Aplicaciones de derivadas

Incremento
2Profesora: Risley Rengifo
Sea una función definida en un intervalo ,
entonces:
)(xfy   21, xx
12 xxx 
)()( 1212 xfxfyyy 
Incremento de x
Incremento de y o f(x)
Si despejamos tenemos:2x
12 xxx 
)()( 11 xfxxfy 
En forma general se tiene
)()( xfxxfy 

Profesora: Risley Rengifo 3
Razón (tasa) de cambio
promedio
qqr 30.030 
Resolver
Las ecuaciones de ingreso y
de costo de cierto producto
de un fabricante son
respectivamente, donde q es
el número de unidades.
Calcula los incrementos
resultantes en el costo, el
ingreso y la utilidad si q
cambia de 40 a 42 unidades.
Determina la tasa de cambio
promedio de la utilidad por
unidad extra producida.
1005,4  qcy
Razón de cambio promedio de y con
respecto a x en el intervalo de x a
x+x
12
12)()(
xx
yy
x
xfxxf
x
y









Razón (tasa) de cambio
promedio
La aceptación de cierto
pisco dependerá del tiempo
que tenga en el mercado de
acuerdo a la siguiente
función
donde A es la aceptación
expresada en puntos y t es
el tiempo en meses. Hallar
la razón de cambio de la
aceptación con respecto al
tiempo dentro de 3 meses.
,
1
15050
)(



t
t
tA
Resolver
x
y
dx
dy
x 


 0
lim
Razón de cambio instantáneo de y con
respecto a x

Razón de cambio relativo y
porcentual
Resolver
)(
)(
xf
xf
RCR


Razón de cambio relativo
Razón de cambio porcentual
100
)(
)(



xf
xf
RCP
Supóngase que un fabricante
vende un producto a :
Donde p es el precio en
dólares y q las cantidades.
Además “ r ” es el ingreso
total en dólares.
a) Encuentre la razón de
cambio relativo de r con
respecto a q
b) Cuando q =10 encuentre
la razón de cambio
relativo de r
c) Encuentre la razón de
cambio porcentual de r
cuando q = 20
qp 3,030 

Costo marginal
Resolver
dq
dC
C Costo marginal
q
C
C Costo promedio La función de costo
promedio de una fábrica que
produce ventiladores de
mano, está dada por:
Donde está en dólares.
Determine el costo marginal
de producir 40 unidades.
Interprete el resultado.
q
qqC
10000
504,0002,0 2

C

Ingreso marginal
Resolver
dq
dr
r Ingreso marginal
Suponga que el ingreso
obtenido al vender “ q ”
lavadoras es
a) Determine el ingreso
marginal cuando se
producen 100 lavadoras.
b) Use la función r´ para
estimar el incremento en
el ingreso como
resultado del
aumento en la
producción, de 100 a 101
lavadoras a la semana.







q
r
1
120000

Resolver
dq
dr
U Utilidad marginal
Utilidad marginal
Suponga que la ecuación de
demanda para el producto de
un monopolista es:
y la función de costo
promedio es
donde q es el número de
unidades y, p y C se
expresan en dólares por
unidad. Halle la utilidad
marginal e interprete el
resultado.
qp 2400 
q
qC
400
42,0 
q
ep 003.0
1000 


Las ecuaciones de ingreso y de costo de cierto producto de un fabricante son
y respectivamente, donde q es el número
de unidades. Calcula los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la
utilidad si q cambia de 40 a 42 unidades. Determina la tasa de cambio promedio
de la utilidad por unidad extra producida.
Ejercicios
Sea la ecuación de demanda del producto de un fabricante,
donde x es el número de artículos demandados y p es su precio unitario en
dólares. Halle la razón de cambio del precio con respecto a los artículos
demandados, cuando éstos son 5. Interprete el resultado.
La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es
Evalúe la razón de cambio del precio unitario con respecto al número de
unidades, cuando éstas son 500. (Suponga que p está dado en dólares)
1.
2.
3. q
ep 003.0
1000 

2
2500 qp 
2
30,030 qqr  1005,4  qC

La ecuación de la demanda de u producto está dada por
en donde q son los artículos demandados y p es el precio de cada artículo.
Determinar la función del ingreso marginal y evaluarla cuando q = 100 .
Ejercicios
El costo promedio de producción de “ q ” unidades es
Calcule la razón de cambio del costo con respecto al número de unidades,
cuando se producen 200 unidades.
La función de demanda y costo para el producto de un fabricante son
, respectivamente
Halle la utilidad marginal de producir y vender 80 unidades, sabiendo que p y
C están en dólares. Interprete el resultado.
4.
5.
6.
2
003,02,0500 qqp 
q
e
C
q 500/)103(
3000600 


25
5000


q
p
2
3,0500 qcy 

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