(n = 1, 2, 3, . . .), (6)
as´ı que la distancia que separa dos nodos (o dos antinodos) consecutivos será de media longitud
de onda.
En realidad, la posición del primer vientre no coincide exacta-
mente con el extremo abierto del tubo, sino que se encuentra a una
cierta distancia e, fuera del mismo. En la figura se indican las con-
diciones de vibración para las dos primeras posiciones de resonancia
y a partir de ellas podemos escribir:
L1 + e =
λ
4
L2 + e =
3λ
4
(7)
de modo que si medimos L1 y L2 será
λ = 2(L2 − L1) (8)
e =
L2 − 3L1
2
(9)
y as´ı, determinado el valor de la longitud de onda, λ, y conocida
la frecuencia del diapasón (especificada por el fabricante), podemos
determinar la velocidad del sonido utilizando la expresión (1).

67
Tubo de resonancia
El aparato utilizado en esta práctica consiste en un tubo de vidrio, de unos 100 cm de largo y
unos 3 cm de diámetro interior, colocado en una posición vertical y comunicado por su extremo
inferior mediante un tubo de caucho, con un depósito de agua cuya altura puede regularse a fin de
hacer variar el nivel de agua en el tubo resonante. En lugar del depósito, puede conectarse el tubo
de caucho a un grifo del laboratorio, intercalando una llave en T para hacer posible el vaciado
del tubo resonante. La longitud de la columna de aire se puede as´ı modificar introduciendo o
sacando agua del tubo resonante.
MÉTODO
(1) Fije el diapasón cerca del extremo superior del tubo de resonancia, de modo que, al vibrar,
lo haga según el eje del tubo y que casi roce con el borde del mismo.
(2) Llene de agua el tubo hasta cerca de su borde.
(3) Excite el diapasón golpeándolo con su martillo de caucho. Mientras el diapasón está vi-
brando, haga descender lentamente el nivel del agua en el tubo hasta que se produzca la
resonancia. que se reconoce porque se produce una intensificación del sonido, fácilmente
audible, aún cuando el sonido que procede directamente del diapasón apenas lo sea.
(4) Una vez que haya determinado aproximadamente la posición del primer punto de resonan-
cia, proceda a su determinación lo más exacta posible, unas veces subiendo lentamente el
nivel de agua y otras veces bajándolo lentamente. Entonces anote la distancia L1 de dicho
punto hasta el borde del tubo.
(5) Proceda análogamente a lo indicado en 3) y 4) para localizar el segundo punto donde se
encuentra resonancia. Sea L2 la distancia de dicho punto al borde superior del tubo.
*(6) Utilice las expresiones (7) y (8) para determinar la longitud de onda, λ, del sonido emitido
y la corrección del extremo e.
*(7) Con el valor de λ as´ı determinado y con la frecuencia f del diapasón (que viene grabado
sobre el mismo), determine la velocidad v del sonido en el aire, utilizando la expresión (1)
(8) Lea en el barómetro del laboratorio la presión atmosférica y la temperatura ambiente.
Utilizando la expresión (5), calcule la velocidad del sonido en el aire a 0o
C.
*(9) Utilice las expresiones (3) y (4) para calcular, a partir de los resultados anteriores, el valor
del coeficiente adiabático (γ) y el módulo de compresibilidad (β) del aire (ponga mucha
atención en las unidades utilizadas)
*(10) A partir del valor de γ determinado en este experiencia y de las relaciones γ = cp/cv y
cp − cv = R, determine los calores molares a presión y volumen constante para el aire
(exprese el resultado en J mol−1
K−1
)
1er

68

Práctica 15
ONDAS ACÚSTICAS:
INTERFERENCIA,
REFLEXIÓN Y DIFRACCIÓN
OBJETIVO
Estudio de los fenómenos de interferencia, reflexión y difracción usando ondas sonoras. Ob-
servación y descripción de los fenómenos observados. Descripción teórica de los experimentos.
MATERIAL
Generador de ondas acústicas (senoidales, sierra y cuadradas) con una frecuencia compren-
dida entre 0,1 y 105 Hz. Altavoces (2). Micrófono de medida. Osciloscopio. Pantallas reflectoras.
Regla. Cables de conexión.
Figura 1
69

70
Los fenómenos observados se deben a la existencias de ondas mecánicas, que verifican la
ecuación general de ondas (en una dimensión):
∂2
Ψ(x, t)
∂t2
= v2 ∂2
Ψ(x, t)
∂x2
(1)
En donde x y t son el punto del espacio y el instante que estamos considerando. Ψ(x, t) es la
magnitud caracter´ıstica del tipo de onda (para las ondas mecánicas suele ser el desplazamiento
de los elementos del medio en el que se propaga), que se suele llamar función de onda. La solución
más simple de esta ecuación es una onda armónica monocromática (una sola frecuencia) de la
forma:
Ψ(x, t) = A0 sin(ωt − kx + φ) (2)
en donde A0 es la amplitud de la onda (desplazamiento máximo), ω es la frecuencia angular de
la onda, φ es la denominada fase inicial y k = 2π/λ es el número de onda (siendo λ la longitud
de onda, es decir, la distancia m´ınima en la que la onda se “repite”). El signo menos supone que
la onda se propaga hacia la derecha (sentido positivo del eje x); cuando se propaga en sentido
contrario, el signo debe de ser positivo.
Interferencia
Cuando, en un punto de un medio, se superponen en la misma dirección dos o más ondas
de la misma frecuencia, pero con diferente fase, la función de onda resultante tiene también la
misma frecuencia y longitud de onda que las originales pero, dependiendo de la diferencia de fase
(siempre que ésta sea constante) entre ellas, la amplitud resultante puede ser bastante mayor
(interferencia constructiva) o cero (interferencia destructiva).
Coherencia
Se dice que dos ondas son coherentes cuando las dos mantienen una diferencia de fase cons-
tante. Normalmente, las ondas que se emiten por dos fuentes de ondas no son coherentes, por lo
cual es imposible observar los fenómenos de interferencias en la vida ordinaria. Sin embargo, y
como era de esperar, las fuentes que vamos a utilizar en esta práctica si son coherentes.
En nuestra práctica, ver Fig. 1, dos altavoces, conectados a un generador de señales en
paralelo o en serie, son las fuentes acústicas. La distribución de la presión acústica (variable en
el espacio) en el medio se va a medir mediante un micrófono, el cual se desplazará paralelamente
a la l´ınea que une a los altavoces. Debido a que las distancias r1 y r2 entre el micrófono y
los altavoces son variables y que, por lo tanto, también var´ıan las distancias recorridas por
las ondas, éstas interfieren en el punto de medida con distintas diferencias de camino. Si los
altavoces emiten con la misma fase (coherentes), las diferencias de fase en el punto de medida se
deben exclusivamente a la diferencia de caminos recorridos por las dos ondas acústicas. Si esta
diferencia es una múltiplo entero de la longitud de onda λ,
∆r = nλ, n = 0, 1, 2, . . . (3)
se suman los incrementos de presión oscilante. En los lugares en los que se satisface esta condición,
la presión es máxima. Por otra parte, si la diferencia de caminos es un múltiplo impar de la
semilongitud de onda,
∆r =
(2n − 1)λ
2
, n = 0, 1, 2, . . . (4)
los valores instantáneos de la presión acústica oscilatoria tiene distinto signo. En este caso la
amplitud total es la diferencia de las amplitudes componentes y el resultado es un m´ınimo.

71
Según la figura 2 se obtiene la relación aproximada (para d << l) para la diferencia de camino
entre las dos ondas:
r2 + r1 = 2s (5)
∆r =
ad
s
(6)
y, con ,
∆r = d senα (7)
Se obtienen as´ı los ángulos para los que ocurren los picos y los m´ınimos de la presión acústica:
senαmax =
nλ
d
, n = 0, 1, 2, . . . (8)
senαmin =
(2n − 1)λ
2d
, n = 1, 2, 3 . . . (9)
Los puntos de observación se calculan mediante la expresión
A = l tg α (10)
Figura 2
Reflexión. Ondas estacionarias
Cuando dos ondas “viajeras” de la misma amplitud y de la misma frecuencia, pero de sentido
contrario se encuentran en una misma región, se produce un fenómeno de interferencia conocido
como ondas estacionarias, que ya no son “viajeras”, como su propio nombre indica. Aparecen
entonces puntos fijos en los que no exista movimiento (nodos) y otros, también fijos, de desplaza-
miento máximo (vientres o antinodos). Las ondas acústicas emitidas por un altavoz se reflejan de
forma reverberativa en una pantalla metálica, es decir, las ondas acústica se reflejan sin cambio
de fase. Se mide entonces un pico de intensidad en la placa metálica (ver figura 3). Las ondas
incidente y reflejada cumplen la relación
I = A sen 2π
ct − x
λ
+ A sen 2π
ct + x
λ
(11)
bajo la hipótesis ideal de que las amplitudes de las dos ondas son iguales. Si convertimos esta
suma en un producto, obtenemos:
I = 2A cos
2πx
λ
sen
2πct
λ
. (12)
Esta relación muestra que las part´ıculas oscilantes pasan por un cero en el instante
t =
n
2
λ
c
=
n
2
T, n = 1, 2, 3, . . . (13)
1er

72
La amplitud, que sólo depende de la posición, es
2A cos
2πx
λ
(14)
y muestra picos cuando se cumple que:
x =
n
2
λ n = 1, 2, 3, . . . (15)
Figura 3
Difracción
Según se ve en la figura 4, cuando un frente de onda plano se encuentra una rendija cuya
anchura es un múltiplo de su longitud de onda, de acuerdo con principio de Huygens, la superficie
limitada por la rendija puede considerarse como el lugar geométrico de múltiples puntos de
radiación secundaria. Las ondas elementales emitidas por ellos interfieren entre s´ı y llenan el
espacio posterior a la rendija con una distribución de máximos y m´ınimos de la presión acústica
oscilatoria.

73
Figura 4
La posición espacial de la estructura de las interferencias puede calcularse si se imagina la
rendija subdividida en un cierto número de bandas de la misma anchura. Según sea el número n
de bandas, las ondas elementales que provienen de los puntos secundarios de emisión, interfieren
bajo ángulos definidos αn, de forma que las ondas correspondientes se amplifican o se anulan
mutuamente. La anulación para una rendija de anchura d y una onda acústica de longitud de
onda λ tiene lugar cuando se cumple que
senα =
nλ
d
, n = 1, 2, 3, . . . (16)
La amplificación tiene lugar en la dirección de propagación de la onda acústica, es decir, para
α = 0, al igual que para el ángulo α con
senα =
(2n − 1)λ
2d
, n = 1, 2, 3, . . . (17)
es decir, los máximos y m´ınimos están situados sobre l´ıneas rectas que pasan por en medio de la
rendija. Los ángulos en los que ocurren los máximo y m´ınimos pueden calcularse según la figura
5 mediante
tg α =
a
l
(18)
y puede con las relaciones anteriores.
MÉTODO
¡IMPORTANTE! Para una onda acústica, si es c la velocidad del sonido, se tiene
λ = c/ν, donde ν es la frecuencia. Para poder detectar todos estos fenómenos, debe
evaluar el orden de magnitud de la frecuencia. Pregunte al Profesor si tiene dudas.
(1) La fuente de señales (las que van a los altavoces) tiene diversas posibilidades. El botón de
la izquierda nos permite elegir el intervalo de frecuencia de la señal (desde 0,1 a 10000 Hz).
El siguiente nos permite multiplicar la frecuencia anterior por el factor correspondiente.
El siguiente nos da el tipo de señal periódica de salida (senoidal, en diente de sierra y
cuadrada). Y el último a la derecha nos permite graduar la amplitud de la señal.
1er

74
(2) En cuanto al micrófono, tiene un botón de puesta en marcha (“ON”) y un cursor para
adaptarlo al tipo de señal emitido. La señal medida por el micrófono se detecta en el
osciloscopio, los cambios en la amplitud de la señal son los que nos informan de los diferentes
fenómenos: interferencias, reflexión y difracción.
(3) La regla, colocada en la base del micrófono, nos permite medir en qué punto del espacio
tenemos aumento o disminución de presión.
(4) Según sea el tipo de experimento, habrá de conectarse uno o dos altavoces. Si se conectan
los dos, se hará en serie, cuidando de hacer las conexiones en el mismo orden en los dos
altavoces.
Para el caso de las interferencias, se deberán colocar los dos altavoces (conectados en
paralelo) separados en una l´ınea normal al observador y el micrófono a una cierta distancia
de ellos (hacia la derecha) y mover este último a lo largo de una l´ınea también normal
al observador. Esta l´ınea también se puede cambiar a un lado o a otro para volver a
desplazarla normalmente.
En el caso de las ondas estacionarias, se utilizará un solo altavoz, que se colocará cerca del
borde de la mesa, se dirigirá en sentido contrario al observador y enfrentado a la pantalla
(situada paralelamente a la mesa). El micrófono se situará al lado del altavoz, también
normal a la pantalla y se desplazará normalmente a la misma.
En el caso de la difracción, se situará un solo altavoz a la izquierda del observador, dirigido
paralelamente a la mesa. A continuación, a una distancia prudencial, se colocarán las dos
pantallas una en dirección normal al observador y las dos en el mismo plano, dejando una
“rendija” (un espacio) entre ellas. El micrófono se colocará a la derecha de las pantallas,
en dirección paralela a la mesa y se moverá paralelamente a las pantallas.
(5) Con estas disposiciones señaladas, el alumno hará las pruebas que considere oportunas
para establecer el mejor modelo posible (longitudes de onda, distancias entre máximos y
m´ınimos, situación de los mismos, nodos y vientres, etc) de los fenómenos de interferencias,
ondas estacionarias y difracción de las ondas estudiadas.
ADVERTENCIAS
En el caso de que un experimento vaya a durar mucho, se recomienda trabajar con fre-
cuencias acústicas por encima del l´ımite de audición (aproximadamente, 16 KHz), si las
condiciones experimentales lo permiten, para mantener las perturbaciones debidas al ruido
tan pequeñas como sea posible.
Si se modifican las condiciones geométricas, el campo acústico deberá explorarse al principio
mediante desplazamientos largos para poder hacerse una idea de dichos campos acústicos.
Las vibraciones de la parte alta del intervalo generan ondas acústicas que pueden distor-
sionar los resultados de las medidas. Estas perturbaciones pueden evitarse en gran medida
si fuentes de señales y los aparatos de medida se colocan tan lejos como sea posible con la
instalación.
Las perturbaciones pueden provenir no sólo de fuentes acústicas exteriores, sino también
de las ondas acústicas reflejadas. Por lo tanto, las experiencias deberán llevarse a cabo
tan lejos como sea posible de paredes, vitrinas, etc. Los reflejos provenientes de la mesa
de laboratorio pueden amortiguarse cubriendo la mesa con un material absorbente, como
tela o gomaespuma entre los altavoces y el micrófono. O también colocando altavoces y
micrófono en los bordes de dos mesas separadas.

