![Funciones de variables aleatorias
En general la función U es una v.a. o vector aleatorio de dimensión p
cuyo recorrido es U. De la definición de vector aleatorio, para que la
aplicación compuesta U = ϕ(X) satisfaga la condición necesaria para
ser v.a. ([U ≤ u] ∈ A) la única condición que debe acreditar es que en
U los puntos al infinito corresponden a eventos con probabilidad cero,
lo que equivale decir que las imágenes inversas sobre RX de los puntos
al infinito de U y corresponden a eventos con probabilidad cero.
Ejemplo 1.1.
Sea X la suma obtenida al extraer dos dı́gitos con reemplazamiento del
conjunto {0, 1, 2, 3} y sea la función U = ϕ(X) = 1
X . ¿Es U una v.a.?
Ejemplo 1.2.
Sea la v.a. X cuya distribución de probabilidad está dada por la
función de densidad
fX(x) =
(
1
3 , 2 < x < 5
0 , en otros casos
y sea U = ϕ(X) = 1
X−3. ¿U es una v.a.?
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NOTA 1.1.
Nos interesa determinar la función de distribución de la función U
cuando es una v.a., a partir de las caracteristicas probabilisticas de X y
del conocimiento de la función ϕ. Para ello se considera un Principio
general que establece, que si V1 ⊂ RX es la imagen inversa por ϕ del
subconjunto U1 de U entonces la probabilidad que se asigna a U1 es
igual a la probabilidad asignada a V1 esto es:
Si v1 = ϕ−1(u1) entonces P[u ∈ U1] = P[x ∈ v1]
Ası́ por ejemplo,
V1 = {(x1, x2, ..., xn) / ϕi(x1, x2, ..., xn) ≤ ai , i = 1, 2, ..., p} es la
imagen inversa por ϕ de
U1 = {(u1, u2, ..., up) / xi ≤ ai , ∀i = 1, 2, ..., p} y por tanto:
P[u ∈ U1] = P[
P
i=1
[ui ≤ ai]] = P[X ∈ V1]
V. Contreras T. 4 / 7 2021 4 / 7](https://image.slidesharecdn.com/probabilidadesii2021aclase1-220122011118/85/Probabilidades-ii-2021-a-clase-1-4-320.jpg)
Probabilidades ii 2021 a clase 1
- 1. Cálculo de Probabilidades II Semana 1: Funciones de variables aleatorias Vladimiro Contreras Tito Universidad Nacional Federico Villarreal Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Departamento de Matemática Agosto 2021 V. Contreras T. 1 / 7 2021 1 / 7
- 2. Funciones de variables aleatorias Funciones de variables aleatorias Recordemos que un vector aleatoria de dimensión n es una función que a cada elemental w le asigna o asocia un elemento de Rn. Esto es: Ω X − → Rn w → X(w) = (X1(w), X2(w), ..., Xn(w)) ∈ Rn con RX 6= φ. Consideremos una función ϕ tal que a cada elemento X ∈ RX le asocia un elemento U = ϕ(X) de Rp, esto es: ϕ : RX → Rp X → ϕ(X) = U = (ϕ1(X), ϕ2(X), ..., ϕp(X)) = (u1, u2, ..., up) = Si representamos por U a la imagen de ϕ entonces tenemos: Ω X − → RX ϕ − → U w → X(w) → ϕ(X(w)) V. Contreras T. 2 / 7 2021 2 / 7
- 3. Funciones de variables aleatorias En general la función U es una v.a. o vector aleatorio de dimensión p cuyo recorrido es U. De la definición de vector aleatorio, para que la aplicación compuesta U = ϕ(X) satisfaga la condición necesaria para ser v.a. ([U ≤ u] ∈ A) la única condición que debe acreditar es que en U los puntos al infinito corresponden a eventos con probabilidad cero, lo que equivale decir que las imágenes inversas sobre RX de los puntos al infinito de U y corresponden a eventos con probabilidad cero. Ejemplo 1.1. Sea X la suma obtenida al extraer dos dı́gitos con reemplazamiento del conjunto {0, 1, 2, 3} y sea la función U = ϕ(X) = 1 X . ¿Es U una v.a.? Ejemplo 1.2. Sea la v.a. X cuya distribución de probabilidad está dada por la función de densidad fX(x) = ( 1 3 , 2 < x < 5 0 , en otros casos y sea U = ϕ(X) = 1 X−3. ¿U es una v.a.? V. Contreras T. 3 / 7 2021 3 / 7
- 4. Funciones de variables aleatorias NOTA 1.1. Nos interesa determinar la función de distribución de la función U cuando es una v.a., a partir de las caracteristicas probabilisticas de X y del conocimiento de la función ϕ. Para ello se considera un Principio general que establece, que si V1 ⊂ RX es la imagen inversa por ϕ del subconjunto U1 de U entonces la probabilidad que se asigna a U1 es igual a la probabilidad asignada a V1 esto es: Si v1 = ϕ−1(u1) entonces P[u ∈ U1] = P[x ∈ v1] Ası́ por ejemplo, V1 = {(x1, x2, ..., xn) / ϕi(x1, x2, ..., xn) ≤ ai , i = 1, 2, ..., p} es la imagen inversa por ϕ de U1 = {(u1, u2, ..., up) / xi ≤ ai , ∀i = 1, 2, ..., p} y por tanto: P[u ∈ U1] = P[ P i=1 [ui ≤ ai]] = P[X ∈ V1] V. Contreras T. 4 / 7 2021 4 / 7
- 5. Funciones de variables aleatorias Ejemplo 1.3. Del ejemplo anterior donde fX(x) = ( 1 3 , 2 < x < 5 0 , en otros casos y sea U = ϕ(X) = 1 X−3, halle la función de distribución de U. V. Contreras T. 5 / 7 2021 5 / 7
- 6. Funciones de variables aleatorias a). Funciones de una sola variable Función de una variable discreta Si X es una v.a. discreta con recorrido RX, entonces RX es un conjunto contable de números reales y su imagen mediante ϕ será también un conjunto contable. Por lo tanto si U = ϕ(X) es una v.a. es también una v.a. discreta. Teorema 1.1. Sea X una v.a. discreta con función de cuantı́a PX y sea U = ϕ(X) entonces la función de cuantı́a de U está dada por PU (u) = P x∈Au PX(x) donde Au = {x / ϕ(X) = u} es decir: Au = ϕ−1(u) V. Contreras T. 6 / 7 2021 6 / 7
- 7. Funciones de variables aleatorias Ejemplo 1.4. Si se tiene 5 llaves de las cuales sólo una abre una puerta, si se intenta abrir una por una sin reemplazamiento, sea X el número de ensayos o intenyos necesarios para abrir la puerta y sea Y = ϕ(X) = 4X − 5. Si Y es una v.a., halle su distribución de probabilidad. V. Contreras T. 7 / 7 2021 7 / 7