Practica2

Departamento de Matem´tica Aplicada
a
´
CALCULO COMPUTACIONAL.
Licenciatura en Qu´ımica (Curso 2005-06)
Matrices Prćtica 1
a

1. Introducciń
o
En esta prćtica vamos a profundizar un poco en las capacidades de Matlab para trabajar con matrices. Veremos
a
en primer lugar algunas operaciones y comandos b´sicos y no tan b´sicos que tiene el programa para trabajar con
a a
matrices.

2. Matrices en Matlab
Para introducir una matriz en Matlab se procede de la forma siguiente. Si por ejemplo tenemos la matriz

1 2 3 4
A=
5 6 7 8

se introduce como:
>>A=[1 2 3 4; 5 6 7 8]

A =
1 2 3 4
5 6 7 8
O bien,

>>A=[1,2,3,4;5,6,7,8];

Observemos que unas matrices especiales son los vectores, de esta forma, el vector fila v = (1.0, 1.1,1.2,1.3, . . . ,
1.9,2.0), se escribe en Matlab como
>>v=[1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2.0]

3. Operaciones y comandos para Matrices
Hemos visto c´mo se introducen las matrices en Matlab. Veamos un ejemplo para introducir algunos de los
o
comandos b´sicos:
a

Ejemplo 1 Operaciones Elementales
Definimos dos matrices:

>>A=[2 1;3 2]
A =
2 1
3 2

>>B=[3 4;-1 5]
B =
3 4
-1 5

• Para sumar las dos matrices:

1

>>A+B
ans =
5 5
2 7

• Para multiplicar una matriz por un escalar:

>>3*A
ans =
6 3
9 6

• Producto de matrices:

>>C=A*B
C =
5 13
7 22

Siempre que los tamaõs de las matrices sean los adecuados. Para saber cu´l es el tama˜ o de una matriz con
n a n
la que estamos trabajando,

>>size(A)
ans =
2 2

Que quiere decir, evidentemente, 2 filas y 2 columnas.
• Para calcular la matriz transpuesta:

>>A’
ans =
2 3
1 2

Ejercicio 1 Utilizando las matrices definidas en el ejemplo anterior, comprobar que (AB) t = B t At . (At es la
transpuesta de A).

Ejemplo 2 Operaciones t´rmino a t´rmino: .* ./ .^
e e
Matlab tiene tres operaciones, que las llamaremos operaciones con punto, que permiten
i) multiplicar matrices t´rmino a t´rmino: .*
e e
ii) dividir matrices t´rmino a t´rmino: ./
e e
ii) elevar los t´rminos de una matriz a una cierta potencia: .^
e
Si v es el vector definido en la Secciń 2, explorar qu´ hace la orden
o e
>>v.^2
Por otra parte, si A y B son las matrices definidas anteriormente, explorar qu´ hacen las ordenes
e ´
>>A.*B
>>A./B

Estas operaciones con punto son esenciales en el c´lculo num´rico y se utilizan para representar funciones
a e
num´ricamente.
e

Ejemplo 3 Matrices especiales con Matlab
• Para generar la matriz identidad cuadrada,

2

>>eye(3)
ans =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

¿Por qu´ habrń elegido el nombre eye?
e a
• Una matriz 3 × 2 llena de unos,
>>ones(3,2)
• Y si queremos que est´ llena de ceros,
e
>>zeros(3,2)
• Para generar una matriz con n´meros aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1,
u
>>rand(3,2)
Si se usa el comando randn los n´meros aleatorios son normalmente distribuidos, siguiendo la Normal Estandar
u
N (0, 1).

Ejemplo 4 Rango, Inversa y Determinante
• Definimos la matriz,

>>X=[2 3 4; 1 -1 0]
X =
2 3 4
1 -1 0

Para calcular su rango,

>>rank(X)
ans =
2

• Supongamos que tenemos definida la siguiente matriz,
H =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Para calcular su inversa,

>>inv(H)
ans =
0.1472 -0.1444 0.0639
-0.0611 0.0222 0.1056
-0.0194 0.1889 -0.1028

Y si queremos ver el resultado en forma racional,

>>format rational
>>inv(H)
ans =
53/360 -13/90 23/360
-11/180 1/45 19/180
-7/360 17/90 -37/360

(Para ver todas las opciones del comando format hacer help format)
• Para calcular el determinante de la matriz anterior H,