75
La longitud de onda λ y la frecuencia f de la onda acústica se relacionan meidante la
velocidad del sonido c. La velocidad del sonido misma depende de la temperatura T y
puede calcularse de acuerdo con la fórmula
c(T ) = 333,1 1 +
T
273
m/s (19)
en donde T debe expresarse en o
C.
El ruido puede reducirse si la medida se lleva a cabo con confirmación manual de los valores
medidos con valores medios más altos (< average >= 30).
BIBLIOGRAFÍA
Gettys, Séller, Skove; F´ısica Cásica y Moderna, McGraw-Hill, 1991.
Alonso, Finn; F´ısica; Addison-Wesley Iberoamer., 1995.
Berkeley Physics Course, vol I: Mecánica; Ed. Reverté, 1968.
1er

76

Práctica 16
ONDAS MECÁNICAS
MONODIMENSIONALES
OBJETIVO
Estudio de la propagación de ondas en una dimensión en sólidos. Observación y descripción
de los fenómenos observados. Descripción teórica de los experimentos.
MATERIAL
Vibrador electromagnético alimentado mediante un generador de funciones (oscilatorias) digi-
tal, mediante el cual se pueden obtener frecuencias variables hasta de 50 KHz.(el vibrador puede
utilizarse en horizontal o en vertical). Cuerda de goma de 2 m. Muelle. Resortes laminares.
Alambres de resonancia circular.
FUNDAMENTO TEÓRICO1
Los fenómenos observados se deben a la existencias de ondas mecánicas, que verifican la
ecuación general de ondas:
∂2
Ψ(x, t)
∂t2
= v2 ∂2
Ψ(x, t)
∂x2
(1)
En donde x y t son el punto del espacio y el instante que estamos considerando yΨ(x, t) es la
magnitud caracter´ıstica del tipo de onda (para las ondas mecánicas suele ser el desplazamiento
de los elementos del medio en el que se propaga). La solución más simple de esta ecuación es
una onda armónica monocromática (una sola frecuencia) de la forma:
Ψ(x, t) = A0 sen(ωt − kx) (2)
en donde A0 es la amplitud de la onda (desplazamiento máximo), ω es la frecuencia angular de
la onda, y k = 2π/λ es el número de onda (siendo λ la longitud de onda, es decir, la distancia
m´ınima en la que la onda se “repite”). El signo menos supone que la onda se propaga hacia la
derecha (sentido positivo del eje x); cuando se propaga en sentido contrario, el signo debe de ser
positivo.
A su vez, la velocidad v de propagación está relacionada con la densidad lineal de masa ρ
(para el caso de cuerdas o muelles) y la fuerza de tensión T mediante la expresión:
v =
T
ρ
(3)
1Ver práctica 15.
77

78
Cuando dos ondas “viajeras” de la misma amplitud y de la misma frecuencia, pero de sen-
tido contrario se encuentran en una misma región, se produce un fenómeno de interferencia
conocido como ondas estacionarias, que ya no son “viajeras”, como su propio nombre indica.
Aparecen entonces puntos fijos en los que no exista movimiento (nodos) y otros, también fijos,
de desplazamiento máximo (vientres o antinodos).
Se pretende que, en cada caso concreto, sea el alumno el que desarrolle el forma-
lismo teórico necesario para poder explicar los fenómenos que va a estudiar y que
podrá encontrar en cualquier texto de F´ısica General, como por ejemplo los dados
al final en la bibliograf´ıa.
MÉTODO
Cuerda elástica
(1) Pese la cuerda en la balanza del laboratorio. Ate un extremo al generador de vibraciones y
el otro a una varilla (por ejemplo, a un vástago de la mesa). Ponga el vibrador en el modo
senoidal. Comience por las frecuencias más bajas (próximas a cero) y vaya aumentando
progresivamente la frecuencia. Observe, mida y anote lo que ocurra, como, por ejemplo:
¿tipo de ondas? ¿máximos? ¿puntos de amplitud nula? ¿relación entre esto y la longitud
de la cuerda?
(2) Repita el proceso anterior, pero ahora aumentando la tensión de la cuerda, manteniendo
la misma longitud que antes. Hecho esto, explique teórica y prácticamente los fenómenos
observados. Calcule todas las magnitudes que crea relevantes para la descripción correcta
y completa de los fenómenos.
Cuerda no elástica (hilo)
(3) Repita todo el proceso descrito en (1) y (2) con este hilo no extensible. Var´ıe la tensión de
la cuerda y repita el proceso.
Varillas de diferentes longitudes
(4) Mida la longitud de cada varilla y pésela.
(5) Inserte el conjunto de varillas (completo si no son separables; de una en una, si lo son) en
el generador de vibraciones y continúe con el Modo anterior.
(6) Como anteriormente, comience por frecuencias bajas y vaya aumentándola progresivamen-
te. Observe, mida y anote los fenómenos observados., Como por ejemplo, ¿tipo de ondas?
¿máximos? ¿puntos de amplitud nula? ¿posible relación entre esto y la longitud de la
varilla?
(7) Realizar los mismos pasos que en los apartados anteriores.
Anillo:
(8) Mida la longitud del anillo, as´ı como su masa.
(9) Insértelo ahora en el generador de frecuencias en el mismo modo que anteriormente y
proceda también como en los apartados anteriores.

Práctica 17
LEY DE OHM
OBJETIVO
Aprender el manejo de un pol´ımetro y realizar con él las siguientes tareas: Comprobar que
una resistencia sigue la ley de Ohm. Comprobar experimentalmente las reglas básicas que se
utilizan en la asociación de resistencias.
MATERIAL
Fuente de c.c, placa de montaje, pol´ımetro y resistencias de distinto valor.
Según la ley de Ohm (práctica 17), la ca´ıda de tensión, V , a través de una resistencia, R, por
la que circula una intensidad de corriente, I, viene dada por
V = IR (1)
Esta expresión permite determinar el valor de una resistencia a través de sendas medidas de V
e I, o conocer I a través de la medida de V , si conocemos R.
En muchos casos, las resistencias que aparecen en un circuito se encuentran formando agru-
paciones. A veces será posible considerar dicha agrupación como resultado de dos asociaciones
básicas de resistencias: la asociación serie y la asociación paralelo. La figura 1 esquematiza tanto
la conexión como la resistencia equivalente para cada caso.
Figura 1
79

80
As´ı, una aplicación sucesiva de agrupaciones serie y paralelo puede permitir la sustitución de
un grupo de resistencias por una sola resistencia equivalente, reduciéndose entonces la topolog´ıa
de los circuitos. En la figura 2 se muestra un ejemplo de agrupación de resistencias que, tras
sucesivas simplificaciones, se reduce a una sola resistencia equivalente.
Figura 2
DISPOSITIVOS DE MEDIDA
Pol´ımetro.
El pol´ımetro es el instrumento de medida fundamental en cualquier experiencia de teor´ıa de
circuitos. En la figura 3 se muestra un esquema de pol´ımetro digital. Las lecturas aparecen en una
pantalla de cristal l´ıquido [1]; se conecta y desconecta mediante un conmutador de encendido y
apagado [2] y otro conmutador [3] permite seleccionar si las lecturas serán de corriente continua
(AC) o alterna (DC). Mediante un conmutador de intervalos [4] se selecciona tanto el tipo de
medida (resistencia, tensión, corriente, etc.) como el máximo valor de la señal que el pol´ımetro
es capaz de medir en esa posición (fondo de escala). Con el fin de evitar posibles aver´ıas, nunca
deberá usarse una escala cuyo fondo esté por debajo de la señal a medir. Finalmente, cuatro
terminales de entrada y dos zócalos permitan conectar el pol´ımetro con los circuitos o elementos
a medir.
Figura 3

81
Medidas de tensión: Uno de los cables o punta de prueba se conecta al terminal [9]
etiquetado COM (suele utilizarse el cable negro). Este terminal es el que sirve de referencia a
la medida. La punta de prueba roja se conecta al terminal [10] V-Ω-Hz. Seleccione la posición
adecuada del conmutador [3] DC/AC. Hacer un cálculo aproximado de la tensión esperada y
colocar el conmutador de funciones [4] en una escala de tensiones superior a este dato. Si se
desconoce este dato poner la escala mayor. Se conectan entonces las dos puntas de prueba en
paralelo con los puntos entre los que se quiere determinar la tensión, procediendo a la lectura en
la pantalla.
Medidas de intensidades: Desconectar la fuente de tensión. Colóquese el cable negro en
el terminal [9] COM. Cuando se midan intensidades comprendidas entre 0 y 200 mA conéctese
el cable rojo al terminal [7] mA y, al terminal [8] 20 A, para intensidades superiores. Seleccione
la posición adecuada del conmutador [3] DC/AC. Haga una estimación previa de la intensidad
esperada y coloque el conmutador de funciones [4] en la zona adecuada. Conecte los dos cables
del pol´ımetro en serie con la rama eléctrica por la que se quiere medir la corriente y conecte la
fuente de tensión procediendo entonces a la lectura.
NOTA: El corazón del pol´ımetro es una pequeña bobina de hilo muy delgado que
se mueve en el seno de un campo magnético cuando una corriente eléctrica pasa por
ella. Al medir intensidades de corriente, la bobina no puede protegerse frente a sobre-
cargas y si la corriente a medir es superior al fondo de escala, se producirá un de-
terioro o destrucción de la bobina, quedando el pol´ımetro inservible. Por esta razón
no haremos medidas directas de intensidad de corriente en esta práctica, procurando hacer esta
medida indirectamente a través de la tensión en una resistencia de valor conocido.
ADVERTENCIA: Es frecuente que un alumno poco informado pretenda medir algo concep-
tualmente erróneo como es la intensidad de corriente de una fuente de tensión, colocando el
pol´ımetro directamente entre los terminales de la fuente, con los cursores en posición de medida
de intensidad de corriente. En este caso, prácticamente, se está haciendo un cortocircuito a la
fuente, una gran intensidad circulará por el pol´ımetro que automáticamente quedará fuera de
servicio. La corriente que suministra una fuente es función de la resistencia con la que estamos
cargando sus terminales.
Medidas de resistencias: Aislar la resistencia o grupo de resistencias a medir del resto
del circuito. De este modo nos aseguraremos de que medimos la resistencia deseada y no la
resistencia equivalente del resto del circuito. De nuevo, uno de los cables se conecta al terminal [9]
etiquetado COM. El otro cable se conecta al terminal [10] V-Ω-Hz. Hacer un cálculo aproximado
de la resistencia esperada y colocar el conmutador de funciones [4] en una escala de resistencias
superior a este dato. Conectar ambos cables en paralelo con la resistencia y proceder a la lectura.
Si se elige un fondo de escala inferior a la resistencia a medir, aparecerá un 1 en la pantalla del
pol´ımetro.
Medidas de frecuencia: Conectar los cables en los terminales [9] COM y [10] V-ω-Hz y
poner el selector de escalas [4] en una posición de frecuencia. Conectar los cables en paralelo con
los puntos a medir y léase la pantalla.
Medidas de capacidad de condensadores: Insertar el condensador en el zócalo para
condensadores [6]. En caso de condensadores electrol´ıticos insertarlos con la polaridad correcta.
Seleccione la posición del conmutador [4] adecuada en la zona Cx y proceda a la lectura en el
visor.
Fuente de tensión.
En la figura 4 se muestra el esquema de la fuente de tensión. Consiste de tres fuentes inde-
pendientes, una de tensión e intensidad ajustables y dos de tensión fija (5 V y ± 15 V).
1er

82
Figura 4
Puesta en marcha: Antes de proceder a la puesta en marcha de la fuente, debe tenerse cui-
dado con que entre los terminales no haya conectado nada extraño. Nunca conecte los terminales
de salida de la fuente de tensión a la red eléctrica.
MÉTODO
a) Medidas de resistencias.
Elegir cinco resistencias, que enumeraremos por R1 a R5. Determ´ınese mediante el código
de colores el valor nominal de las mismas y compárese el resultado con el obtenido mediante
medición directa con el pol´ımetro. Las resistencias están marcadas con una serie de l´ıneas de
diferentes colores que permiten identificar su valor sin necesidad de medirlas, as´ı como el margen
de incertidumbre o tolerancia de este valor. Al final del guión de esta práctica se incluye un
esquema del código de colores.
b)Medida de resistencias equivalentes.
A continuación llévese a cabo las agrupaciones representadas en la figura 5.
Figura 5
Calcúlese, a partir del código de colores, el valor esperado de la resistencia equivalente de
cada agrupación. Elija un fondo de escala superior al mismo y mida con el pol´ımetro el valor de
la resistencia equivalente. Compárese el resultado experimental y el teórico.
Constrúyase la asociación de resistencias de la figura 2 y compare el valor teórico, obteni-
do a partir del conocimiento del valor de las resistencias individuales (a partir del código de
colores), con el medido directamente por el pol´ımetro. No olvide realizar el cálculo de errores
correspondiente.

83
c) Medida de tensiones.
Utilizando las agrupaciones de resistencias del apartado anterior y una fuente de tensión
continua, se construyen los circuitos (a) y (b) de la figura 6.
En el circuito serie de la figura 6.a, m´ıda con el pol´ımetro la tensión V , entre los terminales
de la fuente, y compruebe, midiendo las tensiones V1, V2 y V3, que en la agrupación en serie se
cumple
V = V1 + V2 + V3 (2)
Compruébese que la corriente que circula por cada uno de los elementos que componen una
asociación serie es la misma; es decir, I = I1 = I2 = I3. Como no realizaremos en esta práctica
medida directa de intensidades, comprobaremos experimentalmente lo anterior verificando que
V
R
=
V1
R1
=
V2
R2
=
V3
R3
(3)
con R = R1 + R2 + R3.
A continuación construimos el circuito de la figura 6.b. En primer lugar, verificamos que
I = I1 + I2 + I3, para lo cual comprobaremos que, con las medidas de tensión obtenidas con el
pol´ımetro en este circuito, se cumple
V
R
=
V1
R1
+
V2
R2
+
V3
R3
(4)
donde ahora
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
. (5)
También comprobaremos que V = V1 = V2 = V3.
Figura 6
d) Comprobación de la ley de Ohm.
Para comprobar la ley de Ohm, dada por la ecuación (1) de este documento, construiremos
el circuito de la figura 7. Si es posible, se utilizarán resistencias con valores superiores a 1 kΩ,
midiendo sus valores con el pol´ımetro antes de la construcción del circuito.
1er

84
Figura 7
Se medirá la tensión V entre los extremos de la resistencia R directamente con el pol´ımetro y
la corriente I que pasa por R se medirá a través del cociente V0/R0, ya que por ambas resistencias
circula la misma corriente, por estar en serie. Dando diez valores diferentes a Vs, se construirá una
tabla con Vs, V e I. Con los datos de tensión V e intensidad I, se construirá una gráfica en
papel milimetrado, colocando las intensidades en abscisas y las tensiones en ordenadas. Según
la ecuación (1), está gráfica será una recta, cuya pendiente es precisamente R. Determ´ınese
gráficamente la pendiente de dicha recta y su error para obtener un valor gráfico de R, que
involucra a las diez medidas utilizadas en la construcción de la gráfica. Compárese el resultado
con el obtenido por medida de la resistencia con el pol´ımetro y con el obtenido del código de
colores.
RESULTADOS
(1) Llévense a cabo todos y cada uno de los pasos descritos en los apartados anteriores, com-
parando los resultados experimentales con los que cabe esperar a partir del conocimiento
del valor de las resistencias por el código de colores y de la tensión en los terminales de la
fuente de alimentación. Todos los resultados deben ser expresados con su cota de error.
(2) La gráfica del apartado para la comprobación experimental de la ley de Ohm, debe ser
ajustada mediante la técnica de m´ınimos cuadrados. La pendiente de este ajuste dará el
valor de la resistencia que será comparado con el obtenido midiendo R directamente con
el pol´ımetro y con el código de colores.
NOTA Cada medida vendrá acompañada del correspondiente error que vendrá dado por el error
instrumental que presenta el pol´ımetro en dicha escala. Debido al carácter estático de las
medidas y a la precisión del pol´ımetro, no será necesario llevar a cabo tres medidas
de cada magnitud ni calcular dispersiones. Compruebe, en un solo caso, que, efec-
tivamente, la repetición de las medidas conduce a valores despreciables de la dispersión y
por ello es justificable efectuar una sola medida.
APÉNDICE
Identificación de resistencias. Código de colores.
Con el fin de identificar el valor de una resistencia sin necesidad de medirla con un pol´ımetro,
éstas vienen marcadas con cuatro franjas de color, pintadas sobre su superficie, que determinan
el valor nominal de la resistencia y la tolerancia de variación del valor real sobre el valor nominal.

