PROBLE~1.PDF

11.5
Problems de Máximo-
Mínimo; Aplicaciones a la
Administración y la
Economía

Una estrategia para resolver problemas de máximo-mínimo
1. Leer el problema cuidadosamente.
2. Podría ayudar hacer un dibujo que aplica al problema,
etiquetando medidas que se mencionan.
3. Hacer una lista de las variables, constantes y las unidades
que se usan.
4. Traducir el problema a una ecuación que envuelve una
cantidad, Q, que se maximizará o se minimizará.
5. Expresar Q como función de una sola variable.
6. Use métodos estudiados para identificar el valor máximo o
mínimo de Q.
Problemas de Máximo-Mínimo

Ejemplo 1
R = x 10 − 𝑥 = 10x − 𝑥2
𝑃(𝑥) = 10x − 𝑥2 − 1 + 𝑥 2
Las funciones de costo y de precio de una empresa son
𝐶 𝑥 = (1 + 𝑥)2
𝑦 𝑝 = 10 − 𝑥
Encuentre el nivel de producción que maximizará las
utilidades de la empresa. ¿Cuál es la utilidad máxima?
Solución:
𝑃 𝑥 = 10𝑥 − 𝑥2 − 1 − 2𝑥 − 𝑥2
𝑃(𝑥) = 10x − 𝑥2 − (1 + 2𝑥 + 𝑥2)
=−2𝑥2
+ 8𝑥 − 1 =

Ejemplo 1 (continuación)
𝑃(𝑥) = −2𝑥2 + 8𝑥 − 1
Para encontrar el nivel de producción que maximizará las
utilidades de la empresa, buscamos la primera derivada de P(x),
la igualamos a 0 y resolvemos.
𝑃′(𝑥) = −4𝑥 + 8
−4𝑥 + 8 = 0
−4𝑥 = −8
𝑥 = 2
Usamos la segunda derivada para determinar si este valor es un
máximo.

Ejemplo 1 (conclusión)
¿Cuál es la utilidad máxima?
Como la segunda derivada es negativa para todo x en el
dominio, x =2 es un máximo.
𝑃′′(𝑥) = −4
𝑃′(𝑥) = −4𝑥 + 8
𝑃(𝑥) = −2𝑥2
+ 8𝑥 − 1
𝑃(2) = −2 2 2
+ 8(2) − 1
𝑃(2) = 7
La utilidad máxima es 7.

De una pieza fina de cartón, 8 pulgadas por 8 pulgadas, se
cortan esquinas cuadradas de manera que los lados se pueden
doblar para formar una caja. ¿Qué medidas producirán una caja
de volumen máximo? ¿Cuál es el máximo volumen posible ?
Solución:
Podemos hacer un dibujo
Ejemplo 2:

Luego, escribimos una ecuación para el volumen de la
caja.
Note que x debe esta entre 0 y 4.
Por lo tanto debemos maximizar la ecuación de
volumen en el intervalo (0, 4).
Ejemplo 2: continuación
V
 
V x
 l w h
 
(8 2 ) (8 2 )
x x x
   
2
(64 32 4 )
x x x
  
3 2
4 32 64
x x x
 



 
V x
 
V x

Como x = 4 NO está en el dominio de la función,
4
3
es
el único valor crítico en (0, 4).
Usaremos la segunda derivada, para determinar si
4
3
es
un valor máximo.
Ejemplo 2: continuación
V  2
12 64 64
x x
 
2
3 16 16
x x
 
(3 4)( 4)
x x
 
0
3 4 0
x  
4
3
x 

0

0

 
V x  3 2
4 32 64
x x x
 

El volumen llega a su máximo cuando los cuadrados en las
esquinas tiene un largo de
El volumen máximo es
3
4
Ejemplo 1: conclusión

 
V x

4
3
V
 
 
 
24 64
x 
4
24 64
3
 

 
 
32
  0


4
3
V
 
 
 
4
3
V
 
 
 
3 2
4 4 4
4 32 64
3 3 3
     
 
     
     
3
25
37 in
27


4
3
V
 
 
 
V 2
12 64 64
x x
   0

Un fabricante determina que para vender x unidades de un
nuevo equipo, el precio por unidad, en dólares, debe ser
También determina que el costo total de producción de las x
unidades está dado por
a) Determinar el ingreso total, R(x).
b) Determinar la ganancia total, P(x).
c) ¿Cuántas unidades se deben producir y vender para
maximizar la ganancia?
d) ¿Cuál es la ganancia máxima?
e) ¿Cuál precio por unidad se debe cobrar para maximizar
la ganancia?
( ) 1000 .
p x x
 
Ejemplo 3:

a)
b)
Ejemplo 3 (continuación):
( )
R x x p

(1000 )
x x

2
1000x x




( )
R x
( )
R x
( )
P x    
R x C x

 
2
1000 3000 20
x x x
  
2
980 3000
x x
  



( )
P x
( )
P x
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 × 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠

c) Maximizar ganancia
Solamente existe un valor crítico, por lo que usaremos la
segunda derivada para determinar si es un valor
máximo o mínimo.
Como P(x) es negativa, x = 490 es un máximo.
Se maximiza ganancia cuando se producen y se venden
490 unidades.

P (x)  2
Ejemplo 3 (continuación):
( )
P x
  2 980
x
 
2x

x
0
980

490



( )
P x  2
980 3000
x x
  

d) La ganancia máxima está dada por
Por lo tanto, el dueño del negocio gana $237,100
cuando se venden 490 unidades .
e) El precio por unidad al cual se deben vender el
producto está dado por
Ejemplo 3 (conclusión).
(490)
P  2
(490) 980(490) 3000
  
$237,100.

(490)
P
(490)
p  1000 490

$510.

(490)
p

Los promotores de un evento, quieren determinar el precio a
cobrar por entrada. Ellos han mantenido registros, y han
determinado que,
• a un precio de entrada de $ 26, un promedio de 1,000 personas
asisten.
• Por cada caída en el precio de $ 1, se ganan 50 clientes.
• Cada cliente gasta una promedio de $ 4 en las concesiones.
¿Qué precio de la entrada debe cobrar para maximizar el total de
ingresos?
Ejemplo 4

Establecer variables:
Sea x = el número de dólares que se reduce al precio
de $26 (si x es negativa, esto implica que el precio
se debe aumentar).
Ingreso total = ingreso por taquillas + ingreso por
concesiones
  2
26,000 1000 1300 50 4000 200
R x x x x x
     
  2
50 500 30,000
R x x x
   
𝑅 𝑥 = # 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 × 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑞𝑢𝑖𝑙𝑙𝑎 + #𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 × 4

Para maximizar R(x), determinamos R(x) y
resolvemos para los valores críticos.
Usamos la segunda derivada para determinar si este
valor crítico es un máximo o un mínimo o ninguno.
( )
R x
  100 500
x
 
100x

x
0
500

5



  2
50 500 30,000
R x x x
   

Por lo tanto, x = 5 produce el ingreso total máximo.
Los promotores deben cobrar,
$26 – $5 = $21 per ticket.
Ejemplo 4 (conclusión)
( )
R x
  100

(5)
R  100

( )
R x
  100 500
x
 

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