Presentacion matematica scarlet
- 2. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles}
- 3. OPERACIONES CON CONJUNTOS Nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento. Unión de conjuntos Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
- 4. INTERSECCION DE CONJUNTOS Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. DIFERENCIA DE CONJUTOS Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. OPERACIONES CON CONJUNTOS
- 5. DIFERENCIA DE SIMETRICA DE CONJUNTOS OPERACIONES CON CONJUNTOS COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. Ejemplo Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}.
- 6. NUMEROS REALES Son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ. Racionales e irracionales Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Algebraicos y trascendentes Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Ejemplos • A)3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000…. • b)½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000…. • c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333…. • d) 2 es un número real ya que 2=1,4142135623730950488016887242097…. • e)0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real. • f)1,01001000100001000001000000100000001…. • g)π también es real
- 7. Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que" La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b; La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables. Es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. La notación a < b significa a es menor que b. La notación a > b significa a es mayor que b. Ejemplo Resolver x DESIGUALDADES
- 8. 8 DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO El valor absoluto representa la distancia desde el origen o cero de una recta numérica hasta un número o un punto. Geométricamente los valores absolutos de |x| son números reales de x y es un valor geométrico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). El valor absoluto se define como: |x| = x si x ≥ 0 |x| = -x si x < 0 Valor absoluto de un numero real Para todos los números reales los valores absolutos “x” satisfacen las siguientes condiciones: |x| = x ; si x ≥ 0 |x| = -x ; si x < 0 En una recta numérica, las representaciones de los valores absolutos de un número real es la distancia entre número y el cero u origen. Por ejemplo, |3| es la distancia de tres unidades al cero.
- 9. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (>) La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4. Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a < - b . DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (<) La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b . | x – 7| < 3 x – 7 < 3 Y x – 7 > –3 –3 < x – 7 < 3 Sume 7 en cada expresión. -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7 4 < x <10 Ejemplo 1: Ejemplo 2:
- 10. PLANO NUMÉRICO PUNTO MEDIO Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Ejemplo Encuentre el punto medio entre (–2, 5) y (7, 7). simplifique DISTANCIA La distancia de un punto, P, a un plano, π, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos del plano. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano. EJEMPLO y Hallar la distancia del punto P(3, 1, −2) a los planos
- 11. 11 REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS CÓNICAS CIRCUNFERENCIA PARABOLA Es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.
- 12. 12 REPRESENTACION GRAFICA DE LAS CÓNICAS ELIPSE HIPERBOLA Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante