Conjuntos comp

CONJUNTOS En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse lógicamente como un término no definido .

Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto. Ejemplo: En la figura adjunta tienes un Conjunto de Personas

NOTACIÓN Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma. Ejemplo: El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así: L={ a; b; c; ...; x; y; z}

Ejemplo: A= {a;b;c;d;e} su cardinal #(A)= B= {x;x;x;y;y;z} su cardinal #(B)= En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo: El conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }. Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por #(Q). 5 3

RELACION DE PERTENENCIA Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10 } ... se lee 2 pertenece al conjunto M ... se lee 5 no pertenece al conjunto M

DEFINICION DE CONJUNTOS I) POR EXTENSIÓN Hay dos formas de definir un conjunto, por Extensión y por Comprensión Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplos: A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20. A = { 6;8;10;12;14;16;18 }

B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10. B = {-9;-7;-5;-3;-1 } II) POR COMPRENSIÓN Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto . Ejemplo: se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. P = { los números dígitos }

Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee “ P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “ Ejemplo: Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana. Por Extensión : D = { lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo } Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }

DIAGRAMAS DE VENN Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada. A M T 7 2 3 6 9 a e i o u (1;3) (7;6) (2;4) (5;8) 8 4 1 5

A = o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “ CONJUNTOS ESPECIALES CONJUNTO VACÍO Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: o { } Ejemplos: M = { números mayores que 9 y menores que 5 } P = { x / }

CONJUNTO UNITARIO Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: F = { x / 2x + 6 = 0 } G = CONJUNTO FINITO Es el conjunto con limitado número de elementos. Ejemplos: E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 } N = { x / x 2 = 4 } ;

CONJUNTO INFINITO Es el conjunto con ilimitado número de elementos. Ejemplos: R = { x / x < 6 } S = { x / x es un número par } CONJUNTO UNIVERSAL Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U Ejemplo: El universo o conjunto universal ; de todos los números es el conjunto de los NÚMEROS COMPLEJOS.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS INCLUSIÓN Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de B NOTACIÓN : Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B. REPRESENTACIÓN GRÁFICA : B A

PROPIEDADES: I ) Todo conjunto está incluido en si mismo. II ) El conjunto vacío se considera incluido en cualquier conjunto . III ) A está incluido en B ( ) equivale a decir que B incluye a A ( ) IV ) Si A no está incluido en B o A no es subconjunto de B significa que por lo menos un elemento de A no pertenece a B. ( ) V ) Simbólicamente:

IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Ejemplo: A = { x / x 2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 } Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3, es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=B Simbólicamente :

CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. REPRESENTACIÓN GRÁFICA : A B 1 7 5 3 9 2 4 8 6    Como puedes observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS

CONJUNTO POTENCIA El conjunto potencia de un conjunto A denotado por P(A) o Pot(A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Ejemplo: Sea A = { m;n;p } Los subconjuntos de A son {m}, {n}, {p}, {m;n}, {n;p}, {m;p}, {m;n;p}, Φ Entonces el conjunto potencia de A es: P(A) = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p}; Φ } ¿ CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTO POTENCIA DE A ?

Observa que el conjunto A tiene 3 elementos y su conjunto potencia osea P(A) tiene 8 elementos. PROPIEDAD: Dado un conjunto A cuyo número de elementos es n , entonces el número de elementos de su conjunto potencia es 2 n . Ejemplo: Dado el conjunto B ={x / x es un número par y 5< x <15 }. Determinar el cardinal de P(B). RESPUESTA Si 5<x<15 y es un número par entonces B= {6;8;10;12;14} Observa que el conjunto B tiene 5 elementos entonces: Card P(B)=n P(B)=2 5 =32

CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....} Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....} Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....} Números Irracionales ( I ) I={...; ;....} Números Reales ( R ) R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....} Números Complejos ( C ) C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}

CONJUNTOS NUMÉRICOS N Z Q I R C

CONJUNTOS NUMÉRICOS EJEMPLOS: Expresar por extensión los siguientes conjuntos: A ) B ) C ) D ) E ) P={3} Q={-3;3} F = { } RESPUESTAS

7 6 5 5 6 UNION DE CONJUNTOS A B El conjunto “A unión B” que se representa así es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos. Ejemplo: 9 8 7 3 1 4 2

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS Si A y B son no comparables Si A y B son comparables Si A y B son conjuntos disjuntos U U U A A A B B B AUB AUB

PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS 1. A U A = A 2. A U B = B U A 3. A U Φ = A 4. A U U = U 5. (A U B) U C =A U (B U C ) 6. Si A U B= Φ => A= Φ  B= Φ

7 6 5 5 6 A B El conjunto “A intersección B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B. Ejemplo: 9 8 7 3 1 4 2 INTERSECCION DE CONJUNTOS

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Si A y B son no comparables Si A y B son comparables Si A y B son conjuntos disjuntos U U U A A A B B A ∩ B A ∩ B=B B A ∩ B= Φ

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS 1. A ∩ A = A 2. A ∩ B = B ∩ A 3. A ∩ Φ = Φ 4. A ∩ U = A 5. (A ∩ B) ∩ C =A ∩ (B ∩ C) 6. A U (B ∩ C) =(A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) =(A ∩ B) U (A ∩ C) INDICE

7 6 5 5 6 A B El conjunto “A menos B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Ejemplo: 9 8 7 3 1 4 2 DIFERENCIA DE CONJUNTOS

7 6 5 5 6 A B El conjunto “B menos A” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A. Ejemplo: 9 8 7 3 1 4 2 ¿A-B=B-A?

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS Si A y B son no comparables Si A y B son comparables Si A y B son conjuntos disjuntos U U U A A A B B A - B A - B B A - B= A

7 6 5 5 6 A B El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A-B) o(B-A). Ejemplo: 9 8 7 3 1 4 2 DIFERENCIA SIMETRICA

También es correcto afirmar que: A B A-B B-A A B

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Dado un conjunto universal U y un conjunto A,se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A. Notación: A’ o A C Ejemplo: U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9} y Simbólicamente : A’ = U - A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 U A A A’={2;4;6,8} PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO 1. (A ’ ) ’ =A 2. A U A ’ =U 3. A ∩ A ’ = Φ 4. U ’ = Φ 5. Φ ’ = U

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