Probabilidad 1

Probabilidad y Estad´
ıstica
Preliminares

Dr. Hćtor Avil´s
e e

Ingenier´ en Tecnolog´ de la Informaciń
ıa ıas o
Universidad Politćnica de Victoria
e
Cd. Victoria Tamaulipas

Abril-Agosto 2012

Introducciń
o Conjuntos Experimentos aleatorios Tćnicas de conteo
e

Informaciń general
o

Objetivos

Programa

Bibliograf´
ıa

Pol´
ıticas del curso

H. Avil´s
e UPV
2/81

Introducciń
e

Contenido

Introducciń
o

Conjuntos

Experimentos aleatorios

Tćnicas de conteo
e

H. Avil´s
e UPV
3/81

Introducciń
e

Contenido

Introducciń
o

Conjuntos


Tćnicas de conteo
e

H. Avil´s
e UPV
4/81

Introducci´n
e

“La incertidumbre es la unica cosa cierta que existe, y aprender
´
c´mo vivir con inseguridad es la unica seguridad”
o ´

John Allen Paulos 1945 -.
Escritor y profesor de matem´ticas.
a

H. Avil´s
e UPV
5/81

Introducciń
e

Introducciń - ¿Qu´ es la probabilidad?
o e

Segń Merriam-Webster :
u

H. Avil´s
e UPV
6/81

Introducci´n
e

o e

u
1 La calidad o estado de ser probable

H. Avil´s
e UPV
6/81

Introducci´n
e

o e

u
2 Algo (como un evento o circunstancia) que es probable

H. Avil´s
e UPV
6/81

Introducci´n
e

o e

u
3 La raz´n del n´mero de salidas (o resultados) que producen un
o u
evento dado con respecto al n´mero total de salidas posibles
u

H. Avil´s
e UPV
6/81

Introducci´n
e

o e

u
o u
u
4 La posibilidad de que un evento ocurra

H. Avil´s
e UPV
6/81

Introducci´n
e

o e

u
o u
u
5 Una rama de las matem´ticas relacionadas al estudio de
a
probabilidades

H. Avil´s
e UPV
6/81

Introducciń
e

o e

u
o u
u
5 Una rama de las matem´ticas relacionadas al estudio de
a
probabilidades
6 Una relaciń l´gica entre sentencias tal que la evidencia que
o o
confirma a una tambiń confirma a la otra en cierto grado
e

H. Avil´s
e UPV
6/81

Introducciń
e

Introducciń
o

Diariamente debemos tomar decisiones o realizar juicios,
muchas veces con datos e informaciń:
o

H. Avil´s
e UPV
7/81

Introducci´n
e

Introducci´n
o

o
incompleta,

H. Avil´s
e UPV
7/81

Introducci´n
e

Introducci´n
o

o
incompleta,
imprecisa o distorsionada, o

H. Avil´s
e UPV
7/81

Introducci´n
e

Introducci´n
o

o
incompleta,
contradictoria que viene de nuestro conocimiento previo o de
fuentes externas y

H. Avil´s
e UPV
7/81

Introducci´n
e

Introducci´n
o

o
incompleta,
fuentes externas y
con representaciones de datos no adecuadas o limitadas en
expresividad

H. Avil´s
e UPV
7/81

Introducciń
e

Introducciń
o

o
incompleta,
fuentes externas y
con representaciones de datos no adecuadas o limitadas en
expresividad
Lo anterior genera incertidumbre, (i.e., duda, falta de
seguridad o certidumbre) acerca de alguna situaciń de inter´s
o e

H. Avil´s
e UPV
7/81

Introducci´n
e

Introducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria
o

H. Avil´s
e UPV
8/81

Introducci´n
e

o

Si llover´ o no en un d´ nublado
a ıa

H. Avil´s
e UPV
8/81

Introducci´n
e

o

a ıa
El marcador ﬁnal de un partido de futbol

H. Avil´s
e UPV
8/81

Introducci´n
e

o

a ıa
Las acciones del conductor del coche de a lado

H. Avil´s
e UPV
8/81

Introducci´n
e

o

a ıa
La causa de una enfermedad

H. Avil´s
e UPV
8/81

Introducci´n
e

o

a ıa
La predicci´n de la temperatura del ambiente para el siguiente
o
mes

H. Avil´s
e UPV
8/81

Introducci´n
e

o

a ıa
o
mes
Si un dispositivo creado en una l´
ınea de producci´n
o
ser´ defectuoso
a

H. Avil´s
e UPV
8/81

Introducci´n
e

o

a ıa
o
mes
o
ser´ defectuoso
a
El comportamiento de la econom´ de un pa´
ıa ıs

H. Avil´s
e UPV
8/81

Introducci´n
e

o

a ıa
o
mes
o
ser´ defectuoso
a
ıa ıs
El resultado de un juego de azar (lanzar dados, una moneda o
la ruleta)

H. Avil´s
e UPV
8/81

Introducci´n
e

o

a ıa
o
mes
o
ser´ defectuoso
a
ıa ıs
El resultado de un juego de azar (lanzar dados, una moneda o
la ruleta)
...
H. Avil´s
e UPV
8/81

Introducci´n
e

Introducci´n - ¿Para qu´ nos sirve la probabilidad?
o e

H. Avil´s
e UPV
9/81

Introducciń
e

Introducciń - ¿Para qu´ nos sirve la probabilidad?
o e

La teor´ de probabilidad nos ofrece un marco de trabajo para
ıa
hacer inferencias consistentes (no contradictorias), de acuerdo al
sentido comń y mediante n´meros reales que miden la posibilidad
u u
de que eventos inciertos ocurran

H. Avil´s
e UPV
9/81

Introducciń
e

Introducciń - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en
o
computaciń
o

H. Avil´s
e UPV
10/81

Introducci´n
e

o
computaci´n
o
¿Es necesario ayudar al usuario en este momento? (e.g.,
asistente de Microsoft)

H. Avil´s
e UPV
10/81

Introducci´n
e

o
computaci´n
o
¿Qu´ nombres de persona son m´s probables en una base de
e a
datos?

H. Avil´s
e UPV
10/81

Introducci´n
e

o
computaci´n
o
e a
datos?
¿Cu´l es la probabilidad de que un sistema falle en un cierto
a
periodo de tiempo?

H. Avil´s
e UPV
10/81

Introducciń
e

o
computaciń
o
e a
datos?
a
periodo de tiempo?
¿Cu´l es la probabilidad de saturaciń de una red de
a o
computadoras a una hora espec´ ıfica?