3

>>det(H)
ans =
-360

Ejercicio 2 Generar una matriz cualquiera, por ejemplo 25×25, y calcular su inversa, su rango y su determinante.
(¡No imprimirla!) ¿Qu´ ocurre con el determinante de la matriz y el de su inversa?
e

Ejemplo 5 Los comandos especiales rref y rrefmovie
• El comando rref produce la forma reducida escalonada por filas de una matriz usando la eliminaciń de o
Gauss-Jordan, es decir, haciendo ceros por debajo y por encima de la diagonal principal sin mover las columnas.
Por ejemplo, definimos la matriz,

>>A=[-1 2 -1;2 1 2;2 4 2]

A =

-1 2 -1
2 1 2
2 4 2

Ahora escribimos el comando aplicado a la matriz,

>>R=rref(A)

R =

1 0 1
0 1 0
0 0 0

• El comando rrefmovie produce exactamente el mismo resultado pero nos indica paso a paso c´mo se vao
obteniendo la matriz resultado e incluso qu´ filas o columnas son despreciables (por ser linealmente dependientes
e
de las otras), informaciń muy ultil si queremos calcular el rango de la matriz por ejemplo. Es decir, produce una
o ´
especie de pelćula (movie) de todo el proceso.
ı

>>rrefmovie(A)
Original matrix

A =

-1 2 -1
2 1 2
2 4 2

Press any key to continue. . .

Ahora pulsamos una tecla para continuar,
swap rows 1 and 2

A =

2 1 2
-1 2 -1
2 4 2


4

Nos indica que ha intercambiado la primera y segunda filas, pulsamos de nuevo una tecla,
pivot = A(1,1)

A =

1 1/2 1
-1 2 -1
2 4 2

Ahora nos indica que va a pivotear sobre el elemento (1,1) de la matriz,
eliminate in column 1

A =

1 1/2 1
-1 2 -1
2 4 2

Ahora nos est´ indicando que va a eliminar (hacer ceros) en la primera columna y as´ sucesivamente hasta obtener
a ı
el mismo resultado que nos di´ el comando rref.
o

Ejercicio 3 a) Calcular el rango de la matriz siguiente utilizando el comando rref o rrefmovie:
 
16 2 3 13
 5 11 10 8 
A=  9 7 6 12


4 14 15 1
b) Si una matriz H es cuadrada y no singular, es decir det(H) = 0, ¿cu´l ser´ la matriz R = rref(H)?
a a
c) ¿C´mo podemos utilizar estos comandos para calcular la inversa de una matriz invertible? Aplicarlo a la
o
matriz,
 
8 1 6
B = 3 5 7
4 9 2
Para verificar el resultado se puede calcular la inversa directamente con inv(B).

4. Matrices “dispersas”
Ejemplo 6 A veces usamos matrices con muchos ceros. MatLab tiene una forma de trabajar con ellas usando
menos bytes con el comando sparse. Ve´moslo con un ejemplo:
a
Introducimos una matriz:
>>A=[0 0 0 3;0 0 -1 2;3 0 0 1;0 0 0 -2];
- Para convertirla a matriz dispersa
>>s=sparse(A)
Si preguntamos ‘‘whos" vemos que s ocupa menos que A.
- Para recuperar la matriz inicial
>>full(s)
Para visualizar gr´ficamente la matriz:
a
>>spy(s)

5

o bien,
>>imagesc(s),colorbar

Se pueden generar directamente matrices “sparse”:
>>sparse(i,j,s,m,n)
donde: i,j son los sub´ındices de los elementos no nulos (i,j son vectores)
s es un vector con los valores de los elementos no nulos
(m,n) es el tama˜o de la matriz.
n
De modo que, en el ejemplo anterior, para generar s deber´ ıamos escribir:
>>i=[1 2 2 3 3 4];
>>j=[4 3 4 1 4 4];
>>s=[3 -1 2 3 1 -2];

>>m=4;n=4;

>>sparse(i,j,s,m,n)
Y obtenemos s. Para obtener la matriz inicial >>full(s)

Ejercicio 4 Utilizando el comando sparse, generar la matriz 20 × 20
 
0 1 0 0 ... 0 0
−1 0 1 0 ... 0 0
 
 0 −1 0 1 ... 0 0
 . .
 
 . .. .
 . . .
0 0 0 0 ... 0 1
0 0 0 0 ... −1 0

(Visualizarla para comprobar que est´ bien.)
a

6

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