Aplicacion de las derivadas
- 1. El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada A un vendedor de ordenadores le cuesta 140000 ptas. cada modelo de la marca PCHE- COMPR. Ha comprobado que al precio de 240000 ptas. unidad, vende 30 ordenadores mensualmente y que por cada 2000 ptas. de descuento en el precio puede vender 3 unidades más al mes. Hállese a que precio debe venderlos para obtener el máximo beneficio posible. 2. Se define una función del modo siguiente: F(x)= a) Hallar el dominio de definición. b) Determinar la función derivada y dar su dominio. 3 Estudiar los máximos y mínimos de la función: y = ¿los posee absolutos? 4. Representación gráfica de 5. Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(x), en miles de € viene dada en función de la cantidad que se invierta x, en miles de € por medio de la siguiente expresión: R(x)= -0,001x2+0,5x+2,5
- 2. a) Deducir razonadamente la cantidad de dinero que le conviene invertir a un cliente en dicho plan .(en soluciones gráficas es el 11) b) ¿Qué cantidad obtendría? 6. El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es: y el precio de venta de uno de ellos es (50-x/4) € Halla el número de unidades que debe venderse diariamente para que el beneficio sea máximo. (en soluciones gráficas es el 12) APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: MONOTONIA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Y OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS) EJERCICIOS RESUELTOS 1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros: a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible. c) Cual será el valor de dicha rentabilidad. Solución a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece Procedimiento:
- 3. -Se deriva la función: R`(x)=-0,004x+0,8 -Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta: R`(x)=0 , -Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico: f f´ + 200 - se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R ´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0 Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros. c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros Solución gráfica