H. Avil´s
e UPV
10/81

Introducciń
e

o
computaciń
o
e a
datos?
a
periodo de tiempo?
a o
En interacciń hombre-m´quina (e.g., identificaciń de voz y
o a o
rostro del usuario, preferencias y comportamientos, patrones
de b´squeda en la Web, etc.)
u

H. Avil´s
e UPV
10/81

Introducciń
e

o
computaciń
o
e a
datos?
a
periodo de tiempo?
a o
En interacciń hombre-m´quina (e.g., identificaciń de voz y
o a o
rostro del usuario, preferencias y comportamientos, patrones
de b´squeda en la Web, etc.)
u
En inteligencia artificial para reconocimiento de patrones,
visiń computacional, navegaciń rob´tica, aprendizaje
o o o
H. Avil´s
e UPV
10/81

Introducci´n
e

Ejemplo de un sistema inteligente con m´ltiples fuentes de
u
incertidumbre

H. Avil´s
e UPV
11/81

Introducciń
e

Contribuciones importantes
Nociones de probabilidad elemental en la Antigua India y
Egipto
Blaise Pascal y Pierre de Fermat formulan sus principios en el
siglo XVII para juegos de azar
Jakob Bernoulli y Abraham de Moivre en el siglo XVIII
resuelven problemas m´s complejos
a
En el siglo XIX, Friedrich Gauss y Pierre Laplace extienden su
aplicaciń en juegos de azar a diferentes problemas cient´
o ıficos
A. Kolmogorov propone una base axiom´tica (basada en
a
teor´ de conjuntos) para su teor´ en el siglo XX
ıa ıa
A. Markov realiza contribuciones al estudio de procesos
estoc´sticos como el movimiento Browniano (movimiento
a
aleatorio de una part´
ıcula en un fluido)
H. Avil´s
e UPV
12/81

Introducciń
e

Contenido

x Introducciń
o

Conjuntos


Tćnicas de conteo
e

H. Avil´s
e UPV
13/81

Introducci´n
e

“Un conjunto es un Muchos que permite a si mismo ser visto como
un Uno”

Georg Cantor 1845 -1918.
Citado en Inﬁnity and the Mind (1995) por Rudy Rucker.

H. Avil´s
e UPV
14/81

Introducci´n
e

Conjuntos

La teor´ de conjuntos es relevante por diferentes razones:
ıa

H. Avil´s
e UPV
15/81

Introducci´n
e

Conjuntos

ıa
La necesidad de utilizar conjuntos y hacer operaciones con
ellos est´ presente en la vida diaria y pr´cticamente en todas
a a
las ramas de las matem´ticas
a

H. Avil´s
e UPV
15/81

Introducci´n
e

Conjuntos

ıa
a a
a
Nos introduce a la aplicaci´n de la l´gica y de s´
o o ımbolos
matem´ticos simples
a

H. Avil´s
e UPV
15/81

Introducci´n
e

Conjuntos

ıa
a a
a
o o ımbolos
a
Ayuda a descomponer los problemas (i.e., verlos como un
sistema con varios componentes)

H. Avil´s
e UPV
15/81

Introducci´n
e

Conjuntos

ıa
a a
a
o o ımbolos
a
Sus axiomas y reglas que describen c´mo se comportan
o
diversas teor´ matem´ticas de una manera intuitiva
ıas a

H. Avil´s
e UPV
15/81

Introducciń
e

Conjuntos

ıa
a a
a
o o ımbolos
a
Sus axiomas y reglas que describen c´mo se comportan
o
diversas teor´ matem´ticas de una manera intuitiva
ıas a
En nuestro caso, nos permitir´ calcular probabilidades sobre
a
conjuntos (las operaciones en probabilidad estń especificadas
a
y se harń de hecho sobre conjuntos bien definidos)
a

H. Avil´s
e UPV
15/81

Introducciń
e

Conjuntos - Definiciń
o

Un conjunto es una colecciń de objetos llamados elementos o
o
miembros del conjunto

H. Avil´s
e UPV
16/81

Introducci´n
e

o

o
Frecuentemente se identiﬁcan por letras may´sculas, A, B, C ,
u
etc.

H. Avil´s
e UPV
16/81

Introducci´n
e

o

o
u
etc.
Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a ∈ A, en
caso contrario, a ∈ A
/

H. Avil´s
e UPV
16/81

Introducciń
e

o

o
u
etc.
/
La especificaciń de los elementos de un conjunto se puede
o
hacer de dos maneras:
Por extensiń, e.g., A = {5, 3, 9, 10}
o

H. Avil´s
e UPV
16/81

Introducciń
e

o

o
u
etc.
/
La especificaciń de los elementos de un conjunto se puede
o
hacer de dos maneras:
Por extensiń, e.g., A = {5, 3, 9, 10}
o
Por definiciń, e.g., B = {x|x es una vocal} donde ‘|’ se lee
o
“tal que”. Opcionalmente se puede utilizar ‘:’ en vez de ‘|’

H. Avil´s
e UPV
16/81

Introducciń
e

Conjuntos - Conjunto finito

Conjunto finito:
Sus elementos se pueden poner en correspondencia biyectiva
con el conjunto {1, 2, 3, 4, ..., n} donde n ∈ N

H. Avil´s
e UPV
17/81

Introducciń
e


Conjunto finito:
En t´rminos prćticos, tiene un n´mero finito de elementos,
e a u
i.e., no continuan indefinidamente y podemos mencionar su
ultimo elemento
´

H. Avil´s
e UPV
17/81

Introducciń
e


Conjunto finito:
En t´rminos prćticos, tiene un n´mero finito de elementos,
e a u
i.e., no continuan indefinidamente y podemos mencionar su
ultimo elemento
´
El n´mero de elementos n se denomina cardinalidad. La
u
cardinalidad de un conjunto S se denota |S|, por ejemplo, para
S = {1, 2, 3, 5, 80, 90, 91}, |S| = 7.

H. Avil´s
e UPV
17/81

Introducciń
e

Conjuntos - Conjunto infinito

Conjunto infinito:
No es posible establecer una correspondencia uno a uno con N

H. Avil´s
e UPV
18/81

Introducciń
e


Conjunto infinito:
Su n´mero de elementos no se puede definir, (i.e., no admite
u
cardinalidad)

H. Avil´s
e UPV
18/81

Introducciń
e


Conjunto infinito:
Su n´mero de elementos no se puede definir, (i.e., no admite
u
cardinalidad)
Ejemplos: N = {1, 2, 3, 4, ...}, R, el n´mero de decimales en π
u

H. Avil´s
e UPV
18/81

Introducci´n
e

Conjuntos - Ejemplos

X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}

H. Avil´s
e UPV
19/81

Introducci´n
e


X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}, el conjunto de n´meros reales
u
entre 0 y 1 inclusive
C = {a + bi|

H. Avil´s
e UPV
19/81

Introducci´n
e


u
C = {a + bi|a, b ∈ R}, el conjunto de n´meros complejos
u

H. Avil´s
e UPV
19/81

Introducci´n
e


u
u
B = {(−3, 3), (3, 3), (3, −3)} ´ alternativamente
o
B = {(a, b)|a, b ∈ R, a × b = 9 ∨ a × b = −9}, el par ordenado
de todos los n´meros cuya multiplcaci´n es igual a 9 ´ -9
u o o

H. Avil´s
e UPV
19/81

Introducci´n
e


u
u
o
u o o
(a, b] =]a, b] = {x|x ∈ R ∨ a < x ≤ b}

H. Avil´s
e UPV
19/81

Introducci´n
e


u
u
o
u o o
(a, b] =]a, b] = {x|x ∈ R ∨ a < x ≤ b}
El conjunto de los d´ de la semana
ıas

