Problema 14
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El documento demuestra que la inversa de una matriz triangular superior también es una matriz triangular superior. Explica dos caminos para probar esto: 1) construyendo la inversa de abajo hacia arriba, y 2) analizando el método para encontrar la inversa de una matriz y cómo las operaciones elementales solo afectan renglones superiores. Concluye que ambos caminos llevan a la conclusión de que la inversa de una matriz triangular superior es triangular superior.
Problema 14
- 1. PROBLEMA 14 Demuestra que la inversa de una matriz triangular superior es también una matriz triangular superior. EJEMPLO
- 2. PROBLEMA 14 • Se puede resolver de dos maneras casi distintas. • CAMINO 1: – construir la inversa de abajo para arriba. • CAMINO 2: – utilizar el método para encontrar la inversa de una matriz.
- 3. PROBLEMA 14 CAMINO 1 • Supongamos que A es triangular superior y que es invertible. • Queremos encontrar la matriz B que sea su inversa. Matriz B (será la inversa de A) Matriz A
- 4. PROBLEMA 14 CAMINO 1 Podemos ir obteniendo información de los coeficientes de B.
- 5. PROBLEMA 14 CAMINO 1 Aquí vemos que:
- 6. PROBLEMA 14 CAMINO 1 Aquí vemos que:
- 7. PROBLEMA 14 CAMINO 1 Conclusión: Debajo de la diagonal principal solo hay ceros en la primera columna.
- 8. PROBLEMA 14 CAMINO 1 Idea: Realizar el mismo análisis, pero ahora con la siguiente columna.
- 9. PROBLEMA 14 CAMINO 2 • Para el camino 2, la idea es analizar el método para encontrar la inversa de una matriz: – colocar la matriz a la izquierda y la identidad a la derecha, y utilizar las operaciones elementales para llegar a la identidad.
- 10. PROBLEMA 14 CAMINO 2 • Como la matriz A es triangular superior, entonces al momento de llevar a A a la identidad, cada renglón solo puede afectar a los renglones que estén arriba de él. • Como a la identidad se le hacen las mismas operaciones, se llega a la conclusión buscada.