Problema 1 de compuertas
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El documento analiza un problema de mecánica de fluidos relacionado con la apertura de una compuerta rectangular plana en un canal. Se determina la fuerza necesaria para iniciar la apertura de la compuerta y la reacción en un pasador, calculando aspectos como el peso específico y la fuerza hidrostática. Se presentan las fórmulas y los cálculos que llevan a los resultados finales del problema.
Problema 1 de compuertas
- 1. Problema de Compuertas (Mecánica de Fluidos) En un canal, existe agua dulce retenida por una compuerta rectangular plana con una anchura de 0,6𝑚 (en dirección perpendicular a la hoja) que está soportado por un pasador en B. La pared vertical BD se fija en su posición. Si el peso de la puerta es despreciable, determinar la fuerza F requerida para comenzar a abrir la puerta; además encontrar la reacción en el pasador B Solución: Primero calcularemos el peso específico, área y el momento de inercia de la compuerta entre los puntos AB y lo calcularemos de la siguiente manera: 𝛾 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 ∙ 𝑔 = (1000 𝑘𝑔 𝑚3⁄ )(9,81 𝑚 𝑠2⁄ ) = 9810 𝑁 𝑚3⁄ 𝐴 = 𝑏ℎ = (0,6𝑚)(√(1𝑚)2 + (1𝑚)2) = (0,6𝑚)(√2𝑚) = 0,8485𝑚2 𝐼𝑐𝑔 = 1 12 𝑏ℎ3 = 1 12 (6𝑚)(√(1𝑚)2 + (1𝑚)2) 3 = 1 12 (6𝑚)(√2𝑚) 3 = 1,414𝑚2 ℎ 𝑐𝑔 = 𝑠 + 1 2 ℎ = 0,4𝑚 + 1 2 (1𝑚) = 0,9𝑚 Calcularemos la Fuerza Hidrostática que actúa sobre la parte de la compuerta en la sección AB, de la siguiente manera: 𝐹ℎ = 𝛾 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝐴ℎ 𝑐𝑔 = (9810 𝑁 𝑚3⁄ )(0,8485𝑚2)(0,9𝑚) = 7491,6𝑁 ≈ 7,492𝑘𝑁
- 2. Ahora calcularemos el punto del centro de presión donde actúa la fuerza hidrostática y la calcularemos así: ℎ 𝑐𝑝 = ℎ 𝑐𝑔 + 𝐼𝑐𝑔 sin2 𝜃 ℎ 𝑐𝑔 ∙ 𝐴 = 0,9𝑚 + (1,414𝑚2)sin2 45° (0,9𝑚)(0,8485𝑚2) = 0,9926𝑚 Ahora del triángulo 𝑂𝐸𝐴̂ vamos a calcular la distancia 𝑥, que se encuentra entre el punto donde está el pasador en B y el punto del centro de presión, donde: ℎ 𝑐𝑝 = 𝐿 𝑐𝑝 sin 𝜃 → 𝐿 𝑐𝑝 = ℎ 𝑐𝑝 sin 𝜃 = 0,9926𝑚 sin 45° = 1,404𝑚 Ahora hallemos la distancia 𝑑 𝑂𝐵 de la siguiente manera: 𝑑 𝑂𝐵 = 𝐷𝐵̅̅̅̅ sin 𝜃 = 0,4𝑚 sin 45° = 0,566𝑚 Por lo tanto la distancia desde el punto B al centro de presión será: 𝑥 = 𝐿 𝑐𝑝 − 𝑑 𝑂𝐵 = 1,404𝑚 − 0,566𝑚 = 0,838𝑚 Ahora aplicando las ecuaciones de equilibrio, hallaremos la fuerza 𝐹 asi (en el momento que se inicia la apertura de la compuerta 𝐴 = 0): ↻ ∑𝑀 𝐵 = 0 → (0,838𝑚)(7,492𝑘𝑁) − (0,7𝑚) 𝐹 = 0 → 𝑭 = 𝟖, 𝟗𝟕𝒌𝑵 ↓ Ahora calculemos las Reacciones en el pasador en B de la siguiente manera: ↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐵 𝑦 − 8,97𝑘𝑁 − (7,492𝑘𝑁) cos45° = 0 → 𝑩 𝒚 = 𝟏𝟒, 𝟐𝟕𝒌𝑵 ↑ → ∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐵 𝑥 − (7,492𝑘𝑁) sin 45° = 0 → 𝑩 𝒙 = 𝟓, 𝟑𝟎𝒌𝑵 →