H. Avil´s
e UPV
19/81

Introducci´n
e

Conjuntos - Conjunto Universo

El conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos
dentro de una discusi´n o dominio particular
o

H. Avil´s
e UPV
20/81

Introducci´n
e


o
U tambi´n es conocido como universo del discurso, universo o
e
espacio universal

H. Avil´s
e UPV
20/81

Introducci´n
e


o
U tambi´n es conocido como universo del discurso, universo o
e
espacio universal
Los elementos de un conjunto universal se denominan puntos
del espacio

H. Avil´s
e UPV
20/81

Introducci´n
e

Conjuntos - Subconjuntos

Si cada elemento de un conjunto A es tambi´n un elemento
e
de un conjunto B, A es un subconjunto de, o est´ contenido
a
en B, y se denota como A ⊂ B ´ B ⊃ A
o

H. Avil´s
e UPV
21/81

Introducci´n
e


e
a
o
Otra manera de parafrasear A ⊂ B es que A no tiene
elementos que no se encuentran en B

H. Avil´s
e UPV
21/81

Introducci´n
e


e
a
o
Si A ⊂ B y B ⊂ A entonces A = B

H. Avil´s
e UPV
21/81

Introducci´n
e


e
a
o
Si A ⊂ B y B ⊂ A entonces A = B
Si A y B no son iguales, se escribe A = B

H. Avil´s
e UPV
21/81

Introducci´n
e


Si A ⊂ B pero A = B entonces A es un subconjunto propio de
B

H. Avil´s
e UPV
22/81

Introducci´n
e


B
Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C

H. Avil´s
e UPV
22/81

Introducci´n
e


B
Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C
Para un conjunto universal U determinado, si A est´ deﬁnido
a
en el contexto de U, A ⊂ U

H. Avil´s
e UPV
22/81

Introducci´n
e

Conjuntos - Conjunto Vac´
ıo

El conjunto vac´ ( ∅, u O con barra) es un conjunto que no
ıo
tiene elementos, (i.e., |∅| = 0)

H. Avil´s
e UPV
23/81

Introducci´n
e

Conjuntos - Conjunto Vac´
ıo

El conjunto vac´ ( ∅, u O con barra) es un conjunto que no
ıo
tiene elementos, (i.e., |∅| = 0)
Para cualquier conjunto A, ∅ ⊂ A (ya que ∅ no tiene
elementos que no est´n en A)
a

H. Avil´s
e UPV
23/81

Introducci´n
e

Conjuntos - Operaciones entre conjuntos

El producto cartesiano A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}, el
conjunto de todos los pares ordenados formados por los
elementos ambos conjuntos y su cardinalidad es
|A × B| = |A| × |B|

H. Avil´s
e UPV
24/81

Introducci´n
e


|A × B| = |A| × |B|
A − B o diferencia entre A y B son los elementos que est´n
a
en A pero no en B

H. Avil´s
e UPV
24/81

Introducciń
e


|A × B| = |A| × |B|
A − B o diferencia entre A y B son los elementos que estń
a
en A pero no en B
El conjunto potencia S de un conjunto finito A es el conjunto
de todos los subconjuntos de A (incluyendo ∅ y a s´ mismo).
ı
|S| = 2n donde n = |A|

H. Avil´s
e UPV
24/81

Introducci´n
e


El complemento de A o A con respecto a U es el conjunto de
todos los elementos de U, que no pertenecen a A,
A = {x|x ∈ U ∧ x ∈ A} = U − A
/

H. Avil´s
e UPV
25/81

Introducciń
e


A = {x|x ∈ U ∧ x ∈ A} = U − A
/
La intersecciń de dos conjuntos A y B, denotada como
o
A ∩ B se forma con los elementos que pertenecen a ambos
conjuntos simultńeamente, A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
a

H. Avil´s
e UPV
25/81

Introducci´n
e


A = {x|x ∈ U ∧ x ∈ A} = U − A
/
o
a
Si A ∩ B = ∅, A y B no tienen elementos en com´n y se les
u
denomina conjuntos disjuntos

H. Avil´s
e UPV
25/81

Introducciń
e


A = {x|x ∈ U ∧ x ∈ A} = U − A
/
o
a
Si A ∩ B = ∅, A y B no tienen elementos en comń y se les
u
denomina conjuntos disjuntos
La uniń de dos conjuntos A y B, A ∪ B est´ dada por los
o a
elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos,
A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}

H. Avil´s
e UPV
25/81

Introducciń
e

Conjuntos - Precedencia de operaciones

Se adopta el siguiente orden de precedencia para operaciones
de 3 o m´s conjuntos:
a
1 ()
2 complemento
3 intersecciń
o
4 uniń
o
Sin embargo, para describir las operaciones es una buena idea
usar parńtesis
e

H. Avil´s
e UPV
26/81

Introducci´n
e

Conjuntos - Diagramas de Venn
Diagrama de Venn para
dos conjuntos

H. Avil´s
e UPV
27/81

Introducci´n
e

dos conjuntos
A∩B

H. Avil´s
e UPV
27/81

Introducci´n
e

dos conjuntos
A∩B
A

H. Avil´s
e UPV
27/81

Introducci´n
e

dos conjuntos
A∩B
A
A∪B

H. Avil´s
e UPV
27/81

Introducci´n
e

dos conjuntos
A∩B
A
A∪B
A−B

H. Avil´s
e UPV
27/81

Introducci´n
e

dos conjuntos
A∩B
A
A∪B
A−B
A∩B =∅

H. Avil´s
e UPV
27/81

Introducci´n
e


tres conjuntos

H. Avil´s
e UPV
28/81

Introducci´n
e


tres conjuntos
A∪B

H. Avil´s
e UPV
28/81

Introducci´n
e


tres conjuntos
A∪B
A∪B ∪C

H. Avil´s
e UPV
28/81

Introducci´n
e


tres conjuntos
A∪B
A∪B ∪C
A∩B

H. Avil´s
e UPV
28/81

Introducci´n
e


tres conjuntos
A∪B
A∪B ∪C
A∩B
A∩B ∩C

H. Avil´s
e UPV
28/81

Introducci´n
e

Conjuntos - Ejemplo

Dibujar mediante
Diagramas de Venn
(A ∪ B) ∩ C

H. Avil´s
e UPV
29/81

Introducci´n
e

Conjuntos - Ejemplo

Dibujar mediante
Diagramas de Venn
(A ∪ B) ∩ C
A∪B

H. Avil´s
e UPV
29/81

Introducci´n
e

Conjuntos - Ejemplo

Dibujar mediante
Diagramas de Venn
(A ∪ B) ∩ C
A∪B
C

H. Avil´s
e UPV
29/81

Introducci´n
e

Conjuntos - Ejemplo

Dibujar mediante
Diagramas de Venn
(A ∪ B) ∩ C
A∪B
C
(A ∪ B) ∩ C

H. Avil´s
e UPV
29/81

Introducci´n
e

Conjuntos - Hechos importantes

Si A y B son conjuntos disjuntos |A ∪ B| = |A| + |B|

H. Avil´s
e UPV
30/81

Introducci´n
e


Si no son disjuntos A y B entonces
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