85
Las tres primeras franjas determinan el valor nominal y pueden ser de diez colores, asignándo-
se a cada color una cifra según el esquema siguiente:
Negro Marrón Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta Gris Blanco
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
La última franja suele ser de color dorado o plateado y está asociada a la tolerancia. Si es de
color dorado indica que la tolerancia (error) es del 5 %, mientras que si es plateada la tolerancia
es del 10 %. Para medir una resistencia por el código de colores procedemos de la siguiente
manera: Tomamos la resistencia de manera que la franja dorada o plateada quede a la derecha.
La franja de tolerancia suele estar más separada de la franja vecina que las otras tres franjas
entre s´ı. Si las cifras asociadas a los colores de las tres primeras franjas son, por este orden, a,
b y c, los dos primeros d´ıgitos del valor de la resistencia serán ab, mientras que c representa la
potencia de diez por la que hay que multiplicar a las dos primeras cifras, o, dicho de un modo
más simple, el número de ceros que debemos añadir a ab para encontrar el valor nominal.
Por ejemplo, si las franjas de una resistencia tienen los colores: naranja, marrón, rojo y
plateado,
Naranja (3) Marrón (1) Rojo (2) Plateado (10 %)
3 1 00 310
el valor de la resistencia ser´ıa R = (3100 ± 300) Ω = (3,1 ± 3) kΩ. Notar como el error absoluto
ha sido redondeado para que sólo aparezca una sola cifra significativa.
1er

86

Práctica 18
LEYES DE KIRCHHOFF.
PUENTE DE WHEATSTONE.
OBJETIVO
El objetivo de esta práctica es el estudio y aplicación de las leyes o reglas de Kirchhoff, de
gran importancia práctica en Electricidad y Electrónica. Basadas en estas leyes, estudiaremos el
análisis de mallas, para aprender a sistematizar el estudio de un circuito eléctrico, y aplicaremos
lo anterior al análisis de circuitos simples como el puente de Wheatstone.
MATERIAL
Fuentes de c.c, placa de montaje, pol´ımetro, potenciómetro y resistencias de distinto valor.
Leyes de Kirchhoff
Las leyes de Kirchhoff son una consecuencia directa de las leyes básicas del Electromagnetismo
(Leyes de Maxwell) para circuitos de baja frecuencia. Aunque no tienen validez universal, forman
la base de la Teor´ıa de Circuitos y de gran parte de la Electrónica. Pueden enunciarse en la forma
siguiente:
Ley de Kirchhoff para los nudos o de las corrientes
La suma algebraica de las corrientes que inciden en un nudo1
, consideradas todas ellas entrantes
o todas ellas salientes, es cero (ley de conservación de la carga).
1Un nudo en un circuito es un punto en el que confluyen varias corrientes.
87

88
Figura 1
La aplicación de esta ley al nudo de la figura 1.a puede expresarse en la forma
I1 + I2 + I3 + I4 + I5 = 0
La consideración de que una corriente es entrante o saliente se hace en principio de una forma
totalmente arbitraria, ya que si una corriente I es entrante, se puede sustituir por una corriente
−I saliente y viceversa. El sentido real de la corriente dependerá de cual de los dos signos sea
numéricamente el correcto. En el nudo de la figura 2.b, las corrientes I3 e I5 se han supuesto
salientes, por lo que −I3 y −I5 ser´ıan entrantes. La ley que discutimos nos proporciona en este
caso la siguiente expresión:
I1 + I2 + (−I3) + I4 + (−I5) = 0
o bien
I1 + I2 + I4 = I3 + I5
Por tanto, esta ley se podr´ıa enunciar en la forma equivalente: En un nudo, la suma de las
corrientes entrantes ha de ser igual a la suma de las salientes.
De forma análoga a la ley anterior, podremos expresarla simbólicamente
nudo
j
Ij = 0
donde Ij es la corriente que entra por la rama j-ésima.
Ley de Kirchhoff para las mallas o de las tensiones
En un circuito cerrado o malla, la suma algebraica de las diferencias de potencial entre los extre-
mos de los diferentes elementos, tomadas todas en el mismo sentido, es cero(ley de conservación
de la energ´ıa).

89
Figura 2
La aplicación de esta ley a la malla de la figura 2 puede expresarse matemáticamente en la
forma siguiente:
(Va − Vb) + (Vb − Vc) + (Vc − Vd) + (Vd − Ve) + (Ve − Va) = 0
donde las diferencias de potencial se han tomado en el sentido indicado por la flecha de la
corriente de malla de la figura 2.
Esta ley se puede expresar simbólicamente como:
nudo
i
Vi = 0
siendo Vi la diferencia de potencial entre los extremos del elemento i-ésimo.
Análisis de mallas.
Para analizar un circuito como el de la figura 3, supondremos una corriente para cada malla
independiente y plantearemos un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones e incógni-
tas como mallas independientes haya.
Figura 3
1er

90
Este circuito tiene dos mallas independientes, por las que suponemos que circulan las corrien-
tes I1 e I2 en el sentido de las agujas del reloj, tal como se indica en la figura. Por el elemento
R2 circularán tanto I1 como I2 en sentidos contrarios, por tanto la corriente real que circula por
él es la superposición de ambas: I1 − I2.
La primera ecuación la obtendremos aplicando la ley de Kirchhoff de las tensiones a la primera
malla:
V1 = I1R1 + (R1 − I2)R2 + I1R3.
La segunda ecuación se obtendrá aplicando la misma ley a la segunda malla:
−V2 = −I2R4 + (I2 − I1)R2.
Reagrupando términos, encontramos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que son
las intensidades de malla, I1 e I2:
V1 = I1(R1 + R2 + R3) − I2R2
−V2 = −I1R2 + I2(R2 + R4)
que puede ser expresado en forma matricial como
R1 + R2 + R3 −R2
−R2 R2 + R4
I1
I2
=
V1
−V2
A la vista del resultado anterior, el planteamiento del sistema se puede sistematizar en la
forma siguiente:
- Se plantean tantas ecuaciones como mallas independientes. Estas ecuaciones pueden ex-
presarse como el producto de una matriz cuadrada de impedancias o resistencias, por una
matriz columna de intensidades de malla (incógnitas del sistema), que se iguala a una
matriz columna de tensiones (términos independientes).
- Cada término de la matriz de tensiones (términos independientes del sistema) es la suma
de las fuentes de tensión de dicha malla, tomando como positivas las que favorezcan a la
corriente y negativas las que se opongan a ella.
- Los términos de la matriz cuadrada de coeficientes se obtiene de la forma siguiente: Los
términos de la diagonal principal son la suma de todos los elementos pasivos (impedancias
o resistencias) que tiene la malla. Los que están fuera de la diagonal principal se forman su-
mando los elementos comunes a las dos mallas relacionadas con ese coeficiente y cambiando
la suma de signo.
- Finalmente, resolviendo el sistema, se obtendr´ıan las corrientes incógnitas.
Supongamos, por ejemplo, que los elementos del circuito anterior tienen los siguientes valores:
R1 = 1 kΩ; R2 = 2 kΩ; R3 = 3 kΩ; R4 = 4vΩ; V1 = 1 V; V2 = 2 V. Sustituyendo, el sistema de
ecuaciones es:
6000 −2000
−2000 6000
I1
I2
=
1
−2
con I1 e I2 en A(amperios), o bien
6 −2
−2 6
I1
I2
=
1
−2
con I1 e I2 en mA. Este sistema tiene como solución:
I1 =
1 −2
−2 6
6 −2
−2 6
=
6 − 4
36 − 4
=
2
32
= 0,0625 mA

91
e
I2 =
6 1
−2 −2
6 −2
−2 6
=
−12 + 4
36 − 4
=
−10
32
= −0,3125 mA
I2 ha resultado negativa El sentido real de I2 es contrario al representado en la figura.
El puente de Wheatstone
El puente de Wheatstone es un circuito frecuentemente utilizado cuando se quieren medir
pequeñas desviaciones de una magnitud eléctrica respecto de un valor nominal. Su estructura se
representa en la figura 4.
Figura 4
Se dice que un puente de Wheatstone está equilibrado cuando no circula corriente por la
rama central b−c; es decir cuando Vb = Vc y el volt´ımetro que forma la rama central marca cero
(V = 0). Se puede demostrar fácilmente que el puente está en equilibrio cuando se cumple
R1
R2
=
R3
R4
Como por la rama b − c sólo interesa saber si pasa o no corriente, el volt´ımetro se suele sustituir
por un galvanómetro.
MATERIAL
El material necesario será un pol´ımetro y una o dos fuentes de tensión continua. Ambos
dispositivos fueron descritos en la práctica anterior, as´ı como el código de colores necesario para
conocer el valor de una resistencia. Se dispondrá también de una placa base para montar los
circuitos y diferentes resistencias eléctricas. Como se puede observar en la figura 4, la resistencia
R4 está cruzada por una flecha, indicando que se trata de una resistencia variable.
1er

92
Un potenciómetro, cuyo esquema se muestra en el figura 5, es una resistencia eléctrica sobre la
que se han tomando tres terminales, uno de ellos, el central, es deslizante. Entre los terminales 1
y 3, siempre tendremos la misma resistencia, pero entre los terminales 1 y 2 y entre los terminales
2 y 3, la resistencia eléctrica variará conforme desplacemos el contacto deslizante. Una resistencia
variable puede obtenerse utilizando el terminal central y cualquiera de los extremos.
Figura 5
Nota: Si el contacto deslizante está en un extremo, una de las dos resistencias
variables que podemos formar con un potenciómetro es cero o cercana a cero. Si
sometemos esta resistencia a una tensión, circulará por esta pequeña resistencia una
elevada corriente, que puede deteriorar el potenciómetro. Por tanto, es aconsejable,
al comenzar a trabajar con un potenciómetro, colocar el cursor deslizante en una
posición intermedia.
MÉTODO
Leyes de Kirchhoff
Si se dispone de dos fuentes de tensión continua, montar el circuito de la figura 3. Si sólo
se dispone de una fuente de tensión continua se monta el circuito de la figura 3, pero
sustituyendo la fuente V2 por una resistencia.
Compruébese que se cumple la ley de Kirchhoff de las corrientes en el nudo donde confluyen
las resistencias R1, R2 y R4. Para ello se medirá las tensiones en estas resistencias y se
obtendrá las corrientes que fluyen por ellas dividiendo estas tensiones por el valor de
la resistencia medida en cada una de ellas con el pol´ımetro. Préstese atención sobre la
polaridad de la tensión en las resistencias para averiguar la dirección que sigue cada una
de las corrientes.
Compruébese que se cumple la ley de Kirchhoff de las tensiones en las dos mallas que
forman el circuito. Para ello se medirá con el pol´ımetro la ca´ıda de tensión en todos los
elementos que forman el circuito.
Análisis de mallas
Midiendo las tensiones en las resistencias R1 y R4 del circuito de la figura 3, y conocido
el valor de estas resistencias, medidas con el pol´ımetro, calcúlense las corrientes de malla
I1 e I2 que circulan por el circuito. Préstese atención a la polaridad de la tensión en las
resistencias para averiguar la dirección que sigue cada una de las dos corrientes. Haga el
cálculo teórico del circuito y compruebe con los resultados experimentales.

93
Puente de Wheatstone
Utilizando una fuente de tensión, un pol´ımetro utilizado como volt´ımetro, tres resistencias
fijas y un potenciómetro para obtener la resistencia variable, constrúyase el circuito de la
figura 4.
Cambie el cursor del potenciómetro, hasta conseguir equilibrar el puente, haciendo que
el volt´ımetro marque cero. Conseguido el equilibrio, deshaga el circuito y mida con el
pol´ımetro el valor de la resistencia variable, R4, que ha equilibrado el puente.
RESULTADOS
(1) Siga los pasos que se describen en la sección anterior en los apartados 1 y 2. Compare
las medidas experimentales que se obtienen con el pol´ımetro, con las medidas teóricas
obtenidas a partir de la medida de las resistencias con el código de colores y el valor de la
tensión en los terminales de las fuentes de alimentación, obtenidas con el pol´ımetro. Todas
las medidas deben de ir acompañadas de su correspondiente cota de error.
(2) Monte el puente de Wheatstone que se describe en al figura 4 y equil´ıbrelo. Compruébese
que en el equilibrio, y dentro de los márgenes de error, se cumple la relación dada por la
ecuación (11).
(3) Demuéstrese teóricamente la ecuación de equilibrio (11). Para esto último, téngase en
cuenta que, al no circular corriente por la rama central, la corriente Iab es la misma que la
Ibd, y la corriente Iac es igual que la Icd. As´ı, Iab(R1 + R2) debe ser igual a Iac(R3 + R4),
ya que la diferencia de potencial o tensión en los extremos de ambas ramas es la misma
porque sus extremos están unidos y esta tensión viene dada por la fuente V0.
1er

94

Práctica 19
CARGA Y DESCARGA DE UN
CONDENSADOR
OBJETO
Estudiar los procesos de carga y descarga en un condensador.
MATERIAL
Un pol´ımetro, una fuente de tensión continua y algunas resistencias y condensadores. Un
cronómetro.
FUNDAMENTO
Carga de un condensador
Consideremos el circuito de la figura 1, en el cual el condensador se encuentra inicialmente
descargado y supongamos que se cierra el interruptor en t = 0.
Figura 1
Por simple aplicación de la primera ley de Kirchhoff, y tras un proceso de integración, se
puede demostrar que la intensidad que circula por el circuito adquiere un valor inicial Vo/R y
95

96
después decrece exponencialmente de la forma
I(t) =
Vo
R
e
−t
RC (1)
Al valor τ = RC, que tiene dimensiones de tiempo, se le denomina constante de tiempo del
circuito y representa el tiempo que ha trascurrido mientras que la corriente ha disminuido hasta
la fracción 1/e de su valor máximo inicial. Por tanto, la intensidad a través del condensador es
I(t) =
Vo
R
e
−t
τ (2)
La ca´ıda de tensión en el condensador viene dada por
VC(t) = Vo(1 − e
−t
τ ) (3)
De nuevo nos encontramos ante un comportamiento exponencial, pero esta vez creciente desde
un valor inicial nulo hasta un valor máximo Vo, que se alcanza cuando la corriente a través del
circuito es nula y, por tanto, la ca´ıda tensión a través de la resistencia también lo es y toda
la tensión de la alimentación está aplicada entre las placas del condensador. En este caso, la
constante de tiempo es el tiempo necesario para que la tensión en el condensador alcance el valor
1 − 1/e del valor final.
La figura 2 muestra, de forma cualitativa, la evolución de la tensión e intensidad en la carga
de un condensador.
Figura 2
Descarga de un condensador
Supongamos ahora que, una vez cargado el condensador, desconectamos la fuente de ali-
mentación; y, en t = 0, cerramos el interruptor de la figura 3. Las cargas almacenadas en el
condensador originarán una corriente en sentido inverso al anterior, la cual, a su paso por la
resistencia, disipará energ´ıa por efecto Joule, con la consiguiente disminución de corriente, per-
mitiendo la descarga del condensador.

