Practico realizado con Latex
- 1. Ejercicio 1. Calcular los siguientes limites: 1. l´ım n→∞ n + 1 n n 2. l´ım n→∞ 2 + 2 n n2 3. l´ım n→∞ 2n+3n2 +4n3 n4−2n Ejercicio 2. Calcular los siguientes limites: i) l´ım x→1 f(x) si f(x) = x2 + 5 si x > 1 1 si x = 1√ x2 − 4x + 4 si x > 1 ii) l´ım x→1 g(x) si g(x) = x2 + 5 si x > 1 1 si x = 1√ x2 − 4x + 4 si x > 1 1 Continuidad de funciones Definici´on 1 Sea la funci´on f : A → R, A ⊆ R y sea x0 ∈ A, se dice que f es continua en x0, si para cada E(f(x0), ) dado, existe un entorno E(x0, δ) tal que si x ∈ E(x0, δ) entonces f(x) ∈ E(f(x0), ε) Teorema 2 Sea f : A → R, A ⊆ R una funci´on, entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes: 1. f es continua en a 2. f verifica: (a) f(a) ∈ A, es decir, existe f(a) (b) Existe l´ım x→a f(x) = L (c) f(a) = L 1
- 2. Ejercicio2: Escribir los enunciados de los siguientes ejercicios y resuelvalos: 1. Sea P(x) = x3 −3x5 +2x y Q(x) = x4 −5x3 −2x+3 efectuar las siguientes operaciones entre polinomios: (a) P(x)+Q(x) = x3 −3x5 +2x+x4 −5x3 −2x+3 = −4x3 −3x5 +x4 +3 (b) P(x)−Q(x) = x3 −3x5 +2x−x4 −5x3 −2x+3 = −4x3 −3x5 −x4 +3 (c) P(x)Q(x) = x3 − 3x5 + 2xx4 −5x3 −2x+3 : x3 − 3x5 + 2xx4 −5x3 −2x+3 2. Calcular los siguientes limites: (a) l´ım x→∞ n √ n3 + 3n : (n3 + 3n) 1 n (b) l´ım n→∞ n√ n3+3n 2n−3n observe la diferencia l´ım n→∞ n√ n3+3n 2n−3n3 = 0 (c) l´ım n→∞ (n3 + 3n)n = ∞ 3. Analizar la convergencia de las siguientes series: (a) ∞ n=1 n 3n−54 2n2 − 5n3 = ∞ n=1 1 2 3n−625 n2 − 5n3 1 n (b) ∞ n=1 n 3n−54 2n2 2 − 5n3 n = ∞ n=1 (1 4 (3n−625)2 n4 − 5n3 ) 1 n n (c) ∞ n=1 en +e−n 2 = ∞ (d) ∞ n=1 1√ sen2x−cos2x : ∞ n=1 1√ (sen2x−cos2x) Ejercicio3: Calcular los siguientes limites de funciones: 1. (a) l´ımx→0 sin ax x = a (b) l´ımx→0 sin 7x 3x : 7 3 (c) l´ımx→0 2x −3x x = ln 2 − ln 3 (d) l´ımx→0 x−1 cot x = 1 2
- 3. (e) l´ımx→0+ 1 x tan x = 1 Ejercicio 4: Graficar las siguientes c´onicas, teniendo en cuenta el tipo de coordenadas m´as adecuado. (a) x2 + y2 = 9 (b) x2 9 + y2 4 = 1 (c) x2 5 − y2 3 = 1 (d) −2x2 + 3x − 1 = 0 Observando las gr´aficas obtenidas indicar los elementos notables de cada una de ellas. Ejercicio 5: Graficar las siguientes cu´adricas, teniendo en cuenta el tipo de coordenadas m´as adecuado. 1. (a) x2 + y2 + z2 = 9 (b) x2 5 − y2 3 = 2z (c) −2x2 + 3x − z(cilindricas) Ejercicio 6: Graficar la funci´on f(x) = ex x2+1 , indicar la posible ecuaci´on de una as´ıntota oblicua observando el gr´afico. Ejercicio 7: Obtener las raices de las siguientes ecuaciones: 1. (a) 3x2 − 2x + 1 = 0, verificar el valor obtenido observando la gr´afica correspondiente. (b) x3 − 3x2 + 2x − 6 = 0 (c) x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = 0 Ejercicio 8: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones analitica y gr´aficamente: 1. (a) x − 3y = 2 2x − 6y = 4 (b) −2x + 3y = −1 x − 2y = 0 3