H. Avil´s
e UPV
30/81

Introducci´n
e


|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Para 3 conjuntos
|A∪B∪C | = |A|+|B|+|C |−|A∩B|−|B∩C |−|C ∩A|+|A∩B∩C |

H. Avil´s
e UPV
30/81

Introducci´n
e


|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Para 3 conjuntos
|A∪B∪C | = |A|+|B|+|C |−|A∩B|−|B∩C |−|C ∩A|+|A∩B∩C |
Para n conjuntos A1 , ...An
n
|A1 ∪ ... ∪ An | = |Ai | − |Ai ∩ Aj |+
i=1 1≤i<j≤n

|Ai ∩ Aj ∩ Ak | + ...(−1)n−1 |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An |
1≤i<j<k≤n

H. Avil´s
e UPV
30/81

Introducci´n
e


A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A Leyes conmutativas
A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C );
A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) Leyes asociativas
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) Primera ley distributiva
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) Segunda ley distributiva
A−B =A∩B
A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅
A ∪ U = U, A ∩ U = A

H. Avil´s
e UPV
31/81

Introducci´n
e


Leyes de Morgan:
(A ∪ B) = A ∩ B Primera ley de Morgan
(A ∩ B) = A ∪ B Segunda ley de Morgan
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B )

H. Avil´s
e UPV
32/81

Introducciń
e

Ejercicios

Describa por extensiń el conjunto de los meses del aõ
o n
¿A qu´ subconjunto de N pertenece el conjunto
e
{x|x = 2n − 1 ∧ n ∈ N}?
Si A = {2, 4, 6}, B = {b|b = 2n − 1 ∧ n ∈ N},
C = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, D = {2, 3, 5, 7}, E = {c, a, s, a}
Indique si A ∩ B = ∅. Si no, describa el conjunto
C ∩D ∩A
D ∪A∩B
B −C
Use diagramas de Venn para probar que
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B )

H. Avil´s
e UPV
33/81

Introducci´n
e

Ejercicios

Si B = {x|x = 2n − 1 ∧ n ∈ Z}, calcule B − A
Obtenga el conjunto potencia de A
Calcule el producto cartesiano de A y D
Indique si el conjunto E es igual a a) {s, a, c, a, s}, b)
{s, a, c, {a, c}} y c) {s, a, c, (a, c)}
Calcule a) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) y b) (A ∪ D) ∩ (A ∪ D)
Calcule a) |A ∪ B| y b) |C ∪ D|
Graﬁque mediante Diagramas de Venn A ∪ B ∩ C

H. Avil´s
e UPV
34/81

Introducciń
e

Ejercicios

Si un conjunto |A| tiene 5 elementos y un conjunto B tiene 7
elementos, 2 de ellos tambiń en A. ¿Cuńtos elementos hay
e a
en total entre ambos conjuntos?
Si A = {a, b, c, d, e}, y B = {f , g , h, i, j}, ¿Cu´l es la
a
cardinalidad del conjunto A ∪ B?
Si C = {1, 2, 3, 4, 5}, y D = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ¿Cu´l es la
a
cardinalidad de C ∪ D?
De un grupo de niõs, 46 juegan la matatena, 50 juegan con
n
el trompo y 40 canicas; 32 alumnos juegan trompo y
matatena, 26 matatena y canicas, 28 trompo y canicas y 18
practican los 3 pasatiempos. Si todos los alumnos practican al
menos uno de estos juegos, ¿Cuńtos niõs hay en total?
a n

H. Avil´s
e UPV
35/81

Introducciń
e

Tarea

En un aviń viajan 120 personas, de las cuales 2/3 no beben,
o
4/5 no fuman, y 72 no fuman ni beben. ¿Cuńtas personas
a
fuman y beben o no fuman ni beben?

H. Avil´s
e UPV
36/81

Introducciń
e

Contenido

x Introducciń
o

x Conjuntos


Tćnicas de conteo
e

H. Avil´s
e UPV
37/81

Introducci´n
e

“Son vanas y est´n plagadas de errores las ciencias que no han
a
nacido del experimento, madre de toda certidumbre”

Leonardo Da Vinci 1452 - 1519

H. Avil´s
e UPV
38/81

Introducci´n
e


Un experimento es una acci´n para descubrir o comprobar el
o
comportamiento de un fen´meno (e.g., si se calienta agua,
o
´sta ebullir´ a 100◦ C)
e a

H. Avil´s
e UPV
39/81

Introducci´n
e


o
o
e a
Muchas veces un experimento realizado varias veces a´n bajo
u
circunstancias aproximadamente iguales no tendr´ el mismo
a
resultado (e.g., el n´mero obtenido al tirar un dado)
u

H. Avil´s
e UPV
39/81

Introducci´n
e


o
o
e a
u
a
u
Un experimento aleatorio es un experimento cuyo resultado no
puede ser predicho

H. Avil´s
e UPV
39/81

Introducci´n
e


o
o
e a
u
a
u
Un experimento aleatorio es un experimento cuyo resultado no
puede ser predicho
Una salida es un resultado elemental de una unica “corrida”
´
del experimento aleatorio (en el ejemplo anterior, los n´meros
u
del 1 al 6)

H. Avil´s
e UPV
39/81

Introducci´n
e


El espacio muestral L es el conjunto de todas las salidas
posibles de un experimento aleatorio (para un dado,
{1, 2, 3, 4, 5, 6})

H. Avil´s
e UPV
40/81

Introducci´n
e


{1, 2, 3, 4, 5, 6})
Sin el espacio muestral de un experimento aleatorio no es
posible asignar probabilidades

H. Avil´s
e UPV
40/81

Introducci´n
e


{1, 2, 3, 4, 5, 6})
Algunos experimentos aleatorios aceptan m´s de un espacio
a
muestral (e.g. al elegir una carta en una baraja, el espacio
muestral que considera s´lo el palo o uno que toma el cuenta
o
el valor de la carta)

H. Avil´s
e UPV
40/81

Introducci´n
e


{1, 2, 3, 4, 5, 6})
Algunos experimentos aleatorios aceptan m´s de un espacio
a
muestral (e.g. al elegir una carta en una baraja, el espacio
muestral que considera s´lo el palo o uno que toma el cuenta
o
el valor de la carta)
No obstante, una descripci´n completa combinar´ los n
o ıa
espacios muestrales posibles como una n-tupla formado por su
producto cartesiano

H. Avil´s
e UPV
40/81

Introducci´n
e

Experimentos aleatorios - Ejemplo

Sea el experimento aleatorio “Lanzar una moneda dos veces
consecutivas”

H. Avil´s
e UPV
41/81

Introducci´n
e


consecutivas”
Un espacio muestral L1 podr´ considerar s´lo los resultados
ıa o
del primer lanzamiento {cara, cruz}

H. Avil´s
e UPV
41/81

Introducci´n
e


consecutivas”
ıa o
Otro espacio muestral L2 puede incluir s´lo los resultados del
o
segundo lanzamiento {cara, cruz}