97
Figura 3
La corriente producida en la descarga también viene expresada por la ecuación (2), mientras
que la tensión en bornes del condensador es
VC (t) = Voe
−t
τ (4)
La figura 4 muestra la evolución temporal de la tensión e intensidad en el proceso de descarga
de un condensador.
Figura 4
Nota: Antes de realizar ninguna medida, el alumno deberá remitirse al correspon-
diente apartado de la práctica anterior con el fin de familiarizarse con el pol´ımetro
y la fuente de tensión continua, as´ı como de las precauciones a seguir al tomar
medidas con el pol´ımetro.
MÉTODO
Proceso de carga del condensador
(1) El alumno dispondrá de una resistencia de unos 10 kΩ y un condensador de 4700 µF,
que deberá conectar según indica la figura 1, cerrando a continuación el circuito. De este
modo, se asegurará que el condensador se encuentra descargado antes de realizar cualquier
medida.
(2) A continuación deberá montarse el circuito de la figura 1, con el pol´ımetro en disposición de
medir la ca´ıda de tensión VR(t) en la resistencia. Con esta configuración, se podrá obtener
1er

98
la tensión en el condensador mediante la expresión
Vc(t) = Vo − VR(t) (5)
y, con esta misma medida, la intensidad que atraviesa la resistencia y el condensador
mediante
I(t) = IC(t) = IR(t) =
VR(t)
R
(6)
(3) Una vez montado el circuito, cerrar el interruptor al mismo tiempo que se pone en marcha
el cronómetro. Se tomarán medidas de VR(t) a intervalos regulares (por ejemplo, 15 s),
hasta que la tensión haya bajado a un 5 % de su valor inicial.
*(4) Con los datos obtenidos, y utilizando las ecuaciones (5) y (6), obtener los datos de tensión
e intensidad del condensador para los distintos tiempos. Hacer una tabla con los datos
obtenidos y una representación gráfica de VC(t) poniendo los tiempos en abcisas y las
tensiones en ordenadas.
*(5) Compruébese el comportamiento exponencial representando el logaritmo de la señal en
función del tiempo. Si representa la señal adecuada deber´ıa observarse una recta de cuya
pendiente se puede obtener la constante de tiempo del circuito mediante el método de
regresión lineal (“m´ınimos cuadrados”).
*(6) Repita la operación, representando el tiempo en abscisas y la intensidad en ordenadas.
De nuevo, compruebe el comportamiento exponencial y calcule la constante de tiempo del
circuito.
Proceso de descarga
(7) Desconectando la fuente, dispóngase el circuito como se indica en la figura 3 y m´ıdase, de
nuevo a intervalos regulares de unos 15 s, la tensión en los extremos de la resistencia, hasta
que ésta alcance un valor estable.
*(8) A través de estas medidas, y con las ecuaciones (5) y (6), se confeccionará una tabla en
la que aparezcan las tensiones e intensidades a través del condensador para los distintos
tiempos.
*(9) Real´ıcense de nuevo las gráficas de tensiones e intensidades en función del tiempo descri-
tas en el proceso de carga y compruébese tanto el comportamiento exponencial como la
constante de tiempo experimental del circuito.
*(10) Finalizar la práctica, comparando esta constante con el valor teórico que puede obtenerse.
NOTA: NO OLVIDE CALCULAR LA CONSTANTE DE TIEMPO DEL CIRCUI-
TO USANDO EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS.

Práctica 20
MEDIDA DE RESISTIVIDADES
DE MATERIALES
OBJETO
Determinación de la resistividad y de la resistencia de diversos materiales por aplicación
directa de la ley de Ohm.
MATERIAL
Fuente de alimentación de corriente continua. Caja de resistencias. Pol´ımetro. 2 barras metáli-
cas. Hilos de constantán de diversos diámetros. Cables de conexión. Cinta métrica. Palmer.
FUNDAMENTO
Si aplicamos una diferencia de potencial (ddp) V entre los extremos de un conductor lineal,
tal como un alambre metálico, se producirá una corriente I en el conductor. El valor de la ddp
necesaria para producir una corriente dada depende de una propiedad del conductor particular
que utilicemos. Esta propiedad es su resistencia eléctrica, R, que se define como
R =
V
I
(1)
Para muchos conductores y para ddp moderadas, la I a través de un conductor es directa-
mente proporcional a la V , de forma que su resistencia es independiente de V (o de I). En este
caso, la R de la ecuación (1) será una constante y se conoce como Ley de Ohm. Los materiales
que la obedecen se llamán óhmicos (y los que no, no-óhmicos)
La resistencia de un trozo de conductor depende de su tamaño, forma y composición. Para
los conductores más usuales, los hilos o alambres metálicos, se encuentra experimentalmente que
R es proporcional a la longitud l de los mismos e inversamente proporcional a su sección A, es
decir, R ≈ l/A. La constante de proporcionalidad, ρ, sólo depende del material utilizado y se
conoce con el nombre de resistividad del material. Entonces podremos escribir:
R = ρ
l
A
(2)
De (1) se deduce que si, para un material óhmico, representamos en una gráfica V en función
de I, se debe de obtener una recta cuya pendiente será R.
99

100
MÉTODO
La figura muestra el esquema del circuito eléctrico de la práctica, que ya debe de estar mon-
tado. Uno de los pol´ımetros, que está actuando como amper´ımetro (A), la resistencia problema
R y la caja de resistencias R’, están conectadas en serie, mientras que el otro pol´ımetro (V)
está conectado en paralelo con los bornes de la resistencia problema para medir la ddp entre los
mismos.
ADVERTENCIA: El pol´ımetro A no deberá desconectarse nunca de su posición.
En esta práctica se va a trabajar con ddp muy pequeñas (del orden de 10−4
V).
Los extremos del circuito anterior se conectan (si no están conectados) a la fuente de alimen-
tación, de fem , que suministra la ddp constante al mismo. Al cambiar la resistencia R′
, var´ıa la
intensidad en el circuito y, por lo tanto, también entre los extremos de R.
Si no tenemos en cuenta las resistencias internas de los aparatos (que se suponen desprecia-
bles), se tiene
I =
VA − VB
R + R′
=
E
R + R′
(3)
VA − VC = IR (4)
La escala adecuada que se ha de utilizar con el pol´ımetro (A) es la de 10 A, cuidando que la
intensidad no sobrepase los 2,5 A durante la realización de la práctica. La escala adecuada en la
que debe de operar el otro pol´ımetro (V ) es la de máxima sensibilidad.
(1) Montar el circuito (si no está montado ya) y/o verificar que el montaje es correcto y las
escalas de los aparatos son las adecuadas.
(2) Una vez conseguida la estabilidad del sistema (esperando un tiempo prudencial), y variando
cada vez la resistencia R′
, se empieza a realizar las medidas de I en función de V = VA−VC.
Se deberán tomar al menos diez pares de medidas. Hacer la correspondiente tabla (R′
, I y
V ).
*(3) Dibujar la correspondiente gráfica, V = V (I).
*(4) Calcular y dibujar la correspondiente recta de regresión (¡sin suponer que tenga que pasar
por el origen!).

101
*(5) Dar los valores de la pendiente de la recta (que debe de coincidir con el de R), el de
la ordenada en el origen (y sus respectivos errores, por supuesto) y del coeficiente de
correlación.
(6) Mida la longitud y el diámetro de los hilos utilizados.
*(7) A partir del valor de la resistencia obtenido, calcular el valor de la resistividad del material
(y, mirando la bibliograf´ıa, aventurar su composición).
*(8) Verificar, para el caso del constantán, y mediante una gráfica, la dependencia inversa de
la resistencia con la sección.
*(9) Calcular ahora ρ a partir de una sola de las parejas de valores (la que corresponda al valor
más alto de V e I obtenidos). Comparar este resultado con los obtenidos en el apartado
anterior. Si hubiera alguna diferencia, ¿a qué ser´ıa debida?
*(10) Comparar los resultados obtenidos con los valores de la bibliograf´ıa. Si se encuentran
diferencias, ¿a qué se podr´ıan achacar?
*(11) Es sabido que la resistividad de los metales y, por lo tanto, su resistencia eléctrica var´ıan
con la temperatura. ¿Por qué no se ha tenido en cuenta este efecto para estas medidas?
1er

102

Práctica 21
MANEJO DEL OSCILOSCOPIO
OBJETO
El objeto de esta práctica es la familiarización del alumno con el fundamento y manejo
del osciloscopio. Dada la complejidad de este aparato, no se pretende en este guión hacer un
tratamiento exhaustivo, presentándose tan solo una breve descripción del fundamento y manejo,
que consideramos será de gran ayuda, siempre que sea completado con una explicación in situ
por parte del profesor
MATERIAL
Además del osciloscopio y del generador de funciones se dispondrá de resistencias, condensa-
dores y una placa de conexiones en la que montar el circuito con el que hay que medir.
FUNDAMENTO
OSCILOSCOPIO
El osciloscopio es un aparato de gran utilidad en el análisis de circuitos ya que permite
representar y medir variaciones de tensión con el tiempo. Al igual que el volt´ımetro, el osciloscopio
se coloca en paralelo entre los puntos de la señal que se va a medir.
El componente básico del osciloscopio es un tubo de rayos catódicos como el representado en
la figura 1. Un haz de electrones se emite en un cátodo caliente y se acelera hacia un ánodo, que
tiene un pequeño orificio por el que pasa parte de este haz, formándose un cañón de electrones.
Este haz se hace pasar por dos pares de placas dispuestas perpendicularmente llamadas placas
deflectoras horizontal (H) y vertical (V ). La aplicación de una d.d.p. a los pares de placas
deflectoras produce un campo eléctrico transversal a la dirección de propagación del haz. Este
campo actúa sobre el haz de electrones y lo desv´ıa de una forma determinada, dependiendo de
la intensidad del campo eléctrico; siendo esta desviación controlada la que permite visualizar las
señales en la pantalla fluorescente.
103

104
Figura 1
Veamos, muy someramente, cómo se consigue “congelar” la imagen de la señal objeto de
análisis. Existen amplificadores vertical y horizontal acoplados a las placas de desviación vertical
y horizontal antes mencionadas. En su modo de funcionamiento más usual, se aplica la forma
de onda en estudio a los terminales de entrada vertical. El amplificador vertical aumenta la
amplitud lo suficiente para ocasionar una desviación vertical apreciable del haz electrónico. La
desviación horizontal del haz se consigue con un generador de barrido que, generalmente, se
llama “base de tiempos”. Su misión es elaborar tensiones en “diente de sierra” que son las que
“mueven” el haz horizontalmente. Si el per´ıodo de la señal a estudiar (vertical) es el mismo
que la señal elaborada por la “base de tiempos”, la imagen en la pantalla aparece “fija”. La
figura 2 representa en la parte superior (curva a), las variaciones periódicas en el tiempo de una
tensión de per´ıodo T , aplicada a las placas de deflexión vertical, es decir Y = Y (t). En las placas
de deflexión horizontal, el generador de barrido suministra una señal en diente de sierra con el
mismo per´ıodo T (curva b), o sea , X = X(t). Para conseguir una imagen estable, la base de
tiempos debe dispararse “sincrónicamente” con la señal a medir. A veces esto se hace derivando
de la señal vertical amplificada un pulso disparador hacia el generador de barrido y otras veces
conviene disparar el generador de barrido con una señal externa. No entramos en esos detalles.
Figura 2
La figura 3 muestra el osciloscopio de rayos catódicos que se utilizará en esta práctica. Este
osciloscopio permite visualizar de forma simultánea dos señales en función del tiempo, oscilos-
copio de dos canales, por lo que tiene duplicados un cierto número de mandos. Este modo de
funcionamiento se denomina modo X-T. El osciloscopio también permite visualizar la compo-
sición de dos señales introducidas por los dos canales de entrada y, en este caso, se dice que el
osciloscopio está operando en modo X-Y. Aplicando a ambos canales sendas funciones sinusoi-

105
dales, el modo X-T mostrar´ıa en pantalla dos funciones tipo seno, mientras que en modo X-Y
se obtendr´ıa una elipse en el canal II.
A continuación se describen los controles básicos del mismo necesarios para el funcionamiento
básico.
Figura 3
Mandos generales
POWER.[1]- Mando de encendido del aparato.
INTENS- FOCUS.[2,3]- Accionando estos controles, se ajusta tanto la intensidad como el
enfoque de las señales en la pantalla.
Mandos de control vertical (tensiones)
Los tres mandos siguientes se encuentran duplicados, pues existe uno para cada canal.
POSITION.[21,37]- Mando de posición vertical variable.
INVERT. [22,36]- Al tirar del mismo, la señal se invierte.
AC-GND-DC.[25,33]- Controla el llamado acoplamiento de la señal. Las distintas opciones
son:
- AC A la señal de entrada se le sustrae la componente continua. Útil para medir rizados
pequeños que se encuentran en una señal continua muy grande.
- GND La señal puesta a tierra. Sirve para ajustar el cero.
- DC La señal mantiene su componente de continua.
VOLT/DIV.-[26,27,31,32] Es un doble botón. Su parte exterior permite seleccionar la escala
deseada, indicando qué tensión corresponde a una división de la pantalla. El botón interior es
un mando que permite variar la amplitud del canal (hasta 2.5 veces el valor indicado en la
escala exterior). Para medir, el botón interno debe encontrarse en su posición extrema izquierda,
pues el aparato se calibra en esta posición. La posición elegida determina la sensibilidad o error
instrumental del aparato en lo que respecta a medidas de tensiones.
CH I-CH II-DUAL-ADD.-[28,29,30] Selector de los modos X-T.
- CH I.- Sólo se ve el canal I en la pantalla.
1er