H. Avil´s
e UPV
41/81

Introducci´n
e


consecutivas”
ıa o
Otro espacio muestral L2 puede incluir s´lo los resultados del
o
segundo lanzamiento {cara, cruz}
La descripci´n completa del espacio muestral
o
ser´ L = L1 × L2 =
a
{(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cruz), (cruz, cara)}

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e UPV
41/81

Introducci´n
e


Espacio muestral del experimento aleatorio “lanzar una moneda
dos veces”

H. Avil´s
e UPV
42/81

Introducci´n
e


Un evento o suceso est´ conformado por una o m´s salidas de
a a
un experimento aleatorio (i.e., un subconjunto de L)

H. Avil´s
e UPV
43/81

Introducciń
e


a a
Un espacio muestral puede ser discreto (finito), o continuo
(infinito)

H. Avil´s
e UPV
43/81

Introducci´n
e


a a
(inﬁnito)
Un suceso o evento seguro es uno que va a ocurrir (e.g., que
al lanzar una moneda caiga cara o cruz)

H. Avil´s
e UPV
43/81

Introducci´n
e


a a
(inﬁnito)
Un suceso que no puede ocurrir es un suceso imposible y es
representado como ∅, (e.g., al lanzar una moneda pudiera caer
“de canto” y no habr´ resultado)
ıa

H. Avil´s
e UPV
43/81

Introducciń
e


a a
(infinito)
Un suceso que no puede ocurrir es un suceso imposible y es
representado como ∅, (e.g., al lanzar una moneda pudiera caer
“de canto” y no habr´ resultado)
ıa
Aunque no imposible en la realidad, idealizar ayuda a
simplificar la teor´ y no afectan su aplicaciń
ıa o

H. Avil´s
e UPV
43/81

Introducci´n
e


El evento “que caiga s´lo una cara” en el experimento aleatorio de
o
lanzar una moneda dos veces

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e UPV
44/81

Introducci´n
e


El evento “que los resultados sean iguales”

H. Avil´s
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Introducci´n
e

Las salidas “individuales” de un experimento pueden
combinarse usando operaciones de conjuntos

El evento A =“que los resultados sean iguales” y el evento B =
“que caiga s´lo una cara” (A ∪ B). Este evento es “seguro” pues
o
alguno de estos eventos simples va a ocurrir
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46/81

Introducci´n
e

Experimentos aleatorios - Ejemplos

Lanzar un dado
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
El suceso A que la puntuaci´n sea mayor o igual a 5 es {5, 6}
o
El suceso B que el n´mero resultante sea par es {2, 4, 6}
u
El suceso A ∩ B = {6}
El suceso A ∪ B = {2, 4, 5, 6}

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47/81

Introducci´n
e


Meter la mano en una bolsa con 3 bolas blancas, 3 verdes y 3
amarillas numeradas por color del 1 al 3 y tomar una de ellas
L = {blanca1 , blanca2 , blanca3 ,
verde1 , verde2 , verde3 , amarilla1 , amarilla2 , amarilla3 }
El suceso A, el n´mero de la bola es mayor a 2,
u
{blanca3 , verde3 , amarilla3 }
El suceso B, que la bola sea amarilla
{amarilla1 , amarilla2 , amarilla3 }
El suceso A ∩ B {amarilla3 }

H. Avil´s
e UPV
48/81

Introducci´n
e


Generar un n´mero real al azar del 0 al 1 inclusive
u
L = {x|x ∈ R ∧ 0 ≤ x ≤ 1}
El suceso A, el n´mero es mayor que 0.5, (0,5, 1]
u
El suceso B, que se obtenga 12.4,

H. Avil´s
e UPV
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Introducci´n
e


Generar un n´mero real al azar del 0 al 1 inclusive
u
L = {x|x ∈ R ∧ 0 ≤ x ≤ 1}
El suceso A, el n´mero es mayor que 0.5, (0,5, 1]
u
El suceso B, que se obtenga 12.4,es ∅

H. Avil´s
e UPV
49/81

Introducci´n
e


Elegir o muestrear aleatoriamente 100 personas para saber
cu´ntas fuman
a
L = {x|x ∈ N ∧ 0 ≤ x ≤ 100}
El suceso A que la mayor´ fume,
ıa

H. Avil´s
e UPV
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Introducci´n
e


Elegir o muestrear aleatoriamente 100 personas para saber
cu´ntas fuman
a
L = {x|x ∈ N ∧ 0 ≤ x ≤ 100}
El suceso A que la mayor´ fume, {x|x ∈ N ∧ 51 ≤ x ≤ 100}
ıa

H. Avil´s
e UPV
50/81

Introducciń
e

Experimentos aleatorios - Ejercicios

Defina por extensiń, definiciń y gr´ficamente el espacio
o o a
muestral del experimento aleatorio “ Lanzar dos dados”
El clima (soleado ´ lluvioso) durante 5 d´ seguidos
o ıas
De una baraja de 52 cartas describa el espacio muestral si no
se considera el palo de la carta
Hay 3 pelotitas a, b y c en una bolsa. Se le pide a una
persona que saque al menos una. Liste todas las posibles
selecciones que la persona puede hacer
Seleccione un experimento que considere aleatorio y descr´
ıbalo
con sus propias palabras

H. Avil´s
e UPV
51/81

Introducciń
e

Contenido

x Introducciń
o

x Conjuntos

x Experimentos aleatorios

Tćnicas de conteo
e

H. Avil´s
e UPV
52/81

Introducci´n
e

T´cnicas de conteo
e

En probabilidad es importante conocer el n´mero de puntos
u
que conforman un espacio muestral (en particular, cuando L
es discreto)

H. Avil´s
e UPV
53/81

Introducciń
e

Tćnicas de conteo
e

u
es discreto)
En ocasiones es relativamente sencillo identificar este n´mero
u
por listado de los elementos

H. Avil´s
e UPV
53/81

Introducciń
e

Tćnicas de conteo
e

u
es discreto)
u
En otros casos, listar puede ser tedioso o poco prćtico (e.g.,
a
lanzar una moneda 100 veces)

H. Avil´s
e UPV
53/81

Introducciń
e

Tćnicas de conteo
e

u
es discreto)
u
En otros casos, listar puede ser tedioso o poco prćtico (e.g.,
a
lanzar una moneda 100 veces)
Afortunadamente, existen tćnicas de conteo utiles para
e ´
calcular la cardinalidad de los espacios muestrales

H. Avil´s
e UPV
53/81

Introducciń
e

Tćnicas de conteo - Principio b´sico de multiplicaciń
e a o

Si una secuencia de r decisiones o selecciones sucesivas
pueden hacerse cada una de nk maneras a cada paso, entonces
se tiene un total de n1 × n2 × n3 × ... × nr decisiones diferentes

H. Avil´s
e UPV
54/81

Introducci´n
e

e a o

En este tipo de problemas es conveniente identiﬁcar las
decisiones que debemos tomar o las opciones que tenemos en
cada paso

H. Avil´s
e UPV
54/81

Introducci´n
e

e a o

cada paso
Para visualizaci´n es util considerar las posibles selecciones
o ´
como una r -tupla, (decision1 , ..., decisionr )

H. Avil´s
e UPV
54/81

Introducci´n
e

e a o

cada paso
Para visualizaci´n es util considerar las posibles selecciones
o ´
como una r -tupla, (decision1 , ..., decisionr )
Este principio se usa cuando se puede parafrasear el problema
como “Tengo que elegir una de n1 opciones posibles y
despu´s otra de n2 disponibles y despu´s una n3 ...”
e e

H. Avil´s
e UPV
54/81

Introducciń
e

Tćnicas de conteo - Ejemplos
e

La baraja inglesa est´ compuesta por 4 palos (o clases) y 13
a
valores distintos para cada palo. ¿Cuńtas cartas contiene esta
a
baraja?

H. Avil´s
e UPV
55/81

Introducciń
e

e

a
a
baraja?
(clase, valor) (clase, valor) (clase, valor) (clase, valor)
(pica, 2) (corazń, 2)
o (diamante, 2) (tr´bol, 2)
e
e
e
e
e
e
e
e
e
(pica, A) (corazń, A)
o (diamante, A) (tr´bol, A)
e
(pica, J) (corazń, J)
o (diamante, J) (tr´bol, J)
e
(pica, Q) (corazń, Q)
o (diamante, Q) (tr´bol, Q)
e
(pica, R) (corazń, R)
o (diamante, R) (tr´bol, R)
e

H. Avil´s
e UPV
55/81

Introducciń
e

e

a
a
baraja?
(clase, valor) (clase, valor) (clase, valor) (clase, valor)
e
e
e
e
e
e
e
e
e
(pica, A) (corazń, A)
o (diamante, A) (tr´bol, A)
e
(pica, J) (corazń, J)
o (diamante, J) (tr´bol, J)
e
(pica, Q) (corazń, Q)
o (diamante, Q) (tr´bol, Q)
e
(pica, R) (corazń, R)
o (diamante, R) (tr´bol, R)
e

Si hay 4 clases y 13 valores, entonces hay 52 cartas posibles

H. Avil´s
e UPV
55/81

Introducci´n
e

e

Suponga que hay dos carreteras de Cuernavaca al DF y tres
del DF a Quer´taro. ¿De cu´ntas maneras es posible viajar de
e a
Cuernavaca a Quer´taro?
e

H. Avil´s
e UPV
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Introducci´n
e

e

e a
e
Hay 2 × 3 = 6 formas de viajar entre estas ciudades

H. Avil´s
e UPV
56/81

Introducci´n
e

e

e a
e
Hay 2 × 3 = 6 formas de viajar entre estas ciudades
Suponga adem´s que hay cuatro caminos de Quer´taro a San
a e
Luis Potos´ ¿De cu´ntas maneras es posible llegar de
ı, a
Cuernavaca a San Luis Potos´
ı?

H. Avil´s
e UPV
56/81

Introducci´n
e

e

Estas posibilidades pueden representarse gr´ﬁcamente de la
a
siguiente manera:

H. Avil´s
e UPV
57/81

Introducciń
e

Tćnicas de conteo - Principio b´sico de adiciń
e a o

Suponga que un evento A1 se puede realizar de n1 maneras y
un evento A2 se puede realizar de n2 formas y
as´ sucesivamente. Si s´lo uno de estos eventos ocurrir´ (i.e.,
ı o a
son excluyentes mutuamente) entonces se tienen
n1 + n2 + n3 ... decisiones posibles

H. Avil´s
e UPV
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Introducciń
e

Tćnicas de conteo - Principio b´sico de adiciń
e a o

Suponga que un evento A1 se puede realizar de n1 maneras y
un evento A2 se puede realizar de n2 formas y
as´ sucesivamente. Si s´lo uno de estos eventos ocurrir´ (i.e.,
ı o a
son excluyentes mutuamente) entonces se tienen
n1 + n2 + n3 ... decisiones posibles
Una manera de interpretar lo anterior es “Tengo n1 opciones
si tomo la alternativa A o tomo la alternativa B que tiene n2
opciones o selecciono la alternativa C con n3 posibilidades...”

H. Avil´s
e UPV
58/81

Introducciń
e

Tćnicas de conteo - Ejemplo
e

Este fin de semana puedo ir al cine (en la ciudad hay 3), o
puedo ir a bailar a una de 5 discotecas, o puedo quedarme en
casa a ver la tele, entonces tengo 3 + 5 + 1 = 9 opciones en
total

H. Avil´s
e UPV
59/81

Introducciń
e

Tćnicas de conteo - Ejercicios
e

Suponga que la gente es clasificada de acuerdo a su sexo,
estado civil y profesiń (hay 17). ¿Cuńtas clases posibles de
o a
personas hay?
Tengo que comprar un libro ya sea de programaciń web, de
o
bases de datos o de probabilidad y estad´
ıstica. Si hay 2 de
programaciń, 6 de bases de datos y 10 de probabilidad y
o
estad´
ıstica. ¿Cuńtas opciones tengo?
a
En un experimento agr´ ıcola diferentes tratamientos deben
probarse. Se considera el nivel de fertilizaciń, de agua y
o
temperatura, cada una con 3 niveles posibles (alto, medio y
bajo). ¿Cuńtos tratamientos deben realizarse?
a

H. Avil´s
e UPV
60/81

Introducciń
e

e

“L´mpara de 7 opciones”. Una l´mpara decorativa se
a a
presentaba con 3 focos de color diferente y 4 pantallas
distintas. ¿De cuńtas maneras es posible utilizar la l´mpara?
a a
Enumere las posibilidades como una tupla (bombilla,
pantalla). ¿Es correcta la propaganda?
Si quiero comprar una laptop de entre 10 marcas posibles y
hay 3 marcas que venden cada una 2 modelos diferentes, 4
marcas que ofrecen 5 modelos, 2 disponen de 3 modelos y una
marca tiene 1 modelo. ¿Cuńtas opciones tengo para elegir?
a

H. Avil´s
e UPV
61/81

Introducciń
e

e

Para recorrer unas ruinas prehispńicas puedo (a) elegir uno
a
de 3 gu´ (b) unirme a uno de 5 grupos que ya tienen un
ıas,
gu´ y (c) explorar por mi cuenta. ¿Cuńtas posibilidades hay
ıa a
disponibles?
Si un n´mero de PIN puede contener 4 d´
u ıgitos, ¿De cuńtas
a
maneras puede elegirse el PIN?
Debo seleccionar un password de una secuencia de 4 a 8
d´
ıgitos. ¿Cántos passwords diferentes tengo para elegir?
u
Cuatro personas van a votar en una elecciń por uno de 3
o
candidatos ¿De cuńtas maneras pueden votar estas
a
personas? Liste todas las posibilidades

H. Avil´s
e UPV
62/81

Introducciń
e

e

Si se dispone de 26 letras y 10 d´
ıgitos: a) ¿De cuńtas
a
maneras es posible formar un password de 8 caracteres? b)
¿De cuńtas maneras si el primer caracter est´ restringido a
a a
una letra? c)