106
- CH II.- Sólo se ve el canal II en la pantalla.
- DUAL.- Pulsado, permite el funcionamiento bicanal. Sin pulsar, permite el funcionamiento
monocanal.
- ADD.- Indica la suma de ambos canales. Si el canal II se invierte, indica la resta.
X-Y [5]- Conmutador de modo X-T (mando sin pulsar) a modo X-Y (mando pulsado).
Mandos de control horizontal (tiempos)
TIME/DIV. [12,13] En el modo de funcionamiento X-T, selecciona la escala de tiempos ade-
cuada según la señal a medir. Es un doble botón: Su parte exterior permite seleccionar la escala
de tiempos deseada. El botón interior es un mando que permite variar la escala de tiempos (hasta
2.5 veces el valor indicado en la escala exterior). Para medir, el botón interno debe encontrarse
en su posición extrema izquierda, pues el aparato se calibra en esta posición. En modo X-T, el
valor de la escala elegida determina la sensibilidad o error instrumental del aparato en lo que se
refiere a medidas de tiempo.
X POSITION. [6] Controla la posición horizontal.
Mandos de control de disparo
Para obtener una visualización estable, además de seleccionar la posición adecuada del mando
TIME/DIV, debe indicarse al osciloscopio una posición de referencia. Esto se hace mediante la
señal de activación o disparo (“Trigger”). Esta señal, al llegar a cierto nivel, con una pendiente
positiva o negativa, según la posición del mando LEVEL, indica al osciloscopio la posición de
referencia. De esta forma se logra la estabilización de la señal en la pantalla. Al nivel al que
debe llevar la señal de disparo, junto a su pendiente, para que se establezca la referencia del
osciloscopio, se les denomina “condición de disparo”.
Los controles relacionados con la señal de disparo son:
EXT[14] Pulsado selecciona el disparo por señal externa. En esta práctica dejaremos el botón
sin pulsar, utilizando el disparo interno.
AT-NORM [16] Disparo automático (sin pulsar), disparo normal (tecla pulsada). En la pre-
sente práctica, activaremos el modo automático.
TRIG [10] Este conmutador permite elegir la frecuencia de la señal de disparo
- AC-DC Para frecuencias de disparo de hasta 10 MHz
- HF Para altas frecuencias de disparo (mayores de 10 MHz).
- LF Para bajas frecuencias de disparo (inferiores a 1 KHz).
LEVEL.[17] Una vez que con la tecla [16] se ha seleccionado el modo de disparo normal, esta
tecla selecciona la pendiente y el nivel a partir del cual se produce el disparo.
HOLD OFF.[7] Permite inhibir la condición de disparo durante un tiempo, evitando as´ı dobles
imágenes en pantalla.
Nota: Con la tecla AT-NORM [16] pulsada, disparo normal, los dos
últimos controles son determinantes en la obtención de una señal estable
en pantalla.
Medidas con el osciloscopio
Modo X-T
En la figura 4 se presenta un ejemplo de pantalla en modo X-T, en el que se introducen dos
señales sinusoidales de igual frecuencia f que se encuentran desfasadas un ángulo φ. La forma
general de estas señales será
Va(t) = Va cos(2πft) (1)
Vb(t) = Vb cos(2πft + φ) (2)

107
en donde Va y Vb son las amplitudes de las correspondientes señales y φ el desfase entre ellas.
Supondremos que el mando VOLTS/DIV del canal CH1 se encuentra en la posición 0,5 V y el
del canal CH2 en 50 mV. En cuanto al mando TIME/DIV supondremos que se ha seleccionado
la posición 20µs.
Figura 4
Para medir la amplitud de la señal A, obsérvese que ésta abarca (3,2±0,2) divisiones verticales
de la pantalla. Como cada división equivale a 0,5 voltios, resulta que la amplitud Va de la
tensión introducida por el canal CH1 es justamente la mitad de este valor, luego 2 × Va =
(3,2 ± 0,2) × 0,5 V = (1,6 ± 0.l) V y Va = (0,80 ± 0,05) V. Del mismo modo, para la amplitud
de la señal del canal B, 2 × Vb = (4,0 ± 0,2) × 50 mV es decir, Vb = (100 ± 5) mV.
En cuanto al periodo de V (t), obsérvese en la figura que un periodo de la señal comprende
(3,6 ± 0,2) divisiones horizontales; lo que, dado que una división equivale a 20 µs, nos lleva
a que el periodo es T = (72 ± 4) µs = (72 ± 4) × 10−6
s. La frecuencia será el inverso, luego
f = 1/T = 13889 Hz, y su error ∆f = (f/T )∆T = 772 Hz ≈ 800 Hz. Con este error la frecuencia
obtenida es f = (139 ± 8) × 102
Hz.
Una magnitud útil en corriente alterna es la frecuencia angular ω definida por ω = 2πf.
En nuestro caso ω = 87336,3 rad/s. En cuanto a su error correspondiente, ∆ω = 2π∆f =
5026,5 Hz ≈ 5000 rad/s. Con este error, la frecuencia angular final es ω = (87 ± 5) × 103
rad/s.
La medida del desfase se obtiene de forma parecida. En la figura 4, la diferencia entre las
posiciones horizontales de los máximos es de 0,4 ± 0,2 divisiones lo que equivale a un tiempo
t = 8 ± 4 µs. Como una diferencia de tiempos igual a un periodo, corresponder´ıa a un desfase de
2π rad, resulta que el desfase φ es φ = 2πt/T y su error ∆φ/φ = (∆t/t + ∆T/T ). En este caso
φ = 0,6981 rad e ∆φ = 0,39 rad ≈ 0,4 rad; luego φ = (0,7 ± 0,4) rad.
En definitiva, las dos señales medidas se podrán expresar como
Va(t) = 0,80 cos(87 kHzt) V (3)
Vb(t) = 0,10 cos(87 kHzt + 0,7 rad) V (4)
Modo X-Y
Supongamos ahora dos señales sinusoidales de la misma frecuencia y desfasada la una respecto
de la otra
x = x cos(ωt) (5)
y(t) = Y cos(ωt + φ) (6)
1er

108
Representando, para cada tiempo, los puntos (x(t), y(t)) en un plano, se obtendrá una elipse,
que, en algunos casos, podrá convertirse en una recta o una circunferencia. Esta representa-
ción se puede obtener en la pantalla del osciloscopio seleccionando el modo de funcionamien-
to X-Y. Para ello, se conecta cada señal a un canal, se selecciona la posición II del mando
CH1/CH2/DUAL/ADD y, presionando el conmutador X-Y, tecla [5] pulsada, se visualizará la
elipse correspondiente (ver figura 5).
Figura 5
Este modo de funcionamiento es muy útil, porque permite medir el desfase entre ambas
señales, pues este desfase es tal que se cumple
φ = arcsen
OC
OD
= arcsen
CC′
DD′
(7)
Los puntos C, C′
, D y D′
descritos en la figura son fácilmente medibles y, por tanto, se puede
determinar el desfase entre ambas señales.
GENERADOR DE FUNCIONES
Un generador de señales permite generar una señal periódica, pudiéndose controlar su am-
plitud, su frecuencia y, dependiendo del modelo, su forma (cuadrada, sinusoidal, triangular).
Disponen de controles de amplitud y de selectores de frecuencia. El tipo de señal, sinusoidal o
cuadrada a generar se controla mediante el correspondiente conmutador.
SONDAS
Las impedancias de entrada de la mayor´ıa de los osciloscopios están normalizadas a ciertos
valores estándar, que resultan de poner en paralelo una resistencia de 1 MΩ con un condensador
de 25−30 pF. Para ciertas aplicaciones, tales valores se muestran insuficientes, ya que no permi-
ten medir con garant´ıa espectros amplios de frecuencias y, por tanto, es necesario modificarlos.
Eso se consigue mediante las sondas. As´ı pues, una sonda de osciloscopio es, aparte del soporte

109
f´ısico por el que llega la señal a medir, un atenuador suplementario, que modifica la impedancia
de entrada del osciloscopio. Es muy habitual atenerse a la relación de atenuación 10.
Ajuste de las Sondas El desajuste de la compensación de la sonda es una causa frecuente de
errores en la medida. Las sondas atenuadas están provistas de un ajuste de compensación. Para
garantizar mediciones en condiciones óptimas, acostúmbrese a comprobar la compensación de la
sonda antes de efectuar las medidas.
Conectar una sonda (×10) a la entrada CH I [24], no pulsar tecla alguna, conmutar el
acoplamiento de entrada a DC, mando de control vertical en 5 mV/cm y conmutador TIME/DIV
en 0,2 ms/cm (ambos ajustes finos en la posición de calibrado) y conectar la punta de la sonda
con ganchito a la corcheta CAL [19] correspondiente (sonda 10 : 1 a la corcheta 0,2 voltios.
En la pantalla del osciloscopio debe aparecer una onda cuadrada con una amplitud de cuatro
divisiones.
Figura 6
Si la onda cuadrada se ve deformada, ajuste el ‘trimmer’ de la sonda hasta que los techos
de la señal rectangular vayan exactamente paralelos a las l´ıneas horizontales de la ret´ıcula, (ver
figura
Figura 7
Repita el proceso para el canal CH2, cada uno con su propia sonda.
Ahora el osciloscopio está listo para ser utilizado.
MÉTODO
Medidas básicas en el modo X-T
(1) Antes de proceder a la medida de señales en un circuito, y para que el alumno se familiarice
con el funcionamiento del osciloscopio, se procederá a visualizar una señal directamente
obtenida del generador. La visualización se llevará a cabo en función del tiempo y, por
tanto, el osciloscopio funcionará en modo X-T.
(2) Conecte un extremo del cable o sonda suministrada con el osciloscopio al canal I del mismo.
El otro extremo de la sonda se conectará a la salida del generador. Deberá tenerse cuidado
de conectar la tierra de la sonda, cable más corto, al conector de tierra del generador, para
no invertir la polaridad.
1er

110
(3) Una vez hecho esto, se conectará el generador eligiendo una amplitud y frecuencia de salida
determinadas. Seleccione el modo automático de disparo, tecla AT-NORM [16] sin pulsar.
Elija la posición adecuada de los mandos VOLT/DIV y TIME/DIV y estabilice la señal
en pantalla.
(4) M´ıdase la amplitud y el periodo de dicha señal por el procedimiento descrito anteriormente.
A partir del periodo, se calcula la frecuencia, que hay que comprar con el valor medido en
el visor de generador de funciones.
Figura 8
Circuito RC serie
(5) Montar el circuito RC de la figura 8. Teóricamente, si la tensión de entrada Ve es del tipo
senoidal
Ve(t) = Ve cos(2πft) (8)
la tensión en bornes del condensador también será de tipo senoidal de la misma frecuencia,
pero vendrá afectada de un desfase, de forma que la expresión de esta tensión es
VC (t) = Vc cos(2πft + φ) (9)
donde la amplitud VC es
Vc =
Ve
1 + (2πf)2R2C2
(10)
y el desfase φ entre las señales de entrada y la del condensador
φ = − arc tg(2πfRC) (11)
(6) Una vez montado el circuito, conéctese la sonda del canal I en los extremos del generador
para medir Ve(t) y la sonda del canal II en los bornes del condensador para medir VC (t).
Nota: Las tierras de ambas sondas deberán conectarse al mismo punto para
obtener una medida correcta.
(7) Mediante el mando CH1/CH2/DUAL/ADD, seleccione el modo DUAL con el que se vi-
sualizarán ambas tensiones de forma simultánea. Ajuste, con el mando VOLTS/DIV, las
escalas verticales adecuadas para apreciar con claridad toda la amplitud de las señales.
(8) A continuación ajuste, mediante el control TIME/DIV, la escala de tiempos para visualizar
uno o dos periodos de la señal.
(9) Si estuviese trabajando con la tecla AT-NORM [16] pulsada, la estabilización en pantalla
de la señal se consigue accionando los controles LEVEL y HOLD OFF.

111
Figuras de Lissajous
(10) Las figuras de Lissajous (ver cualquier texto de F´ısica General) aparecen cuando se su-
perponen, en un mismo punto, dos movimientos armónicos en direcciones perpendiculares.
Éstos pueden tener o no la misma frecuencia y/o fase.
(11) Esto puede visualizarse con el osciloscopio de la siguiente forma. Se seleccionan dos ten-
siones sinusoidales y, cada una de ellas se aplica en un canal. Una cualquiera se utiliza
como referencia, y se opera tal como se indica en el apartado anterior (Medidas con el
osciloscopio: Modo XY). As´ı podemos comparar el desfase entre dos señales de la misma
frecuencia (ver figura 4).
(12) Si las frecuencias de las señales son diferentes, dependiendo del cociente entre ellas, pueden
obtenerse figuras cerradas o no en la pantalla del osciloscopio.(véanse los textos citados
anteriormente).
Resultados
(13) Siguiendo las indicaciones anteriores lleve a cabo diversas medidas de amplitud y frecuen-
cia de señales directamente obtenidas del generador de señales. Utilice ondas cuadradas
y sinusoidales. Construya una tabla con los resultados, acompañando los mismos de su
correspondiente error. Incluya en la tabla los valores de frecuencia medidos con el oscilos-
copio y los medidos en el generador de señales. Compare los valores de frecuencia medidos
con el osciloscopio y los indicados por el generador de señales.
(14) Fijando una frecuencia alrededor de 7 kHz en el generador, determine la tensión pico-pico,
la amplitud, el periodo y la frecuencia de la señal. Usando los selectores de banda, cambie la
década de la frecuencia, sin alterar el valor indicado en la pantalla del generador. Determine
las caracter´ısticas de las señales para, por lo menos, tres décadas diferentes. Compare los
valores obtenidos.
(15) Represente en la pantalla del osciloscopio una señal de aproximadamente 1 kHz con una
amplitud elevada. Determine todas las caracter´ısticas de la señal (tensión pico-pico, am-
plitud, periodo y frecuencia). Repita estas medidas para todas las combinaciones posibles
de los tres botones del atenuador de salida del generador. Calcule la atenuación de la señal
(cociente entre la amplitud atenuada y la sin atenuar) y compare el resultado con los va-
lores indicados por el atenuador de salida. Para ello es conveniente expresar la atenuación
en decibelios (dB).
(16) Monte el circuito de primer orden de la figura 8, aplique una onda sinusoidal y mida
con el osciloscopio la amplitud y frecuencia de la tensión en bornes del generador y del
condensador. Determine también el desfase entre ambas señales. Compare los resultados
con los predichos teóricamente. Repita la operación con varias frecuencias.
(17) Observación de las figuras de Lissajous.
Nota: Debido al carácter estacionario de las medidas, sucesivas medidas de la misma magnitud
producen dispersiones despreciables. Por este motivo será suficiente tomar una sola medida de
cada magnitud. Compruebe, en un caso, que la dispersión de las tres primeras medidas de una
amplitud es despreciable, justificándose as´ı el hecho de tomar una sola medida.
1er