H. Avil´s
e UPV
63/81

Introducciń
e

Tćnicas de conteo - Permutaciones
e

Una conjunto de n objetos con un orden o arreglo definido es
llamado una permutaciń de estos objetos
o

H. Avil´s
e UPV
64/81

Introducci´n
e

e

o
Una permutaci´n de n elementos se puede representar como
o
una n-tupla

H. Avil´s
e UPV
64/81

Introducci´n
e

e

o
o
una n-tupla
Por ejemplo, para {a, b, c} las permutaciones posibles son:
{(a, b, c), (a, c, b), (c, a, b), (b, c, a), (b, a, c), (c, b, a)}

H. Avil´s
e UPV
64/81

Introducciń
e

e

o
o
una n-tupla
Por ejemplo, para {a, b, c} las permutaciones posibles son:
{(a, b, c), (a, c, b), (c, a, b), (b, c, a), (b, a, c), (c, b, a)}
Otra manera de ver las permutaciones es preguntńdonos ¿De
a
cuńtas maneras es posible ordenar n objetos en una l´
a ınea
recta colocando cada objeto uno despu´s del otro?
e

H. Avil´s
e UPV
64/81

Introducci´n
e

e

N´mero de permutaciones de todos los elementos de un conjunto
u

H. Avil´s
e UPV
65/81

Introducci´n
e

e

u
Si se toman los n objetos de un conjunto S:

n Pn = n × (n − 1) × (n − 2) × (n − 3) × ... × 2 × 1 = n!

H. Avil´s
e UPV
65/81

Introducci´n
e

e

u

n Pn = n × (n − 1) × (n − 2) × (n − 3) × ... × 2 × 1 = n!

A n! tambi´n se le llama factorial de n
e

H. Avil´s
e UPV
65/81

Introducci´n
e

e

u

n Pn = n × (n − 1) × (n − 2) × (n − 3) × ... × 2 × 1 = n!

e
Recordar: 1! = 0! = 1

H. Avil´s
e UPV
65/81

Introducciń
e

e

u

n Pn = n × (n − 1) × (n − 2) × (n − 3) × ... × 2 × 1 = n!

e
Recordar: 1! = 0! = 1
´
Esta es una permutaciń de todos los elementos diferentes y
o
sin reemplazo (en cada selecciń el n´mero de posibilidades se
o u
reduce)

H. Avil´s
e UPV
65/81

Introducci´n
e

e

As´ el factorial de n se aplica cuando se debe elegir un
ı,
elemento de una poblaci´n (o conjunto), se elige despu´s el
o e
siguiente del subconjunto restante y as´ consecutivamente
ı

H. Avil´s
e UPV
66/81

Introducci´n
e

e

As´ el factorial de n se aplica cuando se debe elegir un
ı,
elemento de una poblaci´n (o conjunto), se elige despu´s el
o e
siguiente del subconjunto restante y as´ consecutivamente
ı
Ejemplo:
Las letras a, b y c tienen 6 permutaciones posibles abc, acb,
bca, bac, cab, cba
Si usamos la f´rmula anterior para n = 3
o

3 × (3 − 1) × (3 − 2) = 3 × 2 × 1 = 6

H. Avil´s
e UPV
66/81

Introducciń
e

e

¿Cuńtos n´meros diferentes pueden generarse con los d´
a u ıgitos
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si se usan s´lo una vez?
o
Se deben elegir el presidente, el secretario, el tesorero y el
vocal de una clase. Si los candidatos son Pepe, Guadalupe,
´
Luisa y Angel, ¿Cuńtos comit´s pueden elegirse?
a e
El prefecto tiene que visitar 8 salones cada hora para ver si los
profes dan clase. ¿De cuńtas maneras puede visitar los
a
salones?

H. Avil´s
e UPV
67/81

Introducci´n
e

e

En los ejemplos anteriores, cada elemento elegido ha sido utilizado
s´lo una vez (i.e., muestreo sin reemplazo). ¿Qu´ pasa si puedo
o e
permitir reemplazar (o reutilizar) los elementos del conjunto (i.e.,
muestreo con reemplazo)? ¿Cu´l es el n´mero de permutaciones si
a u
tengo 5 d´ ıgitos para formar secuencias de 4 elementos y puedo
reutilizar todos los d´ıgitos?

H. Avil´s
e UPV
68/81

Introducci´n
e

e

Permutaciones de un subconjunto de elementos todos diferentes,
(e.g., {c, m, d, a, i})

H. Avil´s
e UPV
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Introducci´n
e

e

Permutaciones de un subconjunto de elementos todos diferentes,
(e.g., {c, m, d, a, i})
Cuando se tienen n objetos y se deben tomar s´lo r elementos
o
(i.e., r < n), se puede usar la f´rmula:
o

n!
n Pr = n×(n−1)×(n−2)×(n−3)×...×(n−r +1) =
(n − r )!

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e UPV
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Introducci´n
e

e

¿De cu´ntas maneras puede elegirse un presidente y 5
a
secretarios de estado de un grupo de 20 aspirantes? Si r = 6 y
n = 20, entonces

n Pr = 20 × (20 − 1) × (20 − 2) × (20 − 3)×
(20 − 3) × (20 − 4) × (20 − 5)
20!
= = 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 =?
(20 − 6)!

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e UPV
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Introducciń
e

e

8 personas quieren sentarse en unas butacas pero s´lo hay 3
o
lugares para sentarse. ¿De cuńtas maneras pueden sentarse?
a
¿Cuńtas palabras de 4 caracteres pueden crearse con las
a
letras {M, N, O, P, Q} sin reusar nunguna? No importa si no
tienen significado
¿De cuńtas maneras pueden 4 personas ser asignadas a una
a
de 6 oficinas individuales?
En un salń hay 8 computadoras y 4 alumnos quieren que les
o
faciliten una. ¿De cuńtas maneras pueden otorgarse estas
a
m´quinas?
a

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Introducci´n
e

e

Un qu´ımico mezcl´ dos sustancias en el laboratorio que
o
produjeron un resultado deseado, pero no recuerda cu´lesa
fueron las sustancias ni el orden en el que las mezcl´. Si tiene
o
4 sustancias en el laboratorio y el resultado puede reproducirse
por prueba y error, ¿Cu´ntos experimentos debe hacer?
a

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e UPV
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Introducciń
e

Tćnicas de conteo - Combinaciones
e

Una combinaciń es un subconjunto de cierto tamaõ que
o n
podemos obtener de otro conjunto dado

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e UPV
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Introducci´n
e

e

o n
A diferencia de las permutaciones una combinaci´n no
o
requiere un orden

H. Avil´s
e UPV
73/81

Introducci´n
e

e

o n
o
requiere un orden (si dos conjuntos tienen los mismos
elementos ¡los conjuntos son iguales!)

H. Avil´s
e UPV
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Introducci´n
e

e

o n
o
requiere un orden (si dos conjuntos tienen los mismos
elementos ¡los conjuntos son iguales!)
Por ejemplo, si se quiere hacer una ensalada con 3 de 5
ingredientes posibles, ¿De cu´ntas maneras puedo hacerla?
a

H. Avil´s
e UPV
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Introducci´n
e

e

El n´mero de combinaciones de un conjunto de n objetos
u
tomando r a la vez y donde r ≤ n es:

n n!
=
r r !(n − r )!