112

Práctica 22
CIRCUITOS DE CORRIENTE
ALTERNA
OBJETIVO
Estudiar los circuitos en serie RL, RC y RLC en corriente alterna. Aplicación al cálculo de
L y C.
MATERIAL
Generador de señales alternas. Pol´ımetro u osciloscopio. Resistencias. Condensadores. Auto-
inducciones: bobina. Placa de montaje y cables de conexión.
FUNDAMENTO
Cuando a los extremos de una resistencia óhmica se
aplica una tensión alterna, V = VM senωt, la intensidad
de la corriente que se origina se deduce a partir de la ley
de Ohm:
I =
VM
R
sin ωt = IM senωt (1)
resultando que la intensidad también var´ıa sinusoidalmen-
te con el tiempo, con la misma frecuencia que la tensión
aplicada, y que su valor máximo vale
IM =
VM
R
(2)
Por tanto, cuando un circuito sólo contiene resistencia
óhmica, la intensidad de la corriente no presenta diferen-
cia de fase respecto a la tensión aplicada que la origina
(fig. 1).
En general, en los circuitos de corriente alterna se suelen utilizar otros elementos además de
las resistencias óhmicas. Supongamos que existan, conectadas en serie con una resistencia R, una
bobina L y un condensador C. Al aplicar una tensión alterna a los extremos de dicho circuito en
serie, se establece, una vez desaparecidos los efectos transitorios de corta duración, una corriente
estacionaria que viene expresada por
I = IM sen(ωt + φ) (3)
113

114
en la que se pone claramente de manifiesto que la frecuencia f = ω/2π de la intensidad es la
misma que la correspondiente a la tensión, pero que la intensidad está desfasada en un ángulo
φ (ángulo de desfase o desfase) respecto a la tensión.
Los valores instantáneos de una intensidad de corriente, f.e.m. o diferencia de potencial
alternas, var´ıan de un modo continuo desde un valor máximo en un sentido, pasando por cero,
hasta un valor máximo en el sentido opuesto, y as´ı sucesivamente. El comportamiento de un
determinado circuito en serie queda expresado por los valores máximos de la intensidad (IM )
y de la tensión (VM ) (también del valor del desfase φ), pero es mucho más interesante estudiar
los circuitos de corriente alterna en función de los valores eficaces, Ief y Vef , en lugar de los
valores máximos, porque los valores que se miden con los volt´ımetros y amper´ımetros de c.a. son
precisamente los eficaces.
La intensidad eficaz de una corriente alterna se define como el valor de la intensidad de una
corriente continua que desarrollase la misma cantidad de calor en la misma resistencia y en el
mismo tiempo. Se demuestra que
Ief =
IM
√
2
= 0,707IM (4)
y análogamente, la tensión eficaz,
Vef =
VM
√
2
= 0,707VM (5)
De ahora en adelante, se interpretará que las letras I y V sin sub´ındices hacen
referencia a los valores eficaces de las magnitudes correspondientes.
La intensidad máxima IM está relacionada con la tensión máxima VM por una expresión que
tiene la misma forma que la que expresa la ley de Ohm para corrientes continuas
IM =
VM
Z
(6)
denominándose la magnitud Z, impedancia del circuito, que es una generalización de la resis-
tencia R de la ley de Ohm en corriente continua. Naturalmente, dividiendo los dos miembros de
(6) por
√
2 , se obtiene para los valores eficaces
I =
V
Z
(7)
La relación que existe entre la impedancia Z del circuto RLC en serie y las caracter´ısticas R, L
y C de los tres elementos considerados es
Z = R2 + ωL −
1
ωC
2
(8)
que, introduciendo las siguientes simplificaciones,
XL = ωL XC =
1
ωC
X = XL + XC (9)
se escribe
Z = R2 + X2 (10)
Por otra parte, el desfase , viene dado por la expresión
φ = arc tg
X
R
(11)
La magnitud X recibe el nombre de reactancia; XL y XC son la reactancia inductiva o
inductancia y la reactancia capacitativa o capacitancia, respectivamente. Tanto la impedancia
como la reactancia se miden en ohmios (Ω).

115
Los papeles de la inductancia y de la capacitancia son contrapuestos, tanto en lo que se refiere
a la limitación de la corriente, como al desfase que introducen entre la intensidad y la tensión.
As´ı, mientras que un aumento de inductancia reduce la intensidad, un aumento de capacitancia la
hace aumentar. Además, la inductancia retrasa la intensidad respecto a la tensión, en tanto que
la capacitancia la adelanta. Tanto la inductancia como la capacitancia dependen de la frecuencia
de la tensión alterna aplicada.
La relación que existe entre la impedancia Z de un
circuito RLC en serie y los valores de R, XL y XC pue-
de representarse gráficamente considerando estas magni-
tudes como vectores. La resistencia R se representa por
un vector situado sobre el eje OX en sentido positivo del
mismo; y las reactancias XL y XC, por vectores situa-
dos sobre el eje OY , en los sentidos positivo y negativo,
respectivamente. La impedancia Z será el vector suma de
los tres vectores. Véase la figura 2, denominada diagrama
del vector impedancia del circuito. En dicha figura, se ha
considerado el caso en que XL > XC, y por tanto X es
positiva, y también es positivo el desfase . Diremos que el
circuito representado por dicho diagrama es ”inductivo”.
En el caso contrario, esto es XC > XL, el circuito ser´ıa
”capacitivo”.
Como casos especiales, es evidente que si el circuito sólo contiene una resistencia pura, en-
tonces X = 0; Z = R y φ = 0, y la intensidad está en fase con la tensión aplicada.
Si el circuito contiene autoinducción pura, será R = 0, Z = XL = ωL y φ = +π/2, y la
intensidad se retrasa 90o
respecto a la tensión aplicada.
Pero si el circuito se compone de capacidad pura, se tendrá R = 0, Z = XC = 1/ωC y
φ = −π/2, y la intensidad adelanta en un ángulo de 90o
a la tensión.
La intensidad de la corriente tiene la misma fase en todas las partes de un circuito en serie.
Es decir: es máxima en la resistencia, autoinducción y condensador al mismo tiempo; nula en
los tres un instante después; máxima, pero de sentido opuesto, otro instante todav´ıa posterior,
y as´ı sucesivamente.
La diferencia de potencial (ddp.) entre dos puntos cua-
lesquiera de un circuito es igual al producto de la inten-
sidad por la impedancia del mismo entre los dos puntos
considerados, siempre que no exista ninguna f.e.m. com-
prendida entre dichos puntos. As´ı,
Vab = IZab (12)
La diferencia de fase φ entre Vab e I será
φ = arc tg
Xab
Rab
(13)
En la figura 4, la impedancia Zab entre a y b es R y, por consiguiente, Vab = IR y φ =
arc tg 0 = 0. Esto es, la ddp. entre los terminales de una resistencia pura está en fase con la
intensidad de la corriente.
1er

116
Entre los puntos b y c es Zbc = XL, Vbe = IXL y φ = arc tg ∞ = π/2. Esto es, la ddp. entre
los terminales de una autoinducción pura está adelantada 90o
respecto a la intensidad.
Entre los puntos c y d es Zcd = XC, Vcd = IXC y φ = arctan −∞ = −π/2. Esto es, la d.d.p.
entre los terminales de una capacidad pura está retrasada 90o
respecto a la intensidad.
Debido a estos desfases, la suma de la diferencia de po-
tenciales eficaces entre los extremos de un cierto número
de elementos de un circuito en serie no es igual a la diferen-
cia de potencial entre los extremos del conjunto. La suma
de tensiones deberá efectuarse geométricamente, como se
indica en la figura 5, donde VR, VL y VC son las tensiones
entre los extremos de la resistencia R, autoinducción L y
capacidad C, respectivamente, y V es la tensión entre los
extremos de la asociación en serie RLC.
MÉTODO
En todos los casos, use frecuencias del orden de 500-1000 Hz.
Circuito RL en serie
(1) M´ıdase con el óhmetro (o con un puente de Wheatstone) la resistencia R de la resistencia
suministrada para esta práctica. Anótese el valor medido.
(2) Procédase, análogamente, a medir la resistencia óhmica de la bobina, RL. Anótese.
(3) Móntese el circuito de la figura 6. Ciérrese el interruptor.
(4) Con el volt´ımetro (o con el osciloscopio), m´ıdanse las diferencias de potencial eficaz entre
los extremos de la resistencia, VR, de la autoinducción, VL, y del conjunto, V . Anótense
los resultados.
(5) M´ıdase, con el miliamper´ımetro, la intensidad eficaz, I, del circuito.
*(6) Calcúlese la intensidad eficaz del circuito a partir de la fórmula (12).
*(7) Utilizando la ec. (12), determ´ınese la inductancia, XL, de la bobina y, a partir de dicho
valor, calcúlese la autoinducción, L, de la misma.
*(8) Determ´ınese la impedancia Z del circuito RL en serie a partir de los valores de V e I.
*(9) Calcúlese la impedancia Z del circuito RL a partir de la fórmula (10).
*(10) Calcúlese el desfase entre la intensidad y la tensión a partir de (11).
*(11) Dibújense los diagramas vectoriales de impedancias y de tensiones.

117
Circuito RC en serie
(13) M´ıdase la tensión eficaz entre los extremos de la resistencia, VR, de la capacidad, VC, y del
conjunto RC, V .
(14) M´ıdase la intensidad eficaz del circuito, I, con el miliamper´ımetro.
*(15) Aplicando la ec. (12), calcúlense la capacitancia del condensador y la capacidad del mismo.
*(16) Determ´ınese la impedancia Z del circuito RC en serie a partir de los valores de V e I.
*(17) Calcúlese el desfase entre la intensidad y la tensión aplicada.
Circuito RLC en serie
(20) M´ıdanse las tensiones eficaces entre los extremos de la resistencia, VR, de la autoinducción,
VL, del condensador, VC, y del montaje RLC en serie.
(21) M´ıdase con el miliamper´ımetro la intensidad eficaz en el circuito.
*(22) Calcúlese, aplicando la ec. (12), la intensidad eficaz en el circuito.
*(23) Calcúlense XL, XC, L y C, como en los circuitos anteriores.
*(24) Calcúlese la impedancia Z del circuito RLC en serie a partir de los valores de la intensidad
I y de la tensión total V .
*(25) Calcúlese la impedancia del circuito RLC en serie aplicando la ec. (10).
*(26) Determ´ınese el desfase entre la intensidad y la tensión total.
1er

118
*(28) Represéntesen gráficamente las funciones intensidad instantánea, I, y tensión instantánea,
V , en función del tiempo para cada uno de los circuitos estudiados en la práctica.

Práctica 23
CAMPOS MAGNÉTICOS EN
LAS PROXIMIDADES DE
CONDUCTORES
OBJETIVO
Medida del campo magnético en el aire cerca de conductores rectil´ıneos y circulares con
corrientes. Comprobación de la ley de Biot-Savart.
MATERIAL
Fuente de alimentación. Transformador. Transformador de intensidad, Teslámetro. Sondas
Hall (axial y transversal). Conjunto de cuatro conductores de corriente de diversas formas.
Pol´ımetro. Regla. Pinzas. Cables de conexión y soportes.
FUNDAMENTO
Una corriente que circula por un conductor produce un campo magnético en su vecindad. El
caso más simple es el de un conductor largo en el vac´ıo (en el aire es igual), para el cual, si I es
la intensidad que lo atraviesa y r la distancia a la que se mide el campo magnético B, la ley de
Biot-Savart nos da su módulo:
B =
µ0
2π
I
r
(1)
en donde µ0 es la permeabilidad magnética del vac´ıo (también del aire, y vale 4π10−7
u.S.I) La
dirección de B es perpendicular tanto a la dirección de la corriente como del vector de posición
r.
A efectos prácticos, la expresión anterior puede usarse
cuando la longitud del cable conductor es mucho mayor
que la distancia r. En cambio, cuando ambos valores son
del mismo orden de magnitud, deberemos de usar la ex-
presión alternativa:
B =
µ0
2π
I
r
(cosφ1 − cos φ2) (2)
siendo φ1 y φ2 los ángulos que pueden observarse en la
figura.
119

120
Cuando lo que se tiene es una espira de corriente, la expresión que permite calcular el módulo
del campo magnético a una cierta distancia r sobre el eje de la misma viene dada por:
B =
µ0
2
Ia2
(x2 + a2)3/2
(3)
en donde a es el radio de la espira y x la distancia al plano de la espira medida sobre el eje y
con origen en su centro.
MONTAJE EXPERIMENTAL
La figura de abajo nos muestra el dispositivo de medida. Una corriente alterna se origina en
una fuente de alimentación y se hace circular por el primario de un transformador. El secundario
de este transformador se coloca en serie con el circuito que crea el campo magnético, que será uno
cualquiera de las 4 conductores que hay en la práctica. La regla y el Teslámetro, junto con las
sondas Hall, nos servirán para medir la distancia r y medir el campo, respectivamente.
Para medir valores aceptables del campo magnético, se han de tener intensidades de corriente
bastante grandes, como puede verse por cálculo directo en la expresión (1). Por ese motivo, se
recurre a un procedimiento que disminuya los riesgos de trabajar con intensidades tan altas y que
consiste en utilizar el llamado “transformador de intensidad” (que es el aparato negro de forma
toroidal y dos bornes). Se trata de otro transformador, en el que el primario es el circuito cuya
intensidad de corriente se quiere medir (cualquiera de los 4 que disponemos) y cuyo secundario
es un núcleo anular provisto de una sola espira que rodea una vez al primario (ver figura 2).
Este núcleo tiene una salida por dos bornes, a los que se conecta el amper´ımetro de medida
(pol´ımetro) con el que leeremos una corriente Iti. En nuestro caso, el diseño experimental es tal
que cumple la relación
I = 100Iti (4)
ADVERTENCIA
¡PELIGRO! El transformador de intensidad siempre debe de estar conectado al am-
per´ımetro. En caso contrario, es decir, con el secundario abierto, se pueden inducir
entre sus bornes PUNTAS DE TENSIÓN muy elevadas y peligrosas. Por lo tanto,

121
estando en régimen de trabajo, es decir, circulando corriente en todos los conducto-
res de la práctica, bajo ningún concepto abra el circuito que forma el transformador
de intensidad en serie con el amper´ımetro, ni siquiera para cambiar el amper´ımetro.
Para cualquier incidencia consulte con el Profesor.
Por lo tanto, cuando haya que cambiar el conductor objeto de estudio (rectangu-
lares, cuadrados, espiras,...) y manipular el transformador de intensidad, APAGUE
PRIMERO LA FUENTE DE ALIMENTACIÓN.
Manejo del Teslámetro
Este aparato permite medir el campo magnético B mediante las llamadas sondas Hall (re-
cordar el efecto Hall o estudiarlo en cualquier libro de F´ısica General). Una de ellas, “sonda
axial”, está especialmente preparada para medir campos que se encuentran axialmente orien-
tados respecto al soporte de sondas (es decir, cuyos campos se supone que están en la misma
dirección que la varilla de la sonda o portasondas). La segunda, “sonda transversal”, mide los
campos que se encuentran orientados normalmente a la varilla del portasondas. El Teslámetro
posee tres intervalos de medida, conmutables de uno a otro: (a) desde 0 a 20 mT; (b) desde
0 a 200 mT; y (c) desde 0 a 1000 mT. El aparato puede medir tanto campos continuos como
alternos. En nuestro caso la corriente que origina el campo es alterna, de tipo senoidal, y, por lo
tanto, vamos a medir siempre campos magnéticos alternos. El valor que, entonces, suministra la
sonda es el “valor eficaz” del correspondiente campo magnético senoidal en un punto dado. Una
consecuencia de este hecho es que no necesitamos realizar un ajuste de cero del Teslámetro. Para
el alumno que esté interesado en ampliar detalles sobre este dispositivo, consulte la fotocopia
que se encuentra en la práctica.
MÉTODO
Para cada circuito siga rigurosamente los siguientes pasos:
(1) Fuente de alimentación y Teslámetro desconectados.
(2) Coloque el circuito de prueba en serie con el secundario del transformador. No olvide pasar
el conductor elegido por el “agujero central” del transformador de intensidad.
(3) Conecte los cables del pol´ımetro con el secundario del transformador de intensidad. No
olvide poner el pol´ımetro en el modo “intensidad de corriente alterna”.
(4) Conecte Fuente de Alimentación y Teslámetro.
(5) Selecciones una intensidad en la Fuente, con lo que ya está todo dispuesto para medir con
las sondas.
(6) Para empezar, ser´ıa conveniente que el alumno observará las figuras de campos magnéticos
de circuitos simples que siempre traen los libros de F´ısica General. De esta manera, tendr´ıa
una idea más clara de lo que intenta medir. Una vez hecho esto, deberá estudiar lo primero
los diferentes tipos de circuitos que se suministran con la práctica y la forma de los campos
que se va a encontrar, es decir, las expresiones (1), (2) y (3).
(7) Se sugiere que el alumno comience con la espira (y, se pueden tratar como tales, tanto el
bucle circular como el cuadrado), ya que sólo hay una l´ınea en donde se pueda medir y
comparar con la teor´ıa.
(8) Hay todav´ıa dos tipos diferentes de medidas que se pueden realizar:
(i) Cerca de un conductor rectil´ıneo: Estudiar la dependencia del campo magnético tanto
con la intensidad de corriente como de la distancia al conductor.
1er

122
(ii) Cerca de dos conductores rectil´ıneos:
(a) Corrientes en el mismo sentido.
(b) Corrientes en sentido contrario.
(c) Asimismo, y en cada uno de los casos, estudiar la dependencia del campo magn´eti-
co tanto con la intensidad de corriente como con la distancia a los conductores.
(9) Comparar los resultados experimentales obtenidos con los valores y dependencias que se
deducen de las expresiones (1), (2) y (3).