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e UPV
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Introducci´n
e

e

u

n n!
=
r r !(n − r )!

A este n´mero se le denomina coeﬁciente binomial
u

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e UPV
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Introducci´n
e

e

u

n n!
=
r r !(n − r )!

A este n´mero se le denomina coeﬁciente binomial
u
La idea es calcular primero el n´mero de permutaciones
u
posibles n!/(n − r )! y posteriormente remover el n´mero de
u
permutaciones repetidas dividiendo por r !

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e UPV
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Introducci´n
e

e

¿Cu´ntas combinaciones pueden obtenerse con letras a, b, c y
a
d si se toman 3 a la vez?

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e UPV
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Introducci´n
e

e

¿Cu´ntas combinaciones pueden obtenerse con letras a, b, c y
a
d si se toman 3 a la vez?
4!
Si n = 4 y r = 3, entonces hay 4 P3 = (4−3)! = 24
permutaciones posibles: (d, a, b), (d, a, c), (d, b, c), (d, b, a),
(d, c, a), (d, c, b), (a, b, c), (a, b, d), (a, c, b), (a, c, d), (a,
d, b), (a, d, c), (b, c, d), (b, c, a), (b, d, a), (b, d, c), (b, a,
c), (b, a, d), (c, d, a), (c, d, b), (c, a, b), (c, a, d), (c, b, d),
(c, b, a)

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Introducci´n
e

e

Sin embargo, tienen los mismos elementos:
1) (a, b, c), (a, c, b), (b, c, a), (b, a, c), (c, a, b), (c, b, a)
2) (a, b, d), (a, d, b), (b, d, a), (b, a, d), (d, a, b), (d, b, a)
3) (a, c, d), (a, d, c), (c, d, a), (c, a, d), (d, a, c), (d, c, a)
4) (b, c, d), (b, d, c), (c, d, b), (c, b, d), (d, b, c), (d, c, b)
Si calculamos el n´mero de combinaciones
u

4 4!
= =4
3 3!(4 − 3)!

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e UPV
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Introducci´n
e

e

Sin embargo, tienen los mismos elementos:
1) (a, b, c), (a, c, b), (b, c, a), (b, a, c), (c, a, b), (c, b, a)
2) (a, b, d), (a, d, b), (b, d, a), (b, a, d), (d, a, b), (d, b, a)
3) (a, c, d), (a, d, c), (c, d, a), (c, a, d), (d, a, c), (d, c, a)
4) (b, c, d), (b, d, c), (c, d, b), (c, b, d), (d, b, c), (d, c, b)
Si calculamos el n´mero de combinaciones
u

4 4!
= =4
3 3!(4 − 3)!

N´tese que en general r < n, pues si r = n, entonces s´lo tenemos
o o
n
= 1 combinaci´n posible
o
r

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Introducciń
e

e

Si un comit´ de 2 personas debe elegirse de 20 posibles
e
candidatos, ¿Cuńtos posibles comit´s hay?
a e
El mismo qu´ ımico olvidadizo de hace rato mezcl´ tres
o
sustancias y tampoco recuerda cu´les fueron pero no le
a
importa el orden. Si tiene 5 qu´
ımicos en el laboratorio,
¿Cuńtas combinaciones debe hacer?
a
¿De cuńtas maneras se puede formar un comit´ de 2
a e
hombres y 3 mujeres de un grupo de 5 hombres y 7 mujeres?

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e UPV
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Introducciń
e

Tćnicas de conteo - Permutaciones con repeticiń
e o
Permutaciones de un n de elementos no todos diferentes
En algunos casos, tendremos que los elementos del conjunto
no son todos diferentes (i.e., no distinguibles entre si, e.g.,
{M, I , S, S, I , S, S, I , P, P, I })

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Introducci´n
e

e o
{M, I , S, S, I , S, S, I , P, P, I })
La f´rmula adecuada en este caso es n Pn1 !n2 !,···,nt ! = n1 !n2n! t !
o !,···,n
donde n es el n´mero total de elementos, n1 es el n´mero de
u u
repeticiones de un elemento tipo 1, n2 es el n´mero de
u
repeticiones del elemento tipo 2 y nt es el n´mero de
u
elementos tipo t

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Introducci´n
e

e o
{M, I , S, S, I , S, S, I , P, P, I })
o !,···,n
u u
u
u
elementos tipo t
La idea intuitiva es que debemos “descontar” las
permutaciones iguales del elemento 1, y del elemento 2 hasta
el elemento t

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Introducci´n
e

e o
{M, I , S, S, I , S, S, I , P, P, I })
o !,···,n
u u
u
u
elementos tipo t
La idea intuitiva es que debemos “descontar” las
permutaciones iguales del elemento 1, y del elemento 2 hasta
el elemento t
Note que t < n y n1 + n2 + ... + nt = n
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Introducci´n
e

e o

Por ejemplo, considere el conjunto {z, a, z} ¿De cu´ntas
a
maneras podemos permutar estos elementos?

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e UPV
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Introducci´n
e

e o

Por ejemplo, considere el conjunto {z, a, z} ¿De cu´ntas
a
Primero, hay que calcular el total de permutaciones como si
todos los elementos fueran diferentes (i.e., {z1 , a, z2 },
n! = 3! = 6)

H. Avil´s
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Introducci´n
e

e o

Por ejemplo, considere el conjunto {z, a, z} ¿De cu´ntas a
n! = 3! = 6)
As´ se tienen las permutaciones
ı,
{(z1 , a, z2 ), (z1 , z2 , a), (z2 , z1 , a), (z2 , a, z1 ), (a, z1 , z2 ), (a, z2 , z1 )}

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Introducci´n
e

e o

Por ejemplo, considere el conjunto {z, a, z} ¿De cu´ntas a
n! = 3! = 6)
As´ se tienen las permutaciones
ı,
{(z1 , a, z2 ), (z1 , z2 , a), (z2 , z1 , a), (z2 , a, z1 ), (a, z1 , z2 ), (a, z2 , z1 )}
Sin embargo, se puede considerar que
(z, a, z) = (z1 , a, z2 ) = (z2 , a, z1 ),
(z, z, a) = (z1 , z2 , a) = (z2 , z1 , a) y
(a, z, z) = (a, z1 , z2 ) = (a, z2 , z1 ),
entonces s´lo hay 3 arreglos diferentes, y de esta manera
o
n! 3!
n1 !n2 ! = 2!1! = 3
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Introducciń
e

Tćnicas de conteo - Ejercicio
e

Calcule el n´mero y liste las permutaciones de los elementos
u
del conjunto {S, A, S, A} identificando aquellas que se
consideran repetidas
Calcule el n´mero de permutaciones diferentes para la palabra
u
{M, I , S, S, I , S, S, I , P, P, I }

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Introducciń
e

Tćnicas de conteo - Tarea
e

Investigue y explique en qu´ situaciones es necesaria la
e
combinaciń con repeticiń, describa su f´rmula y muestre un
o o o
ejemplo

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