Práctica 24
MARCHA DE RAYOS
OBJETIVO
El objetivo principal de esta práctica es visualizar la marcha de los rayos en algunos com-
ponentes ópticos elementales (lentes, espejos, láminas planoparalelas y prismas), observando
cualitativamente diversos fenómenos que ocurren en aquellos. Si no se requiere una precisión ex-
cesiva, es también posible medir algunos parámetros ópticos de dichos componentes (potencias
de las lentes, ´ındices de refracción, etc.)
MATERIAL
Fuente luminosa con soporte y carcasa. Fuente de alimentación. Diafragmas. Lentes. Espejos.
Lámina planoparalela. Prismas. Todos estos componentes poseen fijaciones magnéticas para
pegarlos a una base metálica.
La figura adjunta muestra un posible montaje de este dispositivo. Sobre la superficie de la
base metálica que sostiene todos los componentes podrán visualizarse las trayectorias luminosas
de los distintos rayos.
En los siguientes apartados se dan algunas indicaciones para el estudio elemental y por
separado de lentes, espejos, láminas y prismas. Pueden realizarse también otras observaciones y
construir otros sistemas ópticos con los elementos de que se dispone.
LENTES
Dado que el objetivo principal de la práctica es la vi-
sualización de la trayectoria de los rayos podr´ıa construir-
se un colimador que produjera un haz paralelo y estrecho
de luz utilizando una fuente luminosa en el foco objeto
de una lente convergente. Sin embargo, para la ralización
de la práctica se dispone de una fuente que genera varios
rayos laser paralelos con lo que se facilita enormemente la
visualización.
123

124
Si se hace incidir el haz colimado emergente sobre distintas lentes, se obtendrán haces emer-
gentes convergentes o divergentes. Usando un calibre o una cinta métrica podremos medir apro-
ximadamente la distancia focal imagen f′
de las distintas lentes, sabiendo que, si las lentes son
delgadas, la distancia focal imagen f′
es la distancia desde la lente al plano focal imagen de la
lente F′
(plano donde convergen los rayos a la salida de la lente, o sus prolongaciones). Una
vez estimada la distancia focal imagen f′
, calcule la potencia de las distintas lentes, teniendo
en cuenta que se denomina potencia de una lente a la inversa de la distancia focal (medida en
metros). La potencia se expresa en dioptr´ıas y viene dada por:
φ′
[D] =
1
f′[m]
(1)
Seleccione un solo rayo del haz colimado y, haciéndolo incidir sobre la lente, observe el
diferente efecto que tiene el desplazamiento de la lente (perpendicularmente al eje óptico) si es
convergente o es divergente. Observe también que los rayos que pasan por el centro óptico de la
lente no se desv´ıan.
Utilizando la lente convergente de mayor potencia, puede observarse la aberración cromática
(distorsión de la imagen que colorea la luz blanca, debido al diferente ´ındice de refracción que
tiene cada componente de esta luz). Obsérvese que el foco correspondiente a la luz azul está más
próximo a la lente que el correspondiente a la luz roja.
ESPEJOS
Con el espejo plano y la ayuda de un transportador de
ángulos (o una regla), puede verificar el cumplimiento de
la ley de la reflexión. También puede comprobar que, si el
espejo gira un ángulo α, el rayo reflejado efectúa un giro
de ángulo 2α. En particular, si el ángulo de incidencia en
el espejo es α = 45o
el rayo reflejado sale perpendicular-
mente al incidente (2α = 90o
).
Haciendo incidir un haz colimado sobre el espejo
cóncavo, podemos observar que el foco imagen F′
se sitúa
aproximadamente a una distancia del vértice igual a la mi-
tad del radio, como se sabe. Haga incidir sobre el espejo
cóncavo distintos rayos paralelos al eje óptico, a diferente

125
altura, y observe en qué punto(s) cortan los rayos refleja-
dos al eje óptico del sistema.
Se propone también la comprobación de que un espejo
cóncavo puede dar una imagen real o virtual de un ob-
jeto real, dependiendo de dónde se sitúe el objeto. Como
objeto real puede usarse el foco imagen obtenido al in-
terponer una lente convergente en la trayectoria del haz
colimado inicial. Si dicho foco está próximo al vértice del
espejo (concretamente, dentro de la distancia focal), se ob-
servará que el haz reflejado es divergente, o sea, la imagen
que produce el espejo es virtual.
Finalmente, utilizando el mismo espejo curvo pero por el otro lado, pueden analizarse algunas
de las caracter´ısticas de la imagen producida por un espejo convexo. Comente las observaciones
realizadas y analice toda la casu´ıstica.
LÁMINA PLANOPARALELA
Haciendo incidir con un cierto ángulo un único rayo
sobre una de las caras de la lámina planoparalela, puede
observarse como experimenta dos refracciones consecuti-
vas y el rayo finalmente emergente es paralelo al inicial. El
efecto global de la lámina es por tanto un desplazamiento
lateral t del haz incidente. Además de la refracción en ca-
da una de las dos caras, podemos comprobar también que
una parte de la luz se refleja en ambas caras.
Estudie cualitativa y cuantitativamente cómo var´ıa la
traslación del rayo t con el aumento o disminución del
ángulo de incidencia en la primera cara, ayudándose para
ello de una regla o papel milimetrado.
PRISMAS
Utilizando el prisma, puede observarse la desviación
sufrida por un haz o un rayo incidente. Modifique el ángu-
lo de incidencia de la luz sobre el prisma y compruebe
que hay un ángulo de m´ınima desviación (o de desviación
m´ınima) y haga una estimación de su valor en función del
ángulo de incidencia del haz, valiéndose de papel milime-
trado. A partir del valor anterior puede hacer una estima-
ción del ´ındice de refracción para el prisma dado por la
expresión:
n =
sen δm+α
2
sen α
2
(2)
donde α es el ángulo de refringencia del prisma que, para
un prisma equilátero, vale α = 60o
.
1er

126
Cabe también observar el fenómeno de la dispersión de
la luz en el prisma. Compruebe que la desviación sufrida
para las longitudes de onda cortas de la luz blanca inci-
dente es mayor que para las longitudes de onda largas, por
lo que la luz resulta coloreada. Puede verse también que
la dispersión angular aumenta cuando el haz final emerge
rasante de la segunda cara del prisma.
OTROS SISTEMAS ÓPTICOS
Los elementos de que dispone en esta práctica le pueden permitir realizar múltiples combi-
naciones y observar la marcha de rayos que se produce en algunos instrumentos ópticos clásicos:
anteojo astronómico, anteojo de Galileo, microscopio compuesto, espectroscopio, etc. Elija un
instrumento óptico cualquiera y observe y haga un esquema de la marcha de rayos en el mismo.
CUESTIONES
(1) Si un rayo paralelo al eje óptico incide en una lente y ésta se mueve perpendicularmente al
eje óptico, el rayo emergente se desv´ıa de forma distinta según que la lente sea convergente
o divergente. Justifique teóricamente el motivo de este hecho, que puede observarse en la
realización de la práctica.
(2) Si todos los rayos incidentes paralelos al eje óptico de un espejo cóncavo no se cortan, tras
reflejarse, en un único punto, ¿cómo podemos hablar del foco imagen de un espejo?
(3) Si cree que se podr´ıa determinar el´ındice de refracción del vidrio de la lámina planoparalela
usada con el material disponible en la práctica, indique cómo lo har´ıa y las causas de error
que afectar´ıan a su medida.
(4) ¿Podr´ıa construir un colimador con una lente divergente? Justifique su respuesta.
(5) Con la lámina planoparalela simule la reflexión total. Razone si, a partir de la medida
del ángulo de reflexión total, se podr´ıa determinar el ´ındice de refracción de la lámina
planoparalela.

Práctica 25
LENTES Y SISTEMAS DE
LENTES
OBJETIVO
Estudiar la formación de imágenes mediante una lente convergente. Medida de la distancia
focal de una lente delgada convergente y de una divergente.
MATERIAL
Banco óptico provisto de fuente de iluminación, soportes deslizantes y pantalla. Lentes con-
vergente y divergente. Objeto.
Una lente es un sistema óptico constituido generalmente por un cristal limitado por dos
superficies esféricas, y que tiene la propiedad de formar imágenes de objetos. La imagen de un
objeto producida por una lente depende de muchos factores, como puede ser la iluminación del
objeto, el tamaño del mismo, el material constituyente de la lente (´ındice de refracción), las
caracter´ısticas geométricas de la lente (espesor y radios de curvatura de cada una de sus caras).
Las lentes con las que vamos a trabajar en esta práctica se considerarán delgadas, es decir, que
su espesor se puede despreciar en comparación con el tamaño de los radios de curvatura de
sus superficies externas. Además, nuestras lentes van a estar sumergidas en aire1
, puesto que el
medio que rodea a la lente por ambas caras va a ser el aire.
Desde el punto de vista de la formación de imágenes, las lentes delgadas quedan caracterizadas
por un parámetro llamado distancia focal, que permite hacer cálculos sobre la posición y el
tamaño de los objetos e imágenes a través de la lente.
1En el caso de que la lente no esté sumergida en aire ni las ecuaciones mostradas aqu´ı ni los razonamientos
son válidos
127

128
Figura 1
Consideremos un objeto O (ver figura 1) situado a una distancia a de una lente delgada L.
Esta lente formará una imagen del objeto O′
a una distancia a′
cumpliéndose la relación:
−
1
a
+
1
a′
=
1
f′
(1)
donde f′
es la distancia focal de la lente
Esta expresión es válida siempre que los ángulos con los que se trabaja en el sistema óptico
sean pequeños (en nuestro caso, gran distancia del objeto a la lente con respecto a su tamaño
y pequeñas aberturas). Cuando esto suceda, diremos que estamos trabajando en el dominio de
la Óptica Paraxial. Para hacer uso de la fórmula [1], debemos tener en cuenta los siguientes
indicaciones o criterios:
a) Siempre consideramos que la luz incide de izquierda a derecha. En nuestro caso, si hallamos
la imagen de un objeto a través de la lente, el objeto estará situado a la izquierda de la
lente.
b) Se sitúa el origen de coordenadas en el centro de la lente. Las distancias con respecto a
dicho origen se miden con el convenio de signos de la Óptica Paraxial ordinario: positivas
hacia la derecha, negativas hacia la izquierda.
c) Los objetos son reales si están situados a la izquierda de la lente (a < 0) y virtuales si
lo están a la derecha de la lente (a > 0). Las imágenes son reales si están situadas a la
derecha de la lente (a′
> 0) y virtuales si lo están a la izquierda de la lente (a′
< 0).
Veamos algunos ejemplos sencillos que pueden aclaran los conceptos de real (objeto e imagen)
y virtual (objeto e imagen):
1) Una cámara fotográfica consta, básicamente, de una lente delgada que forma la imagen de
un objeto (real) en una pantalla o pel´ıcula fotográfica (también real).
2) Si nos miramos en un espejo, éste formará una imagen de nuestro rostro (objeto real) que
será virtual (los rayos parecen provenir de detrás del espejo), no siendo posible recoger
dicha imagen, por ser virtual, en una pantalla.
3) La imagen de un objeto dada por un espejo puede servir a su vez de objeto (dependiendo
de la experiencia realizada) para una lente delgada, siendo por tanto para ésta un objeto
real. Hay que tener en cuenta que en los ejemplos con espejos la expresión [1] no es válida
y debe sustituirse por:
1
s
+
1
s′
=
1
f′
=
2
R
(2)

129
donde s es la distancia del espejo al objeto, s′
la del espejo a la imagen, f′
la distancia
focal (imagen) de la lente y R el radio de curvatura del espejo (positivo si es convexo y
negativo si es cóncavo).
4) Una lente delgada es convergente si su distancia focal imagen f′
es positiva, y es divergente
si dicha distancia es negativa.
Podemos obtener el valor de la distancia focal imagen f′
a través de la expresión [1], sin más
que sustituir los valores de a y a′
(que se pueden determinar experimentalmente). Este método
para conocer el valor de f′
se conoce como método de Gauss.
Se llama potencia de una lente a la inversa de la distancia focal (medida en metros). La
potencia se expresa en dioptr´ıas (D) y viene dada por:
ψ′
[D] =
1
f′[m]
(3)
La determinación de la posición y tamaño de la imagen de un objeto formado por una lente
delgada puede hallarse gráficamente de forma sencilla. El método consiste en determinar la
intersección de dos rayos procedentes de un mismo punto ya que podemos suponer que todos los
demás rayos que salgan del mismo punto del objeto (independientemente de su dirección) que
pasen por la lente formarán su imagen en el mismo punto imagen (trabajando en el dominio de
la Óptica Paraxial).
Para ello utilizaremos 3 rayos (aunque ser´ıa suficiente con dos) cuyo trazado es fácil de
determinar:
1. Rayo paralelo al eje. Después de refractarse en la lente, este rayo debe pasar por el foco
imagen F’ (punto situado sobre el eje óptico y a una distancia de la lente delgada igual a
la distancia focal f′
). Si la lente es divergente, es la prolongación del rayo la que pasa por
el foco imagen F’ (ya que el foco imagen en una lente divergente está a la izquierda de la
lente).
2. Rayo que pasa por el foco objeto F de una lente (el foco objeto en una lente delgada
está situado a la misma distancia de la lente que el foco imagen pero al otro lado de la
misma). Después de refractarse en la lente, este rayo debe emerger paralelamente al eje de
la lente (eje óptico).
3. Rayo que pasa por el centro de la lente delgada: este rayo no se desviará al atravesar una
lente delgada.
Con la ayuda de estos rayos, siempre es posible hallar gráficamente la imagen de un objeto a
través de una lente delgada o conjunto de lentes delgadas. En la figura 1 se ha trazado la marcha
de rayos correspondiente a un objeto situado a la izquierda de una lente convergente y a una
distancia mayor que la distancia focal f′
.
En la figura 2 se ha trazado la marcha de rayos correspondiente a un objeto situado frente a
una lente divergente a una distancia menor que el foco imagen.
1er

130
Figura 2
MÉTODO
Se utilizará un banco óptico, una fuente
de luz, un diafragma, un objeto (con forma
de flecha), una pantalla y dos lentes delga-
das (una convergente y otra divergente).
El banco óptico consta de una base
de aproximadamente un metro de longitud
con una ranura en su parte central, donde
se situarán las componentes ópticas sobre
jinetillos (ver figura) y una escala milime-
trada para medir distancias relativas.
Sobre uno de los soportes existe una lámina metálica, en la que se ha practicado una pe-
queña abertura en forma de flecha, que constituye el objeto real cuando se ilumina desde atrás
mediante una bombilla unida a un soporte.
El diafragma circular, cuyo soporte se insertará en un jinetillo, sirve para limitar los haces
de luz que parten del objeto, evitando luces parásitas que puedan distorsionar la imagen recogida
en pantalla y asegurándonos que trabajamos en el dominio de la Óptica Paraxial (recuerde:
ángulos pequeños). Para ello se situará entre el objeto y la lente.
La imagen producida por el sistema óptico se formará sobre una pantalla (sólo en el caso
de que se trate de una imagen real).
Las lentes convergente y divergente (cuyas distancias focales habrá que determinar)
se situarán en el banco óptico a través de sus correspondientes jinetillos, dependiendo de la
experiencia que se tenga que realizar.
Antes de comenzar cualquier experiencia, debe tener la precaución de alinear previamente el
sistema óptico, de modo que la incidencia de rayos sea normal al objeto y a la altura adecuada.
Además, la disposición de las lentes ha de ser tal que sus centros estén alineados entre s´ı y con
el objeto.
Determinación de la distancia focal de la lente convergente
(1) Se sitúan las componentes ópticas y la lente convergente en situación similar a la que se
muestra en la figura 1.
(2) Fijada la pantalla y moviendo la lente (o viceversa), podrá formar la imagen n´ıtida del

131
objeto sobre la pantalla. Para llegar a este punto de la práctica, debe tener en cuenta
ciertas consideraciones:
(*) Si la distancia objeto-lente fuese menor que la distancia focal de la lente la imagen
ser´ıa virtual (¿por qué?) y no la podr´ıamos recoger en pantalla.
(*) Si el sistema no está correctamente alineado, a medida que alejemos la pantalla del
objeto, la imagen no se formará en la pantalla o no se observará n´ıtidamente
(3) A partir de los valor de a y a′
se puede obtener el valor de la distancia focal de la lente
convergente utilizando la expresión [1]. Determine la distancia focal y la potencia de la
lente realizando los cálculos de errores pertinentes.
Determinación de la distancia focal de la lente divergente
(4) Para el cálculo de la focal de la lente divergente se puede emplear el método anterior con
alguna modificación. Si delante de una lente divergente situamos un objeto real, la imagen
es siempre virtual (¿por qué?) y por tanto no la podremos recoger en pantalla. A fin de
resolver este problema y conseguir una imagen final real, tenemos que conseguir trabajar
con un objeto virtual, lo cual puede conseguirse mediante la lente convergente (a la que
previamente le hemos calculado su distancia focal), como se muestra en la siguiente figura
.
(5) Coloquemos en un extremo del banco el objeto y seguidamente la lente convergente de
modo que se forme su imagen real, que localizaremos con ayuda de la pantalla (que no
deberá estar situada al final del banco).
(6) Seguidamente situaremos la lente divergente entre la convergente y la pantalla (cercana a
ésta última). La imagen que genere esta lente divergente habrá que enfocarla moviendo la
pantalla.
(7) Aplicamos de nuevo la ecuación de Gauss (expresión [1]) a la lente divergente para obtener
el valor de la distancia focal imagen de la lente divergente.
(8) Determine la distancia focal de la lente divergente y su potencia realizando los cálculos de
errores pertinentes.
(9) Demuéstrese que la distancia focal puede expresarse también como
f′
=
aa′
a − a′
(4)
1er

132
(10) Para finalizar, use papel milimetrado y para ambas lentes (utilizando las distancias focales
calculadas), determine la distancia a la que se forma la imagen de un objeto situado en
una de las posiciones utilizadas en la realización práctica. Compruebe que, gráficamente y
anal´ıticamente, obtiene resultados similares.
CUESTIONES
1. Muestre mediante un trazado de rayos que si tenemos una lente convergente y situamos el
objeto real a una distancia de la lente menor que la distancia focal de la lente la imagen
que se forma es virtual.
2. Muestre mediante un trazado de rayos que la imagen de un objeto real a través de una
lente divergente es siempre virtual. Analice los distintos casos.
3. Resuma en una tabla el tipo de imagen obtenida (más pequeña o más grande, directa o
invertida, real o virtual) para las distintas experiencias realizadas.

Práctica 26
DIFRACCIÓN DE
FRAUNHOFER
OBJETIVO
Observación del fenómeno de la difracción de la luz por distintos objetos y medida de la
longitud de onda de un haz láser.
ADVERTENCIA
Va a trabajar con luz láser, por tanto no mire directamente el haz. Obsérvelo
siempre sobre la pantalla, NUNCA de forma directa. Tome precauciones para
que las reflexiones especulares (luz reflejada en cualquier superficie) no se dirijan
hacia otros puestos de trabajo en el laboratorio.
MATERIAL
Haz láser. Juego de tres rendijas de distinta anchura. Tres redes de difracción. Banco óptico.
Pantalla. Cinta métrica. Calibre.
Se denomina difracción a la propagación no rectil´ınea de la luz que no puede interpretarse
como reflexión o refracción. Para poder explicar la difracción hay que recurrir a la naturaleza
ondulatoria de la luz.
Supongamos una fuente de luz con la que iluminamos
una pantalla. Si entre la fuente y el plano de observa-
ción (ver figura) colocamos una pantalla opaca en la que
se haya practicado, por ejemplo, una abertura circular, y
admitimos la propagación rectil´ınea de la luz, en el plano
de observación deber´ıa aparecer una zona iluminada se-
mejante a la abertura, con contornos n´ıtidos y bien deli-
mitados entre las regiones de luz y sombra.
Sin embargo, si la abertura es lo suficientemente pe-
queña, no observaremos una sombra de l´ımites claramente
definidos, sino una transición de luz a oscuridad gradual.
133

134
Si la fuente de luz que utilizamos es bastante puntual y
bastante monocromática, podremos apreciar incluso una
serie de anillos claros y oscuros (si la abertura es circular)
que se extienden a través de toda la sombra geométrica de
la pantalla. En la figura mostramos un ejemplo de la figura
de difracción debida a una abertura circular de 0,5 mm
de diámetro. Una figura similar se obtendr´ıa si, en lugar
de la abertura circular, colocamos un pequeño obstáculo
circular y opaco.
Este fenómeno, que no puede explicarse mediante la
propagación rectil´ınea de la luz, se denomina difracción
y es consecuencia natural del carácter ondulatorio de la
misma. En la vida ordinaria existen muchos fenómenos
de difracción, como puede ser, por ejemplo, el hecho de
que las estrellas o las farolas distantes, en lugar de verse
n´ıtidas en nuestra retina, se vean como si fuesen imágenes
estrelladas debido la difracción que produce la pupila de
nuestro ojo que actúa como una abertura circular.
Los fenómenos de difracción se acentúan a medida que los obstáculos y los diafragmas se
hacen más pequeños, en comparación con la longitud de onda de la luz utilizada, y a medida
que la fuente de luz es más monocromática.
El estudio matemático de la difracción es bastante complejo, dado que la intensidad de la
luz que se observa en la pantalla depende de múltiples factores (longitud de onda de la luz
utilizada, tamaño y forma del obstáculo o abertura difractante, distancia del objeto difractante
a la pantalla de observación, ángulo con el que incide la luz sobre el objeto). Sin embargo, estos
cálculos se simplifican un poco cuando la distancia de la pantalla al objeto difractor es muy
grande (pudiendo considerarla infinita) denominándose régimen de difracción de Fraunhofer o
de campo lejano.
Difracción por una rendija
En este apartado describiremos cuál es la figura de difracción que se obtiene cuando un haz
de luz monocromática pasa por una rendija (una abertura rectangular en la que la dimensión
de uno de los lados es muy pequeña respecto del otro). Si la luz incide perpendicularmente,
se observarán en la pantalla una serie de bandas de muy pequeña altura, simétricas respecto
a la banda central, que es de doble anchura que las laterales (ver figura abajo) y en dirección
perpendicular a la rendija. Esta banda central, en difracción de Fraunhofer, tiene una anchura
angular (ángulo que forma la banda central respecto a la rendija θ) que viene dado por:
θ =
λ
a
(1)
donde λ es la longitud de onda de la luz usada y a es la anchura de la rendija.

135
Difracción por una red de difracción
Una red de difracción es un dispositivo formado por
muchas rendijas paralelas y de la misma anchura, regu-
larmente espaciadas. Si un haz de luz monocromático y
paralelo incide perpendicularmente sobre una red de di-
fracción, observaremos en la pantalla (si ésta está lo su-
ficientemente alejada para que podamos aplicar la apro-
ximación de Fraunhofer) una serie de franjas oscuras y
claras alternadas. La causa de estas franjas está en las in-
terferencias que se producen entre las distintas ondas di-
fractadas en cada una de las rendijas que componen una
red de difracción.
Consideremos el esquema de la figura, en la que el haz
difractado forma un ángulo θ con el incidente, escogido de
tal modo que entre dos rayos consecutivos exista una dife-
rencia de camino que sea múltiplo de la longitud de onda
λ. En estas condiciones, la diferencia de camino recorrido
entre los sucesivos rayos procedentes de las distintas rendi-
jas serán múltiplos de λ, es decir, mλ, con m = ±1, ±2, . . .,
y, por tanto, se reforzarán debido a la interferencia cons-
tructiva. Como consecuencia de esta interferencia múltiple
constructiva tendremos en pantalla un máximo de inten-
sidad. Si denominamos d a la distancia entre los bordes
homólogos de dos rendijas consecutivas, la condición de
máximo equivale a:
senθ =
mλ
d
. (2)
Variando m, obtenemos los distintos valores de θ para los
que se obtiene un máximo.
La distribución de la intensidad en la pantalla de ob-
servación se ha representado en la figura. Naturalmente,
las franjas centrales son las más luminosas.
Usualmente, en las redes de difracción se especifica el
número de rendijas por unidad de distancia (por ej. 600
l´ıneas por mm), lo que se denomina constante de la red.
A partir de ese dato se determina el valor de d utilizado
en la expresión (2).
Observe que el ángulo θ es tanto mayor cuanto mayor
es la longitud de onda de la luz monocromática empleada.
Si en lugar de utilizar luz monocromática, empleamos luz
blanca, en cada uno de los puntos de máxima intensidad
se obtendr´ıa un espectro, pues el ángulo de desviación θ
depende de la longitud de onda.
De la expresión (2) también se deduce que, para luz monocromática, la separación angular
entre dos máximos de iluminación consecutivos aumentará al aumentar el número de rendijas
por unidad de longitud, es decir, al aumentar la constante de la red.
Podemos utilizar la expresión (2) para deducir la longitud de onda de una luz monocromática.
En efecto, si conocemos el número de rendijas por unidad de longitud, podemos determinar la
distancia d entre dos rendijas consecutivas. Midiendo el ángulo para un máximo de intensidad
de orden m dado, podemos determinar la longitud de onda de la radiación monocromática. De
1er

136
la figura se deduce:
sin θ =
D
√
D2 + L2
(3)
siendo D la distancia entre el máximo central y el del orden escogido y L la distancia entre la
red de difracción y la pantalla. Sustituyendo [3] en [2] obtenemos el valor de la longitud de onda:
λ =
D
√
D2 + L2d
(4)
MÉTODO
Para la realización de esta práctica contará con una serie de elementos que le permitirán la
construcción de los diferentes montajes experimentales.
A continuación nos limitaremos a señalar algunas de las recomendaciones que le ayudarán
en su trabajo.
Rendija de anchura variable
(1) Haremos incidir el haz láser situado sobre el banco óptico sobre las distintas rendijas de
que dispone, y recogeremos la figura de difracción sobre la pantalla milimetrada que hay
disponible al final del banco.
(2) Realice esta operación para una misma rendija variando la distancia de la pantalla respecto
a la rendija, describiendo el fenómeno observado. Posteriormente, repita la misma operación
con el resto de rendijas.
(3) Haga un resumen de los fenómenos observados; justificándolos a partir de la interpretación
de la expresión (1).
(4) A partir de las medidas realizadas, determine la anchura de cada una de las tres rendijas
que ha usado (rendijas A, B y C). Realice los cálculos de error correspondientes.
Determinación de la longitud de onda de un haz láser.
(5) Para poder determinar la longitud de onda del haz láser que está utilizando seleccionaremos
una de las redes de difracción y situaremos el haz láser sobre la plataforma de manera que
incida perpendicularmente sobre la red seleccionada.

137
Redes de difracción.
(6) Podremos ajustar la perpendicularidad de la incidencia, consiguiendo que la porción del
haz que refleja la red incida justamente en el orificio de donde emerge el haz.
(7) En esta situación, en la pantalla, el máximo central no se desviará si alejamos o acercamos
la pantalla. Se puede determinar para el primer orden (m = 1) u órdenes superiores
(m = 2, 3, . . .). Una vez calculada la longitud de onda para una red, usando la ecuación
(2), repetiremos la operación con el resto de redes de difracción de que dispone.
(8) Compare el valor de la longitud de onda para las distintas redes y determine finalmente su
valor medio. Presente los datos tabulados apropiadamente y realice los cálculos de error
pertinentes.
CUESTIONES
1. Conocida la constante de la red de difracción, ¿cómo calcular´ıa d (la distancia entre los
bordes homólogos de dos rendijas consecutivas)?
2. Imagine que no dispone de la información sobre la constante de la red. ¿Cómo podr´ıa
utilizar dos haces láser de distinta longitud de onda (pero también desconocida) para
determinar la constante de la red?.
3. A la vista de los resultados obtenidos en la determinación de la anchura de las tres rendijas,
discuta si el método utilizado, basado en la difracción, es preciso.
4. ¿En qué cambiar´ıa el formalismo y la ecuación (2) si la incidencia del haz láser sobre la
red no fuese perpendicular, sino oblicua?
5. Sobre un folio blanco realice una pequeña abertura circular y observe su figura de difracción.
Describa el fenómeno.
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